Teoria das Eleições
Será que existe um modo de
contagem de votos perfeito?
Serão as eleições justas?
Como podemos analisar o peso de voto
de cada eleitor?
Teoria das Eleições
• Métodos de contagem de
votos
• Eleições em Portugal
• Sistemas de voto com
peso
• Teoria das eleições na
escola
Conceitos Básicos
Tipos de boletins que podem ser utilizados numa eleição:
Boletim de voto simples
Candidato A
Candidato B
Candidato C
Candidato D
Boletim de voto com ordem de preferência
1ª Opção
2ª Opção
___________
Candidato B
3ª Opção
4ª Opção
___________
___________
___________
Candidato A ___________
1ª Opção
Candidato B ___________
Candidato C ___________
Candidato D ___________
Conceitos Básicos
Depois da eleição feita, podemos agrupar os votos recolhidos
e formar assim a seguinte tabela:
Nº de votos
N1
N2
1ª Opção
Candidato A
Candidato B
2ª Opção
Candidato B
…
…
…
(n-1)-ésima Opção
Candidato Y
n-ésima Opção
Candidato Z
…
…
… A…
Candidato
…
…
Candidato Z …
Candidato Y …
Designamos esta tabela por tabela de preferência
Métodos de votação
Exemplo:
Eleição de um novo presidente para o departamento
de Matemática da Universidade de Coimbra.
Perfilam-se cinco candidatos que formam o seguinte
boletim de voto.
Dra. Maria Celeste Gouveia
(C)
________
Dr. Jaime Carvalho e Silva
(J)
(K)
________
(P)
(S)
________
Dr. Alexander Kovacec
Dra. Maria da Piedade Vaz
Dr. Simões Pereira
________
________
Métodos de votação
O eleitorado é constituído por 55 professores
sendo os resultados, após o acto eleitoral, os
seguintes:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Com estes resultados,
quem vai ganhar a eleição?
Dra.
Celeste
Gouveia
Dr. Kovacec
Todos podem ganhar…
Dra.
Piedade
Vaz
Dr.
Simões
Pereira
Dr. Jaime
Carvalho
e Silva
Método da Pluralidade
O vencedor é aquele que obtiver
maior número de votos em
primeiro lugar.
Método da pluralidade
Nº de votos 18 12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
3ª Opção
P
S
J
C
J
C
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
5ª Opção
C
C
P
J
C
J
J
K
K
K
K
K
O vencedor da
Candidato K - Dr. Alexander Kovacec
eleição é:
Método da pluralidade
Pluralidade
Maioria
Maioria
Pluralidade
Método da pluralidade
Constatamos então que este método
segue o seguinte critério:
Critério da maioria
Se numa eleição existe uma opção que tem a
maioria dos votos em primeiro lugar, então deve ser
considerada a vencedora.
Método da pluralidade
Será este um método perfeito
?
Vejamos as suas falhas
Método da pluralidade
O que falha neste método:
• O facto de não considerar todas as
preferências conduz a que possa haver
um candidato que, comparativamente
com os outros, seja sempre o vencedor,
perdendo no entanto a eleição.
Método da pluralidade
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
C
2ª Opção
P
J
S
J
P
P
C
S
J
S
S
C
3ª Opção
4ª Opção
S
C
P
C
S
P
P
S
S
J
P
C
P
P
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Comparando o candidato S com os restantes:
Candidato J – (33/22)
Candidato P - (28/27)
Candidato S
Candidato C – (36/19)
Candidato K – (37/18)
Método da Pluralidade
Verificamos então que este método
não respeita o seguinte critério:
Critério de Condorcet
Se houver uma opção, quando comparada
par a par é sempre a preferida, então deve ser
considerada vencedora.
Se existir um candidato em tais condições designa-se por:
Candidato Condorcet
Método da Pluralidade
• Existência de votos que possam não
revelar a verdadeira preferência dos
eleitores, influenciando o resultado da
eleição.
