6 – FORÇAS DISTRIBUÍDAS
EME 311
Mecânica dos Sólidos
- CAPÍTULO 6 -
6.1 – Forças em Superfícies Submersas;
6.1.1 – Embarcações;
6.1.2 – Pressão de fluidos;
6.1.3 – Placas ou barragens planas;
6.1.4 – Placas ou barragens curvas;
Profa. Patricia
Email: [email protected]
IEM – Instituto de Engenharia Mecânica
UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
6.2 – Forças em Linhas;
6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
6.1 – Forças em Superfícies Submersas
6.1.1 – Embarcações
São resultantes das pressões hidrostáticas
exercidas por um líquido sobre um corpo
submerso, através das diversas áreas
elementares consideradas.
Definição:
Corpos estáticos, parcialmente submersos
(flutuantes), que atingem uma dada posição de
equilíbrio estável.
São portanto proporcionais à profundidade de
localização e dirigidas segundo as normais
(perpendiculares) de cada elemento de área em
questão.
x
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
2
3
z
dV
dA
p
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.1 – Embarcações
6.1.1 – Embarcações
O corpo submerso apresenta um número infinito
de elementos de volume:
Para um líquido homogêneo, o peso específico
é constante. Logo, a força total na embarcação
será:
dV = zdA
F = ∫ dF = ∫ ( − ) γ dV = −γ ∫ dV = −γ V
dA – área elementar de contato com o líquido,
tomada na horizontal;
z – profundidade de dA, tomada na vertical.
V
x
dV
z
V
o sinal negativo indica que o sentido da força é
voltado para cima;
V é o volume do fluído deslocado pelo corpo;
Esta força é conhecida como força de empuxo.
dA
p
5
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
6.1.1 – Embarcações
V
∫ dV
6
6.1.1 – Embarcações
As coordenadas de um ponto da linha de ação da
força de empuxo podem ser determinadas por:
xc = ∫ xdV
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
yc = ∫ ydV
V
V
Estabilidade do corpo flutuante:
∫ dV
V
A posição estável é atingida quando a linha de
ação do peso P do corpo coincide com a linha de
ação da força de empuxo F;
O centro de empuxo (ou flutuação), por:
zc = ∫ zdV
V
P
∫ dV
G
V
Estas coordenadas coincidem com o centróide de volume
deslocado.
C
F
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.1 – Embarcações
Exemplo 1
Estabilidade do corpo flutuante:
Apresentado em aula no quadro!
Caso contrário, existirá um momento que girará o
corpo, tendendo a colocá-lo na posição estável.
P
P
M
M C
G
G
C
F
F
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.2 – Pressão de fluidos
10
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
6.1.2 – Pressão de fluidos
Pela lei de Pascal, um fluído em repouso cria
em um ponto uma pressão p que é a mesma
em todas as direções.
A pressão varia linearmente com a profundidade
Ponto B
p1 = γ z1
A pressão de um fluído pode ser determinada
por:
p =γz
Ponto C e D
p2 = γ z2
γ – peso específico do corpo;
Z – profundidade do ponto até a superfície do fluído;
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Definição:
A distribuição
de pressão
sobre a
superfície da
placa = volume
do diagrama de
carga que
depende do tipo
da barragem.
As barragens são estruturas estáticas e rígidas de
materiais diversos, usados para represar as águas
de um curso qualquer.
Normalmente possuem comportas de escape do
fluído, para o devido controle do nível adequado.
C – centroide do volume
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
A força resultante:
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
Para barragens ou comportas retangulares
(onde a largura L é constante), a força
resultante pode ser calculada como:
igual ao volume desse diagrama de carregamento;
linha de ação passa pelo centróide do volume (centro
de pressão).
FR = VDP = ADP L
ADP – área do diagrama de pressão;
L – largura.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
A área do diagrama de pressão será:
Barragens inclinadas e retangulares:
FR = ADP L
FR = ADP L
1
1

FR =  γ hh  L = γ h 2 L
2
2

h
FR
γ hh
γ h2 L
FR =
L=
2sen θ
2sen θ
h
θ
γh
γh
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Comporta abcd:
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Largura da comporta
Se a barragem for plana, mas não retangular
(L não constante), as equações definidas
anteriormente não são mais válidas.
FR = ADP Lo
h2
FR =
h1
a
h0
b
γh1 F
R
γh2
( γ h1 + γ h2 ) h L
o
2
γh L
= o o ( h1 + h2 )
2
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
o
=
Podemos usar:
F = pCG Am
F = γ zA
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Para a barragem plana com L constante:
Na barragem inclinada:
FR = PCG Am
Força resultante do fluído na
parede da barragem:
F = pCG Am
Pressão no centro de gravidade
da área molhada da barragem
h
FR
pCG = γ
γh
Área molhada
h
2
h
θ
Am = Lh
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
γh
 h  h

