2012
Geometria | Caderno 01
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MENSAGEM FINAL
LEGENDA: Resolução em multimídia, disponível
no site www.ednaldoernesto.com.br
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ÍNDICE
Página
01 - Conceitos primitivos da geometria
Geometria | Caderno 01
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9
02 - Proposições geométricas
11
03 - Postulados euclidianos fundamentais
13
04 - Segmento de reta
18
05 - Curvas planas
21
06 - Regiões planas limitadas
22
07 - Posicionamento relativo entre duas retas no espaço
23
08 - Determinação de um plano
26
09 - Posicionamento relativo entre reta e plano no espaço
26
10 - Posicionamento relativo entre dois planos no espaço
29
11 - Perpendicularismo entre reta e plano
30
12 - Perpendicularismo entre dois planos
33
13 - Projeção ortogonal
34
14 - Distâncias no espaço euclidiano
36
15 - Noções de simetria
38
3
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14. (FUVEST-SP) Assinale a correta:
a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um deles será
paralelo ao outro.
b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles será perpendicular
ao outro.
c) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
d) Se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma delas será paralela
à outra.
e) Se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a uma delas será ortogonal à outra.
15. (PUCCAMP-SP) Nas afirmações abaixo, os entes geométricos se situam no espaço
tridimensional.
I)
Duas retas que não possuem pontos comuns são sempre paralelas.
II)
Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas deste plano.
III)
Duas retas distintas, perpendiculares a um mesmo plano, são sempre paralelas.
IV)
Dois planos distintos, perpendiculares a um terceiro, são sempre paralelos.
Somente estão corretas as afirmativas:
a) I e IV
b) II e III
c) I e II
d) III e IV
e) II, III e IV.
Geometria | Caderno 01
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11. (FCC) Se um plano
e uma reta r são tais que r
= r, então:
a) Existe um plano que contém r e é paralelo distinto a
b) Existe uma reta em
c) Toda reta paralela a
MENSAGEM INICIAL
que é concorrente com r.
é paralela a r.
d) Toda reta paralela a r está contida em .
e) Toda reta perpendicular a
é perpendicular a r.
O CHAPÉU DO MEXICANO
(Melcíades Brito)
12. Classifique cada sentença a seguir com V (verdadeiro) ou F (falso):
0
0
Uma reta perpendicular a um plano é reversa a todas as retas desse plano.
1
1
Dois planos perpendiculares são secantes.
2
2
Uma reta perpendicular a um plano é ortogonal a todas as retas desse plano.
3
3
Dois planos secantes são perpendiculares.
4
4
Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
13. Sobre os conhecimentos de geometria tridimensional, considere as afirmativas:
I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes.
II. Três pontos distintos entre si determinam um único plano.
III. Duas retas paralelas distintas determinam um plano.
IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe um único plano que contém r e
é paralelo a s.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
b) I e IV
c) III e IV
d) I, II e III
e) II, III e IV
Geometria | Caderno 01
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Um baixinho mexicano veio visitar uma pequena cidade do interior do Brasil. E trouxe,
como era costume, seu chapéu, para poder usá-lo e sentir-se mais protegido. Chapéu de
mexicano você já sabe como é: tem abas enormes.
Nesta cidade morava um garoto, muito esperto e inteligente, apesar dos seus quase 4
anos de idade. Era uma dessas crianças muito curiosas, que queria saber de tudo e, quando não
lhe respondiam satisfatoriamente, ela tirava suas próprias conclusões.
Certo dia, foi levado pela mãe para uma sapataria. Na loja, o garoto percebeu sapatos
de vários estilos e tamanhos, e apontou os que lhe agradavam. A mãe, porém, muito
carinhosamente, fez ele entender que os sapatos escolhidos eram grande para ele.
Você é pequenininho! Aqueles sapatos só dão no pé de gente grande. Só quando você crescer
vai poder usar sapatos daquele tamanho.
O garoto se conformou. Ganhou um par de sapatos pequeno e seguiram adiante.
Entraram numa casa de lanches, onde havia algumas mesas vazias. Sentaram e a mãe pediu uma
merenda para ambos.
Nesta lanchonete estava o tal mexicano que, por alguns instantes se ausentara, para ir
ao banheiro, deixando sobre a mesa o seu chapéu.
O garoto, ao avistar aquele enorme chapéu, começou a pensar. Lembrou dos sapatos
grandes, feitos para gente grande. E em sua mente, ele passou a imaginar o tamanho da cabeça
do homem que seria o dono daquela peça.
Aquele chapéu, de um tamanho que ele nunca vira, com certeza, seria de um homem
muito grande. Recordou seu pai, que também usava chapéu, porém, mesmo sendo seu pai
grande, o chapéu era bem menor de que aquele ali.
Ficou inquieto e assustado. Não desgrudava os olhos do chapéu. Pertencia, imaginou, a um
homem muito grande, quem sabe, um monstro!