Nº de votos
18
18 12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Método de Borda
Numa eleição, com n candidatos, a cada um é
atribuído uma pontuação, da seguinte forma:
• n pontos
• n-1 pontos
●
●
• 2 pontos
• 1 ponto
1ª opção
2ª opção
penúltima opção
última opção
Os pontos de cada candidato são contados
separadamente e aquele que tiver maior pontuação
será o vencedor.
Método de Borda
Nº de votos
18
1ª Opção: 5 ptos K:90 ptos
12
J:60 ptos
P:72
2ª opção: 4 ptos P:
72 ptos
ptos S:48 ptos
10
9
4
2
C:50 ptos P:
P:45
45ptos
ptos S:20 ptos S:10 ptos
J:40 ptos
C:36 ptos J:16 ptos
C:8 ptos
36 ptos
ptos S:30 ptos S:27 ptos P:12
P: 12ptos
ptos P:
6 ptos
P:36
P:6
3ª Opção: 3 ptos S:54 ptos P:
20 ptos
ptos J:18 ptos
P:20
4ª Opção: 2 ptos C:36 ptos C:24 ptos P:
5ª Opção: 1 pto
J:18 ptos
K:12 ptos
K:10 ptos
K:9 ptos
C:8 ptos
J:4 ptos
K:4 ptos
K:2 ptos
Somando as pontuações temos que:
Candidato K: 90+12+10+09+04+02 = 127
Candidato P:
P: 72+36+20+45+12+06
72+36+20+45+12+06 =
= 191
191
Candidato
Candidato S: 54+48+30+27+20+10 = 189
Candidato C: 36+24+50+36+08+08 = 162
Candidato J: 18+60+40+18+16+04 = 156
O vencedor da
eleição é: Candidato P - Dra. Piedade Vaz
Método de Borda
Será este um método perfeito
Vejamos as suas falhas
?
Método de Borda
O que falha neste método:
Critério da maioria
Se numa eleição existe uma opção que
tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então
deve ser considerada a vencedora.
Critério de Condorcet
Se
houver
uma
opção,
quando
comparada par a par é sempre a preferida,
então esta deve ser considerada vencedora.
Ilustremos estas falhas através de um novo exemplo
Método de Borda
Paris
Rio de Janeiro
Barcelona
Londres
Método de Borda
Votação para os 11 amigos decidirem onde vão passar o ano:
Nº de Votos
6
3
2
1ª opção:4 ptos
Paris
Londres
Barcelona
Barcelona
2ª opção:3 ptos
Barcelona
Barcelona
Rio de Janeiro
Londres
3ª opção:2 ptos
Londres
Barcelona
Barcelona
Rio de Janeiro
4ª opção:1 pto
Rio de Janeiro
Paris
Paris
Somando as pontuações temos que:
Paris:
6x4 + 3x1 + 2x1 = 29
Barcelona:
6x3 + 3x2 + 2x4 = 32
Londres:
6x2 + 3x4 + 2x3 = 30
Rio de Janeiro: 6x1 + 3x3 + 2x2 = 19
Segundo o método de Borda, a passagem de ano será em
Barcelona, embora Paris tenha mais de metade dos votos e, sendo assim,
comparada com qualquer um dos outros destinos seja sempre a vencedora.
Concluímos assim que este método não segue nem o critério da
maioria nem de Condorcet.
Método da Pluralidade com Eliminação
Neste método o vencedor é
encontrado através da eliminação
dos candidatos até que um
obtenha a maioria dos votos
Método da Pluralidade com Eliminação
Algoritmo do método:
1º Passo: Considera-se a primeira opção dos eleitores;
•
•
Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da
eleição;
Caso contrário, elimina-se o candidato que obtenha o menor número de
votos.
2º Passo: Retira-se da lista de preferência os candidatos
eliminados e reconta-se os votos;
•
•
Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da
eleição;
Caso contrário, elimina-se novamente o candidato que obtenha o menor
número de votos.
3º Passo: Repete-se o processo até se encontrar um
candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar.
