Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Tecnologia e Ciências
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares
Gustavo dos Santos Vicente
Inflação em sistemas com fluidos de radiação com viscosidade e
dissipação e análise de estabilidade
Rio de Janeiro
2012
Gustavo dos Santos Vicente
Inflação em sistemas com fluidos de radiação com viscosidade e dissipação e
análise de estabilidade
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre, ao
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos
Rio de Janeiro
2012
CATALOGAÇÃO NA FONTE
UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/D
V632
Vicente, Gustavo dos Santos
Inflação em sistemas com fluidos de radiação com viscosidade e dissipação e análise de estabilidade / Gustavo dos Santos Vicente. - 2012.
95 f.: il.
Orientador: Rudnei de Oliveira Ramos.
Dissertação (Mestrado) – Universidade do Estado do Rio de Janeiro,
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares.
1. Cosmologia - Teses. 2. Teoria de Campos (Fı́sica) - Teses. 3.
Universo Inflacionário - Teses. 4. Viscosidade Volumar - Teses. I. Ramos,
Rudnei de Oliveira. II. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto
de Fı́sica Armando Dias Tavares. III. Tı́tulo.
CDU 524.852
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e cientı́ficos, a reprodução total ou parcial desta
dissertação, desde que citada a fonte.
Assinatura
Data
Gustavo dos Santos Vicente
Inflação em sistemas com fluidos de radiação com viscosidade e dissipação e
análise de estabilidade
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do tı́tulo de Mestre, ao
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 29 de Março de 2012.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. Rudnei de Oliveira Ramos (Orientador)
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Santiago Esteban Perez Bergliaffa
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Ioav Waga
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Profa . Dra . Maria de Fátima Alves da Silva
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares - UERJ
Prof. Dr. Nelson Pinto Neto
Centro Brasileiro de Pesquisas Fı́sicas
Rio de Janeiro
2012
DEDICATÓRIA
A minha famı́lia e aos meus amigos, que me deram todo o suporte e fizeram este
trabalho valer a pena.
AGRADECIMENTOS
Agradeço, primeiramente, a Capes pelo essencial apoio financeiro para realizar este
trabalho. Agradeço a infinita paciência do meu orientador Rudnei de Oliveira Ramos, que
me faz sentir como um colega de trabalho. Agradeço aos professores José Roberto Pinheiro Mahon, Ivan Costa da Cunha Lima, Vitor Emanuel Rodino Lemes, Cesar Augusto
Linhares da Fonseca Junior, Silvio Paolo Sorella e meu próprio orientador, que lecionaram
as diciplinas do mestrado e não fazem ideia do quanto me ajudaram a aprender, sobretudo ao responder minhas infinitas perguntas. Podem crer que valeu a pena. Agradeço
ao José de Sá Borges Filho por me deixar invadir suas disciplinas, que eu nem sequer
cursava, para assitir e interagir nos seminários dos alunos. Agradeço a todas as conversas
de corredor com os mesmos, que sempre mesclaram descontração e aconselhamento.
Agradeço a Deus, embora duvidem que eu acredite, pela calma e força para refletir
e seguir adiante nos momentos em que nada parecia dar certo.
Agradeço aos meus pais por todo o apoio e compreensão em perı́odos de ausência
ainda maiores que os que agradeci pela compreensão nos agradecimentos da monografia
há dois anos atrás.
Agradeço a todos os meus amigos, que não vão caber aqui. Mas é uma obrigação
dar destaque a aqueles que estiveram sempre comigo me apoiando no ambiente de estudo e
tendo vários papos cabeça, havendo inclusive lista: Eduardo Alves Coelho, Yves Eduardo
Chifarelli, Leandro Alexandre da Silva, Silvio Diogo Costa de Andrade, Analu Verçosa
Custódio, Pedro Henrique Amantino Manso, Larissa Maria Beserra Soares, Danielle Santos de Almeida, Victor Jorge Lima Galvão Rosa, Rômulo Tavares da Cossta e Alessandra
Brites Tiburcio. Agradeço a todos que são meus amigos de facebook. Pronto, não precisa
mais de lista.
Agradeço, como sempre, os momentos de descontração na cantina do Gê e os
momentos de risada desprovidos de qualquer sentido no centro acadêmico.
Agradeço o SBT por finalmente exibir os episódios especiais do Chaves e o Cartoon
Network pro comprar os episódios da Televisa, tornando meus momentos de descanso do
estudo bem mais relaxantes, recuperando meu fôlego para retormar o mesmo.
Por fim, não posso deixar de agradecer ao Rogerio Teixeira, que é, sem dúvida, o
funcionário mais solı́cito, correto e prestativo que já tive notı́cia.
Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possı́vel, e de repente você estará
fazendo o impossı́vel.
São Francisco de Assis
O homem de bem é bom, humano e benevolente para com todos, sem distinção de raças,
nem de crenças, porque em todos os homens vê irmãos seus. Respeita nos outros todas
as convicções sinceras e não lança anátema aos que como ele não pensam.
Allan Kardec
RESUMO
VICENTE, G. S. Inflação em sistemas com fluidos de radiação com viscosidade e
dissipação e análise de estabilidade. 2012. 95 f. Dissertação (Mestrado em Fı́sica) –
Instituto de Fı́sica Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro, 2012.
Este trabalho apresenta um estudo da estabilidade das equações da inflação morna
com um fluido de radiação viscoso. A viscosidade do fluido é proveniente do constante decaimento de partı́culas neste, devido à dissipação do campo escalar da inflação, o ı́nflaton.
Esta viscosidade, que pode ser volumar ou laminar, é tratata em termos de teorias termodinâmicas fora do equilı́brio. Este estudo se limita às equações de fundo da inflação
morna, de modo que somente a viscosidade volumar tem um efeito significativo, sendo
a viscosidade laminar importante somente no contexto de perturbações cosmológicas. A
descrição da viscosidade em termos de uma termodinâmica fora do equilı́brio, porém,
não pode ser realizada univocamente, pois a única informação que temos sobre processos
irreversiveis é a segunda lei da termodinâmica. Portanto, parte-se em busca de teorias
que estejam de acordo com esta lei e que, por argumentos plausı́veis, sejam capazes de
descrever o comportamento dos fluxos dissipativos próximo ao equilı́brio. O objetivo
deste trabalho é estudar a estabilidade da inflação morna viscosa para teorias causais e
não causais para o fluido de radiação com viscosidade, de forma que se possa observar o
impacto da viscosidade no regime inflacionário e a relevância de se passar a considerar a
causalidade. Para o fluido de radiação, as teorias consideradas são a teoria não causal de
Eckart e as teorias causais de Israel-Stewart e de Denicol et al (hidrodinâmica dissipativa
causal não linear). Obtém-se que as teorias causais, como era de se esperar, além de
serem, por definição, consistentes no tocante à finitude da velocidade de propagação dos
fluxos dissipativos, tornam o sistema dinâmico estável para valores de viscosidade mais
distantes do equilı́brio. Observa-se também, nitidamente, que a teoria de Denicol et al é
a mais robusta nesse sentido. Este trabalho, portanto, visa dar continuidade ao estudo
dos efeitos não-isentrópicos na inflação, já que, além da dissipação do ı́nflaton na inflação
morna, o impacto da viscosidade tem despertado bastante interesse.
Palavras-chave: Cosmologia. Teoria de Campos. Universo Inflacionário. Viscosidade
Volumar.
ABSTRACT
VICENTE, G. S. Inflation in system with radiation fluids with viscosity and dissipation
and stability analysis. 2012. 95 f. Dissertação (Mestrado em Fı́sica) – Instituto de Fı́sica
Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2012.
This work presents a study of the stability of the equations of warm inflation with
a viscous radiation fluid. The viscosity of the fluid arises from the constant decay of
particles into the fluid itself, due to the dissipation of the scalar field of inflation, the
inflaton. This viscosity, which can be a bulk or a shear viscosity, is treated in terms of
nonequilibrium thermodynamical theories. This study is limited to the warm inflation
background equations, so that only bulk viscosity has a significant effect, being the shear
viscosity important only in the context of cosmological perturbations. The description of
viscosity in terms of a nonequilibrium thermodynamics, however, can not be univocally
performed, because the unique information we have about irreversible processes is the
second law of thermodynamics. Therefore, we set off in search of theories that are in
accordance with this law and that, by plausible arguments, are capable to describe the
behavior of the dissipative fluxes near equilibrium. The aim of this work is to study the
stability of viscous warm inflation for causal and noncausal theories for the the viscous
radiation fluid, so that the impact of viscosity and the relevance of considering causality
can be observed. For the radiation fluid, the considered theories are the Eckart noncausal
theory and causal ones from Israel-Stewart and from Denicol et al (nonlinear causal dissipative hydrodynamics). We obtain from causal theories, as it was expected, in addition
to being, by definition, consistent regarding the finiteness of the propagations velocity
of the dissipative fluxes, make the dynamical system stable for viscosity values further
away from equilibrium. It’s clearly observed, either, that the theory from Denicol et al
in the most robust in that sense. This work, therefore, aims to continue the study of
nonisentropic effects on inflation, since, in addition to the inflaton’s dissipation in warm
inflation, the impact of viscosity has attracted considerable interest.
Keywords: Cosmology. Field Theory. Inflationary Universe. Bulk Viscosity.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 -
Proporcionalidade entre as distâncias das galáxias e suas respectivas velocidades de recessão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 2 Figura 3 -
21
Diferenças básicas entre as dinâmicas das equações das inflações fria e morna. 35
Número de e-folds N para os casos sem dissipação, dissipação constante e
dissipação quadrática em φ. As condições iniciais utilizadas foram (φ0 , φ̇0 ,
H0 , N0 ) = (3.4Mpl , 0, 7.0mφ , N0 = 0). O potencial usado foi V = m2φ φ2 /2,
onde mφ = 10−6 Mpl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 4 -
37
Número de e-folds N para os casos sem dissipação, dissipação constante
e dissipação quadrática em φ. As condições iniciais e potencial utilizados
foram os mesmos da Fig. 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 5 -
38
Número de e-folds N para os casos em que não há efeitos dissipativos (inflação fria) e quando há pressão viscosa. As condições iniciais e potencial utilizados foram os mesmos da Fig. 3, acrescidos da condição inicial Π = −3ζH,
onde ζ = 0.2(mφ /8πG). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 6 -
Universo inicialmente com contato causal e desconectado após a inflação,
mas mantendo equilı́brio térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura 7 -
41
46
Esta figura apresenta curvas da densidade de energia do fluido de radiação
para alguns valores do expoente térmico c. As condições iniciais usadas
foram (x0 , y0 , ρr 0 )=(18, 0, 10−10 ), com mφ = 10−6 Mpl e cφ = 5.5 · 105 . . . .
Figura 8 -
78
Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas foram (x0 , y0 , H0 , ρr 0 , Π0 )=(18.05, 0,
7.37, 10−10 , −3cζ H0 ), com mφ = 10−6 Mpl , cφ = 5.5 · 105 , cζ = 0.000341 e
Θ = 0.01. Na figura (b), a situação sem viscosidade volumar corresponde a
uma linha constante Cestab. = 7 e não é mostrada. . . . . . . . . . . . . . .
Figura 9 -
81
Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000342. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Figura 10 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000347. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Figura 11 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000352. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Figura 12 - Pressão viscosa Π como função do tempo em escala logarı́tmica. A linha
sólida representa o limite superior imposto pela teoria e a tracejada o valor
numérico da pressão viscosa. As condições iniciais usadas são as mesmas
que na Fig. 8, mas agora cζ = 0.000351 (valor muito próximo ao valor da
quebra da estabilidade). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Figura 13 - Razão Π/ρtot em função do tempo. As condições iniciais e potencial usados
foram os mesmos da Fig. 8, com cζ = 0.000341 e Θ = 0.1. . . . . . . . . . . 86
Figura 14 - Razão |Π/ρr | em função do tempo. As condições iniciais e potencial usados
foram os mesmos da Fig. 8, com cζ = 0.000341 e Θ = 0.1. . . . . . . . . . . 87
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3 -
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Valores crı́ticos de viscosidade cζ para alguns valores de Θ. . . . . . . . . . 79
Eras de dominação.
Percentagens de aumento dos valores crı́ticos de cζ em relação a valor crı́tico
de Eckart cζ = 0.000342. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tabela 4 -
80
Percentagens de aumento da densidade de radiação das teorias causais em
relação à teoria de Eckart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
SUMÁRIO
1
1.1
1.2
1.3
1.3.1
1.3.2
1.4
1.4.1
1.4.2
2
2.1
2.2
2.2.1
2.3
2.3.1
2.4
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
2.6
3
3.1
3.2
3.2.1
3.3
3.3.1
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
4
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
CONCEITOS BÁISICOS E O MODELO COSMOLÓGICO PADRÃO
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
O Princı́pio Cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
A Métrica de FRLW e as Equações Dinâmicas . . . . . . . . . . . . 16
Parâmetros Cosmológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Parâmetro de Hubble e Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Parâmetro de Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
O Modelo Cosmológico Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Fundamentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
INFLAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dinâmica e Tensor Energia-Momentum do Ínflaton . . . . . . . . . 26
Inflação Fria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Aproximação de Rolamento Lento para a Inflação Fria . . . . . . . . . . . 30
Inflação Morna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Aproximação de Rolamento Lento para a Inflação Morna . . . . . . . . . . 36
Inflação Morna com um Fluido de Radiação Viscoso . . . . . . . . 38
Coeficientes Hidrodinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Dissipação Υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Viscosidade ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Cálculo dos Coeficientes Υ e ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A Inflação como Solução para as Falhas do Modelo Cosmológico
Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
TERMODINÂMICA RELATIVı́STICA . . . . . . . . . . . . . . . 47
Uma Breve Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Termodinâmica de Equilı́brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Termodinâmica Fora do Equilı́brio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Leis de Conservação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Fluxos Dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Israel-Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
NLCDH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ESTABILIDADE DA INFLAÇÃO MORNA COM UM FLUIDO
VISCOSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.5.1
4.5.2
Sistema Dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . .
Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Israel-Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NLCDH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultados Numéricos . . . . . . . . . . . . .
Dissipação Υ ∼ T c e Viscosidade Volumar ζ = 0 .
Dissipação Υ ∼ T 3 e Viscosidade Volumar ζ ∼ T 3
CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . .
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59
64
67
72
74
77
79
88
90
13
INTRODUÇÃO
A cosmologia é dita a ciência que estuda a origem, a evolução e o futuro do universo.
Graças ao advento da Teoria da Relatividade Geral de Einstein em 1915, Friedmann foi
capaz, em 1922, de obter soluções para a métrica de Robertson-Walker para um universo
homogêneo e isotrópico em grande escala. Em 1927, Lemaı̂tre obteve, independentemente,
as equações de Friedmann e acrescentou que os desvios espectrais observados em algumas nebulosas podem ser explicados pela expansão do universo, que por sua vez seria
a consequência da explosão de um ”átomo primitivo”. Em 1929, Hubble (e Lemaı̂tre
em 1927, independentemente) confirmou a teoria de Lemaı̂tre ao medir a velocidade de
recessão de galáxias espirais e encontrar uma relação linear entre velocidade e distância.
Em 1940, Gamov e seus colaboradores criaram a chamada teoria do Big Bang. Porém,
esta só emergiu em 1965 com a descoberta da radiação cósmica de fundo por Penzias
e Wilson, que juntamente com a demonstração da nucleossı́ntese primordial, fizeram a
teoria do Big Bang ser adotada como o modelo padrão cosmológico. Este é capaz de
descrever o universo desde uma fração de segundo após sua criação. O modelo padrão,
porém, apresenta alguns problemas. Entre os principais estão os da planura, horizonte, a
estrutura em grandes escalas e a produção de resı́duos.
Em 1981, Alan Guth1 publica um trabalho mostrando como a inflação do universo
pode resolver esses problemas. A inflação consiste em admitir que nos primeiros instantes
da evolução do universo, logo após a era de Planck, o universo sofre uma expansão acelerada num curtı́ssimo intervalo de tempo. A inflação, portanto, visa ser incorporada ao
modelo padrão cosmológico afim de complementá-lo. Partindo-se em busca de modelos
inflacionários, a maioria se vale do uso de um campo escalar, o ı́nflaton φ, que parametriza
a energia de vácuo do universo. A inflação ocorre quando se consegue um regime em que
a pressão é suficientemente negativa (detalhes no Cap.2), algo que é possı́vel de se realizar
com um campo escalar. Foi criada uma gama de modelos, que podem ser divididos em
isentrópicos (inflação fria) e não-isentrópicos (inflação morna). Estes diferem no tocante
à produção de entropia. Na inflação fria, despreza-se quaisquer interações com outros
campos durante a inflação. Neste processo, o universo expande e sua temperatura cai
muito, causando um grande resfriamento. Ao fim da inflação, o ı́nflaton oscila rapidamente em torno de mı́nimo de um potencial, ocorrem interações com outros campos e
o universo é reaquecido. Esta fase é chamada de reaquecimento, onde há produção de
1
Uma vez que esta introdução se trata de um apanhado geral do assunto do trabalho, as citações dos
trabalhos mencionados são todas feitas nos respectivos capı́tulos de cada assunto e acompanhadas de
discussões mais detalhadas.
14
partı́culas. Na inflação morna, as interações durante a inflação tem relevância, de forma
que o ı́nflaton interage com outros campos e decai em partı́culas destes, compondo um
banho de radiação. Esse contı́nuo decaimento em radiação é capaz de manter o universo
termalizado, sendo possı́vel inibir o estágio de reaquecimento e terminando a inflação de
forma contı́nua a seguir para a era da radiação.
No caso da inflação morna, o decaimento do ı́nflaton em partı́culas devido à dissipação do mesmo pode dar origem a um efeito de viscosidade no banho de radiação.
As viscosidades podem ser volumar ζ e laminar η. Porém, uma vez que se considera
um universo homogêneo e isotrópico para o estudo das equações de fundo, o único efeito
significativo é a viscosidade volumar ζ. Esta está relacionada a um fluxo dissipativo, denominado pressão viscosa e designado por Π. Este é, por definição, negativo e é incluso
no tensor energia-momentum através da pressão da radiação p, que se torna uma pressão
efetiva pef. = p + Π. Portanto, o efeito de Π é tornar a pressão ainda mais negativa, o que
reforça o regime inflacionário.
Este trabalho se foca na inflação morna viscosa, que consiste num modelo de inflação morna usual, em que há somente dissipação Υ, acrescido de um pressão viscosa Π,
que surge devido ao efeito causado pelo decaimento de partı́culas no banho de radiação.
Uma vez considerados estes efeitos de dissipação Υ e pressão viscosa Π, o interesse está em
estudar a estabilidade das equações dinâmicas da inflação na presença destes. Visto que
a inflação morna é uma teoria térmica, busca-se saber a consistência desta analisando-se
o comportamento térmico destes coeficientes, que podem apresentar dependência na temperatura T (e no ı́nflaton φ, porém, a dependência térmica é muito mais significativa).
Parametrizando os expoentes térmicos da dissipação e da viscosidade por c e l, respectivamente, podemos estudar condições para as quais o sistema dinâmico é estável. Busca-se,
em particular, saber se a inflação morna é estável para alguns valores dos expoentes
térmicos com motivação em teoria de campos.
As condições de estabilidade são derivadas expandindo-se o sistema dinâmico da
inflação morna em primeira ordem em torno de uma solução estável, que tomamos como
sendo as soluções da aproximação de rolamento lento. As soluções de rolamento lento
consistem na aproximação das equações dinâmicas para o caso em que tudo ocorre sem
grandes variações, desta forma, desprezamos a derivada superior em cada equação. Uma
