Expansão em séries de potências
Problema: se f(a) é conhecida, como calcular f(x), para x ≅ a ?
∆x = x − a
∆y = f ( x ) − f ( a )
∆y ≅ f ′( a ) ∆x, se ∆x ≅ 0
a
x
Aproximação de ordem 0:
f ( x) ≅ f (a)
Aproximação de ordem 1:
f ( x) ≅ f (a) + f ′(a)( x − a)
Swokowski, Cálculo com Geometria Analítica, Vol. I
Física B2 – 2012/02
Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Expansão em séries de potências
Série de Taylor:
f ′(a )
f ′′(a)
f ′′′(a)
2
f ( x) = f (a) +
( x − a) +
( x − a) +
( x − a )3 + ...
1!
2!
3!
∞
f ( x) = ∑
n =0
f ( n ) (a)
( x − a)n
n!
Série de Maclaurin:
f ′(0)
f ′′(0) 2 f ′′′(0) 3
f ( x) = f (0) +
x+
x +
x + ...
1!
2!
3!
∞
f ( n ) (0) n
f ( x) = ∑
x
n!
n =0
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Exemplo: a função exponencial
f ( x) = e x
f ′( x) = e x
f ′′( x) = e x ...
a = 0 ⇒ f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = ... f ( n ) (0) = 1
∞
n
2
3
x
x
x
e = ∑ = 1 + x + + + ...
2 6
n =0 n !
x
Wikipedia, “Taylor series”
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Exemplo: a função seno
f ( x) = sen( x)
f ′( x) = cos( x)
f ′′( x) = −sen( x)
a = 0 ⇒ f (0) = 0 f ′(0) = 1 f ′′(0) = 0 f ′′′(0) = −1
f ′′′( x) = − cos( x)
x3 x5
x7
sen( x) = x − +
−
...
6 120 5040
O argumento x tem que ser expresso em radianos!!
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x3 x5
sen( x) = x − +
+ ...
6 120
Exemplo: a função seno
1,0
0,8
sen
f (x)
(x)
1,0
0,6
0,4
0,2
0,8
0,0
0,0
0,4
sen(x)
x
3
x−x /6
3
5
x−x /6+x /120
0,1
sen(x)
x
sen(x)
3
x−x /6 sen(x)
x
3
5 3
x−x /6+xx−/120
x /6
0,2
0,5
0,3
0,4
0,5
0,6
x (π rad)
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Exemplo: a função seno
x3 x5
x7
f ( x) = x − +
−
6 120 5040
Wikipedia, “Taylor series”
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Séries de Maclaurin para algumas funções comuns
2 n(n −1)(n − 2) x3
n
(
n
−
1)
x
+ ...
(1+ x ) =1+ nx + 2! +
3!
n
( x < 1) , n ∈ »
n
ln (1 + x ) = x −
ex
x2
2
+
x3
3
−
x4
4
+ ...
x << 1: (1 + x ) ≅ 1 + nx
( x < 1)
2 x3
x
=1+ x + + + ...
2! 3!
3 x5 x7
x
sen( x) = x − + − ...
3! 5! 7!
Fórmula de Euler:
eiθ = cos(θ) + isen(θ)
2 x 4 x6
x
cos( x) =1− + − + ...
2! 4! 6!
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Bibliografia sugerida:
Cálculo com Geometria Analítica, Vol. I, E. W. Swokowski, MacGraw-Hill, Rio de
Janeiro, 1983.
“A diferencial de uma função e o cálculo aproximado”, texto disponível no
site e-Cálculo, mantido pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP:
http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/diferencial_fc/diferencial_fc.htm
Na internet:
http://ecalculo.if.usp.br/
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series.
http://www.vias.org/calculus/.
http://stud3.tuwien.ac.at/~e0004876/taylor/Taylor_en.html.
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