UNIVERSIDADE BANDEIRANTE ANHANGUERA
CAROLINE ADJANE FIORE
OS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO-CIENTÍFICO NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS CAMPOS CONCEITUAIS
ADITIVO E MULTIPLICATIVO NO ANO FINAL DO ENSINO
FUNDAMENTAL I
SÃO PAULO
2013
CAROLINE ADJANE FIORE
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
OS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO-CIENTÍFICO NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS CAMPOS CONCEITUAIS
ADITIVO E MULTIPLICATIVO NO ANO FINAL DO ENSINO
FUNDAMENTAL I
Dissertação
apresentada
à
banca
examinadora da Universidade Bandeirante
Anhanguera,
como
exigência
para
a
obtenção do título de mestre em Educação
Matemática sob a orientação da Professora
Doutora Maria Elisa Esteves Lopes Galvão.
SÃO PAULO
2013
Fiore, Caroline Adjane
F548p
Os pensamentos narrativos e lógico científico na
resolução de problemas nos campos conceituais aditivo e
multiplicativo no ano final do ensino fundamental I. / Caroline
Adjane Fiore. -- São Paulo: Universidade Bandeirante
Anhanguera, 2013.
xv, 256 f.: il.; 31 cm.
Dissertação
(MESTRADO)
Bandeirante Anhanguera, 2013.
–
Universidade
Orientadora: Profª. Drª. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão
Referências bibliográficas: f. 239-243.
1. Estruturas aditivas e multiplicativas. 2. Resolução de
problemas 3. Pensamento Narrativo e Lógico - Científico. Galvão,
Maria Elisa Esteves Lopes. II. Universidade Bandeirante de São
Paulo. IV. Título.
CAROLINE ADJANE FIORE
OS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO-CIENTÍFICO NA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NOS CAMPOS CONCEITUAIS
ADITIVO E MULTIPLICATIVO NO ANO FINAL DO ENSINO
FUNDAMENTAL I
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE em
Educação Matemática, na Universidade Bandeirante Anhanguera - UNIBAN, à seguinte
banca examinadora:
Presidente e Orientador (a)
Nome:
Titulação:
Instituição:
Assinatura:
2º Examinador (a)
Nome:
Titulação:
Instituição:
Assinatura:
3º Examinador (a)
Nome:
Titulação:
Instituição:
Assinatura:
Biblioteca
Bibliotecário (a) : _____________________________________________________
Assinatura: ___________________________________ Data: ___ / _____ / ______
São Paulo, 12 de Agosto de 2013
Autorizo, para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação
por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura: __________________________________________________________
Data: ______ / ______ /_______
Não basta acumular dados. É preciso articular,
deduzir uma coisa de outra. O conhecimento é um
entrelaçamento de significados."
Nilson José Machado, da Faculdade de Educação da
Universidade de São Paulo
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha orientadora Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, pelo acompanhamento
e dedicação.
A minha eterna professora e amiga Maria Carolina Cassino da Cunha Carneiro, pelo incentivo nesta
caminhada acadêmica.
A minha mãe e meu pai, pessoas essenciais em minha vida.
Aos meus amigos que tiveram sempre ao meu lado.
A minha Titia Regina Maura Fiore, a minha prima Ana Helena Zetulian e ao meu Titio Luiz Carlos
Fiore por acreditarem em mim e me apoiarem.
E por fim a uma pessoa muito especial Caio Pompeu Gomes Martins, o qual tenho em meu coração
com muito carinho.
AGRADECIMENTOS
A Deus e a Nossa Senhora pela força espiritual.
Em especial a minha orientadora, pela paciência, dedicação e por sua colaboração
incondicional em minha formação.
Agradeço a todos os professores do Observatório da Educação e pela oportunidade
de ser bolsista da CAPES.
Aos professores do grupo de Mestrado em Educação Matemática da Universidade
Bandeirante Anhanguera, em especial a professora Tânia Maria Mendonça Campos, Janet
Bolite, Vera Helena Giusti de Souza, Verônica Yumi Kataoka, Rosana Nogueira de Lima e
Luiz Gonzaga Xavier de Barros, Ruy Cesar Pietropaolo pelo carinho, incentivo e sugestões
na construção desta pesquisa.
Aos meus amigos do mestrado e eternos companheiros Edmar Madeira, Márcia
Teodoro, Patrícia Felipe e Izaias Neri que por muitas vezes compartilhamos segredos,
alegrias e tristezas.
É com grande honra que agradeço a participação da professora Maria Elisabete
Brisola B. Prado e do professor Nilson José Machado, por colaborarem com a finalização
deste trabalho.
Agradeço toda equipe da escola a qual realizei a pesquisa, que me acolheram com
muito carinho.
As minhas amigas Esley da S. e S. de Sá, Izilda P. Andrade e a Kátia R. R. Gil pela
força e por não me deixarem jamais desistir dessa caminhada, em especial a Caroline
Fantine pela ajuda na correção deste trabalho e por sua dedicação como amiga.
Aos meus novos colegas da escola “Asdrúbal do Nascimento Queiroz” pela
compreensão e colaboração para a finalização deste trabalho, Rogério Polovodoff, Edmar
Antonio de Oliveira, e a toda a equipe escolar.
Enfim, a todos que fazem parte da minha vida e que, de alguma maneira,
colaboraram para que este meu sonho realizasse.
RESUMO
FIORE, A.C. Os pensamentos narrativo e lógico-científico na resolução de
problemas nos campos conceituais aditivo e multiplicativo no ano final do
ensino fundamental I. 2013. 256f. Dissertação de Mestrado – Pós Graduação
Stricto Senso Educação Matemática, Universidade Bandeirante Anhanguera, São
Paulo, 2013.
Esta pesquisa tem por finalidade observar e analisar as estratégias, na resolução de
problemas nos campos aditivo e multiplicativo, de alunos do 5º ano do Ensino
Fundamental de uma escola estadual da grande São Paulo. A pesquisa está
baseada nas experiências e discussões vivenciadas no projeto de pesquisa
Observatório da Educação (Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em
Educação Matemática: Uma Investigação sobre as Transformações das Práticas de
Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental) do programa de pósgraduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera –
UNIBAN e nas experiências vividas em sala de aula como professora de matemática.
A proposta das atividades se apoia, no que se refere à escolha e classificação dos
problemas, na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, e, na análise dos modos
de pensamento (narrativo e lógico - científico), no trabalho de Bruner. Trabalhamos com
trinta alunos divididos em três grupos, que participaram de quatro etapas de atividades
de resolução de problemas do campo aditivo e multiplicativo, individualmente ou em
duplas. Os problemas propostos, segundo a classificação de Vergnaud, são
considerados como problemas aritméticos complexos para o campo aditivo e, para o
campo multiplicativo, foram escolhidos problemas relacionados à proporção múltipla,
organização retangular e raciocínio combinatório. No decorrer das atividades os alunos
foram motivados a manifestar-se sobre as decisões tomadas durante as resoluções
dos problemas. Para a análise da pesquisa, utilizamos o registro filmado, de forma a
observar as atuações individuais e interações dos alunos. Analisamos os
procedimentos utilizados pelos alunos destacando as propriedades e
particularidades dos teoremas e conceitos em ação, estabelecidas por Vergnaud. O
ponto essencial nesta pesquisa foi a valorização das justificativas e interações dos
alunos, para a compreensão do desenvolvimento dos “conceitos estratégicos”
utilizados na resolução de problemas, buscando a origem do pensamento e do
raciocínio lógico. Em nossa análise observamos, nos diálogos dos alunos, algumas
das características das narrativas propostas por Bruner, na intenção de observar,
verificar e investigar os procedimentos adotados por meio de suas verbalizações.
Acreditamos que o incentivo ao diálogo, como processo de aprendizagem em
resolução de problemas, pode ser um recurso auxiliar importante para o trabalho do
professor e para a melhor compreensão dos alunos no que se refere à resolução de
problemas.
Palavras-chave: Campos conceituais. Estruturas aditivas e multiplicativas.
Resolução de problemas. Pensamento narrativo. Pensamento lógico - científico.
ABSTRACT
FIORE, A. C. Narrative thoughts and logical-scientific problem solving in additive and
multiplicative conceptual fields in the final year of elementary school. 2013, 256f.
Master’s Dissertation – Post degree Sensu Strict Mathematics Education, University
Bandeirante Anhanguera.
This research aims to observe and analyze the strategies in solving problems in the fields
additive and multiplicative, developed by students of the 5th year of elementary school in a
state school near São Paulo city. The research is based on lived experiences and
discussions in the research Observatory of Education (Further Education and Outcomes
Research in Mathematics Education: An Inquiry into the Transformation of Practice Teachers
in the first years of elementary school) of Mathematics Education postgraduate program at
the University Bandeirante Anhanguera - UNIBAN and the author experiences in the
classroom as a teacher of mathematics. The proposal of activities, with regard to the choice
and classification problems, refers to the Conceptual Fields Theory of Vergnaud, and with
repect to to the analysis of modes of thought (narrative and logical - scientific) to the work of
Bruner. We work with thirty students divided into three groups, who participated in four
stages of problem solving activities of the additive and multiplicative field, individually or in
pairs. The proposed problems, according to the classification of Vergnaud, are considered as
complex arithmetic problems for the additive field, and for the multiplicative field, we choose
problems related to multiple proportion, rectangular organization and logical thinking. During
the activities students were motivated to show up the decisions taken during problem
resolutions. For the analysis of the research, we use the record shot, in order to observe the
actions and interactions of individual students. We reviewed the procedures used by the
students highlighting the properties and peculiarities of the theorems and concepts in action,
established by Vergnaud. The key point in this research was the appreciation of the
motivations and interactions of the students for understanding the development of "strategic
concepts" used, seeking the origin of thought and logical reasoning in problem solving. In our
analysis we observe in the dialogues of pupils, some of the features of the narratives
proposed by Bruner, intending to observe, verify and investigate the procedures adopted by
their utterances. We believe that fostering dialogue as a learning process in problem solving,
can be an important additional resource for the teacher's work and for a better understanding
of students with regard to problem solving.
Keywords: Conceptual fields, Additive and multiplicative structures. Problem solving.
Narrative thinking. Logical thinking – scientific
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 17
CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 22
1.
REVISÃO DE LITERATURA ........................................................................................ 22
1.1 ALGUMAS PESQUISAS RELACIONADAS À TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. ......................................................................................... 22
CAPÍTULO II ....................................................................................................................... 42
2.
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ......................................... 42
2.1 Conhecimento .............................................................................................................. 43
2.2 Conceito ....................................................................................................................... 45
2.3 Esquemas..................................................................................................................... 47
2.4 Invariantes Operacionais .............................................................................................. 50
2.5 Teorema em ação e conceito em ação ......................................................................... 51
2.6 Situações ...................................................................................................................... 52
2.7 Campos Conceituais Aditivos e Multiplicativos ............................................................. 54
2.8 O Campo Conceitual Aditivo ......................................................................................... 55
2.9 O Campo Conceitual Multiplicativo ............................................................................... 60
CAPÍTULO III ...................................................................................................................... 66
3. UMA INTRODUÇÃO AOS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO – CIENTÍFICO
NA PERSPECTIVA DE JEROME BRUNER........................................................................ 66
3.1 O Pensamento Narrativo .............................................................................................. 69
3.2 O Pensamento Lógico-Científico .................................................................................. 74
3.3 O Diálogo...................................................................................................................... 77
CAPÍTULO IV ...................................................................................................................... 80
4. PARÂMETROS
CURRICULARES
NACIONAIS
DE
MATEMÁTICA:
UMA
REFERÊNCIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS. ................................................. 80
4.1 Considerações ao Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias. 84
CAPÍTULO V ....................................................................................................................... 87
5.
METODOLOGIA........................................................................................................... 87
5.1 Metodologia Adotada .................................................................................................... 87
5.2 Desenvolvimento da Pesquisa ...................................................................................... 88
5.3 Público Alvo .................................................................................................................. 91
5.4 Descrição da aplicação ................................................................................................. 92
CAPÍTULO VI ...................................................................................................................... 94
6.
ANÁLISE ...................................................................................................................... 94
6.1 Atividade Individual: 1ª ETAPA ..................................................................................... 95
6.1.1
Análise do Grupo 1 (Individual): Problema do campo aditivo .......................... 95
6.1.2
Observações sobre o comportamento do aluno A1 ........................................ 97
6.1.3
Observações sobre o comportamento do aluno A2 ...................................... 100
6.1.4
Observações sobre o comportamento do aluno A3 ...................................... 105
6.1.5
Síntese Geral dos alunos do Grupo 1 – Campo Aditivo ................................ 105
6.1.6
Análise do Grupo 1 (Individual): Problema do campo multiplicativo .............. 106
6.1.7
Observações sobre o comportamento do aluno A4 ...................................... 110
6.1.8
Observações sobre o comportamento do aluno A5 ...................................... 113
6.1.9
Observações sobre o comportamento do aluno A6 ...................................... 118
6.1.10
Síntese Geral dos alunos do Grupo 1 – Campo Multiplicativo ...................... 118
6.2 Atividade Dupla: 2ª ETAPA ......................................................................................... 120
6.2.1
Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo aditivo .............................. 120
6.2.2
Observações sobre o comportamento dos alunos B1 e B2........................... 124
6.2.3
Observações sobre o comportamento dos alunos B3 e B4........................... 126
6.2.4
Observações sobre o comportamento dos alunos B5 e B6........................... 132
6.2.5
Síntese Geral dos alunos do Grupo 2 – Campo Aditivo ................................ 133
6.2.6
Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo multiplicativo .................... 135
6.2.7
Observações sobre o comportamento dos alunos B7 e B8........................... 140
6.2.8
Observações sobre o comportamento dos alunos B9 e B10......................... 143
6.2.9
Observações sobre o comportamento dos alunos B11 e B12....................... 145
6.2.10
Síntese Geral dos alunos do Grupo 2 – Campo Multiplicativo ...................... 146
6.3 Atividade Interação: 3ª ETAPA ................................................................................... 147
6.3.1
Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo aditivo ......................... 147
6.3.2
Observações sobre o comportamento dos alunos C1 e C2 .......................... 151
6.3.3
Observações sobre o comportamento dos alunos C3 e C4 .......................... 154
6.3.4
Observações sobre o comportamento dos alunos C5 e C6 .......................... 157
6.3.5
Síntese Geral dos alunos do Grupo 3 – Campo Aditivo ................................ 157
6.3.6
Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo multiplicativo ............... 158
6.3.7
Observações sobre o comportamento do aluno C7 e C8 .............................. 162
6.3.8
Observações sobre o comportamento do aluno C9 e C10 ............................ 165
6.3.9
Observações sobre o comportamento do aluno C11 e C12 .......................... 170
6.3.10
Síntese Geral dos alunos do Grupo 3 – Campo Multiplicativo ...................... 170
6.4 Atividade Individual, dupla e interação: 4ª ETAPA ...................................................... 171
6.4.1
Análise da 4ª Etapa para o problema do campo aditivo ................................ 171
6.4.2
Análise do grupo 1 (individual): Problema do campo aditivo ......................... 172
6.4.3
Observações sobre o comportamento do aluno D1 ...................................... 173
6.4.4
Observações sobre o comportamento do aluno D2 ...................................... 175
6.4.5
Observações sobre o comportamento do aluno D3 ...................................... 176
6.4.6
Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo aditivo ............................... 177
6.4.7
Observações sobre o comportamento dos alunos D4 e D5 .......................... 178
6.4.8
Observações sobre o comportamento dos alunos D6 e D7 .......................... 180
6.4.9
Observações sobre comportamento dos alunos D8 e D9 ............................. 184
6.4.10
Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo aditivo ......................... 185
6.4.11
Observações sobre o comportamento dos alunos D10 e D11 ...................... 187
6.4.12
Observações sobre o comportamento dos alunos D13 e D14 ...................... 190
6.4.13
Observações sobre os comportamentos dos alunos D14 e D15 ................... 193
6.4.14
Síntese Geral da primeira Etapa 4 – Campo Aditivo ..................................... 194
6.4.15
Análise da 4ª Etapa para o problema do Campo multiplicativo ..................... 195
6.4.16
Análise do grupo 1(individual): Problema do campo multiplicativo ................ 195
6.4.17
Observações sobre o comportamento do aluno E1 ...................................... 198
6.4.18
Observações sobre o comportamento do aluno E2 ...................................... 200
6.4.19
Observações sobre o comportamento do aluno E3 ...................................... 202
6.4.20
Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo multiplicativo ..................... 203
6.4.21
Observações sobre o comportamento dos alunos E4 e E5........................... 205
6.4.22
Observações sobre o comportamento dos alunos E6 e E7........................... 211
6.4.23
Observações sobre o comportamento dos alunos E8 e E9........................... 215
6.4.24
Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo multiplicativo ............... 216
6.4.25
Observações sobre o comportamento dos alunos E10 e E11....................... 220
6.4.26
Observações sobre o comportamento dos alunos E12 e E13....................... 223
6.4.27
Observações sobre o comportamento dos alunos E14 e E15....................... 227
6.4.28
Síntese Geral da segunda Etapa 4 – Campo Multiplicativo........................... 228
6.5 Síntese Final das Análises .......................................................................................... 229
CAPÍTULO VII ................................................................................................................... 233
7.
CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................................ 233
Referências ...................................................................................................................... 239
Anexo I – Problemas utilizados .......................................................................................... 244
Anexo II – Roteiro das Entrevistas ..................................................................................... 252
Anexo III – Termos ............................................................................................................ 254
Lista de Figuras
Figura 1- Relação dos elementos constituídos no conceito ..................................... 45
Figura 2 – Esquema dos modos do Pensamento ..................................................... 69
Figura 3- Esquema da organização da narrativa ...................................................... 70
Figura 4 - Esquema da aplicação do experimento seguindo a classificação de
Vergnuad (2009) para os problemas aditivos e multiplicativos. .......................... 89
Figura 5 - Resolução do problema pelo aluno A1..................................................... 96
Figura 6 - Resolução do problema pelo aluno A2..................................................... 98
Figura 7 - Resolução do problema pelo aluno A3................................................... 101
Figura 8 - Resolução do problema pelo aluno A4................................................... 107
Figura 9 - Resolução do problema pelo aluno A5................................................... 111
Figura 10 - Resolução do problema pelo aluno A6 ................................................. 113
Figura 11- Resolução do problema pela dupla B1 e B2 ......................................... 120
Figura 12 - Resolução do problema pela dupla B3 e B4 ........................................ 124
Figura 13 - Resolução do problema pela dupla B5 e B6 ........................................ 126
Figura 14 - Resolução do problema pela dupla B7 e B8 ........................................ 136
Figura 15 - Resolução do problema pela dupla B9 e B10 ...................................... 141
Figura 16 - Resolução do problema pela dupla B11 e B12 .................................... 144
Figura 17 - Resolução do problema pelos alunos C1 e C2 .................................... 148
Figura 18 - Resolução do problema pelos alunos C3 e C4 .................................... 152
Figura 19 - Resolução do problema pelos alunos C5 e C6 .................................... 155
Figura 20 - Resolução do problema pelos alunos C7 e C8 .................................... 159
Figura 21 - Resolução do problema pelos alunos C9 e C10 .................................. 163
Figura 22-Resolução do problema pelos alunos C11 e C12. ................................. 166
Figura 23 - Resolução do problema pelo aluno D1 ................................................ 172
Figura 24 - Resolução do problema pelo aluno D2 ................................................ 174
Figura 25 - Resolução do problema pelo aluno D3 ................................................ 176
Figura 26 - Resolução do problema pela dupla D4 e D5. ...................................... 177
Figura 27 - Resolução do problema pela dupla D6 e D7 ....................................... 179
Figura 28 - Resolução do problema pela dupla D8 e D9 ........................................ 181
Figura 29 - Resolução do problema pela dupla D10 e D11 .................................... 185
Figura 30 - Resolução do problema pelos alunos D12 e D13 ................................ 188
Figura 31 - Resolução do problema pelos alunos D14 e D15 ............................... 191
Figura 32 - Resolução do problema pelo aluno E1 ................................................. 195
Figura 33 - Resolução do problema pelo aluno E2 ................................................. 198
Figura 34 - Resolução do problema pelo aluno E3. ............................................... 200
Figura 35 - Resolução do problema pelo aluno E4 e E5 ....................................... 203
Figura 36 - Resolução do problema pelo aluno E6 e E7 ........................................ 206
Figura 37 - Resolução do problema pelo aluno E8 e E9 ........................................ 212
Figura 38 - Resolução do problema pelos alunos E10 e E11 ................................ 217
Figura 39 - Resolução do problema pelos alunos E12 e E13. ............................... 221
Figura 40 - Resolução do problema pelos alunos E14 e E15 ................................. 224
Lista de Quadros
Quadro 1- Porcentagem de respostas corretas nos problemas por série e estado .. 24
Quadro 2 - Classificação dos problemas da soldagem inicial segundo as categorias
do Campo Multiplicativo ...................................................................................... 33
Quadro 3 – Classificação dos problemas da soldagem final segundo as categorias
do Campo Multiplicativo ...................................................................................... 34
Quadro 4 - Desenho do universo de estudo ............................................................. 38
Quadro 5 – Arcabouço das sequências de situações do estudo piloto em relação às
variáveis representação e percepção. ................................................................ 39
Quadro 6 – Esquema dos conceitos do Campo Conceitual ..................................... 54
Quadro 7 – Códigos utilizados nos diversos diagramas ........................................... 56
Quadro 8 – Esquema correspondente ...................................................................... 57
Quadro 9 – Esquema correspondente ...................................................................... 57
Quadro 10 – Esquema correspondente .................................................................... 58
Quadro 11 – Esquema correspondente .................................................................... 58
Quadro 12– Esquema correspondente ..................................................................... 59
Quadro 13 – Esquema correspondente .................................................................... 60
Quadro 14 – Esquema Correspondente ................................................................... 62
Quadro 15 – Esquema correspondente .................................................................... 63
Quadro 16 – Esquema de correspondente ............................................................... 65
Quadro 18 - Organização da escolha dos alunos para análise. ............................... 91
Quadro 19 – Organização da escolha dos alunos para análise ............................... 92
Quadro 20 - Problema do Campo Aditivo aplicado para o Grupo 1.......................... 95
Quadro 21 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 1 .............. 107
Quadro 22 - Problema do Campo Aditivo aplicado para o Grupo 2........................ 120
Quadro 23 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 2. ............. 135
Quadro 24 - Problema da Estrutura Aditiva aplicado para o Grupo 3 ..................... 147
Quadro 25 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 3. ............. 158
Quadro 26 - Problema do Campo Aditivo aplicado para a 4ª Etapa. ...................... 172
Quadro 27 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para a 4ª Etapa ............ 195
17
INTRODUÇÃO
A primeira das nossas motivações tem origem nas observações, mediante a
minha experiência escolar, de que há uma valorização do pensamento lógico –
científico no dia a dia na sala de aula de matemática; a segunda, pela participação
no programa Observatório da Educação (Educação Continuada e Resultados de
Pesquisa em Educação Matemática: Uma Investigação sobre as Transformações das
Práticas de Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental) do Programa de
Pós-graduação em Educação Matemática da
UNIBAN, financiado pela CAPES.
Surgiu, assim, a ideia da realização de um projeto piloto realizado por FIORE e
GALVÃO (2012) com dois alunos, seguido de uma análise preliminar de questões
que pretendíamos mais tarde utilizar nesta pesquisa, como aprofundamento para
investigar os meios utilizados pela criança, os caminhos que ela toma para resolver
situações que lhe são propostas, bem como a interação dos modos de pensamento
(narrativo e lógico - científico) que ocorrem e que contribuem para que a
simplicidade das relações que estruturam a resolução dos problemas seja
descoberta.
Outro fator é o acompanhamento que tenho feito desde 2008 dos relatórios
pedagógicos dos resultados e discussões relacionados com as avaliações externas
do desempenho educacional da rede estadual SARESP – Sistema de Avaliação de
Rendimento Escolar do Estado de São Paulo na disciplina de matemática, em
particular, no que se refere à resolução de problemas nos vários níveis de ensino,
observando como estes são abordados e quais são as dificuldades apresentadas
pelos alunos, evidenciadas pelos resultados nas avaliações. Encontramos, nas
respostas aos problemas simples, indícios de que conceitos básicos para o início
dos estudos no ciclo II ainda não estão suficientemente amadurecidos, o que traz
uma preocupação muito grande. Outra questão que gostaríamos de destacar é a
importância do professor entender e compreender os erros dos alunos; nossa
preocupação é com a maneira que se dá o processo de investigação e construção
dos conceitos na aula de matemática, durante o ano letivo.
18
Daí a origem desse trabalho, que é fruto da participação no projeto
Observatório da Educação (Educação Continuada e Resultados de Pesquisa em
Educação Matemática: Uma Investigação sobre as Transformações das Práticas de
Professores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental) do Programa de Pósgraduação em Educação Matemática da Universidade Bandeirante Anhanguera –
UNIBAN e das observações que tenho feito ao longo da minha carreira como
professora de matemática, ao trabalhar com resoluções de problemas, com os
alunos do Ensino Fundamental II. Temos como objetivo desta pesquisa: observar e
analisar as estratégias explicitadas, em diálogos, na resolução de problemas nos
campos aditivo e multiplicativo.
A partir da adoção de uma prática diferenciada no trabalho com resolução de
problemas, na nossa intervenção com os alunos, nos questionamos:
A identificação de algumas características do pensamento narrativo, nas
manifestações dos alunos durante a resolução de problemas no campo aditivo e
multiplicativo pode auxiliar o professor em sua prática educacional e no processo
ensino aprendizagem do educando?
A
identificação
dos
componentes
dos
esquemas
mobilizados
no
encaminhamento da resolução dos mesmos problemas favorece a compreensão do
professor enquanto mediador do processo ensino aprendizagem?
Vale salientar que a resolução de problemas ultrapassa o conjunto de regras
e algoritmos, ela percorre caminhos do pensamento, dando condições para que o
indivíduo se expresse, seja na forma narrativa ou na apresentação lógica dos fatos.
Mediante essas nossas preocupações e questionamentos, por meio dos
estudos que realizamos, encontramos várias pesquisas relacionadas ao tema
resolução de problemas que nos permitem conhecer as dificuldades apresentadas
pelos autores.
Vergnaud (1998) destaca em seu artigo “A comprehensive theory of
representation for mathematics education” que, ao abordar o tema resolução de
19
problemas, os olhares são direcionados apenas à resolução apresentada pelo aluno,
reduzindo o pensamento ao processo algorítmico ou à produção de regras
Santana et. al. (2009) em seu artigo “Uma análise do domínio das estruturas
aditivas com alunos da 5ª série do ensino fundamental” aponta a falta de
compreensão do enunciado, que consequentemente leva à extração de informações
incorretas dos problemas; outra dificuldade apresentada está nas estratégias de
solução, além dos erros nos cálculos numéricos. A autora adverte que os
professores devem realizar diagnósticos durante o início do ano, para detectar as
dificuldades que persistem no domínio do Campo Aditivo.
Já CUNHA (1997) aponta as dificuldades que levam os alunos a não
dominarem as estruturas multiplicativas em seu trabalho “As operações de
multiplicação e divisão junto aos alunos de 5ª a 7ª séries”, observando que alunos
trazem consigo concepções interiorizadas de que “a multiplicação sempre aumenta”
e a “divisão sempre diminui”; uma das ocorrências se deve ao fato de se trabalhar
com a multiplicação apenas no domínio dos números naturais, bem como a
apresentação da multiplicação por “adições repetidas”. A autora acredita que, para
reverter esse quadro, uma das propostas seria a introdução de medidas de áreas ou
por meio do raciocínio combinatório, desde as séries iniciais, para que os alunos
compreendessem o conceito da multiplicação.
Posteriormente FREITAS et. al. (2007) discutem as possibilidades formativas
e investigativas da narrativa em educação matemática, destacando a narrativa como
um modo de refletir e estudar/investigar a experiência entre alunos e professores.
Ainda neste mesmo contexto encontramos várias pesquisas relacionadas ao
tema que demonstram uma grande ênfase em diagnosticar e analisar as dificuldades
na resolução de problemas envolvendo as estruturas aditivas e multiplicativas,
como, MENDONÇA et. al. (2007), NUNES (2011), JUSTO (2004), SILVA (2010),
SANTANA (2009, 2010) MAGINA et. al. (2010), GUIMÃRES (2009), MAGINA e
CAMPOS (2004), CANÕAS (1997), entre outros.
20
Nossa pesquisa está direcionada neste sentido, porém não deixando de lado
o processo da resolução apresentada. Para dar sustentação teórica à análise que
nos propomos a fazer, nos apoiamos na Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud (1996) e nos Modos do Pensamento Narrativo e Lógico - Científico de
Bruner (2001).
No capítulo inicial apresentaremos um breve resumo de pesquisas
desenvolvidas no Brasil, referentes ao Campo Conceitual aditivo e multiplicativo e
aos Modos de Pensamento no contexto da matemática. Além disso, apresentamos
as diferenças e similaridades entre os trabalhos selecionados e a nossa pesquisa.
No segundo capítulo do trabalho apresentamos a Teoria de Vergnaud do
Campo Conceitual Aditivo e Multiplicativo. Primeiramente faremos uma síntese do
quadro teórico de Vergnaud, na qual apresentaremos alguns conceitos que
permitem ao professor analisar e compreender como os alunos aprendem os
conceitos matemáticos. Em seguida, traremos um resumo das classificações das
estruturas aditivas e multiplicativas, explicando, por meio de esquemas, suas linhas
de raciocínio.
No terceiro capítulo trataremos da importância do pensamento narrativo,
procurando identificar, no trabalho de Bruner, os aspectos que podem vir a ser
importantes dentro do contexto matemático da nossa pesquisa, selecionando
variadas formas de expressão e interpretações que possam vir a surgir nos diálogos
dos estudantes no momento da resolução de problemas, bem como o pensamento
lógico - científico com sua ideia de racionalidade e lógica.
Para complementar
nossas discussões fazemos algumas considerações sobre o diálogo.
Abordaremos no quarto capítulo a importância dada pelos PCN’s de
Matemática à resolução de problemas e teceremos algumas considerações
relacionadas ao Currículo de Matemática do Estado de São Paulo.
Descreveremos, no quinto capítulo, todas as etapas de nossa pesquisa,
desde a sua construção, aplicação e considerações que julgamos importantes para
o entendimento da nossa análise.
21
No capítulo da análise dos dados, trazemos uma discussão de todos os
problemas que foram aplicados e as transcrições dos diálogos das crianças,
registrando as conexões entre a teoria do Campo Conceitual e os Modos de
Pensamentos. Ao final de cada transcrição apresentamos considerações sobre o
comportamento de cada aluno no momento da realização da atividade e, ao final de
cada etapa, algumas considerações em relação aos participantes como um todo.
No último capítulo, apresentamos as considerações finais levando em conta
as análises feitas e os estudos realizados por nós, destacando os dados que foram
relevantes durante a realização da pesquisa e apontamentos que julgamos
importantes para a melhoria do processo ensino aprendizagem no que se refere à
resolução de problemas.
Apresentamos alguns subsídios destacando a importância do pensamento
narrativo e o lógico - científico e as manifestações de suas interações tanto para os
professores quanto para os alunos, no trabalho com os problemas, favorecendo o
processo de aprendizagem e as relações das estruturas de resolução de problemas
nos campos aditivo e multiplicativo.
22
CAPÍTULO I
1. REVISÃO DE LITERATURA
Neste capítulo, trataremos da síntese de alguns estudos da área da
Educação Matemática, relacionadas à Teoria dos Campos Conceituais e à Teoria
dos Modos do Pensamento de Bruner, que nos auxiliarão a planejar e compreender
as atividades relacionadas ao processo de aprendizagem nas aulas de Matemática,
relacionadas ao nosso trabalho.
1.1 ALGUMAS PESQUISAS RELACIONADAS À TEORIA DOS CAMPOS
CONCEITUAIS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Partimos da pesquisa feita por Mendonça et. al. (2007) sobre “As estruturas
aditivas nas séries iniciais do ensino fundamental: um estudo diagnóstico em
contextos diferentes”, apresentado no Comitê Latino Americano de Investigacion em
Matemática Educativa, no Distrito Federal, México. As autoras têm como objetivo
diagnosticar o domínio das estruturas aditivas em dois estados brasileiros, São
Paulo e Bahia, com o propósito de subsidiar a formação de professores. Os
participantes desta pesquisa foram mil oitocentos e três estudantes de escolas
públicas dos dois estados, de primeira a quarta série. A metodologia adotada foi um
estudo do tipo levantamento ou “survey” segundo Fiorentini & Lorenzato (2006). O
primeiro estudo foi realizado em São Paulo entre os anos de 1997 e 1998, com
setecentos e oitenta e dois estudantes entre primeira e quarta série do Ensino
Fundamental. O teste foi do tipo papel e lápis, composto por doze problemas de
adição e subtração, adotando a classificação da Teoria dos Campos Conceituais
(Composição, Transformação e Comparação), envolvendo valores numéricos
pequenos. Os dados foram coletados pelos professores que estavam participando
de um curso de formação continuada, com a supervisão da equipe de pesquisadores
de São Paulo.
Após a análise da primeira aplicação, os pesquisadores dos dois estados
reaplicaram o teste no estado da Bahia para observar se os resultados seriam
diferentes, dado o contexto sócio-econômico e cultural. Assim, o segundo estudo foi
23
realizado com mil e vinte um estudantes de primeira e quarta série do Ensino
Fundamental, no ano de 2005. O instrumento utilizado foi o mesmo e novamente
foram aplicados por professores que estavam participando de um curso de formação
de professores. As autoras concluem que ambos os estados, em relação à primeira
série, partem de um mesmo patamar de desenvolvimento em relação às situaçõesproblema propostas e vão se distanciando ao longo das séries; contudo observou-se
que o estado da Bahia apresentou dificuldades em problemas de maior
complexidade. Visualizamos no quadro 1, a porcentagem das respostas corretas por
série dos estados, e o tipo de problemas e enunciados.
As autoras destacam, especialmente, alguns problemas. O problema P1 –
composição, que foi um problema de fácil resolução; sobre os dois problemas
seguintes P2 e o P3 – transformação positiva/negativa as autoras observaram
dificuldades em relação às palavras chaves dos enunciados e o sentido da operação
a ser realizado. O problema P4 – transformação aditiva com transformação
desconhecida foi o de maior dificuldade em ambos os estados e o segundo
problema mais complexo foi o P9 – comparação. Um ponto importante destacado
pelas autoras e verificado pela ocorrência de certas dificuldades é relacionado à
leitura e à linguagem; à leitura, pela falta de compreensão do texto na solução de
situações - problema matemático, e à linguagem, no que se refere às palavras
chaves do tipo “a mais” e “a menos”. Dessa maneira, as autoras ressaltam que ao
final da quarta série os estudantes ainda apresentam dificuldades em resolver
problemas de estruturas aditivas mais complexas, independentemente dos estados
de origem. Perceberam ainda que os contextos sócio-econômico e cultural dos
estados de São Paulo e da Bahia também foram fatores que refletiram nos
resultados.
A pesquisa de Mendonça, et. al. (2007) vem de encontro ao que
pretendemos abordar em nosso estudo: a compreensão das situações-problema que
envolvam as estruturas aditivas; nossa pesquisa pretende ressaltar outras
classificações mais complexas do que as abordadas pelas autoras, pois, além das
estruturas aditivas estaremos trabalhando com as estruturas multiplicativas,
adotando em ambas a Teoria dos Campos Conceituais.
24
Quadro 1- Porcentagem de respostas corretas nos problemas por série e estado
Fonte: Mendonça, et. all. (2007)
Outra leitura que consideramos importante foi a do artigo “Matemática
escrita versus matemática oral”, Nunes, et. al. (2011), do livro “Na Vida Dez, na
Escola Zero”. As autoras destacam as resoluções apresentadas oralmente pelos
25
alunos e a análise heurística feita dos esquemas de cada criança ao solucionar os
problemas.
Com esse trabalho, Nunes, et.al., (2011,p.67-68.) apontaram como objetivos:
a) investigar mais sistematicamente o efeito da situação sobre a escolha
de procedimentos e sobre a eficiência na resolução de problemas
aritméticos;
b) obter uma descrição mais detalhada dos procedimentos informais,
contrastando com os procedimentos formais.
Participaram desse estudo dezesseis alunos da terceira série de duas
escolas públicas da cidade do Recife na faixa etária de oito a treze anos. Os alunos
participantes tiveram instruções sobre os algoritmos escolares para resolver adições,
subtrações, multiplicação e divisões dois meses antes do início do estudo. As
situações problema propostas Nunes, et.al.,(2011,p.69) foram do tipo:
a) situação simulada de venda, na qual a criança desempenhava o papel
de dona de uma loja e o examinador era o freguês;
b) sob a forma de problemas verbais, como pequenas histórias;
c) como exercícios de computação, como continhas a serem resolvidas.
Os tipos de problemas verbais seguiram a teoria de Vergnaud (1982) para
as estruturas ativas e para as estruturas multiplicativas foram elaborados segundo
Brown e Burton (1978) que tratam em seu livro sobre os “Modelos de diagnostico de
erros processuais em habilidades básicas de matemática”. Os participantes
resolveram dez problemas classificados como problemas verbais e problemas de
venda simulada; para esta situação havia objetos disponíveis para as crianças
como, por exemplo, um anel ou um bombom com o preço. Os problemas eram do
tipo:
1. Marcos foi ao cinema. Ele gastou 60 cruzeiros com o ônibus e 240
com a entrada do cinema. Quanto ele gastou ao todo? (Problemas
Verbais).
26
2. Um anel custa 115 cruzeiros. Um bombom custa 15. Eu quero um de
cada. Quanto tenho que lhe pagar?(Problemas de venda simulada).
Os problemas foram apresentados oralmente e após a resolução os
participantes foram entrevistados individualmente seguindo o método clínico
piagetiano, de acordo com os autores. O desenvolvimento seguiu as seguintes
etapas:
1) Se o procedimento feito pela criança não estivesse claro para o
examinador – a criança deveria justificar sua resposta;
2) Nos casos de soluções que utilizavam papel e lápis e nenhuma delas
estivesse correta, a criança era encorajada a solucionar de “cabeça”;
3) Se houvessem respostas incorretas quando se pedia para criança
resolver oralmente, era pedido para criança resolver por escrito.
Os registros do comportamento de cada estudante foram realizados por
meio de gravações, conjuntamente com os detalhes registrados pelo observador e o
material escrito pelo estudante. Os procedimentos para cada uma das três situações
proporcionadas aos estudantes foram classificados como: oral ou escrito ou certo ou
errado.
Em seus resultados os autores expuseram que não houve diferença do
desempenho dos participantes nas situações de vendinhas simuladas e nos
problemas verbais, e o fato de a criança ter objetos que pudessem ser manipulados
não poderia explicar melhor o desempenho nas situações de venda simulada, pois
estas estavam trabalhando com o preço e não com os objetos. Observou também
que, nos problemas verbais, em que os objetos não estavam presentes, o
desempenho dos participantes foi equivalente às situações de vendas. Outra
observação importante foi a da escolha do procedimento oral para a resolução das
situações de venda e dos problemas verbais; o procedimento da escrita foi mais
utilizado para os exercícios de cálculo. Os participantes apresentaram maior
facilidade no procedimento oral em comparação com o escrito, mas os autores
apontam que o fato de os participantes demonstrarem um melhor desempenho na
resolução de operações aritméticas pode não indicar uma preferência definida, seja
27
pelo procedimento oral ou pelo escrito; isso ocorre também para as crianças com
maior dificuldade.
Os procedimentos orais destacados neste artigo pelos autores foram
denominados como heurísticos e estão relacionados:

à decomposição, em que as quantidades envolvidas no problema são
decompostas em quantidades menores;

ao agrupamento repetido, em que a solução é obtida através de
passos, trabalhando-se com quantidades iguais ou maiores que
aquelas mencionadas no problema.
De acordo com os autores, esse tipo de análise heurística permitiu enfatizar
a flexibilidade das soluções e as características dos esquemas utilizados pelos
alunos nas manifestações dos participantes ao resolverem os problemas propostos.
Os autores deixam algumas questões para refletirmos:
 Por que as crianças recorrem ao cálculo escrito, mesmo quando
parecem compreender que trabalham de modo mais eficiente com o
cálculo oral?
 Quando constatamos que a escola rejeita esse saber popular da
criança, manifesto na matemática oral, precisamos perguntar-nos: a
quem interessa esta rejeição? Ao aluno? Ao professor? À sociedade?
Nossa pesquisa propõe problemas que são do cotidiano escolar, seguindo a
classificação de Vergnaud, porém enfatizaremos o procedimento oral da resolução
dos problemas no sentindo do aluno explicar e explicitar as estratégias utilizadas por
ele; analisaremos as justificativas identificando os aspectos da passagem do
pensamento narrativo e suas particularidades, para o pensamento lógico segundo
Bruner (2002), e usaremos a teoria dos campos conceituais na identificação dos
teoremas e conceitos em ações, dos esquemas e dos invariantes operacionais.
A escolha do trabalho de Justo, (2004) “Mais...ou...Menos...: A construção
da operação de subtração no Campo Conceitual das Estruturas Aditivas” se deu
28
pela discussão que a autora apresenta sobre a operação de subtração e o interesse
na explicação do pensamento da criança ao resolver o problema para descobrir o
esquema por ela utilizado. A autora, com esta pesquisa, teve como objetivo
“descrever os esquemas que expressam avanços no desenvolvimento das crianças
na construção da subtração, especificamente nas situações de transformação, de
composição parte-todo e de “quanto falta” (JUSTO, 2004, p.5). O referencial teórico
utilizado foi o dos Campos Conceituais de Vergnaud (1994). Para o experimento,
foram utilizados problemas matemáticos envolvendo as estruturas aditivas do tipo:
transformação com início desconhecido, transformação desconhecida, composição:
parte-todo e quanto falta? O material de trabalho foi papel e lápis, para que as
crianças descrevessem seu pensamento, e material manipulativo, sendo este
utilizado a critério das crianças, para ajudar na solução dos problemas. As atividades
foram complementadas por entrevistas individuais que serviram para que os alunos
“explicassem o seu pensamento ao resolvê-las” (Justo, 2004,p.66), para
averiguação dos esquemas utilizados. Os encontros foram gravados e transcritos,
para análise e interpretação posterior. Participaram desta pesquisa vinte dois alunos,
sendo nove da segunda série e treze da terceira série. As atividades foram iguais
para as séries, somente com os valores numéricos de menor grandeza, para o
controle do nível de dificuldade.
Na análise, Justo (2004) segue uma classificação para estudar seu
experimento:
a)
b)
c)
A primeira categoria de solução na construção da subtração
corresponde ao uso da operação de adição e de esquemas auxiliares
para resolver o problema matemático;
A segunda categoria de solução é evidenciada pelas crianças que
usam a operação de subtração e esquemas auxiliares à solução.
A terceira categoria corresponde apenas ao uso do algoritmo da
subtração como procedimento para resolver o problema apresentado.
(JUSTO, 2004, p. 69).
Observou ainda, em sua análise, que as crianças apresentavam diversos
esquemas para resolver um mesmo problema, assim como uma mesma criança
apresentava várias formas de resolver o problema. Além disso, a pesquisadora
observou que as crianças possuem um domínio maior para os problemas que
envolvem adição e, para os de subtração, percebeu um ganho significativo em
relação aos estudos feito pela autora. A autora verificou a ocorrência do
29
procedimento de cálculo mental e esquemas como algoritmos formais nas
resoluções das crianças. Nas entrevistas, Justo constatou que as “crianças
encontravam as estratégias para resolver os problemas antes de adotarem
procedimentos formais da Matemática” (JUSTO, 2004, p.112). A linguagem das
operações aritméticas e a matemática formal apresentaram-se como um grande
desafio para as crianças, mas Justo entende que a utilização da linguagem formal
da matemática e a construção dos significados ocorrem mutuamente. Nas suas
considerações finais, a autora coloca que sua pesquisa colabora com uma fração do
muito que ainda deve ser desvendado sobre a aprendizagem das crianças no
Campo Conceitual Aditivo.
Em seu trabalho, Justo preocupou-se com os procedimentos e esquemas
apresentados pelos alunos, em nosso trabalho destacaremos nas resoluções
apresentadas dos alunos os conceitos e teoremas envolvidos seguindo a Teoria dos
Campos Conceituais e a análise, conforme a Teoria dos Modos de Pensamento, dos
elementos do pensamento narrativo e lógico-científico encontrados em suas
manifestações na
resolução
dos problemas.
Outro
ponto
essencial
é
o
desenvolvimento do processo ensino aprendizagem quando o estudante trabalha
individualmente, em grupo e quanto à interação aluno – aluno e aluno-professor.
O trabalho de Cunha (1997) “As operações de multiplicação e divisão junto a
alunos da 5ª e 7ª séries” foi escolhido pela proximidade do assunto com o nosso
tema, em razão da investigação que a autora faz sobre as estruturas multiplicativas.
A autora tem como objetivo “investigar concepções sobre as operações de
multiplicação e divisão em alunos de quinta e sétima séries” (CUNHA, 1997, p.3). A
autora parte da hipótese que os alunos têm as concepções “multiplicação sempre
aumenta” e “divisão sempre diminui” (CUNHA, 1997, p.3). A fundamentação teórica
utilizada é a dos Campos Conceituais de Vergnaud (1998), e também constam
partes da teoria do construtivismo de Piaget (1987). Para a realização do
experimento foi feito um estudo baseado na transposição didática de Chevallard
(1991).
30
O experimento foi realizado com trinta e dois alunos entre onze e quatorze
anos de idade. Desses, dezesseis eram da quinta série e dezesseis da sétima série
de uma escola da rede particular de ensino. A seleção dos alunos foi aleatória e
durante o teste diagnóstico e o pós - teste eles trabalharam em duplas. O teste
diagnóstico foi realizado com papel e lápis e composto de duas questões, uma
envolvendo multiplicação e a outra, divisão, na intenção de verificar algumas
dificuldades em relação às operações e analisar o desempenho dos sujeitos da
pesquisa. No momento da aplicação das atividades os alunos foram observados e
seus diálogos gravados. A partir do teste diagnóstico a autora elaborou atividades
usando lápis e borracha para a resolução dos problemas, cartolina e caneta piloto
para uma das atividades e calculadora simples para outra, com a intenção de
superar as dificuldades apresentadas. Nesta fase participaram apenas doze alunos
dos trinta e dois iniciais, seguindo as mesmas duplas do teste diagnóstico. Ao final
das atividades foi realizado um debate, ou seja, uma discussão, que foi filmada para
o registro. Após a aplicação das atividades foi realizado um teste final, usando papel
e lápis com os doze alunos participantes. Na análise, a autora percebe que não
havia explorado todas as situações que pudessem confirmar sua hipótese, sendo
assim, resolveu realizar uma entrevista individual, utilizando papel, lápis e
calculadora, quando achavam necessário; os depoimentos foram gravados, na
intenção de averiguar se as dificuldades apresentadas anteriormente foram
superadas. Os participantes dessa amostra foram os doze alunos da fase anterior e
para parâmetro de comparação a autora escolheu outros doze alunos de outra
escola para realizar a mesma entrevista. Os dados dos testes aplicados tiveram um
tratamento quantitativo e qualitativo.
Após a análise dos dados a autora observou que “a dificuldade dos alunos
das duas séries foi trabalhar com operação de multiplicação cujo multiplicador era
um número decimal menor que 1” (CUNHA, 1997,p.84). A quinta série apresentou
dificuldades em estabelecer relações entre o dividendo, divisor, quociente e resto.
Segundo as palavras da autora:
“...diversas abordagens da multiplicação e da divisão, desde as series
iniciais, como por exemplo, medida de área, ou por meio do raciocínio
combinatório, não somente enfatizando “adições repetidas” e “subtrações
sucessivas”, talvez os alunos não criem as concepções de que
31
“multiplicação sempre aumenta” e “divisão sempre diminui” (CUNHA,
1997,p.132).
A autora finaliza que seu estudo não foi conclusivo, dada a variedade de
esquemas
apresentados
pelos
alunos:
contagem,
modelagem
ou
complementaridade, e que “o segredo da aprendizagem pode estar muito mais na
relação entre como se ensina e como se aprende” (CUNHA,1997, p. 118). Suas
considerações apontam que, para o desenvolvimento de competências por parte dos
alunos no campo conceitual multiplicativo, em sua pesquisa, as atividades propostas
por ela deveriam ter abrangido uma diversidade maior de situações problemas,
assim como um tempo sua execução, para possibilitar aos alunos melhores
condições para uma reflexão minuciosa a respeito das operações de multiplicação e
divisão.
Nosso trabalho segue a mesma fundamentação teórica da autora, sendo
que o nosso foco está nas etapas finais do ensino fundamental. Nós trabalharemos
somente com alunos do quinto ano do ensino fundamental (antiga quarta série),
tendo por objetivo investigar como se dá a construção e quais são os esquemas
prováveis para a resolução dos problemas, tanto para as estruturas aditivas quanto
para as multiplicativas; analisaremos ainda a ocorrência das características da
passagem do pensamento narrativo para o pensamento lógico-científico. Não
estamos preocupados nos acertos e/ou erros dos alunos e sim em suas justificativas
durante e após as soluções dos problemas propostos.
Já a escolha do trabalho de Silva (2010) “Um estudo das estruturas
multiplicativas nos Guias de Planejamento e Orientações Didáticas do Programa Ler
e Escrever”, foi motivada pelo fato de que a autora estuda os esquemas utilizados
pelos alunos na resolução de problemas que envolvem as estruturas multiplicativas.
Essa pesquisa nos auxilia no que se refere à análise dos esquemas apresentados
pelos alunos. Entretanto, nossa pesquisa diferencia-se, no sentindo de que
estaremos analisando os esquemas dos alunos por meio dos diálogos e
manifestações durante a solução dos problemas, envolvendo problemas do campo
aditivo e multiplicativo. Acreditamos que a análise, quando feita somente por meio
de registros (papel e lápis), acaba perdendo muito dos esquemas em ação que
estão associados ao pensamento ou ao raciocínio da criança.
32
O objetivo do trabalho foi investigar o impacto do ensino das estruturas
multiplicativas, por meio de situações problemas proposto no Guia do Programa Ler
e Escrever na terceira série do Ensino Fundamental (SILVA, 2010, p.90). Como
embasamento teórico de sua pesquisa, a autora utilizou a teoria dos Campos
Conceituais de Gérard Vergnaud (1991). A pesquisadora sugeriu problemas
relacionados às estruturas multiplicativas com o objetivo de analisar os esquemas
desenvolvidos pelos alunos nas suas soluções. Os participantes desta pesquisa
foram trinta crianças da terceira série, com faixa etária entre oito e nove anos de
uma escola da rede pública do município de Guarulhos, do estado de São Paulo.
O trabalho foi composto por quatro fases. Na primeira a autora realiza o
papel de observadora, para verificar os conhecimentos disponíveis pelas crianças no
que se refere às estruturas multiplicativas. Na segunda fase, realiza uma sondagem
inicial, individualmente com os alunos, a partir das orientações propostas no
Programa Ler e Escrever da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, com
a intenção de observar os conhecimentos que os alunos tinham sobre as estruturas
multiplicativas, de acordo com o referencial teórico proposto pela autora. Ela
apresenta as classificações que foram utilizadas no quadro 2 abaixo:
33
Quadro 2 - Classificação dos problemas da soldagem inicial segundo as categorias do Campo
Multiplicativo
Fonte: SILVA, 2010.
A partir da sondagem inicial, os dados coletados foram usados para a
construção de um inventário, assim chamado pela a autora, de diferentes esquemas
em ação, que permitissem potencializar as situações que foram propostas,
apontando os diferentes níveis de dificuldades como recurso de intervenção para a
construção do raciocínio multiplicativo.
Na terceira fase utilizou como auxílio um software livre chamado “ClicMat” e o
“auto screen Record”; neste momento os alunos realizaram as atividades
coletivamente. Para esta fase as atividades exploradas foram aquelas em que o
grupo demonstrou dificuldades, as que envolviam a ideia de combinação e
configuração retangular, de acordo com a classificação no Guia e proporcionalidade
dupla ou múltipla segundo Vergnaud. Após a intervenção, na quarta fase, houve
novamente uma sondagem final, assim chamada pela autora, na intenção de
34
comparar e observar se houve um avanço de acordo com os resultados da primeira
fase, isso ocorreu após um mês à intervenção. Os problemas utilizados foram os do
quadro a seguir:
Quadro 3 – Classificação dos problemas da soldagem final segundo as categorias do Campo
Multiplicativo
Fonte: SILVA, 2010.