vez obtida esta expansão, temos em mãos uma matriz de estabilidade. Esta necessita ter
autovalores negativos para assegurar estabilidade e é justamente desta condição que se
obtém a condição de estabilidade.
Este trabalho está divido da seguinte forma. No primeiro capı́tulo, são enunciados alguns conceitos básicos de cosmologia, essenciais para o entendimento do trabalho.
Tratam-se do princı́pio cosmológico, da métrica para um universo homogêneo e isotrópico
- compatı́vel com este princı́pio - e em expansão, da definição de alguns parâmetros importantes e, por fim, do modelo cosmológico padrão e suas respectivas falhas.
15
O segundo capı́tulo aborda a inflação cosmológica. Após um resumo da evolução
das ideias e trabalhos nesse campo de pesquisa, são abordadas com detalhes a inflação
fria e a inflação morna. No contexto da inflação morna, expõe-se com detalhes a inclusão e o papel da viscosidade no regime inflacionário, denominando este regime como
inflação morna viscosa. Em seguida, são expostos alguns detalhes sobre o cálculo via
teoria quântica de campos dos coeficientes hidrodinâmicos relacionados aos efeitos de não
equilı́brio na inflação. Ao fim do capı́tulo, mostra-se como a inflação é capaz de solucionar
os problemas do modelo cosmológico padrão, mencionados no capı́tulo anterior.
O terceiro capı́tulo aborda a termodinâmica relativı́stica. Como estamos trabalhando com relatividade geral, necessitamos de uma abordagem covariante da termodinâmica afim de incluir seus efeitos. Descrevemos, portanto, alguns aspectos principais
da termodinâmica reversı́vel e irreversı́vel, sendo esta última a mais importante neste trabalho. Discutem-se, por completeza, todos os fluxos dissipativos que ocorrem num fluido
não ideal e, por fim, especializa-se no único efeito dissipativo que terá relevância nesse
trabalho, que é a viscosidade volumar. Em seguida, são detalhadas algumas teorias que
descrevem os fluxos dissipativos. A primeira destas é a teoria não causal de Eckart e as
demais são as teorias causais de Israel-Stewart e de Denicol el al.
O quarto capı́tulo apresenta, inicialmente, o sistema dinâmico para o qual se realiza a análise numérica. Em seguida, são apresentadas as derivações das condições de
estabilidade para cada uma das três teorias apresentadas no capı́tulo anterior. Por fim,
são apresentados resultados para casos particulares, que exemplificam a validade das
condições de estabilidade obtidas e permitem uma comparação quantitativa e qualitativa
das teorias consideradas.
Em suma, este trabalho tem o objetivo de analisar a estabilidade das equações de
fundo da inflação morna com um fluido de radiação viscoso, buscando condições nas quais
essa estabilidade é assegurada. Essa análise é feita para o regime de alta dissipação do
ı́nflaton, Q = Υ/3H 1, e para a aproximação em que o banho de radiação é ideal,
γ = 4/3 (coeficiente da equação barotrópica), sendo os desvios deste totalmente descritos
pela pressão viscosa Π.
16
1 CONCEITOS BÁISICOS E O MODELO COSMOLÓGICO PADRÃO
1.1 O Princı́pio Cosmológico
Um do pilares fundamentais da cosmologia é o chamado Princı́pio Cosmológico
(PC) [1]. Este consiste em afirmar que em grandes escalas o universo é espacialmente homogêneo e isotrópico, isto é, invariante perante translações e rotações, respectivamente.
A homogeneidade se refere a assumir que as galáxias estão uniformemente distribuı́das
no universo. A distribuição de galáxias se mantém invariante perante uma translação.
Isso implica que todos os pontos de observação são equivalentes. A isotropia se refere
à invariância por uma rotação, que significa que não existe direção privilegiada de observação. Portanto, tendo considerado a distribuição de galáxias uniforme, não há meio
de se distinguir uma direção. Isso é o que chamamos de isotropia.
Este princı́pio pode ser encarado como uma extensão do Princı́pio de Copérnico [2],
que afirma que a Terra não está no centro do sistema solar, ou seja, não ocupa uma posição
privilegiada no universo. É importante reiterar que o PC só é válido em grandes escalas
e que, apesar de não ser válido em menores escalas, foram usadas as leis da fı́sica locais.
Apesar disso, este serviu como ponto de partida para o estudo da cosmologia. Em 1965,
a descoberta da RCF por Penzias e Wilson fortaleceu o PC, mostrando que o universo é
homogêneo e isotrópico com uma confortável precisão.
1.2 A Métrica de FRLW e as Equações Dinâmicas
Baseados na Teoria da Relatividade Geral de Einstein [3], Friedmann, Robertson,
Lemaı̂tre e Walker escreveram a métrica que descreve um universo de acordo com o PC
e em expansão [1]
dr2
2
2
2
2
2
µ
ν
2
2
+ r (dθ + sin θdφ ) ,
(1)
ds = gµν dx dx = dt − a(t)
1 − kr2
onde fizemos c = 1 (a partir de agora fazemos ~ = c = 1). Para preservar o PC, temos
que levar em conta os seguintes pontos:
• A métrica deve ser homogênea, isotrópica e simétrica: gµν = gνµ ;
• O fator de escala a(t) deve ser função somente do tempo;
• A constante k pode assumir os valores −1,0 e 1, que correspondem respectivamente
a universos aberto (geometria hiperbólica), plano (geometria plana) e fechado (geometria esférica).
17
gµν
Em posse da métrica
a(t)2
2 2
2
2
= diag 1, −
, −a(t) r , −a(t) sin θ ,
1 − kr2
(2)
podemos obter as equações dinâmicas a partir das equações de Einstein da Relatividade
Geral
1
Gµν ≡ Rµν − gµν R = 8πGTµν − Λgµν ,
2
(3)
onde Gµν , Rµν , R, G, Tµν e Λ são respectivamente o tensor de Einstein, o tensor de Ricci,
o escalar de Ricci, a constante gravitacional2 , o tensor energia-momentum e a constante
cosmológica. A constante G se relaciona com a massa de Planck Mpl por G = 1/Mpl2 .
Consideraremos a constante cosmológica como sendo nula3 .
O tensor energia-momentum é dado por [1]
Tµν = (ρ + p)uµ uν − pgµν ,
(4)
onde escolhemos a quadrivelocidade uµ = (1, 0, 0, 0) num referencial comóvel ao fluido.
Resolvendo as equações de Einstein [4], os componentes não nulos do tensor de Ricci e o
escalar de Ricci são4
ä
ä
ȧ2 2k
k
ä ȧ2
R00 = −3 , Rij = − + 2 2 + 2 gij , R = −6 + 2 + 2 .
(5)
a
a
a
a
a a
a
A equação de Einstein para o componente 00 resulta na chamada equação de Friedmann
8πG
k
ȧ2
=
ρ − 2.
2
a
3
a
(6)
Para os componentes ii, obtemos a equação
ä ȧ2
k
2 + 2 = −(8πG)p − 2 .
a a
a
(7)
2
O obtenção da constante de acoplamento 8πG entre o tensor de Einstein e o tensor energia-momentum
pode ser encontrada em [1].
3
O interesse deste capı́tulo é fornecer uma base para o estudo subsequente da inflação. A constante
cosmológica não desempenha nenhum papel nesta, sendo citada apenas para apresentar ao leitor sua
presença nas equações de Einstein. Ela foi introduzida inicialmente por Einstein para manter o universo
estático, pois este era o ponto de vista mais aceito na época. Posteriormente, voltou a ser utilizada
para o estudo da energia escura.
4
Conforme é de costume, usou-se ı́ndices gregos para designar componentes temporal e espaciais e latinos
para componentes somente espaciais.
18
Tabela 1 - Eras de dominação.
Dominação
Radiação
Matéria
a(t)
1
2
∝t
2
∝ t3
ρ(a)
∝ a−4
∝ a−3
H(t)
∝
∝
1
2t
2
3t
Fonte: O AUTOR, 2012.
Fazendo a diferença entre as Eqs. (6) e (7), obtemos a equação da aceleração
4πG
ä
=−
(ρ + 3p).
a
3
(8)
Agora, do tensor energia-momentum, requerendo que este se conserve, obtemos
T µν ;ν = 0
⇒
ȧ
ρ̇ + 3 (ρ + p) = 0,
a
(9)
que é a equação de conservação da energia. O ponto e vı́rgula significa a derivada covariante. Consideremos agora que os constituintes do universo, a princı́pio matéria e radiação,
possuem equação de estado
p = wi ρi ,
(10)
onde wi é chamado parâmetro da equação de estado e p = p(ρ) é dita pressão barotrópica.
A soma em i representa a soma nos componentes de matéria e radiação. Para a radiação
temos wrad = 31 e para matéria (não relativı́stica) wm = 0. Utilizando w, da equação da
conservação da energia, Eq. ((9)), temos
ρ ∝ a−3(1+w) .
(11)
Da equação de Friedmann, Eq. ((6)), temos
2
a ∝ t 3(1+w) .
O parâmetro de Hubble H(t) =
H∝
2
t−1 .
3(1 + w)
(12)
ȧ(t)
,
a(t)
cujo significado é discutido na seção seguinte, resulta
(13)
Para radiação e matéria, portanto, segue a tabela
Estes resultados se referem a perı́odos de dominância. Com bases neles, pode-se
mostrar que há um primeiro perı́odo em que a densidade de radiação é dominante sobre
a densidade de matéria. Este perı́odo é chamado era da radiação. O perı́odo subsequente
é a chamada era da matéria, onde agora a densidade de matéria é dominante. Segundo a
teoria do Big Bang (TBB), portanto, o universo possui duas eras.
19
1.3 Parâmetros Cosmológicos
1.3.1 Parâmetro de Hubble e Horizonte
Hubble mediu [5] a velocidade de recuo de 18 galáxias espirais a distâncias consideráveis e encontrou uma relação linear entre velocidade e distância da forma
~v = H0~r,
(14)
onde ~v é a velocidade da galáxia, ~r sua distância e H0 a constante de Hubble. Essa é a
chamada Lei de Hubble. Sabemos hoje que H não é uma constante, mas um parâmetro
que varia com o tempo. Para compreender essa lei, imaginemos duas partı́culas separadas
por uma distância l0 . Depois de um tempo t, a distância entre elas será
l(t) = a(t)l0 ,
(15)
onde a(t) é o já mencionado fator de escala, que dá a medida de quanto o universo se
expande. Derivando esta equação e fazendo algumas substituições, obtemos
˙ = ȧ(t)l0
l(t)
⇒
l0 =
l(t)
a(t)
⇒
˙ = ȧ(t) l(t)
l(t)
a(t)
⇒
˙ = H(t)l(t),
l(t)
(16)
onde H(t) = ȧ(t)
é o parâmetro de Hubble.
a(t)
A partir do parâmetro de Hubble podemos definir o tempo de Hubble tH = H −1 e o
raio de Hubble rH = tH c, que com c = 1 fica rH = H −1 . Este último é geralmente chamado
de horizonte, e dá a distância máxima que a luz (pensamos na luz como transportadora
de informação) viaja desde o inı́cio do universo. A importância do horizonte é que este
delimita a região em que os eventos estão causalmente conectados.
1.3.2 Parâmetro de Densidade
Com a definição de H(t), podemos reescrever as Eqs. ((6)) e ((9)) na forma
H2 =
8πG
k
ρ − 2,
3
a
(17)
ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0.
Definimos agora a densidade crı́tica ρc =
(18)
3H 2
.
8πG
Antes de comentar seu significado,
20
dividimos a equação de Friedmann, Eq. ((17)), por ρc , obtendo
ρ
k
−1= 2 2
ρc
aH
⇒
Ω−1=
k
a2 H 2
,
(19)
onde definimos o parâmetro de densidade Ω = ρρc . A densidade crı́tica ρc é o valor limite
entre um universo em expansão ou em colapso. Se a densidade do conteúdo do universo
exceder ρc , a gravidade gerada por este conteúdo se torna dominante sobre a expansão
do universo e este tende a colapsar. Da mesma forma, sendo a densidade menor que ρc a
gravidade é vencida e o universo se expande. O parâmetro de densidade Ω é uma definição
bastante prática. Para a constante k com valores −1, 0 e 1 temos Ω menor, igual e maior
que 1, correspondendo respectivamente a universos aberto, plano e fechado.
1.4 O Modelo Cosmológico Padrão
1.4.1 Fundamentação
A TBB assume que o universo surgiu de uma singularidade num estado muito
quente e denso. Adotada como modelo padrão da cosmologia, foi construı́da a partir das
equações da relatividade geral de Einstein e de acordo com o PC. Está fundamentada
sobre três importantes pilares:
• A descoberta de Hubble [5] em 1929 da expansão do universo (e de Lemaı̂tre, independentemente, em 1927 [9]), através de medições que mostraram que a velocidade
de recuo de galáxias eram proporcionais à sua distância (Fig. 1).
Antes da RG, acreditava-se num universo eterno e imutável. Com o surgimento da
RG, Friedmann e Lemaı̂tre aceitavam a ideia de um universo em expansão, enquanto
que Einstein ainda defendia veementemente que o universo deveria ser estático;
• A teoria da nucleossı́ntese [10–12], que descreve a formação dos elementos leves
como Hidrogênio (∼ 75%), Hélio (∼ 25%), além de vestı́gios de Berı́lio e Lı́tio (os
elementos mais pesados foram formados posteriormente nas estrelas e em explosões
estelares). Essa teoria prediz as abundâncias relativas desses elementos, que estão
de acordo com as observações realizadas pelos satélites COBE e WMAP das anisotropias da RCF.
• Após a predição da existência da RCF [13, 14] no fim da década de 40 por Alpher
e Herman, sua descoberta é feita somente em 1965 por Penzias e Wilson [15]. Enquanto realizavam testes com uma antena, perceberam que havia um ruı́do de fundo
que não podia ser eliminado, o que chamaram de um excesso de temperatura da an-
21
Figura 1 - Proporcionalidade entre as distâncias das galáxias e suas respectivas
velocidades de recessão.
Fonte: HUBBLE, 1929, p. 172.
tena. Essa foi uma das descobertas mais importantes da cosmologia. Dicke, Peebles,
Roll, e Wilkinson, então, colocam esta observação no contexto cosmológico [16].
A RCF é uma radiação na faixa de microondas com espectro térmico de corpo negro
de temperatura por volta de 2.725K [8] emitida quando os fótons desacoplaram-se da
matéria5 . Essa radiação é isotrópica com grande precisão, de acordo com observações
realizadas pelos satélites COBE [17, 18] e WMAP [6, 7]. Mas, o interesse maior está
em sua anisotropia, apesar de muito pequena, visto que esta é capaz de nos dar
uma imagem de como era a distribuição de matéria quando o universo tinha poucos
anos de vida. Há muitos dados experimentais mais recentes, mas o interesse aqui é
apenas apresentar a RCF ao leitor e sua comprovação.
Esse conjunto de fatos fizeram do modelo cosmológico padrão uma teoria de sucesso. Porém, logo se percebeu que apresenta alguns problemas, que só foram resolvidos
posteriormente com a implementação da inflação nesta.
5
Quando o universo resfriou-se a uma temperatura por volta de 3000K núcleos e elétrons se combinaram
para formar átomos neutros. O número de elétrons livres reduziu-se drasticamente e os fótons passaram
a viajar livremente. Chama-se esse processo de desacoplamento dos fótons da matéria.
22
1.4.2 Problemas
• Planura: Das expressões de a(t), temos que ä < 0 tanto para a era de dominação
da radiação quanto da matéria. Isso implica que ȧ decresce e consequentemente
a2 H 2 = ȧ2 decresce. Da equação ((19)) vemos então que Ω aumenta. Porém,
observamos que atualmente Ω está muito próximo da unidade [6, 7]. Isso implica
que Ω precisa ser muito próximo da unidade desde o universo primordial, ou seja, um
universo aproximadamente plano. Isso requer um ajuste fino das condições iniciais.
Desvios sutis em Ω poderiam conduzir o universo a um colapso ou a uma expansão
desenfreada, não dando origem às estruturas observadas hoje. A necessidade desse
ajuste fino é o chamado problema da planura.
• Horizonte: Devido à sua grande escala, o universo não poderia ter estado inteiramente em contato causal. Porém, a radiação RCF de fundo hoje observada, emitida
quando o universo tinha 300.000 anos de vida [15], é recebida isotropicamente à
mesma temperatura (com grande precisão). Como pontos tão distantes que nunca
tiveram contato podem ter entrado em equilı́brio térmico? Essa incoerência constitui o chamado problema do horizonte.
• Formação das estruturas: A TBB não prediz nenhuma inomogeneidade. Mas
certamente as estruturas observadas hoje não poderiam ter se originado de um
universo homogêneo. Portanto, algum mecanismo deve ter gerado perturbações, que
provocaram as anisotropias da RCF, hoje observadas, tornando possı́vel a formação
das estruturas.
• Produção de resı́duos: Na era primordial do universo, devido ao seu constante
resfriamento devido à expansão, é natural que tenham ocorrido transições de fase
com quebra espontânea de simetria. Como consequência, seriam gerados defeitos topológicos (ou resı́duos), tais como monopolos magnéticos, cordas cósmicas, paredes
de domı́nios e texturas. Os mais predominantes seriam os monopolos magnéticos,
que seriam extremamente massivos e existiriam em grande quantidade. Isso conduziria o universo ao colapso logo na sua era primordial, portanto, deve haver algum
mecanismo capaz de diluı́-los6 , já que hoje não somos capazes de observá-los na
natureza.
6
Tornar sua densidade desprezı́vel.
23
2 INFLAÇÃO
Vimos que a TBB apresenta falhas. Portanto, a descrição do universo está incompleta ou, de fato, incorreta. O conceito de inflação é então sugerido afim de resolver estas
falhas. Este se revela capaz de coexistir com a TBB, complementando-a. Além disso, é
também capaz de gerar perturbações na densidade capazes de produzir as estruturas do
universo e as anisotropias na RCF.
Segundo a TBB, o universo expande desaceleradamente. Sugerindo-se, porém, que
em uma determinada época este expanda aceleradamente (logo após a era de Planck7 ),
uma consequência imediata é a necessidade de um componente de energia que possua
pressão negativa. Isso pode ser observado usando a condição ä > 0 na Eq. (8) da aceleração
4πG
ä
=−
(ρ + 3p)
a
3
⇒
ρ
p<− .
3
(20)
Tal componente de energia (energia do vácuo), dominante sobre as outras formas de
energia, pode ser parametrizada por um campo escalar, denominado ı́nflaton. A dinâmica
do ı́nflaton, portanto, serve de mecanismo para o estágio inflacionário do universo.
Antes de nos aprofundarmos na parte matemática da inflação, é importante conhecer um pouco como se desenrolou a ideia de inflação desde seu inı́cio nos anos 80 até
o presente momento8 .
A inflação foi sugerida em 1981 por Guth9 [19] (e independentemente por Sato
[21, 22] e Brout et al [23]). O modelo consiste na rápida expansão do universo (uma nova
visão da inflação de de Sitter10 ) devido a uma transição de fase cosmológica de primeira
ordem11 na qual o universo sofre um super resfriamento. Porém, após a inflação, o universo
se torna demasiadamente inomogêneo devido a colisões das bolhas que são formadas.
Apesar desse modelo, conhecido hoje como inflação velha, apresentar problemas, este é
historicamente importante, porque mostra que a inflação é capaz de resolver as falhas
da TBB. Conduzir o universo à subsequente era da radiação era o grande problema do
7
A era de Planck é a primeira era do universo, onde os efeitos quânticos são predominantes.
8
Há diversos outros trabalhos em inflação em outros contextos que não serão mencionados aqui.
Limitamo-nos aqui à inflação num universo FRLW descrito pela relatividade geral de Einstein.
9
O livro de Alan Guth, disponı́vel em português [20], é um excelente texto introdutório sobre o assunto.
10
O modelo de de Sitter se trata de uma expansão exponencial, onde a componente dominante é a
constante cosmológica. Este modelo, porém, sofre do problema de gerar um universo pós-inflacionário
praticamente vazio [2].
11
Ocorre uma transição de um estado de vácuo falso, que se trata de um falso mı́nimo (existe outro
mı́nimo mais fundamental) para um estado de vácuo verdadeiro.
24
cenário inflacionário, sendo chamado de ”problema da saı́da elegante”12 [19, 24–28].
Para resolver esse problema, ambos em 1982, Linde [24] e Albrecht e Steinhardt
[25], independentemente, propuseram a chamada inflação nova. O modelo se baseia em
uma transição de fase cosmológica de segunda ordem (decomposição espinodal) num regime de rolamento lento (o ı́nflaton ”rola”em direção ao mı́nimo do potencial), na qual
ocorre a expansão, seguida de um segundo estágio denominado reaquecimento. Este segundo estagio é o mais importante, pois é neste que ocorre a produção de partı́culas. A
produção de partı́culas ocorre assumindo-se (somente nesta fase) acoplamentos não nulos
com outros campos e que o ı́nflaton oscila em torno do mı́nimo do potencial. São estas
oscilações que causam a produção de partı́culas. Esse modelo, porém, apresenta o problema da necessidade de passar muito tempo no vácuo falso para conseguir a quantidade
de inflação (discutida posteriormente) necessária para resolver os problemas da TBB.
Em 1983, Linde propõe a inflação caótica [29], na qual as condições iniciais do
ı́nflaton são caóticas. Esta resolve os problemas das inflações velha e nova, além de não
necessitar de transições de fase e equilı́brio térmico inicial. É inteiramente baseada no
já citado regime de rolamento, bastando apenas um potencial suficientemente plano para
gerar inflação. Este modelo é, portanto, bastante flexı́vel, devido à grande liberdade na
escolha do potencial e das condições iniciais.
Os modelos citados até o presente momento podem ser classificados como modelos
de inflação fria. São assim chamados devido ao super resfriamento que ocorre devido
à diluição 13 da radiação causada pela expansão, uma vez que não há produção de radiação concomitante que mantenha o universo termalizado. Isto ocorre por considerarmos
desprezı́vel o acoplamento do ı́nflaton com outros campos durante a inflação, exceto no
perı́odo de reaquecimento, onde são justamente estas interações que produzem partı́culas
e termalizam o universo.
Em contraste com estes, existem modelos classificados como de inflação morna14 .
Nestes, os acoplamentos do ı́nflaton com outros campos não são desprezados durante o
regime inflacionário. Como resultado, há a produção de radiação durante o mesmo (já que
não há restrição na relatividade geral quanto à existência de radiação durante a inflação,
contanto que a energia do vácuo ainda seja dominante), provocando uma competição entre
a radiação produzida e a diluição devido à expansão. Podemos, portanto, num regime em
que haja suficiente produção de radiação durante a inflação, evitar o super resfriamento
e manter o universo termalizado. Com isto, pode-se chegar ao fim do regime inflacionário
12
Tradução do original em inglês ”graceful exit problem”.
13
Por diluição entende-se que a densidade de radiação se torna desprezı́vel devido à expansão
14
Optou-se por apresentar o contexto da inflação morna antes de seus modelos com o intuito de encaminhar melhor o leitor.
25
sem a necessidade de um mecanismo de reaquecimento 15 , possibilitando uma transição