Método da Pluralidade com Eliminação
Retomemos o nosso exemplo inicial:
Nº de votos
18 12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
1º Passo: Nenhum dos candidatos tem a maioria,
elimina-se portanto o candidato com menos votos em
primeiro lugar.
O candidato S é retirado da tabela.
Método da Pluralidade com Eliminação
Ficamos então com uma nova tabela:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
J
C
2ª Opção
P
P
J
C
P
P
3ª Opção
C
C
P
J
C
J
4ª Opção
J
K
K
K
K
K
2º Passo: Mais uma vez, nenhum dos candidatos tem
a maioria, elimina-se portanto o candidato com menos
votos em primeiro lugar.
Devido à eliminação do candidato P surge uma nova tabela
Método da Pluralidade com Eliminação
3º Passo: Continua a não
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
existir um candidato com
1ª Opção K J C C J C
a maioria dos votos, logo
2ª Opção C C J J C J
procede-se novamente à
J K K K K K
eliminação do candidato
3ª Opção
com menos votos.
Devido à eliminação do candidato J temos uma nova tabela:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
C
C
C
C
C
2ª Opção
C
K
K
K
K
K
O vencedor da
eleição é:
Candidato C - Dra. Celeste Gouveia
Método da Pluralidade com Eliminação
O que falha neste método:
Critério da Monotonia
Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição
as únicas alterações nas preferências dos eleitores, são a
favor de X, então X deve permanecer o vencedor da
eleição.
Critério de Condorcet
Se houver uma opção, quando comparada par a
par é sempre a preferida, então deve ser considerada
vencedora.
Vejamos estas falhas através de um novo exemplo.
Método da Pluralidade com Eliminação
Votação para que um grupo de 29 turistas decida qual o monumento a visitar em Coimbra
Nº de votos
1ª opção
10
88
Sé Velha
Igreja
Igreja de
de Santa
Santa
Cruz
Cruz
2ª opção
Igreja de
de Santa
Santa
Igreja
Cruz
Cruz
3ª opção
Museu Machado
de Castro
Sé Velha
Museu Machado
de Castro
77
4
Museu
MuseuMachado
Machado Museu
MuseuMachado
Machado
de
deCastro
Castro
de
deCastro
Castro
Igreja
Igreja de
de Santa
Santa
Igreja
de
Santa
Cruz
Cruz
Cruz
Sé Velha
Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
Através deste método o monumento que se iria visitar era a Sé Velha.
Suponhamos
Vejamos queque
esta
oseleição
quatro tem
turistas
um da
candidato
última coluna,
condorcet,
decidiam
isto é,que
existe
a sua uma
preferência
opção que
seriaquando
a Sé Velha
comparada
e só depois
com as
o Museu
outras Machado
tem mais
de Castro.
votos de preferência.
Vejamos, com esta reeleição, qual o monumento a ser visitado?
Mostrámos assim que
Igreja
estede
método
Santanão
Cruz
satisfaz o critério de Condorcet.
Mostrámos assim que este método não satisfaz o critério da monotonia.
Método da Pluralidade com Eliminação
Existem duas variantes deste método:
Método da Corrida Final: Se não houver
um candidato com maioria então eliminam-se todos
os candidatos excepto os dois que têm maior
número de votos em primeira opção.
Método de Combs:
Se não houver um
candidato com maioria então elimina-se o
candidato com maior número de votos em última
opção.
Método da Comparação aos Pares
Todos os candidatos são comparados dois a dois.
Em cada comparação, a opção que esteja em
melhor posição num maior número de boletins
de preferência, ganha um ponto.
Em caso de empate, é atribuído meio
ponto a cada uma das opções.
O vencedor da eleição é o candidato, que
após todas as comparações efectuadas
tenha o maior número de pontos.
Método da Comparação aos Pares
Exemplo:
Nº de votos 18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Comparando o candidato K com o candidato J:
Candidato K
18
Candidato J
37
O candidato J ganha, nesta comparação, 1 ponto.