Como metodologia para o desenvolvimento das várias etapas foi utilizado o
Design Experiment. As atividades desenvolvidas foram registradas por meio de
(gravações) e registros em folhas (papel e lápis). O método utilizado foi a análise
qualitativa dos dados obtidos, sendo o pesquisador responsável pelas interpretações
dos dados recolhidos. Mediante os registros dos alunos a autora, em sua análise,
relata que os alunos apresentam dificuldades principalmente com ideias que
envolvem configuração retangular e combinatória. Os resultados apontados pela
autora na comparação da sondagem inicial com a intervenção e a sondagem final
indicaram um avanço significativo no desempenho das crianças ao resolverem os
problemas. Porém, nem toda a amostra conseguiu optar por uma operação
necessária para as resoluções do problema e nem mobilizar os esquemas
35
necessários das estruturas multiplicativas para a solução. Os problemas que
apresentaram resultados de sucesso pelas respostas dos alunos foram os que
envolviam o conceito de Combinatória, os de menor sucesso envolviam o conceito
de Proporcionalidade. Em nossa pesquisa analisaremos alguns problemas
semelhantes aos da autora, com a ideia de proporcionalidade múltipla.
A escolha da pesquisa de Sales (2008) “Explorando função através de
representações dinâmicas: narrativas de estudantes do ensino médio” se deu pelo
fato de que a autora estuda as narrativas dos alunos sustentada na teoria de Bruner.
O objetivo geral do seu trabalho foi de “investigar as narrativas produzidas pelos
estudantes diante de uma abordagem matemática sobre funções utilizando ambiente
de geometria dinâmica” (SALES, 2008, p.8). Partindo deste objetivo, surgem três
questões, que estão na investigação sobre a narrativa.
1) Qual o papel das narrativas na construção do conhecimento de função
entre estudantes do Ensino Médio?
2) Em quais atividades as narrativas emergem com mais frequência?
3) Podemos identificar estórias que representam raízes narrativas em
relação ao estudo de função?(SALES, 2008, p.41).
Sua fundamentação teórica baseou-se na centralidade do pensamento
narrativo em cognição humana de Bruner (1997), na intenção de entender o papel
da narrativa na aprendizagem matemática e identificar como a estória evocada
poderia contribuir na construção do conhecimento e significados matemáticos. Em
busca da resposta, a autora utilizou quatro das características estabelecidas por
Bruner, e as identifica como: “ter uma sequência inerente, pode ser real ou
imaginária, criar conexões entre o excepcional e o ordinário e possuir uma qualidade
dramática” (SALES,2008,p.129).
A metodologia utilizada foi Design Experiments, por Steffe e Thompson
(2000). Os participantes da pesquisa foram oito estudantes do primeiro ano do
Ensino Médio, divididos em dois grupos que interagiram com dois micromundos
criados no Cabri-Géomètre para o estudo de diferentes representações gráficas em
termos narrativos.
36
Os alunos trabalharam em duplas nas sessões de ensino, com o objetivo de
observar e descrever os comportamentos e as representações gráficas. O primeiro
grupo trabalhou com doze funções classificadas em cinco tipos (funções afins,
funções quadráticas, funções descontínuas, funções que possuem assíntotas e
funções trigonométricas) e o segundo grupo com dez funções, classificadas em
quatro tipos (funções afins, funções quadráticas, funções que possuem assíntotas e
funções descontínuas). A autora observou que “os estudantes atribuíam sentidos
para os fenômenos observados por meio de estórias que relacionavam,
metaforicamente, comportamentos matemáticos com comportamentos humanos”
(SALES, 2008, p.8) no momento da realização das atividades. A autora destaca em
sua análise que:
...o envolvimento dos estudantes com as representações gráficas das
funções apresentadas, dinamicamente, instiga os aprendizes a conectar
objetos matemáticos não familiares, com suas propriedades e relações
paradigmáticas, com ideias e conhecimentos anteriores através de
narrativas, criando uma rede de conexões entre conhecimentos e
experiências anteriores com novos conhecimentos, através de boas
histórias (SALES, 2008, p.129).
Essas relações paradigmáticas estabelecem os modos do pensamento
apresentado por Bruner, que segundo Sales (2008) transcendem os conhecimentos
matemáticos do particular para níveis de abstração cada vez mais elevados,
contrastado ao modo lógico - científico de pensamento.
Sales, em resposta a sua primeira questão, percebe que as narrativas têm
um papel importante na aprendizagem, e são elas que possibilitarão uma percepção
detalhada dos objetos matemáticos trabalhados, conectando propriedades e
relações paradigmáticas. Já para sua segunda questão a autora constata que as
atividades que necessitavam de observação para descrever comportamentos
desconhecidos e excepcionais desafiavam os alunos a recorrer a conhecimentos
anteriores e a criar histórias que poderiam explicar o comportamento observado.
Desta forma, isso está de acordo com Bruner (1997), que enfatiza que a narrativa
auxilia a organização, construção e a criação de conexões entre as nossas
experiências por meio das narrativas que apresentamos. Em resposta à sua terceira
questão, a autora percebe que, aos poucos, os comportamentos e movimentos
observados
nas
atividades,
vão
ganhando
características,
significados
e
37
propriedades no ponto de vista dos estudantes; a pesquisadora afirma que “mesmo
de maneira informal, os aspectos de uma propriedade, relação ou definição
matemática, destacam-se nas raízes narrativas relacionadas com o estudo de
função” (SALES, 2008, p.139). Ao final de suas considerações a autora afirma que
esse modo de pensamento narrativo pode e deve ser discutido em outras
abordagens matemáticas.
Nossa pesquisa difere da de Sales, em relação à abordagem matemática de
suas atividades e ao nível de escolaridade dos estudantes. Temos como foco
trabalhar os aspectos do pensamento narrativo e lógico – científico nas resoluções
de problemas envolvendo o campo aditivo e multiplicativo com alunos do último ano
do ensino fundamental. O nosso objetivo é verificar, por meio de justificavas e
soluções apresentadas oralmente, se o incentivo à manifestação ao longo do
processo de resolução de problemas permite que o aluno consiga interpretar e
estruturar as situações apresentadas e podemos observar mais claramente como se
dá a passagem do pensamento narrativo para o lógico – científico.
A escolha do trabalho de Santana se deu pela proximidade dos tipos de
problemas que trabalharemos em nossa pesquisa, no Campo Aditivo; outro ponto de
interesse é referente à análise das resoluções apresentadas pelos alunos para as
situações-problema propostas, destacando os teoremas em ação e os conceitos em
ação nas resoluções dos alunos.
De acordo com Santana (2010), o trabalho “Estruturas aditivas: o suporte
didático influência a aprendizagem do estudante?” foi desenvolvido com o objetivo
de “avaliar as contribuições que uma sequência de ensino baseada na classificação
proposta pela teoria dos Campos Conceituais traz para o domínio do Campo Aditivo
por estudantes da terceira série do Ensino Fundamental” (SANTANA, 2010, p.8).
Como fundamentação a autora utilizou a Teoria dos Campos Conceituais de
Vergnaud.
Sua metodologia baseou-se em um delineamento quase-experimental com
grupo de controle e experimentais. A aplicação ocorreu com um pré e um pós-teste,
os quais permitiram uma análise tanto qualitativa quanto quantitativa. Participaram
38
dessa pesquisa, no ano de 2008, noventa e oito estudantes da região Sul da Bahia
de uma escola pública municipal.
A autora criou dois grupos, GE (grupo experimental) no qual a intervenção
foi aplicada e o grupo GC (grupo controle), que não participou da intervenção.
O grupo GC foi dividido em dois grupos CV e CN e o grupo GE em MD e DV.
Para a subdivisão do grupo GE a autora realizou um sorteio para determinar as
turmas, ficando da seguinte maneira: o GE1(MD) com 35 e o GE2 (DV) com 34
estudantes. Os grupos GE participaram de oito encontros ministrados como aula
pela professora e um dos grupos teve a pesquisadora como observadora. Todos os
grupos participaram do diagnóstico inicial, da intervenção, diagnóstico final e apenas
o grupo GE nomeado estudo principal, participou da entrevista, esta que teve como
objetivo proporcionar o entendimento e a compreensão de algumas resoluções feitas
pelos estudantes. O grupo GE1 (MD) trabalhou com situações-problema aditivas
(adição e subtração) utilizando material didático (material dourado, ábaco e quadro
de valor e lugar). O grupo GE2 (DV), com os diagramas de Vergnaud e o material
representacional, que teve como foco o cálculo relacional e o cálculo numérico. As
atividades foram propostas em sala de aula e como tarefa para casa. A avaliação da
sequência e a intervenção apoiaram-se na Teoria dos Campos Conceituais. No
quadro 4 abaixo, segue o universo de estudo da autora, onde as siglas significam:
MD (grupo material didático), DV (Diagrama de Vergnaud), CV (Grupo controle
Visto) e CN (Controle não visto).
Quadro 4 - Desenho do universo de estudo
Fonte: Santana (2010)
39
O objetivo do diagnóstico para a autora foi identificar o domínio do Campo
Aditivo dos estudantes. Já para a intervenção de ensino era o de aplicar uma
sequência que estivesse fundamentada no Campo Aditivo amparada no material
representacional e em materiais didáticos. O diagnóstico final teve como objetivo
avaliar se a intervenção proporcionou a amplitude dos estudantes no Campo Aditivo
em relação ao diagnóstico inicial e a influência em relação à amplitude deste
conhecimento.
As situações-problema utilizadas foram da pesquisa de Campos et al.(2007),
com algumas alterações em relação à mudança da quantidade de situações e em
relação aos nomes próprios, valores numéricos e figuras. As sequências foram
estruturadas de acordo com o quadro 5 a seguir:
Quadro 5 – Arcabouço das sequências de situações do estudo piloto em relação às variáveis
representação e percepção.
Fonte: Santana (2010)
Segundo a autora, as situações-problema propostas tiveram como foco o
cálculo relacional, a interpretação com a utilização do diagrama correspondente às
40
situações e o cálculo numérico, com o auxílio dos algoritmos da adição e da
subtração e a elaboração final de respostas e perguntas feitas nas situações.
Mediante os resultados da análise feita por Santana (2010), temos que o
instrumento diagnóstico foi favorável para garantir um tratamento estatístico
quantitativo para os resultados do método quase experimental, evitando a
interferência da subjetividade na análise e nas interpretações. Já a análise
qualitativa do instrumento diagnóstico serviu para verificar a influência das atividades
de casa e das entrevistas para entender o processo de aprendizagem e as
dificuldades apresentadas pelos estudantes no decorrer da intervenção de ensino. O
foco foi o grupo experimental e sua análise seguiu três fases:

A primeira, a análise das resoluções apresentadas pelos estudantes
nos instrumentos diagnósticos (pré e pós-teste) em busca dos erros
cometidos pelos estudantes nas resoluções;

Para a segunda fase foram observadas as atividades realizadas em
casa pelos alunos durante o processo de intervenção de ensino; o
foco desta análise foi o conjunto de resoluções dos problemas; os
participantes dessa fase foram os alunos dos grupos MD e DV;

Na terceira, a análise foi feita considerando as estratégias de
resolução mais utilizadas, buscando identificar os conceitos em ação
e teoremas em ação.
A síntese da análise comparativa do desempenho dos grupos: geral e por
categoria, feito por Santana (2010), mostra que o grupo experimental apresentou um
crescimento significativo do pré para o pós-teste, porém o grupo de controle
permaneceu no nível do pré-teste. De acordo com a autora o desempenho dos
grupos, no geral, permitiu concluir que a intervenção de ensino baseada na
classificação da Teoria dos Campos Conceituais, voltada para as situaçõesproblema do campo aditivo, melhorou o desempenho dos estudantes, superando a
intervenção de ensino está que foi fundamentada em metodologias “convencionais”
e que não possuiu apoio da Teoria dos Campos Conceituais.
41
Outro fator importante destacado pela autora é de que o uso de diferentes
suportes didáticos pareceu interferir no desenvolvimento dos alunos, notando uma
expansão do Campo Conceitual Aditivo para as categorias TR (transformações de
uma relação) e CT (comparação de várias transformações), em relação às outras
categorias principais como (composição, comparação e transformação). O
desempenho dos grupos com os diferentes suportes didáticos apresentou uma
pequena superação em relação ao material representacional utilizado. Já na análise
dos grupos por extensão dos problemas, a autora percebeu que não houve,
estatisticamente, uma diferença em relação aos resultados na 1ª e nem na 4ª
extensão, porém na 2ª e 3ª extensão existiu uma inversão, enquanto um grupo
cresceu, o outro decresceu.
Os grupos experimentais apresentaram um crescimento significativo na 1ª,
2ª, 3ª e 4ª extensão, e quando comparados entre si, não exibiram diferenças
significativas entre seus crescimentos; já em relação às médias finais alcançadas
por esses grupos, as situações de 4ª extensão apresentaram menor crescimento.
Mediante esse resultado a autora observou a necessidade de se planejar as
atividades relacionadas ao Campo Aditivo com atenção especial para as dificuldades
inerentes a cada extensão, dando maior atenção para as mais complexas e levando
em conta a série e a faixa etária, fatores importantes ressaltados por Santana
(2010).
Nosso trabalho difere do de Santana, uma vez que a nossa análise será feita
baseada por meio dos aspectos diálogos com os alunos, não existindo preocupação
quanto aos erros e acertos, mas sim nas justificativas e explicações que os alunos
produzirão para as resoluções das situações problemas, que nos levarão a
avaliação de suas ações.
Além disso, trataremos também dos elementos
relacionados ao Campo Multiplicativo.
42
CAPÍTULO II
2. INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
Apresentaremos, neste capítulo, algumas ideias referentes à Teoria dos
Campos Conceituais, de Gérard Vergnaud, trazendo, ao final, a construção de um
quadro que resuma as ideias da teoria a ser utilizada e seus principais conceitos.
A teoria dos Campos Conceituais criada em 1997 por Gerald Vergnaud tem
como objetivo a compreensão da construção do conhecimento pelo estudante.
Nessa teoria, Vergnaud (2003, p.36) “traz influências de algumas ideias cujos focos
estão na interação sujeito – objeto de Piaget, no que se refere às situações pelas
quais o sujeito passa em sua vida diária, que, por sua vez está relacionada à zona
de desenvolvimento proximal”, conhecida como (ZDP)1, criada por Vygotsky, ou
seja, à interação social que o sujeito estabelece com seu meio e com as pessoas. A
proposta de Vergnaud (1990, 1996, 1998, 2009), ao repensar as condições da
aprendizagem, visa organizar a aquisição do conhecimento de forma a tornar a
compreensão dos conceitos mais acessível. Segundo o autor trata-se de:
...uma teoria cognitivista que visa fornecer um quadro coerente e alguns
princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem
das competências complexas, nomeadamente das que relevam das
ciências e das técnicas. (VERGNAUD, 1990, p.155).
O objetivo principal da teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, (1990)
é compreender como o sujeito constrói seu próprio conhecimento, quando deparado
com situações de aprendizagem escolares. Assim, o Campo Conceitual sugere um
conjunto de parâmetros orientadores para o estudo das condições de compreensão
do significado do conhecimento pelo aluno. Propicia, também, a análise de classes
de situações adequadas ao repertório dos sujeitos, aos esquemas estruturais das
suas atividades e à descoberta das relações mobilizadas por eles ao longo do seu
trabalho.
Essas
considerações privilegiam
o
papel
da
linguagem
e
das
representações simbólicas, permitindo que os conceitos, que são instrumentos do
1
Criada por Lev Vygotsky (1896-1934) a Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), abrange a distância entre as
práticas que uma criança já domina e as atividades nas quais ela ainda depende de ajuda. Para Vygotsky, é no
caminho entre esses dois pontos que ela pode se desenvolver mentalmente por meio da interação e da troca de
experiências.
43
pensamento, sejam transformados em conceitos objeto do pensamento. A
linguagem é considerada um instrumento que permite utilizar conceitos e símbolos
para compartilhar e informar ideias abstratas e valores desenvolvidos por meio do
pensamento.
Observamos que a Teoria dos Campos Conceituais “não é uma teoria
especifica do campo matemático” (VERGNAUD, 1990, p.155); apesar de ter sido
iniciada com o objetivo de explicar os processos conceituais das estruturas aditivas
e multiplicativas, das relações número-espaço ou da álgebra, tal teoria pode ser
agregada a outros campos das ciências. O autor propõe estudar um Campo
Conceitual ao invés dos conceitos, pois considera que, em uma dada situação,
podemos observar vários conceitos envolvidos, e, a partir dos conceitos, somos
conduzidos às várias outras situações. As situações podem propiciar a percepção
das conexões existentes entre esses conceitos, assim como o desenvolvimento e a
assimilação desses conceitos, observadas, por exemplo, durante a resolução dos
problemas.
2.1 Conhecimento
O autor entende por conhecimento o saber fazer com os saberes expressos,
ou seja, o conjunto dos saberes ligados às nossas competências, que são
traduzidas em termos dos conhecimentos que obtemos com nossas experiências
pessoais, adquiridas ao longo de nossa vida. Tais saberes podem ser observados
na tomada de decisões ou no ato da realização de uma situação. O saber fazer
traduz os nossos repertórios, os conhecimentos que estão ligados às nossas
competências e que, por muitas vezes, não conseguimos explicar e nem expressálos por meio da linguagem natural. Já os saberes expressos são as formas com as
quais o estudante apresenta seus conhecimentos por meio dos símbolos ou
algoritmos.
Uma das principais finalidades na Teoria dos Campos Conceituais é permitir
a compreensão das “filiações e as rupturas entre o conhecimento dos estudantes”
(VERGNAUD, 1996, p.155). Esses conhecimentos podem ser apresentados pelos
estudantes da seguinte maneira:
44
...explícito, no sentido que eles podem expressá-lo de forma simbólica
(língua natural, esquema e diagrama, sentenças formais, etc.)... implícito, no
sentido que eles podem usá-lo na ação, escolhendo as operações
adequadas, sem serem capazes de expressar as razões para esta
adequação. Santana (2010, p.30, apud VERGNAUD,1988a,p.141).
Entende-se que essas são as formas de conhecimento que controlam as
interações do sujeito com o objeto, segundo Brousseau (1996): a forma explícita,
que é o saber apresentado de maneira declarativa; a forma implícita, pelas
representações, os esquemas, o modo de fazer, que se apresenta de maneira
processual.
O conhecimento consiste ao mesmo tempo de significados e de
significantes: ele não é formado somente de símbolos, mas também de
conceitos e de noções que refletem ao mesmo tempo o mundo material e a
atividade do sujeito nesse mundo material (VERGNAUD, 2009 p.19).
De acordo com o autor, a análise da interação da criança com o
conhecimento ocorre por meio de suas ações nas tarefas escolares como, por
exemplo, por meio de situações diversas, como desenvolvimento operatório e
discussões com o grupo de alunos e com o professor.
...os conhecimentos que essa criança adquire devem ser construídos por
ela em relação direta com as operações que ela, criança, é capaz de fazer
sobre a realidade, com as relações que é capaz de discernir, de compor e
de transformar, com os conceitos que ela progressivamente constrói.
(VERGNAUD, 2009 p.15).
Vale salientar a importância de o professor compreender e analisar como
seus alunos aprendem e desenvolvem os conceitos matemáticos, para que ele
possa efetivamente ter condições de criar situações diversas para o trabalho em
sala de aula, com objetivo de auxiliar seus alunos em seu processo de
desenvolvimento cognitivo.
...somente um conhecimento claro das noções a ensinar pode permitir ao
professor compreender as dificuldades encontradas pela criança e as
etapas pelas quais ela passa... (VERGNAUD, 2009 p.15).
Vergnaud
estrutura
um
sistema
de
organização
do
processo
do
conhecimento, no qual podemos destacar, para posterior análise nesse trabalho, os
45
conceitos, as situações-problema, os esquemas, os invariantes operacionais
(explícitos e implícitos), ligados aos conceitos em ação e os teoremas em ação.
2.2 Conceito
Para Vergnaud (1996) o conceito é constituído por uma relação de três
elementos que são representados por C = (S, I, s) sendo:
S = conjunto de situações que dão sentido ao conceito;
I = conjunto dos invariantes que são a conexão entre os teoremas e os
conceitos, estes encontrados nas operacionalidades dos esquemas
(os significados), que são representados pelas proposições, as
funções proposicionais e os argumentos;
s = conjunto das formas linguísticas e não linguísticas que permitem
representar simbolicamente o conceito (o significante) – símbolos ou
signos.
Para “estudar o desenvolvimento e o funcionamento de um conceito, no
decurso da aprendizagem ou quando de sua utilização” (VERGNAUD, 1996, p.166),
se faz necessário considerar a relação dos elementos constituídos no conceito.
s
Significante
I
Significado
s
Conjunto de
situações
Figura 1- Relação dos elementos constituídos no conceito
Fonte: Acervo pessoal
46
O autor afirma que, para o sujeito, “o sentido de um conceito está fortemente
associado à atividade de resolução de problemas” (VERGNAUD, 1996, p.57).
Portanto, a compreensão do sentido inicial dos conceitos e dos teoremas
matemáticos pode ser desenvolvida pelo aluno dentro do contexto de situações problemas.
“Um conceito não pode ser reduzido à sua definição, principalmente se nos
interessarmos por sua aprendizagem e seu ensino. É através das situações
e dos problemas a resolver que um conceito adquire sentido para criança”
(VERGNAUD, 1996, p. 156).
Segundo Vergnaud (1996), o papel do conhecimento só pode ser avaliado
de maneira correta quando atribuímos um lugar central para as ações do sujeito. O
conhecimento só pode ser racional quando operatório. Destacam-se duas classes
de situações:

Na primeira, o sujeito dispõe, no seu repertório, da resposta imediata
da situação;

Na segunda, o sujeito não dispõe das competências necessárias,
levando a um tempo maior de reflexão, podendo ser levado ao
sucesso ou ao fracasso.
Vergnaud (1996) considera os Campos Conceituais como sendo um
conjunto de problemas ou situações, no qual podem estar presentes vários
conceitos, procedimentos e representações interligados uns aos outros. Esses
conceitos são estabelecidos em situações-problema, e a sua utilização no
desenvolvimento da aprendizagem dos alunos pode propiciar a percepção das
conexões existentes entre esses conceitos. Essas conexões podem ser observadas
durante a resolução dos problemas, assim como o desenvolvimento e a assimilação
desses conceitos.
Dessa maneira, temos como principal sujeito desse processo o professor,
que tem como tarefa apresentar situações desafiadoras, na intenção de despertar
em seu aluno as potencialidades para o surgimento e aquisição do conceito e sua
estrutura.
47
Vergnaud (2009, p.17), em sua análise dos campos conceituais, destaca que
um dos grandes problemas encontrados na didática “é o de colocar em evidência a
ordem pela qual as noções podem ser adquiridas pela criança”; porém, destaca que
essa análise da ordem das noções não é o suficiente, essa conquista se faz por
meio de tarefas escolares diversas, estudo de situações novas, manipulações
operatórias, lições do professor, análise e discussões coletivas, exercícios.
Vejamos algumas questões importantes que devemos levar em conta para
uma análise das tarefas escolares (VERGNAUD, 2009, p.17):
 Que relações e noções devem ser compreendidas pela criança para
que ela tenha sucesso na tarefa?
 Qual é o critério de sucesso estabelecido? Pode-se, de acordo com o
caso, pedir-lhe para procurar um resultado, ou explicar como esse
resultado foi encontrado, ou provar (fazer demonstração) que ele é
correto ou, ainda, encontrar todos os meios de chegar ao resultado.
 Em que condições a tarefa é executada? Em um trabalho individual,
em cooperação com um pequeno grupo, com toda a classe, com ou
sem a ajuda do professor?
O autor entende que essa análise delineia os caminhos de uma pesquisa,
pois é por meio dela que se pode observar os saberes do indivíduo, bem como
mudar as estratégias de ensino ou até mesmo complementar as tarefas para
oferecer alternativas para o desenvolvimento cognitivo do sujeito.
2.3 Esquemas
A noção de esquema apresentada pelo autor está associada à forma de
“organização invariante do comportamento para uma determinada classe de
situações.” (VERGNAUD, 1998, p.167, tradução nossa). A compreensão e o
funcionamento do conhecimento podem ser observados por meio da organização
dos conceitos colocados em prática pelos alunos.
48
“O conceito de esquema é o conceito mais importante para a psicologia
cognitiva [...]” (VERGNAUD, 1998, p.173); assim, torna-se importante conhecer os
diferentes componentes de um esquema; o pesquisador apresenta como
ingredientes:
1. metas e antecipações, podem ser entendidas por escolhas e tomadas
de decisões, que o estudante define para a resolução de uma situação;
2. regras de ação, busca de informações e controle dos resultados da
ação, do tipo “se...então” que constituem a parte dos esquemas;
3. invariantes operacionais, são os conceitos implícitos e explícitos, por
meio dos quais se pode obter as informações necessárias para as
aferições quanto às metas que deverão ser alcançadas e às regras de
ações adequadas;
4. possibilidades
de
inferência,
questões
ligadas
ao
raciocínio
desenvolvido pelo sujeito por meio de cálculos, informações e invariantes
operacionais de que ele dispõe.
Organizamos nossos pensamentos frente a situações-problema por meio
dos esquemas, usando os chamados invariantes operacionais, que podem ser
explícitos, traduzidos por símbolos ou ações efetivadas na resolução dos problemas,
baseados em conceitos em ação ou implícitos, identificados nas ações do processo
de resolução desencadeadas pelos alunos ao realizarem operações de forma mais
ou menos sistemática, baseadas em descobertas intuitivas ou conhecimentos
anteriores, os chamados teoremas em ação.
Vergnaud (1996) ainda explica que é por meio dos esquemas organizadores
que as competências matemáticas são sustentadas, destacando dois tipos de
esquemas:

os esquemas da enumeração, que podem ser observados em
situações de contar objetos, coordenação dos movimentos como
olhos, gestos do dedo ou da mão e por meio da linguagem (um, dois,
três...);
49

os esquemas de resolução, que são representados, por exemplo, por
equações algébricas do tipo (ax+b = c), parâmetros (a, b, c-b), ou
seja, a escrita algébrica efetuada pelos alunos.
“O funcionamento cognitivo do aluno comporta operações que se
automatizam progressivamente” (VERGNAUD, 1996, p.158); por meio das
resoluções do sujeito podemos observar visivelmente algumas manifestações, como
por exemplo, a passagem de um número positivo do segundo membro para o
primeiro membro, nas decisões conscientes que levam em conta valores particulares
das variáveis da situação.
Porém “os esquemas nem sempre são algoritmos” (VERGNAUD, 1998,
p.171); explica o autor que os esquemas são encontrados nos modos pelos quais as
pessoas organizam seus pensamentos frente a situações, usando os chamados
invariantes operacionais (referentes ao entendimento, à organização e à atuação).
Os esquemas, para ele, podem ser atividades perspectivas-gestuais, verbais ou
sociais, motoras ou organizativas da conduta do sujeito.
Os esquemas perceptivo-gestuais, chamados assim por Vergnaud (1998),
muitas vezes são apresentados na matemática por meio das contagem de um dado
conjunto de objetos, ou desenhos por meio de um gráfico ou diagramas. Também
temos os esquemas verbais e esquemas sociais que são: a narrativa de uma
história, um discurso, uma formulação de sentenças, a fala, e a cooperação.
Segundo o autor:
“ao desenvolver seus esquemas, os alunos se tornam capazes de enfrentar
situações cada vez mais complexas (em geral, tarefas e problemas). Novos
esquemas não podem ser desenvolvidos sem novos invariantes
operacionais (conceito e teorema – em – ação)...” (VERGNAUD 1998,
p.180, tradução nossa).
Portanto, os esquemas tomam um papel importante na aprendizagem do
aluno, pois se constituem em um dos meios para a observação do desenvolvimento
do sujeito em busca da resolução para uma dada situação e na organização dos
50
invariantes, permitindo, assim, uma melhor compreensão dos conceitos e teoremas
aplicados por eles.
Do ponto de vista educacional, assim referido por Vergnaud (1998), é
importante o momento que uma dupla ou mais alunos estão trabalhando juntos em
uma dada situação, pois permite a percepção do desenvolvimento dos esquemas
verbais e sociais e também dos esquemas matemáticos por eles mobilizados.
2.4 Invariantes Operacionais
Segundo Vergnaud (1998) os invariantes operacionais são constituídos de
teoremas em ação e conceitos em ação, que, por sua vez estão presentes nos
esquemas.
Os invariantes operacionais podem ser implícitos quando fazem parte dos
esquemas em ação do aluno, por meio das operações escolhidas no momento da
resolução e, muitas vezes, não são percebidos por ele em suas ações, podendo ser
reconhecidos em termos de objetos e propriedades do problema; podem ser
explícitos quando expressos de forma simbólica, (linguagem natural, esquemas e
diagramas, sentenças formais).
Fundamentalmente,
existem
três
tipos
fundamentais
de
invariantes
(VERGNAUD, 1996, p.163):

Invariantes do tipo <<proposições>>, podendo ser verdadeiras ou
falsas, sendo os teoremas em ação deste tipo;

Invariantes do tipo <<função proposicional>>, não são verdadeiros ou
falsos, mas constituem tijolos indispensáveis à construção das
proposições;

Invariantes do tipo <<argumentos>>: quem diz função proposicional e
proposição, diz argumentos. Em matemática, os argumentos podem
ser objetos do tipo (a caixa à esquerda), personagem (Ana e mais
velha que Juana,), números (6+5 = 11), relações (menor que, maior
51
que; é uma relação assimétrica), e mesmo proposições (5 é divisor de
20, 4 é múltiplo de 2).
Para
o
autor
“estas
distinções
são
indispensáveis
à
dialética
[...]”(VERGNAUD, 1996, p.165), pois em matemática isso explica que as proposições
podem ser transformadas em argumentos.
Outro fator discutido pelo pesquisador “é que um conceito em ação não é
propriamente um conceito, nem um teorema em ação é um teorema”. (VERGNAUD,
1996, p.165), pois, na ciência, tanto um teorema como um conceito podem ser
explícitos como também podem ser discutidos quanto à sua veracidade.
Nessa perspectiva, Vergnaud (1998) traz dois conceitos importantes que são
a base para o entendimento desta teoria: os teoremas em ação e os conceitos em
ação que discutiremos a seguir.
2.5 Teorema em ação e conceito em ação
Segundo Vergnaud (1996) um conceito em ação não é um conceito
propriamente dito, bem como um teorema em ação não é um teorema.
Um conceito em ação é um conceito (objeto ou predicado) implicitamente
tido por pertinente, e teorema em ação é uma proposição tida por
verdadeira (Vergnaud, 1996, p.178).
Os conceitos em ação e os teoremas em ação na ciência são explícitos,
podendo ser discutidas a sua pertinência e verdade. Eles “constituem apenas a
parte visível do iceberg da conceituação”. (VERGNAUD, 1996, p.165). Essa parte
escondida que o autor destaca é constituída pelos invariantes operatórios que estão
integrados
nos
esquemas,
auxiliando
os
conhecimentos
explícitos
como
(proposições, funções proposicionais, objetos-argumentos). É na diversidade das
situações que se pode observar a operacionalidade do conceito em ação, segundo
Vergnaud (1996); diante disso se torna necessária a análise do pesquisador nas
ações e esquemas, na intenção de compreender o cognitivismo deste ou daquele
conceito.
52
Conceitos em ação: são invariantes operacionais, componentes essenciais
dos esquemas; por meio desses invariantes podemos selecionar objetos, predicado,
categorias (relevantes), enfim, a seleção das informações disponíveis em uma
determinada situação apresentada pelo sujeito.
Teoremas em ação: são proposições, que podem ser caracterizadas como
verdadeiras ou falsas mediante seu domínio; nas atividades do sujeito são tomadas
como instrumento operatório, ou seja, são as relações matemáticas implícitas
escolhidas pelos alunos, quando esses optam por uma ou mais operações para
resolver determinada situação e que fazem parte também dos esquemas.
Os objetos: na matemática são relações, propriedades, proposições,
funções proposicionais, do tipo argumento. Quando o autor se refere ao objeto, este
está aplicado ao conhecimento que, por sua vez, sempre será um objeto na
situação, na qual não há uma ordem linear para as cognições dos sujeitos, mas há
uma grande influência na forma com que o conhecimento é construído por parte do
estudante.
Vergnaud observa uma relação lógica entre: conceitos em ação e teoremas
em ação. Este explica que “não há proposições sem funções proposicionais e nem
funções proposicionais sem proposições” (VERGNAUD, 1998, p.164).
Entendemos que os conceitos em ação e os teoremas em ação são
instrumentos que possibilitam a análise do professor, tanto para observar as
estratégias de seus alunos e os procedimentos dos mesmos, quanto para propor
situações que levem o aluno a expandir e aprimorar seus conhecimentos.
2.6 Situações
O autor apresenta o conceito de “situação” no mesmo sentido dado pelos
psicólogos, ou seja, relacionada aos processos cognitivos e às respostas que os
sujeitos apresentam quando confrontados com alguma situação. Este termo para o
autor está propriamente ligado à ideia de “tarefa”; para Vergnaud (1996) o termo
53
tarefa está associado à uma ferramenta auxiliadora das situações e dificuldades
conceituais, com as quais os alunos são confrontados.
...as situações complexas são uma combinação de relações elementares, e
não é possível contornar a análise das tarefas cognitivas que estas relações
permitem gerar... (VERGNAUD, 1996, p.178).
Sendo assim, as situações podem ser combinadas de duas maneiras: a
primeira, direcionada para o sujeito que já possui em seu repertório certos
conhecimentos, e a segunda, para o sujeito que não possui todas as competências
necessárias, o que o coloca em um momento de reflexão sobre suas ações, como
foi dito na discussão dos conceitos.
O autor ainda traz outras duas ideias para o sentido de situação, são elas:

Variedade: baseada em várias situações dentro de um campo
conceitual, tornando-se um conjunto de categorias de situações
possíveis.

História: são os conhecimentos pré-estabelecidos, construídos por
meio
de
suas
experiências,
ou
pelas
primeiras
situações
confrontadas, dando sentido ao conceito que se pretende ensinar.
(VERGNAUD,1996, p.171).
A combinação dessas duas ideias torna-se necessária para uma
investigação na observação e análise das resoluções dos estudantes, pelo fato de
que a ideia de variedade nos orienta para a análise das possíveis soluções,
enquanto que, com a de história, buscamos conhecimentos e procedimentos
operacionais com os quais os alunos se deparam.
54
Quadro 6 – Esquema dos conceitos do Campo Conceitual
Fonte: Acervo pessoal
2.7 Campos Conceituais Aditivos e Multiplicativos
Para Vergnaud (1996) um Campo Conceitual Aditivo é formado por um
conjunto de situações nas quais estão envolvidas as operações de adição,
subtração ou a combinação de ambas. As operações de multiplicação e divisão, ou
a combinação delas, são estudadas no chamado Campo Conceitual Multiplicativo.
É importante apresentarmos a ideia que o autor traz sobre medida para a
Teoria dos Campos Conceituais. Para ele “uma medida é um número associado a
um objeto” (Vergnaud, 2009, p.156). As operações práticas de mensuração são
importantes, pois elas permitem colocar em evidência, pela manipulação, esse fato
fundamental de que uma medida é um número associado a um objeto.
55
Os estudos a respeito das operações de adição ou multiplicação permitem
estabelecer classificações que analisem a tarefa cognitiva e procedimentos que
possam ser realizados para cada uma delas. A seguir, analisaremos a classificações
estabelecidas por Vergnaud.
2.8 O Campo Conceitual Aditivo
Na Teoria dos Campos Conceituais Aditivos (T.C.C.A), a classificação
estabelecida por Vergnaud (2009) está relacionada a uma diversidade de operações
ou relações do tipo:
 adição;
 subtração;
 transformação temporal ;
 relação de comparação quantificada.
Vergnaud (2009) considera ainda:
 a composição binária de medidas;
 a operação unária, de inversão, de número natural, números relativos,
de abscissa, de deslocamento orientado e quantificado.
Outro aspecto importante apresentado por Vergnaud (2009) são as relações
ternárias que, para o autor podem representar uma diversidade de situações do tipo
aditivo. Ou seja, são situações em que ligam três elementos entre si.
Em nosso trabalho utilizaremos os três primeiros aspectos das relações que
aparecem no campo aditivo. Para a nossa apresentação é importante conhecer os
símbolos que Vergnaud (2009) utiliza para representar cada uma das categorias
pelo diagrama que lhe corresponde.
56
Quadro 7 – Códigos utilizados nos diversos diagramas
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.201
As seis grandes categorias de relações aditivas, segundo Vergnaud, (2009,
p.202 – 206) são:
Primeira Categoria
Medida de duas quantidades para resultar em uma terceira, na qual temos uma
medida A que se compõe com uma medida B, resultando em uma medida C.
Para esta categoria, Vergnaud propõe o diagrama:
57
A
C
B
Quadro 8 – Esquema correspondente
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.202
Segunda Categoria
Uma transformação opera sobre uma quantidade para resultar em outra. Temos um
estado inicial (Ei) que por meio de uma transformação positiva ou negativa (T),
resultará em um estado final (Ef).
T
Ei
Positiva
ou
Negativa
Ef
Quadro 9 – Esquema correspondente
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.203
Terceira Categoria
Estabelece uma relação entre duas quantidades, onde se tem um referido (R) e uma
relação positiva ou negativa (Q) em relação ao referente (Re).
58
Quadro 10 – Esquema correspondente
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.203
Quarta Categoria
Temos duas transformações, e cada uma pode ser positiva, negativa ou positiva e
negativa; as transformações se compõem para resultar em outra transformação (Tt).
Para este esquema temos (T) que pode vir a ser uma transformação positiva ou
negativa, (Tt) que é a transformação total entre os estados, o (Ei) o estado inicial,
(Einter) o estado intermediário e (Ef) estado final.
T
Ei
Positiva
ou
Negativa
Einter
Tt
Quadro 11 – Esquema correspondente
T
Ef
59
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.204
Quinta Categoria
Tem-se uma relação dada e se busca uma nova, que é gerada a partir de uma
transformação da relação dada. Sendo (T) uma transformação positiva ou negativa,
que opera a (TA) estado relativo (uma relação) para resultar em um (TB) estado
relativo.
Positiva
ou
Negativa
TA
TB
Quadro 12– Esquema correspondente
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.204
Sexta Categoria
É composta por dois estados relativos (relações), podendo ser positiva-negativa ou
negativa-negativa que se compõem para resultar em um estado relativo. Sendo (Ra)
e (Rb) um estado relativo que se compõem para resultar em um estado relativo (R).
60
]
Quadro 13 – Esquema correspondente
Fonte: VERGNAUD, 2009, p.205
2.9 O Campo Conceitual Multiplicativo
Na Teoria do Campo Conceitual Multiplicativo (T.C.C.M.), de acordo com
Vergnaud (2009), temos duas grandes relações multiplicativas, as operações de
multiplicação e divisão, e um conjunto de situações poderá comportar uma ou mais
multiplicações, divisões ou a combinação das duas operações. O autor ressalta que
a introdução do conceito de multiplicação, nas séries iniciais, pela escrita tradicional
(a x b = c), chamada por ele de relação ternária, não é uma boa representação. Para
ele, a mais importante relação que temos é a relação quaternária, que envolve a
correspondência de duas medidas como, por exemplo, (pacotes e preço; ou novelos
e gramas); isso estabelece os espaços das medidas e as relações entre as
quantidades.
Concentraremos
nossos
estudos
das
estruturas
categorias a seguir, estabelecidas por Vergnaud (2009):
1. Isomorfismo de medidas;
2. Caso de um único espaço de medidas;
3. Produtos de Medidas.
multiplicativas
nas
61
Isomorfismo de medidas
Apresenta a ideia de proporcionalidade, na qual estão envolvidos conjuntos de
mesma cardinalidade, relacionados (1) por uma multiplicação, (2) por uma divisão e
(3) por regra de três. Os problemas mais simples apresentam quatro quantidades,
sendo que uma das variáveis é igual a 1. Segundo o autor, cada categoria descrita
abaixo se subdivide em várias subcategorias, o que evidencia dificuldades diferentes
de acordo com as propriedades numéricas utilizáveis, como, por exemplo, números
inteiros pequenos e grandes ou valor unitário decimal. Vergnaud ressalta que esses
tipos de subdivisões são mais difíceis para as crianças das séries iniciais,
principalmente as três últimas subclasses, que envolvem propriedades numéricas
tais como: números decimais, valor unitário inferior a 1 e números de unidades
inferior a 1.
Os esquemas correspondentes à correspondência dos conjuntos (1) por uma
multiplicação, (2) por uma divisão e (3) por regra de três podem ser representados
como segue.
62
1
b
Multiplicação
Divisão: busca do valor unitário
Divisão: busca da quantidade
de unidades
a
x
x
b
1
x
c
x
1
a
Quadro 14 – Esquema Correspondente
Fonte: Vergnaud, 2009, p.261
Produto de Medidas
Trata de uma relação ternária entre três quantidades. Aqui surgem os conceitos de
combinatória, áreas, volume e outros conceitos físicos.
Destacam-se, em nosso experimento, problemas relacionados à ideia de
combinação e organização retangular, de acordo com autor:
Combinação: formação de subconjuntos, ou seja, relação ternária entre três
quantidades, em que uma é o produto das duas outras ao mesmo tempo.
63
Organização retangular: quando este se divide em quadrados (linhas e
colunas), mostra-se que a medida da superfície é o produto da medida da
grande dimensão (comprimento) pela medida da pequena dimensão (largura),
tanto no plano das dimensões como no plano numérico.
Organização Retangular
Produto Cartesiano
Quadro 15 – Esquema correspondente
Fonte: Vergnaud, 2009, p.254 – 255.
Proporção Múltipla
Está relacionada à ideia do isomorfismo de medidas, bem como aos produtos de
medidas.
Os tipos de problemas desta categoria apresentam dois domínios de grandezas (ou
mais), que podem ser discretas ou contínuas, independentes entre si, sem nenhuma
relação funcional entre elas.
Outro ponto a destacar são as expressões linguísticas do tipo “o dobro”, “três vezes
a mais”, “duas vezes a menos” as quais aparecem nos enunciados dos problemas; o
64
autor chama atenção para o fato de que essas expressões não são usadas nos
problemas classificados como isomorfismos de medidas, a não ser quando se
explicita o papel dos operadores escalares que são verbalmente indicados pela
palavra “vezes”.
Vergnaud (2009) distingue três classes de problemas para as proporções
múltiplas, sendo que duas são do tipo de divisão:
a
r
Multiplicação
b
x
a
x
X
q
X
q
Divisão: busca de uma medida
b
r
65
a
r
X
x
Divisão: busca de um escalar
b
s
Quadro 16 – Esquema de correspondente
Fonte: Vergnaud, 2009, p.263
O autor refere-se também à forma verbal das perguntas explicitadas nos
problemas, como, por exemplo, perguntas do tipo “quanto de tecido” que se remete
a busca de uma medida e “quantas vezes mais” em busca de um escalar.
66
CAPÍTULO III
3. UMA INTRODUÇÃO AOS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO –
CIENTÍFICO NA PERSPECTIVA DE JEROME BRUNER.
O pensamento lógico – científico, por muitas vezes, é traduzido por
sentenças matemáticas como “fiz uma conta de mais”, “dividi tal número por outro”,
ou por meio da escrita “23+45”, “12:6”. Compreendemos que somente por meio do
pensamento lógico-científico não conseguimos identificar quais foram as estratégias
utilizadas pelo aluno. Dessa maneira observamos, pela nossa experiência como
docente no ensino da Matemática, que não há um olhar para o desenvolvimento das
narrativas na sala de aula e, para que ocorra a construção dessa narrativa, ela pode
ser iniciada por meio do diálogo na relação professor – aluno e aluno-aluno e no
coletivo. Acreditamos que seja relevante, para a aprendizagem da matemática, o
incentivo às manifestações dos alunos e ao desenvolvimento do pensamento
narrativo juntamente com o pensamento lógico-científico, pois é a partir das
manifestações e narrativas que podemos explorar os significados das estratégias
utilizadas, bem como buscar a compreensão das representações simbólicas e as
interações entre alunos e alunos e professores no trabalho em sala de aula.
Utilizaremos em nosso trabalho alguns aspectos da teoria de Bruner no que
se refere aos modos dos pensamentos narrativo e lógico-científico, com ênfase
naqueles que serão utilizados na análise dos protocolos da pesquisa. Um dos
motivos de escolhermos a teoria de Bruner é a valorização das verbalizações e da
narrativa no contexto social do ser humano. Acreditamos que a verbalização ou a
narração são fatores importantes para análise e compreensão do raciocínio
matemático na aprendizagem dos alunos. No nosso trabalho, analisaremos as
manifestações dos alunos no diálogo com seus colegas ou com o pesquisador
durante a resolução dos problemas propostos. Pode ser uma alternativa para que o
professor reestruture sua metodologia, e propicie ao aprendiz a oportunidade para o
desenvolvimento dos vários aspectos do pensamento narrativo, ou seja, que, por
meio da fala, ele possa explicar seu raciocínio matemático e estratégias empregadas
na resolução dos problemas. Neste momento o professor estará dando a voz ao
aluno e analisando, por meio de elementos do diálogo ou da narração, os possíveis
67
esquemas utilizados por ele na resolução apresentada para o problema. O processo
da análise das manifestações ou verbalizações poderá favorecer o professor na
busca da superação das dificuldades apresentadas pelo aprendiz no que se refere à
aprendizagem matemática.
Jerome S. Bruner é doutor em psicologia, mas se destacou na área da
Educação, graças à sua participação no movimento da reforma curricular, ocorrida
nos EUA, na década de 60. Embora sua teoria apresente semelhanças com a de
Jean Piaget, Bruner apresenta um caráter contextual dos fatos psicológicos no
processo de desenvolvimento do ser humano, enquanto Piaget apresenta a
maturação e a interação do sujeito com o meio em que vive. Bruner considera, além
do pensamento lógico-científico, o pensamento narrativo; o pensamento lógicocientífico é caracterizado pela sua verificação empírica e argumentações teóricas e o
pensamento narrativo pela sua verossimilhança, baseado na construção da
realidade, não se importando com a verificação empírica ou com os requisitos
lógicos. Entendemos, como Bruner, que o pensamento lógico – científico e o
pensamento narrativo são complementares, porém, um não se reduz ao outro, e
diferem pelos procedimentos de verificação. Os dois pensamentos se ajustam à
necessidade
do
indivíduo,
apresentando
passagens
distintas
ao
fornecer
conhecimentos para a organização da realidade; ambos, para o autor, utilizam-se
das pressuposições, nem que seja com a intenção de brevidade ou para convencer
as pessoas por meio de argumentações diversas, pelo uso de uma linguagem de
consistência e de não contradição, no pensamento lógico-científico ou por sua
verossimilhança, no narrativo.
Tanto o pensamento narrativo quanto o pensamento lógico – científico
podem ser apresentados por meio da linguagem. Já dizia o linguista Hjelmslev que
“a linguagem é inseparável do homem, segue-o em todos os seus atos” (Hjelmslev
apud Chaui, 2007, p.2012). A linguagem traz a ideia de um fio condutor na
organização dos nossos pensamentos e a maneira pela qual o ser humano se
comunica com tudo aquilo que faz parte do mundo, seja nas relações com outras
pessoas, na vida social e política, ou na arte. Portanto, a linguagem além de ter
como papel a comunicação e suas várias formas de representação, auxilia o
68
pensamento, para que o individuo possa verbalizar ou descrever o que está fazendo,
na intenção de esquematizar e controlar atos que não domina completamente.
Bruner observa que a linguagem tem um papel essencial na narrativa, sendo
que, para ele, a narrativa é um modo de pensamento, pois apresenta características
básicas de se organizar em diversos níveis, “permitindo ir dos sons da fala,
passando pelos níveis intermediários, e chegar até as intenções de atos de fala e
discurso” (Bruner, 2002, p.23).
Para Vergnaud (1996), no campo da matemática a linguagem tem diversas
funções, desde as informações que podem ser expressas por argumentos,
conjecturas, propriedades, proposições e teoremas, até as operações do
pensamento, que, segundo ele, são as informações, inferências, aceitações ou
recusas e a organização das etapas, do tipo, “tenho isso, faço isso, para obter
isso...”
Entendemos que a linguagem apresenta-se como a base do pensamento
narrativo, o qual dará suporte para que o aluno consiga realizar conexões com
conceitos formais, ou seja, o pensamento narrativo coordena nosso conhecimento,
em direção a um processo de aprendizagem que, por sua vez, cria conexões
também com o pensamento lógico-científico, este representado por meio da
linguagem simbólica e escrita. Em nossa análise destacaremos as formas de
exteriorização do pensamento nas falas e nos registros dos sujeitos, observando
tanto a linguagem oral quanto os registros, ou seja, a linguagem simbólica,
traduzidas pelas situações propostas aos grupos.
Com base nos modos dos pensamentos narrativo e lógico – científico
(ou paradigmático) estabelecidos por Bruner (2002) apresentamos o esquema a
seguir.
69
Pensamento
Lógico Científico
Pensamento
Narrativo
Pensamento
Narrativo
Linguagem
Figura 2 – Esquema dos modos do Pensamento
Fonte: Acervo pessoal
Para
entendermos
esses
modos
de
pensamento,
detalharemos
primeiramente, o narrativo que “é o menos compreendido dos dois” (BRUNER, 2002,
p.16) e, em seguida o lógico – científico.
3.1 O Pensamento Narrativo
Bruner traduz a narrativa como sendo:
... um modo de pensamento, caracterizando-se como uma estrutura, tendo
como função organizar nossos conhecimentos e como uma direção, no
processo de educação (Bruner, 2001, p.117).
O pensamento narrativo para Bruner (1991) ajuda a produzir uma versão da
realidade, e sua aceitação depende mais da convenção, da necessidade e dos
sentidos que atribuímos a ela, do que de sua verificação empírica ou de seus
requisitos lógicos. Ou seja, o significado da narrativa corresponde “ao modo como a
narrativa opera como instrumento do pensamento ao construir a realidade” (p.6)
(BRUNER apud Freitas, et.al 2007, p.63).
70
A narrativa é justificada pelos fatos, tais fatos podem ser inesperados ou
algo que o ouvinte tenha motivo (grifo nosso) para duvidar; a tarefa do motivo da
narrativa é resolver o inesperado, eliminar a dúvida do ouvinte, corrigir ou explicar o
“desequilíbrio”, que é o motivo pelo qual a história foi contada. Esquema na figura 3.
Figura 3- Esquema da organização da narrativa
Fonte: Acervo pessoal
Bruner (2002) destaca três características do discurso narrativo (o
desencadeamento da pressuposição, a designação de uma disposição e a
perspectiva múltipla) que utilizaremos para a nossa análise:
- o desencadeamento da pressuposição: é a concepção de significados
implícitos (que são invariáveis) ou não explícitos, podendo ser verdadeiros ou falsos.
Essas pressuposições denominadas “expressões herdadas”, podem levar o leitor a
anulação de sua interpretação. Podemos encontrar esse tipo de pressuposição tanto
nos registros apresentados por alunos como também pelo seu discurso ao
apresentar a resolução de problemas. É interessante ressaltarmos que, para Bruner
(2001), tanto o pensamento narrativo como o lógico - científico extraem proveito da
pressuposição, ainda que com o propósito de brevidade.
Outro ponto a ser
destacado é que Vergnaud (1990) também traz essa caracterização dos significados
(explícitos e implícitos) em sua teoria dos Campos Conceituais, como sendo os
Teoremas em Ação e os Conceitos em Ação.
71
- Designação de uma disposição: considera a descrição da realidade por
meio de um filtro da consciência dos protagonistas da história, ou seja, a
interpretação que cada sujeito apresenta da sua leitura. Vergnaud (1996) destaca a
importância da história e da variedade no processo do conhecimento e das
respostas do sujeito frente às situações que são apresentadas a eles. A ideia de
variedade vem de encontro com as várias situações dentro do campo conceitual,
tornando-se um conjunto de categorias de situações e a importância da história,
conhecimentos pré-estabelecidos, construídos por meio das experiências do sujeito.
Essas duas ideias facilitam a investigação do pesquisador: a variedade, no sentido
de analisar as possíveis soluções num dado campo conceitual e a história, na
procura de conhecimentos operacionais e a verificação de regularidades, seja na
forma de abordar ou de tratar uma mesma situação.
- perspectiva múltipla: considera o mundo como não tendo um único
significado, mas por meio de um conjunto, ou seja, cada sujeito de acordo com suas
experiências pode apresentar vários significados para explicar uma ação ou um
estado. Na teoria de Vergnaud encontramos essa perspectiva múltipla empregada
nas situações, onde o autor destaca que para uma determinada situação podemos
obter vários significados, bem como para um significado poderão existir várias
situações.
