FÍSICA EXPERIMENTAL II
Experimento 4
FEX2001
Experimento No 4: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES AMORTECIDO
(MHSA) - Pêndulo de Pohl.
Objetivos: Registrar o movimento de um pêndulo amortecido (MHSA).
Medir grandezas físicas diretas e, a partir de um gráfico, determinar outras grandezas.
Determinar a constante de amortecimento para o MHSA.
Analisar o comportamento dinâmico de um MHSA.
Teoria: Seja um sistema em situação de equilíbrio estável. Quando esse sistema é levemente
afastado dessa situação e liberado, passa a executar um movimento periódico ou oscilatório, em
torno da posição de equilíbrio, chamado de Movimento Harmônico Simples (MHS), se não
existirem forças dissipativas.
Contudo, nos sistemas reais, a amplitude da oscilação decresce gradativamente em
decorrência do atrito, até anular-se. Tais sistemas, dentro das devidas considerações, podem se
modelados pelo que se denomina Movimento Harmônico Simples Amortecido (MHSA). Sendo que
em geral, o atrito é proveniente da resistência do ar ou de força internas que atuam no sistema. O
módulo da força de atrito usualmente depende da velocidade, sendo que em muitos casos de
interesse ela é proporcional à velocidade do corpo, embora em sentido oposto (força de resistência
ao movimento).
Considerando que a força de atrito, ou amortecedora, seja linearmente proporcional a
velocidade, podemos equacionar o movimento aplicando a 2a. Lei de Newton:
∑ F=ma ,
(4.1)
Ou seja, de forma mais explicita,
m
d2 x
dx
=−b −kx ,
2
dt
dt
(4.2)
dx
, é a força amortecedora, e b é uma constante positiva. O
dt
segundo termo da direita, −kx , é a força restauradora, e k é a constante elástica.
Reescrevendo a equação (4.2), obtemos
onde o primeiro termo da direita, −b
d 2 x b dx k

 x=0 ,
dt 2 m dt m
(4.3)
que matematicamente, é uma equação diferencial linear e homogenia de coeficientes constantes,
cuja solução, como pode ser provada, é
x  t =A 0 e
−b t
2m
cos  ω ' tδ  ,
(4.4)
Sendo que
ω '=2π f ' =

2
 
k
b
−
m 2m
.
(4.5)
Se b=0 , a expressa (4.5) se reduziria a
4.1
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ω '=ω=

k
,
m
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(4.6)
que representa a frequência angular do movimento não amortecido, ou seja, de movimento
harmônico simples (MHS).
Se b≠ 0 , então há atrito, e ω’ é menor que ω , como se nota pela equação (4.5).
A amplitude do movimento decresce gradualmente, até anular-se de um fator
At = A0 e
−b t
2m
.
(4.7)
O intervalo de tempo t , durante o qual a amplitude se reduz ao valor de
valor inicial A0, (37%A0) , é denominado de vida média (τ ) da oscilação, i. e.,
τ=
2m
.
b
1
e
de seu
(4.8)
Se a força de atrito for suficientemente grande, b aumenta a ponto de a equação (4.4)
não ser mais solução da equação do movimento, equação (4.3). O movimento não será mais
periódico. O corpo simplesmente irá retorna a posição de equilíbrio, quando largado na
posição de deslocamento inicial A , sem oscilar. I
Contudo, no MHSA a energia do oscilador é gradualmente dissipada pelo atrito,
anulando-se com o tempo.
Figura (4.1): O deslocamento x(t) para o oscilador harmônico amortecido (MHSA). A amplitude diminui
exponencialmente com o tempo (linha tracejada).
Considerando o caso angular, MHSA angular, onde a força de restituição é proporcional ao
deslocamento angular, isto é, se o torque aplicado, (ou torção) for pequeno, verifica-se que o torque
restaurador é proporcional ao deslocamento angular (Lei de Hooke):
=−  , (4.9)
4.2
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onde κ é a constante de proporcionalidade associado ao sistema, e θ é o deslocamento angular. O
sinal negativo indica que o sentido do torque é oposto ao do deslocamento angular. A equação
(4.9) é uma condição para que ocorra um Movimento Harmônico Simples Angular, em analogia
com uma força elástica aplicada diretamente por uma mola ao ser deformada, no caso do
movimento harmônico simples linear.
Havendo força dissipativa dependente da velocidade, que amortece o movimento,
diminuindo a amplitude de oscilação, podemos de forma simplificada, descrevê-la por:
F=−
. (4.10)
Onde ρ é o fator de amortecimento e ω a velocidade angular do movimento.
Sendo, a 2a. Lei de Newton para as rotações, descrita como:
=I  , (4.11)
onde I é o momento de inércia do sistema e α sua aceleração angular. Assim obtém:
−− =I
d2
. (4.12)
dt 2
Reescrevendo a equação (4.12),
d2  d  

