Parte A Matemática
1- Retas, vetores e ângulos
1– Um corpo está sujeito às forças F~ 1 = (2, 3) N, F~2 = (−5, −1) N, F~3 = (−3, 6) N e F~ 4 =
(7, −4) N.
1.1 – Represente graficamente as forças que atuam no corpo.
1.2 – Calcule, graficamente, a força resultante que atua no corpo.
1.3 – Confirme analiticamente o resultado da alínea anterior.
(1,4) N
2– Sejam os vectores ~a = (4 , 3 , 2), ~b = (9 , −3 , −5) e ~c = (7 , −6 , 4). Calcule a partir das
suas coordenadas:
2.1 – ~a + ~b + ~c;
2.2 – ~a + 2~b;
(20 , −6 , 1)
(22 , −3 , −8)
2.3 – ~a − ~c;
2.4 – ~b − ~a
(−3 , 9 , −2)
(5 , −6 , −7)
2.5 – ~b − 3~c
(−12 , 15 , −17)
3– Uma partícula está sujeita a uma força F~ 1 = (5, −2.55) N, e a uma outra força F~2 de
intensidade 5 N e que faz um ângulo de 30°com o eixo horizontal.
3.1 – Calcule as componentes segundo os eixos horizontal e vertical da força F~ 2 .
3.2 – Calcule, analiticamente, a força resultante (F~r ) que actua na partícula.
F~2 =(4.33,2.5) N
F~r =(9.33,−0.05) N
3.3 – Represente graficamente as 3 forças.
4– Duas forças perpendiculares entre si, de magnitudes 4 N e 3 N, estão aplicadas num corpo.
Calcule:
4.1 – a magnitude do vetor soma das duas forças;
Fr =5 N
4.2 – o ângulo que esse vetor forma com a força de intensidade 4 N.
θ∼37°
5– A uma corda presa a um corpo é aplicada uma força de intensidade 20 N. A corda forma
um ângulo de 30° com a horizontal. Determine o valor da componente desta força que
tende a elevar o corpo.
1
Fy =10 N
6– Um avião desloca-se 100 km no sentido de Oeste para Este, de seguida desloca-se 30 km
de Sul para Norte e finalmente 50 km para Noroeste, numa direção que faz um ângulo de
30° com a direção Norte-Sul.
6.1 – Faça um diagrama vetorial dos deslocamentos.
6.2 – Determine
6.2.1 – o deslocamento do avião;
6.2.2 – o ângulo formado pela direção do deslocamento com a direção Norte-Sul.
r∼105 km
θ∼45°. 7
7– Dados os vetores ~a, ~b e ~c, tais que |~a| = 3, |~b| = 4, |~c| = 6, ∠(~a, ~b) = 90° e ∠(~b, ~c) = 180°.
Determine:
7.1 – o módulo do vetor d~ = ~a + ~b;
7.2 – o ângulo que o vetor d~ faz com o vetor ~a;
7.3 – o módulo do vetor f~ = ~b + ~c.
7.4 – o módulo do vetor ~e = ~a + ~b + ~c;
d=5
θ∼53°. 1
f =2
√
e= 13
8– Considere o membro inferior humano. Em determinado referencial, a anca ocupa a posição
(0, 50) cm, o joelho a posição (33.5, 34.4) cm e o tornozelo tem coordenadas (61.1, 1.5) cm.
Determine:
8.1 – o comprimento da coxa;
∼37 cm
8.2 – o comprimento da perna;
∼42.9 cm
8.3 – o ângulo que a coxa faz com a horizontal;
∼25°. 1
8.4 – o ângulo que a perna faz com a horizontal;
∼50°
8.5 – a distância da anca ao tornozelo.
78 cm
9– Considere o membro superior humano. Em determinado referencial, o ombro ocupa a
posição (0, 14) cm e o cotovelo a posição (24, 0) cm. O comprimento do antebraço é de
27 cm, e este faz um ângulo de 40° com a horizontal. A mão está na posição horizontal.
Determine:
9.1 – o comprimento do braço;
∼27.8 cm
9.2 – as coordenadas da posição do pulso;
∼(44.7,17.4) cm
9.3 – o ângulo que o braço faz com a vertical;
∼60°
9.4 – o ângulo que o braço faz com o antebraço;
∼110°
9.5 – o ângulo que a mão faz com o antebraço.