Neste contexto, percebemos o quanto podemos explorar as sequências de
manifestações ou narrativas no desenvolvimento cognitivo dos nossos alunos em
sala de aula, no processo ensino aprendizagem. O autor reafirma nossa ideia de que
a narrativa em sala de aula é considerada como uma ferramenta, pois ela pode,
“transformar os eventos que estamos explorando e nossa forma de olhar para eles”
(BRUNER, 2001, p.122) na intenção de entendermos o que pode ser duvidoso e
deslocado e que, portanto, precisa ser esclarecido para os alunos. Logo, ensinar por
meio da narrativa é reconsiderar todo o processo envolvido, construir juntamente
com os alunos ao invés de simplesmente expor conceitos, acontecimentos acabados
ou demonstrações, que são encontrados em livros didáticos ou em manuais.
72
A estrutura está, por assim dizer, na cabeça. Ser capaz de “ir além das
informações” dadas para se “descobrir as coisas” é uma das poucas eternas
alegrias da vida. Um dos grandes triufos de se aprender (e de se ensinar) é
organizar as coisas em sua cabeça de uma forma que permita que você
saiba mais do que “deveria”. (BRUNER, 2001, p.125).
De acordo com o autor, é por meio do que já se conhece que devemos
começar
a
“normalmente
aprender,
transformamos
nossos
esforços
de
compreensão científica na forma de narrativa ou, digamos, de “heurísticas
narrativas” (Bruner, 2001, p.122), por meio de regras, que levam a descobertas, ou a
resolução de problemas. Dentro deste contexto, “a mente de uma criança não passa
para níveis superiores de abstração como a maré alta”. (Bruner, 2001, p.118).
Portanto, cabe ao professor promover métodos que aprofundem a organização dos
níveis em que as crianças se encontram em trajetória escolar.
O autor destaca também “nove maneiras pelas quais as interpretações
narrativas
dão
forma
às
realidades
que
criam”
(Bruner,
2001,
p.129).
Apresentaremos aqui apenas seis delas, aquelas que julgamos importantes para a
nossa análise.
Particularidade genérica:
As
narrativas
podem
ser
tratadas
ou
realizadas
pelos
detalhes
apresentados, nos quais se evidenciam as características que podem conduzir à
prática da narrativa e que nos levarão à sua interpretação. Em um texto ou narrativa
podemos destacar duas características: o seu enredo ou sua forma de contar e a
forma de extrair sentido do texto, como sendo um tipo de “representação” do mundo.
Destacaremos, em nossa análise, a particularidade genérica contida nas
manifestações de nossos alunos ao contar sobre as tomadas de decisões para as
resoluções dos problemas realizadas por eles individualmente e em dupla, e
também como as circunstâncias culturais podem afetar tanto no sentido positivo
como negativo as suas resoluções de problemas, quando por eles verbalizado.
Ações têm motivos:
É por meio dos “estados intencionais” como crenças, desejos, teorias,
valores e outros que as narrativas são produzidas para expressar o entendimento
que se tem de algo. Esses estados não dão a orientação da ação ou a direção dos
73
eventos de uma narrativa. A narrativa busca motivos e não causas, entretanto esses
motivos não deixam de ser os estados intencionais que se encontram por trás das
ações e que implica escolhas.
Em nossa análise buscaremos, nas verbalizações ou manifestações dos
alunos, observar os motivos das ações, seja por experiências extras escolares, ou
pelas teorias e conceitos matemáticos pré - existentes apresentados de maneira
implícita ou explícita. Percebe-se que o desencadeamento da pressuposição
proposto por Bruner (2001), está relacionado à teoria dos Campos Conceituais
tratada por Vergnaud (1996) quando este se refere aos teoremas em ação e os
conceitos em ação.
Composição hermenêutica:
A composição para a narrativa sugere que nenhuma história tenha apenas
uma interpretação exclusiva, ela pode apresentar vários significados, a princípio.
“Todo narrador possui um ponto de vista, e nós temos um direito inalienável de
questioná-lo” (Bruner, 2001, p.133). Portanto, o objetivo da análise é considerar os
detalhes que compõem a história, uma leitura que propicie uma explicação
convincente e não contraditória do seu significado; isto cria o famoso “circulo
hermenêutico”.
Em nossa pesquisa observaremos as interpretações feitas pelos alunos e as
estratégias que irão utilizar para a resolução a partir da leitura dos problemas, na
intenção de examinar as diversas interpretações e como eles lidam com os
significados da história do problema.
Ambiguidade de referência:
Trata a narrativa de modo a seu tema estar sempre aberto a algum
questionamento. As manifestações narrativas tornam-se apenas uma forma pela
qual o sentido se expressa, podendo ser simplificadas ou detalhadas.
Analisaremos a ambiguidade de referência mediante as palavras contidas no
texto do problema, o sentido ou significado que elas têm para os alunos, e se isso,
de alguma maneira dificulta ou favorece a interpretação deles na leitura dos
problemas propostos e na busca da sua solução, como, por exemplo, identificar
74
palavras que podem possuir uma ambiguidade na interpretação do aluno dentro do
contexto do problema: combinação, ganhou, mais, menos, entre outros.
A centralidade do problema:
O formato do problema narrativo não é definitivo, nem histórica nem
culturalmente. Ele expressa um tempo e uma circunstância; as “mesmas” histórias
mudam e suas interpretações também, mas sempre com um resíduo do que
prevalecia antes.
Usaremos essa característica para verificar se os alunos, ao lerem e
interpretarem o problema, ou após discuti-lo com o pesquisador ou com o colega,
conseguem extrair dele o que é central em busca de sua resolução.
Negociabilidade inerente:
Bruner explica que o “desenvolvimento do entendimento social das crianças
torna claro que a negociação narrativa começa cedo e é onipresente” (2001, p.137).
Portanto, podemos considerar várias interpretações narrativas de modo a atribuir a
flexibilidade necessária à coerência.
Observaremos a negociabilidade nas discussões sobre as resoluções dos
problemas entre pesquisador e aluno, e aluno e aluno, de forma a analisar as
discussões pertinentes para cada problema, por meio da narrativa.
Mediante a exposição dos aspectos do pensamento narrativo, analisaremos
os diálogos e as interações dos alunos e aluno - professor, observando as
interpretações realizadas e os conceitos matemáticos existentes, embasados nas
características da narrativa que sugerem uma orientação para a representação dos
significados do texto e maneiras pelas quais a narrativa dá forma à realidade, ou
seja, os elementos essenciais para a interpretação na elaboração de conceitos.
3.2 O Pensamento Lógico-Científico
Antes de falarmos do pensamento lógico - científico, é importante
entendermos o significado da lógica. De acordo com Chaui (2012), a expressão
“lógica” indica, num sentido amplo, algo evidente, expondo conclusões de um
75
raciocínio implícito, que ocorre pelo discurso de interlocutores. As palavras lógico e
lógica usadas pelas pessoas apresentam quatro significados de acordo com
(Chauí,2012, p.121):
1º- inferência: se conhecemos x então, podemos concluir que y é uma
consequência imediata.
2º - exigência de coerência: visto que x é assim, é preciso que y seja assim;
3º - a exigência de que não exista contradição frente ao que se sabe de x é
a conclusão y a que chegamos;
4º - exigência de que, para compreender a conclusão y, devemos entender o
suficiente sobre x para conhecer por que se chegou a y.
Esses são os significados que autora chama de noções implicitamente
pressupostas, que utilizamos para afirmar que algo é lógico ou ilógico.
Chaui (2012) explica o significado das palavras lógica e ilógica, na filosofia
grega como sendo uma tradição de pensamento que se originou da palavra lógos
(significando “linguagem-discurso e pensamento-conhecimento”). Bruner (2001)
apresenta em sua teoria Modos do Pensamento essa originalidade da filosofia grega
quando ele associa o pensamento científico ao discurso.
Cabe ressaltar que o discurso para a dialética platônica apresenta-se como
sendo um diálogo:
[...] compartilhado por dois interlocutores, ou uma conversa em que cada
um possui opiniões contrárias e chegar à unidade de uma ideia que é a
mesma para ambos e para todos os que buscam a verdade. (Chauí, 2012,
p.122).
Assim, esse discurso é apresentado como a prática do pensamento e da
linguagem, ou seja, “um modo de pensar que opera com os conteúdos do
pensamento e do discurso” (Chauí, 2012, p.124), sendo um instrumento a oferecer
meios para a realização do conhecimento em forma de discurso.
76
Outro elemento importante a destacar, segundo a autora, é o objeto da
lógica que é a preposição, que apresenta, por meio dos elementos da linguagem, os
juízos estabelecidos pelo pensamento. Esse juízo constitui o raciocínio que
evidencia a lógica por meio da conexão de preposições; essas conexões são
chamadas de silogismos. O silogismo é constituído pela operação do raciocínio do
pensamento, por meio de juízos e preposições encadeadas, que estão vinculadas
ao pensamento científico.
Neste contexto expomos as considerações de Bruner para o pensamento
lógico – científico.
O pensamento lógico – científico, também chamado por Bruner de
paradigmático, é por ele relacionado, por exemplo, à forma de pensar dos físicos e
matemáticos, que está ligada mais diretamente ao uso da lógica. No entanto, não
queremos deixar a impressão de que esta forma de pensamento está ligada
somente ao trabalho dos cientistas, esse modo de pensamento pode ser
desenvolvido por qualquer pessoa.
Para o autor o pensamento lógico - científico:
[...] emprega a categorização ou a conceituação e as operações pelas quais
as categorias são estabelecidas instanciadas, idealizadas e relacionadas
umas as outras para formar um sistema. (Bruner, 2002, p.13):
Dessa forma o pensamento lógico – científico associa-se ao discurso teórico
e ao logos (a palavra escrita ou falada), ou seja, são utilizados argumentos para
estabelecer “o ideal de um sistema formal e matemático de descrição e explicação”,
(BRUNER, 2002, p.13). O modo lógico - científico faz o uso de procedimentos para
assegurar e para testar a veracidade empírica, para tratar de causas genéricas
(BRUNER, 2002). Entendemos que este modo é construído por hipóteses
fundamentadas cientificamente e por dados observáveis aos quais suas afirmações
básicas se referem, ou seja, a linguagem é ajustada por coerências e nãocontradição.
77
Bruner (2002) apresenta algumas características para diferir o pensamento
lógico - científico do pensamento narrativo, como por exemplo, o termo “então” que é
utilizado diferentemente na proposição lógica, “se x, então y”, levando a busca de
condições universais. Afirma que as hipóteses científicas ou matemáticas são
formadas por pequenas histórias ou metáforas e que, aos poucos, vão alcançando
sua maturidade científica por um processo de conversão em verificação formal ou
empírica.
Segundo Bruner (2002) “as crianças que são inicialmente fracas no modo
lógico-científico evoluem de modo a se tornar bastantes boas nele quando podem
ser induzidas a usá-lo”. Portanto, para o autor “a aplicação imaginativa do modo
lógico - científico leva à boa teoria, à análise profunda, à prova lógica, ao argumento
legítimo e à descoberta empírica guiada por hipóteses racionais” (p.14).
Nesse sentindo, entendemos que, para a nossa análise, é importante
compreender a passagem do pensamento narrativo para o pensamento lógicocientífico.
Ambos estão ligados ao discurso e é por meio deles que podemos
observar os conceitos e teoremas que supostamente podem estar envolvidos nas
soluções e explicações da resolução de problemas matemáticos realizadas pelos
alunos. Essa análise dará a possibilidade de identificarmos as formas de linguagem
oral e simbólica. Entendemos que, de acordo com o estudo da Teoria de Bruner, o
conhecimento matemático é apresentado pelo pensamento narrativo, enquanto a
descrição mais elaborada deste conhecimento se dá de maneira lógica e
classificatória por meio do pensamento lógico - científico. Portanto, procuraremos,
em nosso trabalho, observar como o pensamento matemático evolui do modo
narrativo para o lógico – científico, observando alguns elementos da narrativa e
como essa observação pode auxiliar o aluno e o professor no desenvolvimento da
aprendizagem.
3.3 O Diálogo
Neste trecho destacamos algumas considerações ao que se refere ao diálogo,
pois acreditamos que este também é, em parte, uma construção narrativa.
78
Vejamos o significado da palavra diálogo que vem do grego diálogos [διά =
através e λογόι = palavra, conhecimento], pelo latim dialogus).
1. Entendimento através da palavra, conversação, colóquio, comunicação.
2. Discussão ou troca de idéias, conceitos, opiniões, objetivando a solução de
problemas e a harmonia. (http://pt.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1logo- acesso em: 12
maio, 2013).
Entende-se que o diálogo é constituído entre dois indivíduos ou mais por meio de
uma conversação, sendo expresso por meios linguísticos, segundo Cotrim et.
al.(2010). Mediante essa expressão linguística podemos notar diversas relações de
trocas de conhecimento que os indivíduos venham a possuir, seja por meio de
experiências já vivenciadas por ele ou através de conhecimentos formais.
Destacamos a seguir um trecho que, para Contrim et. al (2010) é fundamental em
uma conversação:
É seguir oscilando entre uma visão e outra, entre um pensamento e outro,
escutando objeções, duvidando novamente, voltando a questionar,
procurando ver algo que talvez não esteja sendo observado, mas que tenha
importância para compreensão das coisas. CONTRIM,2010,p.51.
Para Contrim (2010) o diálogo de Socrátes, foi defendido de maneira
explicita como métodos para atingir um conhecimento mais profundo, essencial e
verdadeiro sobre as coisas, acreditando radicalmente no poder da conversação.
Acreditamos que o diálogo pode ser um dos meios para se trabalhar em sala de
aula, quando tratamos de resolução de problemas matemáticos, levando a
compreensão de conceitos e a construção desses em sala de aula. Assim, o
professor, que tem como papel mediar esse processo de ensino aprendizagem de
seus alunos, pode vir a conduzir seus alunos a compreender os problemas por meio
de um diálogo, com as perguntas que o conduzam de forma a evidenciar as
contradições e os problemas que aparecem a cada resposta, motivando o aluno a
utilizar e desenvolver habilidades de raciocínio, criar momentos de refutação ou
contestação entre aspectos que são importantes para o entendimento da construção
dos conceitos matemáticos. Acreditamos que o diálogo pode favorecer a autonomia
79
dos alunos, para estabelecer comparações, deduções e relações, o que poderá vir a
ajudar a aprendizagem que se pretende, e levar à formação de novos vínculos de
amizade e confiança entre professor e aluno.
80
CAPÍTULO IV
4. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS DE MATEMÁTICA: UMA
REFERÊNCIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1997) estão embasados
em pesquisas, práticas e debates que ocorreram nos anos anteriores à sua publicação,
visando propor um instrumento que propicie uma ação coletiva na busca de soluções
para o ensino dessa área, com a intenção de tornar os conhecimentos matemáticos
acessíveis a todos os alunos.
O papel da matemática no ensino fundamental na formação intelectual do
aluno, é considerado importante na estruturação do pensamento, na agilização do
raciocínio na aplicação a problemas, ambos empregados em situações problemas da
vida cotidiana, atividades voltadas para o mundo do trabalho e a construção do
conhecimento em outras áreas.
Conforme as orientações destacadas nos PCN’s (1997) as variáveis envolvidas
nesse processo do conhecimento são o professor, aluno e o conhecimento matemático
e suas relações. O papel do professor é identificar as características dessa ciência, os
métodos, ramificações e aplicações presentes; conhecer a vida dos alunos no que se
refere aos conhecimentos científicos pré-existentes, as condições sociológicas,
psicológicas e culturais e ter a clareza de suas próprias concepções sobre a
Matemática, tendo em vista que as práticas em sala de aula estão ligadas às
concepções das escolhas pedagógicas, à definição de objetivos e conteúdos de ensino
e às formas de avaliação.
A relação entre o aluno e o saber matemático deve apontar capacidades de
natureza prática para lidar com a matemática; reconhecer a capacidade de este lidar
com um dado problema, buscando estabelecer relações entre o já conhecido e o novo;
estabelecer relações ao novo conhecimento e o conhecimento prévio e relacionar ideias
matemáticas entre si, e demais conhecimentos e situações do cotidiano.
81
Nas relações entre o professor e o saber matemático, cabe ao professor
realizar o papel de mediador, apresentar um sólido conhecimento de conceitos e
procedimentos e uma concepção de matemática como uma ciência dinâmica e aberta;
realizar a transposição didática, ou seja, a transformação do saber científico em saber
escolar; estabelecer a integração do conhecimento aprendido, transferindo para outros
contextos.
Nas relações professor-aluno e aluno-aluno, o papel principal do aluno é como
protagonista, sendo as principais ações realizadas por ele. Já o professor atua como
organizador, facilitador, mediador, incentivador, estimulador da cooperação, avaliador
do processo, promotor de interações entre os alunos, conhecedor de seus alunos e das
mudanças da adolescência, criando um ambiente de trabalho estimulante.
É fundamental para o professor conhecer diversas maneiras de trabalhar em
sala de aula para possibilitar que o aluno construa sua prática, observando que não
existe um caminho para que esse processo de ensino ocorra. Assim os PCN’s de
matemática (1997) apontam os caminhos para fazer a matemática em sala de aula por
meio da resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da informação e
recursos aos jogos.
Trataremos, neste capítulo dos PCN’s apenas da resolução de problemas
como recurso no processo ensino aprendizagem, que é o foco do nosso trabalho.
Segundo os PCN’s (1997), tradicionalmente, a utilização dos problemas em
sala de aula não vem desempenhando seu papel de ensino; estes são utilizados, em
geral, como forma de aplicação ou para aplicação de conhecimentos já existentes.
Hoje observamos que, em muitos livros didáticos, os conceitos a serem
ensinados partem da discussão de um problema e ao longo das explicações os alunos
vão realizando a construção desses conceitos e, como propostas de atividade, os textos
propõem uma lista de problemas em que o aluno tende a aplicar os conceitos
apresentados. Portanto, “...o que o professor explora na atividade matemática não é
82
mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e
demonstrações” (PCN’s de Matemática, 1997, p.43).
Assim, de acordo com os PCN’s o saber matemático:
[...] não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que lhe permite
resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso
simbólico, abstrato e incompreensível (PCN’s, 1997, p.43).
Quando pensamos em resolução de problemas como uma proposta de ensino,
observamos alguns princípios apresentados nos PCN’s de matemática (1997, p.43):
 O ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégias para resolvê-las;
 O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estrutura a situação que lhe é apresentada;
 Aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um
certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que
aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,
rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na
história da Matemática;
 O aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas
constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de
problemas. Um conceito matemático se constrói articulando com outros
conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações;
 A resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida
em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação
para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode
apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
Segundo os PCN’s dentre esses princípios percebe-se que um problema
matemático necessita de um conjunto de ações e operações organizadas entre si,
para se obter a solução. Por isso, os problemas que são propostos aos alunos
precisam apresentar um real desafio e não ter somente a intenção de aplicações de
regras matemáticas.
83
Para se resolver um problema pressupõe, diante dos PCN’s (1997, p.44) que
o aluno:
 Elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo,
realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);
 Compare seus resultados com os de outros alunos;
 Valide seus procedimentos.
O papel pedagógico dos problemas em sala de aula passa a ser concebido
como uma sucessão de adaptações que o aluno realiza sob a influência de
situações que ele vivência na escola e na vida cotidiana, como se, em cada
momento, entrasse uma nova cena, não só de conhecimentos anteriores, como
também a capacidade de coordenar e adaptar informações em face de uma nova
situação.
"Para tal, o ensino de matemática prestará sua contribuição à medida que
forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a
comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico e
favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a
autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria
capacidade de conhecer e enfrentar desafios. "(PCN's, 1997, p.31).
Percebemos
que
as
orientações
dos
Parâmetros
Curriculares
de
Matemática, em relação à proposta de trabalho utilizando a resolução de problemas,
estão de acordo com a Teoria dos Campos Conceituais que justamente discute a
importância do entrelaçamento dos conceitos e a sua relação e os Modos do
Pensamento Narrativo e Lógico - Científico que estão presentes no desenvolvimento
narrativo do aluno pela sua maneira de interpretar as situações presentes e a de
expressar verbalmente a linguagem matemática.
Entretanto, o professor deve observar que não existem regras ou técnicas
para serem seguidas ou aplicadas pelo aluno; mediante os PCN’s (1997), o
importante é estimular os alunos a questionar suas próprias respostas aos
problemas, ao ponto de que eles evidenciem um ensino e aprendizagem não pela
reprodução de conceitos e sim pela via da ação refletida que constrói o
conhecimento.
84
4.1 Considerações ao Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas
tecnologias.
O novo Currículo de Matemática “prioriza a competência de leitura e escrita”
(SEE, 2010, p.7), tornando assim a escola como espaço de cultura em que se
permite a articulação das competências e os conteúdos disciplinares.
As competências e habilidades que serão desenvolvidas ao longo da vida
escolar do aluno lhe propiciarão condições para que ele adquira autonomia,
competência para realizar a leitura crítica do mundo, questionamentos, inferências,
compartilhamento de ideias, ou seja, as condições para atuar na sociedade que
dependerá dele. Coordenado pelo professor Nilson José Machado SEE (2010), o
Currículo de Matemática do Estado de São Paulo traz a visão de uma educação à
altura dos desafios contemporâneos, tendo a preocupação com:
“as características cognitivas e afetivas que são cada vez mais
valorizadas, como a capacidade de resolver problemas, trabalhar em
grupo, continuar aprendendo e agir de modo cooperativo, pertinentes
em situações complexas”. (SEE, 2010,p.8).
Tais
preocupações
devem
estar
relacionadas
ao
currículo
e
as
competências de referencias que são estabelecidas por uma tríade assim colocada
pela (SEE, 2010, p.13):
a)
O adolescente e as características de suas ações e
pensamentos;
b)
O professor, suas características pessoais e profissionais e a
qualidade de suas mediações;
c)
Os conteúdos das disciplinas e as metodologias para seu
ensino e aprendizagem.
Visando essa tríade, a escola tem que estar atenta às competências que
devem ser trabalhadas e referenciadas no currículo. Dentre tantas competências
que devem ser trabalhadas destacamos a competência da leitura e da escrita, que
julgamos de suma importância, pois esta viabiliza a interação do discurso, diálogo
entre os diversos eixos da vida social e proporciona “o desenvolvimento cognitivo do
indivíduo” (SEE, 2010, p.15).
85
Dessa maneira acreditamos que o trabalho proposto com resolução de
problemas em sala de aula por meio do diálogo, leva o professor a entender os
esquemas dos pensamentos traduzidos pelos alunos e promover o desenvolvimento
de narrativas, e propicia ao aluno a oportunidade de verbalização e esclarecimento
dos conceitos matemático, como já dito no currículo de matemática: da SEE (2010)
“...na construção dos significados, uma ideia norteadora é a de que as narrativas
são muito importantes, são verdadeiramente decisivas na arquitetura de cada
aula...tento em vista a construção do significado...” (p.45).
Nas orientações curriculares do ciclo I (2008) são apresentadas três vias
fundamentais no processo de ensino: aluno, professor e conhecimento matemático,
sendo o professor o mediador entre o conhecimento e o aluno. Neste sentido é
importante levarmos em consideração os obstáculos envolvidos neste processo de
maneira a entendermos como ocorre a aprendizagem do aluno. Para que esse
processo aconteça é importante que se estabeleçam relações entre o conteúdo a
ser ensinado e a vivência do aluno, de forma a contextualizar e descontextualizar,
garantindo que o mesmo possa observar as regularidades, a realização de conexões
a outros assuntos e situações. Assim, tendo o professor como mediador, o aluno
passa a ser o agente da sua própria construção do conhecimento.
Segundo a orientação da (SEE - Ciclo I,2008,p.24):
...o aluno será agente da construção do seu conhecimento quando,
numa situação de resolução de problemas, ele é estimulado a
estabelecer conexões entre os conhecimentos já construídos e os
que precisa aprender.
...é importante observar que acontece aprendizagem na interação
entre alunos. A cooperação entre pares, na busca de soluções, o
esforço em explicitar o ensinamento e compreender o do outro,
favorecem a reestruturação e ampliação do próprio pensamento.
De acordo com as orientações para o ciclo I (SEE,2008,p.24), relativas ao
ensino da matemática, destacamos as situações-problema, que trazem a
importância do trabalho do professor no que refere-se a
86
Interpretação dos enunciados orais e escritos, desenvolvendo
procedimentos para planejar, executar e verificar soluções (formular
hipóteses, fazer tentativas ou simulações), para comunicar
resultados e compará-los com outros, validando ou não os
procedimentos e as soluções encontradas.
Comunicar-se matematicamente apresentado resultados precisos,
argumentar sobre suas hipóteses, fazendo uso da linguagem oral e
de representações matemáticas e estabelecendo relações entre elas.
Sentir-se seguro para construir conhecimentos matemáticos,
incentivando sempre os alunos na busca de soluções.
Interagir com seus pares de forma cooperativa na busca de soluções
para situações-problemas, respeitando seus modos de pensar e
aprendendo com eles.
Reiteramos que neste currículo proposto pela SEE, temos dois aspectos que
julgamos necessários e importantes nesse desenvolvimento cognitivo do aluno no
que tange a integração da língua corrente e a linguagem matemática:
O debate e o diálogo, as perguntas que desmontas as frases feitas, a
pesquisa, entre outras, seriam formas de auxiliar o aluno a construir
um ponto de vista articulado sobre o texto. [...] o aluno deixaria de ser
mero espectador ou reprodutor de saberes discutíveis para se
apropriar do discurso, verificando a coerência de sua posição em
face do grupo com quem partilha interesses. (SEE, 2010, p.17)
...o domínio das linguagens representa um primordial elemento para
a conquista da autonomia, a chave para o acesso a informações,
permitindo a comunicação de ideias, a expressão de sentimentos e o
diálogo, necessário à negociação dos significados e à aprendizagem
continuada. (SEE, 2010, p.17)
A utilização do diálogo, da interpretação textual e da linguagem como
estratégias em sala de aula poderá conduzir o aluno à verbalização, e ser um
facilitador para que este desenvolva a capacidade de expor suas ideias, argumentos
e decisões, levando-o ao desenvolvimento da formação crítica, do raciocínio lógico,
da capacidade de sintetizar e tomar decisões por meio dos conhecimentos que já lhe
são disponíveis e, assim, promover a apropriação de novos conceitos.
87
CAPÍTULO V
5. METODOLOGIA
Para responder às nossas questões de pesquisa:
A identificação de algumas características do pensamento narrativo, nas
manifestações dos alunos durante a resolução de problemas no campo aditivo e
multiplicativo pode auxiliar o professor em sua prática educacional e no processo
ensino aprendizagem do educando?
A
identificação
dos
componentes
dos
esquemas
mobilizados
no
encaminhamento da resolução dos mesmos problemas, favorece a compreensão do
professor enquanto mediador do processo ensino aprendizagem?
escolhemos uma turma de 30 estudantes, do ensino fundamental, do 5º ano (4ª
série) de uma Escola Estadual da Grande São Paulo. Esta unidade escolar pertence
à Diretoria de Ensino de Itapecerica da Serra e atende alunos do Ensino
Fundamental 1º ao 5º ano e Educação Especial. A localização da escola é central, e
os professores efetivos são a maioria no corpo docente.
5.1 Metodologia Adotada
Nossa pesquisa é do tipo qualitativa, assim classificada, segundo Gil (2010),
pelo seu delineamento. A pesquisa qualitativa é considerada como uma relação
dinâmica entre o mundo real e o sujeito que não pode ser traduzida em números e
não necessita de um tratamento estatístico. Segundo o autor, a peça chave da
pesquisa qualitativa é o pesquisador, pois é este que vai analisar o estudo diante
dos dados coletados, considerando todos os pontos de vista relevantes, levando em
conta o processo e os significados que são pontos essenciais na abordagem.
A coleta de dados incluiu uma entrevista semiestruturada, para a qual
construímos um roteiro básico, com algumas perguntas norteadoras, que foram
complementadas por outras questões, mediante a necessidade do desenvolvimento
88
da entrevista com os alunos. Com esse instrumento “podem emergir informações de
forma mais livre e as respostas não estão condicionadas a uma padronização de
alternativas”. (MANZINI,1990,1991,p.154).
A entrevista semiestruturada dá ao entrevistado a possibilidade para expor
suas ideias, sem respostas ou condições prefixadas pelo pesquisador. A escolha da
entrevista semiestruturada se deu pela possibilidade de, no momento da entrevista
com o sujeito, podermos esclarecer alguns aspectos das respostas, orientações e
aprofundamentos das discussões, investigação, ou ainda definir novas estratégias.
Nossa preocupação na entrevista está em retratar o ponto de vista e a interação
entre pesquisador-aluno e aluno-aluno de forma analisar aspectos narrativos no
diálogo dos alunos ao resolver os problemas e suas respostas aos questionamentos
postos pelo pesquisador.
5.2 Desenvolvimento da Pesquisa
Os problemas foram escolhidos de acordo com as classificações de
Vergnaud para as estruturas aditivas, envolvendo a combinação das seis categorias
relacionadas aos problemas aritméticos por ele chamados “complexos”, por
apresentar varias relações e várias questões possíveis e para as estruturas
multiplicativas, problemas do tipo isomorfismo de medidas, produtos de medidas e
proporção multiplicativa, ligadas aos conceitos de proporcionalidade, organização
retangular e combinatória.
Utilizaremos para a nossa análise o registro filmado das atividades, de forma
a gravar os diálogos e observar as atuações individuais, em dupla e interações nas
duplas e os protocolos das resoluções dos problemas apresentados pelos alunos.
Quanto às transcrições da verbalização dos alunos apresentada na pesquisa,
tentamos descrever os diálogos na sua forma original, evitando recortes das
verbalizações. As pronuncias das palavras foram mantidas. Destacamos que a
filmadora estava apenas focalizando as expressões e as linguagens dos
entrevistados, e do entrevistador, apenas a fala.
89
Figura 4 - Esquema da aplicação do experimento seguindo a classificação de Vergnuad (2009)
para os problemas aditivos e multiplicativos.
Fonte: Acervo pessoal
No capítulo da análise, temos a apresentação dos registros feitos pelos
entrevistados em uma folha de atividade e no quadro das transcrições os alunos
foram indicados com siglas como (A1, C3, E4 e outros) e o pesquisador com (P).
Nosso experimento se desenvolverá com as atividades distribuídas segundo o
resumo da (figura 4) a seguir:
No primeiro grupo (Figura 4), os três alunos trabalharam individualmente
com apenas dois problemas, um aditivo que está relacionado aos problemas
aritméticos complexos que envolvem a (1ª categoria e 2ª categoria) e o outro
multiplicativo (combinatório) e, após a resolução, formulamos algumas questões do
tipo “Relate a história do problema...?, O que temos que resolver...?, Explique sua
resolução.”, observando o desencadeamento das explicações e as tomadas de
decisões para as resoluções propostas dos alunos.
90
No segundo grupo, (Figura 4) tínhamos três duplas de alunos que resolveram
dois problemas; o primeiro envolvendo a (4ª categoria) e o segundo multiplicativo
(organização retangular); após o término da resolução o pesquisador fez algumas
perguntas: “Você tem alguma outra ideia para resolver...?, Explique para o seu
colega como você pensou., Você concorda com a ideia do seu colega?” de modo a
esclarecer as manifestações sobre as decisões tomadas pelos alunos durante as
resoluções
buscando
o
desenvolvimento
da
identificação
dos
“conceitos
estratégicos” que são a origem do pensamento e do raciocínio lógico e que poderão
permitir a verificação da passagem do pensamento narrativo para o pensamento
lógico - científico.
Para o terceiro grupo, (Figura 4) no primeiro momento entregamos para
cada aluno um problema do tipo (problemas aritméticos complexos seguindo a 2ª
categoria e a 1ª categoria) e (proporcionalidade), que foi resolvido individualmente
pelos alunos; ao término da resolução os alunos formaram duplas e cada aluno
relatou o seu problema e a sua resolução para o colega. O pesquisador realizou
algumas perguntas como: “Você conhece alguma operação (ões) correspondente à
sua representação? Qual(is) foi (foram) a(s) operação (ões) que vocês utilizaram?”
e analisou a explicação dos alunos e os registros da interação entre eles.
Na 4º etapa, (Figura 4), escolhemos dois problemas: um problema aritmético
complexo do campo aditivo, envolvendo comparação com composição e
transformação e um problema do campo multiplicativo classificado como proporção
múltipla. Os três grupos participaram da 4ª etapa. O desenvolvimento das atividades
seguiram os mesmos procedimentos das etapas anteriores de acordo com os
grupos. Nesta etapa, o pesquisador pode observar todos os alunos na resolução de
um mesmo problema, levando em conta as resoluções individuais do grupo 1, em
dupla do grupo 2 e individual com interação do grupo 3, na intenção de observar o
desenvolvimento das discussões e soluções individualmente, dupla e com interação.
91
5.3 Público Alvo
Participaram dessa nossa pesquisa 30 alunos do ensino fundamental I do 5º
ano (antiga 4ª série). No momento da transcrição da nossa intervenção, dada a
extensão do conjunto de dados, optamos por escolher apenas três alunos em cada
etapa, levando em conta as discussões que mais se destacaram. Teríamos um
conjunto muito extenso de dados para análise caso realizássemos a transcrição dos
diálogos de todos os participantes. Nos quadros abaixo seguem a organização das
escolhas dos alunos.
1ª Etapa: Individual
Quantidade de alunos
Quantidade de alunos
participantes
escolhidos
G1: Adição
10
3
G1: Multiplicação
10
3
Grupos/Problemas
2ª Etapa: Dupla
G2: Adição
10
3
G2: Multiplicação
10
3
3ª Etapa: Individual com Interação
G3: Adição
10
3
G3: Multiplicação
10
3
Quadro 17 - Organização da escolha dos alunos para análise.
Fonte: Acervo pessoal
92
4ª Etapa
Grupos/Problemas
Quantidade de alunos
Quantidade de alunos
participantes
escolhidos
Individual
G1: Adição
10
3
G1: Multiplicação
10
3
Dupla
G2: Adição
10
3
G2: Multiplicação
10
3
Individual com Interação
G3: Adição
10
3
G3: Multiplicação
10
3
Quadro 18 – Organização da escolha dos alunos para análise
Fonte: Acervo pessoal
5.4 Descrição da aplicação
A escolha da escola se deu em razão de ser considerada, pela comunidade,
uma boa escola, tanto no aspecto administrativo como na condução educacional. A
recepção da pesquisadora pelos gestores da unidade escolar, foi marcada de
extrema colaboração e interesse, proporcionando ao pesquisador a ajuda
necessária para a aplicação do experimento. Levamos em conta, para a escolha da
sala que participou da pesquisa, a disponibilidade do pesquisador, que era o período
da manhã e, em relação à escolha da sala, deixamos a critério da coordenadora.
Contamos com a colaboração da professora titular da sala, que
também não
poupou esforços para facilitar o trabalho com os alunos. O pesquisador teve um
momento com a professora titular da sala, com o acompanhamento da
coordenadora da escola, em uma reunião para que pudéssemos explicar qual era o
objetivo e estabelecer os horários para conduzir a aplicação do experimento, de
forma que não atrapalhasse a rotina das aulas diárias. Quanto à recepção dos
alunos, foi extraordinária, eles demonstraram total interesse e ficaram muito a
vontade com a presença do pesquisador.
Para aplicação do experimento, a escola disponibilizou a sala de informática.
Como utilizamos a gravação em vídeo para registrar o experimento, alguns vídeos
93
saíram com ruídos dos barulhos externos e da entrada na sala de alguns
professores que utilizavam o computador para imprimir atividades para os alunos de
outras salas. Isso ocorreu poucas vezes; alguns vídeos também ficaram meio
escurecidos pela falta de iluminação adequada da sala para esse tipo de gravação.
Já em relação à aplicação, tentou - se a todo instante manter a postura de
pesquisador, porém na análise notamos em alguns pontos dos diálogos, o
pesquisador assumindo o papel de professor em sala de aula, aquele que tem a
preocupação de que seu aluno entenda o que está sendo proposto, tomando todo
cuidado para explicação em relação às dúvidas e buscando meios alternativos, por
meio da linguagem, para que se estabelecessem os significados que eram
necessários para o entendimento da resolução dos problemas. Acreditamos que isso
não chegou a prejudicar a nossa análise.
O tempo de duração das aplicações, para cada aluno, foi em torno de vinte
minutos a quarenta minutos, dependendo muito da postura do aluno no momento da
resolução. Já o tempo de duração desse experimento foi de cinco meses, sendo que
achamos de extrema importância ter algumas pausas para reavaliação da postura
do pesquisador, das perguntas que eram direcionadas e das previsões quanto às
dificuldades dos alunos.
Quanto à quantidade de alunos participantes: conseguimos que todos
participassem, registramos a falta de cinco dos trinta alunos na última fase, em
razão da finalização do experimento ter ocorrido no final do ano, nas últimas
semanas de aula.
No que se refere à escolha dos alunos para realizarmos a transcrição:
utilizamos três alunos do grupo 1, três duplas do grupo 2 e três duplas para o grupo
3 e para 4º etapa, utilizamos o critério de mesma quantidade de alunos para cada
etapa. Para a escolha desses alunos, assistimos aos vídeos por diversas vezes,
realizando a escolha dos alunos levando em conta as discussões estabelecidas, os
conceitos matemáticos que se destacavam, sejam eles por explicação ou por falta
de conhecimento, a postura dos alunos, as estratégias realizadas por eles e as
dificuldades que apresentavam no momento da resolução.
94
CAPÍTULO VI
6. ANÁLISE
Vamos
iniciar
a
análise
lembrando
alguns
aspectos
considerados
importantes por (Vergnaud, 2009, p.17), no desenvolvimento das tarefas escolares,
ou seja, o que levamos em consideração enquanto pesquisadores.
Primeiramente, procuramos identificar, no decorrer dos diálogos com o
aluno, quais as relações e noções que deveriam ser compreendidas por ele para
que alcançasse o sucesso em sua atividade. Segundo, procuramos entender os
conceitos e significados explicitados pelos alunos nas verbalizações, tanto na forma
escrita, quanto explicativa, não levando em consideração os erros ou acertos e sim a
compreensão de tais ações, na intenção de entendermos os meios utilizados por ele
para chegar ao resultado correto ou incorreto.
Levamos, finalmente, em conta, as condições em que as atividades foram
executadas, individualmente, em dupla e com interação entre dois alunos, com a
participação do pesquisador dirigindo as discussões e os questionamentos.
Analisaremos as soluções dos alunos em quatro etapas, na intenção de
observar e comparar o desenvolvimento dos diálogos com as estratégias utilizadas
para a resolução dos problemas utilizando instrumentos (papel e lápis). A primeira
análise foi do primeiro grupo, no aspecto individual, a segunda análise do segundo
grupo (em duplas), a terceira, uma análise do trabalho individual e posteriormente,
da interação dos alunos quanto à explicação da resolução do problema e por fim,
uma análise dos três grupos na resolução de dois problemas que foi comum a todos.
Nossa análise está dividida em três colunas, a primeira apresenta a
transcrição dos diálogos dos alunos e as intervenções do pesquisador, na segunda
coluna temos a análise feita de acordo com Bruner (2001) em que apontamos as
características do discurso narrativo e destacamos as maneiras pelas quais a
interpretação narrativa dá forma às realidades que criam, observando a passagem
do Pensamento Narrativo para o Pensamento Lógico-Científico. Na terceira coluna
95
temos a análise feita, segundo Vergnaud, (1996, 1998, 2009) em que observamos
os esquemas, invariantes operacionais e os conceitos e teoremas em ação.
6.1 Atividade Individual: 1ª ETAPA
6.1.1 Análise do Grupo 1 (Individual): Problema do campo aditivo
Nesta
primeira
etapa
propusemos
para
os
alunos
trabalharem
individualmente o problema descrito no quadro abaixo. De acordo com os estudos
realizados da Teoria de Vergnaud, temos que este problema segue a estrutura dos
problemas aritméticos complexos envolvendo a 1ª categoria (2009, p.269-276).
Objetivo do problema: Este problema teve como objetivo verificar os conceitos dos
alunos em relação à estrutura parte-todo. O problema envolve quatro partes sendo
que uma destas é desconhecida.
Quadro 19 - Problema do Campo Aditivo aplicado para o Grupo 1
Fonte: Adaptação do problema de (Magina,et.al, 2008,p.39)
96
Aluno A1
Figura 5 - Resolução do problema pelo aluno A1
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno A1
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Conseguimos identificar, por
meio do diálogo, que o aluno
observou a correspondência de
cada valor e identificou a
Centralidade do Problema, ao
relatar que o problema quer
saber a quantidade da quarta
caixa.
Conceito
em
Ação
informações do problema que
foram levantadas por meio da
leitura e interpretação do aluno.
Observamos que o aluno destaca
a (subtração, a divisão e a
adição) para resolver o problema.
Ele mostra, neste diálogo, que
está organizando seus esquemas
em busca da resolução; podemos
destacar
a
passagem
do
pensamento narrativo para o
pensamento lógico - científico.
Além
disso,
temos
a
Particularidade Genérica: ao
analisarmos o diálogo do aluno
percebemos
que
este,
ao
responder
a
pergunta
do
pesquisador, apresenta em sua
Nesta verbalização temos os
invariantes operacionais do
tipo <<argumentos>>: o aluno,
em sua verbalização, destaca
as operações e procedimentos
que ele está mobilizando para
aplicar,
na
resolução
do
problema.
P: Você irá ler o problema em voz
alta e explicar o que entendeu.
Após a leitura, o pesquisador
pergunta: O que aconteceu?
A1: Ele tinha uma coleção de
carrinhos de 112 e ele separou
em cada caixa, que são quatro
caixas. Uma 45, 26 e 18, só que é
para a gente saber, quanto tem na
quarta caixa.
P: Como a gente pode resolver
esse problema?
A1: Então se faz 45 – 26 depois o
que der desse – 18, ou se não?!
Dividi em quatro caixas, 112?!
Deixa eu ver?! Somar 45 e 26 e
18 e menos, depois o que sobrar
a gente faz com o outro para ver
quanto que ele colocou na outra
caixa.
97
fala características importantes
para organizar seus esquemas
em busca da resolução.
P: Então pode fazer. O aluno
começa a registrar o cálculo.
A1: Se deu oitenta e nove e tem
112 então...dá 23.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos os componentes
de um esquema, a regra de
ação, busca de informação e
controle dos resultados da
ação, do tipo “se...então” que
fazem parte dos esquemas.
P: Conta então como você fez?
Explica para mim?
A1: Eu somei esse aqui e deu 89,
e eu contei 3 e deu 10 mais 10
que da 20 e mais 3 que deu 112.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este em
que o aluno explica a estratégia
adotada
para
o
cálculo
realizado para se chegar a
solução.
6.1.2 Observações sobre o comportamento do aluno A1
Mediante a atividade proposta, o aluno realizou a leitura em voz alta e,
conforme o pesquisador questionava o aluno, este responde imediatamente. É
interessante destacar que, solicitado a expor a sua solução, o aluno fica por alguns
instantes em silêncio e imediatamente coloca a mão na testa e dirige o olhar para a
atividade, realizando novamente uma leitura silenciosa. Em seguida, pega o lápis e
acompanha, pela segunda vez, a leitura. Após um tempo o aluno começa a explicar
o problema sugerindo algumas resoluções, mas o seu comportamento demonstra
que ainda possui algumas dúvidas referentes à operação que deve ser feita. No
momento da resolução, o aluno pronuncia em voz alta os cálculos, utiliza os dedos
para contagem. Após a resposta final, o pesquisador pede para que ele explique; o
aluno vai acompanhando seu registro para explicar sua solução para o pesquisador.
98
Aluno A2
Figura 6 - Resolução do problema pelo aluno A2
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno A2
P: Lê em voz alta e me conta
antes de você resolver, o que
você entendeu?
A2: Ele tinha 112 e o problema
quer que eu descubra os números
que já estão aqui e faça o que ele
colocou na última caixinha e que
não está aqui.
Análise de acordo com Bruner
Encontramos, no diálogo do
aluno, as suas interpretações e
observações em relação à
correspondência de cada valor,
identificando a centralidade do
problema, ao contar que, para
resolver, deve procurar o valor da
quarta caixa.
P: Como iremos fazer? Qual é a
sua ideia para resolver o
problema? Você pode desenhar
ou registrar?
A2: Eu pego o quatro e (o aluno
fica olhando para atividade e
pensando).
P: Você que fazer primeiro para
depois explicar?
A2: Aqui tem que pegar o 112 e
dividir por 4.
Análise de acordo com
Vergnaud
O
aluno
apresenta
os
esquemas de numeração,
quando inicia a exposição de
sua tomada de decisão, mas
não
a
completa,
pois,
aparentemente,
ainda
tem
dúvidas sobre qual operação
deve realizar para solucionar o
problema.
Ao apresentar uma determinada
operação para a solução do
Logo, após o questionamento
do
pesquisador, o
aluno
99
problema, podemos destacar
uma característica do discurso
narrativo a designação de uma
disposição: por meio da leitura,
o
aluno
extrai
a
sua
interpretação. O fato de o aluno
apresentar a divisão como
solução para o problema pode ter
ocorrido
por
termos,
no
problema, o dado “quatro caixas”
que, por situações já vivenciadas
por ele em sala de aula, sugere a
realização da divisão.
P: Mas quanto que ele tem já?
A2: Ele tem no total 98.
P: 98?
A2: “Não”, ‘de todos os carrinhos
que tá aqui’.
P: Quanto que era a coleção dele
inicialmente?
A2: No começo era 112.
P: E o que ele fez com a coleção?
A2: Ele colocou em quatro caixas.
Na primeira ele colocou 42.
P: “Quanto ele colocou na
primeira”?
A2: Na primeira 45, na segunda
26 e na terceira 18. Ah, entendi.
(O aluno começa a registrar).
P: Quanto que é?
A2: 112 dividido por 4.
Conforme o pesquisador vai
conduzido os questionamentos, o
aluno vai acompanhando o
raciocínio, mas quando ele é
questionado, usa novamente o
teorema falso destacado acima,
apresentando outra característica
da narrativa em seu diálogo, o
desencadeamento
da
pressuposição.
apresenta, em sua explicação,
o quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, que é identificado
por questões que estão ligadas
ao seu raciocínio e às
operações que ele dispõe.
Quando ele apresenta a
operação de (divisão) como
uma possibilidade de resolução
para o problema, destacamos o
Teorema em Ação (falso): o
aluno realiza uma escolha que
não condiz com a resolução, ou
seja, são relações matemáticas
implícitas escolhidas por ele
que fazem parte dos seus
esquemas.
O aluno destaca a soma dos
números de carrinhos das três
caixas quando o pesquisador
pergunta para ele quanto João
já tem. O aluno não consegue
perceber ainda que não há a
necessidade de dividir o total da
coleção 112 por 4. Mas ele
reconhece que são 98 os
carrinhos que foram colocados
nas caixas.
Apresenta-se o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
novamente
destaca
o
argumento do tipo número,
quando este sugere a operação
de divisão (112:4), para solução
do problema.
P: De onde você tirou esses 98?
A2: Do total que deu de todos os
carrinhos da 1ª, 2ª e 3ª caixa.
P:
Você
fez
o
cálculo
mentalmente?
A2: É!
P: Como você faz o cálculo
mentalmente?
A2: Primeiro eu faço só os
primeiros números, depois o 20,
depois eu peguei o 40, e o 60, ai
depois eu peguei o 5..., não eu
peguei o 6, 67, 68
e ai eu
coloquei embaixo do 5 e mais 10
e mais 8.
Segundo
Bruner,
podemos
destacar neste diálogo uma das
características da narrativa a
Particularidade Genérica, em
que
o
aluno
apresenta
detalhadamente seus cálculos e
a sua maneira de organizá-los
mentalmente
por
meio
do
diálogo;
é
importante
destacarmos esse trecho, pois
ele nos leva à interpretação que
a aluno explicitou. Observamos,
também, a maneira pela qual o
aluno
realiza
os
cálculos
mentalmente e a sua explicação
de
como
os
estruturou.
Percebemos aqui a passagem do
Ao explicar como ele faz para
calcular
mentalmente,
encontramos em sua fala os
Esquema de numeração, que
são realizados por meio da
linguagem
(20,40,6...),
e
possibilidades de inferência
ao explicar o desenvolvimento
para o cálculo que realizou
mentalmente.
100
pensamento narrativo para o
pensamento lógico – científico,
uma vez que conseguimos notar
o raciocínio lógico do aluno.
A2: Deu 14.
P: Responde-me uma coisa, qual
foram as operações que você
utilizou
para
responder
o
problema?
A2: Mais.
P: Conta de mais. Conte-me
agora então como você pensou
para resolver o problema?
A2: Ah! Eu sempre pego os
primeiros números eu fiz peguei o
40 o 20 e o, 10 e deu 80, ai
peguei os outros números e deu
98, ai eu contei até 111.
P: “Quanto?”
A2: 112 e ai deu, 14. Ai, eu fiz a
conta de mais.
P: E quanto deu a resposta?
A2: 14.
P: O que o problema tá
perguntando?
A2: Quanto ele guardou na quarta
caixa?
P: Quanto foi então?
A2: 14.
Novamente o aluno apresenta a
particularidade
Genérica,
quando traduz, por meio do
diálogo, a forma como pensou
para
realizar
os
cálculos.
Destacamos esse trecho, pois o
aluno apresenta suas estratégias
para realizar o cálculo: ele pega
todas as dezenas e soma e
depois as unidades, realizando
agrupamentos.
O aluno explica o cálculo que
realizou para solucionar o
problema,
verbalizando
os
valores que utilizou para os
agrupamentos, destacando em
seu diálogo os Esquemas de
numeração.
Questionado pelo pesquisador, o
aluno busca no texto o que está
sendo
perguntado,
assim
extraindo o que é central, o que é
chamado por Bruner em uma
análise
de
narrativa
de
Centralidade do Problema.
6.1.3 Observações sobre o comportamento do aluno A2
Na leitura, o aluno apresenta uma pequena dificuldade. No início do
questionamento, fica em silêncio, olhando para a atividade, logo em seguida começa
a explicação, indicando com o lápis os dados do problema, num gesto de
acompanhamento do texto. Inicialmente o aluno apresenta como solução a operação
de divisão, mas o pesquisador vai questionando novamente até que ele estruture
todos os valores principais e resolva calculando mentalmente, apresentando apenas
o resultado final da conta. O pesquisador pede para que ele explique como realizou
o cálculo, então percebemos que o aluno tem uma grande facilidade para o cálculo
mental; em sua explicação, ele destaca a decomposição dos números por dezenas;
em alguns momentos, usa os dedos para auxiliar nos cálculos.
101
Aluno A3
Figura 7 - Resolução do problema pelo aluno A3
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno A3
P: Você vai ler o probleminha em
voz alta e ai você irá me contar o
que entendeu. Agora, conta para
mim o que você entendeu do
problema.
A3: Quase nada.
P: Não?
A3: Não, não.
P: Vamos pensar juntos! O
problema fala do que?
A3: Que o Luan tinha 112
carrinhos e ele guardou em 4
caixas, na primeira 45 e na
segunda 26 e na terceira 18 e na
última tem que descobrir.
Análise de acordo com Bruner
Nesta fala do aluno, percebemos
que, no primeiro momento, ele
não
identificou
as
correspondências dos valores,
não
conseguindo,
assim,
identificar a Centralidade do
Problema.
No momento que o pesquisador
propõe uma maneira de ajudar o
aluno a compreender o problema,
percebemos em seu diálogo um
dos aspectos da narrativa a
chamada,
por
Bruner,
Negociabilidade
Inerente
(2001), de maneira a conduzir o
aluno
a
esquematizar
as
estratégias para a solução do
problema.
Observamos,
na
resposta do aluno que, com o
questionamento do pesquisador,
ele consegue extrair do problema
o que é central, a Centralidade
Análise de acordo com
Vergnaud
102
do Problema.
P: E como a gente pode
descobrir? Eu sei quanto tem nas
três caixas e sei o valor da
coleção toda?
A3: Isso.
P: E como que eu posso
proceder?
A3: Você tem que ajuntar esse,
com esse e com esse.
P: Fala para mim o que é esse
com esse, com esse?
A3: 45, 26 e com mais 18.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
ligado ao raciocínio do aluno,
desenvolvido por meio de
cálculos
e
informações.
Destacamos aqui a palavra
“ajuntar”.
Mediante
aos
questionamentos
do
pesquisador o aluno consegue
organizar por etapas seus
esquemas de resoluções.
P: Isso, então faz!
A3: Pode fazer aqui?
P: Pode.
A3: (O aluno utiliza os dedos para
contagem). Na última caixa ele
colocou 89 carrinhos.
P: É isso mesmo? Você somou o
que aqui?
A3: 45, 26 e 18.
Observamos, por meio dos
gestos
dos
dedos,
os
Esquemas de numeração,
para o auxilio dos cálculos
realizados pelo aluno e o
número
pronunciado
do
resultado final da operação.
P: O que são esses valores? São
os valores do que?
A3: Do que ele guardou nas três
caixas.
P: Quando você somou esses
valores das três caixas, qual foi o
resultado que você achou?
A3: 89.
P: E esses 89, representa o que?
A3: O que ele guardou na quarta
caixa.
