Geometria
Relações trigonométricas no triângulo
retângulo
Wallace Alves da Silva
DICAS MATEMÁTICAS
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Relações trigonométricas no triângulo retângulo
Olá Galera,
Vamos dar continuidade as relações no trângulo retângulo. Hoje nós vamos aprender um
pouco de Trigonometria no triângulo retângulo. Trigonometria é um assunto muito extenso
então vou dar um foco no nosso estudo ao que eu acredito pode vir a cair na prova do ENEM.
A palavra Trigonometria tem origem do grego e significa medida no triângulo o que nos
direciona ao estudo dos ângulos e lados do triângulo. Seus primeiros estudos se deu no Egito
antigo e a relações obtidas com uma vara vertical e sua sombra sobre uma mesa graduada
permitia aos povos mensurar grandes distâncias como o tamanha de uma pirâmide ou a
largura de um rio.
As razões entre catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo nos permite definir os primeiros
conceitos da trigonometria. Primeiramente observe o triângulo retângulo abaixo que já foi
apresentado na aula anterior:
Precisamos deixar claro que todas as razões irâo depender diretamente do ângulo que iremos
trabalhar. Se tomarmos o ângulo "α" como exemplo seu cateto oposto será o lado AC=b e seu
cateto adjacente será o lado AB=c. Por outro lado se escolhermos o angulo "β" o cateto oposto
passará a ser o lado AB=c e o seu cateto adjacente será o lado AC=b. A hipotenusa sempre
será o lado oposto ao ângulo reto (90º).
Seguem a baixo a três primeiras razões trigonométricas: Seno, cosseno e tangente do ângulo
"α".
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Veja esse exemplo: Um avião levanta voo em um ângulo de 30° em relação à pista. Qual será
a altura do avião quando estiver percorrendo 4 000 m em linha reta?
Observe que temos o ângulo de 30°, precisamos do lado oposto a esse ângulo e temos a
hipotenusa.
A relação que usa cateto oposto e hipotenusa é o seno. Basta fazer o seno de 30°.
Mas como descobrir o Sen30°?
Você precisará gravar a seguinte tabela dos ângulo notáveis de um triângulo
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Essa tabela ajudará a você a resolver grande partes do problema de trigonometria. Se o
problema lhe fonecer outro ângulo diferente desses será necessário que lhe informe as razões
referente a esse ângulo.
Continuando a resolução do exemplo:
Veja esse outro exemplo:
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CAIU NO ENEM
ENEM 2009 - Questão 164 – Prova Amarela.
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3km ×
2km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio
1km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração
de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a
terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que
coube a João corresponde, aproximadamente, a
A)50%.
B) 43%.
C) 37%.
D)33%.
E) 19%
RESOLUÇÃO:
Primeiramente observe que o ângulo reto será dividido em três partes iguais, ou seja, a área de
extração de ouro de cada filho terá um ângulo de 30°.
Precisamos descobrir a área do triângulo referente ao terreno de joão.
Temos um ângulo de 30°, precisamos descobrir o cateto oposto (x km) e o problema nos
fornece o cateto adjacente (2km). A relação que utiliza um ângulo, cateto oposto e cateto
adjacente é a Tangente.
Tg 30° = x /2
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(√3/3) = x/2
0,58 = x/2
x = 0,58 . 2 = 1, 16 km
Logo a área do terreno joão será a área deste triângulo de base 1,16km e altura 2km.
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Usando a fórmula da área do triângulo: (1,16 . 2)/2 = 1,16 km .
Para descobrir que porcentagem da área do terreno que coube a João precisamos calcular a
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área do retângulo correspondente ao terreno: 2 . 3 = 6 km .
Resolvendo a regra de três
Letra E
Fonte: http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-geometricos/relacoes-trigonometricas-no-triangulo-retangulo
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