Matemática Aplicada II
Ficha prática nº2
------------------------------------------------------------------------------1. Determine os extremos de
no intervalo [-1,2].
Sol: Máximo absoluto em x = 2, máximo relativo em x = -1 e mínimo absoluto em
x = 1.
2. Localize os extremos absolutos da função
no intervalo [0,2].
Sol.: Mínimo absoluto em x = 0 e máximo absoluto em x = 2.
3. Esboce o gráfico de uma função definida em [-2,5] que tenha as seguintes
características:
- Máximo absoluto em x = -2, mínimo absoluto em x = 1 e máximo
relativo em
x = 3.
4. Estude os extremos da função f, definida por
.
Sol.: Mínimo absoluto em x = -1 e em x = 1. Máximo relativo em x = 0.
5. Determine os pontos críticos e os extremos de
.
Sol.: Máximo relativo para x = 0 e mínimo relativo para x = 1.
6. Determine os extremos de
.
Sol.: Mínimo (absoluto) em x = -2 e em x = 2. Máximo relativo em x = 0.
7. Determine os extremos de
.
Sol.: Mínimo em x = -1 e em x = 1.
8. Averigúe a existência de extremos e pontos de inflexão da função
.
Sol.: Máximo relativo em x = -1 e mínimo relativo em x = 2. Ponto de inflexão em
x = ½.
9. Determine os pontos de inflexão e discuta a concavidade do gráfico
.
Sol.: Ponto de inflexão em x = 0 e em x = 2. Concavidade voltada para cima para
e concavidade voltada para baixo para
10. Determine os extremos relativos de
.
.
Sol.: Mínimo relativo em x = -1 , máximo relativo em x = 1. Em x = 0, não há
mínimo nem máximo.
11. Determine os extremos relativos de
.
Sol.: Mínimo absoluto em x = 3. Em x = 0 não há máximo nem mínimo.
12. Esboce o gráfico de uma função que tenha as seguintes características:
;
está definida;
se
;
não
existe;
se
;
.
13. Um empresário determinou que o custo total C para operar uma fábrica é
, onde x é o número de unidades produzidas. Em que nível
de produção o custo médio por unidade será minimizado? (O custo médio por
unidade é C/x.
Sol.: O custo médio será minimizado por x = 100 unidades.
14. Quais pontos do gráfico de
estão mais próximos do ponto (0,2)?
Sol.: Os pontos mais próximos do ponto (0,2) são os pontos
.
15. Pretende-se maximizar os lucros de uma empresa, assumindo que a receita total
é dada por
e o custo total por
,
.
Sol.: Máximo em Q = 40.
16. O modelo de Count é uma fórmula utilizada para predizer a altura de uma
criança em idade pré-escolar. Sendo
a altura (em centímetros) de uma
criança na idade x (em anos), com
, tem-se
.
a) Preveja a altura e a taxa de crescimento quando uma criança atinge 3 anos de
idade.
b) Obtenha a idade em que é máxima a taxa de crescimento.
Sol.: a) Aproximadamente 8,178 cm/ano
b) ¼ de ano, ou seja, 3 meses.
17. O custo total para uma empresa construir x peças por dia é, em euros,
e o preço de venda de cada peça é, em euros,
.
Determine qual o número de peças a produzir num dia para que o lucro
seja
máximo.
Sol.: 10 peças.
18. Numa folha de cartão quadrada de 18 dm de lado pretende-se cortar, nos quatro
cantos, quatro quadrados iguais, construindo-se seguidamente, por dobragem
conveniente, uma caixa aberta na parte superior. Determine a medida do lado do
quadrado a cortar em cada canto para que a caixa tenha volume máximo.
Sol.: O lado do quadrado deve ter 3 dm.
19. Determine as medidas que um rectângulo cujo perímetro é 20 cm deve ter para
que a sua área seja máxima.
Sol.: Deve ter 5 cm de largura e 5 cm de comprimento (ou seja, deve ser um
quadrado com 5 cm de lado).
20. Determine as medidas que um rectângulo cuja área é
deve ter para que o
seu perímetro seja mínimo.
Sol.: Deve ter
quadrado de lado
cm de largura e
cm).
cm de comprimento (ou seja, deve ser um