P: Esses valores não são os das
três caixas?
A3: Uhu!
P: Você somou, não somou?
A3: Uhu!
P: Então o valor que você achou e
referente ao que?
A3: O resto dos carrinhos que ele
colocou na quarta caixa.
P: “Na quarta caixa?” Se você
soma todos esses quatro valores
aqui, a primeira, a segunda, a
terceira e a quarta caixa, não tem
que dar 112?
A3: Uhu!
P: E vai dar 112 se você for somar
tudo?
A3: Pode fazer a conta aqui?
P: Pode. Faz aqui do lado.
A3: Não deu.
O pesquisador vai direcionando
os questionamentos na intenção
de verificar a compreensão que o
aluno tem quanto à operação que
realizou e o seu resultado.
Observamos no decorrer do
diálogo, que, para o aluno, o
resultado 89 da adição realizado
da composição das três caixas
era o valor da quarta caixa. Esse
diálogo apresenta um dos
elementos
da
narrativa:
composição hermenêutica.
P: Então, vamos pensar agora
novamente! Esses valores, são os
Novamente o aluno persiste na
interpretação de que 89 é o valor
O pesquisador questiona o aluno
quanto à sua interpretação
anterior, o que o leva a realizar a
conta para verificar se realmente
o que ele havia afirmado em sua
interpretação condiz com o valor
da coleção toda, ao compor
todos os valores. Percebemos a
negociabilidade inerente na
interação
pesquisador-aluno
como forma de conduzi-lo a
entender determinados conceitos
103
valores das três caixas, não é
isso?
A3: Uhu.
P: Quando eu somo esses valores
das três caixas, eu encontro 89. E
esses 89 representam o que?
A3: O que ele guardou na quarta
caixa. O resto dos carrinhos.
P: “Mas, como pode ser o valor da
quarta caixa!” Você não somou
das três caixas? Então esse valor
representa o que? A soma do
que? A soma dos carrinhos que
tem nas três caixas.
A3: É nas três caixas.
P: Não é da quarta caixa! Então
eu sei quantos carrinhos tem nas
três caixas, o total de carrinhos
que tem nas três caixas, que é 89.
A coleção dele não é 112?
A3: Uhu! (balança a cabeça que
sim).
P: Se eu sei o total da coleção e
eu sei o total de carrinhos que tem
nas três caixas, como eu posso
resolver o problema, para achar o
valor da quarta caixa?
A3: Eu acho que agora eu
entendi.
P: É! Então quais valores eu
tenho que usar?
A3: 45,26 e 18.
P: Então, ai você já fez, deu
quanto?
A3: Deu 89.
P: E ai o que eu faço agora?
A3: Ai eu vou pegar esse daqui e
diminuir com esse.
P: Quais são os valores?
A3: 45,26,18 e 89.
P: “Não!” Esse não é o valor das
três caixas?
A3: Uhu.
P: Quanto que é a coleção toda
do Luan?
A3: 112.
P: Se eu sei o valor das três
caixas e eu tenho o total da
coleção dele, quais são os valores
que eu tenho que usar para fazer
a subtração?
A3: 89, 45,26,18 e 89 não é?
P: Como você vai somar de novo,
se esses valores são o das três
caixas?
A3: Não faço à mínima ideia.
P: Vamos desenhar para ver? Faz
a primeira caixa. Quantos valores
tem na primeira caixa?
A3: 45.
P: Então coloca dentro do
quadradinho.
P: Agora desenha a segunda
caixa.
A3: 26.
P: A terceira.
A3: 18.
da quarta caixa. O pesquisador
questiona novamente em busca
de um entendimento para a
interpretação que o aluno dá para
o resultado encontrado. Neste
diálogo
encontramos
a
composição hermenêutica, que
possibilita,
por
meio
do
pensamento narrativo do aluno,
que o professor ou o pesquisador
realize observações quanto aos
significados que são atribuídos
para as perguntas que são
formuladas e apresente novas
direções para que o aluno
compreenda o que está sendo
estudado.
Verificamos que, por um longo
tempo de questionamento, o
pesquisador
usa
a
negociabilidade inerente na
intenção de que o aluno
compreenda o problema e
consiga identificar os valores que
devem
ser
usados
para
solucioná-lo. Percebemos que o
aluno não consegue interpretar o
problema
por
meio
dos
questionamentos e as retomadas
de condutas realizadas por ele.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
primeiro
componente de um esquema:
as metas e antecipações em
que
o
aluno
define
o
procedimento para a resolução
do problema; a soma das duas
caixas que resultou em 89
corresponde para o aluno o
valor dá quarta caixa.
O pesquisador procura outra
maneira de negociar com o
aluno, propondo uma forma de
esquematizar a situação do
problema por meio de um
desenho. O pesquisador vai
orientando
o
aluno
nesta
organização dos dados do
problema,
e
ele
vai
desencadeando a estruturação.
Neste trecho o pesquisador
sugere
ao
aluno
que
esquematize o problema, o que
é chamado pelo autor de
invariantes
operacionais
explícitos: por meio de um
diagrama, ou desenho o aluno
procura
compreender
a
estrutura do problema.
104
P: E a quarta caixa.
A3: 89.
P: Desenha a quarta caixa, ai.
Então, a primeira, com a segunda
e a terceira caixa, todos esses
carrinhos aqui dão.
A3: 89.
P: Toda essa coleção tem que dá.
A3: 112.
P: Eu preciso descobri qual é o
valor dessa quarta caixa, a última.
Se eu sei o valor das três caixas,
e eu sei a coleção toda, qual a
operação que eu tenho que fazer
e quais são os valores que eu
tenho que utilizar?
A3: Tem que usar esses, e.
P: Então esses aqui, você
somando deu quanto?
A3: 89.
P: Tá.
A3: É esse daqui eu acho que não
é o resultado.
P: Dá quarta caixa, né? “Não é o
resultado da quarta caixa”.
A3: Eu acho que tem que subtrair
todos esses das três caixas.
P: Mas porque, tem que subtrair?
A3: Tava na minha cabeça, e eu
esqueci.
P: Vamos pensar assim, são 112
carrinhos da coleção toda, desses
112, ele usou 89 carrinhos para
distribuir nessas três caixas, não
foi?
A3: Uhu!
P: Falta quanto ainda de carrinhos
para guardar na quarta caixa?
A3: Um! Tem que pegar esse
valor 89 e subtrair pelos 112?
P: Isso. Então quantos carrinhos
têm na quarta caixa?
A3: 23.
P: E agora para eu conferi para
ver se tá certo, o que eu faço?
A3: Você vai juntar tudo isso para
ver se deu 112.
P: Então vamos fazer?
O pesquisador busca, com o
questionamento, verificar se o
aluno apresenta os invariantes
operacionais
de
maneira
explicita, para verificar a
compreensão que o aluno está
tendo com a discussão.
O
aluno
mostra
para
o
pesquisador os valores que deve
usar, utilizando o desenho. É
importante destacarmos que, no
decorrer do diálogo, o próprio
aluno percebe que o valor 89 que
ele apresentava como valor da
quarta caixa, não conferia. A
partir daí, o aluno exibe a solução
correta, porém, não seguro do
que está falando em seu diálogo.
Encontramos características do
desencadeamento
da
pressuposição, indicada pelas
palavras “acho” e “esqueci”.
Essas pressuposições podem
levar o aluno à anulação de sua
interpretação,
sendo
ela
verdadeira ou falsa.
Aqui
temos
o
quarto
componente de um esquema as
possibilidades de inferências:
o aluno apresenta os cálculos,
as informações e os invariantes
operacionais que ele dispõe.
Em seu diálogo, percebemos
um Teorema em Ação (falso),
ou seja, são as relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas e que não condizem
com a resolução do problema.
Por meio do diálogo, o aluno
apresenta uma tomada de
decisão;
nessa
narrativa
observamos a particularidade
genérica. Por mais que o aluno
tenha feito um questionamento,
observamos
que
o
aluno
apresenta a solução correta.
O pesquisador induz o aluno a
realizar uma prova real, para
conferir o resultado. Quando
questionado, rapidamente o
aluno explica como conduzir
essa operação de verificação.
Em sua fala observamos um
invariante
do
tipo
<<argumentos>>:
ele
exemplifica, com suas palavras,
como deve proceder ao cálculo,
apresentando um conceito em
105
ação.
A3: Uhu. (o aluno utiliza os dedos
para a contagem). Tá certo.
Esquema
de
numeração:
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
6.1.4 Observações sobre o comportamento do aluno A3
O aluno realiza a leitura em voz alta e durante todos os questionamentos se
percebia, em suas expressões faciais que estava buscando maneiras de obter a
resposta correta do problema. Nas explicações, o aluno sempre apontava os valores
que estavam no problema. O aluno utilizava os dedos para efetuar as operações.
Após uma longa discussão e direcionamento do pesquisador, o aluno conseguiu
compreender a solução por meio de um esquema representativo do problema; ao
final ele realiza a soma de todas as caixas, proposta esta sugerida pelo pesquisador
para verificar a correção do valor encontrado.
6.1.5 Síntese Geral dos alunos do Grupo 1 – Campo Aditivo
Observa-se no diálogo do aluno A1, em sua explicação inicial, a
interpretação que teve após a leitura, destacando os valores que deveriam ser
usados. O aluno apresenta o que é central no problema (a pergunta que deve ser
respondida), isso é uma característica que encontramos nas narrativas caracterizada
por Bruner (2001) como a centralidade do problema; a centralidade pode ser
ligada com os conceitos em ação de Vergnaud (1998), nos quais o aluno busca as
informações que devem ser levantadas por meio da sua interpretação. Esse tipo de
característica destacou-se também no aluno A2; já com o aluno A3, após a leitura
ele não soube explicar o que deveria ser encontrado no problema, o pesquisador
precisou conduzi-lo por meio dos questionamentos para que encontrasse a questão
central. Outro ponto é a particularidade genérica que aparece no momento em que
o aluno está explicando a solução do problema. Neste caso, o aluno A1
imediatamente apresenta a solução e o aluno A2 apresenta a operação de divisão
como uma possibilidade de solução para o problema. Identificamos como um
teorema em ação (falso), mas o que levou o aluno a sugerir tal operação?
Percebemos que o enunciado não apresenta um indicativo imediato de resolução e
106
esse problema apresenta um grau de dificuldade alto, porque envolve mais de uma
operação e o valor 4, que se refere ao número de caixas, é que pode confundir os
alunos, que poderão tentar utilizá-lo nos cálculos, como no caso do aluno A2, que
sugeriu o “valor total da coleção dividido por 4”. O aluno A3 não conseguiu resolver o
problema imediatamente, o pesquisador teve que conduzi-lo de outra maneira,
propondo uma esquematização dos dados do problema por meio de um desenho,
apresentando um tipo de invariante operacional explícito, para que, por meio do
desenho, o aluno organizasse seus pensamentos frente à resolução do problema.
Segundo Vergnaud, (1998) identificamos nas estratégias dos alunos A1, A2 e A3 e
em suas explicações os esquemas de enumeração, quando estes começam a
realizar os cálculos e utilizam os dedos, a coordenação dos movimentos como olhos
e gestos com os dedos como auxilio para a resolução; verificamos também os
componentes de um esquema das regras de ação, busca de informações e
controle dos resultados em ação em que o diálogo do aluno apresentou
“se...então”, e as possibilidades de inferência que são as questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno e que são desenvolvidas por cálculos, informações
levantas por eles. Os tipos de invariantes operacionais do tipo de argumentação,
que seriam as relações dos cálculos numéricos, (89 subtrair de 112; 112:4; somar as
três caixas) também são identificados. Chamamos a atenção para a observação de
como os alunos vão desencadeando, passo a passo, a resolução do problema e os
modos do pensamento, que são utilizados (narrativo e lógico - científico)
favorecendo a passagem do cálculo numérico para o cálculo escrito e o próprio
entendimento das suas próprias interpretações.
6.1.6 Análise do Grupo 1 (Individual): Problema do campo multiplicativo
O problema proposto para os alunos etapa que envolve as estruturas
multiplicativas apresenta-se no quadro 21. Esse problema é uma adaptação de
(VERGNAUD, 2009, p.254) que segue o Raciocínio Combinatório, e é classificado
como um problema que trata de PRODUTOS DE MEDIDA, segundo Vergnaud
(2009), no qual aparecem relações terciárias.
107
Objetivo do problema: Este problema teve como objetivo verificar os conceitos
estabelecidos do “raciocínio combinatório” que os alunos possuem.
Quadro 20 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 1
Fonte: Vergnaud, 2009, p.254
Aluno A4
Figura 8 - Resolução do problema pelo aluno A4
Fonte: Acervo pessoal
108
Transcrição da fala do Aluno A4
P: Você vai ler o probleminha em
voz alta e ai você vai explicar para
mim.
A4: (A aluno faz a leitura em
silêncio).
P: O que você entendeu?
A4: Eu entendi que eu tenho que
fazer dessas 5 saias e 4 blusas
que ela tem que fazer conjunto
que combine.
Análise de acordo com Bruner
Analisando a explicação do aluno
podemos perceber que ele sabe
o que deve ser feito. Por meio
das características apresentadas
em seu diálogo como “conjunto”,
“combine” e a identificação das
correspondências de cada valor,
percebe-se
que
o
aluno
encontrou o que é central no
texto, o que chamamos de a
centralidade do problema.
P: E como podemos resolver?
A4: É para escrever?
P: Não, pode desenhar também,
depois a gente vê que operação
pode representar isso.
A4: A saia ela tem azul, verde
preta e rosa e vermelha, e blusa
ela
tem
branca,
vermelha,
amarela e rosa.
P: Se você quiser pode escrever
também.
A4: Ela pode pegar a blusa
branca e fazer com a rosa, com a
roxa com a azul com a preta e a
verde.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente dos esquemas, as
metas e antecipações: em que
o aluno define, ao realizar a
leitura
do
problema,
o
procedimento para a resolução.
Quando o aluno pergunta se
pode escrever, o pesquisador
dá a opção para o aluno
representar o problema por
meio de um desenho, na
intenção de
observar
os
invariantes
operacionais
explícitos.
Encontramos
aqui
a
Particularidade
Genérica:
percebemos,
por
meio
da
narrativa, quais as estratégias
que o aluno está utilizando para
resolver o problema.
P: E como a gente pode
representar isso? E no final ele
quer saber o que? O total, de
quantas maneiras ela pode
combinar todas as camisas com
essas saias.
A4: Isso, a gente pode escrever e
fazer quanto que dá, e depois ver.
P: Então, ta.
A4: (o aluno começa a realizar os
cálculos e de repente ele pede
para fazer um quadro) Pode fazer
um quadrinho?
P: Pode. (O aluno vai realizando
os cálculos e falando em voz alta,
de maneira à estrutura o seu
esquema de solução).
A4: É que eu não sou muito boa
para isso. Eu não sou muito boa
para combinar.
P: Não precisa combinar as cores.
Você ta combinando as cores?
A4: É.
Análise de acordo com
Vergnaud
Neste momento, o aluno
apresenta
uma
tabela
cartesiana;
esse
tipo
de
procedimento, realizado por ele,
é evidenciado pelo autor como
invariantes
operacionais
explícitos, que podem ser
expressos, neste caso, por um
diagrama para compor a
solução do problema pelo.
Neste trecho, percebemos que o
aluno, ao interpretar a palavra
“combinação” do texto, se remete
a um significado do cotidiano,
sendo que a palavra no texto se
refere à ideia de “raciocínio
combinatório”. Em sua fala,
expõe o entendimento que teve
na
sua
leitura.
Esse
109
P: Ela tem 5 saias e 4 blusas, ela
quer combinar independente das
cores ou não.
A4: Então e que não sou muito
boa de combinar.
P: Que nem, por exemplo, você
pode pegar essa blusa verde, e
ela pode usar de quantas
maneiras com as saias?
A4: Com 5.
P: E a branca.
A4: Com 5, hum. É que tem que
combinar, né, tudo a roxa e a
vermelha.
desencadeamento no diálogo, se
remete ao aspecto da narrativa
chamado
de
Composição
Hermenêutica.
Mesmo com afirmação do
pesquisador em sua fala, as
respostas mostram que a aluno
ainda não compreendeu o
significado
da
palavra
“combinação”
no
texto.
A
pesquisadora
faz
o
questionamento, então o aluno,
aparentemente, demonstra que
compreendeu a função da
palavra “combinação” no texto,
chamamos isso de Ambiguidade
de referência.
Podemos destacar no diálogo a
Designação de uma disposição
– característica do Discurso
Narrativo, que explica que, na
interpretação da leitura, o sujeito
pode apresentar determinado
significado pelos conhecimentos
pré-estabelecidos ou por alguma
experiência que o sujeito já tenha
passado, podendo prejudicá-lo
ou não na resolução do
problema.
Também
destacamos
nessa
narrativa o desencadeamento
da pressuposição: o aluno toma
como verdade que a palavra
“combinação”
sugere
neste
contexto a ideia de combinar
cores, objetos entre outros, e não
se remete à ideia do conceito de
“raciocínio combinatório”.
P: Explica para mim aqui, o que
você fez?
A4: Aqui é as blusas.
P: Essa blusa qual que é?
A4: É a branca.
P: Você combinou com o que?
A4: Rosa, azul, verde, preta e a
vermelha.
P: Quantas têm aqui? 1, 2, 3, 4 ,
5. Ai aqui o que é?
A4: É a blusa vermelha.
P: Blusa vermelha... Ai você vai
combinar com rosa.
A4: e vermelho.
P: Porque só com rosa e
vermelho?
A4: Porque é as cores que
combina mais.
P: Então, mais aqui o probleminha
não está falando de combinar as
cores, pode ser qualquer cor.
A4: Uhum.
P: A branca você colocou, com
todas as cores, a verde você
também pode colocar com todas
as cores entendeu?
Neste trecho do diálogo, temos
os invariantes operacionais do
tipo
<<argumentos>>
referentes aos objetos do
enunciado como, por exemplo,
(a combinação da blusa com as
cores, a quantidade de blusas e
sais que estão disponíveis).
Dentre
os
argumentos
apresentados
pelo
aluno
percebemos que este ainda não
ressignificou
a
palavra
“combinação”
Nesta outra parte observamos
que o aluno não compreendeu
ainda o significado da palavra
“combinação” no texto. Ele torna
a dizer que a combinação que
está sugerindo é por cores.
Novamente temos aqui, a
ambiguidade de referência, o
pesquisador o questiona de novo,
fazendo com que ele acompanhe
o raciocínio, até que o mesmo
110
compreenda o significado
palavra “combinação”.
A4: Ela pode combinar com 21.
P: Com 21?
A4: Ai, como é o nome. Ela pode
combinar com 21 maneiras.
P: De 21 maneiras?
A4: É!
P: Vamos ver então... Se tá certo
o rosa.
A4: 1,2,3,4,5
P: E aqui?
A4: Com 5
P: E aqui?
A4: Com 5
P: E esse?
A4: 5
P: Então, temos 5 com mais 5?
A4: 10.
P: Com mais 5?
A4: 40.
P: “40”?
A4: Pera ai? Eu errei. 5, 10,
15,20.
P:
Como
que
eu
posso
representar esses 20 em uma
operação?
A4: Há, uma continha.
P: É.
A4: Tem que dá 20?
P: Como eu posso pensar? Eu
tenho 4 camisetas e 5 saias.
A4: Eu posso fazer 4 vezes 5.
P: Então, faz aí.
A4: 20.
P: Entendeu agora?
A4: (Balança a cabeça que sim).
P: Toda vez que eu tenho um
problema de combinação eu pego
as duas quantidades que eu tenho
e multiplico uma pela outra e ai eu
fico sabendo. Tá certo?
A4: Umm!
da
Encontramos nessa Transcrição
do diálogo do aluno a Passagem
do Pensamento Narrativo para
o
Pensamento
Lógico
–
Científico, proporcionando uma
reflexão, auxiliando a elaboração
dos seus esquemas para a
resolução, dando um novo
sentido à situação.
Por meio do diálogo observamos
a estruturação do cálculo feito
pelo aluno, o que remete à
passagem
do
Pensamento
Narrativo para o Pensamento
Lógico – Científico.
Neste trecho do diálogo temos
o Esquema de numeração,
que
é
observável
na
verbalização do aluno, referente
à pronúncia dos números e
operações,
quando
este
responde as perguntas do
pesquisador,
que
tem
a
intenção de fazer com que o
aluno interprete a estrutura do
problema para solucioná-lo.
Destacamos a contagem do
aluno realizando-a de 5 em 5.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
que é identificado por questões
que estão ligadas ao seu
raciocínio e às operações que
ele dispõe.
6.1.7 Observações sobre o comportamento do aluno A4
O aluno realizou a leitura em silêncio, bem devagar; quando questionado
participou ativamente da discussão, perguntando e explicitando suas interpretações,
como por exemplo, em relação à palavra “combinar”. Partiu do próprio aluno a
iniciativa de fazer a tabela para a distribuição das blusas e saias, que, de acordo
com Vergnaud (2009), é chamada de tabela cartesiana. O aluno, no momento da
resolução, se manifestava em voz alta; esse tipo de comportamento indicou a
maneira utilizada para a organização dos esquemas em busca da solução.
111
Aluno A5
Figura 9 - Resolução do problema pelo aluno A5
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno A5
P: Você vai ler o probleminha para
mim em voz alta, tá? Agora, conta
para mim o que você entendeu do
probleminha; a história.
A5: Tem que pegar uma camisa
uma saia, e depois vê quantos
diferentes conjuntos dão.
P: Isso. É como a gente pode
resolver esse problema?
A5: Não, sei! Se ela tem 5 saia e
4 camisetas, ela pode pega uma
camiseta usar com as saias,
depois pegar outra e usar com as
saias que vai dar diferente.
P: Então, faz ai, se você quiser
desenhar para representar e ficar
mais fácil pode? A pergunta do
probleminha é qual? Ele quer
saber o que?
A5:
De
quantas
maneiras
diferentes ela pode se vestir? Eu
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Nesta fala do aluno, percebemos
que ele conseguiu identificar os
objetos
que
deveriam
ser
trabalhados, assim identificando
a Centralidade do Problema.
Ao explicar o que entendeu do
probleminha, o aluno apresenta
os
invariantes
do
tipo
<<argumentos>>
representados pelos objetos
“camisa” e “saia”; no trecho
seguinte, começa a relacionar
esses argumentos disponíveis
no
enunciado
em
forma
numérica, estruturando sua
tomada de decisão.
Logo após o aluno declara não
saber como resolver, começa
descrever seus pensamentos em
relação às tomadas de decisões,
sugerindo uma solução para o
problema; chamamos isso de
Particularidade Genérica, em
que o aluno observa os detalhes
extraídos do texto, apresentandoos pela forma de contar.
O
aluno
Centralidade
apresenta
a
do Problema,
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
112
acho que são 20.
P: Que operação que a gente
pode representar?
A5: Não sei.
P: Conta para mim como você fez
para chegar no 20?
A5: Uma camiseta com cada saia
vai dar 5 combinações, mais 5 da
10, e só fazendo isso.
P: Tá, então vamos tentar
representar.
A5: Como eu faço? (aluno,
pensando em sua representação).
P: Com qual operação eu posso
representar?
A5: Divisão?
P: E ai como eu chego no 20 com
a divisão?
A5: Não sei.
P: Vamos tentar desenhar?
A5: Uhu!
P: Vamos tentar representar a
camisa por um X e a saia por uma
bolinha. Então você tem uma
camisa que você falou e ela vai
usar quantas saias com essa
camisa? Ai você coloca a
quantidade de bolinhas
A5: 4 x 5?
P: Isso pode colocar ai. Certinho.
quando o professor o questiona e
logo em seguida, ele apresenta a
resposta final do problema,
porém não destacando como fez
para se chegar ao valor 20.
Caracterizamos esse trecho do
diálogo do aluno de Composição
hermenêutica,
pois
conseguimos identificar aqui a
estratégia utilizada por ele para
chegar à resposta final. É
evidente também que, por meio
da linguagem, o seu raciocínio
lógico
se
torna
efetivo,
demonstrando a Passagem do
Pensamento Narrativo para o
Pensamento
Lógico
–
Científico, quando descreve
passo a passo o seu pensamento
e a sua estratégia de resolução.
Mediante a resposta do aluno o
pesquisador resolve indagá-lo,
quanto à representação dos 20
por uma divisão. Temos neste
ponto
a
composição
hermenêutica, em que na
interação do pesquisador com o
aluno,
tenta
explicitar
a
interpretação e as estratégias
que o levaram a escolher a
operação de divisão.
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
ligado
ao
raciocínio
desenvolvido pelo aluno por
meio de cálculos e informações
que ele utiliza e de sua
interpretação
referente
à
situação.
Novamente temos aqui o quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
o aluno busca, em sua estrutura
mental,
detalhes
dos
procedimentos
do
cálculo
realizado por ele.
Perguntado
sobre
qual
operação poderia representar a
sua estratégia acima, o aluno
não sabe dizer, então escolhe a
operação
de
divisão,
apresentando um Teorema em
ação (falso), destacando um
invariante
implícito.
Neste
trecho não sabemos explicar ou
até mesmo sugerir o motivo da
escolha
do
aluno
pela
operação.
Neste momento, o pesquisador
sugere ao aluno para tentar
representar a situação do
problema por meio de um
diagrama, e vai dirigindo; o
autor
chama
isso
de
Invariantes
operacionais
explícitos, por serem expressos
por diagramas para compor a
solução do problema pelo
aluno.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, que seria a operação
de multiplicação (4x5).
113
6.1.8 Observações sobre o comportamento do aluno A5
O aluno, após a realização da leitura, conseguiu entender a ideia central do
problema e mentalmente o resolveu; porém, apresentou dificuldade em escrever a
sentença matemática que correspondente ao valor encontrado por ele e não soube
explicar a sua escolha. O pesquisador então sugere que ele realize um desenho; o
aluno segue a sugestão, e, ao término do desenho, descobre a operação que
representaria o resultado achado por ele mentalmente.
Aluno A6
Figura 10 - Resolução do problema pelo aluno A6
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno A6
P: Você vai fazer a leitura em voz
alta e depois você irá me explicar
como a gente pode resolver esse
problema.
A6: Tá!
P: E ai o que você entendeu do
problema?
A6: Não entendi quase nada.
P: O que você entendeu?
A6: Que tem que descobrir para
ela usar uma roupa diferente.
Análise de acordo com Bruner
Percebemos
que
o
aluno
apresenta dúvidas quando o
pesquisador o questiona, mas ao
ser questionado novamente ele
demonstra
que
conseguiu
identificar as correspondências
de cada valor, conseguindo
Análise de acordo com
Vergnaud
114
identificar a
problema.
centralidade
do
P: E como que a gente pode
resolver isso?
A6: 5 x 4 ?
P: Então faz no papel. Agora
explica para mim porque você
resolveu fazer 5x4?
A6: Eu não sei como explicar.
P: Porque você escolheu o 5?
A6: (O aluno fica pensando).
P: Quem tá representando o 5?
A6: A saia.
P: A saia. E o 4?
A6: As blusas.
P: As blusas. E o que você
pensou para fazer a combinação?
Sem pensar nos números.
A6: Nada.
P: Para poder dar 20?
A6: Umm. Não faço a mínima
ideia.
P: Porque você escolheu a
multiplicação?
A6: Porque eu acho que é assim.
P: É! Por que você acha?
A6: Não sei como explicar.
P: Tem uma forma de você
representar por desenho? Essa
operação que você fez?
A6: Tem! Mas eu não sou muito fã
de desenhar assim, e eu também
não lembro muito bem como é, eu
prefiro fazer de continha que é
melhor para mim.
P: Vamos pensar assim! Em vez
de você desenhar a blusa a gente
representa por um X e as saias
por uma O (bolinha). Tá bom?
A6: Uhu!
P: Vamos pensar em você no seu
dia a dia. Você tem lá... lógico que
você não vai usar saia. Vamos
supor que você tem quatro
bermudas, aliás, você tem 5
bermudas e ai você tem 4
camisas, então você quer usar
essas quatro camisas.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>
segundo o qual, por meio do
diálogo, o aluno apresenta o
argumento do tipo número, em
que seria a operação de
multiplicação
(5
x
4),
apresentando sua estratégia de
resolução.
Neste instante o pesquisador
pede para que o aluno explique a
operação escolhida para a
resolução, para identificar as
estratégias, interpretações e
como este atribuiu o significado
aos conceitos apresentados no
enunciado. Quando isso ocorre
no diálogo, é chamado de
composição hermenêutica.
O aluno não consegue explicar o
porquê da escolha da operação,
porém, quando o pesquisador
pergunta sobre os valores, ele
sabe dizer o que representam no
enunciado do problema.
O pesquisador questiona o aluno
para explicar o motivo da escolha
da multiplicação; quando este
responde, encontramos uma das
características
do
discurso
narrativo, o desencadeamento
da pressuposição “eu acho”;
tais pressuposições podem levar
a anulação de sua interpretação,
por não conseguir identificar as
concepções dos significados
atribuídos por ele.
Neste momento, o pesquisador
sugere ao aluno para tentar
representar a situação do
problema por meio de um
diagrama que ele vai dirigindo;
o autor chama isso de
Invariantes
operacionais
explícitos, por ser expresso por
diagramas para compor a
solução do problema pelo
aluno;
os
Invariantes
operacionais
do
tipo
<<argumentos>>
são
115
A6: Já sei, já sei.
P: Já?
A6: Já, vai ajuntar esses 5 com
mais esses 4.
P: Mais?
A6: É.
P: Não, vamos fazer no desenho.
Vamos supor que você tem uma
camisa que é x, desenha 5 x. A
primeira camisa de quantas
maneiras você pode usar a sua
bermuda? O x aqui é o que?
A6: x é a bermuda.
P: Tá você fez ao contrário. Então
vamos pensar, vamos supor que a
primeira bermuda seja a azul,
certo?
A6: Certo!
P: E ai você tem quatro
camisetas, como você pode usar
isso? De quantas maneiras
diferentes você pode usar essa
bermuda
azul,
com
essas
camisetas?
A6: Varias.
P: Como, varias?
A6: Eu posso usar essas 3.
P: Porque essas 3?
A6: Porque combina a cor.
P: Não, não é para combinar cor,
não tem combinação de cor. Você
vai poder usar qualquer cor. Ai
seria de quantas maneiras?
A6: Com quatro, com a vermelha,
a amarela, a verde e a azul.
P: Vamos colocar uma bolinha em
baixo da primeira? Coloca uma
em baixo da outra, uma, duas,
três e quatro. Não, dessa aqui, da
primeira bermuda. Você vai
colocar aqui em baixo, tá?
A6: Tá.
P: Agora você vai pegar outra
bermuda, de quantas maneiras
você pode usar com essas
camisetas aqui? A outra bermuda.
A6: Quatro.
P: Então põe ai. E a terceira
bermuda?
A6: Quatro.
P: E a quarta bermuda?
A6: Quatro.
P: Isso, ai agora tenta explicar
para mim o porquê que você fez 5
x 4=20, pelo desenho aqui. O que
tem de comum na operação?
A6: Pode contar?
P: Pode.
A6: Eu conto o x também ou só as
bermudas?
P: Só as bermudas.
A6: Deu certo 20.
P: E agora você consegue
explicar para mim porque que
identificados na representação
como
objetos
matemáticos
(camisas e bermudas).
Observamos que o aluno se
remete ao significado da palavra
“combinação”, no texto, como
uma maneira de combinar as
cores.
Temos
aqui,
a
Ambiguidade de referência, o
pesquisador explica que a
palavra combinação não se
refere ao que ele está pensando.
116
você fez 5 x4
A6: Ainda não sei como explicar.
P: Um.
A6: Não sei.
P: O 20 deu por quê? Você
consegue explicar o 20? Essas
bolinhas que você contou o que
são?
A6: São as camisetas.
P: Tá são as camisetas. Não é
isso?
A6: Uhu.
P: A possibilidade de camisetas
que você pode usar com que?
A6: Com as bermudas.
P: Então quantas bermudas eu
tenho?
A6: 5.
P: E quantas camisetas eu tenho?
A6: 4.
P: Então quando eu faço essa
combinação, eu tenho quanto?
A6: 20.
P: Entendeu agora?
A6: (O aluno balançou a cabeça
em sinal de sim).
P: Entendeu, mesmo? Então
explica para mim?
A6: Não muito, né? Mais
P: Quando você tem um
probleminha
de
combinação
Então você quer combinar suas
roupas,
você
não
está
combinando cor, não importa a
cor, tá?
A6: Uhu.
P: Então você tem lá, por
exemplo, vamos supor você tem 3
bermudas e duas camisetas, de
quantas maneiras você pode usar
essas 3 bermudas com essas
duas camisetas?
A6: Pera ai, explica de novo.
P: Você tem 3 bermudas e 2
camisetas, de quantas maneiras
você pode usar? As três
bermudas e as duas camisetas?
A6: De dois jeitos.
P: De dois jeitos?
A6: Não quatro.
P: Você tem três camisetas, alias
escreve ai, três bermudas e duas
camisetas.
A6: Aqui em baixo?
P: É. De quantas maneiras você
pode usar essas duas camisetas e
essas três bermudas?
A6: 5 maneiras.
P: “Porque 5?”
A6: Por que não duas maneiras.
P: Quantas combinações você
pode ter ai?
A6: Não sei.
P: Aqui você não fez 4 camisetas
e 5 saias? Agora aqui, você tem
três bermudas e duas camisetas.
Como você faria?
117
A6: Não sei não.
P: Aqui você somou?
A6: Eu usei o quatro e o cinco.
P:
Porque
você
usou
multiplicação?
A6: Não sei.
P: Quando você fez o esquema
aqui, você não contou os 20.
A6: Uhu.
P: Faz aqui a mesma coisa.
A6: Da bolinha?
P: É, mais agora você tem três
bermudas e duas camisetas. Põe
assim as bermudas de (x) e as
camisetas (o) bolinhas. Quantas
camisas você pode usar com a
primeira bermuda?
A6: Uma camisa, e duas.
P: Não você vai colocar uma em
baixo da outra.
A6: E as outras duas, e a outra
também.
P: Agora de quantas maneiras
você pode usar?
A6: 6.
P: E que operação eu posso
representar isso?
A6: Mais.
P: Mais? Como você pode
representar com mais?
A6: (o aluno fica pensando em
silêncio).
P: A resposta é 6, não e isso que
você falou?
A6: É.
P: Se eu tenho 3 bermudas e 2
camisetas, como eu posso
representar essa operação?
A6: Não sei.
P: Você representou, aqui!
A6: De vezes.
P: Como pode ser? Esse 5 e o
que?
A6: Saias.
P: Quatro é o que?
A6: Camisas.
P: Então, agora é aqui?
A6: 3 bermudas e 2 camisetas
P:Então
como
eu
posso
representar?
A6: Não sei.
P:
Representar
da
mesma
maneira que aqui.
A6: 5 x 4?
P: Não, você tem quantas
bermudas?
A6: é 3 x 2?
P: Isso.
A6: 6.
P: Você entendeu agora?
A6: Uh.
P: Então toda vez que eu quero
saber a combinação de alguma
coisa, ou que eu tenha que
combinar com algo, eu sempre
pego a quantidade que eu tenho e
multiplico pela outra quantidade.
Em seu diálogo percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno, que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
118
Entendeu?
A6: Entendi.
P: Ai quando eu faço esse
desenho que e essa combinação
eu consigo saber a quantidade
final, entendeu mesmo?
A6: Entendi.
6.1.9 Observações sobre o comportamento do aluno A6
O aluno, ao ler o problema, rapidamente sugeriu o cálculo correto, porém
não soube, por um longo período da discussão, esclarecer o motivo da sua escolha
e explicar o significado do resultado final de seu cálculo. O diagrama foi sugerido
pelo pesquisador para verificar se o aluno conseguia observar características que
pudessem levá-lo à explicação da escolha da sua operação. O pesquisador levou
um tempo razoável para que o aluno pudesse compreender porque realizar a
operação de multiplicação, no caso deste problema. Pelos diálogos, observamos
que o aluno, por si só, não conseguiu explicar, por um bom tempo percebemos a
repetição de seu raciocínio. Há a possibilidade de que o aluno tenha tido contato
com outro aluno e este informado a operação e os valores (observo que este
problema foi aplicado no mesmo dia para todos os alunos). Porém, a todo o
momento, o aluno apresenta interesse em entender o que esta sendo perguntado a
ele, e, ao final da conversa, demonstra cansaço em relação aos questionamentos.
6.1.10 Síntese Geral dos alunos do Grupo 1 – Campo Multiplicativo
Neste problema de multiplicação os alunos A4 e A5, em seus diálogos,
caracterizaram a centralidade do problema logo após a leitura, mostrando
compreensão no que precisaria ser solucionado e a relação dos objetos
matemáticos (saias e blusas) e valores numéricos (5 e 4) que deveriam usar para
resolver o problema. Já o aluno A6, no primeiro momento não obteve sucesso em
identificar as informações e a questão central, ele apresentou dúvidas quando foi
questionado pelo pesquisador, porém foi o único que inicialmente exibiu a operação
de multiplicação (4x5) e, como primeira solução, mas não soube explicar o porquê.
Como notamos na observação do comportamento deste aluno, este poderia ter tido
algum contato com outro aluno. Destacamos, na resolução do aluno A4, o esquema
119
que este utilizou, uma (tabela cartesiana) para esquematizar os conjuntos,
apresentando os invariantes operacionais explícitos que são identificados quando
encontramos na solução, esquemas como desenhos ou diagramas para ajudar na
resolução. Os alunos A5 e A6 realizaram os esquemas que foram sugeridos pelo
pesquisador que conduzem o diálogo, temos aí a negociabilidade inerente entre
pesquisador e aluno. O aluno A5, logo após a construção do esquema, percebeu a
relação da operação de multiplicação com o resultado (20), que havia encontrado
inicialmente. Já o aluno A6, mesmo com os esquemas realizados e vários
questionamentos seguidos de exemplos, demorou a perceber a relação da operação
de multiplicação na compreensão do problema. Um fato que ocorreu e que não
esperávamos, foi o significado que os alunos atribuíram para a palavra
“combinação”: isto ocorreu com os alunos A4 e A6, que, em seus diálogos,
apresentaram a ambiguidade de referencia, que não está ligada somente ao
significado da palavra, mas em relação aos questionamentos e suas reações ao
atribuir uma nova denotação a palavra “combinação”. A definição atribuída por eles à
palavra combinação trazia a ideia de combinar (cores, roupas e objetos) enquanto,
no enunciado do problema, a palavra tinha o efeito de estabelecer um par. Podemos
nos
referir
a
esse
fato
também
como
sendo
uma
característica
do
desencadeamento da pressuposição: os alunos tomam como verdadeiro o
significado atribuído por eles e não se remetem à ideia do conceito de “raciocínio
combinatório”. Mas, no decorrer do questionamento, os alunos conseguiram
ressignificar a ideia da palavra “combinação”. Nos diálogos dos três alunos
encontramos as tomadas de decisões que são as particularidades genéricas a
composição hermenêutica: podemos observar as interpretações e estratégias
utilizadas por eles no momento das resoluções e representações dessas, pela
escrita matemática. No procedimento dos cálculos destacaram os esquemas de
numeração que são apresentados por gestos, ou por meio da linguagem e os
componentes de um esquema: a possibilidade de inferência, que são
observáveis por meio dos cálculos e das informações originadas por eles. Todos
esses elementos destacados são os que dão sentindo à nossa investigação, para
compreendermos os meios utilizados pelos alunos, os caminhos que eles tomam
para resolver situações que lhe são propostas, bem como a interação dos modos de
pensamento (narrativo e lógico - científico).
120
6.2 Atividade Dupla: 2ª ETAPA
6.2.1 Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo aditivo
Nesta segunda etapa os alunos trabalharam em dupla na solução do
problema descrito no quadro 22. O problema encontra-se na 4º CATEGORIA,
sugerida por Vergnaud (2009, p.204). Este tipo de problema se remete a duas
transformações que se compõem para resultar em outra transformação.
Objetivo: Observar se o aluno percebe que, mesmo não tendo o valor inicial e nem o final, o
problema pode ser resolvido apenas com as transformações dadas por meio de uma
subtração.
Quadro 21 - Problema do Campo Aditivo aplicado para o Grupo 2
Fonte: Adaptação do livro Repensando Adição e Subtração. (Magina,2008,p.52)
Aluno B1 e Aluno B2
Figura 11- Resolução do problema pela dupla B1 e B2
Fonte: Acervo pessoal
121
Transcrição das falas dos
Alunos B1 e B2
P: Bom, o que vocês vão fazer
vão ler esse probleminha aqui em
silêncio, ai depois vocês vão me
contar, e depois, juntos, vão tentar
achar uma solução para resolver
isso aqui e achar uma resposta.
B2: Acabei.
P: Pronto? E ai conta para mim
então?
B1: Tinha uma certa quantidade
de carrinhos da Hotweels, e
ganhou 5 da sua tia.
B2: E deu 3 para o colega.
B1: E deixou 3 para.
B2: Rodrigo.
P: Para o primo. E ai o que ele
quer saber?
B1: Com quantos carrinhos a
mais ficou a coleção de Rodrigo.
P: E ai como a gente pode fazer
para descobrir? Quantos vocês
acham que ficou a mais a
coleção?
B2: 10? Em sua coleção tinha
uma
certa
quantidade
de
carrinhos da hotweels ele ganhou
5 da sua tia e deu 3 carrinhos de
sua coleção para seu primo. Com
quantos carrinhos a mais ficou a
coleção de Rodrigo?
P: E ai.
B1: Primeiro a gente tem que
saber o valor que ele tinha e
depois somar mais 5.
Análise de acordo com Bruner
Os alunos realizam a explicação
do problema, apresentando as
informações contidas no texto.
Neste trecho do diálogo dos
alunos
encontramos
a
particularidade genérica, que
nos remete às interpretações e
características apresentadas por
eles.
O aluno B1 consegue, por meio
da
leitura,
realizar
a
interpretação, identificar o que
deve ser resolvido. Chamamos
isso,
na
narrativa,
a
Centralidade do Problema.
Após um tempo de discussão, o
aluno B2 começa a compreender
a questão central do problema o
que chamamos também de
Centralidade do problema, em
que ele apresenta a questão
norteadora.
Ao expor sua estratégia para a
resolução do problema, o aluno
apresenta
uma
das
características da narrativa, o
desencadeamento
da
pressuposição: apresenta uma
solução
para
o
problema,
seguida das suas estratégias.
P: E que valor que ele tinha?
B2: Uma certa.
B1: Ai a gente tem que somar
algum valor para ver, 5+3 é 8.
B2: Ele deu quantos carrinhos
para seu primo?
B1: 3.
B2: E ele tinha quantos na
coleção? Não mostra.
Análise de acordo com
Vergnaud
O
aluno
apresenta
uma
estratégia de cálculo, que
identificamos
como
um
Teorema em ação (falso) em
que
ele
apresenta
uma
interpretação na qual deveria
saber primeiro o que ele tinha e
depois somar mais 5.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante, <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de adição (5+3=8).
O aluno faz a pergunta na
intenção de verificar qual seria o
valor inicial, provavelmente, está
acostumado a realizar problemas
nos quais sempre se tem o valor
inicial. Mais adiante, ele percebe
Este ponto do diálogo também
se remete pela importância da
história e variedade destacada
por Vergnaud em que o aluno
apresenta
conhecimentos
construídos
mediante
as
122
P: O que o problema quer saber?
B1: Quantos carrinhos a mais
ficou a coleção de Rodrigo?
P: Tá então ele quer saber a
coleção ou quantos a mais ele
ficou na coleção?
B1: Com quantos ele ficou na
coleção ai a gente tem que saber
com quantos ele tem na coleção.
P: Tem como saber o valor da
coleção ai?
B1: Hum... Não!
P: Se vocês quiserem, pode
desenhar também para ficar mais
claro.
B2: Pode desenhar?
P: A estrutura do problema.
B1: A gente pode fazer 5x3 para
ver o resultado e a gente pode
somar mais 3.
P: E porque 5x3?
B1: Porque assim o resultado
pode ser um valor alto.
P: Só por causa disso?
B2: Vezes ou dividir né.
B1: Mas também pode ser mais.
P: Vocês sabem a quantia da
coleção inicial?
B1 e B2: Não.
P: Então põe um ponto de
interrogação ai... Então esse
ponto ai é a nossa coleção que a
gente não sabe quanto tem,
certo? Só que a gente sabe que o
Rodrigo tinha uma certa coleção,
só não sabemos quanto? O que
aconteceu?
B1: Mais 5.
P: E como eu posso representar
esse mais 5?
B2: 8.
P: Como eu posso representar?
Ele ganhou cinco carrinhos, e ai o
que aconteceu depois?
B1: Ele deu 3 para seu primo.
P: E como eu posso representar?
B1: menos 3
B2: menos os 3
P: E ai o que aconteceu?
B1 e B2: Ficaram os 2.
P: E qual é a pergunta?
B1: Quantos carrinhos a mais
ficou a coleção de Rodrigo? Ai a
gente pode pegar 5 dividido por
2?
que não há o valor inicial. Os
trechos do diálogo caracterizamse pela designação de uma
disposição.
Nesta fala do aluno percebemos
que ele identificou as questões
centrais do problema, o que
remete neste trecho da narrativa
a análise da Centralidade do
Problema.
experiências
vivenciadas.
que
já
foram
O
aluno
apresenta
a
interpretação do problema e
como ele está estruturando para
se
chegar
à
solução,
apresentando
o
desencadeamento
das
pressuposições.
O
pesquisador
sugere
o
desenho. Os alunos vão sendo
questionados pelo pesquisador e
vão
retomando
todas
as
informações
contidas
no
problema e como representá-las
no desenho. Logo, temos a
negociabilidade
inerente,
momento no diálogo em que o
pesquisador e os alunos vão
realizando
discussões
e
esquematizando o problema para
o entendimento dos alunos à
resposta final.
Em seu diálogo, percebemos
um Teorema em Ação (falso),
ou seja, são as relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno, que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
No diálogo percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
123
P: Porque 5 dividido por 2? Esse
2 é o que?
B1: É o valor depois que ele deu
para o primo dele.
escolhidas pelo aluno, que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
P: Então esse dois significa que o
Rodrigo estava com quantos na
mão?
B1: Com 5 deu três para seu
amigo...
B2: Ficou com 2
P:Tá e ai o que ele vai fazer com
esses 2?
B1: Colocar na coleção.
P: E qual é a pergunta?
B1: Com quantos carrinhos a
mais ele ficou na coleção. Ai a
gente vai ter que descobri quanto
a mais ele ficou na coleção?
Caracterizamos este diálogo pela
ambiguidade de referência, em
que o professor realiza alguns
questionamentos, na expectativa
de observar a postura dos alunos
em relação ao significado do
valor 2.
B2: O que é uma certa?
P: Uma certa é uma quantia que
você tem mas não sabe o quanto
ao certo. Vamos supor você tem o
seu estojo e dentro do estojo tem
vários lápis, então sem contar
quantos lápis você tem? Eu digo
que tem uma certa quantidade.
Já aqui, temos também a
Ambiguidade de referência,
mas no sentido da compreensão
da palavra contida no problema.
O aluno B2, não compreende o
significado da palavra “certa” e o
pesquisador
explica
com
exemplos, para que o aluno
possa compreender.
B2: Umm.
P: Vamos pensar. Ele tem uma
certa quantidade, ganhou 5 da
sua tia e deu 3 para seu primo e
ficou com 2. Ai ele vai pegar
esses dois e vai, fazer o que?
B1: Esses dois ele vai, colocar na
sua coleção.
P: Tá. E qual é a pergunta do
problema?
B1: Quantos carrinhos ele vai ficar
na sua coleção? Então...
B2:Mais dois, que fácil...
P: Entenderam agora? A gente
não precisa saber a quantidade da
coleção, Ele não quer saber a
quantidade da coleção ele quer
saber quantos carrinhos a mais,
ele foi lá e colocou na coleção? E
que nem do aluno B2...
P:Ele tem o estojo ai eu dei 5
lápis, ele foi e deu três para você
e ficou com 2, então ele pegou
esses 2 e colocou no estojo dele,
eu não preciso saber quantos
lápis tem no estojo dele.
B1: E ele ficou com mais 2
P: E como eu posso representar
isso na operação direitinho, com
os números e tudo?
B2: Somar.
B1: Que somar, colocar 5-3 que
dá 2 ai pega o dois colocar aqui e
escrever Rodrigo ficou com mais 2
na sua coleção.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante, <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “ a mais...”.
Novamente
temos
a
ambiguidade de referência, em
relação à postura do aluno frente
ao
questionamento
do
pesquisador. Percebemos que o
aluno,
neste
momento,
compreende o significado do
valor 2 e percebe qual é a
interpretação para a solução do
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>:
por meio do diállogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de subtração (5-3 =
2).
124
6.2.2 Observações sobre o comportamento dos alunos B1 e B2
O aluno B1 aparenta ser centrado nas explicações e discussões feitas,
enquanto o aluno B2 é inquieto e fala o que vem na sua cabeça, sem levar em conta
o que está sendo discutido. O aluno B2 apresenta uma dificuldade em se concentrar,
já o B1 apresenta não ter muita paciência com o aluno B2 durante as discussões,
que acaba sendo cortado muitas vezes pelo aluno B1, supostamente por acreditar
que o que ele iria falar estava errado. Um ponto interessante é que, a todo o
questionamento feito pelo
pesquisador, o
aluno
B2 demonstrava
querer,
rapidamente, responder, sem analisar a situação que lhe está sendo proposta. Na
sugestão feita pelo pesquisador de desenhar para estruturar o problema, os alunos
não tiveram problemas em representar as transformações positivas e negativas
simbolicamente, porém não entendiam que a solução do problema já havia sido
feita; isso ocorreu porque não souberam interpretar a pergunta, para a qual o
pesquisador chamou a atenção, tentando que eles lessem e analisassem a situação.
Aluno B3 e Aluno B4
Figura 12 - Resolução do problema pela dupla B3 e B4
Fonte: Acervo pessoal
125
Transcrição da fala dos Alunos
B3 e B4
P: Vocês vão ler o problema em
voz alta. E ai? Como a gente pode
resolver.
B3: A gente vai...É difícil?
B4: Mais ou menos.
P: Fale então aluno B4 o que você
está pensando?
B3: Se ele ganhou 5 carrinhos de
sua tia e deu 3 para o primo dele
ele ficou com 2...
B3: Na coleção dele.
P: Mais qual é a pergunta no
problema?
B3: Rodrigo tinha uma certa...
B4: Quantos carrinhos ficou na
coleção de Rodrigo?
P: É assim que está a pergunta?
B3 e B4: Não.
P: Quantos...
B3 e B4: ...Carrinhos a mais a
coleção de Rodrigo ficou?
P: Que nem você falou ele tinha
5...
B3: E deu 3.
P: E ficou com 2 certo, ai a
pergunta quer saber quantos
carrinhos a mais ficou a coleção.
B3:Eu acho que tinha que ter o
número da coleção para gente
saber, né?
P: Mais ele quer saber o número
da coleção toda ou ele quer saber
quanto que ficou a mais?
B4: Ficou 2 a mais.
B3: Tipo ele tinha 50 vai ficar com
52.
P: Isso a ideia e essa. Então na
verdade você não precisa saber a
coleção, você só precisa saber
quanto a mais ele ficou, foi como
você deu o exemplo, então como
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
O aluno B3 esquematiza todo o
procedimento e cálculo do
problema. Chamamos isso de
Composição
hermenêutica.
Observamos que, quando feita a
leitura,
o
aluno
consegue
interpretar e extrair todas as
informações necessárias para a
resolução.
Encontramos neste trecho os
componentes de um esquema:
as regras de ação, busca de
informações e controle dos
resultados, do tipo “se... então”
em que o aluno buscou a
informação dos dados no
problema,
estruturou-o
e
realizou o cálculo, o qual
também é caracterizado como
possibilidade de inferência.
Percebemos que, com alguns
questionamentos e correções de
interpretações que os alunos
tiveram no decorrer da leitura,
eles apresentam o que é central
do problema, que chamamos da
Centralidade do Problema.
O aluno vai explicando a
estrutura
do
problema
e
questiona de não ter o valor
inicial da coleção. Vergnaud
destaca
esse
tipo
de
acontecimento,
quando
se
refere ao sentindo que damos a
situações, citando a história,
destacando que o
aluno
apresenta conhecimentos préconstruídos ou até mesmo
estabelecidos
mediante
as
experiências que foram vividas.
Talvez o fato de o aluno
estranhar ou até mesmo buscar
esse tipo de informação no
problema pode ser reflexo de
situações parecidas que o aluno
vivenciou em que havia o valor
inicial.
Encontramos nessa Transcrição
do diálogo do aluno a passagem
do Pensamento Narrativo para
o
Pensamento
Lógico
–
Científico, em que por meio da
linguagem o seu raciocino lógico
se torna efetivo.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
126
a gente pode representar isso na
operação?