E o guri desalinhou mentalmente: é um monstro sim, pensava. A cabeça é enorme. E por onde
ele passou? Via a porta pequena demais para o dono daquela cabeça. O monstro mora aqui... ele
está preso aqui... não tem como sair, foi a conclusão que chegou.
5
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E isso passou a lhe causar medo. Foi ficando branco, frio, gelado, tomado de pavor.
Sua mente não parava de imaginar o gigante que, a qualquer instante, entraria naquela sala e,
com certeza, iria devorá-lo.
E não contou conversa. Como toda boa criança disparou um grito de alarme e medo,
que chamou a atenção de todas as pessoas que ali se encontravam. Queria ir embora. O
monstro, o monstro - dizia apavorado - Ele vai pegar a gente! Ele vai pegar a gente!
Foi uma confusão danada. O garoto só se deu por convencido e desassombrado quando
o baixinho mexicano retornou do banheiro e, tranqüilamente, sem nada perceber, pôs o chapéu
na cabeça e foi embora.
E o garoto, meio perdido em suas idéias lamentou sozinho: "se um homem pequeno
desse pode usar um chapéu grandão, eu também podia usar aquele sapato grande e bonito".
I. concorrentes entre si.
II. perpendiculares entre si.
III. paralelas.
IV. reversas e não ortogonais.
V. ortogonais.
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se,
respectivamente:
a) V, V, V, V, V.
b) V, F, V, F, V.
c) F, V, F, F, F.
d) V, V, V, V, F.
e) F, F, F, V, F.
09. Em relação ao plano , os pontos A e B estão no mesmo semi-espaço e os pontos A e C estão
em semi-espaços opostos. Em relação ao plano
os pontos A e B estão semi-espaços
opostos, bem como os pontos A e C. Pode-se concluir que o segmento BC.
CONCLUSÃO:
-
08. Duas retas distintas que são perpendiculares a uma terceira podem ser
OBSERVE A QUANTO ANDA A SUA IMAGINAÇÃO. MUITAS VEZES, TOMAMOS COMO
VERDADEIRAS COISAS QUE SÓ EXISTEM EM NOSSA CABEÇA.
a) É paralelo a e
b) Encontra e
c) Encontra mas não
d) Encontra mas não
e) Não encontra nem
10. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre Geometria Espacial, pode-se afirmar:
0
0
1 1
2 2
Geometria | Caderno 01
6
3
3
4
4
Se uma reta r e um plano α são paralelos, então toda reta perpendicular à reta r é
também perpendicular ao plano α.
Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe um único plano passando por
P, paralelo à reta s.
Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s é reversa a r, então a reta s
intercepta plano α.
Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma reta perpendicular a α, que não
está contida em β, então r é paralela a β.
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao
outro.
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04. Verifique a veracidade das seguintes afirmações, que completam a seguinte frase:
“ Em um mesmo plano, tem-se que ”:
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Duas
Duas
Duas
Duas
Duas
retas
retas
retas
retas
retas
paralelas a uma terceira são paralelas entre si.
que têm um ponto em comum são concorrentes.
coincidentes têm todos os seus pontos comuns.
perpendiculares a uma terceira são perpendiculares entre si.
perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
05. Classifique as afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F):
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Dois pontos determinam uma única reta.
Três pontos determinam um único plano.
Dois pontos distintos determinam uma reta.
Três pontos distintos determinam um plano.
Três pontos distintos não colineares determinam um plano.
06. Analise as afirmativas abaixo:
I
0
II
0
1
2
3
1
2
3
4
4
Existem retas coplanares paralelas contidas em dois planos distintos não
paralelos entre si.
Se duas retas no espaço forem reversas serão paralelas.
Se duas retas no espaço não forem reversas serão obrigatoriamente coplanares.
Se duas retas no espaço tiverem um ponto em comum serão obrigatoriamente
coplanares e concorrentes.
Se duas retas coplanares não forem concorrentes serão obrigatoriamente
paralelas.
07. (MACK - SP) A reta
a)
b)
c)
d)
e)
é paralela ao plano α. Então:
todas as retas de α são paralelas a r.
a reta r não pode ser coplanar com nenhuma reta de α.
existem em α retas paralelas a r e também existem em α retas reversas a r.
existem em α retas paralelas a r e também retas perpendiculares a r.
todo plano que contém r é paralelo a α.
Geometria | Caderno 01
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AS ORIGENS DA GEOMETRIA
Historicamente, sabemos que as civilizações antigas da
Mesopotâmia, durante o período de 2000 a 600 a.C.,
desenvolveram um conhecimento geométrico considerável,
principalmente em função da necessidade de construir grandes
obras para controlar as enchentes, comuns no vale mesopotâmico,
formado pelos rios Tigre e Eufrates.