suave para a era da radiação. Dessa forma, a inflação morna também oferece solução para
problema da ”saı́da elegante”.
Em 1980, Fang [30] foi o primeiro a sugerir um regime inflacionário com concomitante produção de partı́culas, introduzindo um termo dissipativo oriundo de uma transição
de fase no contexto da teoria de Landau. Embora seu termo dissipativo não seja da mesma
natureza que da inflação morna, tal como o trabalho de [19], seu trabalho foi pioneiro.
Posteriormente, Moss [31] e Yokoyama e Maeda [32], em 1985 e 1987, respectivamente, adicionaram um termo de dissipação local fenomenológico na equação de fundo
do ı́nflaton e mostraram que este é capaz de causar a produção de radiação. Independentemente, Berera e Fang [33], em 1995, mostraram que a dinâmica do ı́nflaton obedece
a uma equação de Langevin [34], na qual um teorema de flutuação-dissipação determina
unicamente a flutuação do ı́nflaton, consolidando assim a teoria de flutuações da inflação
morna. Ainda em 1995, Berera [35] mostra que a fase de reaquecimento adicional pode
ser consistentemente eliminada. Essa é a essência da inflação morna, pois há produção de
radiação durante a inflação até que a energia do ı́nflaton seja toda dissipada em radiação
e passamos para a era da radiação.
A inflação também pode ser estudada considerando-se um universo permeado por
um fluido não ideal, descrito por um tensor energia-momentum que contém termos dissipativos. São estes termos as viscosidades volumar e laminar. Em se tratando de cosmologia,
num universo FRW o único efeito presente nas equações de fundo é a viscosidade volumar, sendo a viscosidade laminar importante somente quanto tratamos das perturbações
cosmológicas. Então, temos um fluido viscoso com uma pressão efetiva. A pressão viscosa
adicional à pressão de equilı́brio é, como veremos adiante, sempre negativa. Como já sabemos que para ocorrer inflação basta que tenhamos uma pressão suficientemente negativa,
a pressão viscosa possibilita que o regime inflacionário seja acentuado devido à pressão
efetiva ter se tornado mais negativa. O primeiro trabalho a incluir a pressão viscosa num
contexto cosmológico é a referência [36]. Um passo adiante é dado em [37], considerando
uma pressão viscosa causal. A pressão viscosa pode surgir devido à natureza mista de um
fluido [38] (radiação e matéria, por exemplo) ou devido à produção de partı́culas [39, 40].
Algumas aplicações desta são realizadas em [41–50].
Pode-se conciliar a inflação morna com a cosmologia viscosa. Como o ı́nflaton está
em constante decaimento, pode dar origem a um fluido de radiação viscoso, de forma que
o sistema consiste num campo escalar imerso em um banho térmico. Exemplos destes
podem ser encontrados em [51, 52]. É neste tipo de modelo que este trabalho se baseia e
cuja estabilidade é estudada.
15
Isso não exclui a possibilidade de termos inflação morna com um subsequente perı́odo de reaquecimento.
26
Uma questão que se torna muito importante com o advento da inflação morna é
a obtenção da sua dinâmica via teoria quântica de campos a partir de princı́pios fundamentais. Na verdade, uma teoria de campos térmica (ver [53]), que incorpora tanto
efeitos quânticos como térmicos, é necessária para se estudar fenômenos que envolvem a
dinâmica de campos imersos em um banho, como acontece com o ı́nflaton e o banho de
radiação (térmico) na inflação morna.
A inflação morna parece mais natural em dois pontos. Primeiramente, no sentido
de haver produção de partı́culas também durante a inflação, pois parece pouco plausı́vel
que durante o reaquecimento os acoplamentos com outros campos sejam relevantes e
durante o regime inflacionário em si não. Segundamente, na forma suave como ocorre
a transição para a era da radiação, sem haver resfriamento e a necessidade de uma fase
posterior de reaquecimento. Mas mesmo assim necessita de verificação [54].
Um dos aspectos mais importantes da inflação é a geração de perturbações de
densidade. Durante a inflação, o ı́nflaton pode sofrer perturbações de origens quântica e
térmica. Devido à expansão, essas perturbações se amplificam e podem ser tratadas como
clássicas quando cruzam o horizonte. São essas perturbações que dão origem às inomogeneidades observadas através da radiação cósmica de fundo. As flutuações quânticas e
térmicas são caracterı́sticas principais das inflações fria e morna, respectivamente. Não
entramos em mais detalhes porque o trabalho não trata de perturbações, mas o leitor
pode obter mais informações em [55].
2.1 Dinâmica e Tensor Energia-Momentum do Ínflaton
O componente de energia da inflação, o ı́nflaton, é um campo escalar, logo, precisamos buscar sua dinâmica no espaço-tempo. Para a métrica FRLW, Eq. (1), obtém-se a
equação de Friedmann
H2 =
k
8πG
ρ − 2.
3
a
(21)
Porém, como durante a inflação o fator de escala cresce muito rapidamente, o termo k/a2
se torna muito pequeno. Portanto, pode-se desprezar a curvatura k e escrever apenas
H2 =
8πG
ρ.
3
(22)
Tomando, portanto, k = 0, e optando agora por coordenadas cartesianas, a métrica FRLW
se reduz a
2
2
2
gµν = diag 1, −a(t) , −a(t) , −a(t) .
(23)
27
A ação de Einstein-Hilbert para a relatividade geral é dada por
Z
√
1
SE−H = −
d4 x −g R.
16πG
A ação para o campo escalar é dada por
Z
√
1
4
µ
Sφ = d x −g
∂µ φ∂ φ − V (φ) ,
2
(24)
(25)
onde se supõe que haja acoplamento mı́nimo16 com a gravidade. Do teorema de Noether
[1, 56], o tensor energia-momentum é dado por
T µν = ∂ µ φ∂ ν φ − g µν L.
(26)
Deste, pode-se obter
~ 2
φ̇2 1 (∇φ)
+
+ V (φ),
2
2 a(t)2
(27)
~ 2
1 X ii φ̇2 1 (∇φ)
T =
−
− V (φ).
3 i
2
6 a(t)2
(28)
ρ = T 00 =
p=
Considerando o campo escalar homogêneo, que é o caso do ı́nflaton, temos apenas
ρ=
φ̇2
+ V (φ)
2
(29)
p=
φ̇2
− V (φ)
2
(30)
Das Eqs. (29) e (30), podemos comparar o tensor energia-momentum do ı́nflaton ao de
um fluido ideal, ou seja
Tµν = (ρ + p)uµ uν − pgµν .
(31)
Neste ponto, é importante observar que num regime em que o ı́nflaton varia lentamente, temos p ≈ −ρ, que é exatamente a equação de estado que buscamos para que
haja expansão acelerada do universo. Ou seja, quando φ̇2 /2 V (φ) nas Eqs. (29) e (30),
o ı́nflaton é apropriado para descrever o regime inflacionário.
Da variação da ação completa S = SE−H + Sφ em relação a φ, obtém-se a equação
16
Há trabalhos onde esse acoplamento é considerado http://arxiv.org/abs/1002.2995
28
de movimento para o ı́nflaton
√
∂µ ( −gg µν ∂ν φ) + Vφ (φ) = 0,
(32)
onde Vφ (φ) = dV (φ)/dφ. Para a métrica FRLW, obtém-se finalmente
φ̈ + 3H φ̇ + Vφ (φ) = 0.
(33)
Trata-se de uma equação de Klein-Gordon [57], porém, com um termo de “fricção” devido
ao acoplamento do ı́nflaton com a métrica.
2.2 Inflação Fria
Conforme foi mencionado, na inflação fria, o ı́nflaton é considerado isolado de
quaisquer outros campos durante a inflação. Como não há produção de radiação, a
entropia desta, Sr = sr a(t)3 , permanece constante. Trata-se de uma expansão adiabática
e , portanto, isentrópica. Disto e da primeira lei da termodinâmica, temos
d(ρa(t)3 ) = −pd(a(t)3 ),
(34)
d(ρa(t)3 ) = −ωρd(a(t)3 ),
(35)
ρ ∝ a(t)−3(1+ω) ,
(36)
onde se usou a equação de estado p = ωρ. Para o ı́nflaton ω = −1, logo, da Eq. (36) vemos
que a densidade de energia de vácuo se mantém aproximadamente constante durante a
inflação:
ρΛ ' cte.
(37)
Da equação de Friedmann (22), concluı́mos que o parâmetro de Hubble se mantém aproximadamente constante durante a inflação, pois a energia de vácuo é constante e domina
neste perı́odo.
Para a radiação, pr = ρr /3, logo, ρr ∝ a(t)−4 . Como sabemos que a radiação
obedece a lei ρr ∝ T (t)4 , temos
ρr ∝ T (t)4
,
sr ∝ T (t)3
,
T (t) ∝ a(t)−1 ,
(38)
onde nos valemos de ρa(t)3 = T (t)S. Vemos, portanto, que a temperatura cai com o
inverso do fator de escala. Como o fator de escala cresce rapidamente durante a inflação,
fica justificado o super resfriamento. Isto também pode ser visto a partir da equação de
29
conservação de energia para a radiação:
ρ˙r + 4Hρr = 0,
ρr ∝ e−4Ht ,
(39)
visto que H permanece aproximadamente constante e podemos, portanto, integrar a
equação. Nesta equação vemos, explicitamente, a diluição da radiação devido à expansão.
Tendo visto as propriedades, estudemos a solução da inflação fria. Partindo das
equações de Friedmann e da conservação de energia
!
8πG φ̇2
2
+ V (φ) + ρr ,
(40)
H =
3
2
ρ̇ + 3H(ρ + p) = 0,
ρ˙φ + 3H(ρφ + pφ ) + ρ˙r + 3H(ρr + pr ) = 0.
(41)
Na equação de Friedmann (40), podemos desprezar o termo de densidade de radiação
devido a sua diluição. Da equação de conservação de energia, podemos tomar separadamente a conservação de energia do ı́nflaton e da radiação visto que não interagem. Logo,
ficamos com
!
2
8πG
φ̇
H2 =
+ V (φ) ,
(42)
3
2
ρ˙φ + 3H(ρφ + pφ ) = 0,
(43)
ρ˙r + 4Hρr = 0.
(44)
Usando as expressões para a densidade de energia e pressão do ı́nflaton, dadas pelas
Eqs. (27) e (28), respectivamente, obtemos a já apresentada equação de movimento do
ı́nflaton
φ̈ + 3H φ̇ + Vφ (φ) = 0.
(45)
Para estudar a solução destas equações sem recorrer a métodos numéricos, precisamos nos valer da chamada aproximação de rolamento lento (ARL), apresentada na
subseção seguinte.
Em suma, não há produção de entropia, portanto, devido à ausência de termos
dissipativos. A radiação inicialmente presente no universo é rapidamente diluı́da devido
à expansão e, consequentemente, este sofre um super resfriamento. Ao fim do regime
inflacionário, há um perı́odo chamado reaquecimento, em que o ı́nflaton se aproxima do
30
mı́nimo do potencial e oscila em torno deste. Nesta oscilação, o ı́nflaton passa a interagir
com outros campos e decai em radiação, reaquecendo o universo. O decaimento gera,
por sua vez, um termo dissipativo que atenua as oscilações do ı́nflaton. A equação que
descreve esse processo de decaimento do ı́nflaton é dada por
φ̈ + 3H φ̇ + Υφ̇ + Vφ (φ) = 0,
(46)
onde o novo termo Υφ̇ é o responsável pelo decaimento do ı́nflaton em radiação. Este
termo é ausente durante o regime inflacionário.
2.2.1 Aproximação de Rolamento Lento para a Inflação Fria
A inflação ocorre no regime chamado rolamento lento, onde o termo de potencial
domina sobre o termo cinético, resultando na desejada pressão negativa. Uma vez que o
termo cinético é pequeno, podemos aproximar a equação de Friedmann (42) para
H2 =
8πG
V (φ).
3
(47)
Considerando que φ tenha um valor inicial grande, também podemos afirmar que o termo
de fricção 3H φ̇ domina sobre o termo de ”aceleração”na equação de conservação de energia
do ı́nflaton (45). Logo, podemos usar as condições
V φ̇2 /2,
(48)
3H φ̇ φ̈,
(49)
para resolver as equações de forma exata, na chamada aproximação de rolamento lento.
Com estas aproximações, as equações se tornam
H2 =
8πG
V (φ),
3
3H φ̇ + Vφ (φ) = 0.
(50)
(51)
Neste ponto, somos obrigados a especificar um potencial para o ı́nflaton para resolver
as equações. Os potenciais mais simples abordados na literatura são V (φ) = m2 φ2 /2
e V (φ) = λφ4 /4. Vamos escolher o primeiro, por exemplo, para podermos obter uma
solução explı́cita.
Para V (φ) = m2 φ2 /2, as Eqs. (50) e (51) tomam a forma
H2 =
4πG 2 2
mφ,
3
(52)
31
3H φ̇ + m2 φ = 0,
(53)
cujas soluções são
mMpl
φ = φ0 − √
t,
12π
(54)
"
a = a0 exp(Ht) = a0 exp
mMpl
φ0 − √
t
12π
!r
#
4π m
t .
3 Mpl
(55)
Sobre a solução exponencial, Eq. (55), é oportuno mencionar que esta é exatamente a
mesma solução de de Sitter, cuja métrica é
ds2 = dt2 − e2Ht (dx2 + dy 2 + dz 2 ).
(56)
Porém, o diferencial da inflação fria em relação à inflação de de Sitter, é que, apesar
de também termos uma energia de vácuo constante como em de Sitter, o uso do campo
escalar para realizar este efeito tem caráter transitório. Ou seja, a inflação não continua
indefinidamente como no universo de de Sitter (gerando um universo vazio), mas termina
quando as condições de rolamento lento não são mais satisfeitas e gerando um mecanismo
para a transição para a era da radiação.
Podemos agora definir dois parâmetros importantes, denominados parâmetros de
rolamento lento, que nada mais são que condições para que ocorra inflação. Baseados nas
condições V φ̇2 /2 e 3H φ̇ φ̈, definimos
2
1
Ḣ
V,φ
≡− 2 =
H
16πG V
1
V,φφ
φ̈
η≡−
=−
.
8πG
V
H φ̇
(57)
(58)
O regime inflacionário ocorre enquanto forem satisfeitas as condições
< 1,
|η| < 1.
(59)
Porém, é válido mencionar que os parâmetros de rolamento lento só restringem a forma
do potencial [58] e, portanto, não garantem totalmente se a aproximação é válida. A
princı́pio, o parâmetro φ̇ é livre, podendo assumir inclusive valores grandes. Apesar dessa
ressalva, a maioria das condições iniciais conduzem o universo a um regime inflacionário
e nós assumimos que φ̇ evolua para a solução atratora φ̇ = −V,φ /3H.
Podemos definir agora a quantidade de inflação ou número de e-folds
Z tf
Z φf
a(t)
8π
V
N = ln
=
Hdt = − 2
dφ
(60)
a0
Mpl φi V 0
ti
32
onde um e-fold é definido como o tempo necessário para o a(t) crescer de um fator e, ou
seja, ∆t = H −1 . Para resolver as falhas da TBB, no fim deste capı́tulo mostramos isso
ocorre para N > 70.
Para o potencial considerado, da condição < 1 obtemos
Mpl
φf < √ .
4π
(61)
√
Substituindo φf ≈ Mpl / 4π em N e requerendo N > 70 obtemos
φi & 3.3Mpl .
(62)
Substituindo φi e φf na Eq. (54), obtemos que o tempo de inflação é t ∼ 10−12 GeV−1 ,
onde nos valemos de que Mpl = 1.22 · 1019 GeV e m ≈ 5 · 10−7 Mpl [4]. Portanto, a inflação
consiste numa expansão exponencial num intervalo de tempo muito curto.
2.3 Inflação Morna
Na inflação morna, considera-se a interação do ı́nflaton com outros campos durante
o regime inflacionário. Estas interações são responsáveis por produzir radiação através do
decaimento do ı́nflaton, logo, produzindo entropia. A interação é incluı́da adicionando-se
à Eq. (45) da inflação fria o termo Υφ̇:
ϕ̈ + 3H ϕ̇ + Υϕ̇ + V,ϕ = ξ,
(63)
além do termo ξ que é uma força aleatória. A inclusão concomitante destes dois termos
está relacionada ao teorema de flutuação-dissipação [53]. Porém, com ϕ(~x, t) = φ(t) +
δφ(~x, t) (parte homogênea mais perturbação), o nı́vel não perturbativo (homogêneo), que
é o de nosso interesse, fica apenas
φ̈ + 3H φ̇ + Υφ̇ + V,φ = 0,
(64)
onde o termo de força aleatória é absorvido na primeira ordem de perturbação. O termo
Υφ̇, que é o único que difere para o caso da inflação fria, é uma aproximação para o
decaimento do ı́nflaton devido às interações deste com os campos que contém o banho
térmico no qual está imerso, sendo válido apenas quando este se mantém próximo ao
equilı́brio térmico [33].
Com o decaimento do ı́nflaton, pode haver uma quantidade considerável de radiação durante a inflação. Isso não representa, porém, um problema desde que a energia
de vácuo ainda seja dominante - essa é a única condição imposta pela teoria da Relatividade Geral para que haja inflação. A produção de radiação e a expansão competem
33
durante o regime inflacionário. Podemos visualizar melhor essa caracterı́stica reescrevendo
a equação do movimento do ı́nflaton (64) na forma
φ̈ + 3H(1 + Q)φ̇ + V,φ = 0,
(65)
onde definiu-se Q = Υ/3H. Com a definição deste parâmetro, podemos dizer que ocorre
inflação morna, de fato, quando Q >> 1, chamado de regime de alta dissipação. Dessa
forma, radiação suficiente é produzida e não há necessidade de reaquecimento. Para
Q << 1, temos o regime da baixa dissipação, onde ainda há radiação sendo produzida.
Porém, a quantidade de radiação pode fazer a inflação morna necessitar de reaquecimento
adicionalmente ou ser desprezı́vel a ponto de voltarmos ao caso da inflação fria. Este
trabalho está focado, portanto, no regime de inflação morna com alta dissipação.
Outro ponto importante é o que separa exatamente a inflação fria da inflação
morna. Para entender isto, precisamos falar sobre perturbações que ocorrem durante a
inflação, embora não faça parte do trabalho. Durante a inflação, ocorrem flutuações do
ı́nflaton. Estas flutuações são, a grosso modo, maximizadas devido à expansão e se tornam
as inomogeneidades na distribuição de matéria observadas nos dias de hoje através da
detecção da RCF. Estas inomogeneidades deram origem a todas as estruturas existentes
no universo. Costuma-se dizer que as flutuações ou perturbações foram as sementes para
a formação das estruturas. Dito isto, o caráter destas perturbações pode ser quântico ou
térmico. Flutuações quânticas são tı́picas da inflação fria, enquanto flutuações térmicas
da inflação morna. Tomando como base a temperatura Hawking TH = H/(2π), quando
esta é maior que a temperatura Tr do banho térmico, temos dominância das flutuações
quânticas sobre as térmicas. Já quando a temperatura do banho térmico é maior que
a temperatura Hawking, temos dominância das flutuações térmicas. Logo, a separação
entre inflação fria e morna ocorre em Tr ≈ TH . Desta forma, para ocorrer inflação morna
necessita-se obedecer à condição
Tr ' TH .
(66)
Sabendo-se que para a radiação ρr ∝ T 4 , esta mesma condição pode ser expressa por
ρr1/4 ' H.
(67)
Como vimos, o termo Υφ̇ na equação de conservação de energia do ı́nflaton (64)
representa uma perda de energia. A esse termo de perda deve corresponder um termo
de ganho de energia na equação de conservação de energia do fluido de radiação, tal que
haja conservação da energia total. Escrevendo em termos das densidades, a Eq. (64) é
dada por
ρ̇φ + 3H(ρφ + pφ ) = −Υφ̇2 .
(68)
34
A esta equação, para conservação da energia total, corresponde ao banho térmico, cuja
equação é dada por
ρ̇r + 3H(ρr + pr ) = Υφ̇2 .
(69)
Desta equação da radiação, lembrando que pr = ρr /3, temos
ρ̇r = −4Hρr + Υφ̇2 .
(70)
O termo 4Hρr é responsável pelo decaimento exponencial da radiação, como na inflação
fria. Já o termo Υφ̇2 representa a radiação que se mantém durante a inflação sem ser
diluı́da.
A entropia por partı́cula s = s(φ, T ), de acordo com a definição termodinâmica,
é dada pela derivada do potencial termodinâmico f (funcional de Helmholtz) [59]. Em
teoria quântica de campos, f = Vef , onde Vef = Vef (φ, T ) é o potencial efetivo17 . A partir
de agora, explicitamos as dependências do potencial na temperatura e em φ. Υ = Υ(φ, T )
também pode depender da temperatura.
Sabendo-se que a função de Helmholtz é dada por
f = ρ − T s,
(71)
e que f = Vef , da relação termodinâmica s = −∂f /∂T , temos que
s = −Vef ,T .
(72)
Disto, temos que a Eq. (71) é dada por
φ̇2
+ Vef (φ, T ) + T sr ,
ρ=
2
(73)
onde incluı́mos o termo cinético. O potencial efetivo para um campo escalar é dado por [4]
λπ 2 2 2 π 2 4
Vef (φ, T ) = V (φ) −
T φ − T .
48
30
(74)
Para o nosso caso, o potencial efetivo Vef (φ, T ) inclui ρr , que é dado por
ρr =
π 2 g(T ) 4
T ,
30
(75)
onde g(T) é o número total de graus de liberdade sem massa do banho térmico (m << T ).
17
O potencial efetivo corresponde ao potencial clássico acrescido de correções térmicas devido ao ı́nflaton
estar imerso num banho de radiação
35
Figura 2 - Diferenças básicas entre as dinâmicas das equações das inflações fria e morna.
Fonte: BERERA, 2006, p. 8. Adaptado pelo autor.
No caso da pressão, como p = −Vef , incluindo o termo cinético temos
p=
φ̇2
− Vef (φ, T ).
2
Discutidos os detalhes relevantes, as equações da inflação morna são dadas por
!
2
8πG
φ̇
H2 =
+ V (φ, T ) + T sr ,
3
2
(76)
(77)
φ̈ + 3H(1 + Q)φ̇ + V,φ (φ, T ) = 0,
(78)
ρ̇r + 4Hρr = Υφ̇2
(79)
Apresentados os modelos de inflação fria e morna, agora o leitor tem embasamento
para observar a Fig. 2 e perceber claramente as diferenças entre estes.
36
2.3.1 Aproximação de Rolamento Lento para a Inflação Morna
Da mesma forma que para a inflação fria, podemos obter uma aproximação de
rolamento lento. Das equações da inflação morna (78) e (79)
!
2
8πG
φ̇
H2 =
+ V (φ, T ) + T sr ,
(80)
3
2
φ̈ + 3H(1 + Q)φ̇ + V,φ (φ, T ) = 0,
(81)
ρ̇r + 4Hρr = Υφ̇2 ,
(82)
fazemos as mesmas aproximações feitas para a inflação fria, com a adição das aproximações
4Hρr ρ˙r Υφ̇2 ρ˙r na equação da radiação (82), correspondendo ao decaimento quase
estável do ı́nflaton em radiação. Isso significa que ρr não sofre grandes variações durante
a inflação, ou seja, a produção de radiação ocorre de maneira suave.
Temos, portanto,
V φ̇2 /2 + ρr ,
(83)
3H(1 + Q)φ̇ φ̈,
(84)
4Hρr , Υφ̇2 ρ˙r .
(85)
Dito isto, as equação acima simplificam-se para
H2 =
8πG
V (φ),
3
(86)
3H(1 + Q)φ̇ + V,φ (φ) = 0,
(87)
4Hρr = Υφ̇2 .
(88)
Podemos agora definir os parâmetros de rolamento lento analogamente à inflação
fria. Definimos generalizações dos parâmetros e η, relacionados a restrições na forma do
potencial, porém, acrescentamos dois parâmetros β e b:
2
1
V,φ
1
V,φφ
=
, η=
,
16πG V
8πG
V
1
Υ,φ V,φ
T V,φT
β =
, b=
.
8πG
ΥV
V,φ
(89)
(90)
O parâmetro β está relacionado à necessidade do coeficiente de dissipação ser não nulo. Já
37
Figura 3 - Número de e-folds N para os casos sem dissipação, dissipação constante e
dissipação quadrática em φ. As condições iniciais utilizadas foram (φ0 , φ̇0 ,
H0 , N0 ) = (3.4Mpl , 0, 7.0mφ , N0 = 0). O potencial usado foi V = m2φ φ2 /2,
onde mφ = 10−6 Mpl .
Fonte: O AUTOR, 2012.
o parâmetro b assegura que as correções térmicas ao potencial sejam pequenas comparadas
ao termo clássico. O regime inflacionário ocorre enquanto forem satisfeitas as condições
< 1 + Q,
|η| < 1 + Q,
β < 1 + Q,
b < 1 + Q.
(91)
Outra quantidade que sofre modificação é o já definido número de e-folds, dado agora por
Z tf
Z φf
a(t)
8π
(1 + Q)V
N = ln
=
Hdt = − 2
dφ
(92)
a0
Mpl φi
V0
ti
Observando os parâmetros de rolamento e o número de e-folds, vemos claramente
que o efeito da dissipação do ı́nflaton é de aumentar a condição de validade dos parâmetros
de rolamento lento, ou seja, de sustentar um maior tempo de inflação e, consequentemente,
aumentar também o número de e-folds. As figuras 3 e 4 servem de ilustração para o que
foi dito. Escolhendo agora um potencial, novamente V = m2φ φ2 /2 por simplicidade e
para fins de comparação,