B3 e B4: 5-3=2
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de subtração (5-3=2).
P: Tá certo fácil né?
B3 e B4: É.
6.2.3 Observações sobre o comportamento dos alunos B3 e B4
Os dois alunos são bem participativos durante as discussões, são muito
observadores, quanto à leitura e às perguntas que são feitas. Para realização dos
cálculos, utilizaram os dedos para contar, a todo instante sempre estavam trocando
ideias sobre como resolver o problema; quando estavam em dúvidas ou não
entendiam algo, questionavam em busca da resolução.
Aluno B5 e Aluno B6
Figura 13 - Resolução do problema pela dupla B5 e B6
Fonte: Acervo pessoal
127
Transcrição da fala dos Alunos
B5 e B6
P: Vocês vão colocar o nome de
vocês aqui, fazer a leitura em voz
baixa e vão me dizer o que vocês
entenderam desse probleminha
aqui. O que vocês entenderam?
B6: Eu entendi que ele ganhou 5
carrinhos e deu 3 da coleção dele
para o primo dele, então ficou ...
P: E o aluno B5 o que achou?
Não fica com vergonha não, pode
falar!
B5: Que a tia dele deu 5 carrinhos
e ele deu para o primo dele 3 da
coleção dele.
P: E o que o probleminha quer
saber?
B6:Quantos a mais ele ficou de
carrinhos
P: E ai? Como a gente pode
resolver?
B6: E uma certa quantia, então a
gente não sabe quanto é essa
quantia. Tem que fazer uma conta
de vezes eu acho que é de vezes.
Eu acho que e isso ai?
P: E você B6?
B5: De vezes.
B6: 5 x 3 e 15. Então ele tem 15
carrinhos. Vai fica com 15, faz
continha de vezes que eu faço de
menos.
P: Agora explica pra mim porque
vocês escolheram a multiplicação
para resolver o problema?
B6: Porque era de um jeito mais
fácil, de fazer o quanto ele tinha
porque e vezes e...
P: Porque e vezes, quanto ele
tinha?
B6: Porque na divisão e mais fácil
de achar o tanto de carrinho que
ele tinha
P: Na divisão?
B6: ou na multiplicação.
P: O que vocês entendem por
multiplicação?
B6:
A
professora
explicou
bastante, que na divisão dá para
achar vários caminhos.
P: Na divisão?
B6: Não, na multiplicação dá para
achar vários caminhos para fazer
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Encontramos, nos relatos dos
alunos ao contar a história do
problema, o sentido que dão para
a interpretação da sua leitura,
apresentando no diálogo a
característica da designação de
uma disposição.
Por meio do diálogo do aluno B6
e pelo questionamento do
professor percebemos que os
alunos conseguiram identificar o
que é central, que é tratado pela
narrativa da Centralidade do
Problema.
Neste ponto podemos dizer, de
acordo com Bruner, que temos
uma
Composição
Hermenêutica, pois podemos
observar, por meio do diálogo da
aluna B6, a forma com que o
aluno está pensando para
resolver o problema, expondo
suas estratégias e cálculos que
está imaginando realizar.
Podemos observar, por meio do
diálogo do aluno B6, o motivo de
suas ações. O aluno justifica a
escolha
da
operação
de
multiplicação,
porque
a
professora explicou que por meio
da multiplicação dá para achar
vários caminhos. Chamamos isso
em uma narrativa de Ações têm
motivos. Não estamos dizendo
que a professora disse algo, mas
algo vivenciado pela criança
pode ter feito com que ela
pensasse
dessa
forma,
poderíamos dizer que seria um
tipo de crença ou até mesmo um
conceito
estabelecido
pela
própria
criança
pela
sua
interpretação em relação à fala
da professora.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
No seu diálogo percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
128
a conta certa.
P: Então, vamos pensar assim. Ai,
vocês acham que ele ficou com
quantos carrinhos?
B5 e B6: Com 12
P: Com 12 a mais na coleção?
B6: É
P: Vamos pensar assim. Vamos
desenhar. Lê pra mim o
probleminha.
B6: Rodrigo tinha uma certa
quantidade de ...
P: E você sabe essa quantidade?
B6: Não
P: Então vamos fazer um ponto
de
interrogação
para
essa
quantidade, ou um quadradinho,
vamos fazer um esquema, pode
fazer um quadrado, agora vamos
colocar um ponto de interrogação
ai? A gente não sabe quanto e
essa quantia.
B6: Quantidade.
P: Continua a leitura do problema.
O que aconteceu?
B6: Em sua coleção ganhou 5
carrinhos.
P: Qual é a coleção que ta falando
ai?
B6: Do carrinho hotwells.
P: E essa coleção inicial que eu
não sei? Então ele ganhou
quanto?
B5 e B6: 5.
P: Então como a gente pode
representar o 5 aqui? Com esse 5,
vai acontecer o que com esse 5
na coleção?
B6: Mais porque a coleção dele
tem uma quantidade certa mais 5.
P: Tá e como a gente pode
representa pode colocar + 5 que
ele ganhou ai...
B6: É
P: Então vamos colocar aqui ó,
então a gente sabe que a coleção
mais isso daqui vai dar um tanto,
né! Mais a gente não sabe esse
tanto porque a gente não tem o
valor da coleção inicial certo?
B6: Certo.
P: Ai o que aconteceu aqui, ele
ganhou o carrinho da sua tia.
B6: Deu ao seu primo 3 carrinhos.
P: Então o que aconteceu, como a
gente pode representar?
B6: 3 – 5, não 5-3
P: Isso! Vamos por ai, e ai da
quanto?
B6: 2.
P: E ai o que ele pergunta?
O pesquisador realiza alguns
questionamentos para tentar
direcionar os dois alunos a
compreender a estrutura do
problema; temos, neste diálogo,
a Negociabilidade inerente.
Temos
também
aqui,
a
passagem
do
Pensamento
Narrativo para o Pensamento
Lógico – Científico, em que por
meio da linguagem o seu
raciocino lógico se torna efetivo.
Mediante os questionamentos
feitos pelo pesquisador, destacase
a
ambiguidade
de
referência,
em
que
o
pesquisador analisa a postura
dos alunos quanto às indagações
para observar a interpretação
que estes estão tendo em
relação a situação apresentada.
Neste momento, o pesquisador
sugere ao aluno que realize um
esquema para compreender o
problema; quando o aluno
realiza esse tipo de tarefa
temos
os
Invariantes
operacionais
explícitos,
expressos por diagramas para
compor a solução do problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de subtração (5-3).
129
B5 e B6: Com quantos carrinhos
a mais ficou na coleção de
Rodrigo?
P: Então ele quer saber com
quantos carrinhos ele ficou a mais
não foi, com quantos carrinhos ele
ficou a mais em sua coleção?
B6: 2.
P: Ai, o que ele pergunta?
B5 e B6: Com quantos carrinhos
a mais ele ficou na sua coleção?
P: Ele que sabe quantos carrinhos
a mais ele ficou? Tem a
necessidade de saber quanto é a
coleção inicial dele, ele tá
perguntando isso a quantidade
inicial?
B6: Não.
P: Ele quer saber o que o quanto
ele tem...
B6: Agora.
P: Não, com quantos carrinhos a
mais ele ficou, e com quanto ele
ficou?
B6: A mais?
P: Pode falar aluna B5. Vamos
pensar !
B5: Espera ai que to pensando.
B6: Eu acho que é com 10.
P: Porque com 10?
B6: Porque se a gente multiplicar
esse com esse vai dar 10. Não sei
se é.
P: ele não tem uma coleção
inicial, eu preciso saber essa
coleção inicial para resolver o
problema?
B6: Não. E você aluna B5 o que
acha?
B5: (Fica em silêncio).
P: É não com certeza ou é
duvidoso?
B5 e B6: Duvidoso.
P: Então o que ele tem é uma
certa coleção e ele ganhou 5 da
tia dele e deu 3 da onde ele tirou
esses 3 para dar para Rodrigo ?
B6: Da coleção.
P: Mais você não sabe o valor da
coleção, se a gente for pensar que
nesse processo aqui ele ganhou 5
da tia e deu 3 para o primo dele
com quanto ele ficou?
B6: Ficou 20.
Novamente o pesquisador inicia
os
questionamentos,
caracterizando a ambiguidade
de referência. Destacando aqui,
a questão central do problema,
chamamos a atenção para a
interpretação dos alunos com
relação ao valor 2: o cálculo já foi
realizado pelos alunos, porém
eles não compreenderam ainda a
pergunta do problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante <<argumentos>>: ,
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
Outro ponto a destacar é com
relação ao valor inicial, que este
problema
não
possui,
acarretando interpretações já
pré-constituídas, por resolver
problemas em que se tinha o
valor inicial. Bruner destaca esse
tipo de situação ocorrida como
designação de uma disposição
e que também é apontada por
Vergnaud como a ideia de
variedade.
No diálogo percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
130
P: 20? Ele ganhou 5 deu 3 para o
primo.
B6: Ficou 2.
P: E o que e que vai acontecer
com esse 2 aqui com relação a
coleção?
B6: Vai ficar menos, ele tá na
coleção, ai como eu explico? Os 3
não ta mais na coleção eles foram
subtraídos mais o 2 ficou na
coleção.
Podemos analisar esse trecho do
diálogo
como
uma
Particularidade Genérica, em
que os alunos, em suas
explicações, apresentam suas
tomadas
de
decisões
e
descrevem como organizaram
seus esquemas em busca da
resolução; observamos também
aqui
a
passagem
do
pensamento narrativo para o
pensamento lógico - científico.
P: Então e a pergunta quer saber
o que?
B6: Quantos ele tem a mais
ainda.
P: Quantos carrinhos...
B6: A mais
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
P: Ficou a coleção de Rodrigo.
B6: Ele ficou com menos, então.
P: Porque a menos?
B6: 3 para seu primo, é...uma
palavra boa para explicar, deu 3
para seu primo e ficou a menos.
P: Essa coleção inicial que ele
tava falando esse 5 tava incluído?
B6: Se tava incluído!? Não
P: Não, né! E ai aluna B5? É para
vocês resolverem juntas.
B6: O que você acha aluna B5?
B5: Não sei.
P: Esse 5 tava incluído na coleção
inicial?
B6: Incluído ele não tava não.
P: Ele tinha um tanto na coleção e
ai ele ganhou 5, ai o que
aconteceu ele tirou, ele deu 3.
Certo?
B5 e B6: (Balança a cabeça)
P: Ele tirou esses 3 de onde?
B6: Dá coleção.
B6: Ah entendi!!! Acho que ele
tirou,... ó ele tirou, ele tem uma
quantia e tinha... não sei quanto,
mais 5 ele deu 3 tirou os 3 e ficou
com 2 a mais do 5 que ele tinha
ganhado, mas ele tinha uma
quantia maior.
P: Então o que vai acontecer com
a coleção dele?
B6: Vai ficar menor.
P: Não, o que vai acontecer com
essa coleção aqui, (desenho).
Como você sabe se vai ficar
menor,
você
mexeu
nessa
coleção aqui...
B6: Não...deixa eu ver...
P: Qual é a pergunta?
B6: Quantos carrinhos a mais
ficou na coleção de Rodrigo. A
mais... Acho que pode fazer uma
conta de menos, tipo assim ele
Percebemos aqui os invariantes
<<argumentos>>: por meio da
narrativa, o aluno apresenta
uma relação importante para a
resolução do problema “menos”
e “subtraídos”.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a menos...”.
Diante dos questionamentos
feitos pelo pesquisador o aluno
B6, vai interpretando as questões
pouco a pouco; a narrativa é
caracterizada pela ambiguidade
de referência em que, por meio
das indagações, o aluno vai
apresentando
suas
interpretações e, ao final, ele
estrutura todo o seu pensamento
explicando o entendimento do
problema.
É interessante que o aluno B6
vai desencadeando toda a sua
interpretação por meio da
narrativa e, mediante suas
colocações, o próprio aluno vai
realizando
as
correções
necessárias; observamos isso
no último quadro da transcrição
deste comentário. Neste trecho
temos os conceitos em ação
presentes na fala do aluno por
meio de todas as informações
postas por ele. Destacamos,
além disso, os invariantes
131
explícitos que estão presentes
por meio da linguagem natural e
os esquemas produzidos pelo
aluno para a resolução.
tem o resultado, Ele ganhou 5-,
não... ele tem uma quantidade
exata, ele vai ficar a mais. Eu já
entendi, ele não vai ficar com
menos, ele vai ficar a mais.
P: E quanto a mais ele vai ficar?
B6:Com 2 a mais.
P: Isso entendeu aluna B5, você
tá quietinha!
B5: Eu to tentando fazer a conta
aqui.
P: Entendeu agora?
B6: Eu entendi.
P:
Então
essa
parte
da
multiplicação não tem a ver e nem
essa outra parte aqui.
B6: É.
P: Porque ele tinha uma
quantidade,
geralmente
eu
sempre quero saber a quantidade
que ele vai ficar depois no total, e
aqui o problema ta perguntando
ao contrario, você não precisa
saber essa quantidade inicial da
coleção, certo? Por quê? Você vai
trabalhar com o que está
acontecendo com essa coleção,
então ele ganhou 5, então ele
tinha um tanto naquela coleção,
vamos supor um exemplo, se a
gente sabe o quanto ele tinha na
coleção,
por
exemplo
10
carrinhos, se ele ganhou 5 da tia
dele, ficaria com 15, só que ai ele
daria 3 e ficaria com quanto?
B6: Dois a mais.
P: Não ele iria ficar com 3 a
menos, certo. Ai se você tinha
aqui 15 e da 3, com quanto que
você ia fica?
B6: 15 tira 3?
B5: 12
P: Só que não é isso que o
problema quer saber, ele não quer
saber o final da coleção, ele quer
saber o quanto a mais de carrinho
ele vai acrescentar nessa coleção,
entenderam?
B6: A ta, 3 a mais ou 2
P: Então, o que vai acontecer
aqui. Se ele ganhou 5 e vai dar 3
para o primo dele então só restou
quantos carrinhos para ele?
B6: 2
P: O que ele vai fazer com esses
carrinhos?
B6: Ele vai acrescentar na
coleção.
P: Entendeu, essa é a resposta do
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
O pesquisador, por meio da
conversa, vai trazendo situações
próximas do problema e inicia a
discussão com os alunos B5 e B6
com o objetivo de aprofundar a
discussão
e
verificar
o
entendimento
dos
alunos,
caracterizando no diálogo a
negociabilidade inerente entre
o pesquisador e os alunos e a
ambiguidade de referência
mediante a postura dos alunos
em relação aos questionamentos
e suas respostas.
Conforme os questionamentos
e explicações acima, o aluno B6
consegue interpretar a questão
do problema, apresentando os
invariantes
do
tipo
<<argumentos>> quando este
se refere “acrescentar”. Já o
aluno B5 apresenta dúvidas.
132
B6: Há, entendi...
P: Entendeu aluna B5?
B5: Não.
P: O vamos supor, você tem essa
coleção de lápis, uma coleção
qualquer de lápis, ai eu te dou 2
lápis, ai desses dois lápis você vai
dar um para ela, certo! Vai ficar
com quantos?
B5: 1
P: 1, o que você vai fazer com
esse um? Você vai ajuntar lá na
sua coleção inicial, de lápis que
você tem. Entendeu?
B5: É.
P: Você tem a caixinha de lápis de
cor, acho que vem 12,né.
B5 e B6: É
P: Vamos supor que você não
soubesse
quanto
tinha
na
caixinha, eu não preciso saber eu
quero saber o quanto você vai
acrescentar na coleção que você
já tem. Entendeu? Ai você dá um
para ele, você vai fica com um,
quantos lápis você vai conseguir
acrescentar na sua coleção? Um
só, né.
B5: Balança a cabeça.
P: Se a caixinha tinha 12, ela vai
ficar com...?
B5: 13.
P: Ele não quer saber o total da
coleção, e sim o quanto você vai
acrescentar na coleção.
B5 e B6: Entendi, entendi.
Aqui, o pesquisador busca um
exemplo prático para verificar se
o aluno compreende a questão
central do problema; temos
portanto
neste
diálogo
a
negociabilidade inerente e a
ambiguidade de referência em
que o pesquisador realiza a
discussão com o aluno B5 e no
decorrer
da
conversa
vai
observando as respostas e o
comportamento mediante a sua
interpretação.
6.2.4 Observações sobre o comportamento dos alunos B5 e B6
O aluno B5 aparenta ser bem mais tímido do que o aluno B6. O aluno B5
quase não participou das discussões, só ficou observando o que o pesquisador e o
aluno B6 conversavam; no final, quando o pesquisador questionou se havia
entendido, o aluno disse que não, então o professor por meio de um exemplo prático
foi questionando e estruturando a interpretação do problema junto com o aluno até
que ele mostrasse compreensão sobre o que estava sendo discutido. Já o aluno B6
participou intensamente das discussões; é importante destacar que ele, quando
questionado, parava, analisava a questão e, após um tempo, respondia e quando
não entendia perguntava novamente.
133
6.2.5 Síntese Geral dos alunos do Grupo 2 – Campo Aditivo
Em nossa análise observamos que as três duplas apresentaram em seus
diálogos a centralidade do problema, reconhecendo a questão norteadora do
problema. Essa característica presente no diálogo é importante, quando bem
interpretada pelo aluno, pois é ela que determinará toda a estrutura e entendimento
das operações que devem ser aplicadas para resolver o problema; no entanto,
verificamos que, mesmo as duplas apresentando essa característica no diálogo,
nenhuma delas conseguiu previamente estruturar todo o problema sem apresentar
qualquer dúvida inicialmente. Observamos que as duplas (B1 e B2) e (B5 e B6)
destacaram a particularidade genérica, pois essas, quando questionadas a
explicar o entendimento ou o cálculo proposto, em seus diálogos transpareceram
suas interpretações feitas após a leitura do problema e as explicações dos cálculos
que estavam sendo realizados, assim como a negociabilidade inerente entre o
pesquisador e aluno e aluno-aluno, ou seja, a atividade em dupla propiciou esse
momento de discussão entre alunos, o qual, em nosso ponto de vista, enriqueceu a
atividade, pois eles tiveram momentos de dúvidas nos quais a discussão ajudou a
esclarecer. A ajuda mútua aconteceu para a realização e verificação dos cálculos e
as discussões foram enriquecedoras. Outro ponto a destacar foi a presença da
ambiguidade de referência, no sentido de palavras que apresentaram certa
dificuldade de entendimento como a palavra “certa”, bem como a mudança de
postura dos significados, após os questionamentos realizados pelo pesquisador, por
exemplo, o “valor 2”. Já as duplas (B3 e B4) e (B5 e B6) exibiram, em suas
verbalizações, a composição hermenêutica, pois, depois da leitura apresentaram
todas as informações necessárias para a solução do problema; a dupla (B3 e B4)
além do levantamento das informações, antes de realizar o cálculo escrito, relatou
verbalmente a forma como estavam pensando ao resolver o problema, expondo
suas estratégias e procedimentos de cálculo que estavam imaginando. Esse tipo de
situação também está ligado aos conceitos estabelecidos por Vergnaud (1998) pelas
regras de ação, busca de informações e controle dos resultados, que fazem
parte dos componentes de um esquema e que a dupla também exibe. A dupla (B1 e
B2) no momento da explicação da resolução evidenciou o desencadeamento da
pressuposição em que o aluno acredita que, para resolver o problema precisa
primeiramente achar “o valor inicial da coleção” e, em seguida, apresenta a
134
estratégia do cálculo. Chamamos a atenção para esse ocorrido, pois o fato de não
ter neste problema o valor inicial pode ter ocasionado um ponto de dificuldade para
os alunos inicialmente, pelo fato de que, supostamente, esses alunos tivessem, em
sua vida escolar, trabalhado apenas com problemas que apresentavam o valor
inicial. A dupla (B5 e B6) destacou em seus diálogos um dos aspectos da narrativa
que caracterizou a designação de uma disposição que também é destacada por
Vergnaud (1998) como variedade, aquilo que dá ideia para o sentido da situação; a
dupla apresentou um relato da história do problema dando sentido à sua
interpretação após a leitura, o que a diferencia das interpretações das outras duplas.
A dupla (B5 e B6) contou, com suas palavras, a historia do problema sem o
acompanhamento da leitura novamente, o que, já com as outras duplas, não
ocorreu. A dupla (B5 e B6) destaca o motivo pela escolha da multiplicação: na
verdade, não era a operação correta para resolver este problema, mas ressaltamos
sua fala, pois esta relata que a “professora disse que...”, portanto neste ponto
podemos supor quais foram os motivos que levou a dupla a escolher tal operação, o
que em uma narrativa é chamado de ações tem motivos.
Nas três duplas
encontramos os invariantes operacionais do tipo <<argumentos>>, o de
representação das operações (5+3=8;5-3=2), e as relações como (a mais; a menos;
subtraídos; acrescentar). Mais um ponto a destacar foram os Teoremas em ação
(falsos) que as duplas (B1 e B2) e (B5 e B6) apresentaram em suas estratégias, por
meio de operações que não condiziam com a solução. Já os Conceitos em ação
foram localizados apenas na última dupla, que, em seu diálogo, demonstrou, por
meio da fala, a seleção das informações que estavam disponíveis, realizando as
correções em relação aos esquemas que estavam sendo proposto por eles, até
chegar ao valor final do problema.
Nesta etapa da atividade a dupla (B3 e B4) apresentou mais agilidade em
relação às outras, em relação à interpretação e à estrutura lógica do problema. Nas
outras duplas, houve mais discussões, porém, merecem destaque as características
da narrativa e dos conceitos estabelecidos por Vergnaud; pudemos observar pontos
essenciais para ajudar na observação do desenvolvimento dos alunos em suas
resoluções.
135
6.2.6 Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo multiplicativo
O problema proposto para os alunos na segunda etapa, envolvendo as
estruturas multiplicativas, é apresentado no quadro 23. Esse problema faz parte das
relações terciárias ligadas ao eixo de PRODUTO DE MEDIDA, pertencente à classe
de Configuração Retangular. A leitura do retângulo se dá pelas (linhas e colunas),
então temos que a quantidade de ladrilhos será igual ao produto da quantidade de
linhas (horizontal), pela quantidade de colunas (vertical).
Objetivo: Observar se os alunos desenvolvem o problema por meio da estrutura
multiplicativa.
Quadro 22 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 2.
Fonte: Adaptação do livro Ler e escrever: coletânea de atividades 2ª série, 2009,p.106).
136
Aluno B7 e Aluno B8
Figura 14 - Resolução do problema pela dupla B7 e B8
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
B7 e B8
P: Então, agora vocês vão ler o
problema.
O
que
vocês
entenderam?
B7: Ele é pedreiro e tem que fazer
um trabalho de ladrilhamento de
piso, e ele precisa de uma ajuda
para saber qual a quantidade de
peças a utilizar. Ele já colocou
tanto na vertical quanto na
horizontal.
P: E ai conta para mim aluno B8
tem que saber o que?
B8: Tem que fazer aqui a...
B7: Se você não sabe fala que
não sabe aluno B8.
B8: Tijolos daqui e para cá...
B7: Tijolos? Azulejos...
P: E como podemos fazer essa
conta? De quantos ladrilhos ele
vai precisar?
B7:
Ele
tem
1,2,3,
4,5,6,7,8,...20,21.
B7: 21
B8: Que o?
B7:
21,
três,
seis,
nove,12,13,14,15...21
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Percebemos
que
o
aluno
consegue identificar o que dever
ser
descoberto,
assim
identificamos no diálogo a
Centralidade do Problema, ou
seja, a questão norteadora da
situação.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
137
P: Como pode representar?
B7: Ele tem 21 a gente pode
representar... 1, 2, 3, 4... 11 falta
21 para ele, então a gente pode
somar, não pera ai...
B8: Aqui tem quantos?
P: Fala aluno B8.
B8: Tem que pegar 1, 2, 3, 4... 11.
Pegar onze e o que tá aqui
B7: 21.
B8: Não o que tá branco.
B7: Então, 21.
B8: 1,2,3,4...21. Pega o 21 e
soma com o 11.
P: Somar? Ai vocês vão descobrir
o que, quando for somar?
B7: O resultado que, não ... não!
Não soma não. O resultado que
vai dar aqui, é o resultado de tudo
junto.
B8: E o que ele tá pondo no
bilhete. (desenho do pedreiro no
problema)
P: É o que?
B7: Não é bilhete?
P: O que o problema quer saber,
ai?
B7: Quanto ele vai utilizar? Ele já
tem onze vai precisar de 21 faltou,
para 11 chegar no 21...pera
ai...11,12,13,14,15,...21
(contagem dos dedos) falta 10.
P: Qual é a pergunta do
problema?
B7: Para saber qual é a
quantidade de peças que vai
utilizar... não, pera ai...Sr. Antonio
é pedreiro e tem um serviço de
ladrilhamento de piso pra fazer,
ele precisa de uma ajuda pra
saber qual as quantidades de
peça que vai utilizar, ele já
colocou as peças lado a lado tanto
na horizontal quanto na vertical,
como mostra o desenho abaixo,
agora ajude a calcular quantos
ladrilhos ele vai precisar. Então
tem que somar.
P: Qual é a pergunta do
problema?
B7: Ele precisa de uma ajuda pra
saber quanto ele vai utilizar.
P: Então mais ai o problema conta
o que em B8?
B8: Que ele...
P: Sr. Antonio é pedreiro e tem
um serviço de ladrilhamento de
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
O pesquisador questiona o aluno
B8 quando este aponta a soma
para achar o valor, neste trecho
destacamos a ambiguidade de
referência, pois, neste momento,
o pesquisador realiza novos
questionamentos para observar a
mudança de postura em relação
à operação que ele apontou,
verificando, dessa forma, a sua
interpretação no decorrer da
discussão.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
Na narrativa percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
Neste ponto do diálogo do aluno
B1
temos
passagem
do
Pensamento Narrativo para o
Pensamento
Lógico
–
Científico:
por
meio
da
linguagem o seu raciocino lógico
se torna efetivo.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem.
Novamente o pesquisador volta à
pergunta inicial, para que os
alunos apresentem a questão
norteadora, a centralidade do
problema,
no
sentido
de
observar o que realmente o
problema deseja saber e verificar
as
relações
matemáticas
pertinentes a resolução.
No decorrer da discussão o aluno
B7
apresenta
o
valor
correspondente à solução, porém
não expõe qual operação pode
representar este valor.
138
piso para fazer, ele precisa de
uma
ajuda
pra
saber
a
quantidades de peça que vai
precisar, ele já colocou as peças
lado a lado tanto na horizontal
quanto na vertical, agora ajude a
calcular de quantos ladrilhos ele
vai precisar?(os alunos fazem a
leitura junto com o pesquisador)
B8: Se ele vai precisar se ele aqui
e aqui...
B7: Ele vai precisar de 21
P: Deixa o aluno B8 falar.
B8: Ele vai precisar se ele fechar
aqui ou aqui, ele vai precisar de
12 se ele fechar aqui ou aqui.
P: Que nem você falou ele já fez
aqui e aqui, ele vai precisar de
quantos?
B8: 21 pisos
P: Tá põe ai então, 21 pisos.
Agora como eu posso representar
esse 21 em uma operação?
B7: Uma conta de vezes, né?
P: Como eu posso representar
então, na multiplicação?
B8: ele vai ter que...
P: eu sei que o resultado tem que
da 21.
B7: Assim, a gente pode
colocar...tem que dá 21. A gente
pode...pera ai? A gente precisa
pegar
esse
valor
aqui,4,5,6,7,8...12
tem
que
colocar...
B8: Não.
B7: Já, sei já sei, já sei 12 x 21
B8: Não.
P: Porque não aluno B8?
B8: Tem que somar daqui para
cá...
B7: Calma, aluno B8...
B8: O que tá faltando dos pisos,
né?
P: Então o que tá faltando dos
pisos, vocês falaram 21. Então
essa é a resposta do problema,
certo! A resposta, já tá aqui e 21.
Agora com que operação eu
posso representar?
B8: E só pegar o 21 x 11
P: Mais ai vai dar mais que 21, a
operação tem que dar 21 que é a
resposta.
B8: Tem que dá 21?
O aluno B8 também realiza a sua
interpretação,
quando
é
interrompido pelo aluno B7;
aparentemente,
apesar
da
dispersão dele na discussão, ele
apresenta o valor após o aluno
B8 ter falado.
Encontramos, nessa Transcrição
do diálogo do aluno, a passagem
do Pensamento Narrativo para
o
Pensamento
Lógico
–
Científico:
por
meio
da
linguagem o seu raciocino lógico
se torna efetivo.
O
aluno
B7
propõe
a
multiplicação; essa narrativa
refere-se à ação tem motivos,
exatamente
pela
discussão
ocorrida em relação aos valores
12 e 21 e que, provavelmente,fez
com que o aluno pensasse nesse
valor. Percebemos, porém, que o
aluno ainda não conseguiu
interpretar
corretamente
o
problema.
Neste ponto do diálogo da dupla,
o pesquisador realiza alguns
questionamentos para tentar
direcionar os dois alunos a
compreender a estrutura do
problema. Encontramos aqui a
Negociabilidade inerente.
O aluno B8 apresenta a operação
de multiplicação, porém, com os
valores errados; o pesquisador o
questiona, tentando encontrar o
motivo da escolha e direcionando
Percebemos um Teorema em
Ação (verdadeiro), ou seja,
são as relações matemáticas
implícitas escolhidas pelo aluno
que fazem parte dos seus
esquemas.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
139
P: Tem que dá 21 a resposta.
Qual a operação que representa
para dar 21?
B8: Eu sei!
P e B8: Então, fala!
B8: Calma ai me deixa fazer a
conta...
B7: Pera ai deixa eu só coloca o
21.
B8: Formei uma conta já.
B7: Deixa eu ver!
P: Deixa-me ver, mais o que é
esse 11, 10 têm a ver com a figura
aqui?
B7: Você quis somar, oxé!
B8: Sabia...
B7: Você quis somar?
B8: É
P: 11+10 da 21 mais o que esse
11 e esse 10 tem a ver com 21?
Tem que se valores que tem
haver aqui.
B7: Se de 21, então. Isso daqui,
mais... A já sei... Não vai dá.
P: Vamos prestar atenção aqui
“ele já colocou as peças lado a
lado tanto na horizontal quanto na
vertical, como mostra o desenho
abaixo”... Como eu posso achar
esse 21 ai? Então vamos pensar
no branco.
B7: Aqui ó, aqui já é 21.
P: Não, tá. Esquece o azul, vamos
pensar nesta parte aqui do
branco.
B7: É tudo 21.
B8: É tudo 21, ai eu vou fazer a
conta e vai ter que dá 21? Quando
a gente for fazer a conta?
P: É!
B8: De divi..de vezes
B7: De dividir ou de vezes ele
quis dizer.
B8: Vezes e mais.
ao entendimento correto do
problema.
Os
dois
alunos
começam a verificar qual deverá
ser o valor, porém, não
conseguem observar a relação
do desenho com os valores que
deverão representar o 21. Já o
aluno B7 apresenta outro tipo de
operação, demonstrando que a
proposta que ele tinha exposto
acima não estava clara para ele.
Destacamos aqui a característica
das narrativas nos diálogos dos
alunos as ações tem motivos: o
aluno está utilizando os valores
11 e 10, pois estes quando
somado
da
21.
Operacionalmente ele decompôs
o valor 21.
P: Quantos ladrilhos eu tenho na
horizontal? Em aluno B8?
B8: A sim...
B8: 7
P: Então vamos por aqui, 7.
B7: Ai a gente pode somar 7+7...
P: Ai quantos ladrilhos eu tenho
agora na vertical?
B7: 3.
P: Então vamos por o 3 aqui?
B8: Aqui, vai dar...
P: Que operação?
B8: Vezes? Vai da vezes...
P: Quanto é 7 x 3?
B8: 21. Deu certinho.
Por meio do questionamento do
pesquisador os alunos vão, aos
poucos, estruturando a resolução
do problema. Temos nesse
diálogo
a
Negociabilidade
Inerente.
O pesquisador vai conduzindo os
alunos
por
vários
questionamentos e explicações,
com o objetivo de que eles
estruturem e interpretem o
problema
corretamente
e
apresentem
os
valores
necessários para se chegar na
operação da multiplicação e
representar o valor 21. Aqui
temos
a
negociabilidade
inerente, a qual é criada entre
pesquisador e aluno e alunoaluno. No decorrer da conversa o
aluno
B8
apresenta
outra
operação “divisão” o aluno B7
intervém
na
fala
dizendo
“multiplicação”. Novamente o
aluno apresenta outro tipo de
operação à adição destacada em
sua fala como “mais”.
Identificamos um Teorema em
Ação (falso), ou seja, são as
relações matemáticas implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta um outro tipo
de operação para resolver o
problema.
Identificamos um Teorema em
Ação (falso), ou seja, são as
relações matemáticas implícitas
escolhidas pelo aluno B8 que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta vários tipos de
operação para resolver o
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante
<<argumentos>>
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de multiplicação (7 x
140
3 = 21).
P: Entenderam agora? Então toda
vez que eu tenho figuras
geométricas e eu quero saber a
disposição de peças de uma
figura ou saber as cadeiras de
uma sala de aula, eu não vou
contar de uma e uma cadeira...
B7: Só conta uma parte.
P: Eu conto a horizontal e a
vertical e multiplico-as, daí eu
consigo saber o valor todo. Deu
para entender?
B8: e B7: Uhu!
6.2.7 Observações sobre o comportamento dos alunos B7 e B8
Os dois alunos apresentaram uma boa leitura. O aluno B7 é um aluno muito
agitado e disperso em alguns momentos, no decorrer da conversa apresentou varias
operações sem dar sentindo a escolha delas. O aluno B8 se mostrou mais
concentrado na discussão e seu rendimento em relação ao aluno B7 foi mais
satisfatório. O aluno B7 se perdia muito em suas falas dizendo o que viesse em sua
mente na discussão. Para essa atividade os alunos B7 e B8 usaram muito o
desenho proposto no corpo do problema para realizar as contagens necessárias.
141
Aluno B9 e Aluno B10
Resolução do problema pela dupla B9 e B10
Fonte: Acervo pessoal
Figura 15 -
Transcrição da fala dos Alunos
B9 e B10
Análise de acordo com Bruner
P: Vocês vão ler em voz alta e
explicar o que entenderam tá?
B9: Ai, esse e mais difícil.
B10: 1,2,3,4...11 (horizontal),
1,2,3...
B9: Que nem a professora de
matemática falou lembra do...
B10: É ...é...
B9: Deixa eu ler de novo.
P: O que a professora falou?
B9: Eu acho que é assim, ela tava
passando fração. Tem alguma
coisa a ver com fração, ou não?
P: Não.
B9: E que ela fala dos pintados, ai
colocava 11 e ai contava o resto
junto.
P: A tá, não
B10: Não pera ai, 11 mais o
número que tem aqui em branco.
P: Quanto tem em branco ai?
Análise de acordo com
Vergnaud
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem.
Neste trecho, destacamos o
diálogo dos alunos explicando o
entendimento de algo que já
conheciam (fração), o que
chamamos de Ações tem
motivos. Os alunos destacam o
estudo de fração como sendo
uma provável estratégia para ser
utilizada para a resolução do
problema, pois lembraram algo
que haviam vivenciado em sala
de aula com a professora o que
desencadeou com a ilustração do
problema.
Negociabilidade
inerente.
Destacam-se aqui as trocas de
informações e a colaboração
142
B10: Deixa eu ver, 1,2,3,...21, dá
21, e esse.
B9: 32
P: Tá. 32 e o total de azulejos.
Mas aqui, que nem ele colocou, tá
até sublinhado, ele já colocou as
peças de lado a lado tanto na
horizontal como na vertical como
mostra o desenho abaixo, agora o
ajude a calcular quantos ladrilhos
ele vai precisar, ele já dispôs aqui,
não já?
B9 e B10: 32, por causas desses
daqui...ou esse número.
P: Ele já colocou aqui, quantos
azulejos ele já colocou?
B9: 11
P: E os que não estão pintados...
B9: Precisa, 1,2,3,...21
P: Isso, 21. Agora como eu
represento esse 21 em operação?
21 é a resposta...
B9: 11 + o que que vai dar 21...
B10: Já sei, 11,..9,10,11,12,...
B9: Não
B10: ai é 11,12,...
B9: 11+10 da 21...o
P: Tá, esse 11 com mais 10 o que
tem a ver com a figura aqui?
B10: Aqui é onze (mostrou a linha
horizontal), aqui dá 21...
B9: Espera, espera ai...não não
dá certo.
P: Vamos ler de novo, ele já
colocou as peças de lado a lado
tanto na horizontal quanto na
vertical.
B10: A já entendi acho que a
gente vai ter que contar aqui e
aqui. (mostrou a linha horizontal e
vertical)
B9: 9.
P: Mais vai contar assim? Ele
separa horizontal e vertical.
B9: Aqui e horizontal e vertical
P: Tá, mas para chegar no 21?
B10: 1,2,3,4,5....20,21
P: Não!
B9:1,2,3,4,...9,10,11
e
12,13,14,...20
P: Quantos têm na horizontal? Na
parte branca aqui porque a azul
ele já colocou.
B9 e B10: 7
entre a dupla, que ocorreram a
todo instante juntamente com o
pesquisador.
O pesquisador cria, no diálogo, a
negociabilidade inerente para
conduzir
os
alunos
à
interpretação e estruturação do
problema.
Observamos
no diálogo a
Composição Hermenêutica: a
dupla
tenta
estruturar
o
problema, buscando maneiras e
respondendo a questionamentos
que estão sendo direcionados
pelo pesquisador para que se
chegue à solução.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem.
Na
fala
do
aluno
B9
percebemos um Teorema em
Ação (falso), ou seja, são as
relações matemáticas implícitas
escolhida pelo aluno que fazem
parte dos seus esquemas;
vemos aqui que o aluno
apresenta um outro tipo de
operação para resolver o
problema (11+10) em busca do
valor 21.
Apresentamos
aqui
a
Composição hermenêutica, em
que a dupla, com o auxílio do
pesquisador, vai observando e
delineando as tomadas de
decisões para a solução do
problema.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
143
B9: 7+7, 14
B10: +7=21
número, em que
operação
de
(7+7+7=21).
P: Então eu tenho 7 aqui, quantos
que eu tenho aqui na vertical?
B10: 4
P: na vertical?
B9 e B10: 3
P: E o que esse número tem a ver
com 21, que operação?
B9: 7x3=21
P: Então vocês entenderam,
quando eu tenho uma figura que
traz essa ideia de figuras
retangulares... Ou quero saber a
posição de carteira dentro de uma
sala ou de um palco eu não vou
contar uma por uma e só eu
contar a horizontal...
B9 e B10: E a vertical.
P: Ai eu sabendo essa duas eu
multiplico e eu consigo achar o
total que tem. Por exemplo, um
estádio ou uma casa de show eu
não vou contar uma por uma.
B9: É, por exemplo, eu tenho 500
cadeiras eu vou contar lá, quanto
tem na primeira fileira ai eu
multiplico tudo e acho o resultado.
P: Então, vamos supor você falou
em 500 vamos imaginar que tenha
5 fileiras e em cada fileira tenha
100 cadeiras...
B9 e B10: Então 5 x 100 = 500
seria a
adição
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação
de
multiplicação
(7x3=21).
Neste trecho do diálogo da dupla
destacamos
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar o entendimento que os
alunos tiveram do significado da
estrutura de problemas deste
tipo, quando dão o exemplo,
acompanhando a explicação do
pesquisador.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação de multiplicação (5 x
10 = 500).
P: Isso mesmo.
6.2.8 Observações sobre o comportamento dos alunos B9 e B10
Os alunos B9 e B10 foram participativos na atividade, sempre estavam
interagindo na discussão, um com o outro e com o pesquisador. Estavam atentos a
todos os questionamentos e explicações feitas pelo pesquisador. Os alunos
utilizavam bastante o desenho proposto no problema para a contagem. No decorrer
da conversa os alunos colocavam muitas propostas em jogo entre eles e discutiam a
sua veracidade; sempre quando um dos dois discordava os alunos voltavam ao
ponto inicial realizando a leitura quando sentiam necessidade e indagavam o
pesquisador em busca da solução do problema.
144
Aluno B11 e Aluno B12
Figura 16 - Resolução do problema pela dupla B11 e B12
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
B11 e B12
P: Vamos fazer a leitura.
B12: 21
P: Então explica para mim e o
aluno B11, o que é, que o
problema quer saber?
B12: De quantos ladrilhos a mais
ele precisa.
P: Ah, e ai?
B12: Ele precisa de 21.
P: Explica para mim, porque 21?
B12: Aqui tem 7... (a aluna olha
os ladrilhos na horizontal e vai
contando um a um) 20, 21.
P: E ai aluna B11.
B12: Você acha o que aluna B11?
Ele vai precisar de 21 a mais e ele
já fez 12, vertical e horizontal, e ai
ele precisa ajuntar 21 a mais pra
terminar a obra.
P: E como você achou esse 21?
B12: 7x3.
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Percebemos que o aluno B6
conseguiu identificar o que deve
ser resolvido no problema com o
questionamento do pesquisador
e apresentou a questão central,
caracterizada
como
a
Centralidade do Problema.
Neste trecho do diálogo do aluno
destacamos
a
Composição
Hermenêutica: observamos a
explicação do aluno para resolver
o problema e as justificativas que
ele dá para a solução do
problema.
Encontramos nessa Transcrição
do diálogo do aluno também a
passagem
do
Pensamento
Narrativo para o Pensamento
Lógico – Científico: por meio da
linguagem, seu raciocino lógico
se torna efetivo.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariante: <<argumentos>>:
145
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número, em que seria a
operação
de
multiplicação
(7x3).
P: E como a gente pode
representar essa operação que
você falou? Aluna B12
B12: Sete daqui e 3 daqui
P: Agora me explica como você
achou esse 7 ?
B12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
P: Tá, e o 3?
B12: Os três é daqui. (a aluna
aponta a linha vertical), porque
esse aqui não vale (a aluna diz
dos ladrilhos azuis), porque esse
aqui já tá feito.
P: Entendeu aluna B11?
B11: Uhu.
P: Tá quietinha. Então toda vez
que a gente for resolver um
probleminha
fazer
esse
probleminha assim, esse e o tipo
de problema que trabalha com
medidas retangulares, então eu
conto a minha linha que ta...
B12: Que tá pintado, e a que não
tá...
P: Às vezes pode tá pintada ou às
vezes não, ai para eu não ficar
contando um por um, eu conto só
a primeira linha que seria a
horizontal, e depois a linha...
B12: Vertical.
P: E fazendo o produto dessas
duas quantidades, que seria a
multiplicação, ai eu consigo achar,
o total de ladrilhos, ou de
cadeiras, que eu tenho em um
determinado espaço, eu não
preciso sair contando uma por
uma...
B12: Na verdade, a gente tem 8,
só que ai já tá pintada os
quadrinhos, e aqui os brancos,
fica mais fácil de fazer a
multiplicação.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta.
Ao finalizar a conversa o
pesquisador retoma a explicação
toda do raciocínio do problema,
criando
a
negociabilidade
inerente entre ele e a dupla;
destacamos a participação do
aluno B12 neste momento com
suas interpretações.
6.2.9 Observações sobre o comportamento dos alunos B11 e B12
O aluno B12 foi muito participativo nesta atividade enquanto o aluno B11 não
teve o mesmo envolvimento, por mostrar uma grande timidez. Para realização dos
cálculos, os alunos sempre estavam falando em voz alta e utilizando os dedos.
Destacamos no final dos diálogos a interpretação do aluno feita na conversa com o
pesquisador.
146
6.2.10 Síntese Geral dos alunos do Grupo 2 – Campo Multiplicativo
Mediante as análises realizadas destacamos a dupla (B9 e B10), por terem
tido uma maior interação entre eles relacionada às discussões do problema; em
seus diálogos não destacou a centralidade do problema; logo após a
interpretação, a dupla partiu rapidamente para a resolução, já as outras duplas
destacaram o que era central no problema e depois conduziram o caminho para a
resolução. A ambiguidade de referência se destacou somente nos diálogos da
dupla (B7 e B8) por terem apresentado uma operação que não condizia à solução e,
depois do questionamento do pesquisador, a dupla muda de atitude quanto a sua
interpretação inicial. Já a negociabilidade inerente está presente em todas as
duplas, tanto entre o pesquisador e os alunos, quanto em relação à dupla. As duplas
(B9 e B10) e (B11 e B12) destacaram em suas falas a composição hermenêutica
quanto ao desenvolvimento da estrutura do problema e em relação ao
desenvolvimento do raciocínio gerado pelo exemplo proposto do pesquisador no
final da conversa da última dupla em que os alunos participaram complementando
as ideias do pesquisador. A primeira e última dupla deixou transparecer fortemente
em suas falas a passagem do pensamento narrativo para o pensamento lógicocientífico em que os alunos estruturam todos os seus esquemas e realizaram a
verbalização em conceitos matemáticos. As ações têm motivos destacam-se na
dupla (B7 e B8) mediante a escolha dos números para representar o valor 21. A
dupla (B9 e B10) destaca o estudo de fração como uma provável solução para
resolver o problema, mas ao final acaba não sendo efetivada, pela intervenção do
pesquisador. A particularidade genérica está presente apenas na segunda dupla,
no momento em que o pesquisador, juntamente com os alunos, vai delineando a
estrutura do problema, motivado pela dificuldade que os alunos apresentam na
interpretação do problema. Em relação aos invariantes operacionais do tipo
<<argumentos>>, estão presentes nas três duplas pelas operações matemáticas e
os esquemas de numeração que são a contagem dos desenhos e a utilização do
mesmo como apoio. Nas duas primeiras duplas temos os teoremas em ação
(falsos) pela diversidade de operações posta em jogo para representar a resposta
“21” e apenas a primeira dupla retrata um teorema em ação (Verdadeiro) quando
esta pergunta se é a operação de vezes para representar o valor 21.
147
6.3 Atividade Interação: 3ª ETAPA
6.3.1 Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo aditivo
Nesta terceira etapa apresentamos o problema descrito no quadro 24 para
os
alunos
trabalharem
em
dupla.
O
problema
apresenta
duas
etapas,
correspondentes a duas rodadas de pedidos de pizza, que leva a uma operação de
composição, e, ao final a composição das duas rodadas resulta em uma nova
composição na qual os valores totais de cada rodada se compõem ao final. De
acordo com os estudos de Vergnaud (2009, p.269), esse problema faz parte dos
PROBLEMAS ARITMÉTICOS COMPLEXOS em que apresenta a 1º categoria.
Objetivo: Observar se os alunos percebiam que entre a 1ª e a 2ª rodada de pizzas
consumida pelos alunos ocorria uma nova composição.
Quadro 23 - Problema da Estrutura Aditiva aplicado para o Grupo 3
Fonte: Adaptação do problema de (Magina,et.al, 2008,p.55)
148
Aluno C1 e Aluno C2
Aluno C1
Aluno C2
Figura 17 - Resolução do problema pelos alunos C1 e C2
Fonte: Acervo pessoal
149
Transcrição da fala dos Alunos
Análise de acordo com
Análise de acordo com
C1 e C2
Bruner
Vergnaud
Transcrição do Aluno C1 com o pesquisador
P: Você vai realizar a leitura e
resolver o problema na folha, tá?
E explicar como você vai
resolver.
C1: Tá!
P: É você que não gosta de ler
em voz alta?
C1: É. (realiza a leitura em voz
Encontramos aqui um dos
alta). Eu tenho que fazer de
componentes do esquema que
trata
das
metas
e
mais.
antecipações, após a leitura o
aluno, apresenta a operação
que deve ser feita para
solucionar o problema.
P: Pode fazer.
C1: Pronto!
P: Então me explica como você O aluno C2 explica o cálculo
fez?
que
será
realizado
pela
C1: Eu fiz de mais, porque tava interpretação que teve da Encontramos aqui o Conceito
pedindo o todo, o que eles palavra
“o
todo”. em ação: o aluno selecionou
comeram.
Caracterizamos esse tipo de as informações disponíveis
diálogo
de
Composição para resolver o problema,
hermenêutica:
ele
busca destacando a palavra “todo”.
significados para definir o tipo
de cálculo que deve ser
realizado.
P: Então, tá.
Transcrição do Aluno C2 com o pesquisador
P: Você vai ler o problema em
voz alta e ai você responde aqui
e explica.
C2: Tem que fazer uma soma.
Particularidade Genérica: por Nesta parte identificamos o
meio do diálogo o aluna primeiro
componente
dos
apresenta sua tomada de esquemas, as metas e
decisão para a solução do antecipações, em que o aluno
problema.
apresenta suas escolhas e
tomadas de decisões para
proceder à resolução.
P: Uma soma?
C2: Isso.
P: Pode fazer aqui!
C2: Pronto.
P: Quanto que deu, o seu?
C2: 21.
Transcrição da Interação com o Aluno C1 e o Aluno C2
P: C1 senta com o C2, agora
conta para ela como você fez.
C1: Eu fiz soma, de mais.
Encontramos na explicação do
aluno C1, para seu colega, um
dos
componentes
do
esquema,
metas
e
antecipações:
o
aluno
apresenta a tomada de
decisão dele quando a relata.
P: E quanto que deu sua conta?
C1: Deu 19.
P: Conta para ele; conversem ai
vocês dois.
C1: 19.
Negociabilidade inerente: os Mediante as colocações e
C2: A minha deu 21, eu somei alunos apresentam sua solução explicações dos alunos um
tudo. Calma, ai!
um para o outro e tentam para com o outro, observamos
P: Confere ai a conta de vocês.
descobrir no que erraram e de os invariantes operacionais
C2: (O aluno confere as contas quem foi o erro.
explícitos que são expressos
150
dos dois e C1 também)
pelos alunos pela linguagem
natural.
Nesta parte, identificamos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, o raciocínio do
aluno que é desenvolvido por
meio
de
cálculos
e
informações.
C2: C1 acho que você não, pois
um 3, ou eu coloquei +1.
C1 e C2: (Ficam observando as
contas para encontrar o que está
de diferente.)
C2: Eu coloquei dois 3, e você
só colocou 1.
C1: É isso mesmo.
P: O que está faltando ai?
C2: um 3.
P: Qual o número que ele
colocou errado?
C2: Ele esqueceu de colocar
mais um 3, por causa da...
P: Mas se por mais um 3, da
quanto?
C1: 22
Ambiguidade de referência: O
pesquisador
abre
um
questionamento
e
vai
conduzindo os alunos para que
observem se realmente o que
estão discutindo está correto;
ao final o aluno percebe que
ainda não descobriu o que está
errado.
P: Qual número que tá fora do
contexto?
C1: Não é o 3 não...rsrs. Deixa
eu ver.
P: Confere todos os dados do
problema.
C1 e C2: (Confere a conta e C1
conta nos dedos).
C2: Deixa eu ver esses dados.
(Confere todas as fatias que
estavam descrita no problema,
com sua conta).
C1: Faltou um 4 seu.
C2: Não isso aqui é da primeira
rodada. Deu 21, tá certo.
P: Então, o que tá faltando no
dele?
C2: (Pega a folha para conferir).
Há! É que ele pôs esse um aqui.
P: Na primeira rodada? Então,
arruma C1.
C2: Ele tirou o 3 e pôs o 1.
C1: Ai vai dá menos, vai dá 18.
C2: Não, pera ai deixa eu ver.
Mas você esqueceu de por um 3!
C1: Ai, 21
C2: (Confere a conta do aluno
C1, utilizando os dedos para
realizar a contagem).
C1: Vai dar certo.
C2: Então, tá.
P: Agora, está certo? Coloca o
resultado. Agora deixa eu fazer
umas perguntinhas para vocês?
Se vocês tivessem feito na
primeira rodada, o Fernando
comeu quatro fatias do que?
C2: De pizza.
P: De mussarela, não foi? E
depois na segunda rodada ele
comeu quantas fatias?
C2: Deixa eu ver.
P: Fernando. Comeu 3 de
calabresa.
Se
eu
fizesse
Esquema de numeração, o
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
Negociabilidade inerente: os
alunos continuam a discussão
procurando onde está o erro,
até encontrarem a solução
correta do problema.
Nesta parte, identificamos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, o raciocínio do
aluno que é desenvolvido por
meio
de
cálculos
e
informações.
Esquema de numeração, o
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
Temos a ambiguidade de
referência, o pesquisador lança
outra forma de resolver o
problema
e
verifica
a
interpretação dos alunos em
relação à resposta deles; caso
resolvessem
pela
maneira
151
compondo essas fatias de cada
um, ia dar diferente o resultado
no final?
C2: Não.
P: Por quê?
C2: Porque ia fazer do mesmo
jeito que é conta de mais
P: Mais porque que não ia dar?
No que o problema tava
interessado em saber?
sugerida pelo pesquisador, é
perguntado se haveria mudança
no valor. Os alunos falam que
não
e
apresentam
uma
justificativa ao final.