Método da Comparação aos
Pares
Após todas as comparações e soma dos pontos
atribuídos, os resultados estão expressos na seguinte tabela :
Dr. Alexander Kovacec
0 pontos
Dr. Jaime Carvalho e Silva
1 ponto
Dra. Celeste Gouveia
2 pontos
Dra. Maria da Piedade Vaz
3 pontos
Dr. Simões Pereira
4 pontos
O vencedor da
eleição é:
Candidato S – Dr. Simões Pereira
Método da Comparação aos Pares
Verificamos que este método satisfaz todos
os critérios de justiça até agora mencionados:
• Critério da Maioria
• Critério de Condorcet
• Critério da Monotonia
É este, então, o método perfeito
?!!
Método da Comparação aos Pares
Exemplo:
Pretende-se escolher o novo capitão da Académica.
Para tal os 22 jogadores do clube reúnem-se para o eleger.
Os candidatos são: Nuno Luís (L),Tonel (T), Dário (D), Pedro
Roma (P) e Rocha (R).
Vejamos a respectiva tabela de resultados:
Nº de Votos
6
4
4
4
2
1
1
1ª opção
T
T
P
R
L
D
D
2ª opção
L
L
L
D
P
T
P
3ª opção
D
P
R
P
D
L
L
4ª opção
P
R
D
T
T
P
T
5ª opção
R
D
T
L
R
R
R
Método da Comparação aos Pares
Após todas as comparações e soma dos pontos atribuídos,
os resultados estão expressos na seguinte tabela :
Nuno Luís
3 pontos
Tonel
2 + ½ pontos
Dário
2 pontos
Pedro Roma
1 + ½ pontos
Rocha
1 ponto
Com a badalada transferência de Dário para um clube dos
Emirados Árabes Unidos, o Al Jazira, o jogador fez questão de deixar bem
claro aos restantes companheiros de que não pretendia ser hipótese para
este cargo, sendo o seu nome retirado da lista.
Irá este facto contribuir para a alteração da escolha
do capitão da Académica, uma vez que a eleição já estava realizada?
Método da Comparação aos Pares
Tabela com a nova lista de preferências
Nº de votos
6
4
4
4
2
1
1
1ª opção
T
T
P
R
L
T
P
2ª opção
L
L
L
P
P
L
L
3ª opção
P
P
R
T
T
P
T
4ª opção
R
R
T
L
R
R
R
Sendo assim, os resultados finais são:
Tonel
2 + ½ pontos
Nuno Luís
2 pontos
Pedro Roma
1 + ½ pontos
Rocha
0 pontos
O novo capitão de equipa da Académica é Tonel.
Método da Comparação aos Pares
Deste modo constatamos que este método, apesar
de satisfazer todos os critérios até aqui referidos, não
verifica o seguinte critério:
Critério da Independência de Alternativas
Irrelevantes (IAI)
Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um (ou
mais) dos outros candidatos é eliminado, recontando-se assim os
votos, então X deverá continuar a vencer a eleição.
Outra falha deste método é o facto de conduzir
muitas vezes a situações de empate, que devem ser
ponderadas antes da eleição.
Comparação dos resultados
obtidos nos diferentes métodos
Vejamos que para
diferentes métodos
existem diferentes
vencedores para o cargo
de Presidente do
Departamento de
Matemática da
Universidade de
Coimbra.
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Método da Pluralidade
Dr. Alexander Kovacec
Método de Borda
Dra. Maria da Piedade Vaz
Método da Pluralidade com Eliminação
Método da Comparação aos Pares
Dra. Celeste Gouveia
Dr. Simões Pereira
Rankings
Em muitas eleições não chega conhecer
apenas o vencedor, mas encontrar a ordem
de classificação dos candidatos.
Existem dois tipos de métodos para fazer esta ordenação:
• Método de Ranking Alargado
É uma extensão natural dos métodos até agora
estudados encontrando-se não só o vencedor mas também
a classificação dos outros candidatos.