Os egípcios, aproximadamente no mesmo período,
também contribuíram de modo significativo no desenvolvimento da
Geometria, principalmente pela necessidade de remarcarem os
limites de propriedades agrícolas, após as cheias e inundações
previsíveis do rio Nilo. Na área da construção civil, observando as
pirâmides, percebemos que possuíam um razoável conhecimento
sobre o assunto.
TALES
Entretanto, a cultura mesopotâmica e a egípcia
começaram a declinar bem antes da era cristã, e a Grécia tornavase, pouco a pouco, a capital do conhecimento científico.
Os gregos Tales (624-548 a.C. aproximadamente), nascido em Mileto e Pitágoras (580500 a.C. aproximadamente), nascido na ilha de Samos, próxima de Mileto, foram homens que
tiveram o privilégio de, freqüentemente, visitar os grandes centros de conhecimento da época e
aprender mais sobre astronomia e matemática. Alguns historiadores chegam a afirmar que no
Egito aprenderam Geometria e na Babilônia, na época de Nabucodonosor, Tales teve em mãos
tabelas e instrumentos astronômicos.
Tales foi o primeiro a formular propriedades gerais sobre as figuras geométricas e a
demonstrar propriedades geométricas que os egípcios conheciam apenas pela experiência ou por
meio da observação. Iniciava-se, com Tales, a geometria dedutiva.
Assim, a geometria deixava de ser apenas um instrumento de medição é passava a ter
um sentido mais amplo, revestindo-se de caráter científico.
Novos e importantes avanços foram feito por Platão, Perseu e Eudoxo, mas coube a
Euclides de Alexandria (320-270 a.C.) coordenar e sistematizar todo o conhecimento geométrico
adquirido até sua época na obra Os Elementos, composta por 13 livros (10 sobre geometria e 3
sobre teoria dos números). Essa obra tomou-se um best-seller da época, sendo utilizada como
manual em muitos países até finais do século XIX.
É provável que nenhuma obra, além da Bíblia, tenha tido número maior de edições, e
nenhuma obra matemática teve tanta influência quanto a de Euclides.
Nela se encontram os princípios da geometria euclidiana. Partindo de definições e
postulados, Euclides construiu uma estrutura geométrica de forma rigorosa e lógica. Essa obra
foi impressa pela primeira vez no ano de 1482, na cidade de Veneza, e depois disso teve mais
de mil edições.
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Novas contribuições foram dadas por Arquimedes (287-212 a.C.) e Diocles. No final do
século III a.C., os escritos de Apolônio de Perga (262-190? a.C.) marcam o apogeu da Geometria
entre os gregos. Pouco depois, Hiparco cria a Trigonometria, foi
porém,
com
Euclides
(matemático grego) que a Geometria se desenvolveu, fazendo da cidade egípcia da Alexandria o
grande centro mundial da Geometria.
Sua primeira educação matemática se passou em Atenas, através
de discípulos de Platão, uma vez que a maioria dos geômetras e
matemáticos com que ele lidou pertenciam a essa escola. Em Alexandria,
no tempo de Ptolomeu I, que reinou entre 306 e 283 antes de Cristo,
Euclides pôde desenvolver seus trabalhos sobre Geometria.
Conta a história que, quando Ptolomeu I perguntou a Euclides se
não havia um caminho mais curto para a Geometria do que os Elementos,
recebeu esta resposta: “Não há uma estrada real para a Geometria”.
Conta a história também que, quando um aluno de Euclides o perguntou
que lucro teria estudando Geometria, este entregou-lhe um saco de
moedas e a partir de então não mais o aceitou como aluno.
Os filósofos gregos costumavam colocar nas portas de suas escolas
EUCLIDES
uma observação muito conhecida: “NÃO ENTRE NESTA ESCOLA SE VOCÊ
NÃO APRENDEU ELEMENTOS DE EUCLIDES”, mais tarde transferiu a inscrição da Academia de
Platão para todas as portas de escolas e substituindo a palavra ELEMENTOS por GEOMETRIA.
03. Observe as figuras e construa seu simétrico em relação ao ponto O.
a)
b)
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c)
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02. Considere as seguinte figuras e construa seu simétrico, em relação à reta r.
01. CONCEITOS PRIMITIVOS DA GEOMETRIA
a)
PONTO
Não se definem.
RETA
Admitem idéias.
CONCEITOS
Possuem características que
PLANO
garantem unicidade e precisão
ESPAÇO
Estes conceitos são aceitos sem definição, intuitivamente e baseando-se nas suas
características os conceberemos, e a partir daí, usaremos uma representação geométrica e
notação universais.
b)
 O PONTO
Um simples toque da ponta do lápis bem apontada na folha do papel estabelece a
representação geométrica do ponto.
CARACTERÍSTICA
É admensional.