Após a discussão o aluno C2
apresenta o que era central no
problema. Nesta parte do
diálogo
identificamos
a
Centralidade do problema.
C1: Quantas fatias ao todo eles
comeram?
P: Não importava então qual tipo
de pizza que era. Importava ou
não?
C1 e C2: Não
6.3.2 Observações sobre o comportamento dos alunos C1 e C2
Os dois alunos resolveram com facilidade o problema. Porém C1 não
prestou atenção às quantias corretas da pizza e colocou dados errados em sua
conta. Já C2, ao montar sua conta, conferiu todos os dados que nela estava
pondo. Na hora da discussão C2 se destacou, pois partiu dele olhar a conta de
C1 para conferir o que ele havia errado. Em relação à discussão os dois
participaram bem, observando e respondendo às perguntas do pesquisador.
152
Aluno C3 e Aluno C4
Aluno C3
Aluno C4
Figura 18 - Resolução do problema pelos alunos C3 e C4
Fonte: Acervo pessoal
153
Transcrição da fala dos Alunos
C3 e C4
Análise de acordo com
Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno C3 com o pesquisador
P: Você vai ler esse problema
em voz alta e depois explicar
como que poderia resolver.
C3: Ele quer saber ao todo, Particularidade Genérica: O Encontramos aqui o Conceito
então é conta de mais.
aluno conta a sua tomada de em ação: o aluno selecionou
decisão para a resolução e, as informações disponíveis
com sua explicação, apresenta para resolver o problema.
o motivo pelo qual irá fazer a
conta, destacando a palavra
“todo”. Temos aqui o que é
chamado, na narrativa, de
ações tem motivos.
P: Pode fazer aqui. E tem Ambiguidade de referência: o
alguma diferença essa primeira pesquisador
sugere
outra
rodada a quantidade e tipos de maneira de resolver o problema
pizza que eles comeram?
para o aluno, na intenção de
C3: (Fica pensando) e balança a verifica sua postura em relação
cabeça que sim. Têm.
ao resultado final, se haveria
P: Como que poderia...
mudança ou não.
C3: E só ajuntar tudo e vê
Nesta parte, identificamos o
quanto que comeu.
primeiro
componente
dos
esquemas, as metas e
antecipações que o aluno
adota ao realizar a leitura do
problema para proceder à
resolução.
P: E só ajuntar tudo e vê? Então,
pode fazer. Quanto que deu a
resposta?
C3: 21
Transcrição do Aluno C4 com o pesquisador
P: Você vai ler esse probleminha
em voz alta, tá.
C4: Uhu (o aluno realiza a
leitura)
P: Como a gente pode resolver Particularidade Genérica: o
isso?
aluno conta a sua tomada de
C4: De mais
decisão para a resolução.
Nesta parte, identificamos o
primeiro
componente
dos
esquemas, as metas e
antecipações que o aluno
adota ao realizar a leitura do
problema para proceder à
resolução.
P: Pode fazer... isso.
Transcrição da Interação com o Aluno C3 e o Aluno C4
P: O aluno C4 vai te contar como Observamos, no diálogo, o
ele fez ta? E ai você vai contar e aluno C4 destacando a palavra
depois
vejam
se
vocês “todo” para justificar a sua conta
concordam ou não. Conta aluno de adição para seu colega, o
C3 para o aluno C4 como você que chamamos de Ações tem
motivos, em que o aluno busca
resolveu o problema?
C4: De mais.
motivos
para
que
possa
P: Conta como você fez.
expressar o seu entendimento.
C4: Eu li, aí tava aqui “todo” eu
Encontramos aqui o Conceito
em ação, em que o aluno
peguei o número de fatias e fiz
de mais.
selecionou as informações
disponíveis para resolver o
problema,
destacando
a
palavra “todo...”.
P: E deu quanto?
C4: 21
P: E você aluno C3 conta para
154
ele como você fez?
C3: Eu fiz a mesma coisa.
P: Como então! Conta...
C3: Eu li, e quando eu vi o “todo”
ai peguei tudo e fiz conta de
mais.
P: Então vocês acham que o
jeito que vocês resolveram tá
certo?
C3 e C4: Sim
P: Na hora da leitura interferiu
essa questão de 1ª e 2ª rodada e
das fatias de pizzas serem
diferentes?
C3 e C4: (Balança a cabeça em
sinal de não)
P: Vocês pensaram em somar
todas as fatias que Bia comeu,
que o Fernando comeu, que
Maria comeu e somar tudo?
C3 e C4: (Balança a cabeça em
sinal de não).
P: E se vocês tivessem feito
assim, vocês acham que ia ter
uma diferença?
C3: (Levantou o ombro)
C4: (Ficou parado em silêncio,
com um olhar de que estava
analisando a situação).
P: No valor?
C4: (Balança a cabeça em sinal
de sim).
P: Você acha que ia ter? Por
quê? E você aluno C4 acha que
ia ter diferença?
C4: Ficou em silêncio.
C3: (Balança cabeça em sinal de
não).
P: Porque que não?
C3: Porque é mais fácil somar
tudo.
P: É isso mesmo, está certo o
que vocês fizeram.
Observamos, no diálogo do
aluno C3, o destaque da
palavra “todo” para justificar a
sua conta de adição para seu
colega, o que chamamos de
Ações tem motivos: o aluno
busca motivos para que ele
possa
expressar
o
seu
entendimento.
Encontramos aqui o Conceito
em ação: o aluno selecionou
as informações disponíveis
para resolver o problema,
destacando a palavra “todo...”.
O aluno, após a questão do
pesquisador sugerindo outra
maneira de resolver o problema,
transpareceu ter ficado em
dúvida se a resposta mudaria
ou não, mas logo em seguida o
aluno C4 apresenta o seu ponto
de
vista.
Neste
ponto
destacamos a ambiguidade de
referência.
6.3.3 Observações sobre o comportamento dos alunos C3 e C4
O aluno C4 se destaca em suas explicações, em quanto o aluno C3 aparenta
ser tímido, quase não participando das discussões promovidas entre o pesquisador e o
aluno C4; suas interações foram bem breves com ambos. Para a realização dos
cálculos, o aluno C4 utilizou os dedos para realizar a contagem e descrever as
sentenças propostas por ele e, em alguns momentos dessa etapa, houve a participação
do aluno C3 apenas nos cálculos.
155
Aluno C5 e Aluno C6
Aluno C5
Aluno C6
Figura 19 - Resolução do problema pelos alunos C5 e C6
Fonte: Acervo pessoal
156
Transcrição da fala dos Alunos
C5 e C6
Análise de acordo com
Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno C5 com o pesquisador
P: Você vai ler e me explicar
como você pode resolver? E ai
como pode ser feito?
C5: Tem que somar tudo.
Temos presente nesta fala um
invariante explícito: o aluno,
por meio da linguagem,
apresenta a operação de
adição
para
resolver
o
problema, por meio da palavra
“soma”.
P: Então, pode fazer.
C5: (utiliza os dedos para
Esquema de numeração, o
contagem) Pronto!
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
P: Quanto deu?
C5: 21
Transcrição do Aluno C6 com o pesquisador
P: Você vai ler em voz alta e me
explicar como poderia resolver.
C6: (O aluno realiza a leitura).
P: E ai como podemos resolver?
C6: Ummm...pega 4...
P: O que o problema quer
saber?
C6: Quantas fatias ao todo os O aluno demonstra saber o que
amigos comeram na pizzaria?
deve ser resolvido, neste trecho
do diálogo destacamos a
Centralidade do Problema.
P: E ai como eu faço?
C6: Pega o 4 x 3 e 4 x 2
Em seu diálogo percebemos
um Teorema em Ação (falso),
ou seja, são as relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
P: Então pode fazer. Pronto.
Transcrição da Interação com o Aluno C5 e o Aluno C6
P: Explica como você fez aluno
C6.
C6: Eu fiz errado (o aluno
Esquema de numeração: o
começa a apagar o cálculo) e
aluno utiliza os dedos para
(começa a contar nos dedos)
realizar os cálculos.
pronto.
P: Explica então para ele, aluno Neste diálogo do aluno C5
C5, o que você fez.
destacamos a Composição
C5: Assim, o problema pergunta Hermenêutica, por meio da Encontramos
aqui
os
quanto que eles comeram ao qual podemos observar a Conceitos em ação: o aluno
todo e ai quando fala ao todo e explicação que o aluno dá para selecionou as informações
porque e conta de mais.
o outro, como interpretou o disponíveis para resolver o
problema, e o destaque que o problema.
C6: O meu tá errado.
aluno deu para a palavra “todo”,
P: Então o que você tinha que que relacionamos com a
Ambiguidade de referência.
fazer?
Nesta outra parte temos outra
caracterização da ambiguidade
de
referência,
o
questionamento do pesquisador
ao aluno faz com que ele
157
perceba que realizou o cálculo
incorreto, assim apresentando
uma nova operação.
C6: Soma todas as fatias.
P: Então, soma as fatias para
saber a resposta. Quantas fatias
então deram?
C6: 21.
6.3.4 Observações sobre o comportamento dos alunos C5 e C6
Os alunos realizam a atividade com calma, utilizam os dedos para
realizar a contagem. Na interação, no momento da explicação, o aluno C6
percebe alguns erros que cometeu no cálculo. Chamamos a atenção para a
postura do aluno C5 ao explicar a sua resolução para o aluno C6, para que este
entenda o que havia feito de errado.
6.3.5 Síntese Geral dos alunos do Grupo 3 – Campo Aditivo
Observamos que apenas as duplas de interação (C1 e C2) e (C5 e C6)
apresentaram como característica em seus diálogos a centralidade do
problema destacando, a partir da leitura, o que era central no problema; porém
a primeira dupla só destacou a questão central quando o pesquisador chamou a
atenção deles, ao final da solução, para uma nova maneira de resolver o
problema e se esta mudaria a resposta obtida. Mediante o questionamento, os
alunos disseram que não, e logo após a indagação do pesquisador eles
justificam sua resposta lendo a questão central do problema para o pesquisador.
Quanto à composição hermenêutica, é observada quando o aluno C2, da
primeira dupla, e o aluno C5, no momento da interação, em seus comentários
em relação à palavra “todo” na intenção de explicar a operação escolhida por
eles. Essa operação está ligada ao conceito em ação em que os alunos
selecionam as informações necessárias para solucionar o problema proposto.
Já a dupla (C3 e C4), também traz, em seus diálogos, esses conceito em ação,
mediante a particularidade genérica em que o aluno utiliza a frase “ele quer
saber ao todo...” para contar a sua tomada de decisão; também temos neste
mesmo trecho ações tem motivos, pois conseguimos entender a escolha dos
158
alunos pela operação de adição. Em relação à ambiguidade de referência, a
encontramos nas falas das três duplas, no momento no qual o pesquisador
apresenta uma nova maneira de resolver o problema observando se haveria
mudanças em suas respostas ou não. A intenção do pesquisador era verificar
se, realmente, os alunos haviam compreendido o problema, ou seja, compondo
todas as fatias ou separando a primeira rodada da segunda, resultaria em um
único valor. A negociabilidade inerente apareceu apenas no diálogo da
interação da primeira dupla, no momento em que os alunos começaram a
discutir na intenção de descobrir qual tinha sido o erro do aluno C2 em seu
cálculo. As duplas (C1 e C2) e (C5 e C6) apresentaram um mesmo tipo de
esquema: os esquemas de numeração na realização dos cálculos, por meio
da fala e da contagem utilizando os dedos. Outro ponto a destacar nas duas
primeiras duplas, após a leitura, foi o primeiro componente de um esquema:
metas e antecipações: os alunos apresentaram, nas suas falas, as escolhas e
tomadas de decisões para a resolução da situação. Na dupla (C5 e C6)
encontramos um teorema em ação (falso) apresentado pelo aluno C6 na sua
resolução, para a qual ele escolhe a operação de multiplicação.
6.3.6 Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo multiplicativo
O problema proposto para os alunos da terceira etapa, envolvendo as
estruturas multiplicativas apresenta-se no quadro 26. Está classificado como
proporção múltipla segundo Vergnaud (1983, p.138).
Objetivo: Observar o reconhecimento da palavra “triplo” como sendo um conceito da
estrutura multiplicativa.
Quadro 24 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para o Grupo 3.
Fonte: Adaptação do livro (Itacarambi, et. al. 2009, p. 105).
159
Aluno C7 e Aluno C8
Aluno C7
Aluno C8
Figura 20 - Resolução do problema pelos alunos C7 e C8
Fonte: Acervo pessoal
160
Transcrição da fala dos Alunos
C7 e C8
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno C7 com o pesquisador
P: Você vai ler esse problema em
voz alta e explicar como poderia
ser feito a resolução, tá?
C7: Tá!
P: Como podemos resolver?
C7: Tem... “triplicar” fazer a O aluno destaca a palavra Encontramos
aqui
os
continha de mais, né? Eu vou ver.
“triplicar”, porém fica em dúvida Conceitos em ação: o aluno
C7: Triplicar... (o aluno conta no em relação a que operação deve selecionou
as
informações
dedo) 14
ser feita. O aluno pode ter dado disponíveis para resolver o
um
significado
à
palavra problema.
destacada relacionando-a com a
operação de adição. Neste trecho
destacamos o diálogo com a
Ambiguidade de Referência.
P: Pronto?
C7: Uhu!
Transcrição do Aluno C8 com o pesquisador
P: Você vai ler em voz alta e
depois explicar?
C8: Eu posso ler só para mim,
primeiro?
P: Pode.
C8: Eu acho que tem que fazer de Neste diálogo do aluno C5 Encontramos
aqui
os
destacamos
a
Composição Conceitos em ação: o aluno
vezes.
P: Vezes? Por quê?
Hermenêutica, por meio da qual selecionou
as
informações
C8: Porque ela quer “triplicar”. podemos observar a explicação disponíveis para resolver o
Ai... (o aluno começa a resolver)
que o aluno dá para o outro, problema.
como interpretou o problema e o
destaque que o aluno deu para a
palavra “todo”, que relacionamos
com
a
Ambiguidade
de
referência.
Transcrição da Interação com o Aluno C7 e o Aluno C8
P: Agora o aluno C7 vai explica
para você como ele fez e depois
você vai explicar tá?
C7: Uhu.
C8: Ó! Tem quatro ovos para Encontramos
novamente
no Encontramos
aqui
os
fazer um bolo e ela que “triplicar”, diálogo
do
aluno
C8
a Conceitos em ação: o aluno
Hermenêutica, selecionou
então triplicar e a palavra chave, Composição
as
informações
que é dividir, ai dividi...
que é destacada pela explicação disponíveis para resolver o
P: É dividir?
da resolução do problema para o problema.
C8: É
aluno C7; o conceito expressado Nesta parte, segundo o autor,
P: Que operação que você fez?
pelo aluno referente à palavra identificamos
o
primeiro
C8: Não, multiplicar. E que vai “triplicar”, é o que, na análise do componente dos esquemas, as
dar, eu acho que vai dar esse diálogo, chamamos de Ações metas e antecipações, que o
têm motivos.
resultado.
aluno adota ao realizar a leitura
do problema, para proceder à
resolução.
C7: Umm! No meu caso eu
coloquei 4+4 e coloquei 3 e 2 eu
só esqueci de colocar mais,
porque vai “triplicar” deu 14.
P: Você concorda com a conta
E em sua fala percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
161
que ele fez?
C8: (Balança a cabeça que não).
C7: E nem eu com a sua porque
às vezes não é isso para fazer um
bolo de chocolate. Ai, não sei!
P: Você falou aluno C8 que a
palavra “triplicar” e o que?
C8: Multiplicar.
P: Isso. Mas você falou antes que
é a palavra?
C8: Era...
P: A palavra chave, né? Você
falou!
C8: Isso.
P: O que significa a palavra
triplicar?
C7: Triplicar mais as coisas, ter
mais coisas.
P: Ter mais coisas. Mais o que
significa a palavra “tri -pli –car” .
C8: Triplo é multiplicar, ter mais.
Encontramos
aqui
os
Conceitos em ação: o aluno
selecionou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
O pesquisador, neste trecho da
narrativa, abre a discussão para
verificar o conceito que os alunos
apresentam para a palavra
“triplicar”, e qual será sua postura
mediante ao questionamento,
chamamos isso de Ambiguidade
de referencia.
P: Isso. Agora, aluno C8 porque
você colocou... o 4 é a quantidade
de ovos.
C8: É.
P: Tá claro, isso.
C8: Uhu!
P: E você aluno C7 fez o mesmo
erro do outro problema.
C7: E eu coloquei...
P: Você disse que tinha somado 4
+ 4 ai você já não tem 4 aí, você
tem 44, porque você está
montando unidade com dezena.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
primeiro
componente dos esquemas, as
metas e antecipações que o
aluno adota ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
C8: E que ele é novo na escola.
P: É. Tá!
C7: 44 (Larga o lápis e começa a
contar no dedo).
P: É um outro probleminha...
C7: 32.
P: Porque aluno C8 você colocou
2? De onde você tirou o 2?
C8: Do “triplicar”. Triplicar por 2
P: A palavra triplicar, fala que é
para triplicar por 2?
C8: Não é que “triplicar”... a
professora sempre falou isso que
tipo “triplicar” e por 2, sempre tem
que ser por 2, mas...
P: O que é dobro?
C7e C8: Dobro? É dois
P: É triplicar?
C7e C8: É três.
C8: A não, eu fiz errado, então!
P: Aluno C7 você chegou perto. É
o aluno C8, o 32 que eu não
entendi, porque você colocou 3 e
2? O 3 foi do que?
Encontramos
aqui
os
Conceitos em ação: o aluno
selecionou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
O aluno apresenta o esquema
de numeração utilizando os
dedos para realizar a contagem.
O
pesquisador
faz
alguns
questionamentos para observar o
significado que o aluno deu para
a palavra “triplicar”; neste trecho
temos
a
Negociabilidade
Inerente: os dois alunos vão
respondendo ao questionamento
e, ao final, observamos que eles
perceberam que o significado
que deram para a palavra
“triplicar” não estava correto.
Referimos a esta outra parte do
diálogo
também
de
Ambiguidade de referência.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar", ”dobro”.
162
C7: Porque às vezes coloca o 2
para somar, às vezes não precisa,
ai coloquei para ver se ia dar
certo.
P: Pode deixar do jeito que tava e
ai vocês façam do lado o certo.
P: Entendeu a palavrinha triplicar?
Dobro, 2.
C8: Eu confundi o 2 com o 3.
P: Triplicar, 3. Quadriplicar é 4.
C8: Eu confundi com o que a
professora falava, era multiplicar.
E em sua fala percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja, são as relações e
conceitos
matemáticos
implícitos escolhidos pelo aluno
que fazem parte dos seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta outro tipo de
operação para resolver o
problema.
Aqui encontramos o motivo do
erro do aluno, que se confundiu
com a fala da professora.
(Esclarecemos que não estamos
dizendo que a professora estava
errada ou não). Está claro que o
aluno, no momento da resolução,
não atentou para a relação
dobro: 2 e triplo: 3. Na análise
desse diálogo podemos apontar
que Ações têm motivos.
C7: É!
P: Ai, 4 x 3?
C7: 3 x +2?
P: Não, você tem quantos ovos?
C7: 4
P: Você quer triplicar essa receita.
C7: A!
P: (Os alunos realizaram os
cálculos novamente).
Temos o invariante do tipo
<<argumento>> apresentado
pelo aluno em números e em
proposições (triplicar).
6.3.7 Observações sobre o comportamento do aluno C7 e C8
O aluno C7 apresenta algumas dificuldades como montagem das contas e
interpretações. Já o aluno C8 tem mais facilidade para resolver problemas e é muito
participativo, interagiu muito com o colega na intenção de ajudá-lo. Em alguns
momentos, o aluno C7 aparentava não gostar muito das colocações de seu colega.
Na realização dos cálculos ambos utilizaram os dedos para realizar a contagem e a
escrita na descrição das sentenças.
163
Aluno C9 e Aluno C10
Aluno C9
Aluno C10
Figura 21 - Resolução do problema pelos alunos C9 e C10
Fonte: Acervo pessoal
164
Transcrição da fala dos Alunos
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
C9 e C10
Vergnaud
Transcrição do Aluno C9 com o pesquisador
P: Você vai ler e explicar para
mim.
C9: (Realiza a leitura).
P: E, ai? (o aluno fica em silêncio,
por um tempo) Você gosta de
cozinhar?
C9: Não, eu gosto de lavar louça Particularidade Genérica: por Temos aqui o terceiro tipo de
às vezes... éee... 4 x 3?
meio do diálogo o aluno conta invariantes <<argumentos>>:
suas tomadas de decisões.
por meio do diálogo o aluno
O
pesquisador
abre
o apresenta o argumento do tipo
questionamento para que o aluno número, que seria a operação
explique o porquê da escolha de de multiplicação (4x3).
P: Pode fazer! Agora explica para tal operação. Nesta discussão
mim porque você escolheu de observamos na narrativa a
Composição
Hermenêutica.
vezes?
C9: Porque ela tá precisando de Outro ponto a destacar nessa Nesta parte identificamos o
triplicar, ai peguei o 4, porque ela Transcrição da narrativa do aluno quarto componente de um
tem 4 ovos, ai ela precisa para é a passagem do Pensamento esquema, a possibilidade de
triplicar, eu peguei o 3, por que Narrativo para o Pensamento inferência, questões que estão
triplicar é o 3. Ai eu peguei esse Lógico – Científico, pois, meio ligadas ao raciocínio do aluno
número e somei.
da linguagem o seu raciocino que é desenvolvido por meio de
lógico se torna efetivo.
cálculos e informações.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar”.
P: Você somou?
C9: Não, é...
P: Como é o nome dessa
operação?
C9: Deixa ver... (o aluno fecha os
olhos) subtrair? Dividir? É..., não
sei...
P: Qual é o sinal, aqui?
C9: É vezes
P: Então a operação é do que?
C9: Ummm...
P: Multi...
C9: Multiplicação.
P: Tá, bom.
Transcrição do Aluno C10 com o pesquisador
P: Fazer a leitura e explicar, tá?
C10: Eu acho que e 4 x 3?
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo, o aluno
apresenta o argumento do tipo
número,
a
operação
de
multiplicação (4x3).
P: Por quê?
C10: Por que aqui tá “triplicar” e A passagem do Pensamento Encontramos
aqui
os
aqui 4 ovos, então ela vai precisar Narrativo para o Pensamento Conceitos em ação: o aluno
Lógico – Científico, por meio da selecionou
triplicar então tem que ser 4 x 3.
as
informações
linguagem o seu raciocino lógico disponíveis para resolver o
se torna efetivo.
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar”.
Transcrição da Interação com o Aluno C9 e o Aluno C10
P: Tá. Agora, o aluno C10 vai
contar como ele resolveu. Aliais,
165
agora ao contrario o aluno C9.
C10: Eu fiz 4 x 3 porque ela tem
que triplicar, e ai eu fiz 3 x.
C9: Eu fiz porque ela tinha 4 ovos
e tinha que triplicar, ai eu peguei
do triplicar 3 e coisei e deu 12.
C10: Eu também acabei de falar
para ele.
P: Ai vocês concordam?
C10: Uhu
C9: Dessa vez, sim.
P: Então, tá bom, acertaram. A
palavrinha...
C9: Triplicar.
P: Que já da à dica de...
C9: 3.
P: de 3.
Neste
trecho
temos
a
Composição
Hermenêutica,
pois o aluno interpreta e
apresenta
as
estratégias
relacionadas
aos
seus
significados.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes
<<argumentos>>>>: por meio
da narrativa, o aluno apresenta
o argumento do tipo número, a
operação de multiplicação (4x3)
e a proposições “triplicar”.
Encontramos
aqui
os
Conceitos em ação: o aluno
selecionou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
Do mesmo modo o aluno C9
destaca o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo do aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar” e mostra
entender o significado desta.
6.3.8 Observações sobre o comportamento do aluno C9 e C10
O aluno C9, em sua explicação, chama a atenção da palavra “triplicar”
relacionando ao valor 3; é interessante que o aluno apresenta a operação de
multiplicação e, quando o pesquisador pergunta qual é a operação ele fala “divisão;
menos...” não lembrando aparentemente do nome da operação de multiplicação.
Logo após a leitura, o aluno C10 apresenta a operação de multiplicação, destacando
também a palavra “triplicar”. No momento da interação novamente os alunos
apoiam-se na palavra “triplicar” para realizar as explicações um para o outro.
166
Aluno C11 e Aluno C12
Aluno C11
Aluno C12
Figura 22-Resolução do problema pelos alunos C11 e C12.
Fonte: Acervo pessoal
167
Transcrição da fala dos Alunos
C11 e C12
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno C11 com o pesquisador
P: Você vai ler em voz alta e
explicar para mim.
C11: “Triplicar"... á! Triplicar não é
Encontramos
aqui
os
Conceitos em ação: o aluno
3? (o aluno descreve o cálculo) Tá
certo?
selecionou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo do aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar”.
P: Uhu!
Transcrição do Aluno C12 com o pesquisador
P: Você vai ler e explicar para
mim.
C12: Continha de dividir?
P: Por quê?
C12: Por que quádruplo.
P: O que?
Particularidade Genérica: por
C12: Por que vai ter que “triplicar” meio do diálogo o aluno conta Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
a receita do bolo?
suas tomadas de decisões.
O
pesquisador
abre
o por meio do diálogo o aluno
questionamento para que o aluno apresenta o argumento do tipo
explique o porquê da escolha de proposições “triplicar”.
P: E como você faz o cálculo?
tal operação. Nesta discussão
C12: 4:4
observamos, no diálogo, a Observamos um Teorema em
P: Por que 4 dividido por 4?
Composição Hermenêutica e Ação (falso), ou seja, são as
C12: Por que é o único número.
também a Ambiguidade de relações matemáticas implícitas
referência, em que o professor escolhidas pelo aluno que
abre o questionamento para que fazem
parte
dos
seus
os alunos percebam alguns esquemas; vemos aqui que o
detalhes
que
faltaram
na aluno apresenta outro tipo de
interpretação
do
problema. operação para resolver o
Outras duas observações: o problema.
P: O que ela quer fazer:
aluno encontra o que é central,
C12: Um bolo de chocolate.
que chamamos de Centralidade
P: E o que ela quer fazer com do Problema; o segundo ponto é
a forma do aluno lidar com os
esse bolo de chocolate?
C12: Ela vai fazer para neta dela.
significados,
dado
como
P: Tá. Mas ela quer fazer o que Composição hermenêutica.
com a receita do bolo?
C12: Ela quer “triplicar” a receita.
Encontramos
aqui
os
P: O que é triplicar?
Conceitos em ação: o aluno
C12: É, para a receita ficar maior?
selecionou
as
informações
O bolo ficar maior?
disponíveis para resolver o
problema.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
primeiro
componente dos esquemas, as
metas e antecipações que o
aluno adota ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
P: É,né. E ai como é que faz?
C12: 4 dividido por 4?
Em sua fala percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja,
são
as
relações
matemáticas
implícitas
escolhidas pelo aluno que
168
fazem
parte
dos
seus
esquemas; vemos aqui que o
aluno apresenta um outro tipo
de operação para resolver o
problema.
P: Faça então.
Transcrição da Interação com o Aluno C9 e o Aluno C10
P: C11 explica para o aluno C12 Por meio do diálogo, o aluno
como você fez?
conta suas tomadas de decisões
C11: Eu fiz o 4 x 3, porque ela o que o autor chama de Encontramos
aqui
os
Particularidade
Genérica; Conceitos em ação: o aluno
tinha 4 ovos...
P: Presta atenção, aluna C11.
também temos a Composição selecionou
as
informações
C11: Ai esqueci... Era só “triplicar” hermenêutica
em
que disponíveis para resolver o
ai eu fiz 4 x 3 que deu 12.
conseguimos
observar,
pela problema.
narrativa, os significados que Nesta parte segundo o autor,
devem ser levados em conta identificamos
o
primeiro
para a resolução deste problema. componente dos esquemas, as
metas e antecipações que o
aluno adota ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
C12: Eu só coloquei 4 dividido por
4.
P: Explica para ele porque você
fez 4 dividido por 4.
C12: Por que era o único número.
P: E ai vocês concordam com a
resolução? Aluno C12 você
concorda com a resolução do
aluno C11?
C11: (Balança a cabeça que sim).
P: Á!
C11:
(Balança
a
cabeça
novamente que sim).
P: Aluno C11 você entendeu o
que ela fez?
C11: (Balança a cabeça que não).
P: E como você concorda?
C11: (Fez o movimento com as
mãos de que não sei).
P: E você aluno C11 o que acha
da resolução dele? Conversa
entre vocês e vê o que vocês
acham da resolução, qual que
está correta?
C12: A do C11?
P: Porque você acha que é a
dele?
C12: (Levantou os ombros
demonstrando não saber por que).
P: Hum!
C12: Não, sei!
P: Ué, se você acha que tá certo,
por quê? Você acha que a do
aluno C12 tá certa?
C11: (Balança a cabeça que não).
P: Por quê?
C11: Por que... onde 4 dividido
por 4 não dá 16, dá 1.
Teorema em ação (falso): o
aluno, ao explicar para o outro,
apresenta a operação de
divisão e o motivo da sua
escolha, sendo que está não
condizia com a resolução.
Temos
a
Negociabilidade
inerente entre os alunos e o
pesquisador, que tem a intenção
de orientá-los na discussão do
problema e fazer com que eles
discutissem sobre os cálculos
realizados e suas interpretações.
Encontramos, nessa Transcrição
do
diálogo
do
aluno,
a
Passagem do Pensamento
Nesta parte, identificamos o
primeiro
componente
dos
esquemas,
as
metas
e
169
Narrativo para o Pensamento
Lógico – Científico: por meio da
linguagem o seu raciocínio lógico
se torna efetivo.
P: Tá!
C11: Começa por ai!
P: E que mais?
C11: I. era triplica, é vezes
P: E ai você concorda com ele?
C12: (Balança a cabeça que sim)
P: Tá lembrando das aulas?
C12: (Balança a cabeça que sim)
P: O que o probleminha pergunta
ai? De quantos ovos...
C12: Precisará para fazer a
receita do bolo.
P: Precisará para tri...
C12: Triplicar.
P: O que é a palavra tri-pli-car
lembra?
C12: E de vezes
C11: 3
P: E lembra o valor?
C11: 3
P: 3, né? E ai você vai triplicar,
lembra que você falou que tem
que aumentar o bolo?
C12: (Balança a cabeça que sim).
P: Se você nesse caso ai, quando
você vai dividir o que vai
acontecer com o bolo?
C12: Vai ficar maior?
P: Quando você divide o bolo, vai
ficar maior?
C11: (Fala bem baixinho para o
aluno C12) vai ficar menor...
C12: Menor.
P: Então, e ai justamente que nem
ele apontou, 4... não tá certo o
seu cálculo por que tem que
triplicar que nem ele fez, ele
pegou os 4 ovos e tinha que
triplicar a receita, então ele irá
usar o triplo ... a Dona Nastácia
vai usar o triplo de ovos que ela
tem, já inicialmente, que é a
quantia de 12 para o bolo ficar
maior, tá?
C12: Sim.
P: Agora quando você faz a
divisão 4 dividido por 4, lembra
que você fez a tabuada aqui 4x 1
= 4.
C12: 4
P: Então eu tenho que ver aqui,
qual é o número que multiplicado
por 4 vai dar 4, não é?
C12: Sim
P: Aqui você colocou o resultado
de 4 x 4, que é 16. Então uma vez
4 4 vão dar 4, que para 4 falta
zero, ai ficaria certo o 1. Você tem
4 balas e vai dividir para 4
antecipações que o aluno
adota ao realizar a leitura do
problema para proceder à
resolução.
Encontramos
aqui
os
Conceitos em ação: o aluno
selecionou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
Mediante as palavras contidas no
problema o pesquisador abre um
questionamento com os alunos
para observar a postura deles
quanto aos conceitos que já
estão presentes e ver como estes
reagem e, se com esses
questionamentos,
os
alunos
conseguem estabelecer alguns
conceitos que são necessários
para
o
entendimento
no
problema; para o autor, temos
neste trecho do diálogo a
ambiguidade de referência.
Novamente o pesquisador tenta
nortear a discussão entre os
alunos
com
alguns
questionamentos, com a intenção
de que estes percebam as
relações matemáticas que estão
sendo apresentadas, a partir dos
cálculos
e
os
raciocínios
realizado por eles, destacando
neste trecho a negociabilidade
inerente.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
proposições “triplicar".
170
amiguinhos, quantas balas cada
um vai ficar?
C12: Uma
P: Com uma. Tem que pensar
assim, tá? Deixa aqui do jeito que
tá, e refaz a conta certa agora.
C12: A dele?
P: Você entendeu o que é para
fazer no problema, né?
C12: (Balança a cabeça que sim).
P: É tenho quatro ovos e eu tenho
que triplicar.
C11: Lição eu sou bom, mas
quando chega a prova de
matemática eu me lasco!
P: A é! E que você faz correndo,
não é?
C11: (Balança a cabeça que não).
P: Não faz?
C11: (Balança a cabeça que não).
P: Você erra?
C11: (Balança a cabeça que sim).
P: Mas ai é que tem que prestar
atenção, mais. Deu para entender
agora?
C11 e C12: (Balança a cabeça
que sim).
6.3.9 Observações sobre o comportamento do aluno C11 e C12
O aluno C12 realiza a leitura e destaca a palavra “triplicar” como sendo o 3,
e rapidamente, resolve o problema por meio da multiplicação. O aluno C11, após
sua leitura fica pensando um pouco e sugere a operação de divisão explicando que
o motivo da sua escolha e por causa da palavra “triplicar”. O pesquisador realiza
alguns questionamentos, mas mesmo assim o aluno acha que deve ser resolvido
pela divisão. No momento da interação, o aluno C12 explica para o seu colega
destacando a palavra triplicar novamente; já quando o aluno C11 explica ao aluno
C12, este fica em dúvida, mas acaba aceitando; o pesquisador realiza algumas
intervenções e, mais adiante, o aluno C12 expõe seus pensamentos. Indagado
sobre sua operação, o aluno C11 percebe o seu erro e refaz o cálculo.
6.3.10 Síntese Geral dos alunos do Grupo 3 – Campo Multiplicativo
Na realização da atividade, individualmente, a palavra “triplicar” mostrou ser
o ponto estratégico do problema para os alunos. Uma das características nos
diálogos quanto aos aspectos da narrativa foi a composição hermenêutica,
observada nas explicações dos alunos pela escolha da operação, em que todos se
apoiaram na palavra “triplicar”, traduzida por eles pelo número 3, ou como sendo a
171
operação de multiplicação e a representação do número 3. É importante
observarmos que nem todos destacaram a multiplicação como sendo a operação
para solução. Para Vergnaud (1998) a palavra triplicar se remete ao invariante do
tipo <<argumento>>, como sendo uma proposição em que está relacionada ao
Conceito em ação, ou seja, o aluno seleciona informações que já estão
estabelecidas em seus esquemas para proceder à solução do problema. A
ambiguidade de referência aparece nas interações nas quais os alunos
apresentam suas explicações para os colegas e ao pesquisador; destacamos o
aluno C12 que, por mais que tenha referindo-se à palavra triplicar, não a utilizou
para representar a operação de multiplicação e nem o número 3. Para este aluno, o
pesquisador precisou intervir com alguns questionamentos para que ele pudesse
compreender e ter uma mudança de postura em relação ao significado da palavra
triplicar. Na interação da dupla (C7 e C8), conseguimos observar pelas suas
explicações, em seus diálogos, os motivos que levaram a escolha das operações, o
que, segundo Bruner, (2001) significa ações tem motivos. O aluno C8 apresenta a
palavra “triplicar” como sendo a palavra chave, e destaca o primeiro componente
metas e antecipações quando, após a leitura, realiza a operação de multiplicação.
Já o aluno C7 apresenta um teorema em ação (falso) em sua explicação: a conta
de adição (4+4), operação essa que não condiz com a resolução. O aluno C12
apresenta a operação de divisão (4:4). Temos presentes nas manifestações das
duplas (C7 e C8) e (C11 e C12) os componentes de um esquema, a
possibilidade de inferência que são relacionadas ao raciocínio e desenvolvimento
por meio de cálculos.
6.4 Atividade Individual, dupla e interação: 4ª ETAPA
Nesta quarta etapa apresentamos para todos os grupos (G1, G2 e G3) os
problemas do quadro 26 para as estruturas aditivas e do quadro 32 para as
estruturas multiplicativas.
6.4.1 Análise da 4ª Etapa para o problema do campo aditivo
O problema proposto para os alunos na quarta etapa, envolvendo as
estruturas aditivas, é apresentado no quadro 26. Segundo os estudos de Vergnaud,
172
entendemos a classificação deste problema como sendo um dos PROBLEMAS
ARITMÉTICOS COMPLEXOS, envolvendo a (5º categoria) que apresentam varias
relações aditivas.
Objetivo: Verificar se os alunos observam a única informação explícita que deve ser
transformada por meio das comparações para se chegar à solução e à análise dos
valores obtidos.
Quadro 25 - Problema do Campo Aditivo aplicado para a 4ª Etapa.
Fonte: Adaptação do problema de (Magina, et.al.2008, p.56)
6.4.2 Análise do grupo 1 (individual): Problema do campo aditivo
Aluno D1
Figura 23 - Resolução do problema pelo aluno D1
Fonte: Acervo pessoal
173
Transcrição da fala do Alunos
D1
P: Você lê o problema em voz alta
e depois você me explica como
poderia fazer?
D1: Eu tenho que fazer... a conta
pode fazer aqui?
P: Pode.
D1: Ana tem 59 e Gabi e duas
vezes...e a Gabi tem dois quilos a
mais, ai eu peguei 59 e fiz mais
dois, e deu 61 ai eu peguei mais 3
que ai e da Pepe.
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Neste diálogo se apresenta a
Composição
Hermenêutica:
observamos
as
estratégias
utilizadas e procedimentos pelo
aluno D1.
Encontramos o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>
na fala do aluno, que apresenta
o argumento do tipo “a mais...”.
Informação extraída a partir da
sua leitura.
Neste outro item, segundo o
autor, identificamos o quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e mostra como utilizou as
informações.
P: Tá. Isso mesmo.
6.4.3 Observações sobre o comportamento do aluno D1
O aluno D2 faz a leitura e fica pensando um pouquinho, e, em seguida,
descreve os cálculos na folha de atividade; conforme ele vai achando os valores,
verbaliza em voz alta os resultados de cada peso, não demonstrando nenhuma
dificuldade quanto à interpretação do problema. Após o término, o pesquisador pede
para que ele explique e, aos poucos, ele vai estruturando a solução do problema,
demonstrando compreensão no que tinha que realizar.
174
Figura 24 - Resolução do problema pelo aluno D2
Fonte: Acervo pessoal
Aluno D2
Transcrição da fala do Aluno D2
Análise de acordo com Bruner
P: Faça a leitura desse problema.
Como podemos resolver?
D2: De menos.
Encontramos no início deste
diálogo
a
Negociabilidade
Inerente entre o pesquisador e o
aluno D2, em que o pesquisador
vai desencadeando juntamente
com o aluno o entendimento do
problema.
P: De menos? O que o problema
quer saber?
D2: Quem é a mais magra?
P: Para eu saber quem é a mais
magra, o que eu preciso saber?
D2: O peso.
P: Eu sei o peso de alguma?
D2: Sei.
P: De quem eu sei?
D2: Da Pepe, da Gabi...
P: Qual é o peso da Pepe?
D2: Dois quilos a mais que
Gabi...não só da Ana
Temos também a Ambiguidade
de
referência:
podemos
observar as interpretações que o
aluno vai apresentando por meio
dos questionamentos feitos pelo
pesquisador.
Análise de acordo com
Vergnaud
E em seu diálogo percebemos
um Teorema em Ação (falso),
ou
seja,
uma
relação
matemática implícita escolhida
por ele e que faz parte dos seus
esquemas; observamos que o
mesmo exibe outro tipo de
operação para resolver o
problema.
175
P: Então, vamos por aqui no
papel? Ana pesa quanto?
D2: 59.
P: Tá, agora o peso da Gabi e
dois quilos a mais que...
D2: Ana.
P: Se Ana pesa 59, quanto que
Gabi pesa?
D2: 61.
P: E a Pepe?
D2: Três quilos a mais que Gabi,
né. É 62.
P: Quanto?
D2: 62.
P: Quanto que pesa Gabi? Você
não colocou aqui?
D2: 61
P: Então, Pepe pesa três quilos a
mais que quem?
D2: Gabi.
P: Quanto que ela pesa?
D2: 63, 64.
P: E qual delas é a mais magra?
D2: Ana.
Com a ajuda do pesquisador o
aluno começa a resolver o
problema e, aparentemente,
não percebe o processo do
cálculo. Segundo o autor, são
os Invariantes Operacionais
implícitos: o aluno realiza as
operações necessárias e não
percebe os termos objetos e
propriedades do problema.
6.4.4 Observações sobre o comportamento do aluno D2
O aluno realiza a leitura, e após ele sugere a operação “de menos”, quando
o pesquisador o questiona sobre a ideia central do problema ele destaca apenas
uma questão. O pesquisador direciona o aluno para que este levante as informações
necessárias e, juntamente com o pesquisador, o aluno vai resolvendo o problema.
176
Aluno D3
Figura 25 - Resolução do problema pelo aluno D3
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno D3
P: Você vai ler em voz alta é
responder tá?
D3: Tem que fazer a conta?
P: Você já fez de cabeça?
D3: (Balança a cabeça que sim).
P: Como você fez então, fala?
D3: Eu vou fazer, agora.
P: Pronto? Então explica para mi
como você fez?
D3: Eu fiz, 3 mais 59...não, 59
mais 2 deu 61 que é esse
resultado aqui, mais 3 que é 64.
P: Tá, é quem é a mais magra?
D3: Ana.
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Ao apresentar uma operação
destacamos, no diálogo do aluno,
a Composição Hermenêutica,
observamos
as
estratégias
utilizadas e procedimentos pelo
aluno D3, e também a passagem
do Pensamento Narrativo para
o
Pensamento
Lógico
–
Científico,
uma
vez
que
conseguimos notar o raciocínio
lógico do aluno.
Logo após o questionamento do
pesquisador, o aluno apresenta,
em sua explicação, o quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
que é identificado por questões
que estão ligadas ao raciocínio
do aluno e às operações de que
ele dispõe.
6.4.5 Observações sobre o comportamento do aluno D3
Após a leitura o aluno precisou de um tempo para pensar, mas já foi
realizando os cálculos mentalmente, não demonstrando dúvidas quanto à
177
interpretação do problema. Para responder a cada questão o aluno acompanhava as
informações do texto. No momento da explicação, ele destacou os valores que
utilizou e a operação.
6.4.6 Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo aditivo
Aluno D4 e Aluno D5
Figura 26 - Resolução do problema pela dupla D4 e D5.
Fonte: Acervo nosso.
Transcrição da fala dos Alunos
D4 e D5
P: Vocês vão ler em voz alta
explicar como vocês resolveriam
problema, tá?
D4 e P: (Os alunos começam
resolver, contando nos dedos
conversando entre si).
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
e
o
a
e
P: Pronto? Expliquem para mim
como vocês fizeram.
D5: Pepe é a mais que Gabi, ai eu
peguei mais 2 com 3 que é 5.
P: Mas esse e o peso delas?
D5: É.
P: Tem certeza?
Observamos, por meio dos
gestos
dos
dedos,
os
Esquemas de numeração,
para o auxilio dos cálculos
realizados pelo aluno.
O pesquisador vai direcionando
os questionamentos na intenção
de verificar a compreensão que o
aluno tem quanto às relações
que realiza e o seu resultado.
Apresenta-se o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
verbaliza o argumento do tipo “’
a mais...” Porém ele utiliza um
178
Observamos no decorrer do
diálogo que, para o aluno, as
relações apresentadas são os
pesos. Esse diálogo apresenta a
característica da composição
hermenêutica.
D5: (O aluno balança a cabeça
dizendo que sim).
P: Ò...Pepe tem 3 quilos a mais
que Gabi. Três quilos não é o
peso!
D5: Não.
P: O que tá falando é uma
referencia: “a mais que Gabi”, Ana
pesa 59. Ana pesa 59, certo?
D5: Certo.
P: Qual é o peso de Ana?
D5: 59.
P: Tá. Ai depois ele fala o peso da
Gabi e 2 quilos a mais do que de
Ana, se Ana pesa 59, o peso de
Gabi e quanto? E o que vocês
fizeram aqui.
D4 e D5: mais 2.
P: Mais dois quilos que dá?
D5: 61.
P: 61. Ai volta lá em cima, Pepe
tem 3 quilos a mais que Gabi,
quanto que Gabi tem?
D5: 61.
P: E se é 3 quilos a mais e
quanto? 61...
D5: 63.
P: 3 mais 1 vão dá quanto?
Sessenta é ... quatro né?
D4 e D5: É.
P: Então qual é o peso de Pepe?
D4: 64.
P: E ai quem é a mais magra? É a
que tem menor peso, que é...
D4 e D5: Ana
P: Ana, não é isso?
P e D4: É.
Teorema em Ação (falso), ou
seja, uma relação matemática
implícita escolhida por ele e que
faz parte dos seus esquemas;
observamos que o mesmo
exibe outro tipo de operação
para resolver o problema..
O aluno D5, não compreendeu
alguns termos apresentados nas
relações
estabelecidas
no
problema. O pesquisador explica,
na intenção de que o aluno possa
compreender a função dessas
relações; chamamos isso na
narrativa de Ambiguidade de
referência.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos para direcionar
os dois alunos a compreender a
estrutura
do
problema,
retomando todas as informações
contidas no enunciado. Logo,
temos
a
Negociabilidade
inerente.
Neste momento, o pesquisador
direciona
o
aluno
a
esquematizar os cálculos para
iniciar a resolução do problema;
quando o aluno realiza esse
tipo de tarefa o autor chama
isso
de
invariantes
Operacionais
explícitos,
percebendo as relações e
informações
contidas
no
problema.
6.4.7 Observações sobre o comportamento dos alunos D4 e D5
Os dois alunos são bem tímidos, apresentam um pouco de dificuldade para
expor suas ideias e para compreender o problema. O pesquisador teve que interferir
em quase todos os momentos. Primeiramente, o aluno D5 começou a realizar os
cálculos utilizando os dedos, e o aluno D4 ficou apenas olhando; havia alguns
momentos nos quais os alunos retomavam a leitura do texto. Na hora de explicar as
relações como “2 a mais, 3 a mais...” foram interpretadas pelos alunos como sendo
o peso das meninas, o pesquisador teve que conduzir os alunos na leitura para que
179
estes conseguissem compreender a estrutura o problema e chegar às soluções
finais.
Aluno D6 e Aluno D7
Figura 27 - Resolução do problema pela dupla D6 e D7
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
D6 e D7
P: Vocês vão fazer a leitura e
explicar, tá?
D6 e D7: Ta.
D6: Vamos começar pela primeira
o peso da Pe...Qual é o nome
dela?
D7: Pepe.
P: Pepe.
D6: Qual é o peso da Pepe? Pepe
tem 3 quilos a mais que Gabi se
Gabi tem 61.
D7: Aqui ó!
D6: Se Gabi tem 61,62,63,64.
Análise de acordo com Bruner
Esse diálogo da dupla apresenta
a característica da narrativa:
Composição Hermenêutica, em
que
podemos
observar
o
entendimento que os alunos
tiveram dos significados das
relações,
da
estrutura
do
problema e as estratégias
utilizadas por eles.
Análise de acordo com
Vergnaud
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
180
realizado para se chegar à
solução.
D7: É.
D6: Ela tem 64 porque ela tem 3
quilos a mais que Gabi.
D7: É!
D6: A segunda!
D7: Qual é o peso da Gabi?
D6: Olha aqui!
D6 e D7: A Pepe tem 3 quilos a
mais que Gabi, Ana pesa 59
quilos e o peso da Gabi e de 2
quilos a mais que Ana...
D6: Então...
D6 e D7: Se é 2 quilos a mais que
da Ana é 61.
D6: Essa aqui tá certa.
D7: Qual é a mais magra?
D6 e D7: qual é o peso da Ana?
59 quilos.
D7: É porque aqui já tá falando.
D6: Porque no...como e nome
disso ai? Enunciado já fala o peso
dela.
D7: Ai qual é a mais magra? A
Ana.
D6: Porque a Pepe pesa 64.
D7: É a Gabi 61.
D6 e D7: É a Ana 59.
D7: Então...
D6: Calma ai...59,60,61 ...é 5
quilos a mais que o primeiro
porque o da Ana é 59. Então, aqui
a Ana é mais magra.
Ao explicar um para o outro
encontramos no diálogo a
Negociabilidade inerente de
ambos
no
momento
da
explicação.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
Destacamos a passagem do
Pensamento Narrativo para o
Pensamento
Lógico
–
Científico, em que a dupla
expressa seus raciocínios lógicos
por meio da linguagem.
Temos o quarto componente
de
um
esquema,
a
possibilidade de inferência: o
aluno
desenvolve
seu
raciocínio
por
meio
das
informações e de cálculos, que
estão também ligados aos
Conceitos em Ação.
6.4.8 Observações sobre o comportamento dos alunos D6 e D7
Os dois alunos tem uma grande facilidade para resolver o problema e
interagem muito bem na discussão. A todo instante os dois estavam em discussão
para decidir como deveriam proceder ao cálculo. Nas suas explicações, foram bem
detalhistas, apresentando as relações “a mais” para justificar as respostas.
181
Aluno D8 e Aluno D9
Figura 28 - Resolução do problema pela dupla D8 e D9
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
D8 e D9
P: Vocês vão ler em voz alta
juntos e resolver. Como a gente
pode resolver?
D9: Acho que são três contas.
P: Quantas perguntas eu tenho?
D9: Tem três
P: Três?
D9: Três. Do Pepe, da Gabi e da
Ana.
P: É a outra?
D9: A é tem 4.
P: Então como é que eu vou
resolver. Como eu consigo
resolver o problema? O que ele
quer saber?
D9: Ele que sabe quanto que é o
peso da Pepe, da Gabi, da Ana e
quem é a mais magra.
P: E como eu resolvo?
D8: (Começa a realizar a
contagem nos dedos) três, 53, 59
dividido por 2.
D9: Rubens de dividir ou de
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Após o questionamento do
pesquisador, o aluno identifica as
questões centrais do problema, o
que remete, neste trecho, do
diálogo à caracterização da
Centralidade do Problema.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e
realiza a contagem utilizando os
dedos.
Na fala do aluno percebemos
182
vezes?
D8: Dividir
P: Porque vocês vão usar a
divisão?
D8: Aqui é 59 é aqui é 3 e aqui é
2
D9: Aqui é o peso de Pepe ai, nos
iremos dividir pelo peso da Ana.
P: O que tá falando do peso da
Pepe?
D8: Que tem três quilogramas a
mais...
D9: Que Gabi.
P: Se ela tem três quilogramas a
mais que Gabi, quanto que a Gabi
pesa?
D8:
A
Gabi
pesa
dois
quilogramas. Tem que soma
Pepe...
P: Dois quilogramas...
D8: O que?
P: Termina de ler a frase. Dois
quilogramas...
D8: A mais que Ana.
P: E quanto que Ana pesa?
D8 e D9: A Ana pesa 59
quilogramas.
P: Ai como eu faço para descobri
o da Pepe e o da Gabi?
D8: O da Gabi é tipo uma
conta...de menos, não de mais.
D8: De mais.
P: Por quê?
D9: Tá tipo no texto...
P: Como eu faço então? Eu quero
a primeira pergunta, qual e o peso
da Pepe? O peso da Pepe é
comparado a quem? Pepe tem
três quilogramas a mais que Gabi,
eu sei o peso da Gabi?
D8: Não.
P: Ai a Gabi, o que tem falando,
Gabi tem dois quilos a mais que
Ana. Eu sei o peso da Ana?
D8: Ana pesa 59
D9: 59
P: Então a Gabi pesa quanto? Se
o peso da Gabi é...
D8: Dois quilogramas
P:Dois quilogramas a mais,
quanto que a Gabi pesa?
D8: Ela pesa então...
P: Presta atenção na leitura. Se a
Ana pesa 59 quilos e o peso da
Gabi e dois quilos a mais que
Ana, quanto que pesa a Gabi?
D8: A entendi!
P: O que você entendeu?
D8: Tem que somar...
D9: Tem que somar esse junto
com esse.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos para tentar
direcionar os dois alunos na
intenção
de
que
eles
compreendam a estrutura do
problema,
esse
diálogo
caracteriza-se
pela
Negociabilidade inerente.
um Teorema em Ação (falso),
ou
seja,
uma
relação
matemática implícita escolhida
por ele e que faz parte dos seus
esquemas; observamos que o
mesmo exibe outro tipo de
operação para resolver o
problema.