Rankings
Exemplo aplicando o método da pluralidade:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
Resultados:
Lugar
Candidato
Votos em 1º lugar
1º
K
18
2º
J
12
3º
C
10
4º
P
9
5º
S
6
Rankings
• Método de Ranking Recursivo
Para este método usamos uma estratégia de ordenação dos
candidatos designada por aproximação recursiva.
• Utilizamos um determinado método X para eleger o
vencedor;
• Removemos o nome do vencedor da lista de
preferências e aplica-se novamente o método. O novo
vencedor é o segundo classificado da eleição;
• Aplicando sucessivamente o ponto anterior, encontramse os restantes lugares da eleição.
Rankings
Exemplo aplicando o método da pluralidade:
1º Passo:
Nº de votos
18 12 10 9
4
2
1ª Opção
K
J
C
P
S
S
2ª Opção
P
S
J
C
J
C
3ª Opção
S
P
S
S
P
P
4ª Opção
C
C
P
J
C
J
5ª Opção
J
K
K
K
K
K
O primeiro lugar da eleição é ocupado pelo candidato K.
Rankings
2º Passo:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
P
J
C
P
S
S
2ª Opção
S
S
J
C
J
C
3ª Opção
C
P
S
S
P
P
4ª Opção
J
C
P
J
C
J
O segundo lugar da
eleição é ocupado
pelo candidato P.
3º Passo:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª Opção
S
J
C
C
S
S
2ª Opção
C
S
J
S
J
C
3ª Opção
J
C
S
J
C
J
O terceiro lugar da
eleição é ocupado pelo
candidato S.
Rankings
4º Passo:
Nº de votos
18
12
10
9
4
2
1ª opção
C
J
C
C
J
C
2ª opção
J
C
J
J
C
J
O quarto lugar da
eleição é ocupado pelo
candidato C.
A classificação geral segundo o Método da Pluralidade Recursivo é:
1º lugar
Dr. Alexander Kovacec
Dr. Alexander Kovacec
2º lugar
Dra. Maria Piedade Vaz
Dr. Jaime Carvalho e Silva
3º lugar
Dr. Simões Pereira
Dra. Maria Celeste Gouveia
4º lugar
Dra. Maria Celeste Gouveia
Dra. Maria Piedade Vaz
5º lugar
Dr. Jaime Carvalho e Silva
Dr. Simões Pereira
Note-se que os resultados deste método são diferentes dos
obtidos para o método da pluralidade alargado.
Conclusões
• O método escolhido para uma eleição influencia o seu
resultado;
• Dos métodos apresentados até agora todos apresentam
falhas não havendo nenhum que satisfaça todos os
critérios até agora referidos;
Haverá algum método perfeito
?
Teorema da Impossibilidade de Arrow
Para eleições envolvendo três ou mais candidatos
é matematicamente impossível encontrar um método,
democrático e justo, para determinar o vencedor.
Eleições em Portugal
Método de Hondt
Método de Hondt
Algoritmo:
1º Passo: Determina-se o número de votos que cada lista
obteve no respectivo círculo eleitoral;
2º Passo: Divide-se o número de votos de cada lista por
1,2,3, etc., (até ao número N de mandatos a atribuir),
construindo assim uma tabela em que se colocam estes
valores por ordem decrescente;
3º Passo: Selecciona-se os N maiores valores da tabela;
4º Passo: Distribui-se os mandatos pelas listas, conforme o
número de valores seleccionados anteriormente.
Nota: Se para a última selecção houver dois ou mais valores iguais, escolhese aquele pertencente à lista com menor número de votos na eleição.
Método de Hondt
Nas eleições legislativas de 2002, no distrito de Coimbra,
existiam 10 mandatos para atribuir.
