ATRITO
W
Uma força horizontal P aplicada no
bloco não provoca de imediato o
movimento do bloco. Isto deve-se à
força de atrito Fa que equilibra a
força P.
P
Fa
N
Fa
Equilibrio
Estático
Movimento
Fm
Fk
P
À medida que a intensidade da força
P aumenta, a intensidade da força de
atrito Fa aumenta também,
equilibrando-a, até que atinge um
valor máximo Fm. Se continuarmos a
aumentar P, a intensidade de Fa baixa
até ao valor cinético Fk e o bloco
começa a escorregar.
W
Fa
Equilibrio
Estático
P
Movimento
Fm
Fk
N
F
P
As forças Fm e Fk são proporcionais à componente
normal N da reacção na superfície – Atrito de Coulomb:
Fm = µs N
Fk = µk N
onde µs é o coeficiente de atrito estático e µk é o coeficiente
de atrito cinético. Estes coeficientes dependem dos materiais e
do estado das superfícies em contacto.
• Força de atrito estático máxima:
Fm = µ s N
• Força de atrito cinético:
Fk = µ k N
µ k ≅ 0.75µ s
Quatro situações podem ocorrer quando um corpo rígido
está em contacto com uma superfície:
• Não há
atrito,
(Px = 0)
• Não há
movimento,
(Px < Fm)
• Movimento
eminente,
(Px = Fm)
• Movimento,
(Px > Fm)
W
Por vezes é mais conveniente
substituir a força normal N e a
força de atrito Fa pela sua
resultante R.
P
R
N φ
Fa
Fa = R sin φ
N = R cos φ
À medida que a força de atrito
aumenta e atinge o seu valor
máximo Fm =µsN - situação de
movimento eminente - o ângulo φ
que R forma com a normal à
superfície, aumenta também e
atinge o valor máximo φs,
designado por ângulo de atrito
estático.
W
P
R
N φ
Fa
Fa = R sin φ
N = R cos φ
Quando o movimento do
bloco se inicia, a intensidade
da força de atrito Fa baixa
para Fk .
Igualmente, o ângulo φ baixa
para um valor φk , designado
angulo de atrito cinético.
O coeficiente de atrito e o
ângulo de atrito estão
realcionados por:
tan φs = µs
tan φk = µk
• Não há
atrito
• Não há
• Movimento
movimento
eminente
Fm µ s N
tan φ s =
=
N
N
tan φ s = µ s
• Movimento
µ N
F
tan φ k = k = k
N
N
tan φ k = µ k
W
P
Fa
N
A intensidade da força de atrito Fa é igual a Fm = µsN
se e só se o movimento do corpo estiver eminente, ie.
o movimento vai iniciar-se nesse momento.
Nessas condições temos: Fa = µs N.
Se o movimento não estiver eminente, Fa e N devem
ser consideradas variáveis independentes que podem ser
calculadas através das equações de equilibrio estático.
O valor de Fa necessário para manter o equilibrio nunca
pode exceder Fm.
W
P
Fa = Fm = µs N
N
Quando o movimento do corpo está eminente, Fa
atingiu o seu valor máximo Fa = Fm = µsN , e esta
equação pode ser utilizada para substituir o valor da
força de atrito nas equações de equilibrio.
Considere-se o bloco de peso W sobre o
plano inclinado com o ângulo variável θ:
• Não há
atrito
• Não há
movimento
• Movimento
eminente
• Movimento
Sabendo que o peso do bloco A é igual a 25 N e o ângulo θ = 30º, determinar:
a) O menor valor do peso do bloco B para o qual o sistema está em equilibrio
b) O maior valor do peso do bloco B para o qual o sistema está em equlibrio
Atrito em correias
Para uma correia plana que “abraça” um tambor com um
determinado ângulo β , é importante determinar a direcção
para a qual a correia escorrega ou para que direcção o
inicio do escorregamento está eminente e importa
relacionar as tracções T1 e T2.
Relacionar T1 e T2 quando a correia o escorregamento
da correia para a direita é eminente:
• Diagrama de corpo livre de um elemento infinitésimal da
correia:
∑ Fx = 0 :
(T + ∆T ) cos ∆θ − T cos ∆θ − µ s ∆N = 0
2
2
∆θ
∆θ
− T sin
=0
2
2
• Eliminando ∆N, e dividindo por ∆θ,
∑ Fy = 0 : ∆N − (T + ∆T ) sin
∆T
∆θ
∆T  sin (∆θ 2 )

cos
− µ s T +

∆θ
2
2  ∆θ 2

• No limite quando ∆θ tende para zero,
dT
− µ sT = 0
dθ
• Separando variáveis e integrando de θ = 0 a θ = β
T2
ln = µ sβ ou
T1
T2
= e µ sβ
T1
Se o movimento da correia
estiver eminente para a
direita,
a força de atrito está dirigida
para a esquerda, e a tracção
na correia será maior no troço
direito da correia do que no
troço esquerdo: T2 > T1
Denotando T2 como a maior tracção, µs como o coeficiente
de atrito estático, e β o ângulo (em radianos) de
“abraçamento” pela correia, as duas tracções podem ser
relacionadas pelas equações:
T2
ln = µ sβ ou
T1
T2
µ sβ
=e
T1
constantes:
e= 2,71828
0,25
Coef. Atrito: µs
T2 = Peso; T1 = força que vai equilibrar o Peso
ie. o movimento está eminente para o lado de T2
ver sentido da força de atrito no equilibrio do elemento infinitesimal de cabo
T2 (N)
T1 (N)
Angulos beta:
3 voltas
5,00
10,00
100,00
1.000,00
10.000,00
100.000,00
0,47
0,95
9,48
94,78
947,80
9.478,02
β= 9,424778 rad
6 voltas
5,00
10,00
100,00
1.000,00
10.000,00
100.000,00
0,04
0,09
0,90
8,98
89,83
898,33
β= 18,84956 rad
Atrito em cunhas
(wedges)
B
A
P
C
D
Na análise de “cunhas”, normalmente é necessário
desenhar dois ou mais diagramas de corpo livre
para evidenciar cada uma das forças de atrito
intervenientes e os respectivos sentidos.
Cunhas
• A força requerida para
levantar o bloco é
significativamente
menor que o peso do
bloco
• O atrito evita que a
cunha escorregue para
fora e o bloco caia
• Calcular a menor força
P para levantar o bloco
• Diagrama de
corpo livre do
bloco
∑ Fx = 0 :
− N1 + µ s N 2 = 0
• Diagrama de corpo
livre da cunha
∑ Fx = 0 :
− µ s N 2 − N 3 (µ s cos 6° − sin 6°)
∑ Fy = 0 :
+P=0
∑ Fy = 0 :
− W − µ s N1 + N 2 = 0
− N 2 + N 3 (cos 6° − µ s sin 6°) = 0
ou
r r
v
R1 + R2 + W = 0
ou
r r
r
P − R2 + R3 = 0