Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Departamento de Matemática e Estatística – DME
Laboratório de Pesquisa em Ensino de Matemática - LAPEM
Programa de Bolsas de Extensão – PROBEX
MINICURSOS DE LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA PARA PROFESSORES DO ENSINO MÉDIO
Orientandos: Andréa dos Santos Araújo e Carlos Eduardo de Oliveira
Orientador: Daniel Cordeiro de Morais Filho
MÓDULO 2 – GEOMETRIA POSICIONAL
OBJETIVOS: Fazer uma verificação dos principais postulados e definições a partir
da construção e utilização de um material concreto (kit de geometria posicional).
Algumas noções ou conceitos, chamados primitivos, são aceitos sem definição e
devem ser aceitos como verdadeiros. Em Geometria, os conceitos primitivos são: ponto,
reta e plano. Observe que vários dos elementos que estão no nosso cotidiano podem ser
usados para tentar representar estes conceitos.
Por exemplo:
• As estrelas podem representar pontos;
• Uma linha bem esticada pode representar uma reta;
• Uma quadra de esportes pode representar um plano.
ATENÇÃO: Como ponto, reta e plano são entes abstratos, o material concreto é
simplesmente uma tentativa de representá-los. Portanto, tenha muita cautela ao
relacionar tais conceitos aos seus respectivos modelos.
Por exemplo, ao representar um plano por uma folha de papel, poderia
transparecer para um aluno desavisado que um plano seria um conjunto limitado!
I. CONSTRUÇÃO DO KIT GEOMETRIA POSICIONAL
a) Material de construção
• Alfinetes com cabeça colorida;
• Palito de churrasco;
• Folha de isopor 5 mm;
• Fita adesiva (crepe);
• Cola para isopor.
b) Procedimento de construção
Posições entre Retas
• Faça dois furos na folha de isopor, utilizando os palitos de churrasco. Um deles
deverá ser introduzido perpendicularmente, e outro obliquamente ao plano
(Figura 8).
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• Coloque fita adesiva pelo avesso nas extremidades dos palitos de churrasco
(Figura 9) e, fixe-os sobre a folha de isopor de forma que eles fiquem:
o Paralelos;
o Concorrentes (neste caso, corte um dos palitos);
o Perpendiculares
Figura 8
Figura 9
Posição entre Planos
• Sobreponha uma folha de isopor a outra. A partir de um dos lados faça um
recorte perpendicular em ambas as folhas até o seu centro, de modo que a
espessura deste recorte seja a mesma da folha de isopor (Figuras 10).
• Encaixe uma folha na outra (Figuras 11).
OBSERVAÇÃO 1: Alguns casos de interseção entre planos apresentam dificuldades para o
encaixe. Assim, é recomendável utilizar a cola para fixar os planos (Figura 12).
OBSERVAÇÃO 2: Usando o mesmo procedimento de construção acima, podemos construir as
demais possibilidades de interseções entre planos.
Figuras 10
Figuras 11
Figuras 12
II. ATIVIDADES
1ª) Utilizando palitos de churrasco, alfinetes, folhas de isopor e as idéias dos procedimentos
do item I-b, ilustre os seguintes postulados:
a) Dados dois pontos, existe uma única reta que os contém.
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b) Dados três pontos não colineares, existe um único plano que os contém.
c) Se dois pontos estão em um plano, então a reta que passa por eles está
contida no plano.
d) Se dois planos se intersectam, sua interseção é uma reta.
e) Dada uma reta e um ponto fora dela, existe uma única reta paralela a esta que
contém este ponto.
2ª) Utilizando o mesmo material da 1ª atividade, ilustre as seguintes definições sobre as
posições relativas entre duas retas:
a) Dizemos que duas retas coplanares que não têm ponto em comum são
PARALELAS.
b) Dizemos que duas retas que têm um único ponto em comum são
CONCORRENTES.
c) Dizemos que duas retas que estão contidas em planos distintos e não se
intersectam são REVERSAS.
3ª) Utilizando o mesmo material da 1ª atividade, ilustre as seguintes definições sobre as
posições relativas entre dois planos:
a) Dizemos que dois planos que não têm pontos em comum são PARALELOS.
b) Dizemos que dois planos que têm pelo menos um ponto em comum são
CONCORRENTES.
4ª) Utilizando o mesmo material da 1ª atividade, ilustre as seguintes definições sobre as
posições relativas entre reta e plano:
a) Se uma reta possui dois ou mais pontos pertencentes a um plano, dizemos que
a reta está CONTIDA no plano.
b) Se uma reta possui apenas um ponto em comum com um plano, dizemos que a
reta é SECANTE ao plano.
c) Se uma reta não possui nem um ponto em comum com um plano, dizemos que
a reta é PARALELA ao plano.
5ª) Quando intersectamos três planos, quais são os possíveis resultados obtidos? Ilustre-os,
utilizando os materiais apresentados neste módulo.
Observação: Esta última atividade, também pode ilustrar as possíveis soluções de um
sistema 3×3 (três equações e três incógnitas).
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