Universidade Federal do Vale do São Francisco
Câmpus Juazeiro-BA
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
Cálculo Diferencial e Integral 1 – 2015.1
Discente _______________________________________CPF_____________
Sala 09 das 16:00 às 18:00 Valor 10,0 Pontos Data 16 Julho 2015
Resolução da Avaliação 3 – L’Hospital,
Máximos e Mínimos e Integral
Instruções:
1ª As respostas somente serão aceitas com justificativas.
Nota_________
2ª Não é permitido emprestar qualquer tipo de material.
3ª Não é permitido consultar seu material, livros ou anotações.
4ª Use caneta azul ou preta. Não use a cadeira como rascunho.
5ª Por favor, coloque o seu nome na prova. Ela terá duração de 2 Aulas.
6ª Escreva todos os detalhes dos cálculos que o levarem a uma solução.
7ª Desligue seus celulares não é permitido usá-lo nem, como calculadora.
8ª Utilize calculadora tipo Casio fx-82 ms é proibido o uso de outro eletrônico.
9ª Leia com atenção as questões e lembre-se, a leitura e interpretação faz parte da avaliação.
Problema 01 (1,0 Pontos) Calcule a integral definida, ou seja, a área entre a curva
e o eixo dos , de
até
.
Solução: Para resolver essa integral definida basta utilizarmos do método da substituição.
Seja:
Então ficamos com:
Voltando para a variável
ficamos com
Simplificando ficamos com
.
Então podemos dizer que
Somos todos passageiros da mesma nave espacial chamada Terra. No entanto, como nas caravelas dos colonizadores
e nos aviões transatlânticos, viajamos em condições desiguais. Frei Betto .
1
Problema 02 (2,0 Pontos) Calcule a integral indefinida, depois encontre a constante
sabendo que
.
Solução: Para resolver essa integral indefinida basta utilizarmos do método da substituição.
Seja:
Então ficamos com:
Voltando para a variável
ficamos com
Como
Problema 03 (2,0 Pontos) Um copo com formato cônico é feito de um pedaço circular de
papel de raio
cortando fora um setor e juntando os lados
e
. Encontre a capacidade
máxima desse copo (vide figura abaixo).
Solução: Chamemos o raio da base do cone de
sua altura de
, conforme indicado na figura ao
lado. Sabemos que
é a geratriz do cone e seu
volume do cone é dado
temos
função de
e
e
. Por Pitágoras
então vamos escrever
. Ficamos com
em
(1), substituindo em
derivando em relação à , já que
encontramos:
, fazendo
ficamos com:
é constante
, ficamos com
. Agora substituindo em (1) encontramos
o valor de
.
Então o volume será dado por
Somos todos passageiros da mesma nave espacial chamada Terra. No entanto, como nas caravelas dos colonizadores
e nos aviões transatlânticos, viajamos em condições desiguais. Frei Betto .
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Problema 04 (3,0 Pontos) Dada a função
.
a) Determine os intervalos em que f (x) é crescente e decrescente.
b) Determine os intervalos em que a concavidade de f (x) é para cima e para baixo.
c) Determine as coordenas x dos extremos relativos e pontos de inflexão de f (x).
d) Esboce um possível gráfico de f (x).
Solução: Fazemos a primeira derivada para encontrarmos os candidatos a máximo e mínimo
relativos.
, fazendo
.
vem:
Resolvendo essa equação do terceiro grau encontramos suas raízes que são:
qual é o ponto de máximo e o de mínimo. Concluímos que
ponto de máximo relativo. (PS. Perceba que
e
.Verificando
e ponto de mínimo relativo e
é raiz de multiplicidade 2).
;
e
;
e
;
; Ponto de máximo relativo.
Ponto de mínimo relativo.
.
Fazendo a segunda derivada para encontramos os pontos de inflexão
Fazendo
e
, temos
, cuja solução da equação do segundo grau é
, Que são os pontos de inflexão da função
concluir que: (a)
a função é decrescente e de
a função é côncava para cima e de
(b)
para baixo. (c) Os extremos relativos de
são
Feito a análise podemos
a função é crescente.
a função é côncava
e os pontos de inflexão de
são
.
Somos todos passageiros da mesma nave espacial chamada Terra. No entanto, como nas caravelas dos colonizadores
e nos aviões transatlânticos, viajamos em condições desiguais. Frei Betto .
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Problema 05 (2,0 Pontos) Calcule o limite
Solução: Este limite requer uma aplicação de logaritmos, já quê, é um limite exponencial. Pois
, aplicando
temos
em ambos os lados da função e depois aplicando as
propriedades dos logaritmos ficamos com:
Aplicando L’Hospital vem
. Logo:
Problema 06 (Extra Valor 1,5 Pontos) Uma caixa sem tapa deve ser construída com base
quadrada e área total constante . Determine aos lados da caixa de modo que o volume seja
máximo.
Solução: problema simples veja o esboço da caixa abaixo.
Então podemos concluir que: A área total será dada por
será do por
(2). Isolando
em (2) temos
ficamos com,
em (1) encontramos
(1) e seu volume
(3), agora substituindo (3)
, derivando em relação a , já que C é constante,
, fazendo
Encontramos
. Agora substituindo
em (3)
encontramos
MMP!
Boa Avaliação! Sucesso!
Foi um prazer estar com você!
Somos todos passageiros da mesma nave espacial chamada Terra. No entanto, como nas caravelas dos colonizadores
e nos aviões transatlânticos, viajamos em condições desiguais. Frei Betto .
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