140°
2
10– Ao ouvir o ruído de uma serpente, um explorador fez dois movimentos rápidos com módulos de 1.8 m e 2.4 m. Determine o modo como esses deslocamentos foram efetuados
para que a resultante tivesse de módulo:
10.1 – 4.2 m
10.2 – 0.6 m
10.3 – 3.0 m
11– Um funcionário dos Correios dirige um camião de entregas,
fazendo o trajeto da figura (trajetos de 2.6km, 4.0km, 3.1km
a 45°). Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante.
7.8 km ; 37°. 8
~ tendo | B|
~ = 18 m e fazendo um ângulo de 37°
12– Considere os vetores A~ = (−12 , 0) m e B,
com o semi-eixo horizontal positivo. Determine:
~
~ + B;
12.1 – A
~ − B.
~
12.2 – A
(2.4 , 10.8) m
(−26.4 , −10.8) m
12.3 – Com os resultados das duas alíneas anteriores, determine:
~ − B;
~
12.3.1 – −A
~ − A.
~
12.3.2 – B
~ B)
~
−(A+
~ B)
~
−(A−
13– Determine o módulo, a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares
de componentes:
13.1 – A x = −8.60 cm, Ay = 5.20 cm;
10.05 cm ; 148°. 8
13.3 – C x = 7.75 km, Cy = −2.70 km.
8.21 km ; 340°. 7
13.2 – B x = −9.70 m, By = −2.45 m;
10.00 m ; 194°. 1
14– Duas partículas A e B são emitidas de uma fonte comum. Num dado instante as expressões
vetoriais dos seus vetores posição são, em determinado referencial, ~rA = (4, 3) e ~rB =
(3, 10).
14.1 – Represente, graficamente, as posições da partículas A e B nesse referencial.
14.2 – Determine graficamente o vetor posição da partícula B em relação à partícula A,
~rAB , no mesmo referencial.
14.3 – Escreva a expressão do vetor ~rAB , no mesmo referencial.
3
~rAB =~rB −~rA =(−1,7)
15– Determine o produto interno dos vetores ~a e ~b, sendo:
15.1 – |~a| = 50, |~b| = 12 e ∠(~a, ~b) = 60°
15.2 – ~a = (4, 2) e ~b = (3, 7)
~a ~b=300
~a ~b=26
16– Considere os vetores ~a e ~b cujas expressões cartesianas num referencial ortonormado são
~a = (2, 1) e ~b = (3, 4).
16.1 – Determine o produto escalar dos dois vetores.
~a ~b=10
16.2 – Determine o ângulo entre os dois vetores.
θ∼26°. 5
y
17– Considere os vetores representados na figura. Sabe-se que
~ = 12 m, | B|
~ = 15 m e |C|
~ = 6 m. Determine:
|A|
~
~ B;
17.1 – A
~ C;
~
17.2 – B
~
A
37°
−9.4 m2
~ C.
~
17.3 – A
x
40°
60°
C~
15.6 m2
−71.5 m2
~
B
18– Determine o ângulo entre cada par de vetores:
~ = (−2 , 6) e B
~ = (4 , −3);
18.1 – A
~ = 3êx + 5êy e B
~ = 10êx + 6êy ;
18.2 – A
145°. 3
~ = −4êx + 2êy e B
~ = 7êx + 14êy .
18.3 – A
90°
27°. 9
19– Considere as forças F~ 1 e F~ 2 , que atuam em determinado corpo, cuja representação num
referencial ortonormado é F~ 1 = (2, 4) N e F~2 = (4, 2) N. Nesse corpo também atua uma
força F~3 de intensidade 5 N e que faz um ângulo de +45°a partir da resultante das forças
F~1 e F~ 2 . Calcule:
19.1 – a resultante das forças F~1 e F~ 2 ;
19.2 – as componentes da força F~ 3 ;
(6,6) N
(0,5) N
19.3 – a força resultante que atua no corpo, F~ r ;
19.4 – o ângulo que a força F~r faz com a força F~1
20– Represente graficamente as seguintes funções, no intervalo 0 ≤ t ≤ 10:
20.1 – x(t)=t+1
20.2 – x(t)=t2 -2
20.3 – x(t)=(t-2)2
4
(6,11) N
∼2°
21– Uma partícula ocupa em determinado instante a posição M, de coordenadas (0,3), e em
outro instante posterior a posição N, de coordenadas (4,0).