Zφi
mMpl 
1
Υ 
φ = φ0 + √
dφ ,
(93)
−t + 2
m
φ
12π
φf
38
Figura 4 - Número de e-folds N para os casos sem dissipação, dissipação constante e
dissipação quadrática em φ. As condições iniciais e potencial utilizados foram
os mesmos da Fig. 3.
Fonte: O AUTOR, 2012.
r 

Zφ0
 4π 
mMpl
m
Υ


√
a = a0 exp(Ht) = a0 exp
φ0 −
t
t+
dφ
.
 3

Mpl
mMpl
12π
(94)
φ
Observa-se das Eqs. (93) e (94) que o termo relacionado à dissipação tem o efeito
de aumentar a duração do regime inflacionário e a aceleração do universo. O que podemos
concluir é que, tomando as mesma condições iniciais, a dissipação prolonga o tempo de
inflação e o número de e-folds. Logo, podemos tomar condições iniciais de valores menores
e obter o mesmo número de e-folds que para a inflação fria.
2.4 Inflação Morna com um Fluido de Radiação Viscoso
Dentro do contexto de inflação morna, o acoplamento do ı́nflaton com outros campos durante a inflação pode ocorrer de mais de uma forma. O ı́nflaton φ pode, por exemplo, estar diretamente acoplado ao campo de radiação σ que compõe o banho térmico,
sendo σ um campo escalar leve. Esse acoplamento causa o decaimento do ı́nflaton nestas
partı́culas σ. Esse é o chamado decaimento direto. Podemos, porém, ter o caso do ı́nflaton
acoplado a um campo escalar massivo χ, que por sua vez está acoplado ao já mencionado
39
campo σ. Não há acoplamento direto entre φ e σ. A lagrangeana deste modelo é dada
por
Lint
g12 2 2
λσ
= − φ χ − h1 mχ χσ 2 − σ 4 ,
4
4!
(95)
onde g1 , h1 e λσ são acoplamentos e mχ = g12 φ2 /2 . Neste caso, o ı́nflaton interage com o
campo massivo e decai em partı́culas deste. Por sua vez, as interações entre os campos χ
e σ causam o decaimento do campo massivo χ em radiação σ. O campo χ é chamado de
campo intermediário ou catalisador, visto que sua função é apenas transferir sua energia
de φ para σ. Esse é um caso de decaimento indireto [61, 62]. O produto final é um fluido
composto somente por radiação como no caso direto. Porém, ocorre um efeito adicional
no banho térmico durante esse processo. Durante a inflação, temos o ı́nflaton imerso
num banho térmico composto por dois tipos de fluidos. Essa mistura dá origem a um
efeito de viscosidade, chamado viscosidade volumar. Essa viscosidade consiste num termo
Π adicional à pressão do fluido, fazendo com que este tenha uma pressão efetiva. Essa
pressão, chamada de pressão viscosa, é sempre negativa, portanto, a pressão efetiva é
sempre menor que a pressão do fluido perfeito. Diminuindo a pressão efetiva e sabendo
que a inflação ocorre para pressões negativas, o efeito da pressão viscosa é contribuir
na taxa de expansão do universo. Isso pode ser visualizado diretamente observando a
presença da pressão, agora efetiva, na equação da aceleração (20). Esta terá, portanto,
um efeito semelhante à dissipação Υ, apesar de suas diferentes origens.
Como a proposta deste trabalho é estudar os efeitos da viscosidade volumar, logo,
estamos interessados no decaimento indireto devido ao aparecimento desta. Mas, a grosso
modo, estamos interessados no caso em que o ı́nflaton está imerso num banho térmico
viscoso.
Um outro caso, que citamos apenas por completeza, é quando consideramos a
dinâmica de dois campos escalares, o ı́nflaton φ e χ, imersos num banho térmico composto
por um único fluido σ. Essa é a chamada inflação hı́brida.
Vale ressaltar que o que chamamos de radiação pode ter uma interpretação bem
geral. Consideramos como radiação partı́culas de massa desprezı́vel ou sem massa ou
partı́culas massivas relativı́sticas. Considerando o fluido composto por partı́culas de χ e
σ em conjunto, para um meio térmico as partı́culas de maior massa têm suas densidades
e pressões suprimidas em relação às partı́culas mais leves. Essa é a chamada supressão de
Boltzmann, exp (−E/kB T ), onde E é a energia e kB a constante de Boltzmann. Desta
forma, o desvio da equação de estado pr = ρr /3 é muito sutil.
Até o presente momento, discutimos apenas qualitativamente o efeito da dissipação
Υ e da pressão viscosa Π. Porém, tanto o coeficiente de dissipação Υ quanto o de viscosidade ζ, relacionado à pressão viscosa Π (veremos mais à frente), podem ser obtidos
a partir de primeiros princı́pios através de um estudo microscópico realizado via teoria
40
quântica de campos - uma vez que se determine um modelo especı́fico a ser estudado.
Adicionando no tensor energia-momentum do fluido de radiação o termo de pressão
viscosa Π à pressão de equilı́brio, temos
T µν = (ρ + p + Π)uµ uν + (p + Π)g µν .
(96)
Visto que a pressão viscosa é um efeito relacionado à dinâmica do fluido de radiação
somente, a equação de fundo do ı́nflaton permanece inalterada. A equação da radiação,
obviamente, sofre somente a modificação p → p + Π. Logo, temos
ρ̇r + 3H(ρr + pr + Π) = Υφ̇2 ,
ρ̇r + 4Hρr + 3HΠ = Υφ̇2 .
(97)
Iremos, porém, usar a equação para entropia da radiação s ao invés da densidade de energia por questão de conveniência. Valendo-se da relação que relaciona s e ρr no equilı́brio,
encontrada em [4], temos que
T s = (pr + ρr ).
(98)
Como escrevemos pr = (γ − 1)ρr , temos
T s = γρr .
(99)
Desta relação, a equação da entropia é dada por
T ṡ + 3H(T s + Π) = Υφ̇2 .
(100)
Apenas para dar uma ideia do efeito da pressão viscosa na inflação, tomamos a forma
mais simples conhecida para esta, dada por Π = −3ζH. Esta é a pressão viscosa de teoria
de Eckart, abordada em detalhes mais adiante. No capı́tulo 3, são dados todos os detalhes
a respeito deste fluxo dissipativo e de extensões deste. A figura 5 mostra que o efeito da
pressão viscosa é intensificar o regime inflacionário. O número de e-folds aumenta para
os valores representativos tomados.
41
Figura 5 - Número de e-folds N para os casos em que não há efeitos dissipativos
(inflação fria) e quando há pressão viscosa. As condições iniciais e potencial
utilizados foram os mesmos da Fig. 3, acrescidos da condição inicial
Π = −3ζH, onde ζ = 0.2(mφ /8πG).
Fonte: O AUTOR, 2012.
42
2.5 Coeficientes Hidrodinâmicos
Nesta seção, expomos superficialmente como os coeficientes de dissipação e de
viscosidade são obtidos via teoria quântica de campos.
2.5.1 Dissipação Υ
Consideremos um campo escalar de fundo homogêneo ϕ acoplado a outros graus
de liberdade X, que podem ser tanto bósons, férmions ou ambos. Supomos um potencial
dado por
V (ϕ, X) = V (ϕ) + Vint (ϕ, X).
(101)
O primeiro termo representa a energia potencial do campo de fundo e o segundo o tipo
de acoplamento entre ϕ e os outros campos. O termo de interação é escolhido como
Vint (ϕ, X) = f (ϕ)g(X).
(102)
A dissipação é calculada por
Z
Υ = d4 x ΣR (x, x0 )(t − t0 ),
(103)
onde ΣR (x, x0 )(t − t0 ) é a auto-energia retardada, definida por
2
∂f (ϕ)
Θ(t − t0 )h[g(X(x), g(X(x0 )]i.
ΣR (x, x ) = −i
∂ϕ
0
(104)
2.5.2 Viscosidade ζ
O tensor energia-momentum geral para um fluido não ideal (sem fluxo de calor) é
dado por
2
eq
Tij = Tij − ζb δij ∂k uk − ζs ∂i uj + ∂j ui − δij ∂k uk ,
(105)
3
onde ζb e ζs são as viscosidades volumar e laminar, respectivamente. Estas se originam
de fluxos dissipativos, que serão discutidos com detalhes no capı́tulo 4. Porém, como
veremos, apenas a viscosidade ζb , que a partir de agora escrevemos como ζ somente, terá
impacto nas equações de fundo. A viscosidade ζ está relacionada ao fluxo Π apresentado
na seção 3.4.
Definida pela fórmula de Kubo da teoria de resposta linear, a viscosidade volumar
43
é obtida [63] de
Z
1
1
d3 xdteiωt < P(x, t), P(0) >,
ζ = lim
2 ω→0 ω
(106)
onde
1
P(x) = − Ti i (x) + vs2 T00 (x),
3
(107)
e
vs2
=
∂p
∂ρ
(108)
é a velocidade do som local.
2.5.3 Cálculo dos Coeficientes Υ e ζ
Estamos interessados na análise de estabilidade da inflação morna levando em
conta a dependência térmica dos coeficientes hidrodinâmicos. Para isso, precisamos saber
exatamente como se dá essa dependência.
Tomando a lagrangiana (95), pode-se calcular os coeficientes hidrodinâmicos, cujas
definições foram apresentadas na seção anterior e cujos cálculos são realizados no contexto
de teoria quântica de campos. Nesta dissertação, não apresentaremos tais derivações, mas
o leitor interessado pode encontrar todos os detalhes necessários nas referências [63–65]. A
forma precisa encontrada nesses cálculos de coeficientes depende da temperatura do banho
térmico e das massas dos campos envolvidos. Por exemplo, considerando a situação em
que o campo χ está num regime dito de baixa temperatura em relação ao banho térmico,
mχ < T , mas com σ num regime de alta temperatura o coeficiente de dissipação Υ pode
ser obtido precisamente [64] e vem dado por
Υ = 0.013
h41 T 3
Nχ Nσ2 .
ϕ2
(109)
O fator Nχ Nσ2 na equação acima é um fator multiplicativo, levando em conta a possibilidade de ter Nχ campos χ e Nσ campos σ nas interações. Para garantir a validade
do resultado (109), o campo χ deve se manter próximo do equilı́brio térmico durante a
inflação, ou seja,
Γχ H ,
(110)
onde Γχ é a taxa de decaimento para o campo χ.
Para a viscosidade volumar há dois possı́veis regimes. Um deles ocorre quando a
44
contribuição do campo leve σ domina a equação de transporte e é dado (ver [63]) por
ζ ' 8.9 · 10−5 λσ [ln(0.065λσ )]2 T 3 Nσ .
(111)
A consistência desse resultado, derivado próximo ao equilı́brio térmico para o campo σ,
requer que
Γσ H,
(112)
onde Γσ é a taxa de decaimento para o campo σ. Ambas as taxas de decaimento podem
ser funções do campo de ı́nflaton e da temperatura, Γ = Γ(φ, T ).
O segundo regime ocorre quando a contribuição dominante se deve ao campo pesado χ. Neste caso, da ref. [65], temos
ζ ' 4.25 · 10−3
h41 T 5
N N 2,
2 2 χ σ
g1 ϕ
(113)
com a condição de equilı́brio térmico dada pela relação (110). O resultado (113) domina
sobre (111) quando
0.02g12 λσ ln2 (λσ ) ϕ2
1.
h41 Nχ Nσ2
T2
(114)
Todos os coeficientes estão também sujeitos à validade da aproximação de adiabaticidade
e quase-equilı́brio
ϕ̇
Γχ , Γσ ,
ϕ
Ṫ
Γχ , Γσ ,
T
(115)
(116)
que assume que a fı́sica dissipativa microscópica ocorre mais rapidamente que os efeitos
macroscópicos causados pela dissipação e próxima ao equilı́brio térmico. Por fim, identificando as taxas de decaimento Γi (i = χ, σ) com o inverso de uma escala temporal de
resposta τi (livre tempo médio), podemos escrever as condições
ϕ̇ Ṫ
, H τi−1 .
ϕ T
No capı́tulo seguinte, essa escala temporal é discutida com mais detalhes.
(117)
45
2.6 A Inflação como Solução para as Falhas do Modelo Cosmológico Padrão
As falhas do modelo cosmológico padrão foram resolvidas através da inflação, discutida neste capı́tulo. Alan Guth, em seu trabalho [19], apesar de não ter sido o primeiro a
estudar a inflação, foi o pioneiro em mostrar como esta pode resolver estas falhas. Seguem
os quatro problemas principais.
• Planura: A inflação nos diz que o universo se expande exponencialmente durante
um curto intervalo de tempo, o que de fato resolve o problema da planura. Da
Eq. (19) e lembrando que tanto para a inflação fria quanto para a morna a =
a0 exp (Ht), Eqs. (55) e (94), respectivamente, temos:
Ω−1=
k
a2 H 2
→
Ω−1=
k
a0 exp(Ht)H 2
→
Ω≈1
Portanto, o parâmetro de densidade é muito próximo da unidade desde o universo
primordial, resolvendo o problema do ajuste fino das condições iniciais. A razão de
|Ω − 1| entre o fim e o inı́cio da inflação
|Ωf − 1|
∼
|Ωi − 1|
ai
af
!2
= e−2N
precisa ser da ordem de 10−60 , onde |Ωf − 1| ≈ 10−60 e se assumiu |Ωi − 1| ≈ 1.
Portanto, para resolver o problema da planura precisamos N & 70, onde N é o já
definido número de e-folds.
• Horizonte: A inflação resolve esse problema de uma maneira simples. O universo
que agora não poderia estar em contato causal já esteve anteriormente. O universo está dentro do raio de Hubble, de forma que todos os seus pontos possuı́am
contato causal. A inflação, porém, expandiu o universo exponencialmente, tornado
distantes (desconectados) os pontos outrora próximos, porém estes preservaram as
informações de antes da expansão (ver Fig. 6). Isso explica a grande isotropia na
temperatura da RCF observada pelos satélites COBE e WMAP. Como no problema
da planura, pode-se mostrar que N & 70 também resolve o problema do horizonte.
• Formação das estruturas: Durante a inflação, ocorrem perturbações na densidade geradas por flutuações quânticas do ı́nflaton. À medida que o universo se
expande essas flutuações quânticas são ampliadas e levadas para fora do horizonte,
podendo agora serem tratadas como clássicas. Ao fim da inflação, estas não se encontram em contato causal por estarem fora do horizonte; porém, como agora se
encontram na era da radiação, o horizonte volta a crescer e as flutuações são levadas
novamente para dentro deste. Tendo retornado para dentro do horizonte, termina-
46
Figura 6 - Universo inicialmente com contato causal e desconectado após a inflação, mas
mantendo equilı́brio térmico.
Fonte: WATSON, 2000, p. 85. Adaptado pelo autor.
mos com perturbações em grandes escalas, visualizadas através da observação da
RCF.
• Produção de resı́duos: Durante a inflação, a densidade de energia do universo
(energia do vácuo) varia muito lentamente. Porém, partı́culas massivas como os
monopolos são rapidamente diluı́das devido à expansão. O mesmo ocorre para os
demais defeitos topológicos.
47
3 TERMODINÂMICA RELATIVÍSTICA
3.1 Uma Breve Apresentação
Antes de discutir a termodinâmica relativı́stica irreversı́vel, é didaticamente importante que se estabeleça e discuta primeiramente alguns conceitos básicos que nos levarão
naturalmente a esta.
A termodinâmica é a área da fı́sica que estuda os efeitos relacionados ao fluxo de
energia em um sistema. São estes fluxos o calor (energia térmica) e o trabalho realizados
pelo sistema. Por se tratar de uma teoria macroscópica, tomamos pequenos elementos
do fluido que estamos analisando tal que sejam pequenos o suficiente pra atribuirmos
quantidades fı́sicas uniformemente definidas a este e grandes o suficiente para conter
um número suficientemente grande de partı́culas18 . Estas quantidades macroscópicas
caracterizam o comportamento aproximado do sistema, estando a temperatura, a pressão
e o volume entre as mais importantes quantidades. Os processos fı́sicos são observados
através das variações destas quantidades.
Dito isto, podemos enunciar a primeira lei da termodinâmica.
A variação de energia interna ∆U de um sistema é igual à diferença entre o calor δQ
cedido a este menos o trabalho δW realizado por este em sua vizinhança:
∆U = δQ − δW.
(118)
Uma grandeza que merece destaque devido a sua grande importância é a entropia S.
Esta foi definida por Clausius e está relacionada à variação de energia térmica durante
um processo, dependendo apenas dos estados iniciais e finais.
Zf
∆S =
δQ
.
T
(119)
i
A partir do conceito de entropia, podemos discutir o que chamamos de reversibilidade de um processo. Um processo reversı́vel é aquele em que não há variação de
entropia, ou seja, ∆S = 0. Esta é uma caracterı́stica da termodinâmica de equilı́brio.
Já um processo irreversı́vel é aquele em que há dissipação de energia na forma de calor.
Dessa forma, o sistema obtém um ganho de energia térmica e sua entropia cresce.
18
Com o objetivo de obedecer o limite termodinâmico. Através dessa análise média, evitamos estudar o
comportamento individual de cada partı́cula como na mecânica.
48
Introduzidos os conceitos de entropia e de reversibilidade, podemos sumarizar o
que foi dito enunciando a segunda lei da termodinâmica da seguinte forma:
A entropia ∆S de um sistema isolado não se altera se ele realiza um processo reversı́vel
e aumenta se ele realiza um processo irreversı́vel:
∆S ≥ 0.
(120)
Uma vez que haja produção de entropia, o sistema fica impossibilitado de retornar exatamente ao que era. Portanto, todo sistema fı́sico tende a buscar o estado de máxima
entropia, sendo este seu estado final de equilı́brio.
É importante salientar que um sistema isolado é diferente de um sistema fechado.
A fronteira de um sistema fechado impede apenas a troca de matéria com o meio externo,
enquanto a de um sistema um sistema isolado não permite nenhum tipo de troca.
Enquanto um sistema isolado não permite nenhum troca através de sua fronteira,
o sistema fechado
Estas leis são os principais e fundamentais ingredientes para o entendimento da
termodinâmica, ficando a cargo do leitor buscar as leis zero e terceira.
O próximo passo é estudar a termodinâmica no contexto relativı́stico, já que estamos trabalhando com relatividade. Para isso, temos que escrever as conhecidas quantidades termodinâmicas na linguagem matemática adequada. Isso significa que estas
quantidades devem ser expressas por tensores e suas leis de conservação devem ser generalizadas para a forma covariante. As termodinâmicas de equilı́brio (ou reversı́vel) e fora
do equilı́brio (ou irreversı́vel) ganham apenas um formalismo geral, onde são incluı́dos
efeitos de curvatura do espaço-tempo. O que realmente é relevante de se estudar é a
inclusão de fluxos dissipativos, que levam o sistema para fora do equilı́brio. Portanto, nos