Vamos então seguir o algoritmo descrito anteriormente
para este exemplo:
1º Passo: A tabela seguinte representa a distribuição de votos pelas listas
Lista
Votos
PS
96795
PPD/PSD
89245
CDS-PP
22405
PCP-PEV
19359
Método de Hondt
2º Passo: Efectuar a divisão e representar na respectiva tabela
Dividir por:
PS
PPD/PSD
CDS-PP
PCP-PEV
1
96795
89245
22405
19359
2
48397,5
44622,5
11202,5
9679,5
3
32265
29784,3
7648,3
6453
4
24198,8
22311,3
5601,3
4839,8
5
19359
17849
4481
3871,8
6
16132,5
3º Passo:Selecção dos dez maiores valores da tabela
Método de Hondt
4º Passo: Distribuição dos mandatos pelas listas
Lista
Mandatos
PS
4
PPD/PSD
4
CDS-PP
1
PCP-PEV
1
Conceitos Básicos
Elementos a ter em conta neste sistema de votação:
Jogadores (P1,P2,…,PN)
Peso dos jogadores (W1,W2,…WN)
Eleitores
Número de votos que cada
jogador controla
Apresentação
de
um
assunto para ser discutido
em assembleia
Moção
Quota (q)
Número de votos que são
necessários para uma
moção ser aprovada
A forma de descrever um sistema de votos com peso é:
[q:w1,w2,...,wN]
A quota surge em primeiro lugar seguida dos pesos dos participantes.
Conceitos Básicos
Todo o jogador que tiver peso de voto
igual ou superior à quota
Ditador
Quando houver um ditador, chamamos neutros aos
outros jogadores por não terem influência no resultado.
Exemplo:
[11:12,5,4]
Quota
Jogadores neutros
Ditador
Conceitos Básicos
Poder de Veto
Um jogador tem poder de veto se a soma do peso de voto
dos restantes jogadores não for suficiente para aprovar uma
moção.
Exemplo:
[12:9,5,4,2]
Jogador
com poder
de veto
Sistema de voto com peso
Vamos analisar dois processos para determinar o poder de cada jogador:
• Índice de Poder de Banzhaf
• Índice de Poder de Shapley - Shubik
Qual será o poder de cada votante?
Como determinar matematicamente esse poder?
Índice de Poder de Banzhaf
Definições:
Coligação – todo o conjunto de jogadores que unam forças
para votar em conjunto
Peso da coligação – número total de votos controlado por uma
coligação
Coligações vencedoras – coligações que reúnem o número
suficiente de votos para aprovar uma moção
Grande coligação – coligação formada por todos os elementos
Jogador crítico – jogador que ao abandonar a coligação
vencedora a torna perdedora
Índice de Poder de Banzhaf
O
poder
do
jogador
é
proporcional ao número de coligações
para as quais ele é crítico, quantas
mais vezes ele é um jogador crítico
mais poder ele tem.
Índice de Poder de Banzhaf
Exemplo:
Determinemos o índice de poder de Banzhaf para o seguinte
sistema de votação
[101:99,98,3]
Algoritmo:
1º Passo: Fazer a lista de todas
as coligações possíveis;
2º Passo: Determinar as
coligações vencedoras;
3º Passo: Determinar os
jogadores críticos em cada
coligação;
Coligações
Peso da
Coligação
Ganha / Perde
{P1}
99
Perde
{P2}
98
Perde
{P3}
3
Perde
{ P1 , P2 }
197
Ganha
{P1 , P }
102
Ganha
{ P2, 3P3}
101
Ganha
{P1,P2,P3}
200
Ganha
Índice de Poder de Banzhaf
4º Passo: Determinar o
número de vezes que
um jogador é crítico
(BN);
5º Passo: Contar o
número total de vezes
que todos os jogadores
são críticos (T).
P1 é crítico duas vezes
B1=2
P2 é crítico duas vezes
B2=2
P3 é crítico duas vezes
B3=2
B1+B2+B3 = 6 =T
O Índice de poder de Banzhaf é dado por :
BN
T
P1 : 2/6
33.(3) %
P2 : 2/6
33.(3) %
P3 : 2/6
33.(3) %
Índice de Poder de Banzhaf
Exemplo:
O Sr. João, o Sr. Carlos e a D. Rosa são proprietários de
um café. Quando é preciso decidir sobre algum assunto, nem
todos têm o mesmo poder de decisão. O Sr. João tem direito a 3
votos, a D. Rosa a 2 votos e o Sr. Carlos tem direito a um voto.
