Capítulo 6
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Modelos Atómicos
Modelo de Bohr do Átomo de Hidrogénio
Sucessos e Falhas do Modelo de Bohr
Aplicação da Equação de Schrödinger ao Átomo de Hidrogénio
O Spin do Electrão
Sobreposição de Estados na Mecânica Quântica
Estrutura Atómica e Tabela Periódica
Adaptação livre das aulas do Professor Rick Trebino em:
www.physics.gatech.edu/frog
6.1 Modelos Atómicos
De acordo com o modelo atómico proposto por Demócrito e Leucippus (~450 A.C.)
(baseado apenas na intuição e na lógica), os átomos eram apenas uma esfera
pequena, dura e indestrutível. Átomo=indivisível
Dalton resgatou este modelo em 1807, e propôs que toda a
matéria era composta por pequenos corpúsculos, que não se
subdividem – os átomos
Em 1900, evidências indicaram que o átomo não era uma unidade
fundamental
• Tudo indicava que havia muitos tipos de átomos, cada um pertencendo a um
elemento químico distinto
• Os átomos e os fenómenos electromagnéticos estavam relacionados
intimamente (materiais magnéticos; isolantes vs. condutores; espectros de
emissão diversos)
• O descobrimento da radioactividade, raios X, e electrões (todos pareciam envolver
átomos que se “partem” de algum modo)
• Os elementos se combinam com alguns elementos e não se combinam com
outros uma característica o que sugeria uma estrutura atómica (valência)
O físico britânico Joseph John Thomson descobriu em 1897 o electrão,
partícula elementar de carga negativa
Com uma ampola de vidro com vácuo, verificou que os raios
catódicos eram de facto partículas negativamente
carregadas (electrões) desviando estes “raios “ através de
campos eléctricos e magnéticos.
J. J. Thomson
(1856-1940)
velectrão  1.855107m/s
c  3 108 m/s
Em 1910, Robert Millikan mede com grande precisão a carga eléctrica de
electrões individuais
Modelo Atômico de Thomson
O modelo do “pudim de ameixas” de Thomson tinha cargas positivas espalhadas
uniformemente numa esfera do tamanho do átomo com electrões embebidos
nesta matriz uniforme
Os protões ainda não haviam sido descobertos, mas cargas positivas deviam
estar presentes para atingir a neutralidade de cargas
Os electrões eram muito leves comparados com os átomos
Thomson não conseguia explicar os espectros de linhas dos átomos com este
modelo
Experimentos de Rutherford, Geiger and Marsden
Em 1911 Rutherford e seus estudantes Geiger e Marsden desenvolveram uma
nova técnica para investigar a estrutura da matéria fazendo incidir partículas alfa
nos átomos de ouro, e medindo o espalhamento destas partículas
Os resultados mostraram que muitas partículas alfa eram espalhadas para trás
pelas folhas de ouro muito finas em ângulos maiores que 90°
Os resultados experimentais não eram consistentes com o modelo de Thomson
Experiência de Rutherford
Resultados previstos segundo o modelo de Thomson
As partículas α
deveriam atravessar as
folhas de ouro sem
sofrer grandes desvios
Resultados obtidos
A maior parte das partículas
α comportava-se como
esperado, mas um
significativo número delas
sofria desvios acentuados
Modelo Atômico de Rutherford
Rutherford propôs então que o átomo era uma estrutura praticamente vazia, e não
uma esfera maciça e deveria ter um caroço positivamente carregado (núcleo)
cercado pelos electrões negativos. Geiger and Marsden confirmaram esta ideia em
1913
O átomo seria um sistema semelhante ao sistema
solar: - Modelo Planetário
Núcleo
Ernest Rutherford
(1871-1937)
Órbitas
Electrões
Rutherford também descobriu a existência dos protões que são partículas com
carga positiva que se encontram no núcleo
O Modelo Planetário é Condenado
Existem duas dificuldades básicas com o
modelo estrutural planetário de Rutherford:
Primeira - este modelo não consegue
explicar as frequências características
discretas de radiação electromagnética
emitidas pelo átomo
Segunda – este modelo não consegue
explicar como o electrão se mantém em
torno do núcleo; de acordo com a teoria
electromagnética, uma carga eléctrica
acelerada irradia energia (radiação
electromagnética), e como o electrão tem
aceleração centrípeta perderia energia
acabando por cair sobre o núcleo,
destruindo o átomo.
6.2
Modelo de Bohr
Em 1913 Bohr aperfeiçoou o modelo atómico de Rutherford
Suposições básicas do modelo de Bohr para o átomo de
hidrogénio:
• O electrão descreve uma órbita circular ao redor do protão
sob a influência da força eléctrica
Niels Bohr
(1885 - 1962)
• Somente certas órbitas são
estáveis, e são as únicas onde
encontramos
os
electrões.
Nessas órbitas o átomo de
hidrogénio não emite radiação
electromagnética
n=2
n=1
•Transições podem ocorrer entre estes estados,
produzindo luz com energia:
E  En  En'  h
• O momento angular de um estado n é: L= n 
onde n é chamado de Número Quântico Principal
n=3
Bohr construiu um modelo estrutural (modelo semiclássico) para o
hidrogénio com base nessas quatro suposições
Força de atracção do electrão pelo núcleo (força centrípeta)
1 e2 mv2
Fe 

