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UNIDADE 2 – VETORES E FÍSICA
Exercı́cios 1 – Vetores
1. Na figura abaixo está representada, vista do alto, uma sala quadrada
de paredes com 5 metros de comprimento. Você entra na sala pela
porta, em A, e anda ao longo da parede AB por 4 metros, até o ponto
P, e depois paralelamente à parede BC por mais 3 metros, até o ponto
Q.
Represente graficamente estes deslocamentos, e marque na figura os
pontos P e Q. Qual a distância que você percorreu? A que distância
do ponto de partida você chegou?
Estabeleça um sistema de coordenadas (x, y) com origem no ponto A,
eixo x ao longo da parede AB e eixo y ao longo da parede AD. Escreva
as coordenadas (x, y) dos pontos P, Q, A, B, C e D.
Quanto vale o cosseno do ângulo que a direção AQ faz com a direção
AB? E o seno deste ângulo?
2. Suponha que você ande sobre um terreno plano percorrendo as seguintes distâncias nas direções indicadas, em qualquer ordem possı́vel e
sucessivamente:
3 metros para leste;
2 metros para norte;
3 metros para oeste.
A que distância do ponto de partida você chegará ao fim da caminhada?
TópFı́sBás – Un.2 — p. 2
3. Um automóvel percorre 50 km para leste e, depois, 30 km para nordeste
num terreno plano. Desenhe os deslocamentos num plano, representando-os como vetores. Desenhe e calcule o vetor deslocamento resultante.
Calcule a distância percorrida. Calcule também a distância percorrida
se o automóvel fosse em linha reta do ponto de partida ao ponto de
chegada.
4. Na figura está representada a trajetória num plano de um carro que se
move indo do ponto A ao ponto D.
(a) Represente as coordenadas (x, y) dos pontos A, B, C e D da trajetória percorrida.
(b) Escreva, em termos dos vetores unitários ı̂ e ̂ das direções x e y e
das componentes dos vetores ao longo destes eixos, os vetores que
representam as posições em relação ao ponto O dos pontos A, B,
C e D.
(c) Represente em termos destes unitários os vetores deslocamento
entre A e B, entre B e C, entre C e D, e entre A e D.
(d) Escreva o vetor deslocamento que representa a volta de D para A.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 3
5. A figura a seguir representa um bloco de massa m em repouso sobre
uma mesa. A mesa está fixa em um elevador acelerado verticalmente
e a força
para cima. Sobre bloco atuam a força normal de contato N
peso P .
Marque com um X as afirmativas falsas, justificando suas respostas:
=N
− P .
(a) A força resultante sobre o bloco é R
=N
+ P .
(b) A força resultante sobre o bloco é R
(c) O módulo da força resultante sobre o bloco é R = N − P .
(d) O módulo da força resultante sobre o bloco é R = N + P .
(e) A intensidade da força resultante sobre o bloco é R = N + P .
(f) A força resultante sobre o bloco é nula.
(g) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção
y − Py .
do eixo y é Ry = N
(h) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção
y + Py .
do eixo y é Ry = N
(i) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo
y é Ry = Ny − Py .
(j) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo
y é Ry = N − P .
TópFı́sBás – Un.2 — p. 4
6. A figura abaixo representa um bloco de massa m sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo θ com a horizontal. Sobre bloco atuam
e a força peso P .
a força normal N
Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas.
=N
− P .
(a) A força resultante sobre o bloco é R
=N
+ P .
(b) A força resultante sobre o bloco é R
(c) O módulo da força resultante sobre o bloco é R = N − P .
(d) O módulo da força resultante sobre o bloco é R = N + P .
(e) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo
y é sempre Ry = Ny − Py .
(f) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo
y é sempre Ry = Ny + Py .
(g) A componente da força peso na direção x é P senθ.
= −P cos θ.
(h) O vetor normal é N
= P cos θ.
(i) O vetor normal é N
= P cos θ.
(j) O vetor normal é N
(k) O vetor força resultante sobre o bloco é nulo.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 5
7. Dados os vetores
a = ı̂ + ̂
b = ı̂ − ̂
desenhe-os num plano (x, y) e determine:
(a) a + b ;
(b) a − b ;
(c) os módulos de a e b ;
(d) o módulo dos vetores a + b e a − b ;
(e) os ângulos formados por a e b com os eixos x e y definidos pelos
unitários ı̂ e ̂ ;
(f) o unitário da direção formada por a + b;
(g) o ângulo formado por a e b.