Num determinado dia surgiu a hipótese de mudarem as
instalações, mas nem todos estavam de acordo, por isso,
procedeu-se a uma votação.
Para que uma decisão seja aceite são precisos
4 dos 6 votos (q=4) .
Estamos assim perante um sistema de voto com peso da forma:
[4:3,2,1]
Determinemos a distribuição de poder de Banzhaf deste sistema de votação.
Índice de Poder de Banzhaf
Coligações
Peso da Coligação
Ganha / Perde
{João}
3
Perde
{Rosa}
2
Perde
{Carlos}
1
Perde
{João, Rosa}
5
Ganha
{João, Carlos}
4
Ganha
{Rosa, Carlos}
3
Perde
{ João , Rosa, Carlos}
6
Ganha
Distribuição do poder de Banzhaf:
Sr. João :
3/5
60 %
D. Rosa : 1/5
20 %
Sr. Carlos : 1/5
20 %
Índice de Poder de Shapley - Shubik
Definições:
Coligação sequencial: constituída por vários jogadores que
vão entrando sucessivamente na coligação.
Vejamos que a ordem da sequência de jogadores é muito importante.
Pivot: é aquele jogador que no momento em que se associa
a uma coligação perdedora a torna vencedora.
Notação:
< , , >- indica que a coligação é sequencial
Nota:
{P1,P2,P3}
< P1,P2,P3 >
Índice de Poder de Shapley - Shubik
Algoritmo:
1º Passo: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais
contendo N jogadores. Existem N! coligações.
2º Passo: Em cada coligação sequencial determinar o pivot. Existe
um em cada coligação.
3º Passo: Contar o número de vezes em que P é pivot e denominar
esse número por S.
O indicador de poder de Shapley-Shubik do eleitor P é:
S
N!
Índice de Poder de Shapley - Shubik
Exemplo:
Retomemos o exemplo do café do Sr. João, do Sr. Carlos e da D. Rosa.
Temos então o seguinte sistema de votação:
[4:3,2,1]
Vamos então seguir o algoritmo descrito anteriormente.
1º Passo:
Coligações sequenciais
2º Passo:
Pivot
< João, Carlos, Rosa>
Carlos
< João, Rosa, Carlos >
Rosa
< Carlos, João, Rosa>
João
< Carlos, Rosa, João>
João
< Rosa, João, Carlos>
João
< Rosa, Carlos, João>
João
Índice de Poder de Shapley - Shubik
3º Passo:
Sr. João é pivot 4 vezes
D. Rosa é pivot 1 vez
Sr. Carlos é pivot 1 vez
Distribuição do poder de Shapley – Shubik:
Sr. João :
4/6
66,(6) %
D. Rosa :
1/6
16,(6) %
Sr. Carlos : 1/6
16,(6) %
Conclusões
Verificamos que a distribuição de poder dos dois índices é diferente:
Banzhaf
Shapley - Shubik
Sr. João : 60%
Sr. João : 66,(6)%
D. Rosa : 20%
D. Rosa : 16,(6)%
Sr. Carlos : 20%
Sr. Carlos : 16,(6)%
Podemos ainda concluir que:
• Segundo o índice de poder de Banzhaf um jogador entra e sai
quando quer.
• Segundo o índice de poder de Shapley – Shubik um jogador
entra na coligação para assumir um compromisso de
permanência.
Teoria das eleições na escola
Este tema fará parte de uma nova disciplina designada por
“Matemática Aplicada
às Ciências Sociais”, do 10º ano de
escolaridade, destinada aos cursos:
- Geral de Ciências Sociais e Humanas, como opcional;
- Tecnológico de Ordenamento do Território, como obrigatória.
FIM.
Obrigado!!!