focamos na termodinâmica irreversı́vel.
A próxima seção apresenta um breve resumo da termodinâmica de equilı́brio na
forma covariante. A seção seguinte a esta trata da termodinâmica irreversı́vel, expondo
algumas propostas existentes na literatura para descrever os fluxos dissipativos e que são
analisadas neste trabalho.
49
3.2 Termodinâmica de Equilı́brio
3.2.1 Leis de Conservação
Um fluido ideal tem seu estado termodinâmico caracterizado pelos escalares n, ρ,
p, S e uµ , que são, respectivamente, a densidade de número19 , a densidade de energia, a
entropia especı́fica e a 4-velocidade. Estes compõem os tensores
N µ = nuµ ,
T µν = ρuµ uν + phµν ,
S µ = Suµ ,
(121)
onde hµν = uµ uν + g µν é o chamado tensor de projeção. N µ é 4-número de densidade, T µν
é o tensor energia-momentum e S µ é a 4-entropia. Estes tensores estão sujeitos às leis de
conservação
∇µ N µ = 0 ,
∇µ T µν = 0 ,
∇µ S µ = 0,
(122)
onde a última relação é a forma covariante da segunda lei da termodinâmica para a
termodinâmica de equilı́brio. Definimos mais uma importante quantidade, a temperatura
T, através da equação de Gibbs
ρ
1
+ pd
.
(123)
T dS = d
n
n
A equação de Gibbs indica que se escolhemos duas variáveis termodinâmicas como sendo
independentes, as demais variáveis podem ser tomadas como funções destas. Se escolhermos, por exemplo, n e ρ como variáveis independentes, as demais variáveis são p(n, ρ),
S(n, ρ) e T (n, ρ). Dado o valor de uma destas, todas as demais estão determinadas. Em
geral, assume-se a equação de estado barotrópica para a pressão p = p(ρ). Em geral se
assume a relação linear p = wρ, onde w = 0 para matéria não relativı́stica (poeira) e
w = 31 para radiação.
3.3 Termodinâmica Fora do Equilı́brio
As primeiras tentativas de formular uma termodinâmica relativı́stica irreversı́vel
sofriam de um problema de causalidade, relacionado à velocidades infinita de propagação
dos fluxos de calor e viscosidades. A causalidade é consequência de se assumir que a
4-entropia é linear nos fluxos dissipativos [66, 67]. Esse problema é resolvido quando
19
Pode ser entendido como uma densidade de partı́culas.
50
consideramos a 4-entropia como sendo uma função quadrática dos fluxos [68–71]. Esta dá
origem a novos coeficientes de transporte, sendo alguns deles identificados com tempos de
relaxação e outros com acoplamentos entre os fluxos dissipativos. A presença de tempos
de relaxação tornam a velocidade de propagação finita, provendo uma dinâmica causal.
Além disso, pode-se mostrar que a teoria causal de Israel-Stewart (IS) é estável [72], em
contraste com a teoria de Eckart, para todos os fluidos estáveis. Então, a partir da teoria
de IS, estamos, a princı́pio, aptos a descrever processos termodinâmicos relativı́sticos
próximos ao equilı́brio.
As teorias de Eckart e de IS são as mais usadas na literatura no que se refere
à cosmologia (ver [73] para IS). No entanto, devemos ser cuidadosos quanto à validade
da linearidade assumida para os fluxos dissipativos. Na inflação morna, quando estamos
interessados no regime de alta dissipação Υ 3H, o intenso decaimento do ı́nflaton em
radiação pode levar o sistema para fora do regime linear. Portanto, uma teoria mais
robusta deve ser considerada para descrever corretamente esse regime não linear e manter
sua estabilidade.
Além das teorias de Eckart e IS, há outras três interessantes generalizações que
podem ser encontradas na literatura. A primeira, que é terceira e última que daremos
enfoque neste trabalho além das duas já citadas, é a Nonlinear Causal Dissipative Hydrodynamics (NLCDH) [74], a qual descrevemos com mais detalhes adiante. A segunda
consiste em uma generalização não linear da teoria de IS [77]. Maartens e Méndez introduzem um tempo de relaxação ad hoc caracterı́stico de efeitos de não equilı́brio. Porém, por
hora não se pode atribuir de fato um significado fı́sico a este tempo de relaxação. A terceira e última é a General Equation for Non-Equilibrium Reversible-Irreversible Coupling
(GENERIC) [78, 79]. Esta consiste em considerar a pressão viscosa como uma variável
interna do sistema, em pé de igualdade com as variáveis hidrodinâmicas, ao invés de um
fluxo dissipativo como em todas as demais teorias. Desta, obtém-se automaticamente
uma equação de movimento para a pressão viscosa, sem assumir que estamos próximos
do equilı́brio. A dificuldade surge quando tentamos interpretar a nossa variável interna
de pressão viscosa e trazê-la para nosso objeto de estudo, faltando-nos informação para
uma descrição geral e que de fato ofereça algo adicional ao que as demais teorias oferecem20 . Portanto, mantemos neste trabalho as teorias de Eckart [66], de IS [69, 70] e
a NLCDH [74], como sendo mais seguras e suficientes para fazermos nossa análise no
contexto inflacionário.
É importante salientar que neste trabalho estamos interessados somente no efeito
20
No contexto das cosmologias dissipativas, uma aproximação plausı́vel é se considerar um gás de Boltzmann relativı́stico como suficiente para descrever o fluido viscoso em questão [80].
51
da viscosidade volumar21 , de forma que ao fim da formulação matemática, os efeitos de
fluxo de calor e viscosidade laminar presentes na 4-entropia são desprezados. O fluxo de
calor se anula porque apenas levamos em conta efeitos de temperatura e não de densidade,
ou seja, na ausência de potenciais quı́micos. Já a viscosidade laminar22 é nula por estarmos
considerando um universo FRW (homogêneo e isotrópico). É bastante válido comentar,
porém, que no contexto de perturbações de densidade, a viscosidade laminar não se anula
e merece as mesmas considerações que a viscosidade volumar [81].
3.3.1 Leis de Conservação
Um fluido não ideal é aquele que, devido a fluxos dissipativos, sofre desvios em suas
variáveis termodinâmicas. Supõe-se que estes desvios do equilı́brio sejam pequenos, tal que
ocorram próximos a um estado de equilı́brio local. As variáveis termodinâmicas locais são
as mesmas definidas para a termodinâmica de equilı́brio na seção anterior, aqui denotadas
por n, ρ, p, S e T . Já para o estado fora do equilı́brio, escolhemos o chamado referencial
da partı́cula [70] (que só pode ser tomado próximo ao equilı́brio) onde o 4-número de
densidade se mantém invariante e a 4-velocidade é como uma média no referencial onde
não há fluxos dissipativos. Neste referencial, as variáveis termodinâmicas coincidem com
as variáveis de equilı́brio local, com exceção da pressão, que se torna uma pressão efetiva.
Portanto,
n=n ,
ρ=ρ ,
pef f = p + Π,
(124)
onde Π é um fluxo dissipativo chamado pressão viscosa volumar. Adicionalmente, além
deste, outros possı́veis fluxos dissipativos são o fluxo de calor q µ e a viscosidade laminar
(ou estresse laminar) π µν . Com a inclusão destes efeitos, as variáveis termodinâmicas na
forma covariante resultam
N µ = nuµ ,
T µν = ρuµ uν + phµν + q µ uν + q ν uµ + π µν ,
S µ = Suµ ,
(125)
sujeitas aos vı́nculos
qµ uµ = 0 ,
πµν = π<µν> ,
S µ = Suµ ,
(126)
onde < > indica que o tensor é completamente antissimétrico. Vemos que só há alterações
no tensor energia-momentum em comparação com a termodinâmica de equilı́brio. As leis
21
Tradução do termo em inglês bulk viscosity.
22
Tradução do termo em inglês shear viscosity.
52
para N µ e T µν se mantém inalteradas
∇µ N µ = 0 ,
∇µ T µν = 0,
Explicitamente, nas variáveis hidrodinâmicas, temos as equações de conservação
ṅ + 3Hn = 0,
(127)
ρ̇ + 3H(ρ + p + Π) + Dµ q µ + 2u̇µ q µ + σµν π µν = 0,
(128)
(ρ + p + Π)u̇µ + Dµ (p + Π) + (Dν + u̇ν )πµν +
+hµν q̇ν + (4Hhµν + σµν + ωµν )q ν = 0,
(129)
onde Dµ designa a derivada covariante espacial, σµν = u<µ;ν> e ωµν = hκµ hλν u[κ;λ] . Estas
são referentes à conservação do número de partı́culas, energia e momentum, respectivamente. A 4-entropia S µ , porém, agora obedece à forma geral covariante da segunda lei
da termodinâmica
∇µ S µ ≥ 0.
(130)
A entropia agora deve ganhar uma contribuição dissipativa, decorrente dos fluxos não
nulos presentes no tensor energia-momentum. Esta contribuição, porém, não possui uma
forma fechada, sendo o único vı́nculo a condição (130). Porém, é plausı́vel pensar que a
melhor forma de escrever a 4-entropia seja
S µ = SN µ +
Qµ
,
T
(131)
µ
assumindo-se que Qµ = Qµ (N µ , T µν ) e que Qµ = Q no equilı́brio. Assumimos também,
por fim, que S = S e T = T , valendo para estas a termodinâmica de equilı́brio.
A termodinâmica irreversı́vel consiste, portanto, em inserir as forças dissipativas
Π, qµ , πµν às variáveis hidrodinâmicas de equilı́brio n, ρ e p que sejam capazes de descreverem fluxos de energia em um fluido não ideal. Esses fluxos, porém, não possuem
expressão exata, podendo ser apenas aproximados. Essa aproximação é dependente de
até que ordem expandimos a 4-entropia, cabendo à segunda lei da termodinâmica (130)
definir a forma dos fluxos.
O próximo passo, portanto, é expandir a 4-entropia e obter os fluxos dissipativos.
Quando expandimos até a primeira ordem, obtemos os fluxos dissipativos da teoria de
Eckart [66], ao passo que quando vamos até segunda ordem, obtemos os fluxos mais gerais
da teoria desenvolvida por IS [69, 70]. O caso da NLCDH [74] é um caso mais peculiar,
obtido a partir de assunções mais particulares e lógicas. Mas, com leves ressalvas, esta é
necessariamente um teoria de segunda ordem na 4-entropia.
Na próxima seção são analisados separadamente cada um dos casos.
53
3.4 Fluxos Dissipativos
3.4.1 Eckart
A teoria de Eckart assume que a 4-entropia é linear nos fluxos dissipativos. Em
primeira ordem, porém, o termo de não equilı́brio Qµ só pode ser proporcional a Π e qµ :
Qµ = a(n, ρ)Πuµ + b(n, ρ)q µ .
(132)
Para obter a e b, apliquemos a condição de equilı́brio. Para isto, tomemos o
referencial comóvel ao fluido, onde ds2 = −dτ 2 e uµ = (1, ~0). Impondo que S = −uµ S µ
seja máxima no equilı́brio,
∂
µ
(−uµ S )
= a(n, ρ) = 0.
(133)
∂Π
eq
Por fim, como q µ = (0, ~q) no referencial comóvel, b(n, ρ) = 1. Dessa forma,
qµ
S = SN + .
T
µ
µ
(134)
Podemos agora tomar a forma covariante da segunda lei da termodinâmica, (130), tomando a divergência da Eq. (134). Usando as Eqs. (123), (127) e (128), obtemos
T ∇µ S µ = − [3HΠ + (Dµ ln T + u̇µ ) q µ + σµν π µν ] .
(135)
Devemos agora assegurar que ∇µ S µ ≥ 0 seja satisfeita. A forma mais simples é assumir
que os fluxos dissipativos são proporcionais às forças dissipativas, dados por
Π = −3ζH,
(136)
qµ = −λ (Dµ ln T + u̇µ ) ,
(137)
πµν = −2ησµν ,
(138)
onde as funções ζ(n, ρ) ≥ 0, λ(n, ρ) ≥ 0, η(n, ρ) ≥ 0 são coeficientes dissipativos que
representam a viscosidade volumar, a condutividade térmica e a viscosidade laminar,
respectivamente. Com a introdução dos sinais negativos e definição dos coeficientes dissipativos como positivos, garantimos a positividade da entropia:
∇µ S µ =
Π2 qµ q µ πµν π µν
+
+
.
ζT
λT 2
2ηT
(139)
Mantivemos até agora os demais fluxos por questão de completeza na exposição
do assunto. Todos os fluxos são obtidos seguindo a mesma regra. Como este trabalho
54
trata somente de efeitos de pressão viscosa, temos somente Π 6= 0. Então, trabalharemos
basicamente com
∇µ S µ =
Π2
.
ζT
(140)
onde
Π = −3ζH.
(141)
O fluxo Π é linear à força dissipativa χE = 3H.
A teoria de Eckart é, porém, uma teoria acausal. Isto quer dizer que a velocidade
de propagação dos fluxos é infinita, logo, os efeitos no fluido são instantâneos. Isso poderá
ser observado na subseção seguinte no estudo da teoria de IS. Como a relatividade impõe
um limite superior na velocidade de propagação de uma onda, que é a velocidade da luz
no vácuo, esta é uma teoria inconsistente. Porém, analisando a teoria de IS podemos ver
que esta pode, dependendo do propósito, ser uma aproximação suficiente.
3.4.2 Israel-Stewart
A teoria de Israel e Stewart dá um passo além da teoria de Eckart, considerando desvios de segunda ordem do equilı́brio, ou seja, tomando a 4-entropia até a ordem quadrática
nos fluxos dissipativos. Esta pode ser escrita da forma mais geral como
q µ α0 Πq µ α1 Ππ µν q ν
+
+
+
T
T
T
uµ
β0 Π2 + β1 qν q ν + β2 πνλ π νλ
,
2T
S µ = Suµ +
+
(142)
onde αi (n, ρ) ≥ 0 e βj (n, ρ) ≥ 0 para i = 1, 2 e j = 0, 1, 2. Como queremos uma
comparação com a teoria de Eckart, desprezamos aqui os acoplamentos entre os fluxos de
viscosidade e calor α1 e α2 .
Tomando, com antes, a derivada covariante da 4-entropia, temos
T
β0 µ
µ
T ∇µ S = −Π 3H + β0 Π̇ + ∇µ
u Π +
2
T
T
β1 ν
µ
= −q Dµ ln T + u̇µ + β1 q̇ + ∇ν
u qµ +
2
T
T
β2 κ
µν
= −π
σµν + β2 π̇µν + ∇κ
u πµν .
(143)
2
T
Como fizemos para Eckart, para garantir a segunda lei da termodinâmica, Eq. (130),
55
impomos que os fluxos dissipativos sejam lineares nas forças dissipativas:
β0 µ
T
u Π ,
Π = −ζ 3H + β0 Π̇ + ∇µ
2
T
T
β1 ν
qµ = −λ Dµ ln T + u̇µ + β1 q̇ + ∇ν
u qµ ,
2
T
T
β2 κ
πµν = −2η σµν + β2 π̇µν + ∇κ
u πµν .
2
T
(144)
(145)
(146)
Perceba-se que agora temos derivadas temporais dos fluxos, portanto, estes passam a ser
dados por soluções de equações diferenciais. Reescrevendo as Eqs. (144), (145) e (146),
temos
ζT
τ0 µ
(147)
τ0 Π̇ + Π = −3ζH −
∇µ
u Π,
2
ζT
τ
λT 2
1
ν
τ1 hµν q̇ν + qµ = −λ (Dµ T + T u̇µ ) −
∇ν
u
qµ ,
(148)
2
2
λT
ηT
τ2 κ
κ λ
τ2 hµ hν π̇κλ + πµν = −2ησµν −
∇κ
u πµν ,
(149)
2
2ηT
onde identificamos τ0 = ζβ0 , τ1 = λT β1 e τ2 = 2ηβ2 como sendo tempos de relaxação.
Tomando novamente o referencial comóvel ao fluido, estas equações resultam
!
τ̇0 ζ̇ Ṫ
τ0
3H + − −
Π,
(150)
τ0 Π̇ + Π = −3ζH −
2
τ0 ζ T
!
τ1
τ̇1 λ̇
Ṫ
τ1 hµν q̇ν + qµ = −λ (Dµ T + T u̇µ ) −
3H + − − 2
qµ ,
(151)
2
τ1 λ
T
!
τ2
τ̇2 η̇ Ṫ
τ2 hµκ hνλ π̇κλ + πµν = −2ησµν −
3H + − −
πµν .
(152)
2
τ2 η T
A equação (150) referente à pressão viscosa é a que nos interessa, que nada mais é que
uma generalização da expressão algébrica de Eckart , assim como as duas equações que
seguem são generalizações de suas respectivas expressões na teoria de Eckart. Portanto,
ignorando o subscrito em τ0 por simplicidade, trabalhamos com a equação
!
τ̇
τΠ
ζ̇ Ṫ
τ Π̇ + Π = −3ζH −
3H + − −
.
(153)
2
τ
ζ T
O fluxo Π continua sendo linear na força dissipativa, porém, esta agora é generalizada
para χIS = 3H + β0 Π̇ + T2 ∇µ βT0 uµ Π.
É simples perceber que a diferença entre a teoria de Eckart e de IS está na presença
de tempos de relaxação, que decorrem da ordem quadrática nos fluxos da 4-entropia. Na
referência [72], há o cálculo da contribuição de velocidade de propagação de Π devido ao
56
efeito de viscosidade ζ, dada por
c2visc =
ζ
.
(ρ + p)τ
(154)
Esta expressão mostra que a presença de um tempo de relaxação torna a velocidade de
propagação do fluxo finita, ou seja, causal. Concluı́mos, portanto, que na teoria de Eckart,
onde τ = 0, o fluxo se propaga instantaneamente.
Cabe agora mencionar do que se trata o tempo de relaxação. Este é relacionado
ao tempo livre médio de colisão, portanto,
τ'
1
,
σv
(155)
onde σ é a seção de choque e v a velocidade média de cada partı́cula. Isso quer dizer que
quando há uma perturbação num fluido, o tempo livre médio τ toma um valor finito e
maior que zero em decorrência da diminuição de v. À medida que essa perturbação se
dissipa, v aumenta e τ naturalmente decresce.
Em modelos de teoria quântica de campos, porém, podem-se calcular taxas de
decaimento Γ de partı́culas em interação. Pode ser feita a relação entre o tempo de
relaxação τ e o inverso dessas taxas de decaimento Γ−1 , com a justificativa de que é a
escala temporal de respota do sistema.
Em cosmologia, H −1 é uma escala temporal natural23 . É necessário que as partı́culas
presentes no universo interajam numa escala temporal mais rápida que a de expansão,
de forma que o universo se mantenha termalizado (em equilı́brio térmico). Em outras
palavras, a seguinte condição deve ser satisfeita:
τ < H −1 .
(156)
Retornando à equação de IS para a pressão viscosa (153), é importante mencionar
que a assunção de proximidade do equilı́brio pode ser traduzida em tomar os fluxos dissipativos muito pequenos quando comparados à pressão de equilı́brio. Uma vez que, em
geral, usamos p = p(ρ), podemos escrever a aproximação como
|Π| ρ,
(157)
valendo o mesmo para os demais fluxos quando não nulos.
Considerando um fluido de equação barotrópica p = (γ − 1)ρ e temperatura T ∝
23
A escala temporal é relacionada à expansão, já que H −1 = (a/da)dt.
57
(γ−1)
γ
, juntamente com as Eqs. (154) e (128) com q µ e π µν nulos, obtemos
"
#
τ
1
Π
ζ
H + 1+ 2
.
Π̇ + Π = −3
1 + 3γτ H
1 + 3γτ H
γcζ ρ
ρ
(158)
Esta nada mais é do que a equação de Maxwell-Cattaneo [75, 76] para Π, porém, com
tempo de relaxação e viscosidade efetivos. Supondo τ H << 1 (rápida termalização) e
usando |Π| ρ, temos
τ Π̇ + Π = −3ζH.
(159)
Portanto, podemos concluir que as equações24 de IS dão uma correção às equações de
Maxwell-Cattaneo, que, depois de Eckart, são as equações mais simples que incluem efeito
de relaxação.
Em suma, novamente impusemos fluxos lineares nas forças dissipativas. Porém,
agora estas forças se modificam, ganhando novas contribuições devido à entropia ser estendida até segunda ordem.
