CÁLCULO DIFERENCIAL
PROFESSORES: Paloma de Oliveira Campos e André Felipe de Almeida Xavier
LISTA 05 – FUNÇÃO POLINOMIAL (3º E 4º GRAU) E FUNÇÃO RACIONAL
REVISÃO: PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO
01) Desenvolva e simplifique:
a) (𝑥 − 3)²
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1 2
2𝑥 − 4
𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏2 (𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏2 )
2𝑥 + 3𝑦 2 − 2𝑥 + 3𝑦 (2𝑥 − 3𝑦)
𝑎 + 𝑏 2 − 𝑎 + 𝑏 (𝑎 − 𝑏)
𝑥 − 𝑦 𝑥 + 𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 )
𝑥 + 𝑦 2 − (𝑥 − 𝑦)²
02) Fatore:
a)
b)
c)
d)
12𝑥³𝑎³ + 18𝑥𝑎 + 24𝑥 4 𝑎4
𝑥4 − 𝑦 4
1
𝑥² − 𝑥 + 4
𝑥² − 16
e)
f)
g)
h)
i)
𝑥² + 𝑥 − 12
𝑥² − 3𝑥 − 4
𝑎4 𝑏² − 𝑐 4 𝑑²
𝑎³𝑏 + 2𝑎²𝑏² + 𝑎𝑏³
𝑎²𝑥² − 2𝑎²𝑥𝑦 + 𝑎²𝑦²
j) 𝑥² − 6𝑥 + 9
1
k) 𝑦² + 𝑦 + 4
03) Simplifique:
a)
𝑥²−8𝑥 +16
𝑥²−16
b)
𝑥²−6𝑥 +9
𝑥𝑎 ²−𝑥𝑏 ²
c) 𝑥²𝑎 +𝑥²𝑏
𝑥²−4𝑥 +3
𝑥𝑎 +𝑥𝑏
d) 𝑥𝑎 +𝑥𝑏 −𝑦𝑎 −𝑦𝑏
FUNÇÃO POLINOMIAL
04) Determine 𝑘 para que 1 seja raiz da equação 𝑥³ − 𝑘𝑥² + 2𝑘𝑥 − 4 = 0.
05) Resolva as equações, sabendo que 𝑥 = 0 é raiz de cada uma delas.
a) 𝑥³ − 7𝑥² + 10𝑥 = 0
b) 𝑥³ − 5𝑥² + 4𝑥 = 0
06) Resolva as equações, sabendo que 𝑥 = 1 é raiz de cada uma delas.
a) 𝑥³ − 6𝑥² + 11𝑥 − 6 = 0
b) 𝑥³ − 9𝑥 + 23𝑥 − 15 = 0
c) 𝑥³ − 2𝑥² − 𝑥 + 2 = 0
07) (UNB) O número 1 é uma das raízes da equação 𝑥³ − 7𝑥 + 6 = 0. A soma das outras duas raízes é:
a) −7
b) −1
c) 0
d) 1
e) 7
08) Resolva as equações conhecendo algumas de suas raízes:
a) 𝑥 4 − 10𝑥³ + 35𝑥² − 50𝑥 + 24 = 0; raízes 1 e 2.
b) 𝑥 5 − 3𝑥 4 − 5𝑥³ + 15𝑥² + 4𝑥 − 12 = 0; raízes 1, −1 e 2.
09) Mostre que 1 é raiz de multiplicidade 3 da equação 𝑥 4 − 5𝑥³ + 9𝑥² − 7𝑥 + 2 = 0
10) Qual a multiplicidade da raiz 2 na equação (𝑥 − 2)10 (𝑥 2 − 4)20 (𝑥² − 3𝑥 + 2)10 = 0?
11) (USF-SP) Se −2 é raiz tripla da equação 𝑥³ + 𝑏𝑥² + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0, então 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 vale:
a) 26
b) −2
c) 14
d) 10
e) −10
12) Em relação ao polinômio 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1
a) É raiz simples.
b) É raiz dupla.
2
𝑥 − 1 , o que pode afirmar sobre o número 1?
c) É raiz tripla.
d) É raiz quádrupla.
e) Não é raiz.
13) Resolva a equação 𝑥 4 − 4𝑥³ + 6𝑥² − 4𝑥 + 1 = 0.
14) Resolva a equação 𝑥 4 − 3𝑥³ + 3𝑥² − 3𝑥 + 𝑎 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 1.
15) A soma das raízes racionais da equação 𝑥 5 − 𝑥 = 0 vale:
a) 1
b) −1
c) 0
d) 5
e) −5
16) Obtenha as raízes da equação 𝑥³ − 7𝑥² + 14𝑥 − 8 = 0.
FUNÇÃO RACIONAL
17) Determine o domínio e as raízes das seguintes funções:
𝑥 −2
𝑥²+𝑥+1
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 +1
b) 𝑓 𝑥 =
c) 𝑓 𝑥 =
𝑥−8
𝑥³−8
𝑥²+𝑥−2
18) O custo de produção de uma unidade de um certo modelo de aparelho depende do número de aparelhos
500𝑛 +600
produzidos e é dado em reais por 𝑐 𝑛 =
.
4𝑛
a) Determine o custo de produção de 100 aparelhos.
b) Se o custo de produção de uma unidade foi 𝑅$ 200, quantos aparelhos foram produzidos?
c) Quantos aparelhos deverão ser produzidos para que o custo de produção, por aparelho, não ultrapasse
𝑅$ 150?
19) Simplifique as expressões racionais:
a)
𝑥²+6𝑥 +9
b)
𝑥²+2𝑥 −3
𝑥²−𝑥
c)
2𝑥²+3𝑥
2𝑥 +10
d)
𝑥²−25
20) Resolva analiticamente, em 𝑅 as seguintes equações:
a)
5𝑥 −3
𝑥
=0
b)
2𝑥 +5
𝑥 −2
=0
4
c) 𝑥 −1 = 1
GABARITO
d)
2𝑥²+5𝑥
𝑥 +4
3
= 𝑥+4
𝑥²−16
𝑥²−4𝑥