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Teorema de Taylor e suas aplicações
1. Seja f a função real de variável real definida por f (x) = ln(2x + 3).
(a) Calcule f 0 (x), f 00 (x), f 000 (x), f (4) (x) e obtenha uma expressão para f (n) (x).
(b) Prove, por indução matemática, que a expressão de f (n) (x), obtida na alínea anterior,
é válida para todo o número natural.
(c) Escreva a fórmula de Taylor de ordem n, para f , em torno do ponto x = −1.
2. Considere a função f (x) = sen(x).
(a) Calcule a expressão da derivada de ordem n de f .
(b) Escreva a fórmula de MacLaurin de f com resto de ordem n.
(c) Designando por Rn (x) o resto de ordem n obtido na fórmula de MacLaurin de f ,
verifique que
∀ x ∈] − 1, 1[ lim |Rn (x)| = 0.
n→+∞
(d) Identifique uma função polinomial que aproxime f em ] − 1, 1[ com erro inferior a
1
.
120
1
3. (a) Escreva a fórmula de Taylor, com resto de ordem três, da função f (x) = xe− x em
torno do ponto 1.
(b) Use a alínea anterior para mostrar que:
1
xe− x < e−1 + 2(x − 1)e−1 +
(x − 1)2 −1
e , ∀x > 1.
2
4. Use a fórmula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades:
x3
, ∀x < 4;
2
3
1
(b) x2 ln(x) < (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 , ∀x ∈ R+ \{1}.
2
3
(a) xe−x ≤ x − x2 +
5. Calcule, usando a fórmula de Taylor, os seguintes limites:
ln(1 + x) − x
x→0
x2
π
x − 4 − arctg(x − π4 )
(b) limπ
x→ 4
(x − π4 )2
(a) lim
6. Usando o Teorema de Taylor, estude a existência de extremos relativos da função definida
por f (x) = ln(sen2 (x)).
7. Usando o Teorema de Taylor, estude a existência de extremos relativos e pontos de inflexão
da função definida por f (x) = e−x sen(x).
8. Considere a função definida no exercício 3 do estudo de funções: continuidade e diferenciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
9. Considere a função definida no exercício 5 do estudo de funções: continuidade e diferenciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f e indique o seu contradomínio.
10. Considere a função definida no exercício 7 do estudo de funções: continuidade e diferenciabilidade. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
11. Considere a função definida no exercício 9 do estudo de funções: continuidade e diferenciabilidade, com k = 0. Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de
f.
12. Considere a função definida no exercício 11 do estudo de funções: continuidade e diferenciabilidade.
(a) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f .
(b) Determine os sentidos de concavidade e os pontos de inflexão de f .
(c) Esboce o gráfico de f .