Não ocupa lugar no espaço.
c)
 A RETA
A representação geométrica da reta é obtida através de um traço apondo-se setas em
suas extremidades.
CARACTERÍSTICA
É unidimensional.
Nela existem infinitos
pontos.
É ilimitada.
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 NOTA HISTÓRICA
 O PLANO
A representação geométrica do plano é feita através de uma figura que dê a idéia de
superfície.
CARACTERÍSTICA
É bidimensional.
Nele existem infinitos pontos e
retas.
É ilimitado
dimensões.
em
ambas
as
No que diz respeito à Geometria das Transformações, M. C. Escher, artista alemão (18981972) utilizou-as significativamente em seus estudos e mostrou ser, além de grande artista, um
matemático hábil e especializado.
Os formosos trabalhos de Escher têm despertado grande
interesse entre os estudiosos e, em anos mais recentes, fazem
parte das aulas de matemática nos mais diferentes níveis.
Seus trabalhos artísticos são muito populares, e neles ele
mostra um estudo muito bonito das simetrias. Nas divisões
regulares do plano, que fazem parte de muitos de seus
“ornamentos”, Escher utilizou simetrias de reflexão, de
rotação, de translação e composição destas simetrias. A figura
ao lado, o “Limite Circular IV” de Escher, mostra exemplos de
rotações e de simetrias de reflexões.
EXERCÍCIOS
 O ESPAÇO
É o lugar geométrico único, conjunto universo amplo da geometria euclidiana, no qual
estão os infinitos pontos, as infinitas reta e os infinitos planos, por ser único não há uma
representação geométrica para o espaço, pois não há necessidade de distingui-lo de outro.
01. Identifique os tipos de simetria que existe entre os pares de figuras indicados na figura
abaixo:
a) fig. 1 e fig. 2
É tridimensional.
b) fig. 1 e fig. 3
Existem pontos, retas e planos em todos os lugares do
espaço e em todas as posições possíveis.
É ilimitado nas três dimensões.
c) fig. 1 e fig. 4
O
Devido às características dos conceitos primitivos que ora estudamos ficamos
impossibilitados de dar exemplos, porém podemos ter idéias e os associar a entes visíveis;
d) fig. 2 e fig. 3
e) fig. 2 e fig. 4
f) fig. 3 e fig. 4
O mar calmo nos dá a idéia de um plano; a linha do horizonte nos dá a idéia de uma reta;
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Ou ainda quando possui um ponto chamado centro de simetria, este centro de simetria
é tal que se girarmos a figura de 180° (meia-volta) em torno deste centro, a figura coincidirá
consigo mesma.
B
As estrelas no céu nos dão a idéia de ponto; e o todo visível nos dá a idéia de espaço.
02. PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS
As idéias geométricas se baseiam nos processos de indução e dedução.
Observe os exemplos:
INDUÇÃO:
ocorre quando a partir de sucessivos exemplos e casos
particulares estudados e bem sucedidos, se pode concluir uma
regra geral para casos semelhantes; vale dizer, é o caminho
que nos conduz do particular para o geral.
DEDUÇÃO: constrói o conhecimento do geral para o particular.
No item anterior concebemos a existência do ponto, da reta, do plano e do espaço através
do método indutivo.
ESTA FIGURA É SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A
RETA r E EM RELAÇÃO A O
ESTA FIGURA NÃO APRESENTA SIMETRIA
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Exemplo 2:
GARANTEM A
EXISTÊNCIA
CONCEITOS
INICIAIS
RELACIONAM
OS CONCEITOS
POSTULADOS
FUNDAMENTAIS
LEMAS
ENTES
DEFINÍVEIS
TEOREMAS
OU LEIS
TEOREMAS
Os triângulos ABC e A’B’C’ são simétricos em relação ao ponto )
RECÍPROCOS
Exemplo 3:
COROLÁRIOS
INDUTIVO
DEDUTIVO
O estudo da Geometria que vamos iniciar, será desenvolvido através das proposições
apresentadas, isto não quer dizer que estaremos praticando uma Geometria Axiomática, pois a
grosso modo uma Geometria Axiomática consta de um conjunto inicial de proposições chamado
conforme seu papel da teoria, de teoremas, lemas e corolários.
Os AXIOMAS são as asserções que admitem sem demonstração. Constituem a base da
teoria que se vai construir e via de regra são intuitivos nos cursos elementares; a sua aceitação
não exige do estudante um esforço maior do que aquele despendido para entender a realidade
que o cerca.
As DEFINIÇÕES relacionam os entes ou os objetos cuja existência os axiomas devem
assegurar, ou ainda, cuja existência é assegurada pelas asserções que decorrem da aceitação
dos axiomas.
Pentágonos simétricos em relação a O.