3.4.3 NLCDH
A Nonlinear Causal Dissipative Hydrodynamics (NLCDH) [74] consiste basicamente em assumir a força de Eckart χE = 3H mais um efeito de memória, que é um efeito
de relaxação. Como já foi dito, o tempo de relaxação é uma caracterı́stica de estarmos
em segunda ordem no fluxos dissipativos na 4-entropia. Porém, esta teoria se reduz à
equação de Maxwell-Cattaneo
τ Π̇ + Π = −3Hζ
(160)
como era de se esperar. Isso não ocorre devido à forma que o efeito de memória (relaxação)
é introduzido. A diferença está em aplicar o efeito de memória à quantidade Π̃ = ΠV
integrada numa célula (elemento de volume) do fluido e não à densidade Π. Isso é feito
impondo a Π̃ a relação linear Π̃ = −ζV χE , onde χE = 3H = ∇µ uµ é a força de Eckart.
Agora, introduzindo o efeito de memória, obtemos
˙ + Π̃ = −3HζV.
τ Π̃
24
O plural se refere aos três fluxos dissipativos.
(161)
58
O primeiro termo na equação acima resulta τ (Π̇V + ΠV̇ ). Para prosseguir com o cálculo,
introduzimos uma lei de conservação para o volume em uma célula do fluido ∇µ (σuµ ) = 0,
onde σ = 1/V . Um cálculo detalhado fornece
˙
1
∇µ (σu ) = σ̇ + σ∇µ u = −σ
+ σχ = 0
σ
µ
µ
2
→
˙
1
χ=σ
.
σ
(162)
Sendo σ = 1/V , segue que χ = V̇ /V . Substituindo V̇ = χV = 3HV na equação original,
obtém-se
τ (Π̇V + 3HV Π) + ΠV = −3HζV.
(163)
Finalmente, obtemos a equação da NLCDH
τ Π̇ + Π = −3H(ζ + τ Π),
(164)
Vemos que se pode identificar uma viscosidade efetiva ζef f = ζ +τ Π. Pela restrição ζ ≥ 0,
a Eq. (164) fornece um limite superior para a pressão viscosa, dado por
|Π| ≤
ζ
.
τ
(165)
O limite superior na pressão viscosa é uma exclusividade entre as teorias que estudamos
neste trabalho 25 .
25
É relevante mencionar que a teoria de Maartens-Méndez [77] e a GENERIC [80] também possuem esta
propriedade.
59
4 ESTABILIDADE DA INFLAÇÃO MORNA COM UM FLUIDO
VISCOSO
4.1 Sistema Dinâmico
Uma vez que expusemos no capı́tulo anterior alguns possı́veis formalismos para
tratar da dinâmica da viscosidade volumar, agora podemos fazer a análise da estabilidade
do sistema dinâmico da inflação morna na presença de um fluido viscoso. A análise do
sistema dinâmico da inflação morna foi feita pela primeira vez por Oliveira e Ramos [82].
Em seguida, Moss e Xiong fizeram uma análise de uma forma mais geral [83,84], impondo
restrições nos expoentes térmicos do coeficiente dissipativo Υ e da derivada do potencial
efetivo V,φ . Indo um passo adiante, Campo et al [85] consideraram a inflação morna
com um fluido de radiação viscoso, cuja pressão viscosa Π foi descrita pela expressão de
Eckart Π = −3ζH. Neste trabalho, porém, refazemos esta análise e obtemos resultados
diferentes. Adicionalmente, estudamos a estabilidade para a teoria de Israel e Stewart e
para a NLCDH.
A análise de estabilidade em questão é uma variação de primeira ordem das
equações dinâmicas da inflação morna. Esta variação é feita em torno da solução de
rolamento lento, que tem caráter atrator [58] e assumimos que nesse regime os efeitos dissipativos não tornem o sistema instável. Portanto, a análise consiste em estudar desvios
de primeira ordem da solução de rolamento lento da inflação morna.
Para fazer o estudo da estabilidade, as equações do sistema dinâmico devem ser
equações diferenciais de primeira ordem. Como a equação que descreve a dinâmica do
ı́nflaton é uma equação de segunda ordem no tempo, definimos
φ̇ = u.
(166)
Com essa parametrização, as equações da inflação morna (78) e (100) passam a ser escritas
na forma
φ̇ = u,
(167)
u̇ = −3Hu − Υu − V,φ ,
(168)
T ṡ = −3HT s − 3HΠ + Υu2 ,
(169)
onde
8πG
H =
3
2
u2
+ V + T s , V = V (φ, T ), Υ = Υ(φ, T ).
2
(170)
Não explicitamos por hora a expressão de Π, pois, para a teoria de Eckart, basta substituir
60
a expressão algébrica na equação da entropia (169), enquanto para IS e NLCDH não
fazemos essa substituição, mas adicionamos as respectivas equações dinâmicas de Π ao
sistema dinâmico.
Por questão de conveniência, para reduzir o sistema dinâmico, fazemos uma mudança de variável adicional, que consiste em trocar o tempo t por φ como sendo a variável
independente. Ou seja,
dφ d
d
d
=
=u
= u ()0 ,
dt
dt dφ
dφ
(171)
onde 0 designa a derivação em relação a φ. Com essa mudança, o sistema dinâmico anterior
passa a ter a forma
u0 = −3H − Υ − V,φ u−1 ,
T s0 = −3HT su−1 − 3HΠu−1 + Υu.
(172)
(173)
Tomando as variáveis do sistema dinâmico numa matriz coluna, temos
X0 = F(x) X.
(174)
Escrevendo x = x0 + δx, assumindo que x0 seja uma solução estável, as equações das
variações podem ser escritas como
δX0 = M(x0 ) δX − X00 ,
(175)
onde
M(x0 ) =
∂F(x0 )
∂x
(176)
e X00 é um termo de força residual, que deve se assegurar que seja pequeno para que a
aproximação seja válida. A solução da Eq. (175) é dada por
δX = X0 eM(x)φ ,
(177)
com a restrição M(x) sendo nula ou negativa para que o sistema seja estável. Ou seja, os
autovalores de M(x) devem obedecer à condição
λi ≤ 0.
(178)
Portanto, o que fazemos nas próximas seções é nos especializarmos para cada teoria em
particular, obtendo as matrizes M(x) e aplicando as soluções de rolamento lento nestas.
Com isto, estamos aptos a obter seus autovalores. Porém, há uma maneira menos dispendiosa de estudar a estabilidade sem calcular explicitamente os autovalores. Assumindo
que M(x) seja diagonalizável, uma vez escrita na forma diagonal seus elementos são seus
61
autovalores. Ao fazermos o determinante desta, estamos refletindo neste a condição imposta sobre os autovalores. Para M2x2 e M3x3 , os determinantes devem ser positivo e
negativo, respectivamente:
Det M2x2 > 0,
(179)
Det M3x3 < 0.
(180)
Portanto, obtemos a condição de estabilidade a partir do determinante. Uma ressalva
importante a se fazer é que o método usado nas principais referências nas quais se baseiam
este trabalho, refs. [84,85], se valem de uma mudança de variáveis, que consiste em trocar
a variável independente do tempo t para o ı́nflaton φ. Esta não parece apresentar perda de
generalidade. Nos casos em que analisamos somente a presença de dissipação Υ e a pressão
viscosa da teoria de Eckart Π = −3ζH, temos uma matriz M2x2 . No determinante desta,
que é nosso interesse, aparece um termo H/u elevado ao quadrado, onde H/u = H/φ̇ < 0
durante a inflação. A potência par, portanto, torna irrelevante o sinal deste. Porém, nos
casos causais (tempo de relaxação τ 6= 0) analisados aqui, onde há uma equação a mais no
sistema dinâmico (a equação diferencial para a pressão viscosa), temos uma matriz M3x3 .
Agora, o termo H/u aparece elevado à terceira potência, fornecendo o sinal invertido do
esperado. Essa é, portanto, uma inconsistência presente em todos os trabalhos, porém, só
aparente no caso que a matriz de estabilidade Mnxn possui n ı́mpar. Portanto, para que as
generalizações obtidas aqui se reduzam aos resultados obtidos previamente, considera-se
neste trabalho o valor absoluto |H/u|. Esta se trata de uma inconsistência matemática,
já que se observa numericamente a consistência dos resultados obtidos.
As forças dissipativas X00 podem, no entanto, ser calculadas sem nos especializarmos
a nenhum dos casos particulares. Isto decorre do fato que consideramos nas teorias causais
de IS e NLCDH que a expressão de rolamento lento para a variável dinâmica Π é dada pela
expressão de Eckart. Portanto, as forças dissipativas para todos os casos são exatamente
as mesmas. Quanto à ausência do termo que garante causalidade (tempo de relaxação τ ,
presente nas duas últimas teorias), argumentamos como antes que no regime de rolamento
lento a pressão viscosa Π tem um efeito pequeno e o efeito de relaxação é desprezı́vel.
Das equações dinâmicas (172) e (173), juntamente com a expressão de Eckart,
temos as expressões de rolamento lento
V
,
3H(1 + Q)
T s = Qu2 − Π
Qu2
,
= 1 + γρΠr
u = −
Π = −3ζH,
(181)
(182)
(183)
62
onde V = V (φ), Υ = Υ(φ, T ), ζ = ζ(φ, T ), s = s(φ, T ) e omitimos o subscrito 0 que
indica rolamento lento.
Neste trabalho, porém, percebemos uma diferença importante. Em geral, o parâmetro
de Hubble H no rolamento lento é dado por
H2 =
8πG
V (φ).
3
(184)
Porém, da análise de estabilidade, observou-se que a razão ρr /V pode assumir
valores não desprezı́veis enquanto ainda há estabilidade. Pode-se justificar que a condição
ρr V se torna mais fraca durante a inflação observando-se a forma da equação da
aceleração para um fluido viscoso:
ä
4πG
=
(2V + 3|Π| − 3γρr ),
a
3
(185)
onde se ignorou o termo cinético φ̇2 /2. Desta, vemos que para termos ä > 0, não necessariamente precisamos ter ρr V , visto que |Π| pode ser grande o suficiente para manter
o regime inflacionário. Um outro argumento é que o termo 3HΠ representa uma fonte
na equação da radiação, de forma que maior Π implica em maior produção de radiação,
corroborando nosso argumento.
Decorre, portanto, que nossa análise exige um certo grau de cuidado nas aproximações e consideraremos explicitamente esta contribuição da pressão viscosa nas equações
da aproximação de rolamento lento neste trabalho. Então, escrevemos nosso H como
8πG
(V (φ) + αρr )
3
8πG
=
V (φ)(1 + κ),
3
H2 =
(186)
onde definimos κ = α(ρr /V ). Quando α = 1, consideramos a contribuição da radiação.
Quando α = 0, temos somente a contribuição de V , que é o caso considerado na literatura.
Tomando o caso α = 1, a derivada de H é dada por
Ḣ
1
3(γ − 1)κ
Π 1+Q
κγ ṡ
=−
−
1+
b+
,
(187)
2
2
H
(1 + κ) 1 + Q
2
ρr
Q
2 Hs
sendo que b foi definido em (90). Outra derivada importante é a da temperatura T =
T (φ, s), dada por
Π (1 + Q)
Ṫ
ṡ
= −3(γ − 1) 1 +
b + (γ − 1)
,
HT
ρr
Q
Hs
(188)
na qual se usou novamente a definição de b. Para garantir que as forças sejam pequenas,
63
precisamos que u̇/Hu e ṡ/Hs sejam pequenas. Estes são dados por
u̇
1 1
(1 + Q)(1 + σ) + Qσ
γ
=
−
c−
− lσ
+
Hu
1+κ∆
1+κ
γ−1
1+Q
γ
γ κ (1 + Q)(1 + σ) + Qσ
Q
+
+ lσ +
β+
γ−1
γ−12
Q
1+Q
γ
γ κ
+ (1 + σ)c −
− lσ −
(1 + 2σ) η +
γ−1
γ−12
3σ κ
3κ (1 + Q)(1 + σ) + Qσ
c+
l (1 + κ)(1 + Q)b +
+ −3c −
2
Q
2 Q
γ κ
σ
l
+
cQ +
,
γ−12 1+σ1+Q
ṡ
2 1+σ 1
1 + (2 + Q)(1 + 2σ)
1Q−1
=
+
β − η+
Hs
γ−11+κ∆
2(1 + κ)
1+Q 21+Q
"
3(γ − 1)
+
(Q − 1)(1 + σ)c + (1 + Q)(1 + lσ) +
2
κ (3 + Q)(1 + σ) + Qσ
(1 + Q)
b+
+
(1 + κ)
2
Q
Q
γ κ
σ
l
+
cQ +
,
γ−12 1+σ1+Q
(189)
onde definimos
γ
(1 + Q) + (Q − 1)(1 + σ)c +
γ−1
γ κ
+
[(3 + Q)(1 + σ) + Qσ] ,
γ−12
Π
σ =
γρr
∆ =
(190)
(191)
e os coeficientes
c=
T Υ,T
T ζ,T
, l=
,
Υ
ζ
(192)
que parametrizam a potência na temperatura dos coeficientes hidrodinâmicos de dissipação e viscosidade Υ e ζ, respectivamente. Também foram usados os já definidos
parâmetros de rolamento lento e η e os coeficientes β e b, dados pela Eq. (90).
Obtivemos essas forças para um γ genérico. Para γ = 4/3 (wr = 1/3), que é o caso
64
que consideramos, estas forças tomam a forma
1 1
(1 + Q)(1 + σ) + Qσ
u̇
=
−
c − 4 − lσ
+
Hu
1+κ∆
1+κ
1+Q
(1 + Q)(1 + σ) + Qσ
Q
+ 4 + lσ + 2κ
β+
Q
1+Q
+ [(1 + σ)c − 4 − lσ − 2κ(1 + 2σ)] η +
3
(1 + Q)(1 + σ) + Qσ
κ
+
−2c − κ
c + lσ (1 + κ)(1 + Q)b +
2
Q
Q
σ
l
+ (cQ + 2κ)
,
1+σ1+Q
ṡ
1+σ 1
1 + (2 + Q)(1 + 2σ)
Q−1
=
3
+3
β − 6η+
Hs
1+κ∆
1+κ
1+Q
1+Q
"
(193)
+ 3 (Q − 1)(1 + σ)c + (1 + Q)(1 + lσ) +
+
+
κ (3 + Q)(1 + σ) + Qσ
(1 + Q)
b+
(1 + κ)
2
Q
Q
σ
l
6 (cQ + 2κ)
,
1+σ1+Q
(194)
com
∆ = 4(1 + Q) + (Q − 1)(1 + σ)c + 2κ [(3 + Q)(1 + σ) + Qσ] .
Tomando l = σ = 0, temos o caso sem pressão viscosa. No caso α = 0, recuperamos o
caso sem dissipação [84].
4.2 Eckart
Tomando o sistema dinâmico da seção anterior, incluindo a expressão para a
pressão viscosa Π = −3ζH da teoria de Eckart, temos
u0 = −3H − Υ − V,φ u−1 = f (u, s),
−1
s0 = −3Hsu−1 + 9ζH 2 (T u)
(195)
+ ΥT −1 u = g(u, s).
(196)
Expandindo o sistema em primeira ordem, como propusemos na seção anterior, devemos
obter a matriz de estabilidade
!
!
∂f
∂f
A B
∂u
∂s
M(x) =
=
.
(197)
∂g
∂g
C D
∂u
∂s
u=u ,s=s
0
0
65
As soluções de rolamento lento a serem usadas são
V (φ0 ),φ0
,
3H0 (1 + Q0 )
= Q0 u20 − Π0
Q0 u20
=
,
(1 + σ0 )
u0 = −
T0 s0
(198)
(199)
com
8πG
V (φ0 ) (1 + κ) ,
3
= −3ζ0 H0 ,
Π0
.
=
γρr 0
H02 =
(200)
Π0
(201)
σ0
(202)
Retornando à matriz M, a partir das equações dinâmicas (195) e (196) e das
soluções de rolamento (198), (199) e (200), obtemos os coeficientes
H0
1
A =
−3(1 + Q0 ) −
,
(203)
u0
(1 + κ)2 (1 + Q0 )2
H0
{−3(γ − 1)cQ0 + 3(γ − 1)b(1 + Q0 )+
B =
s0
1
3
Q0 Π0
−
+
,
(204)
(1 + κ)2 (1 + Q0 )2 2(1 + κ) V0
H0 s0
1
Π0 [6(1 + Q0 )2 − 2]
C =
6−
1+
,
(205)
u20
(1 + κ)2 (1 + Q0 )2
γρr 0 [6(1 + Q0 )2 − ]
Π0
H0
+
3(γ − 1)(c − 1) − 3 + 3(γ − 1) (c − l)
D =
u0
γρr 0
1
Q0 3
Π0
−
−
.
(206)
(1 + κ)2 (1 + Q0 )2 2(1 + κ) V0
Por conveniência, podemos fazer algumas modificações. Primeiramente, a partir
de agora, nesta e nas seções seguintes, abandonamos o subscrito 0 que indica solução de
rolamento lento, deixando-o subentendido. Em segundo lugar, reescrevemos o termo Π/V
presente nos coeficientes (204) e (205) como
Π
Π Ts
=
,
V
γρr V
Π
2
Q
1 Π
=
−
,
γρr 3(1 + κ)2 (1 + Q)2 1 + κ V
(207)
(208)
onde se usou a equação de rolamento lento da entropia (199) e a relação termodinâmica
T s = γρr . Uma última e relevante definição, análoga a σ = γρΠr , é
σ̃ =
Π
.
V
(209)
66
Com essas três modificações, os coeficientes da matriz M tomam a forma
1
H
−3(1 + Q) −
,
A =
u
(1 + κ)2 (1 + Q)2
(
H
B =
− 3(γ − 1)cQ + 3(γ − 1)b(1 + Q) +
s
1
Q
1
Q
σ
3
−
+
− σ̃ ,
(1 + κ)2 (1 + Q)2 1 + κ (1 + κ) (1 + Q)2 2
Hs
1
[6(1 + Q)2 − 2]
C =
6−
1+σ
,
u2
(1 + κ)2 (1 + Q)2
[6(1 + Q)2 − ]
H
1
Q
D =
3(γ − 1)(c − 1) − 3 −
+
2
u
(1 + κ) (1 + Q)2
Q
1
3 σ̃
.
+ σ 3(γ − 1)(c − l) −
+
(1 + κ)2 (1 + Q)2 2 1 + κ
(210)
(211)
(212)
(213)
Tomemos agora o caso de interesse, Q >> 1, e desprezemos os termos que envolvem o
parâmetro de rolamento lento 26 . Nesta aproximação, os coeficientes se simplificam para
H
(−3Q) ,
u
H
[3(γ − 1)(b − c)Q] ,
B =
s
Hs
C =
6(1 + σ),
u2 H
3 σ̃
D =
3(γ − 1)(c − 1) − 3 + 3(γ − 1)(c − l) +
σ .
u
21+κ
A =
(214)
(215)
(216)
(217)
Em posse dos coeficientes da matriz M numa forma simplificada, finalmente podemos
calcular seu determinante.
A B Det M(x) = (218)
= AD − BC,
C D com a já mencionada restrição Det M(x) > 0. O resultado deste é dado por
"
H2
Det M(x) = 3 2 Q 3(γ − 1) + 3 + 3(γ − 1)(1 + σ)c +
u
3 σσ̃
− 6(γ − 1)(1 + σ)b + 3(γ − 1)σl −
.
21+κ
26
(219)
Podemos desprezar estes termos porque são muito pequenos durante a inflação. Na análise numérica,
tomamos a precaução de não observar o sistema muito próximo do fim do regime inflacionário, onde
isso pode não ser mais válido.
67
Tomando Det M(x) > 0, temos a condição de estabilidade
−c <
γ
(γ−1)
+ lσ −
σσ̃
1
2(γ−1) 1+κ
1+σ
− 2b
(220)
Esta é a condição de estabilidade para um γ qualquer. Como estamos considerando
γ = 4/3, a condição toma a forma
−c <
σσ̃
4 + lσ − 32 1+κ
− 2b.
1+σ
(221)
A condição de estabilidade (221) para Q >> 1 generaliza a obtida em [85], levando
também em conta a dependência térmica da viscosidade volumar ζ, parametrizada por l.
Porém, no caso l = 0 obtemos um termo que contém σσ̃, que difere do termo quadrático
σ 2 obtido em [85].
4.3 Israel-Stewart
Tomemos agora a equação de IS
Π 3ζH Π
Π̇ = − −
−
τ
τ
2
τ̇
Ṫ
ζ̇
3H + − −
τ
T
ζ
!
.
(222)
Antes de fazer a mudança de variável independente da seção anterior, devemos fazer
algumas observações. Temos que ζ = ζ(φ, T ), τ = τ (φ, T ) e já vimos anteriormente que
s = −V (φ, T ),T . Tomando as derivadas temporais destes, obtemos
τ̇
τ
ζ̇
ζ
Ṫ
T
τ,φ
T τ,T Ṫ
u+
,
τ
τ T
ζ,φ
T ζ,T Ṫ
=
u+
,
ζ
ζ T
ṡ
uV,φT
= (γ − 1) + (γ − 1)
,
s
s
=
(223)
(224)
(225)
onde usamos u = φ̇. Combinando estas, podemos calcular
Ṫ
τ̇
ζ̇
− −
τ
T
ζ
=
=
=
+
Ṫ
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
−
u+
−
−1
τ
ζ
τ
ζ
T
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
ṡ uV,φT
−
u + (γ − 1)
−
−1
+
τ
ζ
τ
ζ
s
s
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
V,φT
−
+ (γ − 1)
−
−1
u+
τ
ζ
τ
ζ
s
τ,T
ζ,T
ṡ
(γ − 1)
−
−1
.
τ
ζ
s
(226)
68
Substituindo estes termos na equação (222),
(
Π 3ζH Π
−
3H +
Π̇ = − −
τ
τ
2
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
V,φT
+
−
+ (γ − 1)
−
−1
u+
τ
ζ
τ
ζ
s
τ,T
ζ,T
ṡ
+ (γ − 1)
−
−1
.
τ
ζ
s
(227)
Fazendo agora a mudança da variável independente t para φ dada por (171), temos
(
Π
3ζH
Π
Π0 = − u−1 −
u−1 −
3Hu−1 +
τ
τ
2
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
V,φT
+
−
+ (γ − 1)
−
−1
+
τ
ζ
τ
ζ
s
0
τ,T
s
ζ,T
+ (γ − 1)
−
−1
.
(228)
τ
ζ
s
Substituindo a equação da entropia na variável φ (173) nesta, temos
(
3ζH
Π
Π
u−1 −
3Hu−1 +
Π0 = − u−1 −
τ
τ
2
τ,T
ζ,T
V,φT
τ,φ ζ,φ
−
+ (γ − 1)
−
−1
+
+
τ
ζ
τ
ζ
s
τ,T
ζ,T
Υu
Π
−1
+ (γ − 1)
−
− 1 −3Hu
+
.
1+
τ
ζ
Ts
Ts
(229)
Esta é a forma final da equação de IS a ser usada na análise. Incorporando esta equação
ao sistema dinâmico composto pelas equações de u e s (195) e (196), respectivamente,
temos o sistema dinâmico
u0 = −3H − Υ − V,φ u−1 = f (u, s, Π),
(230)
s0 = −3Hsu−1 − 3HΠ (T u)−1 + ΥT −1 u = g(u, s, Π),
(
Π
3ζH
Π
Π0 = − u−1 −
u−1 −
3Hu−1 +
τ
τ
2
τ,φ ζ,φ
τ,T
ζ,T
V,φT
+
−
+ (γ − 1)
−
−1
+
τ
ζ
τ
ζ
s
τ,T
ζ,T
Π
Υu
−1
− (γ − 1)
−
− 1 3Hu
1+
−
= h(u, s, Π).
τ
ζ
Ts
Ts
(231)
(232)
69
Expandindo o sistema em primeira ordem, a matriz de estabilidade agora toma a forma