FR =  γ 
L
 2   senθ 
γ h2 L
FR =
2senθ
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Ponto de aplicação da força F na barragem:
Ponto de aplicação da força F na barragem:
M o = Fd
- devido a força F:
B
o
y
h
dF
dy
C
F
d
Como F foi obtida pela
integração dos elementos
dF ao longo da área
molhada, os momentos
produzidos num ponto
qualquer da barragem
deverão ser os mesmos.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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B
o
y
h
- devido ao elemento dF
h
dF
dy
h
M o = ∫ ydF = ∫ yγ yLdy
0
d
=
F
0
γ Lh
3
3
=
2F
h
3
- igualando
C
Fd =
2F
2
h ⇒ d = h = yDP
3
3
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Ponto de aplicação da força F na barragem:
Na barragem inclinada:
Na direção O’C’
B
o
y
h
dF
dy
Logo, o ponto de aplicação
da força resultante coincide
com o centróide do
diagrama de pressões,
estando localizado sempre
abaixo da área molhada.
d
F
O’
C’
a
h0
b
γh1
A1 – área do triângulo;
FR
γh2
d = yDP =
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
2
h
3
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A força resultante F atua sempre na direção
perpendicular à superfície plana da barragem e,
como provado, concentrada no centróide do
diagrama de pressões, ou seja, “passando pelo
centróide”.
 A y + A2 y2 
d = yDP = h1 +  1 1

 A1 + A2 
h2
γh
6.1.3 – Placas ou barragens planas
Comporta abcd:
h1
Na vertical
θ
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6.1.3 – Placas ou barragens planas
2 h
3 senθ
h
C
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
d = yDP =
O conceito mostrado estende-se para o caso
de barragens inclinadas, mas não para as
curvas que serão mostradas na próxima seção.
A2 – área do retângulo.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
28
6.1.4 – Placas ou barragens curvas
Exemplo 2
Pressão atuante
normal à curva
muda continuamente de direção.
Apresentado em aula no quadro!
A intensidade da
força resultante e
sua direção são
mais difíceis de
calcular do que
para uma placa
plana.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
30
6.1.4 – Placas ou barragens curvas
Exemplo 3
Contudo, existe um método que requer cálculos
separados para os componentes horizontal e
vertical da força resultante.
Apresentado em aula no quadro!
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
32
6.1.4 – Placas ou barragens curvas
6.1.4 – Placas ou barragens curvas
Para os casos a seguir, vamos determinar a
intensidade e a localização da força resultante
por meio deste método.
(1)
Para os casos a seguir, vamos determinar a
intensidade e a localização da força resultante
por meio deste método.
(2)
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
(3)
33
(4)
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.2 – Forças em Linhas
Exemplo 4
São forças distribuídas provindas de certas
considerações da prática, desde que se possa
desprezar a seção transversal do corpo em face
à relevante dimensão de seu comprimento.
Apresentado em aula no quadro!
Vigas esbeltas, cabos de transmissão de
energia, pressão do vento, chuva numa
chaminé alta e delgada, peso nos membros de
uma treliça devido suas massas etc.
Unidade: (força/comprimento)
Distribuição total fornecerá a resultante do
sistema em unidade de força.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.2 – Forças em Linhas
6.2 – Forças em Linhas
Seja calcular a resultante que atua no sistema
O ponto de aplicação da resultante
M (wO ) = ∫ xdF = ∫ x ( wdx ) = ∫ xdA
dF = w( x)dx
M (FOR) = FR x
L
F = ∫ w( x)dx = ∫ dA = A
0
l
Igualando
∫ xdA = F x
∫ xdA = ∫ xdA
x=
Intensidade da força
resultante é igual área
total sob o diagrama de
carga.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
R
FR
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A
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
Exemplo 5
Exemplo 6
Determine a intensidade e a localização da força resultante
equivalente que atua no eixo mostrado.
O material granuloso provoca o carregamento distribuído
sobre a viga, como mostrado na figura. Determine a
intensidade e a resultante equivalente.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas
Exemplo 7
Apresentado em aula no quadro!
Também chamadas de vigas Gerber:
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Exemplo 8
Apresentado em aula no quadro!
“Mas se a terceira equação da estática
conceitua ser zero o momento fletor em
qualquer ponto tomado, este conceito não
abrangeria inclusive a rótula existente no
sistema?”
Número total de equações: três equações da estática +
número de rótulas.
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6.2.1 – Vigas isostáticas rotuladas
possuem folgas nas rótulas (ex.: juntas de dilatação
em vigas de concreto ou trilhos de aço etc.);
na rótula, o momento fletor é NULO, devido à
flexibilidade de giro que cada trecho adjacente à rótula
possui
A equação da estática ( ∑ M i = 0 ) – viga toda;
A equação na rótula ( ∑ M R = 0 ) – apenas um lado da
rótula.
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Exemplo 9
Apresentado em aula no quadro!
Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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Capítulo 6 - Forças Distribuídas
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