21.1 – Num sistema de eixos coordenados marque as posições dos pontos M e N.
21.2 – Represente, em relação à origem dos eixos coordenados, os vetores posição da
partícula nesses pontos (~rM e ~rN ).
21.3 – Trace o vetor deslocamento, ~r, relativo a essa mudança de posição e calcule o seu
módulo.
|~r |=5
22– Uma espeleóloga está a pesquisar uma caverna. Ela percorre 180 m em linha reta de leste
para oeste, depois caminha 210 m numa direção que forma um ângulo de 45° com a direção
anterior e em sentido do sul para o leste, a seguir percorre 280 m segundo um ângulo de
30° no sentido do norte para o leste. Depois de um quarto deslocamento ela retorna ao
ponto de partida.
22.2 – Determine, a partir das componentes dos vetores, o módulo, a direção e o sentido
do quarto deslocamento efetuado.
→
→
22.1 – Faça um diagrama com os deslocamentos efectuados.
←
←
211.17 m ; 2°. 3
23– Uma velejadora encontra ventos que impelem o seu barco à vela. Ela veleja 2.0 km de
oeste para leste, a seguir 3.5 km para sudeste e depois uma certa distância numa direção
desconhecida. No final do trajeto ela encontra-se 5.8 km diretamente a leste do seu ponto
de partida (ver figura).
23.1 – Faça um diagrama com os deslocamentos efetuados.
23.2 – Determine, a partir das componentes dos vetores, o
módulo, a direção e o sentido do terceiro deslocamento
efetuado.
2.8 km ; 61°. 6
24– Num voo de treino, um piloto voa de Lincoln, no Nebraska,
até Clarinda, no Iowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri;
e depois até Manhattan, no Kansas (ver figura). Os ângulos
formados pelos deslocamentos são medidos em relação ao
norte: 0° significa o sentido do sul para o norte, 90° é o este,
180° é o sul e 270° é o oeste. Determine:
24.1 – a distância que o piloto terá que voar para voltar ao
ponto de partida;
188.8 km
24.2 – a direção e o sentido desse deslocamento.
10°. 7
5
25– A posição de um ponto material no plano, em relação a um sistema de eixos ortogonal
(O, êx , êy ), é dada por um vetor, ~r, de módulo 2 m, fazendo um ângulo de θ = t2 + 1 rad
com o eixo horizontal, (O, êx ). Determine:
25.1 – o ângulo que o vetor ~r faz com a horizontal no instante t = 2 s;
5 rad
25.2 – as componentes do vetor ~r no referencial dado nesse instante;
(0.567,−1.918) m
25.3 – o ângulo que o vetor ~r faz com a vertical no instante t = 3 s;
2.146 rad
25.4 – o instante para o qual θ = 270°.
1.93 s
26– A velocidade de determinada partícula é dada pela expressão v(t) = (t + 1, t2 − t) m s−1,
enquanto que a sua aceleração é dada pela expressão a(t) = (1, 2t − 1) m s−2. Calcule:
26.1 – o módulo da aceleração e da velocidade para o instante t = 0 s;
√
a= 2 ; v=1
26.2 – o produto interno dos vectores velocidade e aceleração nesse instante;
1
26.3 – o ângulo formado pelos vetores velocidade e aceleração no instante referido;
45°
26.4 – repita as alíneas 26.1 a 26.3 para o instante t = 2 s.
√
10;
√
13; 9; 37°. 9
27– Um foguetão transportando um satélite é acelerado verticalmente a partir da superfície
terrestre. 1.15 s após o seu lançamento o foguetão atravessa o topo da sua plataforma de
lançamento, a 63 m acima do solo. Depois de 4.75 s adicionais ele encontra-se a 1.00 km
acima do solo. Calcule o módulo da velocidade média do foguetão para:
27.1 – a secção do voo correspondente ao intervalo de 4.75 s;
197.3 m s−1
27.2 – os primeiros 5.90 s do voo.
169.5 m s−1
28– Uma viagem de carro de San Diego a Los Angeles demora 2 h quando é feita a uma
velocidade média de 105 km h−1. Numa sexta-feira à tarde, contudo, há muito transito e a
viagem é feita a uma velocidade média de 70 km h−1. Calcule o tempo de duração desta
viagem.
3h
6