 
A B E

 
M(x) =  C D F  = 
G H I
∂f
∂u
∂g
∂u
∂h
∂u
∂f
∂s
∂g
∂s
∂h
∂s
∂f
∂Π
∂g
∂Π
∂h
∂Π

.


(233)
u=u0 ,s=s0 ,Π=Π0
onde mantivemos as mesmas letras da matriz de estabilidade de Eckart e introduzimos
5 novas. Mantemos as mesmas soluções de rolamento lento para u, s e H (198), (199)
e (200), respectivamente. Para Eckart, Π = −3ζH é a expressão exata para a pressão
viscosa. Usamos, porém, esta expressão como aproximação de rolamento lento para a
teoria de IS. Portanto, usamos as mesmas expressões que usamos para Eckart.
Tendo o sistema dinâmico composto pelas Eqs. (261), (262) e (263), juntamente
com as expressões de rolamento lento (198), (199) e (201), obtemos os coeficientes da
matriz de estabilidade:
1
H
−3(1 + Q) −
,
(234)
A =
u
(1 + κ)2 (1 + Q)2
(
H
− 3(γ − 1)cQ + 3(γ − 1)b(1 + Q) +
B =
s
1
σ
3
Q
1
Q
−
+
− σ̃ ,
(235)
(1 + κ)2 (1 + Q)2 1 + κ (1 + κ) (1 + Q)2 2
Hs
1
C =
6−
(1 + σ) ,
(236)
u2
(1 + κ)2 (1 + Q)2
1
Q
H
3(γ − 1)(1 + σ)c − 3 − 3(γ − 1) −
,
(237)
D =
2
u
(1 + κ) (1 + Q)2
E = 0,
(238)
H
(−3),
(239)
F =
Tu
HT s
3
G =
σ
+ 3(γ − 1)Λ(1 + σ)+
2
u
2
1
1
3 3(γ − 1)
+
− −
Λ(1 + σ)
,
(240)
3(1 + κ)2 Θ 2
2
(1 + Q)2
HT
(γ − 1)l 3(γ − 1)2
3γ(γ − 1)
H =
σ
+
cΛ(1 + σ) −
Λ+
u
Θ
2
2
3(γ − 1) (1 + Q)
Q
(γ − 1) χ
+
b
(1 + σ)
Λ + (γ − 1)Σ +
+
2
Q
1+Q
2(1 + κ) 1 + Q
1
1
3
1
Q
3
+
− − 3(γ − 1)Λ(1 + σ)
− σ̃ ,
(241)
2
3(1 + κ) Θ 2
1 + κ (1 + Q)
2
H
1
3 3(γ − 1)
(1 + Q)
1
g−l
I =
− − −
Λ σ+b
(1 + σ) +
.
(242)
u
Θ 2
2
Q
2(1 + κ) 1 + Q
70
onde usamos algumas definições já apresentadas e definimos adicionalmente os parâmetros
ζ,φ V,φ
T ζ,T T
T ζ,φT
1
˜
, l=
, ˆl =
,
(243)
Θ = τ H, l =
ζ,φ
8πG
ζV
ζ,T
T τ,T
T τ,φT
1
τ,φ V,φ
T τ,T T
g=
, g̃ =
, g=
, ĝ =
,
(244)
τ
τ,φ
8πG
τV
τ,T
(245)
Λ = 1 + l − g,
χ = (g̃ − g)g − (˜l − l)l,
Σ = (1 + ĝ − g)g − (1 + ˆl − l)l − Λb̂.
(246)
Alguns destes parâmetros definidos são pouco práticos, mas são necessários para escrever
consistentemente os coeficientes. Tomemos agora o caso Q >> 1 e desprezemos os termos
que contém o parâmetro de rolamento lento . Os coeficientes da matriz de estabilidade
se reduzem a
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G =
H =
+
−
I =
H
(−3Q) ,
u
H
[3(γ − 1)(b − c)Q] ,
s
Hs
6 (1 + σ) ,
u2
H
[3(γ − 1)(1 + σ)c − 3 − 3(γ − 1)] ,
u
0,
H
(−3),
Tu
HT s 3
σ
+ 3(γ − 1)Λ(1 + σ) ,
u2
2
(γ − 1)l 3(γ − 1)2
3γ(γ − 1)
HT
σ
+
cΛ(1 + σ) −
Λ+
u
Θ
2
2
3(γ − 1)
b(1 + σ) [Λ + (γ − 1)Σ] +
2
σ̃
3
1
− − 3(γ − 1)Λ(1 + σ) ,
2(1 + κ) Θ 2
H
1
3 3(γ − 1)
− − −
Λ [σ + b(1 + σ)] .
u
Θ 2
2
(247)
(248)
(249)
(250)
(251)
(252)
(253)
(254)
(255)
Obtidos os coeficientes da matriz M, calculemos seu determinante. O determinante
tem a forma
A B E C D A B A B Det M(x) = C D F = E − F + I
G H G H C D G H I = ADI − AF H − BCI + BF G,
(256)
71
agora com a restrição Det M(x) < 0 e notando que E = 0. O resultado deste é dado por
1
σσ̃
1
3
H3
γ 2 + 3Θ lσ
−
+
− − 3(γ − 1)Λ(1 + σ) +
Det = 9 3 Q −
u
γ − 1 2Θ
Θ 2(γ − 1) 1 + κ Θ 2
2(1 + σ) 3(2 + σ) 3(1 + σ)
+ b
+
−
Λ+
Θ
2
2
3(γ − 1)
+
(1 + σ) Λ(2b − 1) + σ[Λ(b̂ + 2b) − Σ] +
2
1 + σ 3 3(γ − 1)
− c
+ +
bΛ(1 + σ) .
(257)
Θ
2
2
De Det M(x) < 0, temos a condição de estabilidade
h
i
6(γ−1)ΘΛ
γ
2σ
1
σσ̃
2−3Θ
+ 2+3Θ l − 2(γ−1) 1+κ 2+3Θ − 2+3Θ (1 + σ)
γ−1
−c <
+
2
1 + 2+3Θ
σ + 3(γ−1)ΘbΛ(1+σ)
2+3Θ
(
4(1 + σ) + 3Θ(2 + σ) − 3ΘΛ(1 + σ)2
−
+
2
1 + 2+3Θ
σ + 3(γ−1)ΘbΛ(1+σ)
2+3Θ


3(γ − 1)Θ(1 + σ) Λ(2b − 1) + σ[Λ(b̂ + 2b) − Σ] 

b.
+
2

1 + 2+3Θ
σ + 3(γ−1)ΘbΛ(1+σ)

2+3Θ

Para γ = 4/3, finalmente obtemos
2−3Θ
2σ
σσ̃
2ΘΛ
4 + 2+3Θ
l − 23 1+κ
−
(1
+
σ)
2+3Θ
2+3Θ
−c <
+
ΘbΛ(1+σ)
2
1 + 2+3Θ σ + 2+3Θ
(
4(1 + σ) + 3Θ(2 + σ) − 3ΘΛ(1 + σ)2
−
+
2
1 + 2+3Θ
σ + ΘbΛ(1+σ)
2+3Θ


Θ(1 + σ) Λ(2b − 1) + σ[Λ(b̂ + 2b) − Σ] 

+
b.
2

σ + ΘbΛ(1+σ)
1 + 2+3Θ

2+3Θ

(258)
(259)
Como é de se esperar, podemos perceber que quando tomamos o tempo de relaxação
τ = 0, temos Θ = τ H = 0 e esta expressão se reduz à expressão de Eckart, dada pela
Eq. (221).
72
4.4 NLCDH
Tomemos agora a equação da NLCDH (164) e a reescrevamos fazendo a mudança
de variável independente de t para φ dada por (171). Esta resulta
3ζH −1
Π
u − 3HΠu−1 .
Π0 = − u−1 −
τ
τ
(260)
Como para IS, mantemos as mesmas equações dinâmicas para u e s e as mesma soluções
de rolamento lento para u, s e H, dadas pelas Eqs. (195), (196), (198), (199) e (200),
respectivamente. Usamos novamente a expressão de Eckart Π = 3ζH como aproximação
de rolamento lento. Incorporando a Eq. (260) a estas, temos o sistema dinâmico
u0 = −3H − Υ − V,φ u−1 = f (u, s, Π),
(261)
s0 = −3Hsu−1 − 3HΠ (T u)−1 + ΥT −1 u = g(u, s, Π),
Π
3ζH −1
Π0 = − u−1 −
u − 3HΠu−1 = h(u, s, Π).
τ
τ
(262)
(263)
Expandindo o sistema em primeira ordem, a matriz de estabilidade agora toma a forma
 