8. Dados os vetores
a = ı̂ + 4̂ − 5k̂
b = 3ı̂ − 2̂ − 3k̂
c = 4ı̂ − 2̂ − 3k̂
determine:
(a) a + b + c ;
(b) a − b + c ;
(c) os módulos de a e de b ;
(d) o módulo de a + b ;
(e) os ângulos formados por a com os eixos x, y e z (definidos pelos
unitários ı̂, ̂ e k̂);
(f) o unitário da direção definida por a + b .
TópFı́sBás – Un.2 — p. 6
9. O vetor posição r de um ponto no plano xy também pode ser caracterizado por seu módulo r = |r| e pelo ângulo θ que ele faz com o eixo x.
Esta representação (r, θ) é chamada de representação em coordenadas
polares, e a representação em coordenadas (x, y) de representação em
coordenadas cartesianas. Podemos associar a estas coordenadas polares
dois vetores unitários r̂ e θ̂, como especificados na figura.
Expresse:
(a) o vetor posição r em função dos unitários ı̂ e ̂ ;
(b) o vetor posição r em função dos unitários r̂ e θ̂ ;
(c) os unitários r̂ e θ̂ em função dos unitários ı̂ e ̂ ; e
(d) os unitários ı̂ e ̂ em função dos unitários r̂ e θ̂.
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Exercı́cios 2 – Vetores Novamente
1. Represente em termos dos unitários ı̂, ̂ das direções x, y os vetores
representados na figura.
2. Considere os vetores:
a = 3ı̂ + 2̂
b = −ı̂ + 2̂
c = 2ı̂ − ̂
d = −2ı̂ − 3̂
(a) Represente cada um destes vetores num plano (x, y).
(b) Represente neste plano os vetores a + b e − 2c.
(c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores
(i) a
(ii) b
(iii) d
(iv) a + b
(v) 3c
(vi) a − 2 b
(vii) c + d
3. O produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a dois
vetores a e b um número real de valor igual a a b cos θ , onde θ é o
ângulo entre a e b , medido de a para b . Usa-se a notação • para
representar o produto escalar. Da figura e da definição, observa-se que
TópFı́sBás – Un.2 — p. 8
a • b = a b cos θ = a ba ,
onde ba é a projeção de b sobre a direção definida por a .
Demonstre que
(a) a • a = a2.
(b) Se a = 0, b = 0, então a • b = 0 ⇔ a⊥b.
(c) î • ̂ = 0 ; ı̂ • ı̂ = 1 ; ̂ • ̂ = 1 .
(d) ax = a • ı̂
(e) a • b = b • a
(f) a • b + c = a • b + a • c.
(g) Se a = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂ e b = bx ı̂ + by ̂ + bz k̂ , então
a • b = ax bx + ay by + az bz
4. Para a = ı̂ − 2̂ , b = 2ı̂ + 3̂ e c = −ı̂ + ̂ calcule
(a) a + b
(b) − 3c
(c) 2a − b
(d) a • b + c
(e) b • (a − 2c)
5. Um bloco de massa m está apoiado e em repouso sobre um plano inclinado de um ângulo α em relação à horizontal.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 9
(a) Isole o bloco e indique todas as forças que atuam sobre ele.
(b) Com os eixos da figura, calcule a componente x e a componente y
de cada uma das forças atuando sobre o corpo.
(c) Calcule o módulo de cada uma das forças e o ângulo entre cada
uma delas e o eixo x.
6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as forças constantes, expressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um
sistema de coordenadas cartesianos como
F1 = ı̂ + 2̂ − 3 k̂
F2 = ̂ − k̂
F3 = − î + ̂
O observador que descreve este sistema é um observador inercial.
(a) Calcule a força resultante sobre este corpo.
(b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas forças e da
força resultante.
(c) Calcule o ângulo que a força F1 faz com o eixo x.
(d) Calcule o ângulo entre as direções das forças F2 e F3 .
(e) Obtenha o ângulo que a força resultante faz com o eixo z.
(f) Obtenha o vetor unitário da direção definida pela força F1.
(g) Qual o vetor aceleração deste corpo?
(h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale v◦ = 12̂ − 16 k̂,
e sua posição em relação a um ponto fixo para o observador vale
vecr◦ = 0, qual a trajetória que o corpo descreve?
7. Considere o vetor posição de uma partı́cula de massa m = 0, 5 kg
medido por um observador fixo a um sistema inercial:
r(t) = 5 t2 ı̂ + (10 t − 4) ̂ + 6 exp (−2 t) k̂.