 FIGURA SIMÉTRICA
Uma figura plana é simétrica quando possui uma reta chamada eixo de reflexão ou
eixo de simetria, que a divide em duas figuras congruentes que podem ser sobrepostas. Esse
eixo funciona como um espelho que reflete uma parte sobre a outra. Ao dobrarmos a figura
nessa linha, cada parte se encaixará perfeitamente na outra.
Os TEOREMAS são asserções que devem ser demonstradas para serem aceitas. São as
proposições centrais da teoria e constituem sua espinha dorsal.
Os LEMAS são teoremas que já foram demonstrados e que estão auxiliando a
demonstração de teoremas posteriores.
Os COROLÁRIOS são teoremas que não exigem demonstração, pois são conseqüência de
um teorema demonstrado imediatamente antes.
Teorema recíproco de outro teorema é quando a tese de uma é a hipótese do outro e
vice-versa.
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 SIMETRIA CENTRAL (SIMETRIA PUNTUAL)
(SIMETRIA EM RELAÇÃO A UM PONTO)
Considere no plano
os pontos A e O
Se conduzirmos a única reta r de
que passa por A e O
Em resumo os axiomas, também chamados postulados, são aceitos sem
demonstração. Os teoremas, lemas e corolários são demonstrados a partir
dos axiomas.
Evidentemente, toda essa divisão tem um objetivo mais didático do
que essencial ao desenvolvimento de uma teoria.
Damos então as seguintes definições:
 Duas figuras são coincidentes quando todos os pontos de uma pertencem também à
E considerarmos O como origem de duas semi-retas opostas que têm r como
reta suporte, e na semi-reta oposta a que te A, obtivermos o ponto A’
cuja distância até O é igual a distância entre O e A.
outra, e vice-versa.
 Duas figuras são distintas quando não são coincidentes.
 Determinar uma figura significa garantir sua existência e sua unicidade.
Quando dizemos “existe um” significa que “existe pelo menos um”, quando dizemos
“existe um único”, significa que “existe apenas um”.
A’ é o simétrico de A em relação a O.
A e A’ são simétricos em relação a O.
03. POSTULADOS EUCLIDIANOS FUNDAMENTAIS
São proposições aceitas como verdadeiras, impossíveis de serem provadas, que servem
como base para o desenvolvimento teórico.
Exemplo 1:
.A
B’
.
.C
.B
.
.
C’
A’
.
 POSTULADOS DA EXISTÊNCIA
P1) Em uma reta, e fora dela, existem infinitos pontos.
DEFINIÇÃO: Pontos pertencentes a uma mesma reta
são ditos COLINEARES entre si.
FIGURAS SIMÉTRICAS
(CONGRUENTES)
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Exemplo 1:
P2) Em um plano, e fora dele, existem infinitos pontos e retas.
r
A
.
.
.A’
AS FIGURAS 1 E 2
SÃO SIMÉTRICAS EM
.
C
DEFINIÇÃO: Pontos pertencentes a um mesmo plano são ditos COPLANARES entre si.
B
.
RELAÇÃO A RETA r
.
C’
.
.
FIG. 1
. B’
FIGURAS SIMÉTRICAS
(CONGRUENTES)
FIG. 2
P3) No espaço existem infinitos pontos, retas e planos.
Exemplo 2:
* É impossível algum ponto ou reta ou plano estar fora do espaço euclidiano.
 POSTULADOS DA DIVISÃO
P4) Um ponto divide uma reta em que ele está em duas semi-retas.
O segmento AB é o simétrico
O segmento CD é o simétrico
do segmento A'B'
do segmento C' D'
Exemplo 3:
Os triângulos ABC e A’B’C’ são simétricos em
relação à reta r.
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NOTAÇÃO:
15. NOÇÕES DE SIMETRIA
AXIAL OU DE REFLEXÃO
SIMETRIAS
CENTRAL OU PUNTUAL
P5) Uma reta divide o plano em que ela está em dois semi-planos.
 SIMETRIA AXIAL (SIMETRIA DE REFLEXÃO)
(SIMETRIA EM RELAÇÃO A UMA RETA)
Considere no plano
o ponto P e a reta r
Se conduzirmos por P à única
perpendicular a r
P6) Um plano divide o espaço em dois semi-espaços.
E no semi-plano oposto ao de P sobre a mesma perpendicular obtivermos o
ponto P’ cuja distância até r é igual a de P até r
P’ é o simétrico de P em relação a r.
P e P’ são simétricos em relação a r.
Geometria | Caderno 01
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Consideremos um plano horizontal:
O plano é a origem ou bordo
dos semi-espaços.
Um semi-espaço fica acima e o
outro abaixo do plano .
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 POSTULADOS DA CONCORRÊNCIA
 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS DISTINTAS E PARALELAS
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a
distância entre r e s é a distância entre qualquer
ponto de uma delas e a outra reta.
P7) Por um ponto passam infinitas retas.
Se duas retas são coincidentes, a distância entre
elas é zero.
 DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO PARALELOS
P8) Por uma reta passam infinitos planos.
Dados a reta r e o plano tais que r // , a distância
entre a reta r e o plano é a distância entre qualquer
ponto de r e o plano .
 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS E PARALELOS
=r,
=r,
=r
Dados dois
distância
entre
plano.
=r
 POSTULADOS DA DETERMINAÇÃO
planos distintos
e
tal que // , a
entre esses dois planos é a distância
qualquer ponto de um deles e o outro
P9) Por dois pontos distintos passa uma única reta, que fica determinada por eles.
Qualquer outra reta que passar
por B não passa por A.
 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS
NOTAÇÃO:
Reta r
Geometria | Caderno 01
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Dadas duas retas reversas r e s, vamos considerar um
ponto qualquer de r e o plano que contém s e é
paralelo a r. A distância entre r e s é a distância
entre esse ponto e esse plano.
Reta
AB
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Exemplos:
As figuras F’, G’ e H’ são projeções ortogonais das figuras F, G e H,
respectivamente, sobre o plano . Elas são formadas pelas projeções ortogonais de
todos os pontos das figuras F, G e H sobre .
Quando apoiamos uma régua em dois
pontos desenhados no papel e riscarmos com
um lápis de ponta bem fina, estamos
materializando a idéia contida no postulado.
Não existem duas retas distintas que
contenham ambos os pontos dados.
P10) Por três pontos não colineares passa um único plano que fica determinado por eles.
14. DISTÂNCIAS NO ESPAÇO EUCLIDIANO
 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Dados dois pontos distintos A e B, a distância entre A e B é a medida do
segmento AB.
Se A e B coincidem, dizemos que a distância entre A e B é zero.
.
A
B
 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UMA RETA
O pontos A, B e C
são não colineares
NOTAÇÃO:
Plano
Plano ABC
Dados um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma
reta que passa por P e é perpendicular a r, no ponto A.
A distância entre o ponto P e a reta r é a distância
entre os pontos P e A.
 DISTÂNCIA ENTRE UM PONTO E UM PLANO
Dados um ponto P e um plano , podemos determinar P’, que
é a projeção ortogonal de P sobre
A distância entre o ponto P e o plano é a distância entre os
pontos P e P’.
Geometria | Caderno 01
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Você já deve ter observado que uma banqueta de três
pernas ou um tripé com pés pontiagudos não
balançam quando apoiados no chão. Isto acontece
porque as três pontas sempre ficam num plano,
mesmo que este plano não seja exatamente
horizontal.
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 POSTULADO DA INCLUSÃO
P11) Se dois pontos distintos de uma mesma reta pertencerem a um certo plano, a reta
estará contida neste plano.
A reta r é perpendicular ao plano pelo ponto P’.
O ponto P’ é então, a projeção ortogonal da reta r
sobre o plano .
Se encostarmos dois pontos A e B de uma régua sobre
a superfície de uma mesa, todos os pontos da régua
ficarão encostados na mesa.
A projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano
(caso pl(ABC)
) ou um triângulo A’B’C’.
pode ser um segmento de reta
A única possibilidade para negar este postulado seria admitir curvatura no plano
euclidiano, o que é um paradoxo (o plano ser como
uma telha convencional). Planos assim são admitidos
em algumas geometrias não-euclidianas.
GENERALIZANDO:
De uma figura qualquer sobre o plano:
A projeção ortogonal de uma figura qualquer do espaço sobre um plano ou sobre
uma reta é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos da figura sobre
o plano ou sobre a reta.
04. SEGMENTO DE RETA
Dados dois pontos distintos A e B pertencentes a uma mesma reta, estes limitam na
reta uma parte da mesma compreendida entre A e B incluindo-os denominada segmento de reta.
proj F = F’ = {A’, B’, C’, ...}
 Os pontos A e B chamam-se extremidade do segmento.


Indica-se: segmento AB ou, simplesmente, AB .
A reta r é chamada reta suporte do segmento.
Geometria | Caderno 01
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SEGMENTOS CONSECUTIVOS
13. PROJEÇÃO ORTOGONAL
 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE PONTO SOBRE RETA E DE PONTO SOBRE PLANO
A projeção ortogonal de um ponto P
sobre uma reta r é o ponto P’ onde a
reta conduzida por P e perpendicular a r
encontra esta reta r.
A projeção ortogonal de um ponto P sobre
um plano é o ponto P’, onde a reta
perpendicular ao plano, conduzida por P,
encontra este plano.
Possuem uma extremidade em comum.
SEGMENTOS COLINEARES
Estão contidos em uma mesma reta suporte.
