Trabalho e Energia
Podemos definir trabalho como a capacidade de produzir energia.
Se uma força executou um trabalho W sobre um corpo ele aumentou
a energia desse corpo de W .
OBS: Quando estudamos vetores vimos que existe dois tipos de produtos
vetoriais: o produto escalar e o produto vetorial. Vimos também, que o
produto escalar entre dois vetores resulta em um escalar e que o produto
vetorial entre dois vetores resulta em um vetor.
Definimos o trabalho W realizado pela força sobre uma
partícula como o produto escalar da força pelo
deslocamento.
W  F d
Unidade SI: 1N.m ou joule (J)
No estudo de partículas atômicas é
conveniente o uso da unidade eV.
1eV = 1,60  10-19J
1
2
Trabalho: Movimento Unidimensional com Força Constante
F
F
d
W  Fd
d
W  Fd cos  F  d
Exemplo: A figura abaixo mostra dos jovens empurrando um cofre por uma distância de 9,0 m
em linha reta na direção do eixo x positivo. A força F1 exercida pelo jovem 1 é de 240N e faz
um ângulo de 30o para baixo a partir da horizontal; a força F2 exercida pelo jovem 2 é de 200N
e faz um ângulo de 40o para cima com a horizontal. Calcule o trabalho realizado pelos jovens.
Trabalho executado pelo jovem 1:
W1 =F1d cos300  (240 N )(9,0m)(cos30o )  1870 N
Trabalho executado pelo jovem 2:
W2 =F2 d cos 400  (200 N )(9,0m)(cos 40o )  1379 N
N
F2
d
Trabalho total:
W  W1  W2  1870 N  1379 N  3249 N
P
F1
Trabalho realizado por uma força variável: Caso unidimensional
Suponha que a força atue apenas ao eixo x e que seu
módulo varie com x de acordo com a função F(x).
Suponha um corpo que se mova na direção x sob a
ação dessa força. Qual é o trabalho realizado por
essa força variável quando o corpo se move desde
uma posição inicial xi até à posição final xf?
De acordo com a figura (a) ao lado, que o trabalho
realizado pela força F(x) é:
W  F1 x  F2 x 
W 
  W1   W2 
N
F x
n 1
n
O trabalho executado pela força pode
ser representado graficamente pela
área sombreada sob a curva.
No limite  x  0, temos
W  xxi f F ( x)dx
Exemplo1: A força aplicada em um objeto é F = F0(x/x0 – 1). Encontre o trabalho realizado ao mover o
objeto desde x = 0 até x = 3x0 , por avaliação analítica da integral.
W 

3 x0
0
3 x0
3 x0  x
 x


 x2

F0 
 1 dx  F0 

1
dx

F

x



0 
0
 x0

 x0

 2 x0
0
 9 x02

 F0 
 3 x0 
 2 x0


W 
3
F0 x0
2
3
4
Trabalho realizado por uma Mola
A força exercida pela mola é chamada de
força restauradora. Na fig. (a) ao lado mostra
uma mola no estado relaxado, isto é, nem
comprimida nem distendida. Na Fig. (b) o
bloco foi puxado para a direita, distendendo a
mola. Na fig. (c) o bloco foi empurrado para a
esquerda, comprimindo a mola.
A força da mola é dada por:
F  kd
Expressão conhecida por Lei de Hooke em homenagem a Robert Hooke. A constante k é
chamada de constante da mola e é uma medida da rigidez da mola.
Na figura acima, um eixo dos x foi traçado ao longo do comprimento da mola, com a origem (x = 0)
na posição da extremidade livre quando a mola se encontra no estado relaxado. Neste caso a Lei de
Hooke assume a forma:
F  kx
O trabalho é dado por:
ou ainda:
W 
W 