(a) Obtenha o valor do vetor posição desta partı́cula nos instantes de
tempo correspondentes a t = 0 s, t = 2 s, e t = 4 s.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 10
(b) Obtenha a expressão que descreve a velocidade desta partı́cula
como função do tempo, v(t).
(c) Obtenha a expressão que descreve a aceleração desta partı́cula
como função do tempo.
(d) Calcule os valores da velocidade e da aceleração da partı́cula nos
instantes t = 1 s e t = 4 s.
(e) Calcule a força resultante sobre a partı́cula no instante t = 4 s.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 11
TEXTO COMPLEMENTAR – VETORES
Marta F. Barroso
Muitas das grandezas usadas na Fı́sica não podem ser representadas por
um único número. Grandezas como a posição de um objeto, sua velocidade,
a força aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especificação
precisa, não só de um valor numérico – a distância a um ponto de referência, o
valor medido no odômetro de um carro, a intensidade da força – mas também
de direção e sentido.
De uma maneira simplificada, um vetor é uma grandeza que pode ser
representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento
é o módulo do vetor, sua direção é fornecida pela direção da reta que suporta
o semento, e o sentido é dado pela orientação do segmento. Um vetor em
geral é representado graficamente por uma letra com uma seta em cima, como
a; seu módulo é representado por |a| = a.
Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto é, um
vetor é um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo
de diferentes pontos do espaço. Um vetor também é um elemento de um
conjunto – chamado espaço vetorial – que associado a duas operações, a
adição e a multiplicação por escalar, tem algumas propriedades: é fechado
em relação a estas duas operações (a soma de dois vetores é um vetor,...),
o elemento neutro da adição (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os
vetores possuem elemento inverso em relação à adição, ....
Um exemplo de vetor bem conhecido é o vetor deslocamento de um objeto
pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser representado por um vetor d com módulo igual à distância entre os pontos A e B,
direção definida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B.
Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento final que corresponde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 12
Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do
ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento final de A a C.
A operação de adição de dois vetores é definida de forma análoga à soma
de dois vetores deslocamentos. O vetor c que resulta da soma de dois outros
vetores a e b, c = a+b, é o vetor correspondente ao segmento de reta orientado
obtido de acordo com a “regra do paralelogramo”. Esta regra de soma tem
este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que
pode ser formado com lados a e b.
A adição de vetores é comutativa
a + b = b + a
e é distributiva:
a + b + c = a + b + c
o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente.
Um deslocamento d de um ponto A a um ponto B define uma direção,
a direção da reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a
mesma direção pode ser escrito como o produto deste deslocamento d por
um número real α, de forma tal que a distância percorrida seja α d. Se α é
positivo, os sentidos são os mesmos. Para voltar de B até A, o deslocamento
pode ser representado por um vetor com a mesma direção, mesmo módulo e
sentido oposto, − d.
A operação de multiplicação de um vetor b por um escalar α (um número
real) é definida como sendo uma operação cujo resultado é um vetor α b
TópFı́sBás – Un.2 — p. 13
– cujo módulo é dado por |α| b,
– cuja direção é a mesma direção do vetor b,
– e cujo sentido é o de b no caso em que α > 0, e contrário se α < 0.
Desta maneira, a diferença de dois vetores é a soma de dois vetores, o
primeiro com o produto escalar do segundo pelo número real −1:
a − b = a + − b .
Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m)
na direção de A para B pode ser o padrão de medida de todos os vetores que
têm a direção AB.
Da mesma maneira que é necessária uma unidade de medida, um padrão,
para a descrição de grandezas escalares (como temperatura, massa), precisamos de um padrão de medida para vetores. Mas a especificação de um
vetor exige módulo, direção e sentido; um padrão para descrevê-lo não pode
ser um simples número, tem que ter também direção e sentido. Ou seja, é
também um vetor.
Um vetor cujo módulo vale 1 unidade é chamado de vetor unitário. A sua
representação é feita usuamente por um “chapéu” (acento circunflexo) sobre
uma letra: â. Da operação de multiplicação por escalar, podemos escrever
imediatamente
d = a dˆ .