Logo, após o questionamento do
pesquisador no diálogo da dupla
destaca-se
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar as interpretações e
estratégias que os alunos estão
adotando
para
resolver
o
problema.
A Ambiguidade de referência
apresenta-se no momento em
que o pesquisador abre os
questionamentos e observa como
os alunos vão se comportando
com cada questão lançada a
eles. O pesquisador busca rever
a interpretação que os alunos
tiveram e vai esclarecendo com
eles a estrutura do problema e o
significado de algumas palavras.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos, vai retomando
todas as informações contidas no
problema e direcionando os
alunos a caminho da resolução.
Logo, temos a negociabilidade
inerente, momento este na
narrativa em que o pesquisador e
os
alunos
vão
realizando
discussões e esquematizando o
problema para o entendimento
dos alunos à resposta final.
Novamente se apresenta a
Composição Hermenêutica na
narrativa dos alunos, só que
agora
o
aluno
vai
compreendendo o que precisa
Logo, após o questionamento
do
pesquisador, o
aluno
apresenta, em sua explicação,
o quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, que é identificado
na ligação entre o raciocínio do
183
ser feito
problema.
D8: Tem que pegar o peso da
Gabi...
P: Dois quilos a mais que da Ana,
se é dois quilos a mais que Ana e
ela pesa 59, quanto que é o peso
da Gabi?
D9: 59
D8: 61?
P: Isso. Ai se Gabi pesa 61
quanto pesa Pepe, Pepe tem três
quilos a mais que Gabi.
D8 e D9: 63
P: Quanto que é o peso da Gabi?
Faz esse primeiro? Vamos
escrever, ai? O que você
escreveu ai?
D9: O valor que deu.
P: Vocês estão entendendo o
problema,
ou
não?
Tá,
entendendo aluna D9?Tá, ou
não?
D8: Eu to mais ou menos.
P: Você esta entendendo o que
eu falei?
D9: To.
P: Verdade?
D8: Eu to entendendo mais ou
menos.
P: Aqui ele está fazendo varias
comparações, certo?
D8 e D9: (Balança a cabeça que
sim).
P: Se a Ana pesa 59, o peso da
Gabi e dois quilos a mais que
Ana. Eu não sei o quanto Ana
pesa? Quanto a Ana pesa?
D8: 59.
P: E a Gabi pesa dois quilos a
mais que Ana, então quanto que
ela pesa?
D8: Ela pesa 61 quilos.
P: 61. Então marquem ai. Quem
pesa 61?
D8: A Gabi.
P: Então coloquem ai Gabi 61
para vocês não confundirem.
Agora Pepe tem três quilos a mais
que Gabi, quanto que Gabi pesa?
D8 e D9: A Gabi pesa 61.
P: Pesa três quilos a mais que
ela, quanto é?
D8: 64.
P: Então, Pepe pesa quanto?
D8: 64.
P: Agora, vamos para as
perguntas? Qual é o peso de
Pepe?
D9: 64.
P: Qual é o peso da Gabi?
D8: O peso da Gabi é 61.
P: Qual é o peso da Ana?
D8 e D9: 59 quilos
P: Quem é a mais magra das
três?
D8: É a Ana.
para
solucionar
o
O
pesquisador
faz
alguns
questionamentos para observar
os esquemas estabelecidos para
a solução e as verificações do
raciocínio da dupla, neste
momento tem-se presente a
Negociabilidade Inerente.
aluno e as operações que ele
dispõe.
Com a ajuda do pesquisador, o
aluno começa a resolver o
problema e aparentemente não
percebe o processo do cálculo,
o autor chama isso de
Invariantes
Operacionais
implícitos: o aluno realiza as
operações necessárias e não
percebe os termos, objetos e
propriedades do problema.
184
P: Certo! Entenderam agora como
é o probleminha.
D8 e D9: Uhu.
6.4.9 Observações sobre comportamento dos alunos D8 e D9
Os alunos realizam a leitura, o aluno D8 toma a frente da discussão, e o
aluno D9 parece não compreender muito que está sendo discutido; em algumas
ocasiões ele acaba participando. No primeiro momento da leitura os alunos não
compreenderam como deveriam realizar os cálculos, só sabiam o que tinham que
descobrir. O pesquisador teve que guiá-los para compreenderem a estrutura do
problema.
185
6.4.10 Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo aditivo
Aluno D10 e Aluno D11
Aluno D10
Aluno D11
Figura 29 - Resolução do problema pela dupla D10 e D11
Fonte: Acervo pessoal
186
Transcrição da fala dos Alunos
D10 e D11
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do aluno D10 com o pesquisador
P: Você irá ler o problema e me
dizer como poderia ser resolvido.
D10: (Faz a leitura novamente). O
peso delas não está aqui? Quem
é mais magra!
P: São quantas perguntas, ai?
D10: Quatro. O peso da Pepe...é
3 quilos.
P: O que está escrito ai?
D10: Pepe tem três kg a mais que
Gabi. Ana pesa 59 kg e o peso da
Gabi e 4 kg a mais que Ana.
P: Então...
D10: (a aluna fica em silêncio e
refaz a leitura) Eu acho que já sei
o peso da Ana.
P: Então, põe ai, qual é?
D10: Ana pesa 59 Kg e o peso da
Gabi e 2 kg a mais que Ana.
Então...
P: Pode numerar as questões,
colocar a resposta da 1, da 2,
etc... Qual é a primeira pergunta?
D10: Qual é o peso da Pepe?
P:
Também
não
precisa
responder em ordem. Você
descobriu o peso de quem, que
você falou?
D10: O peso da Pepe, o peso da
Ana e o peso da Gabi.
P: Tá! Mas de quem você
descobriu?
D10: Da Gabi.
P: Quanto que é o da Gabi?
D10: 59.
P: Então, põe lá. E depois qual é
o outro.
D10: A aluna começou a realizar
as contas e descrever os
resultados.
Neste trecho do diálogo do aluno
destacamos
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar o entendimento que o
aluno teve da estrutura do
problema.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
O
pesquisador
faz
alguns
questionamentos para observar
os esquemas estabelecidos para
a solução e as verificações do
raciocínio da dupla, neste
momento tem-se presente a
Negociabilidade Inerente.
Por meio da escrita do aluno,
observamos o componente de
um esquema, a possibilidade
de
inferência:
o
desenvolvimento
do
seu
raciocínio
por
meio
das
informações e de cálculos, que
estão também ligados aos
Conceitos em Ação.
Transcrição do aluno D11 com o pesquisador
P: Você vai ler em voz alta. E ai
como podemos resolver?
D11: De menos?
P: Vê, aí vocês vão sentar e
discutir para verificar a solução.
Você pode numerar as questões
para você responder.
D11: Pronto.
P: Explica para mim como você,
fez?
D11: Aqui, Pepe têm 3 quilos a Temos, no diálogo do aluno, a Identificamos
o
quarto
mais que Gabi, Ana pesa 59 caracterização da Composição componente de um esquema,
187
quilogramas e o peso de Gabi e 2
a mais que Ana. Ai eu fiz 59+2,
61, ai aqui diz que Pepe e 3 quilos
a mais que Gabi ai vai dá 64 e ai
quem é a mais magra e Ana.
Hermenêutica, em que podemos
observar o entendimento que o
aluno teve da estrutura do
problema.
a possibilidade de inferência,
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e que mostra como utilizou as
informações.
Destacamos também nesta fala
o terceiro tipo de invariantes
<<argumentos>: por meio do
diálogo o aluno apresenta o
argumento do tipo número, em
que seria a operação de adição
(59+2) e o argumento do tipo
proposições “a mais...”
P: Tá.
Transcrição da Interação com o Aluno D10 e o Aluno D11
P: Vocês irão conversar como
realizaram e verificar se está certo
e se bate a resposta.
D10: Começa o aluno D11?
D11: Eu peguei o peso de Pepe, Segundo o autor podemos Identificamos
o
quarto
da Ana é 59 e aqui ta que o peso analisar esse trecho do diálogo componente de um esquema,
uma
Particularidade a possibilidade de inferência,
de Gabi é mais que de Ana mais 2 como
quilos, ai mais 2 quilogramas, ai Genérica, que os alunos nas trata-se do raciocínio que o
59 mais 2, 61 e da Pepe e três suas explicações apresentam aluno apresenta por meio de
vez mais que da Gabi é 64.
suas tomadas de decisões e explicações
ou
D10: Eu peguei a conta de Pepe descrevem como organizaram desenvolvimento dos cálculos,
de 3 Kg a mais que Gabi, ai para seus esquemas em busca da e que mostra como utilizou as
achar o peso da Pepe era só acha resolução; observamos também informações,
destacando
o peso da Gabi, o da Ana já ta aqui
a
passagem
do novamente os argumentos do
pensamento narrativo para o tipo proposições.
pronto e ai faz a conta.
pensamento lógico – científico,
uma vez que conseguimos notar
o raciocínio lógico do aluno.
P: E ai, vocês concordam com a
resolução?
D10: Sim!
P: O dos dois estão iguais?
D10 e D11: (Balança a cabeça
que sim).
P: Então, tá bom. Está certo.
6.4.11 Observações sobre o comportamento dos alunos D10 e D11
O aluno D10 fez a leitura e fica pensando por um bom tempo; o pesquisador
questiona para observar se o aluno compreende, ele passa mais alguns instantes
pensando, e começa a realizar os cálculos demonstrando o entendimento. Já o
aluno D11 após a leitura, apresenta a operação de subtração para realizar o cálculo,
mas na hora de explicar os resultados, apresenta outra operação, a de adição,
apoiando-se nas relações de “a mais” para explicar os resultados. Na interação, os
alunos apresentaram as suas respostas acompanhadas das explicações e
observaram que haviam utilizado o mesmo raciocínio para chegar à resolução.
188
Aluno D12 e Aluno D13
Aluno D12
Aluno D13
Figura 30 - Resolução do problema pelos alunos D12 e D13
Fonte: Acervo pessoal
189
Transcrição da fala dos Alunos
D12 e D13
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno D12 com o pesquisador
P: Você vai ler o problema em voz
alta e aí vai resolver. E ai como a
gente pode resolver?
D12: Eu vou somar aqui os Segundo o autor esse trecho
resultados.
Você
tem
que caracteriza-se
como
uma
descobrir se a Gabi tem dois Particularidade Genérica, em
quilos a mais que Ana então, tem que o aluno, na sua explicação,
que descobrir o quanto que Ana apresenta suas tomadas de
pesa e assim vai indo.
decisões e descreve como está
organizando seus esquemas em
busca da resolução.
P: Então, pode fazer.
D12: Terminei.
P: Pronto?
D12: Uhu!
P: Quais eram as perguntas?
D12: A um é 64, a dois é 61, a
Segundo o autor, identificamos
o quarto componente de um
três é 59 e a quatro é Ana que é a
esquema, a possibilidade de
mais magra.
inferência:
trata-se
do
raciocínio
que
o
aluno
apresenta
por
meio
de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e que mostra como utilizou as
informações.
P: Tá bom então.
Transcrição do Aluno D13 com o pesquisador
P: Vai fazer a leitura, tá? E ai você
explica depois.
D13: Uhu!
P: Pronto? Como que ficou então?
D13: Eu fiz a conta de mais, Pepe Neste
diálogo
temos
a Encontramos aqui o Conceito
tinha 3 quilos a mais que Ana, ai Composição Hermenêutica, em em ação: o aluno selecionou as
eu fiz mais, depois a Gabi tinha que podemos observar as informações disponíveis para
dois quilos a mais que Ana.
interpretações e as estratégias resolver o problema. Temos
utilizadas pelo aluno.
também aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta o argumento do tipo
“a mais..".
P: Tá
Transcrição da Interação com o Aluno D14 e o Aluno D15
P: Conversam vocês dois e vejam
se as respostas estão certas.
D12 e D13: (Começam a observar No inicio da interação, temos a
os resultados e verificar as Negociabilidade inerente entre
respostas)
os alunos que vão observando os
D12: Eu acho que tá errado, cálculos
e
realizando
as O terceiro tipo de invariantes,
é
calma ai. Pepe tem 3 quilos a discussões,
e,
juntos
vão <<argumentos>>,
mais...
procurando onde está o erro e o apresentado por meio do
D13: Gabi tem 59.
porquê ele ocorreu.
diálogo do aluno, destacando o
D12: Então, calma ai rapidinho.
“a mais...”. Temos o Esquema
de numeração: o aluno utiliza
Tem 64. Então tá certo. Por
causa, que ó...a Gabi pesa dois
os dedos para realização dos
quilos a mais que Ana, Ana pesa
cálculos e da contagem.
59, 61 (o aluno mostra os dedos
para seu colega acompanhar a
contagem),ai da Pepe é três
quilos a mais , 61,62,63...
61,62,63... é eu errei
D13: Não, Pepe tem três quilos a
mais do que Ana, o 59, 60, 61 e
190
62.
D12: Não é Gabi...
D13: A tá, ta certo!
D12: Não, a Gabi pesa dois quilos
a mais do que Ana, quantos que
Ana pesa?
D13: Quantos que Ana pesa?
D12: é...59. O! 59, 60,61
D13: Ai da Pepe.
D12: Tem três quilos a mais que
Gabi, então ela tem 64. Sessenta
e um, 62,63,64.
D13: Não, entendi, não.
P: O! A Pepe tem 3 quilos a mais
que a Gabi, eu sei quanto que
Gabi pesa?
D13: 59.
D12: Não
P: Quem que pesa 59?
D12: A Ana.
P: Ana pesa 59. Entendeu agora?
D13: A tá.
P: Se a Ana pesa 59...
D13: A, entendi.
P: Eu sei que o peso de Gabi e
dois quilos a mais que Ana, se e
dois quilos a mais que Ana...
D13: Agora entendi.
P: Então a Gabi pesa 59,60, 61.
Temos
a
Negociabilidade
inerente entre os alunos, quando
estes vão apresentando as
respostas aos questionamentos
do pesquisador, que tem a
intenção
de
observar
o
entendimento deles em relação
ao problema.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este em
que o aluno explica o cálculo
realizado para se chegar à
solução.
D13: Ai depois...
P: Ai depois do peso 61 que é o
peso da Gabi, ai depois o da Pepe
que tem três quilos a mais que
Gabi, se a Gabi e 61 então é mais
3. Então arruma, o seu.
6.4.12 Observações sobre o comportamento dos alunos D13 e D14
O aluno D13, após a leitura, apresenta, em sua explicação, a operação de
adição, com as relações “a mais”. O aluno D14 faz a leitura, fica pensando um pouco
e começa a descrever os cálculos, e, em sua explicação, apresenta as relações “a
mais” e a operação de adição para resolver o problema. Na interação, os alunos vão
explicando um para o outro, e um deles percebe que há um valor que não confere;
começam a verificar os cálculos para ver em que ponto está o erro para fazerem as
correções.
191
Aluno D14 e Aluno D15
Aluno D14
Aluno D15
Figura 31 - Resolução do problema pelos alunos D14 e D15
Fonte: Acervo pessoal
192
Transcrição da fala dos Alunos
D14 e D15
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno D14 com o pesquisador
P: Você irá fazer a leitura em voz
alta e depois vai resolver.
D14: Ela só tá falando quantos Nesta fala do aluno, percebemos
quilos a mais tem, ai vai ter que que ele conseguiu identificar o
descobri o tanto das três.
que deve ser resolvido no
problema, segundo o autor, esse
trecho do diálogo é considerado
a Centralidade do Problema.
P: Quantas perguntas a gente
tem?
D14: Tem 4...Pepe tem 64.
P: Como você fez para chegar no
64?
D14: Eu peguei “tem a mais que a
Gabi”, e vi que ela tem a mais que
Ana, vi o tanto da Ana e fiz mais 2
e depois mais 3.
P: Pronto! Então me conta ai
agora.
D14: Pepe tem três a mais que
Gabi, peguei o peso da Gabi e fiz
mais três de cabeça, ai na dois a
Gabi é dois a mais que Ana ai
somei 59 mais 2, ai deu 61 e da
Ana já tem aqui, e que é a mais
magra ai coloquei aqui.
Podemos
caracterizar
esse
trecho
do
diálogo
Particularidade Genérica, em
que o aluno extrai características
importantes para organizar seus
esquemas
em
busca
da
resolução.
Temos aqui o terceiro tipo de
invariantes <<argumentos>>:
por meio do diálogo o aluno
apresenta
uma
relação
importante para a resolução do
problema “a mais...”.
Neste trecho do diálogo da dupla
destacamos
a
Composição
Hermenêutica, a qual pode
observar o entendimento que o
aluno teve da estrutura do
problema.
Encontramos aqui um Conceito
em ação: o aluno selecionou e
utilizou
as
informações
disponíveis para resolver o
problema. Segundo o autor,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno que são
desenvolvidas por meio de
cálculos
e
informações,
identificam-se como o quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência.
P: Tá.
Transcrição do Aluno D15 com o pesquisador
P: Você vai ler em voz alta e ai vai
contar para mim o que você
entendeu e como tá pensando em
resolver.
D15: Pode resolver aqui?
P: Pode. Como você vai resolver?
D15: Eu vou pegar o peso de Temos
a
Particularidade Nesta parte, segundo o autor
todos eles e vê quem e a mais Genérica presente neste diálogo identificamos
o
primeiro
magra...Deu 91 tudo.
quando o aluno conta a sua componente dos esquemas, as
metas e antecipações que o
tomada de decisão.
aluno mobiliza ao realizar a
leitura do problema para
proceder à resolução.
P: Tá
Transcrição da Interação com o Aluno D14 e o Aluno D15
P: Ele vai contar para você agora
como que ele resolveu.
D15: Eu peguei o peso de todo Neste
trecho
temos
a No
diálogo
do
aluno
mundo e somei tudo e deu 91 ai Negociabilidade inerente entre percebemos um Teorema em
os alunos. O aluno D14 vai Ação (falso), ou seja, uma
dividi o peso para todo mundo.
realizando
observações
e relação matemática implícita
questionamentos
ao
colega, escolhida por ele e que faz
tentando verificar o que está parte dos seus esquemas;
errado no cálculo do seu colega.
observamos que o mesmo
D14: Mas você não respondeu
exibe outro tipo de operação
essas perguntas aqui.
para resolver o problema.
193
D15: Não, eu sei. Mas eu dividi
tudo pra ver e deu 91, entendeu?
De vez fazer essas perguntas.
D14: Essas perguntas aqui, você
respondeu aqui?
D15: É! De vez fazer que nem
você fez.
P: Aluno D14 explica para ele
como e que você fez?
D14: A eu peguei, aqui ó, qual é o
peso de Pepe, Pepe tem 3 quilos
a mais que Gabi, ai eu descobri o
tanto que a Gabi tem,...
P: Explica para ele como você
descobriu.
D14: Gabi tem dois a mais que
Ana, ai eu somei 59 mais 2, ai deu
61, ai eu coloquei o resultado
aqui. O de Ana eu coloquei aqui.
E quem é a mais magra...i eu errei
aqui.
P: Então arruma ai. Você
entendeu o que ele fez?
D15: Uhu.
P: Então faz no seu agora. Então
a gente já tem o peso de quem...
D15: Da Gabi.
P: Da Ana, então e ela que vai
servir de comparação, tá?
D14: Agora tá certo.
P: Ajuda ele a fazer, aluno D14.
Vai falando e explicando.
D15: Tá, certo.
P: Quem é a mais magra?
D15: É a Gabi.
D14: Não! É a Ana.
P: Se a Pepe tem 64, a Gabi tem
61 então é...
D15: Ana.
O aluno descreve, na narrativa, a
sua
interpretação
e
as
estratégias
utilizadas
para
resolver;
trata-se
da
Composição
Hermenêutica:
conforme vai relatando, ele
percebe que errou em um cálculo
e o corrige.
Encontramos aqui um Conceito
em ação: o aluno selecionou as
informações disponíveis para
resolver
o
problema;
destacamos o terceiro tipo de
invariantes
<<argumentos>>>>: por meio
do diálogo o aluno apresenta
uma relação importante para a
resolução do problema “a
mais...”.
Temos
a
Negociabilidade
inerente entre os alunos e o
pesquisador, que tem a intenção
de orientá-los na discussão os
cálculos realizados e suas
interpretações.
6.4.13 Observações sobre os comportamentos dos alunos D14 e D15
O aluno D14 realiza rapidamente os cálculos e, na hora da explicação, se
refere às relações que estão estabelecidas no problema como a “mais...”, utilizando
a operação de adição. O aluno D15 apresenta muita dificuldade na interpretação do
problema e dos cálculos; em sua explicação, utiliza os valores das relações a
“mais...” e soma todos os valores. Na interação, o aluno D15 começa a explicar
como realizou o cálculo; o aluno D14 percebe que está errado e comenta ao colega,
que não gosta muito do comentário. D14 observa o erro que ele havia cometido e
inicia a explicação com a ajuda do pesquisador, para que ele compreenda a ideia do
problema.
194
6.4.14 Síntese Geral da primeira Etapa 4 – Campo Aditivo
Em nossa análise, apenas os grupos (G2 e G3) apresentaram, em suas
narrativas, a questão norteadora do problema proposto, o que remete à
Centralidade do Problema, que direciona os esquemas utilizados para solução. Em
relação aos grupos (G1, G2 e G3) temos em seu diálogo a composição
hermenêutica, associada às estratégias e aos procedimentos utilizados por eles
para resolver o problema. Pudemos verificar, nos diálogos, o teorema em ação
(falso), ou seja, a escolha de outras operações que não condiziam com a situação
do problema; temos os invariantes do tipo <<argumentos>> “...2 a mais”, ou seja,
as relações estabelecidas e as operações representadas do tipo (59 +2...); os
conceitos em ação que aparecem relacionados aos componentes de um
esquema, a possibilidade de inferência, apresentadas por questões que são
voltadas para o raciocínio do aluno e que são desenvolvidas por meio de cálculos e
informações que o aluno extrai da leitura mediante a sua interpretação e os
esquemas de numeração observáveis pelos gestos da utilização do dedo para
cálculos e a contagem numérica verbal. Temos a negociabilidade inerente muito
mais presente nas duplas, na interação entre eles, do que na intervenção individual,
entre os alunos e pesquisador, sempre com o objetivo de analisar as discussões
pertinentes da resolução, possibilitando também entender o porquê das escolhas
adotadas pelos alunos. Neste problema, destacou-se a caracterização da
ambiguidade de referência observada por meio das manifestações que podem
estar relacionadas aos significados de conceitos estabelecidos, que não são
compreendidos pelos alunos, e por meio dos questionamentos feito pelo
pesquisador, na intenção de investigar a postura do aluno com relação aos
significados atribuídos anteriormente. Somente o grupo G3 de interação foi que, em
seus diálogos, apresentou a característica da particularidade genérica, que remete
aos detalhes extraídos do texto, à sua forma de contar, organizando seus esquemas
para a resolução. Nos três grupos destacamos a passagem do pensamento
narrativo para o pensamento lógico-científico: é possível, por meio da linguagem,
verificar o raciocínio lógico e os conceitos matemáticos existentes apresentados
pelos alunos.
195
6.4.15 Análise da 4ª Etapa para o problema do Campo multiplicativo
Este problema é pertencente às relações quaternárias, classificados como
Proporção Múltipla. Para Vergnaud (2009) este problema encaixa-se na classificação do
ISOMORFISMO DE MEDIDAS.
Objetivo: O objetivo deste problema é verificar quais os conceitos que os alunos tinham
associados à palavra dúzia e como iriam fazer os cálculos com a meia dúzia.
Quadro 26 - Problema do Campo Multiplicativo aplicado para a 4ª Etapa
Fonte: Adaptação do livro Ler e escrever: Jornada da matemática, (2010,p.109)
6.4.16 Análise do grupo 1(individual): Problema do campo multiplicativo
Aluno E1
Figura 32 - Resolução do problema pelo aluno E1
Fonte: Acervo pessoal
196
Transcrição da fala do Aluno E1
Análise de acordo com Bruner
P: Você faz a leitura e explica
como você vai resolver?
E1: Ai eu esqueci...
P: O que?
E1: 3 e 3,60...É meia dúzia é
6...qual é o preço...
P: Aqui você achou de três
dúzias, não foi? Que da 10,80.
E1: É.
P: Agora, meia dúzia? Se uma
dúzia é...
E1: Meia dúzia é 12.
P: Uma dúzia vale quanto em
dinheiro?
E1: 360.
P: Então, a metade dessa dúzia
vai ser quanto?
E1: É que eu lembrei e esqueci.
P: Você tem que achar a metade
de...
E1: Meia dúzia.
P: Meia dúzia é seis.
E1: É
P: Mas ele quer saber em relação
a dinheiro?
E1: É. Ai tem que saber a metade
de 3,60.
P: Você pode fazer em partes,
decompor. Por exemplo, vamos
supor eu tenho dois reais, qual a
metade de dois reais?
E1: 1
P: Ai você pode decompor 3,00
reais e 0,60 centavos e ai depois
você junta, metade com metade,
para saber a metade de 3,60.
Entendeu?
E1: Acho que é dois...
P: Pensa em 3 reais, qual é a
metade?
E1: É dois.
P: A metade de 3 reais?
E1: Acho que é 6, a esqueci...
P: Vamos pensar no 60 centavos,
qual é a metade de 60?
E1: 60 é ...
P: Como você faz para saber a
metade de 4?
E1: Eu já sei, eu faço na cabeça.
P: Se você fosse fazer uma conta
como você faria?
E1: É 4.. Acho que 4 x 2, não
4...como é o nome do negocio?
P: Operação?
Análise de
Vergnaud
acordo
com
O terceiro tipo de invariantes
<<argumentos>>
está
presente nesta verbalização do
aluno E1: por meio do diálogo
este apresenta o argumento do
tipo
“dúzia...”,
informação
importante
da
situação
problema.
Ao abrir o questionamento o
pesquisador observa como o
aluno vai se comportando com
cada questão lançada a ele, na
intenção de rever a interpretação
e os significados que o aluno
adotou e vai direcionando o
mesmo
a
esquematizar
a
estrutura do problema e deixar
claro o conceito de algumas
palavras, esse trecho se remete
a
caracterização
da
Ambiguidade de referência.
Encontramos novamente o
<<argumento>>
do
tipo
“dúzia...”.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos para tentar
direcionar o aluno a compreender
a estrutura do problema: temos a
Negociabilidade inerente.
O pesquisador sugere que o
aluno decomponha o valor em
dinheiro, na intenção de que
este consiga estabelecer o
entendimento do conceito de
metade. Ao longo da discussão,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e que mostra como utilizou as
informações.
Logo após o questionamento do
pesquisador, o aluno expõe o
terceiro componente de um
esquema:
invariantes
operacionais, que permitem as
aferições necessárias para se
chegar às ações adequadas.
197
E1: É
P: Qual é o nome das operações
que a gente tem? Adição,...
E1: Subtração, Multiplicação e
Divisão. Acho que é... é que eu
não lembro.
P: Vamos tentar 6. Você tem seis
reais e vai dividir para duas
pessoas...
E1: Para mim e para outra
pessoa, né...háaa é 3, 6 é 3.
P: Tá, mas qual operação que eu
faço?
E1: Menos
P: Menos?
E1: E porque tem que tira.
P: Mas quando eu to pegando
seis reais eu to dividindo eu e
você, que operação eu to
fazendo?
E1: É dividir
P: É, então o que eu faço com o
3,60?
E1: 3,60 dividido por 6, não por 6
não.
P: Eu não quero saber a metade
dele, metade e quanto?
E1: Metade é dois.
P: Então! Quanto é 7 x 2?
E1: 16, 7 x 2 é o 14.
P: Ai quando abaixa um zero o
que eu faço? Como eu to
trabalhando com vírgula... Qual é
a metade de 3,60...
E1: 1,80.
P: Agora eu vou fazer o que? Eu
já tenho 3 dúzias, eu quero saber
quanto é 3 dúzias e ...
E1: Meia.
P: Eu já achei quanto vale meia.
E1: Eu tenho que pegar 11 e ...
P: 11?
E1: Não, 10,80 e ...
P: Aqui não é 1!
E1: É 0. Vai dá 12,60.
P: Isso. Entendeu?
E1: Uhu!
P: Agora se você fosse compor os
3,60, podia ser assim: - três reais,
para ter três reais eu preciso de
um real e cinquenta, mais um real
e cinquenta...
E1: Há.
P: Ai o sessenta centavos era
trinta e trinta. Então, eu pegava
1,50 mais 0,30 que dava 1,80, ai
não precisava fazer a conta de
divisão, tá.
E1: Tá.
O aluno é questionado quanto à
operação que deve ser feita para
realizar o cálculo; este apresenta
a operação de “menos”, então o
pesquisador
realiza
uma
mediação na intenção de guiar o
aluno
a
esquematizar
e
estabelecer os conceitos e
raciocínios necessários para a
realização do cálculo correto.
Neste
momento
temos
a
Negociabilidade inerente entre
o pesquisador e aluno, que
possibilita a interação de ambos
na discussão que está sendo
proposta.
E
em
seus
diálogos
percebemos um Teorema em
Ação (falso), ou seja, uma
relação matemática implícita
escolhida por ele e que faz
parte dos seus esquemas;
observamos que o mesmo
exibe outro tipo de operação
para resolver o problema.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e mostra como utilizou as
informações.
Nesta parte, identificamos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência:
trata-se
do
raciocínio
que
o
aluno
apresenta
por
meio
de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e mostra como utilizou as
informações.
198
6.4.17
Observações sobre o comportamento do aluno E1
O aluno faz a leitura e, por alguns instantes, aparenta estar pensando, e logo
começa a resolver realizando alguns questionamentos para o pesquisador sobre as
relações de “dúzia e 12” “meia dúzia e 6”: o aluno consegue achar o valor de três
dúzias, porém não sabe realizar o cálculo para meia dúzia. O pesquisador criou
algumas situações que pudessem levar o aluno à compreensão do problema,
auxiliando nas respostas do aluno. Para achar o valor de meia dúzia, o aluno optou
por realizar a operação de divisão, mas, ao final, o professor apresentou como
poderia realizá-la decompondo o valor em dinheiro.
Aluno E2
Figura 33 - Resolução do problema pelo aluno E2
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala do Aluno E2
P: Você vai ler em voz alta? E ai
como eu faço?
E2: Pega isso aqui e dividi por 3.
P: Porque por 3? Esse preço é o
preço do que?
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Segundo o autor, podemos
analisar esse trecho do diálogo
como
uma
Particularidade
Genérica, em que o aluno conta
suas tomadas de decisões.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
primeiro
componente dos esquemas, as
metas e antecipações que o
aluno adota ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
Ambiguidade de referencia é
apresentada neste trecho, logo
199
E2: Dos ovos, uma dúzia de ovos.
P: De quantos ovos?
E2: (Conta os ovos que estão
dispostos no desenho). 12.
P:
Uma
dúzia
de
ovos
corresponde a quanto?
E2: 11 não 12.
P: E o problema, ta falando o
que?
E2: (O aluno faz a leitura
novamente).
P: Esse preço então corresponde
a quantas dúzias?
E2: A uma.
P: A uma. Quantas que ele quer?
E2: 3.
P: Como eu faço para saber
quanto vai sair 3?
E2: Conta de mais.
P: Tá, então faz aqui.
E2: 10,80.
P: Só que ele quer saber de três
dúzias e meia. Se uma dúzia
custa 3,60 então meia dúzia vai
custar quanto?
E2: 1,50.
P: 1,50 mais 1,50 é 3,00 reais,
não é?
E2: 1,60.
P: Não, ainda faltam 0,60
centavos, ai, com esses 1,50.
Metade de 0,60 centavos e
quanto?
E2: 1,30.
P: Não.
E2: 0,30
P: 0, 30 . A metade de 3,00 reais
não é 1,50? Então 1,50 com mais
metade de 0,60 que é 0,30 da
quanto?
E2: 2,00 reais
P: Você não tem 1,50 com mais
0,30 centavos?
E2: 1,80
P: Então, as três dúzias mais a
meia vão sair quanto? Quanto que
é as três dúzias?
E2: 10,80.
P: Mais 1,80 saem quanto? Faz
aqui do lado a outra conta? Zero
mais zero é zero, quanto é 8 mais
8.
E2: 16.
P: Vai um aqui. Um com mais
um... esse um é aqui não é aqui
não... um com mais um.
E2: 2.
P: O um a baixa aqui, isso aqui
não tem.
E2: O 2
P: A baixa o 1
E2: Aqui.
P: É. Não tem 3 aqui. Por que 3?
E2: 12,60?
após o pesquisador abrir os
questionamentos na intenção de
observar como o aluno vai se
comportando frente às questões
que são lançadas e como são
estabelecidas
as
conexões
necessárias para a realização do
cálculo.
O aluno é questionado quanto às
informações que estão presentes
no problema e que são de
extrema importância para que
este chegue à resolução correta;
o pesquisador conduz o aluno na
intenção de que E2 esquematize
e estabeleça os conceitos e
raciocínios necessários para a
realização do cálculo. Neste
momento
temos
a
Negociabilidade inerente entre
o pesquisador e aluno, que
possibilita a interação de ambos
na discussão que está sendo
proposta.
Esquema de numeração, o
aluno utiliza a figura para
realizar a contagem dos ovos.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e mostra como utilizou as
informações.
Também temos aqui temos a
Ambiguidade de referência: o
pesquisador
abre
os
questionamentos e observa como
o aluno vai se comportando
frente às questões que são
lançadas a eles.
200
P: 12,60.
6.4.18 Observações sobre o comportamento do aluno E2
Logo após a leitura, o aluno já toma um posicionamento sobre como o
problema deve ser resolvido; utiliza os dedos para contagem e, quando é
questionado, imediatamente lança a resposta sendo esta correta ou não. O
pesquisador questiona o aluno, na intenção de ajudá-lo a estruturar a solução. O
aluno apresenta a operação de adição para resolver, apresenta o valor das três
dúzias e esquece o da meia; para ajudar, o pesquisador vai decompondo o valor em
dinheiro e rapidamente o aluno consegue compreender.
Aluno E3
Resolução do problema pelo aluno E3.
Fonte: Acervo pessoal
Figura 34 -
Transcrição da fala do Aluno E3
P: Vai ler o probleminha.
E3: Se 1 dúzia é 3,60 então tem
que fazer vezes 3.
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Particularidade Genérica: o
aluno conta sua tomada de
decisão para solucionar o
problema. Observamos também
aqui
a
passagem
do
pensamento narrativo para o
Nesta parte segundo o autor
identificamos
o
segundo
componente de um esquema,
a regra de ação, busca de
informação e controle dos
resultados da ação, do tipo
201
pensamento lógico - científico.
P: Então faz, aqui. Quanto que é 3
x 6?
E3: Pera ai.
P: Quanto é 3 x 3.
E3: 3 x 3 é 6.
P: 6?
E3: 9.
P: Mais 1
E3: 7
P: Tá. E qual é a pergunta do
problema?
E3: Quanto é 3 dúzias de ovos?
P: É isso que tá?
E3: É que aqui...
P: Qual é o preço de três dúzias
é...
E3: É meia de ovos.
P: Então, esse aqui você achou
de quantas dúzias?
E3: De 3.
P: E a meia?
E3: Fazer.
P: Como eu faço para achar meia
dúzia?
P: Meia dúzia é 6, né? É o preço
dessas 6, quanto que é?
E3: Se uma dúzia é 3, 60, então
meia dúzia que aqui no caso é 6,
então tem que fazer...deixa eu
ver... quanto que vai sair a
metade...
P: Uma caixa e 3,60, a metade
dela e quanto?
E3: Vamos ver... é agora tem que
ver que conta. Há! Você precisa
da metade, então... metade tem
que dividir...metade
P: Que número que é esse?
E3: Um
P: Porque 1?
E3: Por que...
P: Se você colocar um vai ser
3,60
E3: É, tem que dividir por 2,
então.
P: Isso.
E3: Pronto.
P: Um vezes dois, dois, para 3
falta 1, você abaixou o 6.
E3: É o 6.
P: Então é 16.
E3: A é, esqueci...pronto, agora...
P: Ai deu quanto à meia dúzia?
E3: Deu 18.
P: 18?
E3: Aqui!
P: Um real...é um real e oitenta
“se... então” que fazem parte
dos esquemas.
Identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
trata-se do raciocínio que o
aluno apresenta por meio de
explicações
ou
desenvolvimento dos cálculos,
e mostra como utilizou as
informações.
Na fala do aluno, observamos
que este identificou as questões
centrais do problema, o que
remete, neste trecho do diálogo,
à Centralidade do Problema.
O terceiro tipo de invariantes,
<<argumentos>>,
está
presente nesta verbalização do
aluno E1: por meio do diálogo,
este apresenta o argumento do
tipo
“meia...”,
informação
importante
da
situação
problema.
O pesquisador o questiona para
direcionar o aluno a compreender
a estrutura do problema e os
conceitos
empregados
na
situação, caracterizando esse
momento de Negociabilidade
inerente.
Outro ponto é a Ambiguidade de
referência: o pesquisador abre
os questionamentos e observa
como o aluno vai se comportando
a cada questão lançada, com a
intenção de rever a interpretação
que o aluno está tendo e para
que ele consiga mediar os
esquemas,
a
estrutura
do
problema e a importância dos
significados de algumas palavras
“meia” e “dúzia” no contexto da
situação.
Nesta parte, identificamos o
segundo componente de um
esquema, a regra de ação,
busca de informação e controle
dos resultados da ação, do tipo
“se... então” que fazem parte
dos esquemas.
Os Conceitos em ação são
encontrados na seleção de
informações que o aluno
realizou e que são necessárias
para resolver o problema.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência,
é
reconhecido
quando o aluno apresenta todas
as questões que estão ligadas
ao raciocínio e que são
desenvolvidas por meio de
cálculos e informações.
202
E3: A é!
P: Zero e zero vem aqui. Ai você
tem o preço de 3 dúzias e de meia
dúzia, as 3 dúzias e meia da
quanto no total?
E3: Deixa eu ver, aqui deu 10...
deu 12,60.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
realizado para se chegar à
solução.
P: Isso certinho
E3: Umm. Ai coloca a resposta
aqui?
P: É
6.4.19 Observações sobre o comportamento do aluno E3
O aluno realiza a leitura e apresenta o cálculo de multiplicação de uma
dúzia; o pesquisador realiza algumas correções da tabuada e pergunta novamente
“qual é a pergunta do problema?” o aluno percebe que esta faltando à meia dúzia,
fica pensando, e logo faz a relação entre meia dúzia e 6. O aluno percebe que
precisa saber a metade de uma dúzia em dinheiro, só não sabe como fazer; ele
continua pensando e opta em fazer a divisão, o cálculo é feito chegando ao valor 18,
ele apresenta dificuldade em realizar a divisão com números decimais, mas ao final,
chega à solução.
203
6.4.20 Análise do grupo 2 (dupla): Problema do campo multiplicativo
Aluno E4 e Aluno E5
Figura 35 - Resolução do problema pelo aluno E4 e E5
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
E4 e E5
P: Vocês vão ler o problema e
explicar como vocês resolveram.
E4 e P: (começam a resolver o
problema)
P: O que o problema quer saber?
E5: Uma dúzia e 3,60 quantas
dúzias... quantos reais vai dar 3
dúzias.
P: i...
E5: Três dúzias e meia.
P: O que podemos fazer?
Descobri o que primeiro?
E5: As quantidades.
P: Quantidades! Precisa descobrir
a quantidade? Uma dúzia e
quanto?
E4 e P: 3,60.
P: E 3 dúzias vão ser quanto?
Aqui você achou 36 e quantidade
do que?
E5: Dos ovos.
P: De ovos. São 36 ovos, mais é o
preço para três dúzias? É uma
dúzia é o que vem naquela caixa?
Nessa caixinha aqui. Então eu
quero três caixas dessa, cada
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Este diálogo mostra que o aluno
busca o que é central no
problema,
ou
seja,
a
Centralidade do Problema.
Após o recolhimento das
informações o aluno apresenta
os esquemas de resolução
apontando a palavra “dúzia”.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos com a intenção
de direcionar os dois alunos a
compreender a estrutura do
problema; temos presente no
diálogo
a
Negociabilidade
inerente.
204
caixa
dessa
vale
3,60,
quantas...porque 36 reais? Aqui tá
36 reais. Eu quero três caixas,
cada caixa e 3,60 primeiro, porque
depois eu vou querer meia caixa
dessa daqui. Eu quero três caixas.
Cada caixa e quanto?
E5: 3,60.
P: Que continha eu posso fazer
para descobrir quanto que é três
caixas?
E5: De mais.
P: Por que 36,60? É 3,60. Qual
conta você faria?
E5: De vezes
E6: De mais.
E5: Ou de vezes
P: E ai, iria ficar como de vezes?
E5: 3 vezes 3, 60.
P: Então, faz. Aluno E4 ajuda o
aluno E5.
E5: (conta nos dedos)
E5: 9,80.
E4: 9,80.
P: Quanto? 0 e 0, 6 + 6?
E5: 12
P: com mais 6?
E5: 18
P: vai um, com mais três
E4 e E5: 6
P: Com mais 3.
E4 e E5: 9
P: É com mais 1 aqui?
E5: 10!
E4: 10.
P: Tá, isso é de 3... ?
E4 e E5: Caixas.
P: Agora eu sei que uma caixa
dessa e 3,60, meia caixa vai ser
quanto?
E5: 3,60.
P: Você vai pagar o mesmo tanto
em meia caixa?
E5: Não. A metade.
P: Quanto que é a metade de
3,60? Eu quero saber de 3 dúzias
e meia. Por que aqui eu descobri
só de 3. Como eu sei a metade de
3,60? Por que 5?
E5: Porque é a metade.
P: Metade do que? Eu quero
saber a metade de 3,60. Vamos
pensar assim, qual é a metade de
60 centavos?
E5: 30.
P: 30 não é? Tá! Então marca ai.
Agora vamos pensar a metade de
3 reais
E5: 2.
P: Não! Porque 2 mais 2 dá 4
reais. Qual é a metade de 3?
E5: 1
P: 1 mais 1 é
E5: 2
P: dois reais
E5: 3 ?
No diálogo da dupla com o
pesquisador
destacamos
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar
o
entendimento que os alunos vão
tendo do significado da estrutura
do problema em relação aos
cálculos
que
devem
ser
empregados na situação.
Identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
o
raciocínio
do
aluno
desenvolvido por meio de
cálculos
e
informações
apresentadas por ele.
Esquema de numeração, o
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
Novamente encontramos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência: o raciocínio do
aluno e a forma de realizar os
cálculos e o levantamento das
informações.
Temos no diálogo da conversa
entre o pesquisador e o aluno a
ambiguidade de referencia: o
questionamento do pesquisador,
que tem a intenção de observar
como os alunos vão se
comportando diante de cada
questão lançada a eles. O
pesquisador busca rever a
interpretação que os alunos
tiveram
sobre
o
conceito
“metade” e conduz E5 a
esquematizar e estruturar o
problema e o significado dos
conceitos
matemáticos
nele
empregados.
Essa discussão caracteriza-se
pela Negociabilidade inerente
entre pesquisador e alunos com
a intenção de direcioná-los a
compreender a estrutura e o
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência:
o raciocínio do aluno que é
desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
205
P: 3 mais 3 é ?
E4 e E5: 6
P: Qual é a metade de um real?
E5: 50.
P: 50 centavos, não é? E a
metade de dois reais?
E5: Um real
P: Então a metade de três vai ser
quanto? Ò! Vamos pegar o 3 e
decompor ele, tá. É três reais eu
tenho uma nota de 2 e uma de 1,
tá bom? A nota de dois a metade
e quanto? Que vocês falaram.
E5: 1
P: E a metade de 1 real?
E5: 50.
P: Então eu tenho um com mais
50.
E5: 50.
P: Então a metade de três reais e
quanto?
E5: 1,50.
P: Só que eu não tinha 60
centavos!
E5: Sim.
P: Que a metade e quanto?
E5: 30.
P: Então 1,50 mais 0,30 e
quanto?
E4 : 180.
P: Então eu já descobri três
dúzias, a metade de 3,60 é um...?
E5: 1,80.
P:
Então,
eu
só
preciso
acrescentar...
E5: Uhu!
P:
Então
eu
preciso
só
acrescentar essa dúzia ai e eu
acho o valor das três dúzias e
meias. Então coloquem ai,
1,80...vírgula em baixo de vírgula.
Quanto que dá? Quanto e zero
mais zero?
E5: Zero.
P: É oito mais oito?
E4 e E5: 16.
P: Ai mais 1! Então quanto que é
três dúzias e meias?
E5: 10,60.
P: Entenderam?
E4 e E5: Sim.
raciocínio do problema e os
cálculos
e
conceitos
nele
presentes, relacionados à ideia
de metade e valores numéricos
representando dinheiro.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência apresenta-se neste
trecho, nas questões que estão
ligadas ao raciocínio dos alunos
quando esses desenvolvem o
cálculo.
6.4.21 Observações sobre o comportamento dos alunos E4 e E5
Os alunos são bem tímidos e apresentam dificuldades em resolver esse
problema.
Mas,
aos poucos,
o
pesquisador vai interagindo
com alguns
questionamentos e, aparentemente, eles vão compreendendo. O aluno E4 acha que
tem que descobrir a quantidade de ovos, ele aparenta não ter entendido o problema;
206
o aluno E5 já chamou a atenção para uma dúzia e meia. O pesquisador vai
direcionando os alunos para que eles consigam chegar a um entendimento. O aluno
E5 apresenta a operação de mais, e o outro de vezes, logo em seguida eles
realizam o cálculo de (3,60 x 3). O pesquisador pede para que o aluno E5 ajude o
colega na conta; no decorrer dos cálculos os alunos usam os dedos e verbalizam as
contagens.
Aluno E6 e Aluno E7
Figura 36 - Resolução do problema pelo aluno E6 e E7
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
E6 e E7
P: Vocês vão ler o problema e
explicar a resolução de vocês?
E6: 3 dúzias e meia de ovos!Tá,
aqui uma dúzia é...
E7: 3,60
E6: Não! Uma dúzia e doze
E7: É
E6: 12 x 3 é 36
E7: 36
E6: Já tá, até a resposta, aqui!
P: Não, não!
E6 e E7: Não?
P: Ó, na granja bom de bico uma
dúzia de ovos e vendida por?
E6 e E7: 3,60.
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Neste
diálogo
temos
a
Particularidade Genérica: aluno
extrai características importantes
para organizar seus esquemas
em
busca
da
resolução;
observamos também aqui a
passagem
do
pensamento
narrativo para o pensamento
lógico – científico, organizando
seus esquemas em busca da
resolução.
Temos os conceitos em Ação,
informações
que
foram
levantadas
por
meio
da
interpretação do aluno e o
terceiro tipo de invariantes
<<argumentos>>, presente, do
tipo “dúzia...".
207
P: Qual é...
E6 e E7: A é o preço!
P: Isso o preço de 3 dúzias e
meias.
E6: Então, calma ai 3,60 x 3?
P: É! Mas ele quer saber qual é o
preço de 3 dúzias e meia.
E7: 3 dúzias e meia são 6, então
três x 6 então dá 12.
E6: 3,60 x .... A gente pode
fazer...
E7: 26,27,28...
E6: Calma ai!
5,10,15,20...
E7: Aqui já dá 12!
E6: Aqui é 36
E7: É. 36 sobe o 3. Seis vezes
3...24! 24,25,26,27... 27,60
E6: Não, é!
P: Ó! Lê de novo o problema.
E6 e E7: (Faz a leitura e
começam a discutir).
P: Faz aqui no papel, anota aqui.
E6: Uma dúzia são doze. Uma
dúzia são...
E7: 12.
E6: 3 dúzias...
P: Então, quanto custa uma
dúzia?
E6 e E7: 3,60
P: Tá, então 3 dúzias vai custa
quanto?
E7: Já, sei! 20...não 36...10,11,12.
P: Isso, vocês acharam de 3
dúzias, só que ele quer 3 dúzias e
meia.
E6 e E7: Meia.
P: Então, pensa assim: - Uma
dúzia custa 3,60, meia dúzia vai
custa quanto?
E6: 2 dúzias, 3 dúzias... umm
E7: Já, sei!
E6: Meia dúzia são 3?
P: Não!
E7: São seis.
E6: Seis.
P: Seis. Mas se 12 ovos custam
3,60, quanto vai custar seis ovos?
E6: Seis dividido por 3,60
P: Não, ó! Uma dúzia, uma dúzia
não são 3,60?
Neste momento, o pesquisador
conduz o aluno por meio de seus
questionamentos, para que este
compreenda
os
conceitos
presentes no problema; desta
maneira o pesquisador cria, na
narrativa, a Negociabilidade
Inerente.
Segundo o autor, esta fala do
aluno possibilitou identificarmos
o quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno
que são desenvolvidas por meio
de cálculos e informações
apresentadas por ele, como,
por exemplo, “dúzia” e que
também
podem
ser
desenvolvidas por meio de
cálculos (3,60x3) e outros tipos
de informações extraídas da
situação que permitam apontar
características para a solução.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
realizado para se chegar a
solução.
A Ambiguidade de referência
apresenta-se logo após os
questionamentos do pesquisador,
que tem como tarefa observar
como os alunos se comportam
diante de cada questão lançada a
eles e qual seu entendimento. O
pesquisador busca rever as
interpretações que os alunos
obtiveram
e
direcionar
na
esquematização da estrutura e
na compreensão no significado
de
conceitos
importantes
estabelecidos no problema.
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno que e
desenvolvido por meio de
cálculos e informações e os
Esquemas de numeração, que
são visíveis no momento da
explicação
dos
cálculos
realizados pelos alunos para se
chegar à solução.
Destacamos na fala do aluno o
significado dado para a palavra
“dúzia” como uma possibilidade
de resolução para o problema;
temos o Teorema em Ação
(falso): o aluno apresenta uma
interpretação da palavra que
não condiz com o seu
significado, ou seja, uma
relação matemática implícita
escolhida por ele e que faz
208
E6 e E7: É
P: Meia dúzia é quanto? Meia
dúzia não é a metade de uma
dúzia?
E7: É seis, é seis.
P: Tá, mas quanto que é em
dinheiro?
E7: Em dinheiro...
P: Uma dúzia e 3,60, meia dúzia...
E6: Uma dúzia...
E7: Já, sei! 3,60 dividido por 6
P: Porque por 6?
E7: 12?
E6: Eu falei que não era, mas
ela...
P: Uma dúzia, meia dúzia. Meia
dúzia não é a metade?
E7: É!
E6: Ai, ai...esse meia.
P: A gente que saber o valor, o
valor. Uma dúzia é 3,60, uma
dúzia.
E6: Uma dúzia é 3,60.
P: Meia dúzia?
E6: Seis dúzias são quanto, Aluna
E7?
P: 6 dúzia não. 6 dúzia já é muito.
É meia dúzia.
E7: Meia dúzia.
E6: 3
P: Doze ovos, doze ovos que é
uma dúzia, custa 3,60, não é
isso?
E6: É!
P: Meia dúzia que são seis ovos
vai custar quanto?
E6: Nossa. Uma dúzia custa 3,60.
E7: Meia dúzia.
E6: Mas quanto que é meia
dúzia? É seis?
P: É seis. Mas nesse caso nem
entra no problema...meia dúzia e
metade, só que eu quero saber
em dinheiro. Se meia dúzia é
metade, em dinheiro vai custa
quanto? Se uma dúzia e 3,60 a
metade de uma dúzia é meia
dúzia.
E6 e E7: É!
P: Então, vai ser a metade de um
valor de uma dúzia, não é?
E6: A metade de um valor de uma
dúzia? Qual é a metade de 12
aluna E7?
P: Não!
E7: 6...
P: Não, vocês tem que pensar no
dinheiro.
E6: Metade de 3,60?
P: É!
E6: Metade de 3, 60 aluna E7,
quanto que é? A gente não
aprendeu metade de dinheiro
ainda?
E7: Não !
E6: A gente não sabe a metade
em dinheiro. A professora não
parte dos seus esquemas;
observamos que o mesmo
exibe outro tipo de operação
para resolver o problema.
Neste momento, o pesquisador
conduz o aluno por meio de seus
questionamentos para que este
compreenda
os
conceitos
presentes no problema; desta
maneira o pesquisador cria, na
narrativa, a Negociabilidade
Inerente.
Neste trecho destacamos o
diálogo dos alunos explicando
porque
eles
não
estão
compreendendo,
o
que
chamamos de Ações tem
motivos. Os alunos destacam
que não sabem calcular a
209
ensinou ainda. Só a metade de
10...
P: Tá! Mas qual a metade de 3,60,
como eu faço para achar a
metade de 3,60?
E7:Ó! Metade é 3 não dá.
E6: É dois né?
P: Vamos pensar assim, a metade
de 3 reais? Vamos pensar em
dinheiro.
E7: A metade de 3 reais ... deixa
ver.
E6: Dois.
P: Não.
E7: Não
E6: Metade de 2 é um.