2
4 0 r
r
obtemos
 K  12 mv2  12
v
e2
4 0 r
e
4 0 mr
Energia cinética
Energia total do átomo
(Energia clássica)
(V é a energia potencial eléctrica)
E negativo indica um sistema electrão-protão ligado
Raio de Bohr
O momento angular é :
mas
v
e
4 0 mr
Assim:

L  mvr  n
v  n / mr
(clássico)
n2 2
e2

2 2
mr
4 0 mr
Resolvendo para rn
rn  n a0
2
onde
4 0
a0 
me 2
2
a0
a0 é chamado de raio de Bohr. É o diâmetro do átomo de Hidrogênio (no seu
estado de mais baixa energia, ou estado fundamental)
Energias do Átomo de Hidrogénio
Usando o resultado clássico para a
energia:
 e2
E
8 0 r
e
4 0 n 2
rn 
me 2
2
Obtemos as energias para os estados
estacionários
En =  E0/n2
where E0 = 13.6 eV.
Transições no átomo de Hidrogénio
No equilíbrio, todos os átomos de
hidrogénio estão no estado n = 1, o
estado fundamental e
E1  13.6 eV
Há emissão de luz quando o átomo
está num estado excitado e decai para
um estado com energia mais baixa
nu  nl
O átomo permanece num estado
excitado por um período curto de tempo
antes de emitir um fotão de energia
h  Eu  El
e retornar a um estado estacionário
mais baixo
Espectro do hidrogénio
Constante de Estrutura Fina
A velocidade dos electrões no modelo de Bohr
vn
No estado fundamental
v1  2.2 106
~ 1% da velocidade da luz
A razão de v1 e c é chamada de constante de estrutura fina
v1

