Função Trigonométrica
Determinar a função dado o gráfico
1. (G1 - cftmg 2015) O esboço do gráfico da função f(x)  a  b cos(x) é mostrado na figura
seguinte.
Nessa situação, o valor de a  b é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 6
2. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a
4π
3π
5π
5π
.
.
.
.
a)
b)
c)
d)
9
8
6
12
e)
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2π
.
3
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3. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é
dada por f  x   a  sen  ω  x  b , com a, ω e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o
 π 5π 
gráfico de f, restrito ao intervalo fechado   ,
. A função f tem período π e seu conjunto
 6 6 
imagem é o intervalo fechado  5,5.
Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique a2  ω2  3b π .
4. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função
x
y  A  Bsen   , que é muito útil quando se estudam fenômenos periódicos, como, por
4
exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é
a) 6
b) 10
c) 12
d) 18
e) 50
5. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na
vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em
metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a
função:
 
A(t)  1,6  1,4 sen  t 
6 
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de
certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada
pelo gráfico:
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a)
b)
c)
d)
e)
6. (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo.
A expressão algébrica de f(x) é

- sen x , se x < 0
a) f  x   

 cos x , se x  0

 cos x , se x < 0
b) f  x   

 sen x , se x  0
- cos x , se x < 0

c) f  x   

 sen x , se x  0

 sen x , se x < 0
d) f  x   

 cos x , se x  0
 sen x, se x < 0
e) f  x   
cos x, se x  0
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7. (Ufpe 2011) Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números
reais, dada por f  x   3 cos x  sen x , que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir.
Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f:
π

( ) f  x   2  sen  x   , para todo x real.
6

( ) f é periódica com período 2π .
π
( ) As raízes de f(x) são
 2kπ , com k inteiro.
6
(
) f  x    3 , para todo x real.
(
) f  x   2 , para todo x real.
8. (Ufsm 2011)
O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao
longo de 12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação.
De acordo com os dados, Q (0) é igual a
a) 100.
b) 97.
c) 95.
d) 92.
e) 90.
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9. (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e
expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade
de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um
indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo,
é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura
é:
2
3 
a) V  t  
sen  t  .
5
5 
3
 5 
b) V  t   sen 
t .
5
 2 
 2 
c) V  t   0,6cos 
t .
 5 
 2 
t .
d) V  t   0,6sen 
 5 
5
e) V  t  
cos  0,6t  .
2
10. (Ufsm 2006) Sobre a função representada no gráfico, é correto afirmar:
a) O período da função é 2ð.
b) O domínio é o intervalo [-3, 3].
c) A imagem é o conjunto IR.
d) A função é par.
x
.
2
e) A função é y = 3 sen 
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11. (Pucsp 2006) Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de IR em IR, definida por f(x) =
k.sen mx, em que k e m são reais, e cujo período é
8π
.
3
 29π 
é
 3 
O valor de f 
a) - 3
b) - 2
c) - 1
d)
e)
2
3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração
gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o
intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura
máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que
relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este:
12. (Puccamp 2005)
O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a
é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4
horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então
a) b =
(5π )
31
b) a + b = 13,9 c) a - b =
π
(4π )
,5 d) a . b = 0,12 e) b =
1
3
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13. (G1 - cftmg 2004) O gráfico a seguir representa o esboço, no intervalo [0,2] , da função
a) y   cos x
b) y  sen(x)
c) y  sen2x
d) y  2senx
14. (Unesp 2003) Observe o gráfico.
Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é
a) -2 cos (3x).
b) -2 sen (3x).
c) 2 cos (3x).
d) 3 sen (2x).
e) 3 cos (2x).
15. (Uel 2001) O gráfico a seguir corresponde à função:
a) y = 2 sen x
b) y = sen (2x)
c) y = sen x + 2
x

