CENTRO DE IMPULSÃO, P6237
1. INTRODUÇÃO
O estudo de forças de pressão que actuam em superfícies submergidas é um tópico
fundamental no assunto de hidrostática, onde se relaciona a força de impulsão resultante
e o conceito de centro de pressão.
2. DESCRIÇÃO
O equipamento, Centro de Pressão – P6237, consiste essencialmente em um quadrante
de um toroide que gira pela sua linha de centro através de um braço de equilíbrio sobre
um tanque de água, como se mostra na figura 1. O quadrante tem as seguintes
dimensões: 100mm raio interno, 200mm raio exterior e 75mm de largura. Está montado
no braço de equilíbrio de forma que a sua face rectangular é vertical e as duas faces
encurvadas são concêntricas com a linha de acção; assim, das forças hidrostáticas que
actuam no quadrante quando submerso, só a força na face rectangular dá lugar a um
momento sobre o eixo da extremidade. Além do quadrante que é fixo por um parafuso,
o braço de equilíbrio incorpora um prato de balança e um contrapeso ajustável.
O nível de água é indicado pela escala graduada sobre a face lateral do quadrante. A
escala está dividida no topo da face para indicar a mudança de imersão parcial para
total.
Figure 1 Centro de Pressão
3. TEORIA
Lista de Símbolos
m2
a
Área
A
altura vertical de extremidade desde a superfície da m
água
B
largura do elemento infinitesimal
m
b
largura do quadrante
m
d
altura do quadrante “end face”
m
F
força total na superfície
N
g
aceleração gravítica (9,807)
m/s2
H
Altura de actuação no elemento infinitesimal
m
H
profundidade do centro de gravidade
m
HP
profundidade do centro de pressão
m
L
Comprimento do braço de equilíbrio
m
M
Massa do braço de equilíbrio
g
N/m2
P
pressão média que actua na superfície
X
distância do elemento infinitesimal desde a origem m
O
X
distância do centro de gravidade desde a origem O
m
XP
distância de centro de pressão desde a origem O
m
y
profundidade da menor extremidade do quadrante
m
largura do elemento infinitesimal
m
ângulo entre a superfície líquida e plano submerso
graus
densidade do líquido (água 998 às 20°)
kg/m3
ρ
3.1 Relação entre Pressão e Profundidade.
Considere um cilindro vertical parcialmente enchido com um
líquido para uma altura h como se mostra na figura 2. Se a
área transversal do cilindro é A então o volume de líquido no
cilindro será V = H.A. Se a densidade do líquido é ρ, então o
peso do líquido será γ = ρ.g.H.A e a pressão na base do líquido
será P =
ρ . g .H . A
A
= ρ . g .H
A pressão em qualquer ponto no cilindro será devida ao peso de líquido sobre aquele
ponto, de forma que a pressão aumenta com a profundidade de acordo com a relação
P = ρ . g .H
3.2 Pressão que actua em uma Superfície Submersa.
Considere uma superfície plana de área A totalmente submergida em um líquido e
segundo um ângulo θ à superfície da água. A força que actua em qualquer parte da
superfície superior da área é devida ao peso do líquido sobre aquela parte e desde que a
área não esteja na horizontal, as forças serão maiores nas partes mais fundas que nas
partes superiores.
Figure 3 Superfície Submersa
Considere um elemento infinitesimal B, largura δX, área δA, distância X desde O e à
profundidade H. A pressão que actua no elemento infinitesimal é
δ P = ρ .g .H = ρ .g . X .sin θ
A força total que actua no elemento infinitesimal será
δ F = δ P.δ A = ρ .g . X .sin θ .B.δ X
Ou seja, a força total que actua numa superfície em geral pode ser determinada
integrando a equação
F = ρ .g .sin θ ∫ X .B δ X
Mas
∫ X .B δ X =
Momento da area em torno de O = X . A
Então, F = ρ .g.sin θ . X . A
Mas
X .sin θ = H
F
= ρ .g.H = P
A
A pressão média na área é então igual à pressão que actua na superfície no centro de
gravidade.
3.3 Centro de Pressão de uma Superfície Submersa
A posição do centro de pressão é determinada pelos momentos em relação a O.