c
Esta constante foi introduzida em 1916 por Arnold Sommerfeld, pioneiro na aplicação
da teoria quântica ao electromagnetismo:
Ela relaciona o componente relativístico (c)
e quântico (h)
das interacções electromagnéticas (e) entre partículas carregadas
no vácuo (  0 )
6.3 Sucessos e Falhas do Modelo de Bohr
De facto o electrão e o núcleo do átomo de hidrogénio giram em torno do seu
centro de massa. A massa do electrão é substituída pela massa reduzida do
sistema, e
A constante de Rydberg para uma massa nuclear infinita, R é substituída por
R
Falhas do Modelo de Bohr
O modelo de Bohr foi um grande passo na nova teoria
quântica, mas tinha as suas falhas:
• Funcionava somente para átomos com um electrão
(hidrogenóides)
• Não conseguia calcular a estrutura fina das linhas
espectrais - quando os átomos eram colocados em campos
magnéticos
• Não conseguia explicar a ligação dos átomos para formar
moléculas
6.4 Aplicação da equação de Schrödinger ao
Átomo de Hidrogénio
Usando a equação de Schrödinger independente do tempo em três dimensões
Onde V(r) é a energia potencial electrostática do sistema electrão - protão
A carga nuclear é +Ze, e Z=1 corresponde ao átomo de
hidrogénio neutro (e aos seus isótopos) e Z> 1, aos iões
hidrogenóides ( Z=2, He+, Z=3, Li++, etc.).
Transformamos a equação de Schrödinger em coordenadas espaciais,
para coordenadas esféricas
Resolvemos a equação de Schrödinger pelo método de separação de
variáveis supondo que
Obtemos as funções:
Rr  f   g  
e
Esta expressão para a energia E
concorda exactamente com aquela
obtida pelo modelo de Bohr
• n é chamado de número quântico principal. Obtemos também o número
quântico  , chamado de número quântico orbital e m o número quântico
magnético orbital.
Interpretação física para os três números quânticos
Os números quânticos descrevem as energias dos electrões nos átomos e são
de enorme relevância quando se trata de descrever a posição dos electrões nos
átomos
n - o número quântico principal determina as energias dos estados permitidos
para o átomo de hidrogénio. n = 1,2 3,4,….
 -o número quântico orbital. Valores discretos do modulo do momento angular
L    1
 = 0,1,2… n-1
No actual modelo atómico, as órbitas bem definidas dos
electrões foram substituídas por zonas de probabilidade
electrónica. Na interpretação da mecânica quântica, a
nuvem de electrões para o estado L=0 tem simetria
esférica
m
- o número quântico magnético orbital está relacionado com a orientação
espacial do orbital associado. Especifica os valores permitidos de Lz , de acordo
com a expressão
Lz  m
m  ,  1,...,0,1,...,  1, 
Orbitais Atómicos
n =2
 1
m  1,0,1
n =3
2
m  2,1,0,1,2
6.5
O Spin do Electrão
Os três números quânticos anteriores foram gerados pela solução da equação de
Schrödinger
O spin, do electrão, o quarto número quântico, não vem da equação de
Schrödinger. O spin do electrão é um segundo tipo de momento angular no
átomo
Chamamos de momento angular intrínseco e tem um momento magnético
associado a ele
Em 1921 Otto Stern e Walther Gerlach realizaram uma experiência em que
demonstrou que o momento angular de um átomo é quantizado. Enviou feixes de
prata neutros através de um campo magnético não uniforme
L    1
Phipps & Taylor (1927), realizaram o mesmo experimento de Stern Gerlach,
usando átomos de hidrogénio, ao invés de átomos de prata
Como a temperatura do forno
era relativamente baixa, todos
os átomos encontravam-se no
estado fundamental (n = 0)
Em 1925, dois estudantes de doutorado Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck,
na Holanda propuseram para o electrão um momento angular intrínseco, além do
momento angular orbital
O número quântico magnético de spin,
1
ms  
2
ms
teria somente dois valores:
O momento angular intrínseco, S é o spin do electrão
e tem número quântico
1
s
2
L e S estão relacionados com o momento
magnético
L  
Não existe uma função analítica própria para
o spin e por isso temos que utilizar a
representação matricial
e
L
2m
e 
s  
S
me

Sobreposição de Estados na Mecânica Quântica
Além do princípio da incerteza existe outro tipo de incerteza na Mecânica
Quântica: muitas vezes, nós não sabemos em que estado o átomo se encontra!
Suponha um conjunto de 100 átomos, excitado com apenas um fotão. Somente
um átomo (dos 100) será excitado, mas qual deles? Podemos dizer que cada
átomo tem 1% de possibilidade de estar num estado excitado e 99% de
possibilidade de estar no estado fundamental - sobreposição de estados
Um átomo pode estar numa sobreposição de dois estados estacionários, e esta
sobreposição se move
(r , t )  a11 (r )exp(iE1t / )  a2 2 (r )exp(iE2t / )
ai
2
é a probabilidade do átomo estar num estado i
Interessante!!! A falta de conhecimento sobre qual estado o átomo se encontra,
significa fisicamente que o átomo esta vibrando!
Porque a probabilidade é
(r , t )  a1 1 (r )  a2 2 (r ) 
2
2
2
2 Re a1 1 (r )a2* 2* (r ) exp[i( E2  E1 )t / ]
(r , t )  a1 1 (r )  a2 2 (r ) 
2
2
2
2 Re a1 1 (r )a2* 2* (r ) exp[i( E2  E1 )t / ]
As vibrações ocorrem numa frequência que é dada pela diferença de energia entre
os dois níveis
E2  E1

