Notas de Aula de Cálculo I do dia 07/06/2013 - Matemática
Profa. Dra. Thaís Fernanda Mendes Monis.
0.1
Função Inversa
Definição 1. Uma função f : A → C é injetiva se f (x) 6= f (y) para todo x 6= y, x, y ∈ A.
Seja f : A → C uma função injetiva. Seja B = {f (x) | x ∈ A} o conjunto imagem da
função f . Sendo f injetiva, temos que para cada y ∈ B existe um único x ∈ A tal que
f (x) = y. Assim, está bem definida a função g : B → A dada pela condição
g(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.
A função g assim definida é denominada função inversa de f : A → B = Im(f ) e é
denotada por g = f −1 . Dizemos, nesse caso, que f é uma função inversível.
Observe que:
• f inversível ⇒ f −1 inversível e (f −1 )−1 = f .
Exercício 1. Seja f : A → B uma função inversível. Prove que
1. f (f −1 (y)) = y para todo y ∈ B.
2. f −1 (f (x)) = x para todo x ∈ A.
Observação 1. Seja f : I → R uma função definida em um intervalo I de R. Suponha
f contínua em I. Então f é injetiva se, e somente se, f é estritamente crescente ou
estritamente decrescente.
Exemplo 1. Considere a função exponencial f (x) = ex . Temos que Dom(f ) = R e
Im(f ) = (0, +∞). Além disso, f é estritamente crescente. Assim, f é injetiva. Sua
inversa, a função ln, é definida por
ln : (0, +∞) → R
ln(y) = x ⇐⇒ ex = y.
Exemplo 2. A função f (x) = x2 é estritamente crescente em [0, +∞). Ainda, f ([0, +∞)) =
[0, +∞). Assim, f restrita a esse intervalo admite inversa g : [0, +∞) → [0, +∞) definida
por
g(y) = x ⇐⇒ x2 = y, x ≥ 0.
A função g é a nossa conhecida função raiz quadrada.
Observação 2. Nas figuras 1.pdf e 2.pdf evidenciamos a simetria dos gráficos da função
f e de sua inversa com respeito a reta x = y. Mais geralmente, já demonstramos em
sala de aula que se f é inversível com função inversa g, então os gráficos de f e de g são
simétricos com respeito a reta x = y uma vez que
(x, y) ∈ Graf(f ) ⇔ y = f (x) ⇔ g(y) = x ⇔ (y, x) ∈ Graf(g).
1
1.pdf
Figura 1: Exemplo 1
2
2.pdf
Figura 2: Exemplo 2
0.2
Inversas Trigonométricas
0.2.1
Função arco-seno
A função seno restrita ao intervalo [−π/2, π/2] é estritamente crescente. Ainda, a imagem
do intervalo [−π/2, π/2] pela função seno é o intervalo [−1, 1]. Assim, fica bem definida
a função arco-seno,
arc sen : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
dada por
arc sen(x) = y ⇔ sen(y) = x, −π/2 ≤ y ≤ π/2
• arc sen(1) = π/2 pois π/2 ∈ [−π/2, π/2] e sen(π/2) = 1.
√ !
π √3
3
π
π
= pois ∈ [−π/2, π/2] e sen
=
.
2
3
3
3
2
Exemplo 3.
• arc sen
1
• arc sen −
2
=−
π
1
π
−π
pois
∈ [−π/2, π/2] e sen −
=− .
6
6
6
2
3
Figura 3: Gráficos das funções seno e arco-seno
0.2.2
Função arco-tangente
Sobre a função tangente, temos o seguinte: é estritamente crescente no intervalo aberto
(−π/2, π/2). Ainda, a função tangente é contínua nesse intervalo e, um vez que
lim tg(x) = −∞ e
x→− π2 −
lim tg(x) = +∞
x→− π2 +
segue que a imagem do intervalo (−π/2, π/2) pela função tangente é a reta real R. A
função arco-tangente é então definida do seguinte modo:
arc tg : R → (−π/2, π/2)
dada por
arc tg(x) = y ⇔ tg(y) = x, y ∈ (−π/2, π/2)
√
Exercício 2. Calcule arc tg(− 3).