2
d) y = sen 
e) y = sen (4x)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[D]
f(0)  5  a  b  cos0  5  a  b  5
f( π)  1  a  b  cos π  1  a  b  1
Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2. Portanto, a  b  6.
Resposta da questão 2:
[A]
Lembrando que sen2 α  cos2 α  1 e sen2α  2senα cos α, temos
f(x)  (sen x  cos x)4  (sen x  cos x)4
 [(sen x  cos x)2  (sen x  cos x)2 ][(sen x  cos x)2  (sen x  cos x)2 ]
 (1  2sen x cos x  1  2sen x cos x)(1  2sen x cos x  1  2sen x cos x)
 4  2sen x cos x
 4 sen2x.
Logo, como o período de f é
2π
 π, segue-se que a é o maior número real pertencente ao
|2|
 π
intervalo  0,  , tal que
 2
f(a)  2  4 sen2a  2
 sen2a  sen
a
π
6
Portanto, a 
5π
.
12
π
5π
ou a 
.
12
12
Resposta da questão 3:
Sabendo que o período fundamental da função seno é 2π, e que o período de f é π, temos
π  2π  | ω |  2.
|ω|
Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [1,1], e a imagem de f é o intervalo
[5, 5], temos [5, 5]  a  [1,1]  a  5 (supondo senb  0).


Finalmente, como f   π   0, temos:
 6
  π

 π

0  5  sen 2      b   sen    b   sen0,
 3

  6 

donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b  π .
3
3b
3 π
 52  22    30.
Portanto, a2  ω2 
π
π 3
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Resposta da questão 4:
[A]
Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o
contradomínio e a lei de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números
reais, e que o contradomínio seja o intervalo [1, 5].
Desse modo, como a imagem da função seno é o intervalo [1, 1], deve-se ter
A  B[1, 1]  [1, 5]  [A B, A  B]  [1, 5].
Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A  2 e B  3. Por
conseguinte, A  B  2  3  6.
Resposta da questão 5:
[A]
Se t = 0, temos A(0) = 1,6 – 1,4.sen0 = 1,6;
π
Se t = 3, temos A(3) = 1,6 – 1,4.sen   = 0,2;
2
Se t = 6, temos A(6) = 1,6 – 1,4.sen π = 1,6;
 3.π 
Se t = 9 temos, A(9) = 1,6 – 1,4.sen 
 = 3,0.
 2 
Portanto, o gráfico da alternativa [A] é o correto.
Resposta da questão 6:
[A]
 π
Como f     1, a lei de f só pode ser a lei apresentada na alternativa [A].
 2
Resposta da questão 7:
F – V – F – F – V.
Reescrevendo a lei de f obtemos
f(x)  3 cos x  sen x
 3

1
 2
cos x  sen x 
 2

2



 2   sen cos x  sen x cos 

3
3




 2  sen  x    2  sen  x   .

3
6



Conforme mostrado acima, a lei de f pode ser escrita sob a forma f(x)  2  sen  x   .

3
Logo,
f é periódica com período igual a 2.
Fazendo f(x)  0, segue que
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



2  sen  x    0  sen  x    sen0


3
3

x   2k
3

4
x
 2k
3


 x   k    2k, k  .
3
6
A imagem de f é o intervalo [2, 2]. Logo, f(x)  2 e f(x)  2, para todo x real.
Resposta da questão 8:
[C]
De acordo com o gráfico, temos a =
120  20
 50
2
D = 120 – 50 = 70
2π
π
 12  c 
c
6
π
.t ) + 70, substituindo o ponto ( 2,120) na função, temos:
6
π.2
π
120  50.sen(b 
)  70  b  .
6
6
Logo, Q(t) =50. sen(b +
Resposta da questão 9:
[D]
2π 2π
O período da função é
.

5
5
Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função :
 2π 
 2π 
y  0,6  sen 
.x  . A função não poderia ser y  0,6  cos 
.x  , pois, se x for zero, o y
5


 5 
deveria ser 0,6.
Resposta da questão 10:
[E]
Resposta da questão 11:
[B]
Resposta da questão 12:
[A]
Resposta da questão 13:
[B]
Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[A]
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