xf
xi
1
k ( xi2  x 2f )
2
W  0 se xi2  x 2f
W  0 se xi2  x 2f
f ( x)dx  
xf
xi
( kx)dx  k 
xf
xi
xdx  
k 2
x
2
xf
xi
(trabalho realizado por uma mola)
Se xi  0 e se x f  x, então:
W 
1
kx 2
2
5
Trabalho realizado por uma força variável: Caso bidimensional.
As expressões para a força e o deslocamento no caso bidimensional são:
F  Fx iˆ  Fy ˆ
j
e
ds  dx iˆ  dy ˆ
j
O produto escalar entre a força e deslocamento é dado por:
F  s  ( Fx iˆ  Fy ˆ
j )  (dx iˆ  dy ˆ
j )  Fx dx (iˆ  iˆ)  Fx dy (iˆ  ˆ
j )  Fy dx ( ˆ
j  iˆ)  Fy dy ( ˆ
j ˆ
j)
0
1

i
f
1
W  F  ds
Portanto, o trabalho neste caso é dado por:
W 
0
( Fx dx  Fy dy )
OBS: esta é uma integral de linha!
Exemplo 2: Uma particula efetua um deslocamento s  2 m iˆ  5m ˆ
j , sobre uma reta.
Durante o deslocamento, atua sobre a partícula uma força constante F  3 N iˆ  4 N ˆ
j.
Calcule o trabalho efetuado pela força e a componente da força na direção do
deslocamento.
O trabalho efetuado pela força é:
W  F  s  (3N iˆ  4 N ˆ
j )  (2m iˆ  5m ˆ
j )  6 N .m  20 N .m  14 N .m
W  14 J
F cos  
A componente da força na direção do deslocamento é dada por:
Já calculamos W, agora precisamos calcular o módulo do deslocamento,
s 
(sx ) 2  (s y ) =
s 
Portanto;
F cos  
(3m) 2  (5m) 2 
29m2
29m  5, 38m
14 N .m
5, 38m

F cos   2, 60 N
W
s
Energia Cinética e o Teorema Trabalho-Energia
Quando forças atuam sobre uma partícula enquanto ela sofre um deslocamento, a energia
cinética da partículas varia de uma quantidade igual ao trabalho total Wtotal realizado por
todas as forças que atuam sobre ela:
Wtotal  K f  Ki  K
Teorema do trabalho energia
Demonstração: Caso força constante.
Se a força é constante pela segunda lei de Newton, FR  ma , a aceleração
também será constante. Neste caso podemos usar v 2f  vi2  2as (sendo s
o delocamento), logo:
F  ma  m
v 2f  vi2
2s
 W  Fs 
1 2 1 2
mv f  mvi
2
2
A grandeza K  12 mv 2 denomina-se energia cinética da partícula:
1
1
W  mv 2f  mv 2f  W  K f  Ki  K
2
2
Exemplo 3: Um elétron acelerado num tubo de televisão chega à tela com uma energia
cinética de 104 eV. Calcule a velocidade do elétron (Dados: me = 9,1110-31kg e 1eV = 1,60
10-19J).
1 2
2K
2(1, 60 1015 J )
K  mv  v 

 0,3513 1016 m2 / s 2
31
2
m
9,1110 kg
v  3513 1012 m 2 / s 2  59, 27 106 m / s
6
Prova geral do teorema trabalho-energia
Vamos demonstrar o teorema para o caso de uma força não constante em uma
dimensão.
dv
 dv dx 
Wtotal   FR dx   madx  m 
dx  m  
dx
 dx dt 
vf
vf
1
 dv 
 m   v dx  m  vdv  m  vdv  m v 2
vi
vi
2
 dx 
1
1
Wtotal  mv 2f  mvi2
2
2
dt
Potência:
A potência mede a capacidade de um sistema produzir (ou absorver) energia.
Potência Média: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) W num certo
intervalo de tempo t .
P
W
t
Potência instantânea: Nos dá a medida da energia produzida (ou absorvida) num
intervalo de tempo muito pequeno, daí instantânea. É útil quando queremos
acompanhar a produção (ou absorção) de energia de maneira precisa.
W dW

, como dW  F  ds
t 0 t
dt
P  lim
Temos,
PF
ds

dt
P  F v
7