√
√
sen(y)
Solução: arc tg(− 3) = y ∈ (−π/2, π/2) se, e somente se, tg(y) =
= − 3.
cos(y)
√
Portanto, sen(y) = − 3cos(y). Substituindo essa última identidade em
cos2 (y) + sen2 (y) = 1
obtemos
cos2 (y) + 3cos2 (y) = 1 ⇒ cos2 (y) = 1/4.
4
Como
√ y ∈ (−π/2, π/2), temos cos(y) ≥ 0 e, portanto, cos(y) = 1/2. Segue que sen(y) =
− 3/2. Portanto, y√= −π/3.
Assim, arc tg(− 3) = −π/3.
√
Exercício 3. Determine arc tg(1) e arc tg( 3/3).
Figura 4: Gráficos das funções tangente e arco-tangente
0.2.3
Derivada de função inversa
Suponha f uma função inversível e seja f −1 a sua função inversa. Então, para todo
x ∈ Dom(f −1 ) tem-se
f (f −1 (x)) = x.
(1)
Suponha agora que f e f −1 são diferenciáveis. Derivando ambos os membros de (1),
obtemos
f 0 (f −1 (x)) · (f −1 )0 (x) = 1
seguindo que
(f −1 )0 (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
Finalizo essa discussão com o seguinte resultado:
5
(2)
Teorema 1. Seja f uma função inversível, com função inversa g. Se f for derivável em
q = g(p), com f 0 (q) 6= 0, e se g for contínua em p, então g será derivável em p.
Demonstração.
g 0 (p) = lim
y→p
g(y) − g(p)
y−p
(3)
Para calcular o limite acima, considere a substituição: x = g(y). Quando y → p, desde
que g é contínua em p, temos que x → g(p) = q. Ainda, desde que g é a função inversa
de f , temos que x = g(y) se, e somente se, f (x) = y. Assim, essa substituição nos dá:
g 0 (p) = lim
y→p
g(y) − g(p)
x−q
= lim
= lim
x→q
y−p
f (x) − f (q) x→q
1
f (x)−f (q)
x−q
=
1
f 0 (q)
(4)
0.3
As derivadas de arco-seno e arco-tangente
Proposição 1. arc sen0 (x) = √
1
, para todo −1 < x < 1.
1 − x2
Demonstração. Derivando os membros da igualdade
sen(arc sen(x)) = x
obtem-se
sen0 (arc sen (x)) · arc sen’(x) = 1
Temos
sen0 (arc sen(x)) = cos(arc sen(x))
Assim, para x ∈ (−1, 1) tem-se
arc sen0 (x) =
1
cos(arc sen(x))
Vamos agora determinar cos(arc sen(x)):
cos2 (arc sen(x)) + sen2 (arc sen(x)) = 1
cos2 (arc sen(x)) + x2 = 1
cos2 (arc sen(x)) = 1 − x2
Como arc sen(x) ∈ (−π/2, π/2), temos cos(arc sen(x)) > 0. Logo,
√
cos(arc sen(x)) = 1 − x2
(5)
(6)
(7)
(8)
Portanto,
arc sen0 (x) = √
1
1 − x2
(9)
6
Proposição 2. arc tg 0 (x) =
1
para todo x ∈ R.
1 + x2
Demonstração. Derivando os membros da igualdade
tg(arc tg(x)) = x
obtem-se
tg0 (arc tg (x)) · arc tg ’ (x) = 1
Temos
tg0 (arc tg(x)) =
1
cos2 (arc
tg(x))
Assim, para todo x ∈ R tem-se
arc tg 0 (x) = cos2 (arc tg(x))
Vamos agora determinar cos2 (arc tg(x)):
cos2 (arc tg(x)) + sen2 (arc tg(x)) = 1
cos2 (arc tg(x)) sen2 (arc tg(x))
1
+
=
2
2
2
cos (arc tg(x)) cos (arc tg(x))
cos (arc tg(x))
1
1 + x2 =
2
cos (arc tg(x))
(10)
(11)
(12)
Logo,
arc tg 0 (x) =
1
1 + x2
(13)
Exercício 4. Determine a derivada de y = arc sen(x2 ) e de f (x) = x arc tg(3x).
√
Exercício 5. Mostre que a função f (x) = 3 x não é derivável em x = 0.
7