 =0 . (4.13)
dt 2 I dt I
Onde a eq. (4.13) é uma equação diferencial ordinária homogênea de 2a. ordem e primeiro grau,
que descreve o Movimento Harmônico Simples Amortecido (MHSA) angular.
Sendo que,

20 = . (4.14)
I
E
0 =

 , (4.15)
I
é denominado frequência angular de oscilação, ou frequência natural de oscilação.
E
γ=
ρ
, (4,16)
2I
é o coeficiente de amortecimento.
Assim, a eq. (4.13) pode ser reescrita como,
d2 θ
dθ 2
+2 γ
+ω0 θ=0 , (4.17)
2
dt
dt
4.3
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A solução para a equação (4.17) é dada por,
θ(t )=θ0 e−γ t cos(ω t+ϕ) . (4.18)
Onde:
ω=√ ω0−γ
2
Sendo que,
2
. (4.19)
 e  0 dependem das condições iniciais do movimento.
Se γ≠ 0 , então há atrito, e  é menor que 0 , como se nota pela equação (4.19).
A amplitude do movimento decresce gradualmente, até anular-se de um fator
A (t )=θm (t)=θ 0 e−γt .
(4.20)
Descrição do Experimento: O equipamento utilizado nesse experimento é um dispositivo
conhecido como Pêndulo de Pohl, como se retrata abaixo:
4.4
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Equipamento/Material:
1. Dispositivo: Pêndulo de Pohl (figura acima);
2. Fonte de alimentação DC 0 - 20 ; 0 - 5 A (230 V; 50/60 Hz);
3. Dois cabos conectores: da fonte para o freio magnético ;
4. Cronômetro;
Procedimentos:
(a) O aparato já se encontra montado sobre a bancada.
(b) Verifique se os cabos conectores encontram-se conectados. Caso não estejam, conecte-os da
saída da fonte de alimentação até o freio magnético (números 11 e 17 na figura acima).
(c) Ligue a fonte de alimentação do freio magnético.
(d) Ajuste a saída da fonte de alimentação para a corrente de 0,2 A (verifique pelo mostrador
esquerdo).
(e) Desloque o ponteiro (número 9 na figura acima) até a marca dos 18. Solte o ponteiro e observe
o que acontece.
(f) Zere o cronômetro e prepare-se para dispará-lo.
(g) Repita o procedimento (e), disparando o cronômetro no momento em que soltar o ponteiro.
(h) Para cada intervalo de 5 s (aproximadamente), meça as amplitudes A, ou seja, o valor lido para
o ponteiro, e o tempo correspondente no cronômetro, sempre para o mesmo lados do anel
graduado. (Sugestão: pode-se também, soltar o ponteiro e medir após 5 s. Depois, soltar novamente
e medir após 10 s, e assim sucessivamente). Anote as medidas na tabela 1.
(Sugestão: treine para fazer em dupla as medidas. Enquanto um dos integrantes da equipe marca o
tempo outro observa a amplitude correspondente).
- Siga as instruções e responda às questões do relatório experimental.
Cuidados com a experiência:
- Jamais force por demais a deflexão do ponteiro.
- Seja responsável: Use o material com zelo!
- Após as medidas desligue o equipamento.
- Qualquer dúvida ou alteração comunique o professor e aguarde.
4.5