h

O átomo está vibrando com
uma frequência 
ou

E
h
Nível excitado, E2
Energia
E = h
Nível fundamental, E1
O átomo está no mínimo parcialmente num
estado excitado
6.7 Estrutura Atómica e Tabela Periódica
Para muitos electrões num átomo, teremos
V  V (r1 , r2 ,..., rN )
  (r1, r2 ,..., rN , t )
Resolver a equação de Schrödinger nesse caso é
extremamente difícil
Apesar da dificuldade de resolver a equação de
Schrödinger para muitos electrões, é possível utilizar os
mesmos números quânticos desenvolvido para o átomo
de hidrogénio
O Princípio de exclusão de Pauli, formulado em 1925
por Wolfgang Pauli diz:
Wolfgang Pauli
(1900-1958)
Dois electrões num átomo não podem ter o mesmo conjunto de
números quânticos n, , m , ms
Este princípio aplica-se a todos os fermiões, que são partículas com spin ½,
como o electrão, protão e neutrão
Estrutura Atómica
Hidrogénio (n, , m , ms ) = (1, 0, 0, ±½) no estado fundamental
Na ausência dum campo magnético, o estado ms = ½ é degenerado com o
estado ms = −½
Hélio: (1, 0, 0, ½) para o primeiro electrão.; (1, 0, 0, −½) para o segundo electrão.
Os electrões tem spins anti paralelos (ms = +½ and ms = −½)
Associamos letras ao número quântico principal: n = 1 2 3 4...
Letra = K L M N…
n = camadas (camada K, camada L, etc.)
n = subcamadas (1s, 2p, 3d)
Tipo de subnível de energia
Nº máximo de electrões
s
2
p
6
d
10
f
14
Até hoje são conhecidas sete camadas
electrónicas, e suas subcamadas estão descritas
no diagrama de Linus Pauling, onde a ordem
crescente de preenchimento dos electrões está
indicado pelas setas:
Cada orbital está limitado a dois electrões e por isso o
número de electrões por camadas é limitado. Para átomos
com dois electrões em 2p, utilizamos a regra de Hund que
diz: “O preenchimento dos orbitais de um mesmo subnível
deve ser feito de modo que tenhamos o maior número
possível de electrões isolados, ou seja, desemparelhados”
• Electrões com valores mais altos de
menos o efeito da carga nuclear
• Electrões com valores mais altos de
energia


sofrem
têm mais
• 4s é preenchido antes que 3d, 5s é preenchido
antes que 4d …….(diagrama de Linus Pauling)
Tabela Periódica
Grupos e Períodos
Grupos: Colunas Verticais
Mesmo número de
electrões em 
Podem formar ligações
químicas similares
Período: Linhas Horizontais
Correspondem ao
preenchimento das
subcamadas
Gases Inertes
• Último grupo da tabela periódica
• Tem a subcamada p fechada excepto para o Hélio
• Estes átomos interagem fracamente com os outros átomos
• Spin líquido zero e grande energia de ionização
Alcalinos
• Um único electrão s electrão fora de uma camada interna
• Formam facilmente iões positivos com carga +1e
• Tem a mais baixa energia de ionização
• A condutividade eléctrica é relativamente boa
Alcalinos Terrosos
• Têm dois electrões s nas camadas mais externas
• Têm o maior raio atómico
• Possui alta condutividade eléctrica
Halogéneos
• Necessitam de mais de um electrão para preencher a subcamada mais externa
• Formam ligações iónicas fortes com os alcalinos
•As configurações mais estáveis ocorrem quando a subcamada p é preenchida
Metais de Transição
• Três linhas de elementos em que 3d, 4d, e 5d são preenchidos
• As propriedades são determinadas primeiramente pelos electrões s, em vez dos
electrões da subcamada d que começa a ser preenchida
• Têm electrões d com spins desemparelhados
• Quando a subcamada d é preenchida, os momentos magnéticos, e a tendência
para que átomos vizinhos alinhem os seus spins fica reduzida
Lantanídios (terras raras)
•Tem a subcamada mais externa 6s2 completa
• Assim como ocorre na subcamada 3d, os elétrons na subcamada 4f tem electrões
não emparelhados que se auto alinham
• O grande momento angular orbital contribui para um grande efeito ferromagnético
Actinídios
• As Subcamadas mais internas começam a ser preenchidas enquanto a
subcamada 7s2 está completa
• É difícil obter dados químicos porque são todos radioactivos
• Têm meias-vidas longas