A B E

 
M(x) =  C D F  = 
G H I

∂f
∂u
∂g
∂u
∂h
∂u
∂f
∂s
∂g
∂s
∂h
∂s
∂f
∂Π
∂g
∂Π
∂h
∂Π

,


u=u0 ,s=s0 ,Π=Π0
(264)
73
como para IS. Porém, os coeficientes possuem algumas diferenças em relação e este último,
e são dados por
1
H
−3(1 + Q) −
,
(265)
A =
u
(1 + κ)2 (1 + Q)2
(
H
B =
− 3(γ − 1)cQ + 3(γ − 1)b(1 + Q) +
s
1
Q
1
σ
3
Q
−
(266)
+
− σ̃ ,
(1 + κ)2 (1 + Q)2 1 + κ (1 + κ) (1 + Q)2 2
Hs
1
C =
6−
(1 + σ) ,
(267)
u2
(1 + κ)2 (1 + Q)2
H
1
Q
D =
3(γ − 1)(1 + σ)c − 3 − 3(γ − 1) −
,
(268)
u
(1 + κ)2 (1 + Q)2
E = 0,
(269)
H
F =
(−3),
(270)
Tu
HT s
1
1
3
G =
σ 3+
−
,
(271)
2
2
u
3(1 + κ) Θ 2 (1 + Q)2
(γ − 1)l
1
3
3
HT
1
1
Q
σ
+
−
− σ̃ ,
(272)
H =
u
Θ
3(1 + κ) Θ 2
(1 + κ) (1 + Q)2 2
H
1
I =
(273)
− −3 ,
u
Θ
onde todos os parametros usados já foram definidos anteriomente. Tomando o caso de
interesse Q >> 1 e desprezando os termos de rolamento lento, temos os coeficientes
simplificados
A =
B =
C =
D =
E =
F =
G =
H =
I =
H
(−3Q) ,
u
H
[3(γ − 1)(b − c)Q] ,
s
Hs
6 (1 + σ) ,
u2
H
[3(γ − 1)(1 + σ)c − 3 − 3(γ − 1)] ,
u
0,
H
(−3),
Tu
HT s
3σ,
u2 HT
(γ − 1)l 1 1
σ̃
σ
−
−3
,
u
Θ
2 Θ
1+κ
H
1
− −3 .
u
Θ
(274)
(275)
(276)
(277)
(278)
(279)
(280)
(281)
(282)
74
Os coeficientes de A a F se mantém como na teoria de IS, havendo variações nos coeficientes de G a I. O cálculo do determinante de M, porém, é idêntico, dado por
A B 0 Det M(x) = C D F = ADI − AF H − BCI + BF G,
(283)
G H I novamente com a restrição Det M(x) < 0. O resultado deste é dado por
H3
1
3σσ̃
1
3(γ − 1)l
Det M(x) = 3 3 Q −
σ − 3γ
+3 +
+3 +
u
Θ
Θ
2(1 + κ) Θ
1
− 3(γ − 1)c
+ 3 (1 + σ) − 3σ +
Θ
1
+ 3 (1 + σ) − 3σ .
+ 3(γ − 1)b 2
Θ
De Det M(x) < 0, temos a condição de estabilidade
γ
σ
1
σσ̃ 1−3Θ
σ
+ 1+3Θ
l − 2(γ−1)
− 2 + σ + 1+3Θ
b
γ−1
1+κ 1+3Θ
−c <
.
σ
1 + 1+3Θ
Para γ = 4/3, finalmente obtemos
σ
σσ̃ 1−3Θ
4 + 1+3Θ
l − 32 1+κ
− 2+σ+
1+3Θ
−c <
σ
1 + 1+3Θ
σ
1+3Θ
b
.
(284)
(285)
(286)
4.5 Resultados Numéricos
Uma vez obtidas as condições de estabilidade, podemos realizar alguns testes
numéricos. Estes servem para comprovar numericamente a consistência das condições
obtidas, ressaltar as diferenças e as vantagens que cada formalismo apresenta.
Tomando as condições de estabilidade para Eckart, Israel-Stewart e NLCDH, dadas
pelas equações (221), (259) e (286), respectivamente, podemos reescrevê-las de uma forma
75
mais prática para os testes numéricos definindo
CEckart = (1 + σ) c − 2b + 4 + lσ −
3 σσ̃
> 0,
21+κ
(287)
(288)
CIS =
−
+
+
CN LCDH =
+
2
ΘbΛ(1 + σ)
1+
σ+
c+
2 + 3Θ
2 + 3Θ
4(1 + σ) + 3Θ(2 + σ) − 3ΘΛ(1 + σ)2 +
Θ(1 + σ) Λ(2b − 1) + σ[Λ(b̂ + 2b) − Σ] b +
2σ
3 σσ̃ 2 − 3Θ
2ΘΛ
4+
l−
−
(1 + σ) > 0,
2 + 3Θ
2 1 + κ 2 + 3Θ 2 + 3Θ
σ
σ
1+
c− 2+σ+
b+
1 + 3Θ
1 + 3Θ
σ
3 σσ̃ 1 − 3Θ
4+
l−
> 0.
1 + 3Θ
2 1 + κ 1 + 3Θ
(289)
(290)
Estas são as condições de estabilidade completas para Q >> 1 (regime de alta dissipação). Podemos, porém, estudar separadamente alguns casos especı́ficos de maior
interesse. Neste trabalho, são feitos testes numéricos para os seguintes casos: dissipação
dependente da temperatura, Υ ∼ T c , na ausência de viscosidade volumar; dissipação e
viscosidade volumar dependentes da temperatura, Υ ∼ T c e ζ ∼ T l , respectivamente.
Quantidades como tempos de relaxação τ , a serem identificados com o inverso
das taxas de decaimento Γ, também apresentam dependência térmica. Porém, aqui estamos interessados apenas em estudar o efeito da causalidade na estabilidade do sistema
dinâmico. Para isso, partindo da suposição de que o parâmetro de Hubble H não varia muito durante a inflação (consequência da φ variar lentamente), fixamos valores de
Θ = τ H, ou seja, tomamos τ constante e observamos o efeito da presença deste.
As condições de estabilidade vinculam os expoentes térmicos dos coeficientes hidrodinâmicos. Da teoria quântica de campos, há uma motivação especial para estudar a
estabilidade para os casos especı́ficos em que a dissipação tem expoente térmico c = 3 e a
viscosidade volumar expoente l = 3 ou l = 5, como se pode observar das Eqs. (109), (111)
e (113), respectivamente. Portanto, existe o interesse de conhecer os critérios de estabilidade num contexto geral, porém, também o de discutir a validade destes expoentes em
particular. O caso c = 3, l = 3, no entanto, é o caso mais realista, pois leva ao estágio de
inflação morna de forma mais bem sucedida. Portanto, neste trabalho a análise numérica
76
está focada somente neste27 .
Os testes numéricos visam mostrar, principalmente, que dependendo do valor tomado para a viscosidade volumar ζ, pode-se levar o sistema a uma situação de instabilidade. Essa instabilidade decorre do fato de estarmos considerando teorias termodinâmicas
fora do equilı́brio, porém, para pequenos desvios deste. Estas possuem, portanto, um limite de validade, o qual, quando atingido, torna a teoria incapaz de descrever corretamente
o comportamento do sistema.
A partir do momento em que definimos a segunda lei da termodinâmica para a
4-entropia S µ , Eq. (130), ficamos livres para construir não univocamente uma termodinâmica fora do equilı́brio. Portanto, uma teoria pode lograr maior êxito que outra ao
se propor argumentos mais fortes e mais gerais. Como consequência, pode-se assegurar
estabilidade para diferentes valores de ζ conforme a abordagem.
Uma certeza que se pode ter é que a teoria não causal de Eckart, por não ter efeito
de relaxação, é a que garante menor estabilidade, o que se pode comprovar nos testes
numéricos. Resta, portanto, saber dentre as teorias causais que analisamos, IS e NLCDH,
aquela que sustenta estabilidade para um maior ζ crı́tico.
É, porém, um ponto ainda mais importante ter uma bibliografia mais rica sobre a
estabilidade da teoria de IS, visto que é uma teoria largamente usada na literatura como
sendo imediatamente mais geral que a teoria de Eckart. Como já foi mencionado, uma
análise de estabilidade de IS já foi feita por Hiscock e Lindblom [72], mostrando que esta é
estável para todos os fluidos estáveis. A dita estabilidade neste caso se refere à introdução
de tempos de relaxação ao se considerar a entropia quadrática nos fluxos dissipativos, o
que faz com que a velocidade de propagação destes fluxos seja finita. Estando cientes
disso, este trabalho tem o interesse de saber o quanto se prolonga esta estabilidade em
relação à teoria não causal, visto que todas elas chegam a um ponto de instabilidade.
E, adicionalmente a esta, decidiu-se estudar também a NLCDH, ao se notar em alguns
testes numéricos que esta sustenta estabilidade para maiores ζ crı́ticos. Portanto, fazemos
a análise de estabilidade no mesmo rigor para esta.
Antes de analisarmos os casos, explicitamos como escrevemos as variáveis do sistema no programa de computador Maple, que foi utilizado para obter os resultados
numéricos. As variáveis presentes no sistema dinâmico apresentado no inı́cio deste capı́tulo
são t, φ, φ̇, H, s, ρr , T , Π, Υ, ζ, τ . Consideramos neste trabalho, por simplicidade, o
potencial mais simples
m2φ φ2
,
V =
2
27
(291)
Buscou-se manter o máximo de generalidade em todas as expressões deste trabalho até o momento em
que, finalmente, tomaram-se casos particulares para se realizar a análise numérica.
77
onde mφ é a massa do ı́nflaton. Reescrevemos agora estas mesmas variáveis na forma
m2φ ρr
x
mφ y
mφ s
t
, φ→ √
, φ̇ → √
, H → mφ H , s →
, ρr →
,
t →
mφ
8πG
8πG
8πG
8πG
m2φ Π
mφ ζ
τ
T → mφ T , Π →
, Υ → mφ Υ , ζ →
, τ→
,
8πG
8πG
mφ
(292)
tendo em mente que a partir de agora estão na forma adimensional. Seguindo estas
variáveis, desejamos escrever os coeficientes hidrodinâmicos Υ e ζ numa forma conveniente. Como estamos interessados nos expoentes térmicos, estes coeficientes são da forma
Υ ∼ T c e ζ ∼ T l , respectivamente. Na obtenção dos resultados numéricos, porém, nos
valemos de que ρr ∼ T 4 e, portanto, escrevemos
Υ = Cφ ρr c/4 , ζ = Cζ ρr l/4 ,
(293)
onde introduzimos as constantes de proporcionalidade Cφ e Cζ . Devido às unidades de
Cφ e Cζ , reescrevemos estes como
Cφ =
(8π)(c−2)/4
ccφ c/4 c−1
cr φ0
mφ
Mpl
(c−2)/2
(8π)(l−4)/4
, C ζ = cζ
H0 l−3
mφ
Mpl
(l−4)/4
,
(294)
onde cr é a proporcionalidade em ρr = cr T 4 . Ficamos, finalmente, com os parâmetros
adimensionais livres cφ e cζ . É partir da escolha desses parâmetros que poderemos realizar
testes. O parâmetro
Θ = τH
(295)
não sofre nenhuma modificação em seu valor absoluto. Também escolhemos este para
realizar os testes numéricos, apenas lembrando da restrição cosmológica τ H 1 já mencionada.
4.5.1 Dissipação Υ ∼ T c e Viscosidade Volumar ζ = 0
Neste caso, o único expoente térmico não nulo é o expoente c da dissipação, e as
condições de estabilidade, Eqs. (287), (289) e (290), respectivamente, se reduzem igualmente a
c > −4,
(296)
pois as generalizações diferem somente quando há viscosidade. Para visualizar esta
condição de estabilidade, tomamos alguns valores de c em torno do valor crı́tico c = −4,
como mostra a Fig. 7. Esta figura confirma que para valores c > −4 o sistema é estável e
78
Figura 7 - Esta figura apresenta curvas da densidade de energia do fluido de radiação
para alguns valores do expoente térmico c. As condições iniciais usadas foram
(x0 , y0 , ρr 0 )=(18, 0, 10−10 ), com mφ = 10−6 Mpl e cφ = 5.5 · 105 .
Fonte: O AUTOR, 2012.
79
Tabela 2 - Valores crı́ticos de viscosidade cζ para alguns valores de Θ.
Teoria
Θ = 0.01
Θ = 0.05
Θ = 0.10
Eckart
cζ = 0.000342 cζ = 0.000342 cζ = 0.000342
Israel-Stewart cζ = 0.000347 cζ = 0.000367 cζ = 0.000393
NLCDH
cζ = 0.000352 cζ = 0.000393 cζ = 0.000443
Fonte: O AUTOR, 2012.
não apresenta problemas numéricos. Porém, encontramos que para valores c < −4 o sistema apresenta instabilidades, como era de se esperar. A curva correspondente a c = −4.1
não pode ser calculada à direita de t = 95.31 m−1
φ , assim como a curva correspondente
a c = −4.3 não pode ser calculada à direita de t = 66.63 m−1
φ . Estas falhas numéricas
são associadas às instabilidades, já que nos demais expoentes o cálculo transcorre normalmente.
Havendo confirmado que de fato há estabilidade para c > −4, fica assegurado que
o caso c = 3 (sem viscosidade volumar), Eq. (109), obtido via teoria de campos, é estável.
4.5.2 Dissipação Υ ∼ T 3 e Viscosidade Volumar ζ ∼ T 3
Neste caso, os expoentes térmicos são c = l = 3, da dissipação e da viscosidade
volumar, respectivamente. As condições de estabilidade, dadas pelas Eqs. (287), (289) e
(290), se reduzem a
CEckart = 3 (1 + σ) + 4 + 3σ −
3 σσ̃
> 0,
21+κ
(297)
(298)
CIS
CN LCDH
= 3 1+
2
6σ
σ +4+
+
2 + 3Θ
2 + 3Θ
3 σσ̃ 2 − 3Θ
8Θ
−
−
(1 + σ) > 0,
2 1 + κ 2 + 3Θ 2 + 3Θ
σ
3σ
3 σσ̃ 1 − 3Θ
= 3 1+
+4+
−
> 0.
1 + 3Θ
1 + 3Θ 2 1 + κ 1 + 3Θ
(299)
(300)
Respeitando-se a condição de termalização Θ = τ H 1, tomam-se alguns exemplos de valores de Θ em busca de alterações significativas na estabilidade. A tabela 2
mostra os valores cζ crı́ticos para os três valores Θ tomados. Estes valores crı́ticos de
cζ são maiores para as teorias causais. Estes aumentos são exibidos na tabela 3 Devese, porém, estar muito atento ao significado de cζ . Apesar deste, de fato, dar indicação
que uma teoria é estável para uma maior pressão viscosa |Π|, este é somente um valor
numérico onde o programa apresenta falha. A falha é provocada justamente pelo sistema,
80
Tabela 3 - Percentagens de aumento dos valores crı́ticos de cζ em relação a valor crı́tico de
Eckart cζ = 0.000342.
Teoria
Θ = 0.01 Θ = 0.05 Θ = 0.10
Israel-Stewart
1.5%
7.3%
14.9%
NLCDH
2.9%
14.9%
29.5%
Fonte: O AUTOR, 2012.
ao chegar ao seu limite de validade (até onde é bem descrito), passar a ser instável e,
fatalmente, encontrar uma singularidade numérica.
As figuras que seguem são resultados obtidos da análise numérica para algumas
escolhas especı́ficas de parâmetros. Optou-se, como se pode observar na legenda de cada
figura, por tomar o exemplo Θ = 0.01 para os resultados numéricos. Outros valores
mostram diferenças mais significativas, como mostram as tabelas 2 e 3, mas é o mais
adequado para se observar de forma qualitativa o efeito da causalidade na quebra da
estabilidade.
Os pares de figuras (a) e (b) das Fig. 8, 9, 10 e 11 mostram, respectivamente,
o comportamento da densidade de radiação do fluido e as condições de estabilidade,
respectivamente, para cada teoria. A intenção de se observar esses pares de gráficos é
visualizar que quando a densidade de radiação passa a exibir um comportamento atı́pico
(crescimento exponencial) isso imediatamente reflete nas condições de estabilidade (as
curvas rumam para a região negativa do eixo Cestab. ). O crescimento exponencial da
densidade de radiação é devido à pressão viscosa, em determinado momento, não estar
mais sendo descrita consistentemente, gerando esse comportamento.
O primeiro par de gráficos, Fig. 8, exibe um exemplo em que não há instabilidade.
O valor de viscosidade cζ = 0.000341 é um valor ligeiramente menor que o valor que
começa a exibir instabilidade. O três pares de gráficos seguintes, figs. 9, 10 e 11 , exibem,
consecutivamente, a quebra da estabilidade das teorias uma por uma. O menor valor
de viscosidade crı́tica é cζ = 0.000342, para a teoria de Eckart, Fig. 9, visto que não
depende de efeito de relaxação (corresponde ao caso Θ = 0). Para este valor fixo de
Θ, observa-se da Fig. 10 que a segunda teoria a quebrar é a de Israel-Stewart, enquanto
a NLCDH ainda perdura estável por apresentar um maior valor crı́tico de quebra. A
NLCDH, Fig. 11, mostra que também há um valor crı́tico para o qual a estabilidade é
quebrada.
81
Figura 8 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas foram (x0 , y0 , H0 , ρr 0 , Π0 )=(18.05, 0,
7.37, 10−10 , −3cζ H0 ), com mφ = 10−6 Mpl , cφ = 5.5 · 105 , cζ = 0.000341 e
Θ = 0.01. Na figura (b), a situação sem viscosidade volumar corresponde a
uma linha constante Cestab. = 7 e não é mostrada.
Fonte: O AUTOR, 2012.
82
Figura 9 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000342.
Fonte: O AUTOR, 2012.
83
Figura 10 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000347.
Fonte: O AUTOR, 2012.
84
Tabela 4 - Percentagens de aumento da densidade de radiação das teorias causais em
relação à teoria de Eckart.
Eckart
t = 1m−1
φ
8πG
ρr = 102.10 m2
t = 3m−1
φ
8πG
ρr = 138.84 m2
t = 5m−1
φ
8πG
ρr = 145.56 m2
Israel-Stewart
NLCDH
67.8% menor
83.5% menor
75.6% menor
87.4% menor
76.7% menor
88.0% menor
Teoria
φ
φ
φ
Fonte: O AUTOR, 2012.
A equação (165) indica, porém, que a NLCDH impõe um limite superior para a viscosidade, segundo os próprios autores desta [74]. Isso, porém, não se cumpre em nossa análise
numérica, como mostra a Fig. 12.
Voltando ao significado de cζ , apesar de haver essa diferença de valores para os
cζ crı́ticos, não há alteração permanente de σ = |Π/ρr |. Os valores de σ apresentam
inicialmente uma diferença significativa, até que ocorre uma compensação entre a pressão
viscosa e a densidade de radiação do fluido e esta razão ruma a um valor comum. Ou
seja, nos casos causais a pressão viscosa |Π| e a densidade de radiação ρr diminuem. O
decréscimo da pressão viscosa |Π| pode ser visualizado da Fig. 13. Na figura 14, todas
as curvas partem em direção ao valor final |Π/ρr | = 1.333 = 4/3. De todos os gráficos
de radiação expostos, vemos que a produção de radiação nos casos causais, de fato, é
atenuada. A tabela 4 mostra o valor da densidade de radiação em alguns instantes de
tempo para as teorias causais em relação a teoria de Eckart. Esse decréscimo na densidade
de radiação influencia diretamente na expansão. Reescrevendo a equação da aceleração,
Eq. (185), como
Π 4πG
ä
=
−1 .
(301)
2V + 3ρr a
3
γρr Visto que estamos estudando o caso γ = 4/3 e que, da Fig. 14, temos que |Π/ρr | ≥
4/3, o termo que acompanha ρr na equação acima é sempre positivo. Logo, uma vez
que concluı́mos que a causalidade atenua a produção de radiação, temos que o efeito de
relaxação reduz a expansão do universo.
No tocante às condições de estabilidade, além dos expoentes dos coeficientes hidrodinâmicos, que no nosso caso foram fixados, e da razão σ = |Π/ρr |, Θ também provoca
modificações. As modificações devido aos parâmetros Θ que aparecem nas condições de estabilidade são pequenas, porém, é o efeito destes que altera significativamente a dinâmica
e permite que menores valores de pressão viscosa |Π| ocorram na inflação morna viscosa
com a estabilidade preservada.
85
Figura 11 - Densidade de radiação (a) e condição de estabilidade (b), como função do
tempo. As condições iniciais usadas são as mesmas que na Fig. 8, mas agora
cζ = 0.000352.
Fonte: O AUTOR, 2012.
86
Figura 12 - Pressão viscosa Π como função do tempo em escala logarı́tmica. A linha
sólida representa o limite superior imposto pela teoria e a tracejada o valor
numérico da pressão viscosa. As condições iniciais usadas são as mesmas que
na Fig. 8, mas agora cζ = 0.000351 (valor muito próximo ao valor da quebra
da estabilidade).
Fonte: O AUTOR, 2012.
Figura 13 - Razão Π/ρtot em função do tempo. As condições iniciais e potencial usados
foram os mesmos da Fig. 8, com cζ = 0.000341 e Θ = 0.1.
Fonte: O AUTOR, 2012.
87
Figura 14 - Razão |Π/ρr | em função do tempo. As condições iniciais e potencial usados
foram os mesmos da Fig. 8, com cζ = 0.000341 e Θ = 0.1.
Fonte: O AUTOR, 2012.
88
CONCLUSÃO
Foram derivadas condições de estabilidade para a inflação morna viscosa para a
teoria não causal de Eckart [66], Eq. (221), e para as teorias causais de Israel-Stewart
[69, 70], Eq. (259), e de Denicol et al (NLCDH) [74], Eq. (286). Destas três expressões,
tomando o limite em que não há viscosidade volumar, correspondente à inflação morna
usual, recuperamos a condição de estabilidade c > −4 já obtida em um trabalho anterior
[84]. Na derivação da condição de estabilidade de Eckart, porém, não se obteve exatamente
a expressão derivada em [85]. Portanto, oferecemos uma correção a esta. Finalmente,
obtiveram-se as generalizações causais, que, tomando o limite do tempo de relaxação
τ = 0, se reduzem à expressão de Eckart obtida neste trabalho.
Confirmou-se numericamente que, de fato, há instabilidade para c < −4, de
forma que o caso c = 3, com motivação em teoria de campos, é estável. Em seguida,
parametrizou-se a pressão viscosa Π em termos de um parâmetro cζ e se buscou quais são
estes valores cζ crı́ticos que tornam cada uma das teorias instáveis. Obtidos estes valores,
mostrou-se que Eckart é a teoria que possui o menor valor cζ crı́tico. Das teorias causais,
a NLCDH possui um maior cζ crı́tico que a teoria de Israel-Stewart. Portanto, a causalidade é capaz de aumentar os valores de cζ crı́ticos. Todas essas quebras de estabilidade
foram devidamente expostas nos gráficos das densidades de radiação e das condições de
estabilidade. A densidade de radiação exibe nitidamente instabilidade quando começa a
crescer exponencialmente com o tempo. A condição de estabilidade, consequentemente,
se torna negativa com este crescimento da radiação. Portanto, para os valores representativos usados, observamos quantitativamente o comportamento do sistema quando há
viscosidade.
A presença da causalidade implica diretamente na diminuição do módulo da pressão
viscosa |Π| (aumento de Π, negativo por definição) nos primeiros instantes da inflação. A
causalidade, portanto, atenua a pressão viscosa |Π| e diminui a quantidade de radiação
produzida. O efeito final, como se concluiu da equação da aceleração, Eq. (301), é que a
menor produção de radiação nas teorias causais contribui para uma menor aceleração do
universo, atenuando o regime inflacionário.
Algo que precisa ficar bem claro é o fato de a causalidade ao mesmo tempo aumentar o valor da viscosidade crı́tica cζ e diminuir o valor do módulo da pressão viscosa |Π|.
Ou seja, nos casos causais há estabilidade para maiores valores de viscosidade crı́tica cζ ,
porém, o efeito de relaxação τ é responsável por diminuir o valor de |Π|. O que se pode
concluir é que ao mesmo tempo que o valor da viscosidade crı́tica cζ aumenta, o efeito de
relaxação τ distancia o sistema deste valor. Nada impede, porém, que outra escolha de
parâmetros torne esse distanciamento menor.
Quanto à teoria NLCDH, mostrou-se também que esta se torna instável para um
89
valor de pressão viscosa abaixo do enunciado pela própria teoria como limite superior.
Entende-se por limite superior que a pressão viscosa não deva ultrapassar esse valor,
porém, o valor limite que esta pode alcançar preservando a estabilidade se revela inferior
ao predito. No entanto, como a teoria se mantém estável para um valor menor que o
suposto limite superior, não há inconsistência na teoria. Pode-se prosseguir, de qualquer
forma, com a análise de estabilidade da mesma, uma vez que esta não tem relação direta
com a estabilidade.
É difı́cil eleger qual é a teoria mais correta, porém, é de se esperar que uma teoria
causal seja a mais adequada para se descrever um fenômeno dentro do contexto relativı́stico. Este argumento se refere ao fato de que um tempo de relaxação τ não nulo
garante a finitude da velocidade de propagação da pressão viscosa Π. Tendo em vista que
as teorias causais e não causais podem ter comportamentos com diferenças significativas
para valores do tempo de relaxação τ dentro da condição de termalização τ H 1, entre
as teorias causais, a teoria de Denicol et al é a que sustenta a estabilidade para maiores
valores de viscosidade cζ . A teoria de Israel-Stewart, por outro lado, é fundamentada na
termodinâmica próxima ao equilı́brio. A derivação de suas equações é realizada a partir
da hipótese de linearidade nos fluxos dissipativos, como a teoria de Eckart, com a única
diferença de se estender até a ordem seguinte na entropia. Mas não há nada que discrimine
qual destas duas teorias causais é a mais adequada.
Portanto, a conclusão mais relevante que se toma neste trabalho é que teorias
causais de Israel-Stewart e de Denicol et al podem apresentar uma diferença significativa,
sendo em alguns casos a teoria de Eckart incapaz de descrever corretamente a dinâmica
de um sistema.
Em suma, a inflação morna viscosa é um modelo consistente e pode ser, uma vez
que as condições de estabilidade sejam respeitadas, uma teoria que descreve bem o estágio
inflacionário da evolução do universo.
Como continuação deste trabalho, pretende-se realizar essa mesma análise de estabilidade para as teorias de Maartens-Méndez [77] e de Öttinger-Grmela (GENERIC) [78],
que se tratam, assim como a teoria de Denicol et al, de generalizações lineares para a
pressão viscosa Π.
90
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