E para obter-se o vetor unitário associado a um vetor qualquer basta dividı́-lo
pelo seu módulo:
1
dˆ = d .
d
Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coordenadas – cartesiano ou outro qualquer. No espaço, são necessárias três
TópFı́sBás – Un.2 — p. 14
coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, portanto, precisamos de suas três componentes ao longo de três eixos – ou de
três unitários de direções independentes. O sistema de três vetores unitários
mais comum é um sistema constituı́do de três unitários mutuamente perpendiculares, com a convenção de ordem indicada na figura abaixo.
Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como
sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento
através das coordenadas do ponto final. Num plano, a descrição fica como
na figura. As coordenadas do ponto A são as componentes segundo os eixos
x e y: A = (xA , yA ).
= d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao
O vetor OA
eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposição fica
rA = xA + yA
como mostrado na figura. Se definimos os unitários das direções x e y como
sendo ı̂ e ̂, temos
rA = xA ı̂ + yA ̂
O vetor componente de rA na direção x, xA , tem módulo igual a |xA |, pois
xA pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor xA
coincidir ou não com o sentido do unitário ı̂. O mesmo ocorre para o vetor
TópFı́sBás – Un.2 — p. 15
componente de rA na direção de y, yA . Assim,
xA = xA ı̂ , yA = yA ̂ .
Os valores xA e yA são chamadas de componentes do vetor rA segundo os
eixos x e y, ou segundo as direções dos unitários ı̂ e ̂.
Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A = (r, θ), onde r
corresponde à distância à origem de coordenadas e θ o ângulo que a direção
OA faz com um eixo arbitrário – no caso o eixo x. As duas descrições
A = (r, θ) = (x, y) estão relacionadas através das expressões
x = r cos θ , y = r sen θ
y
x
e é imediatamente claro que 0 ≤ θ < 2π, x e y podem ser maiores, iguais ou
menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao módulo
do vetor OA.
As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar podem ser
feitas em termos de componentes.
r=
x2 + y 2 , θ = arctg
Da figura, para a adição de vetores
cx = a + b
x
= a x + bx
TópFı́sBás – Un.2 — p. 16
e de forma análoga
cy = a + b
y
= a y + by
Para a multiplicação de um vetor por um escalar,
bx = (αa)x = α ax , by = (αa)y = α ay .
Duas outras operações com vetores são usadas para a definição de conceitos fı́sicos.
A primeira operação é o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta
operação, a um par de vetores a e b associa-se um número real a · b definido
como
a · b = a b cos θ
onde θ é o ângulo entre as direções de a e b.
Esta definição é equivalente a dizer que o produto escalar de a por b é o
produto do módulo de b pela projeção de a na direção de b. Geometricamente,
verifica-se trivialmente que
a · b = b · a
a · a = a2
a · b = 0 (a = 0, b = 0)
⇐⇒ a ⊥ b
a · b + c = a · b + a · c
Se os vetores a e b são paralelos, a · b = a b. Se são anti-paralelos (seus
sentidos são opostos) a · b = − a b.
Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as propriedades anteriores. Se a = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂ e b = bx ı̂ + by ̂ + bz k̂ , então
a · b = ax ı̂ + ay ̂ + az k̂
· bx ı̂ + by ̂ + bz k̂ = ax bx + ay by + az bz
TópFı́sBás – Un.2 — p. 17
Da definição do produto escalar, também, pode-se demonstrar que
ax = a · ı̂ , ay = a · ̂ , az = a · k̂
a · b
ab
O produto escalar surge pela primeira vez nas discussões em Fı́sica com
a definição de trabalho realizado por uma força F num deslocamento:
cos θ =
F
WAB
=
F · dr .
A outra operação, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois
vetores a e b um terceiro vetor c
c = a × b
com o módulo dado por c = a b senθ, onde θ é o (menor) ângulo entre a e b,
com direção perpendicular ao plano que contém a e b, e sentido dado pela
chamada “regra da mão direita”. Esta definição está ilustrada na figura a
seguir.
O produto vetorial de dois vetores não é comutativo – a ordem dos fatores
troca o sinal do resultado. Suas propriedades também podem ser verificadas
facilmente da definição,
a × b = − b × a
a × b + c = a × b + a × c
a × αb = αa × b
aa = 0
O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos é nulo.
TópFı́sBás – Un.2 — p. 18
Em componentes,
a × b = (ay bz − az by ) ı̂ + (az bx − ax bz ) ̂ + (ax by − ay bx) k̂
O produto vetorial aparece em Fı́sica na definição de torque de uma força
em relação a um ponto, e momento angular de uma partı́cula em relação a
um ponto:
τ = r × F
O = r × p = m r × v
L