Considerando o momento produzido pela pressão que actua sobre o elemento
infinitesimal e integrando
Momento = ∫ ρ .g .H .B.δ X . X
= ∫ ρ .g . X .sin θ .B.δ X . X
= ρ .g .sin θ ∫ X 2 .B.δ X
= ρ .g .sin θ .I o
Como,
∫X
2
.B.δ X = momento de inercia, I o
O momento total devido à pressão de água na superfície de vertical também será dado
pela força total que actua no centro de pressão,
Momento = F . X p = ρ .g.sin θ . X . A. X p
Igualando estas duas expressões para o momento sobre a extremidade da superfície (em
forma de faca):
ρ .g .sin θ . X . A. X p = ρ .g .sin θ .I o
X . A. X p = I o
Então, X p =
Io
X .A
Recorrendo ao teorema de eixo paralelo
Xp =
A. X 2 + I CG
I
= X + CG
A. X
A. X
A distância entre o centro de pressão e o centro de gravidade é determinada por
Xp − X =
I CG
A. X
Ou
Hp
sin θ
−
Hp
sin θ
=
I CG
I
.sin θ ⇔ H p − H = CG .sin 2 θ
A. X
A. X
3.4 Utilização do P6237 – Centro de Pressão
Figure 4 Equipamento experimental
De acordo com a figura 4, considere as forças que resultam da actuação dos momentos
sobre a viga e a parte submergida do modelo em relação ao parafuso. As pressões nas
superfícies encurvadas do lado direito actuam segundo determinados ângulos, mas o
design do modelo assegura que estas forças atravessam a linha de acção não exercendo
nenhum momento. A pressão hidrostática na superfície vertical exerce uma força F no
centro de pressão que está à profundidade Hp (em relação à superfície livre). O
momento resultante é então determinado por
F.( a + d − y + H p )
e é contrabalançado pelo peso da massa M no braço de equilíbrio à distância L da
extremidade.
M . g .L
Considerando separadamente agora os casos de imersão parcial e imersão completa:
3.4.1 Imersão parcial.
Quando a face vertical do quadrante só é submergida parcialmente as propriedades
geométricas da porção molhada são:
Área, A = b. y
Profundidade do Centro de gravidade, H =
Momento de Inércia, I o =
b. y 3
12
y
2
y3
I
y
2. y
Profundidade de Centro de Pressão, H p = H + o = + 12 =
A.H 2 b. y. y
3
2
b.
A força que actua na parte submergida da superfície do modelo é
F = ρ . g .H . A
=
ρ .g . y
2.b. y
= 1 .ρ .g .b. y 2
2
Momentos em relação à extremidade
M . g .L = F . ( a + d − y + H p )
Substituindo por Hp e reorganizando a equação, podemos determinar a força que actua
na superfície molhada com base nos resultados experimentais de M e y
F=
M . g .L
a+d − y+
2y
3
=
M . g .L
y
a+d −
3
que pode ser comparado então com o resultado teórico
F = 1 ρ .g.b. y 2
2
3.4.2 Imersão completa
Quando a superfície completamente as propriedades da face submergida são:
Área, A = b.d
Profundidade do Centro de gravidade, H = y −
Momento de Inércia, I o =
d
2
b.d 3
12
d3
I
d
d
d2
Profundidade de Centro de Pressão, H p = H + o = y − + 12 = y − +
A.H
2 b.d .H
2 12 H
b.
A força que actua na superfície é:
d⎞
⎛
F = ρ .g .H . A = ρ .g . ⎜ y − ⎟ b.d
2⎠
⎝
Momentos em relação à extremidade
M . g .L = F . ( a + d − y + H p )
Substituindo por Hp e reorganizando a equação, podemos determinar a força que actua
na superfície molhada com base nos resultados experimentais de M e y
F=
M . g .L
a+d − y+ y−
d
2
=
M . g .L
d
a+
2
que pode ser comparado então com o resultado teórico
d⎞
⎛
F = ρ .g ⎜ y − ⎟ .b.d
2⎠
⎝
4. EXPERIÊNCIA – CENTRO DE IMPULSÃO
Objectivo Investigar a pressão que actua em uma superfície submergida e determinar a
posição do centro de pressão.
Preparação de equipamento. Posicione o equipamento na superfície de trabalho da
bancada de hidrostática e ajuste os pés para nivelar a base. Conecte um tubo de
mangueira ao dreno e dirija a outra extremidade para o tubo de descarga do tanque.
Procedimento experimental.
1. Se necessário medir as dimensões a, b e d do quadrante, e a distância entre o pivot e o
cabide de massas, L. Molhe ligeiramente a balança para reduzir os efeitos de tensão
superficial.
2. Insira o quadrante no tanque posicionando o braço de equilíbrio nas extremidades.
Ajuste o contrapeso até o braço de equilíbrio estar na horizontal, como indicado no
indicador de nível de dados.
3. Adicione todas as massas ao prato de balança. Encha o tanque de água até a viga estar
em equilíbrio. Drene uma quantidade pequena de água até o braço metálico ficar na
horizontal. Não nivele o braço de equilíbrio por ajuste do contrapeso. Registe o nível de
água indicado na balança.
4. Remova uma ou mais massas do portador de peso e nivele o braço de equilíbrio
drenando mais da água. Quando o braço estiver nivelado registe a profundidade de
imersão indicada na balança no quadrante.
5. Repita este procedimento até ficar sem pesos.
Resultados e Análise
1. Registe os resultados em uma cópia da folha de resultados provida.
2. Para cada resultado calcule a força na superfície a partir das massas no prato de
pesos, calcule a força teórica na superfície a partir da profundidade de imersão, e calcule
a profundidade do centro de pressão.
Folha de resultados