CASOS PARTICULARES:
A projeção de um segmento de reta AB sobre um plano
um ponto (caso AB
ou sobre uma reta pode ser
) ou um segmento de reta A' B'
SEGMENTOS ADJACENTES
Dois segmentos são adjacentes se são simultaneamente
consecutivos e colineares.
proj AB = A’ = B’
proj AB = A' B'
A’B’ = AC < AB
Caso AB não seja paralelo a , a medida da projeção, A’B’, é menor que AB.
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: pode ser uma reta ou um ponto.
A reta s é paralela ou
oblíqua ao plano .
A projeção ortogonal de s
sobre
é a reta s’,
determinada pelos pontos
P’ e Q’, que são projeções
ortogonais dos pontos P e
Q pertencentes à reta s.
Geometria | Caderno 01
MEDIDA DE UM SEGMENTO
Quando medimos o comprimento de um segmento AB, fixada uma unidade de medida,
fica associado a cada segmento um e um só número real positivo, que é a sua medida.
Na figura a seguir, fixamos como unidade de medida o cm.
Indicamos a medida do segmento AB com a notação:
Med (AB) = 4cm
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Dois planos
e
, perpendiculares a um terceiro , são paralelos ou secantes entre si.
SEGMENTOS CONGRUENTES
Dois ou mais segmentos são congruentes entre si, quando possuírem a mesma medida.
Exemplo:
AB
4 cm
CD
4 cm
.
AB
é congr uente a
.
CD
.
.
 PARALELISMO ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS
Os planos
Observe os segmentos
AB
e
CD
.
4 cm
e
são paralelos distintos se, e somente se, existem duas
retas r e s contidas em
e concorrentes em P, de
modo que ambas sejam paralelas a .
.
4 cm
.
.
Se esses segmentos forem sobrepostos, todos os seus pontos coincidirão.
CONSEQÜÊNCIAS:
Se dois planos distintos são paralelos, então qualquer reta de um deles é paralela ao
outro, e qualquer reta concorrente a um deles também é concorrente ao outro.
símbolo de coincidência
A
C
Geometria | Caderno 01
B
símbolo de congruência “ ”
AB CD , pois m(AB) m(CD)
D
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12. PERPENDICULARISMO ENTRE DOIS PLANOS
05. CURVAS PLANAS
Dois planos
e
são perpendiculares entre si, se e somente se, forem secantes e um
deles passar por uma reta que é perpendicular ao outro.
Todo conjunto contínuo de pontos de um plano recebe o nome de curva.
CARACTERÍSTICA
r
Toda curva é unidimensional.
e r
Obs.: A reta é uma curva plana ilimitada cujos pontos são colineares.
CONSEQÜÊNCIAS:
Quando uma reta é perpendicular a um plano , todos os planos que passam por ela são
perpendiculares ao plano .
 CLASSIFICAÇÃO DAS CURVAS LIMITADAS
Quanto ao seu perfil (traçado) as curvas
limitadas que possuem extremidades se definem como
abertas, se não possuem extremidades se definem como
fechadas. Se interceptam a si mesma não-simples e
caso contrário simples.
Exemplos:
Curva Aberta Simples
A
r
Os planos e , que contêm r
são perpendiculares a .
Quando abrimos uma porta, ela passa
pelo eixo de giro e ambos são
perpendiculares ao piso sempre.
Se uma reta r e um plano
são ambos perpendiculares a um plano
contida no plano ou é paralela ao plano .
r está contida em
Geometria | Caderno 01
..
Curva Aberta Não Simples
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. .
B
B
A
, a reta r está
r é paralela a
Curvas Fechada Simples
Curvas Fechada Não Simples
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06. REGIÕES PLANAS LIMITADAS
CONSEQÜÊNCIAS:
Uma curva fechada simples limita no plano que a contém dois conjuntos distintos de
pontos denominados respectivamente de interior e exterior da curva.
Se uma reta é perpendicular a um plano,
todas as retas do plano são perpendiculares
ou ortogonais a essa reta:
Se uma reta r é perpendicular a um plano,
toda reta paralela a r é também
perpendicular ao plano:
Se dois planos distintos são paralelos,
qualquer reta perpendicular a um deles é
também perpendicular ao outro:
Se uma reta r é perpendicular a um plano
, todos os infinitos planos que contêm essa
reta são perpendiculares ao plano :
exterior
Os pontos A, B e C pertencem ao interior da curva e os ponto E e D pertencem ao
exterior.
A reunião dos pontos da curva com os pontos de seu interior define uma região.
Exemplos:
REGIÃO CONVEXA
REGIÃO CÔNCAVA
Obs.: Condição de paralelismo entre reta e plano
Uma região do plano é convexa quando todo segmento que liga dois pontos da mesma
fica totalmente contido na região plana limitada.
Para que uma reta r seja
paralela a um plano
no plano
basta que
não exista reta
concorrente com ela.
Geometria | Caderno 01
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11. PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO
retas de
Uma reta r é perpendicular a um plano se, e somente se, r é perpendicular a todas as
que passam pelo ponto de intersecção de r e .
07. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS RETAS NO
ESPAÇO
REVERSAS
CONCORRENTES
DUAS RETAS
DISTINTAS
COPLANARES
PARALELAS
COINCIDENTES
 RETAS REVERSAS
Duas retas no espaço são reversas entre si,
se não existir sequer um plano no espaço que as
contém simultaneamente.
Para que uma reta r seja perpendicular a
Observe, na figura abaixo, por que não
uma plano
basta que r seja perpendicular a uma única
, basta ser perpendicular a
reta t de
duas retas concorrentes, contidas em, :
Reversas
r s=
não existe plano que
contenha r e s
simultaneamente.
para que seja perpendicular ao
plano:
Quando duas retas no espaço são reversas entre si, dentre os infinitos planos que
passam por uma, nenhum deles passa pela outra.
 RETAS COPLANARES
Duas retas no espaço são coplanares entre si, quando existe um plano que as contêm
simultaneamente.
r
s
s e r
e t
t
r
r
t (t
)
r não é perpendicular a
O plano
passa por r e por s.
r e t coplanares concorrentes.
s e t coplanares paralelas.
Geometria | Caderno 01
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Se duas retas coplanares tiverem um único ponto em comum serão ditas Concorrentes.
Consideremos duas retas r e
10. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE DOIS PLANOS NO ESPAÇO
COINCIDENTES
s concorrentes. Elas
podem formar ângulo reto ou não. Quando as retas
PARALELOS
ENTRE SI
concorrentes r e s formam ângulo reto, elas são
r
s={P}
perpendiculares. Quando as retas concorrentes r e s
não formam ângulo reto elas são obliquas.
 COPLANARES CONCORRENTES PERPENDICULARES
SECANTES OU
CONCORRENTES
ENTRE SI
PLANOS PARALELOS:
COINCIDENTES:
r
DISTINTOS
DOIS PLANOS
DISTINTOS:
s
=
=
=
//
 COPLANARES CONCORRENTES OBLÍQUAS
PLANOS SECANTES:
PERPENDICULARES:
r
OBLÍQUOS:
s
Se duas retas coplanares não forem concorrentes serão ditas paralelas.
={t}
Geometria | Caderno 01
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={s}
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Conseqüências do posicionamento entre reta e plano:
 PARALELAS DISTINTAS
 PARALELAS COINCIDENTES
 Se uma reta é paralela a um plano:
A RETA É PARALELA A INFINITAS
RETAS DO PLANO
MAS NÃO É PARALELA A TODAS
AS RETAS DO PLANO
r
s
r
r
s
r
paralelas distintas
s
r // s
POIS NO PLANO EXISTEM INFINITAS OUTRAS
RETAS REVERSAS A ELA.
paralelas coincidentes
s r
s
r
s
Obs.: Se uma reta r intercepta perpendicularmente um plano ela é perpendicular a todas as
retas do plano que passam pelo traço, e é ortogonal a todas as retas do plano que não
passam pelo traço.
Na cadeira representada abaixo, r e s
são reversas, pois são ortogonais.
 Se uma reta é concorrente com um plano
A RETA É CONCORRENTE INFINITAS
RETAS DO PLANO
MAS NÃO É CONCORRENTE A TODAS
AS RETAS DO PLANO
r
,r
s e r
t
A ortogonalidade de duas retas é uma situação particular da posição das retas reversas,
da mesma forma que a perpendicularidade é uma situação particular da posição de
duas retas concorrentes.
Observe que as retas reversas a e b, visualizadas no cubo, e a reta c, paralela à reta a
e concorrente com b.
POIS NO PLANO EXISTEM INFINITAS OUTRAS
RETAS REVERSAS A ELA.
a e b são retas reversas
e ortogonais.
Geometria | Caderno 01
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a e b são reversas, mas
não são ortogonais.
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08. DETERMINAÇÃO DE UM PLANO
A RETA r ESTÁ NO PLANO
- Existem quatro postulados para a determinação de um plano.
r
UM PLANO FICA DETERMINADO POR:
três pontos não colineares
= r
uma reta e um ponto fora dela
A RETA r É PARALELA A
r
duas retas concorrentes
=
dedo e mão representando
reta e plano paralelos
duas retas paralelas distintas
A RETA r FURA NO PLANO
r
= {P}
lápis e carteira representando
reta e plano secantes
09. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE
RETA E PLANO NO ESPAÇO
ESTÁ CONTIDA NO
UMA RETA
É PARALELA AO
UM PLANO
Reta contida no plano: quando a reta e o plano têm dois pontos
distintos em comum.
Reta paralela ao plano: quando a reta e o plano não apresentam ponto
em comum.
Reta concorrente ou secante ao plano: quando a reta e o plano têm um
único ponto em comum.
É SECANTE AO
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