P: Então, a metade de 2 é um
real. É a de 3?
E7: De 3 e dois.
E6: Não
E7: É um!
P: Um! Mais alguma coisa.
E7: Um real, um e sessenta?
P: Não! 1,60 mais 1,60 dá
quanto?
E7: 2 é....
E6: Dois e sessenta! Mais, 3,
4...2, 70 mais... não ai que difícil!
2,60 mais um real? 2,60 mais um
real?,porque daí dá 3,60.
P: Metade tem que ser metade,
metade.
E7: É se fosse 1,50 mais 1,50, por
que...
E6 e E7:: 1,50 mais 1,50 vai dá 3.
Tá.
P: Tá! Só que você tem mais 60
centavos ai, qual é a metade de
60 centavos?
E7: 3.
E6: Que 3! 30 centavos
E7: 30 centavos.
P: Então a metade de 3, 60 é 1,50
+ os 0,30 centavos, que é quanto?
E7: Que é...
E6: 1,50 mais a metade de 60 que
é 30.
P: 1,50 mais 30...
E7: Que é 1,90. Não!
E6: 50,60,70,80,90...
P: Tá!
E6: 1,70
E7: 60 mais um real e cinquenta,
dá 3 reais.
E6: 3 reais.
E7: Dá 3 reais.
P: Tá só que esses 60 centavos
ela já falou que é 30, só que 1,50
mais 30 centavos da quanto?
E7: 1,50 mais 0,30 centavos...50,
60, 70...1,80.
P: Tá 1,80 e agora, 1,80 mais
1,80 dá quanto?
E7: 1,80 mais 1,80 dá...
E6: 8,16...
E7: 16, R$ 3,60.
P: Então, qual é a metade 3,60?
metade em dinheiro, justificando
que não haviam aprendido.
A Ambiguidade de referência
apresenta-se logo após os
questionamentos do pesquisador
que tem como tarefa observar
como os alunos se comportam
com cada questão lançada a eles
e
seu
entendimento.
O
pesquisador busca rever as
interpretações que os alunos
adotaram
e
direcionar
na
esquematização da estrutura e
na compreensão do significado
de
conceitos
importantes
estabelecidos no problema, como
por exemplo, “dúzia e metade".
Nesta parte, segundo o autor,
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno que e
desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
O pesquisador conduz o aluno
fornecendo outros exemplos
práticos
para
que
esses
compreendam
os
conceitos
presentes no problema, criando a
Negociabilidade Inerente.
Observamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno e são
desenvolvidas por meio de
cálculos e informações.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
realizado para se chegar à
solução.
Encontramos também o terceiro
tipo
de
invariantes
<<argumentos>>: por meio do
diálogo, o aluno apresenta o
argumento do tipo “dúzia..,
metade...” que são informações
fundamentais do problema.
210
E6 e E7: 1,80.
P: Então ai vocês descobriram o
valor de uma dúzia não foi?
E6 e E7: Sim
P: Cadê o valor de uma dúzia de
ovos? Quanto que custa uma
dúzia de ovos?
E7: É...
E6: 12!
P: 12,60!
E7: É.
P: Quanto que é meia dúzia?
E7: Meia dúzia é seis.
P: Não! Em valor.
E6: 1,80.
P: Então, eu tenho que fazer
12,60, mais meia dúzia para saber
quanto que é três dúzias e meia.
E7: Háaa...
E6: 12,60 mais...
E7: 12, 60 mais...
E6: 1,80
E7: 1,80. 0, 8, 9, 12, 13 , 14. 3, 4
E6: 4,40 não é.
E7: Não! A sobe um
E6: 14, 40? Tá, certo?
E7: Não é por causa que aqui já
tinha um, mais... Aqui já tinha um
ai subiu.
P: 8 mais 6 aqui é 1
E7: É
P: 2 com mais um 3 com mais 1?
E7: dá 4. É por causa que eu fiz
junto, assim ó! Subiu um aqui ai...
P: Mas pera ai! Quanto que é 3
vezes seis?
E7: 3x6! 3x6! É 24, não!
P: Quanto que é 3 x 5?
E6: 15
P: É 3 x 6?
E6: 3 x 6 ...
E7: 15! 16, 17 é 18?
P: 18. Vocês colocaram seis ai!
E7: A onde?
P: Aqui!
E6: É 12,80, não é?
P: Sim. Agora arruma do outro
lado
E7: A tá!
E6: Viu!
E7: Beleza! É doze é oitenta. Oito
mais oito é 8, 9,10,11,12...
E6: 16!
E7: É 16 é verdade. 16 vai subir 1,
ai 3, 4 é descer o 1, quatorze e
sessenta.
E6: 14,60. Não é? 14, 80?
P: Pera ai! 8 e 8 dezesseis, vai
um. Dois , três, quatro...
E7: Desce um!
P: Tá! Dezesseis vai um, dois,
três, quatro. Tá!
E7: Tá certo
P: Pera ai, 3 x 6 dezoito vai um,
três vezes três, três vezes zero e
zero, 3 x 6 dezoito vai um...
E7: É
Identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno que e
desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno explica o cálculo e
apresenta o seu raciocínio e
realiza as contagens dos
valores em voz alta.
Encontramos novamente o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno e
que são desenvolvidas por meio
de cálculos e informações e os
esquemas de numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento que os
alunos explicam os cálculos
realizados para se chegar à
solução.
211
P: Ó, faz essa multiplicação
direito.
E7: Tá, tudo bem!
P: 3 x0?
E7: Pera ai! 3 x 0 é 0.
P: 3 x 6?
E7: É trinta é ...
P: Que trinta! Acabou de fazer ai.
3 x 6?
E6: 18
P: 18 vai um, 3 x 3?
E7: É...12.
P: 12 com mais um.
E7: É...10.
P: 10, 80, não 12. Aqui não é 12 é
10, 80.
E7: 10 vírgula oitenta mais 1,80,
oito é dezesseis sobe um, um
mais um são 2, desce um.
P: Isso, agora sim. Então a
resposta ai é?
E6 e E7: 12,60.
Na Transcrição do diálogos dos
alunos observamos a passagem
do Pensamento Narrativo para
o
Pensamento
Lógico
–
Científico,
uma
vez
que
conseguimos notar o raciocínio
lógico do aluno.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, é encontrado nesta
fala: é as questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno
que é desenvolvido por meio de
cálculos e informações e o
esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
realizado para se chegar à
solução.
6.4.22 Observações sobre o comportamento dos alunos E6 e E7
Os alunos são bem comunicativos e participativos. O envolvimento dessa
dupla foi muito interessante, pois, a todo instante, estavam discutindo um com o
outro e realizando questionamentos para o pesquisador, na intenção de buscar
estratégias para conduzir a solução do problema. Utilizavam os dedos para contar,
sempre tiravam dúvida um com o outro ou até mesmo pediam ajuda para o
pesquisador, no momento que estavam organizando seus pensamentos para
resolver o problema. O que se destacou nessa narrativa foi o conceito "... dúzia e
meia”: os alunos demonstraram dificuldade na compreensão da “meia” e na relação
do valor (preço) e a quantidade (de ovos).
212
Aluno E8 e Aluno E9
Figura 37 - Resolução do problema pelo aluno E8 e E9
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
E8 e E9
P: Vocês vão ler esse problema e
explicar como vocês resolveriam?
E8: Uma dúzia é 12 e é vendida
por 3,60. Pera ai, 1,2,3,4...(o
aluno conta a quantia de ovos que
esta na caixa).
E9: Aqui tem 12.
E8: Deixa eu fazer!
E9: Calma...
E8: Uma dúzia é 12, é uma
caixinha com 12 ovos, é 3,60.
Três dúzias e meia de ovos, três
dúzias é meia...? Dúzias é
meia...?É seis!
E9: Uma dúzia é 12.
E8 e E9: (Começam a discutir as
ideias que estão tendo para
resolução do problema).
P: O que o problema ta
perguntando?
E8: Tá perguntando, se na
caixinha aqui que vem 12 ovos...
E9: Na granja...
E8: Calma, ai!
P: Um de cada vez para falar.
E8: Em uma caixinha vêm 12
ovos e é 300,60.
P: 300,60?
E8 e E9: Três reais e sessenta.
E8: Ele que sabe...
E9: Qual o preço de três dúzias e
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Temos caracterizada, nesta fala
a Particularidade Genérica, em
que o aluno extrai características
importantes
como
“dúzia”
“quantidade de ovos” para
organizar seus esquemas em
busca da resolução; observamos
também
a
passagem
do
pensamento narrativo para o
pensamento lógico - científico
uma vez que conseguimos notar
o raciocínio lógico do aluno.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem utilizando o desenho
da caixa de ovos para ajudar
em seus cálculos.
Na
conversa
da
dupla
destacamos a Negociabilidade
inerente
entre
alunos
e
pesquisador, que realiza alguns
questionamentos na intenção de
direcionar a dupla a compreender
a estrutura do problema.
Na conversa dos dois alunos,
Temos presentes os Conceitos
em ação: o aluno selecionou as
informações disponíveis para
resolver o problema como, por
exemplo, “três dúzias e meia”
conceitos importantes presente
no problema.
213
meia de ovos.
E8: A pergunta que saber 3 caixas
e meia, três dúzias e meia de
ovos é?
P: Tá! Quanto que é o preço de
uma caixa?
E8: 300,60.
P: 300,60?
E9: 3 reais e 60 centavos.
P: Então, quanto que é 3 caixas?
E8: 3.
E9: Coloca três, três e três e faz a
conta. Três, com três é 6. Nove!
P: Mas não é 60 centavos?
E8: É! 3,60.
P: Três caixas, cada caixa não é
3,60 centavos?
E8: A é! Seis mais seis...?
E9: 12!
E8: 12, 13,14,...18. Aqui é 9. É
10,80 centavos.
P: Ai, eu achei de 3 caixas, certo?
De ovos. Quantas,...aliais 3
dúzias, não é?
E8: Uhu!
P: Cada caixa tem uma dúzia, só
que ele quer de três dúzias e ...?
E8 e E9: Meia.
P: Então, assim uma dúzia é 3,60,
meia dúzia... a metade vai ser
quanto?
E8: Há, a metade? Se uma dúzia
e 300,60, três dúzias é 10,80.
Não...
P: Uma caixa dessa daqui não
custa 3,60?
E8: Uhu!
P: É a metade dessa caixa vai
custar quanto?
E8: 3,60! A metade de 3...
E9: Vai ser 6?
E8: Vai ser 12?
P: Como vai custar mais que uma
dúzia a metade? Quanto que é a
metade de uma dúzia? Não é seis
ovos?
E8: (Balança a cabeça que sim)
P: Então! Doze ovos custa 3,60,
meia dúzia vai custa quanto?
E8: Meia dúzia é 6, háaa! Ela tá
perguntando se vende 6 ovos,
quanto é o preço.
P: Fala o que você tá pensado.
E8: Pode ser assim, 3,60 menos
6.
P: Porque menos 6?
E9: E mais 6.
P: Porque mais 6? Você não quer
saber a metade de quanto custa
isso daqui? Se eu falo que essa
caneta custa dois reais, se eu tiro
a tampa quanto que vai custa a
caneta sem a tampa?
percebemos
que
eles
identificaram
as
questões
centrais do problema o que
remete, neste trecho da narrativa,
à Centralidade do Problema.
Encontramos, nessa Transcrição
do diálogo dos alunos, a
Passagem do Pensamento
Narrativo para o Pensamento
Lógico – Científico, em que por
meio da linguagem o seu
raciocino lógico se torna efetivo.
Aqui temos a Ambiguidade de
referência: o pesquisador abre
os questionamentos e observa
como os alunos vão se
comportando diante de cada
questão lançada a eles. O
pesquisador busca rever a
interpretação que os alunos
tiveram e vai esquematizando
com os alunos a estrutura do
problema e o significado de
algumas palavras.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, quando o aluno fala
os números em voz alta e os
gestos dos dedos para realizar
a contagem e segundo o autor
identificamos
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno que e
desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
Percebemos um Teorema em
Ação (falso), na explicação dos
alunos, ou seja, uma relação
matemática implícita escolhida
por ele e que faz parte dos seus
esquemas; observamos que o
mesmo exibe outro tipo de
operação para resolver o
problema.
214
E8: Um real
P: Então, é a metade de dois.
E8: Háaa...
P: Não é? Agora,...
E8: 2,60
P: Porque 2,60: Dois e sessenta é
a metade de 3,60?
E8: Metade de 3 é ....metade de
3...
P: Então, vamos decompor esse
valor, qual é a metade de 3?
E9: Metade de 3...
P: Metade de três reais.
E8: Metade de 3...
P: Metade de 2, dois reais e
quanto? É um não é?
E8 e E9: É!
P: Qual é a metade de um real?
E8: Metade de um real...?
P: Quanto que é a metade de um
real?
E8: Um real?
P: É.
E8: Metade um real, é...um
real...você precisa...
P: Você tem um real, quantas
moedas você precisa para compor
um real?
E9: 50 centavos.
E8: 50 centavos.
E9: 50 centavos, a metade de um
real é 50 centavos.
P: 50 centavos. Cinquenta mais
cinquenta vai dá um real. Qual é a
metade de 3?
E8: A metade de 3 reais é...
E9: É dois?
P: Dois mais dois é 4, então não é
dois.
E8 e E9: (Ficam pensando).
P: Qual é a metade de 60
centavos?
E8: Metade de 60 centavos é 30
P: 30 centavos. Então marca ai,
30 centavos, zero vírgula 30. Tá,
agora metade de três reais,
vamos decompor esses três,
metade de dois é quanto?
E8: Metade de dois...é um real?
P: É um real, coloca ai. Um
vírgula zero zero, coloca em
baixo. Só que sobra mais um real
ainda, não é? Qual é a metade de
um real?
E8: 50.
P: Então você vai colocar zero
vírgula cinquenta centavos. Agora
soma.
E9: Zero...
E8: De mais.
E9: Essa linha aqui você coloca o
zero.
E8: Um real e oitenta centavos.
P: Qual é a metade de 3,
sessenta centavos?
E8: Um é oitenta.
P: Agora você descobriu três
O pesquisador sugere outros
caminhos para que o aluno
consiga
compreender
os
conceitos
empregados
no
problema.
O
pesquisador
direciona os dois alunos na
intenção de que eles estruturem
o problema, temos neste diálogo
a Negociabilidade inerente.
Nesta parte identificamos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno
que e desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, apresenta-se neste
diálogo, com questões que
estão ligadas ao raciocínio do
aluno e que são desenvolvidas
por meio de cálculos e
informações; estão presentes
os conceitos em ação: o aluno
seleciona
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
215
dúzias e quanto que vale meia
dúzia, agora quanto que dá as
três dúzias e meia?
E8: As três dúzias e meia...? Um!
P: Fala.
E8: Acho que é uma conta de
mais.
E9: Mas é com esse dois a conta
de mais?
P: É!
E9: (O aluno faz o calculo, utiliza
os dedos para contagem).
E8: Oito mais oito é dezesseis. Dá
10! Não tem como soma, baixa o
10.
P: É o um lá de baixo? Um mais
um?
E8 e E9: Dois.
P: É baixa o um aqui. Você tem
zero, um é um aqui, não é? Não e
um real e oitenta, você não pode
colocar em baixo do um.
E9: A tá.
P: Tá certo aqui. Aqui que tá
errado que você fez. Zero é um e
um da quanto? Apaga esse dois
E9: Aqui vai dá um
P: Porque vai dá um ai?
E9: Ò vai dar zero.
P: Porque que vai dar zero?
E8: (o aluno pega folha para fazer
o calculo)
P: Esse um aqui, é aqui em baixo,
ele colocou ao contrário.
E8: Aqui e um. Se tinha subido o
um e dois.
P: Isso
E9: Dois e um aqui também.
E8: É dois.
P: Porque dois? Não sobe nada
aqui.
E9: Um mais um é dois.
E8: Ai, eu confundi aqui.
P: Pronto! Três dúzias e meia
custa quanto.
E8: 12,60.
P: Entenderam agora?
E8 e E9: Uhu.
Neste trecho do diálogo da dupla
destacamos
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar as explicações e
justificativas para os cálculos que
estão realizando.
Novamente temos o conceito
em ação: o aluno selecionou as
informações disponíveis para
resolver o problema, integrado
ao quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência: questões que estão
vinculadas ao raciocínio do
aluno sendo desenvolvidas por
meio de cálculos e informações.
Temos ainda os esquemas de
numeração: o aluno utiliza os
dedos para realizar os cálculos.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, encontra-se neste
trecho também; temos questões
relacionadas ao raciocínio do
aluno
que
podem
ser
desenvolvidas por meio de
cálculos e informações.
6.4.23 Observações sobre o comportamento dos alunos E8 e E9
Os alunos realizam a leitura, e, após o término, o aluno E8 faz a
relação da “dúzia-12” e começa a contar os ovos da caixa do desenho. O aluno E8
toma a folha do colega E9, refaz a leitura faz a relação de “meia-6”. Eles apresentam
dificuldades em alguns pontos do problema, e, para a realização dos cálculos
utilizavam sempre os dedos. Os alunos apresentaram a questão central, mas não
conseguiam entender como realizariam a conta. O aluno E10 fala para o E8 colocar
216
três, três e três e somar, ou seja, somar três vezes o valor da caixa de ovos. Para
achar a meia dúzia o pesquisador trabalha com a composição do dinheiro para que
eles entendessem o termo “meia”, até chegar à solução. A interação entre eles foi
bem pouca, o aluno E8 participou mais das discussões.
6.4.24 Análise do grupo 3 (interação): Problema do campo multiplicativo
Aluno E10 e Aluno E11
Aluno E10
Aluno E11
217
Figura 38 - Resolução do problema pelos alunos E10 e E11
Fonte: Acervo pessoal
Transcrição da fala dos Alunos
E10 e E11
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno E10 com o pesquisador
P: Você vai fazer a leitura e
resolver.
E10: Três dúzia de ovos...três
O terceiro tipo de invariantes
<<argumentos>> destaca-se
dúzias e meia...deixa eu ver...
no diálogo do aluno: apresenta
o argumento do tipo “dúzia...”
informação importante contida
no problema.
E10: Pronto.
P: Pronto? O que você fez ai?
E10: Foi assim: - Uma dúzia de Segundo o autor caracterizamos Destaca-se
o
quarto
ovos e vendida por 3,60, qual é o esse
diálogo
como
uma componente de um esquema,
preço de três dúzias e meia? Ai eu Particularidade Genérica, em a possibilidade de inferência,
peguei esse número três vezes, ai que o aluno, em sua explicação, que são as questões que estão
eu coloquei aqui e deu 10,60 e de apresenta suas tomadas de ligadas ao raciocínio do aluno e
mais.
decisões e verbaliza como desenvolvidas por meio de
organizou seus esquemas em cálculos
e
informações
busca da resolução. Observamos recolhidas após a leitura.
também aqui a passagem do
pensamento narrativo para o
pensamento lógico - científico
uma vez que conseguimos notar
o raciocínio lógico de E10.
Transcrição do Aluno E11 com o pesquisador
P: Você vai fazer a leitura e
responder. Pronto?
E11: Um
P: Então conta para mim como
você fez?
E11: Eu fiz, 3,60 vezes 3.
Particularidade Genérica, em Segundo
o autor,
temos
218
que o aluno em sua explicação
apresentou sua tomada de
decisão,
apresentando
a
operação utilizada.
presente o quarto componente
dos esquemas, possibilidades
de inferência que o aluno
manifesta ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
Transcrição da Interação com o Aluno E10 e o Aluno E11
P: Vê como vocês fizeram ai, e
faz a leitura do problema de novo
para ver se não está faltando
nada. Conversem vocês. Tá certo
o que vocês fizeram?
E11: Eu fiz, 3,60 vezes 3 é deu O aluno E11 apresenta para o Destaca-se
o
quarto
10,80.
seu colega o cálculo que ele componente de um esquema,
E10: Eu peguei três vezes o utilizou
e como procedeu, a possibilidade de inferência,
número 3,60 e deu 10,80.
segundo as características de que são as questões que estão
uma narrativa temos presente a ligadas ao raciocínio do aluno e
Composição hermenêutica.
desenvolvidas por meio de
cálculos
e
informações
recolhidas após a leitura.
P: É vocês acham que tá certo?
E10 e E11: (Balança a cabeça
que sim).
P: O que o problema tá Encontramos no diálogo dos
perguntando?
alunos, após o questionamento
E10 e E11: Qual é o preço de três do pesquisador, as interpretações
dúzias e meia?
e observações do aluno em
P: É vocês acharam o preço de relação à correspondência de
cada valor, identificando a
três dúzias e meia de ovos?
E10 e E11 (Balança a cabeça que centralidade do problema, ao
sim).
contar
que
para
resolver,
P: Uma dúzia e quanto?
deveriam saber o preço de três
E10: 3,60.
dúzias e meia.
P: É três dúzias e meia, quanto A Ambiguidade de referência
que é?
aparece quando o pesquisador
E10: 10,80?
abre os questionamentos e
P: 10,80 é o preço de três dúzias observa como os alunos vão se
e meia?
comportando diante de cada
E10 e E11: Sim
questão lançada a eles. O
P: Quantas dúzias você utilizou ai pesquisador busca rever a
em relação ao preço?
interpretação que os alunos
E10: 3.
tiveram e vai esquematizando
P: É a meia? Cadê a meia? Você com estes estruturam o problema
também aluno E11. Não tá e o significado de algumas
faltando à meia?
palavras.
E10 e E11 (Balança a cabeça que
sim).
P: Se uma dúzia...Uma dúzia e Os
alunos
vão
sendo
quantos ovos? Uma dúzia. Quanto questionados pelo pesquisador e
que corresponde uma dúzia? Uma vão
retomando
todas
as
dúzia e quantos ovos?
informações
contidas
no
E11: 12.
problema.
Logo,
temos
a
P: 12. E meia dúzia, vão ser negociabilidade
inerente,
quantos ovos?
momento este no diálogo que o
E11: 6.
pesquisador e os alunos vão
P: 6. É a metade de 12, né? Isso realizando
discussões
e
a gente está pensando em esquematizando o problema para
quantidade de ovos, certo? Agora, o entendimento dos alunos à
vamos pensar em quantidade de resposta final.
dinheiro? Uma dúzia é quanto?
E10: 3,60.
P: É meia dúzia? Tá entendendo
o raciocínio ou não? Ó uma dúzia,
são 12 ovos, meia dúzia vai ser...
E10 e E11: Seis.
P: Seis, que é a metade de 12,
não é isso? Isso a gente tá
219
pensando em ovos, não é? Agora
vamos pensar em dinheiro, no
preço, uma dúzia é quanto? Três
é...três e sessenta, não é?
E10 e E11: É.
P: Que são 12 ovos, não é? Três
reais e sessenta. Meia dúzia vão
ser seis ovos, vai ser a metade de
12, quanto que é em dinheiro?
E11: Seis reais?
P: Como pode ser mais que uma
dúzia a metade? Não tem que ser
menos?
E11: Dois reais.
P: Doze dúzias é proporcional ao
valor, não é? Doze dúzias é três e
sessenta, meia dúzia vai ser
quanto?
E10: 1,60?
P: Porque um e sessenta?
E10: Porque 3 é um pouco mais,
ou menos que 2. Ai se 12 ovos, dá
a cartela cheia, ela é custa 3,60,
então é 1,60, seis ovos.
P: Você concorda comigo, que se
6 ovos é 1,60, mais 6 ovos vai ser
mais 1,60, não é?
E10: (Balança a cabeça que sim)
P: 1,60 mais 1,60 dá quanto?
E11: 3,20.
P: Não dá 3,60 que é a dúzia.
Tem que dá 3,60, não é?
E10: Sim.
P: Então, está faltando mais uns
centavinhos ai.
E11: 2,...20. Falta 40 centavos.
P: Vocês, estão entendendo o que
eu to falando?
E10 e E11 (Balança a cabeça que
sim)
P: Porque 1,60. Se cada meia
dúzia vale 1,60, e eu tenho duas,
tem que dá 3,60, não, é? Tá
faltando uns centavos, ai.
E11: 80..., 80.
P: Um é...
E11: 1,80.
P: Um e oitenta, né?
E10: (Balança a cabeça que sim).
P: 1,80 mais 1,80 vai dá... três e
sessenta. Então, quando vocês
fizeram a continha ai, vocês
acharam o valor de 3...dúzias. E a
meia agora, o que é que eu faço?
E11: Eu pego, 1,80...
E10: 1,80 mais 1,80.
P: Não! Se você for pegar 1,80
com 1,80 você está pegando uma
dúzia. Você já descobriu o valor
de meia dúzia, não é? Você que
saber o valor de três dúzias e
meia. É só fazer o que ai, agora?
E11: Divisão? Menos? Mais.
Nesta parte identificamos o
quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno
que e desenvolvido por meio de
cálculos e informações.
O aluno verbaliza algumas
relações entre as palavras
“mais e menos” para justificar
suas respostas, dessa maneira
identificamos os esquemas da
resolução,
que
são
observáveis nessa discussão
entre o pesquisador e os
alunos.
Novamente
o
pesquisador
estabelece algumas maneiras de
raciocinar mentalmente sobre o
que está sendo solicitado no
problema,
realizando
questionamentos para reorientar
os alunos em busca da
resolução; nessas discussões se
apresenta a negociabilidade
inerente.
No diálogo percebemos um
Teorema em Ação (falso), ou
seja, uma relação matemática
implícita escolhida por ele e que
faz parte dos seus esquemas;
220
notamos aqui que o aluno
apresenta várias operações
para resolver o problema.
P: Você vai somar mais 1,80, não
é isso? O que você achou das 3
dúzias, os 10,80 centavos. Você
entendeu aluna E10, ou não?
E10: Sim.
P: Só que é 10,80, colocar vírgula
em baixo de vírgula. Quanto que
deu ai?
E11: 12,60.
P: Vamos espera a aluna E10.
Entenderam agora?
E10 e E11 (Balança a cabeça que
sim).
P: E deixa eu te perguntar uma
coisa aluna E10: - Você consegue
observar que aqui, que desses
3,60, mais 3,60 e mais 3,60, você
pode fazer uma outra operação?
E10: (Balança a cabeça que sim).
P: Qual?
E10: Eu posso fazer de vezes
também.
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência,
é
identificado
mediante as questões que são
ligadas ao raciocínio do aluno,
desenvolvidas por meio de
cálculos e informações.
No diálogo do aluno E10
destacamos
a
Composição
Hermenêutica:
podemos
observar a interpretação e
estratégia que o aluno utilizou
para realizar o cálculo e o motivo
das suas escolhas.
Identificamos
o
terceiro
componente de um esquema,
os invariantes operacionais,
que
são
informações
necessárias para as aferições e
a
escolha
das
regras
adequadas que o aluno possui
para chegar à solução, por meio
da operação de adição ou pela
multiplicação.
P: É, mas você prefere fazer
assim?
E10: Uhu
P: Ou você tem dificuldade de
fazer multiplicação?
E10: É mais fácil.
P: Então, tá.
6.4.25 Observações sobre o comportamento dos alunos E10 e E11
O aluno E9 inicia a leitura, realiza os cálculos e explica que pegou o número
do valor da caixa e somou três vezes. Já
o aluno E10 faz o cálculo por meio da
multiplicação. Na interação os alunos perceberam, com o questionamento do
pesquisador, que faltou calcular o valor de “meia dúzia”; então o pesquisador inicia a
discussão pela composição do preço, para que os alunos entendessem a relação
“meia dúzia”. Ao final os alunos conseguem compreender o problema.
221
Aluno E12 e Aluno E13
Aluno E12
Aluno E13
Figura 39 - Resolução do problema pelos alunos E12 e E13.
Fonte: Acervo pessoal
222
Transcrição da fala dos Alunos
E12 e E13
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno E12 com o pesquisador
P: Você vai fazer a leitura e
resolver.
E12: Pronto!12,10.
Invariantes
operacionais
P: Que número é esse?
explícitos: traduzidos por meio
E12: Esse aqui? 1,30.
da
linguagem
natural
e
sentenças
formais
apresentadas pelo aluno.
P: Tá.
Transcrição do Aluno E13 com o pesquisador
P: Lê o problema e ai você
resolve.
E13: É 3,60 vezes 3 e mais 6 pelo No diálogo do aluno destaca-se a O quarto componente de um
Hermenêutica: esquema, a possibilidade de
menos
eu
acho.
Dá Composição
10,80...Terminei.
podemos observar a explicação inferência, questões que estão
do aluno e como este procedeu ligadas ao raciocínio do aluno
para resolver o problema.
sendo desenvolvidas pelos
cálculos e informações.
P: Como você fez?
E13: Eu fiz 3,60 vezes 3, ai depois
somei mais 1,80 que é a metade
de 3,60, por causa que era três
dúzias e meia.
O terceiro tipo de invariantes
<<argumentos>>
do
tipo
“dúzia...” que está empregado
no conceito em ação: o aluno
seleciona
as
informações
disponíveis para resolver o
problema.
Transcrição da Interação com o Aluno E12 e o Aluno E13
P: Conversem ai e cheguem ao
consenso.
E13: O meu deu 12,60. Eu fiz 3,60 No
diálogo
dos
alunos O quarto componente de um
vezes 3, ai deu 10,80, ai eu somei encontramos a Negociabilidade esquema, a possibilidade de
mais 1,80 que é a metade, por inerente: os mesmos abrem o inferência, questões que estão
causa que era três dúzias e meia, questionamento entre eles para ligadas ao raciocínio do aluno
ai eu somei e deu 12,60. Deixa eu saber
como
resolveram
o sendo desenvolvidas pelos
ver o seu?
problema. Outro destaque é a cálculos e informações.
E13: 3,60, mais 3,60 mais 3,60. composição hermenêutica que
Tá! Porque você não fez de podemos
acompanhar
na
vezes, era mais fácil.
explicação dos alunos e nos
significados estabelecidos para
os
conceitos
contidos
no
problema.
E12: Deixa eu ver. (E13 ficou
pensando).
P: Tá, certo? Então, não tá certo?
E13: Não, ele colocou 4,80, aqui.
(O aluno E13 vai corrigindo o do
aluno E12 junto com ele)
E12: 1,80.
O
aluno
apresenta
os
E13:É um.
esquemas de numeração,
E12: É, rsrs.
quando inicia a exposição de
P: Ai, deu quanto?
sua tomada de decisão, e
E13: Deu 12,10. Três e sessenta, Encontramos nessa Transcrição verbalmente,
realiza
as
três e sessenta e três e sessenta do diálogo do aluno a passagem operações para solucionar o
é 1,80 tá certo, zero e zero é zero, do Pensamento Narrativo para problema.
o
Pensamento
Lógico
–
6 mais 6 é 12
E12: mais 6,18 mais 8.
Científico,
uma
vez
que
E13: 22, 26...
conseguimos
notar
o
seu
P: Então, arruma ai.
raciocínio lógico.
E13: Há, já sei o que você errou.
De vez você deixar o seis você
deixou o 2.
E12: Como assim?
Os
alunos
vão
sendo
E13: O! deu 26 e você deixou o 2 questionados pelo pesquisador e O
aluno
apresenta
os
223
aqui. Ai você deixou o 2 aqui e
aqui é deu 22. Não deu 26.
E12: Não eu errei aqui, aqui na
conta!
E13: Não você pois 2 e aqui
também.
E12: Não eu não coloquei dois, eu
acho que eu somei errado. Seis,
nove, dez, onze e doze.
Entendeu?
E13: Eu não entendi o que você
fez aqui não.
E12: Deixa eu ver aqui!
P: Deixa eu ver.
E13: Não dá para entender nada.
P: Zero, zero é zero, seis e seis,
doze com mais seis dezoito com
mais oito...
E12: dá...26.
E13: 26.
P: Então, seis vão 2. Ai, três com
mais três seis, sete, oito,
nove...com mais um doze, 12,60.
E o seu? Tá certo, deu 12,60.
E12: A gente tava se matando a
toa sendo que tava certo.
E13: Tá certo.
P: Entenderam?
E12 e E13: Uhu!
vão
retomando
todas
as
informações
contidas
no
problema,
realizando
as
correções necessárias. Logo,
temos
a
negociabilidade
inerente, momento em que, na
narrativa, o pesquisador e os
alunos vão realizando discussões
para se chegar à solução final.
esquemas de numeração,
quando inicia a exposição de
sua tomada de decisão, e
verbalmente,
realiza
as
operações para solucionar o
problema.
6.4.26 Observações sobre o comportamento dos alunos E12 e E13
Os alunos são muito participativos. O aluno E12 fez o cálculo apenas das
“três dúzias”, já o aluno E13 resolveu o cálculo corretamente. Na interação os alunos
confrontaram os resultados; neste momento, o aluno E12 percebeu que havia feito
errado e corrigiu junto com o colega.
224
Aluno E14 e Aluno E15
Aluno E14
Aluno E15
Figura 40 - Resolução do problema pelos alunos E14 e E15
Fonte: Acervo pessoal
225
Transcrição da fala dos Alunos
E14 e E15
Análise de acordo com Bruner
Análise de acordo com
Vergnaud
Transcrição do Aluno E14 com o pesquisador
P: Você vai fazer a leitura e
resolver. O que você entendeu?
E14: Tem que resolver 3 dúzias e Nesta fala do aluno, percebemos Identificamos
o
primeiro
meia, esse aqui...e como dá o que ele identificou as questões componente dos esquemas, as
resultado.
centrais do problema logo, temos metas e antecipações, que o
a Centralidade do Problema.
aluno adota ao realizar a leitura
do problema para proceder à
resolução.
P: O que ele quer saber?
E14: Quanto que dá três dúzias.
P:Tá, então coloca ai.
E14: (O aluno utiliza os dedos
Esquema de numeração, o
para ajudar na contagem). Pronto.
aluno utiliza os dedos para
realizar os cálculos.
P: Pode falar.
No diálogo do aluno destacamos
E14: Eu peguei essa coisa aqui...
a Composição Hermenêutica:
P: Que coisa, você pegou?
podemos
observar
os
E14: Esse da granja e coloquei 3 significados
atribuídos
para O quarto componente de um
doze para somar 12 com...
alguns conceitos presente no esquema, a possibilidade de
P: Porque 12?
problema bem como a explicação inferência, questões que são
E14: Para ver se dá certo.
acompanhada
de
sua ligadas ao raciocínio do aluno,
P: Mas porque 12? De onde você interpretação.
sendo desenvolvidas por meio
tirou 12?
de cálculos e informações.
E14: Uma dúzia, deixa eu ver...
P: Há, você tirou da dúzia, então?
E14: É, ai eu somei tudo.
P: A tá.
Transcrição do Aluno E15 com o pesquisador
P: Você vai fazer a leitura e
resolver. O que você entendeu?
E15: Deixa eu ler de novo...Se
O segundo componente de um
esquema, a regra de ação,
uma meia dúzia é...
busca de informação e
controle dos resultados da
ação, do tipo “se...então” que
fazem parte dos esquemas.
P: Pode falar.
E15: Uma dúzia é isso, ai você vai Neste diálogo destaca-se a O quarto componente de um
Particularidade Genérica, no esquema, a possibilidade de
ter que somar, é vezes 3.
qual o aluno apresenta sua inferência, questões que estão
tomada de decisão, explicando ligadas ao raciocínio do aluno e
seu raciocínio.
são desenvolvidas por meio de
cálculos e informações.
P: Explica para mim o que você
fez.
E15: Se uma dúzia é isso, então Destacamos neste trecho a Temos novamente o segundo
ele quer saber quanto é 3 dúzias, Composição Hermenêutica, em componente de um esquema,
ai você faz uma dúzia mais 3, ai que podemos observar os a regra de ação, busca de
soma eu acho que tá certo.
significados
atribuídos
para informação e controle dos
alguns conceitos presente no resultados da ação, do tipo
problema,
bem
como
as “se...então” que fazem parte
explicações acompanhadas de dos esquemas dos alunos
sua interpretação.
P: Tá.
Transcrição da Interação com o Aluno E14 e o Aluno E15
E15: Oche! ta errado o problema.
P: O E15 vai contar como ele
resolveu e você vai ver o seu.
E15: Eu peguei aqui ó, se uma
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
dúzia é isso, ai você tem que vê 3
inferência, questões que estão
dúzias e...i acho que eu errei.
P: Por quê?
ligadas ao raciocínio do aluno
E15: Porque eu só fiz de 3 dúzias
sendo desenvolvidas por meio
226
e não fiz da meia.
P: E como faz da meia?
E15: Meia tem que ser a metade
disso aqui. (O aluno aponta o
valor 3,60).
P: Então pode fazer.
E14: O meu faltou também.
P: Você E14 fez errado, né?
E15: O dele tá errado.
E14: Isso.
P: (Os alunos começam a refazer
o calculo novamente) Pronto?
Como foi? Você entendeu?
E14: (Balançou a cabeça que
sim).
P: Aquela hora você tinha feito...
E14: 12 mais 12.
P: Você fez a quantidade de ovos
que tinha dentro da caixa, não o
valor de cada caixa.
E14: Sessenta.
P: Sessenta, certo? E ai agora
você aqui você pegou... são 3
caixas não são, 3 dúzias?
E14: Uhu!
P: 3,60 mais 3,60 mais 3,60, só
que eu tenho meia dúzia, que
seria a metade dessa caixa, não é
o que vocês falaram?
E14: Uhu!
P: Então, a metade de 3,60 não
pode ser isso. 12,50! Qual é a
metade de 3,60? Ó pensa assim,
qual é a metade de dois reais?
E15: Um.
P: Um. Um real, um real mais um
real é ...
E15: Um e cinquenta.
P: Não, de dois reais e um real.
E15: Eu sei! E de três. Ai e um
real e cinquenta.
P: A tá! Só que aqui a gente vai
decompor esse dinheiro. Então de
três reais vocês falaram que é
um...
E15: 1,50.
P: E de sessenta centavos?
E15: É 30.
P: Então, eu tenho 1,50...
E15: 1,80!
E14: Então...
P: 1,50 mais 30 que é 1,80. Então
no lugar de 1,50 é 1,80.
E15: 1,80. (O aluno começa falar
em voz alta o seu raciocínio,
utilizando
os
dedos
para
contagem). O meu deu isso.
P: Quanto que é isso, há você
esqueceu de um 3,60 você havia
feito certo.
E15: Aé!
P: Aluno E14 seis com mais seis e
quanto?
E14: 7,8...12
P: 12 com mais 6, e com mais 8.
de cálculos e informações que
foram extraídas do problema.
A Ambiguidade de referência
aparece quando o pesquisador
abre os questionamentos de que
a conta estava errada. O
pesquisador busca rever a
interpretação que os alunos
tiveram e vai explicando o porquê
do erro; no decorrer da conversa,
os alunos conseguem entender,
estabelecendo outra postura em
relação ao raciocínio que tiveram
anteriormente.
O pesquisador realiza alguns
questionamentos para tentar
direcionar os dois alunos a
compreender a estrutura do
problema,
destacando,
no
diálogo,
a
Negociabilidade
inerente entre o pesquisador e
os alunos.
Observamos também aqui a
passagem
do
pensamento
narrativo para o pensamento
lógico - científico.
Ambiguidade de referência
aparece novamente quando o
pesquisador
abre
os
questionamentos e observa como
O quarto componente de um
esquema, a possibilidade de
inferência, questões que estão
ligadas ao raciocínio do aluno e
que são desenvolvidas por meio
de cálculos e informações
estabelecidas pelos alunos.
Esquema
de
numeração,
realizado
por
meio
da
linguagem, momento este que o
aluno
explica
o
cálculo
realizado para se chegar à
solução.
Novamente presente o quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno sendo
227
E14: 25.
P: 25?
E14: E isso.
P: Ó! Seis com mais seis 12, põe
12 na cabeça e soma 6. Doze,
treze,...
E14: Dezoito.
P: Põe 18 na cabeça, dezenove...
E14: 19, 20.21,...,26. É 26!
P: Não! Não é 26 ai. É zero, é um
zero aqui, seis...não.
E14: Zero...
P: O seis que é dessa soma aqui,
aqui do lado.
E14: Aqui?
P: Não do lado aqui. Em baixo da
casa da...Não, não, não, não! Ó
como é à conta de adição. Zero,
mais zero, mais zero.
E14: Zero.
P: Aqui você não fez seis mais
seis mais seis e mais oito? Deu
vinte é ...
E14: Vinte seis.
P: Então coloca seis que é
unidade, e dois vem aqui
pra...isso
E14: Ummm.
P: Agora, como eu estou
trabalhando com dinheiro, vírgula
em baixo de vírgula...Certo?
Quanto que deu no final?
E14 e E15: 12,60.
os alunos vão se comportando
diante de cada questão lançada a
eles. O pesquisador busca rever
a interpretação que os alunos
tiveram
na
intenção
de
esquematizar a estrutura do
problema com eles e estabelecer
os
devidos
significado
de
palavras contidas no problema.
desenvolvidas por meio
cálculos e informações.
de
Apresenta-se
o
quarto
componente de um esquema,
a possibilidade de inferência,
questões que estão ligadas ao
raciocínio do aluno e ao
desenvolvimento o qual é
estabelecido por meio de
cálculos e informações.
6.4.27 Observações sobre o comportamento dos alunos E14 e E15
O aluno E14 faz a leitura, e fica pensando em como resolver, o pesquisador
interage com o aluno para verificar se ele havia entendido, quando este apresenta a
questão central; o aluno realiza os cálculos fazendo a contagem nos dedos e, na
hora de explicar, diz que somou as dúzias, ou seja, ele usou o valor 12 e não o
preço. O aluno E15 faz a leitura duas vezes, e emprega as três dúzias na operação
de multiplicação, porém esquece de incluir a “meia dúzia”. Na interação, o aluno E15
já percebe que a conta do colega está errada, e que ele mesmo não calculou a
“meia dúzia”; o aluno refaz e volta novamente a explicar para o colega E14. No
decorrer da conversa, eles foram corrigindo juntos e participando das discussões
com o pesquisador; quando tinham que realizar algum cálculo usavam os dedos.
228
6.4.28 Síntese Geral da segunda Etapa 4 – Campo Multiplicativo
Essa atividade apresentou certo nível de dificuldade pelo termo “...dúzias e
meia...” e as variáveis “quantidade de ovos e preço de ovos”. Dentre todos os
participantes, apenas o aluno E12 conseguiu desenvolver a atividade corretamente
após a sua primeira leitura. Os grupos G1 e G3 apresentaram, em suas narrativas, a
característica da centralidade do problema, em que se busca no contexto do
problema a questão central. Por meio dos diálogos dos alunos (E7 e E6) do grupo
G2 identificamos o que ocasionou o não entendimento do problema: a relação do
enunciado “metade de uma dúzia” com o “preço”. Os alunos, em sua solução, não
conseguiam esquematizar a metade do valor representado em dinheiro, como
afirmaram: “eles não haviam aprendido a calcular a metade de dinheiro”. Pudemos
perceber o motivo que ocasionou a dificuldade, presente em seus diálogo, ou seja, a
característica das ações têm motivos. Quanto às outras características, as temos
presentes em todos os grupos (G1, G2 e G3): momentos em que os alunos, ao
serem questionados em relação ao seu entendimento, explicaram as decisões,
verificando a interpretação que eles obtiveram após a leitura, pelo modo de contar e
a forma com que eles extraíram o sentido do texto. Além disso, verificamos nos
grupos as metas e antecipações que fazem parte dos esquemas presentes quando
eles esclarecem como vão proceder à resolução do problema e que operações
utilizarão para realizar o cálculo. A ambiguidade de referência aparece quando o
pesquisador precisou questioná-los, com a intenção de rever as interpretações dos
alunos e o seus significados, de modo a direcioná-los a estruturarem os conceitos do
problema e sua resolução, para que entendessem a relação da “dúzia e meia,
quantidade e preços”, que são considerados também como invariantes do tipo
<<argumentos>>. No momento em que o pesquisador sugere a decomposição do
preço de ovos que era R$3,60 em cédulas de R$ 3,00 e R$ 0,60, percebemos a
negociabilidade inerente, pois esta sugestão proporcionou uma discussão sobre a
procedência do raciocínio e dos cálculos que deveriam ser realizados. Neste
momento encontramos os componentes de um esquema, a possibilidade de
inferência, que estão ligados às questões do raciocínio e desenvolvimento de
cálculos e às informações dos alunos. Já a composição hermenêutica aparece
apenas nos grupos (G2 e G3) e é observável nas interpretações feitas pelos alunos,
nas
estratégias
utilizadas
para
a
resolução,
nas
diversas
interpretações
229
estabelecidas e os significados dados à história do problema. A passagem do
pensamento narrativo para o pensamento lógico-científico aparece nos três
grupos quando estes apresentam, por meio da linguagem, o seu raciocino lógico, ou
seja, os teoremas em ação, os invariantes operacionais e os esquemas de
numeração, assim como os esquemas de resolução,. Destacamos dois alunos E3
e E15 que apresentaram em suas narrativas os componentes de um esquema:
regras de ação, busca de informações e controle dos resultados da ação que
constituem parte dos esquemas do tipo “se...então”.
6.5 Síntese Final das Análises
Finalmente, vamos rever os procedimentos que adotamos, os caminhos
percorridos e os diálogos que surgiram na execução dos problemas, como subsídios
para as respostas às questões de pesquisa que foram as norteadoras da nossa
proposta.
Lembrando a nossa primeira questão:
- A identificação de algumas características do pensamento narrativo, nas
manifestações dos alunos durante a resolução de problemas no campo aditivo e
multiplicativo pode auxiliar o professor em sua prática educacional e no processo
ensino aprendizagem do educando?
pudemos verificar que o direcionamento das questões conduzido pelo pesquisador
ajudou muito a perceber determinadas situações que não teríamos a possibilidade
de ver em uma atividade feita apenas por meio do registro escrito. Julgamos a
identificação de algumas características que destacamos em nossa análise
importante para auxiliar o professor em sua prática em sala de aula e ao processo
de ensino aprendizagem do educando.
Vimos que é possível ao identificar, nos diálogos com os alunos, os aspectos
da narrativa e observar as interpretações e as relações feitas com a situação
apresentada, como fizeram para esquematizar o problema, o detalhamento de cada
cálculo e como este se organiza mentalmente. Além disso, o destaque desses
230
aspectos narrativos favorece o professor quanto ao seu direcionamento na
intervenção, quando julga necessário construir ou reconstruir significados por meio
da manifestação verbal apresentada pelo aluno.
O diálogo que destacamos em nossa pesquisa, sua condução nas aulas de
matemática ou, mais especialmente, na resolução de problemas proporciona ao
professor e norteia os caminhos que deve seguir seja para conduzir as questões em
que os alunos apresentam dificuldades ou para avançar os conceitos propriamente
presentes.
Retomemos dois exemplos, o aluno A4 quando apresenta a sua dificuldade
em “combinar”, sendo que o conceito combinar no texto resultava em um raciocínio
combinatório e o aluno B2 “uma certa” que estava relacionado a uma quantidade
sendo que, para aquele contexto, não era importante saber o valor total da coleção;
foi possível identificar, assim, o obstáculo,
em ambos os casos, impedia a
compreensão do contexto do problema.
Esses dois eventos que exibimos como exemplo, levam-nos a considerar a
importância de destacar os aspectos do pensamento narrativo e lógico-científico nos
diálogos em sala de aula. Em um segundo momento a prática do diálogo em sala de
aula poderá propiciar o desenvolvimento de narrativas propriamente ditas, que
auxiliem também as aulas de matemática e os professores nas mediações que
deverão ser feitas, possibilitando a identificação das dificuldades e se constituir num
efetivo progresso que possa vir a surgir a partir das verbalizações dos alunos, na
passagem do pensamento narrativo para o pensamento lógico-científico.
Destacamos a importância dos aspectos da narrativa para a evolução do
pensamento do aluno na resolução de problemas, identificados por meio do diálogo
dirigido onde conseguimos especificar os motivos que levaram os a proceder
determinados cálculos e o que estava possibilitando ou não o seu desenvolvimento,
quando estes apresentavam suas dúvidas quantos aos conceitos empregados no
problema. Esses aspectos podem possibilitar ao professor a orientação das
interferências que devem ser efetivadas para que o aluno busque a construção do
significado por meio das características da narrativa.
231
Outro ponto a destacar é estabelecido por nossa segunda questão:
-
A
identificação
dos
componentes dos
esquemas
mobilizados
no
encaminhamento da resolução dos mesmos problemas favorece a compreensão do
professor enquanto mediador do processo ensino aprendizagem?
Quando identificamos os componentes dos esquemas na resolução dos
problemas, conseguimos observar os motivos dos erros e acertos dos alunos e,
desta forma, pudemos identificar ou rever conceitos adquiridos por eles e propor
novas situações que os levaram à uma melhor compreensão dos mesmos.
Apontamos dois exemplos desse tipo de situação, a primeira trata do aluno
A2 que destaca em seu diálogo o procedimento da realização do seu cálculo mental
“Ah! Eu sempre pego os primeiros números eu fiz peguei o 40 o 20 e o, 10 e deu 80,
ai peguei os outros números e deu 98, ai eu contei até 111.” ou seja, aqui o
pesquisador pode perceber a estratégia que o aluno adotou para resolver o
problema identificado como (esquema de numeração) no caso do aluno A5 “uma
camisa com cada saia vai dar 5 combinações, mais 5 da 10, e só fazendo isso”
temos aqui o componente de uma esquema, a possibilidade de inferência, o aluno
apresenta a estrutura mental, detalhando o seu procedimento.
Essas identificações dos componentes dos esquemas levaram o professor
conhecer as dificuldades que seus alunos apresentam e os seus diversos motivos,
desde um conceito pré-estabelecido por eles anteriormente ou dificuldades quanto à
compreensão dos conceitos matemáticos e, muitas vezes, o uso de situações
repetitivas que não fazem com que o aluno trabalhe seu raciocínio lógico ou
desenvolva a habilidade de interpretação.
Tivemos inúmeros casos, em destaque nas análises individuais de cada
etapa, apontamos aqui apenas alguns pontos que podemos considerar comuns às
duas
questões.
É
importante
destacarmos
que
essas
identificações
dos
componentes direcionou nossas observações apoiadas no diálogo, o que foi a peça
chave dessa nossa pesquisa e que elas estão ligadas às características da
narrativa, sendo fundamentais para dar subsídios para respostas às nossas
questões.
232
Destacamos também o elo entre as diversas representações, o enunciado
verbal e os operadores utilizados. Isto ficou muito evidente no grupo 3, no momento
da interação entre aluno-aluno, pois conseguimos identificar, nos diálogos, aspectos
das narrativas quanto estes se manifestavam para explicar suas soluções para os
pares e até mesmo, em alguns momentos, ajudar um ao outro para que pudessem
chegar a solução. Temos a transcrição oral que o aluno faz de sua interpretação e
das operações por ele escolhidas no momento em que estava resolvendo o
problema.
As atividades vivenciadas e as considerações feitas até o momento nos
levam a enfatizar que os aspectos dos modos do pensamento narrativo e lógico
científico e os esquemas que pudemos identificar nos diálogos nas aulas de
matemática podem tornar-se ferramentas eficazes para que o professor tenha
condições de realizar intervenções e até mesmo promover a troca de conhecimentos
entre os alunos, de forma a ajudá-los a superar suas dificuldades e conseguir obter
sucesso em suas tarefas. Acreditamos que isso favoreça o desenvolvimento
cognitivo do aluno e que traga parâmetros para que o professor trabalhe o tema
resolução de problemas, na intenção de fazer com que seus alunos busquem a
construção do significado, tendo o professor como mediador desta ação.
233
CAPÍTULO VII
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este estudo baseou-se na aplicação de problemas envolvendo os conceitos
do campo aditivo e multiplicativo em um 5º ano (antiga 4ª série) do Ensino
Fundamental I, observando os aspectos da narrativa e do pensamento narrativo e
lógico-científico identificados nos diálogos dos alunos, enquanto ferramenta para
nossa análise, na intenção de averiguar as interpretações e explicações que
ocorreram durante a resolução de problemas.
Utilizamos
a
Teoria
dos
Campos
Conceituais
de
Vergnaud,
(1990,1996,1998,2009) para a identificação dos componentes dos esquemas
considerando as estruturas aditivas e multiplicativas, a teoria de Bruner (1991, 2001,
2002) para direcionamento da nossa análise identificando características da
narrativa nos diálogos dos alunos, destacando os modos dos pensamentos narrativo
e lógico-científico.
Apresentamos algumas considerações quanto aos Parâmetros Curriculares
Nacionais de Matemática e o novo Currículo de Matemática do Estado de São Paulo
que orientaram a preparação das atividades propostas. As leituras de pesquisas
correlatas a nossa, Mendonça et. al.(2007), Nunes (2011), Justo (2004), Cunha
(1997), Sales (2008) e Santana (2010) trouxeram colaborações referentes aos
tratamentos das narrativas e das resoluções de problemas.
Nosso trabalho utilizou os diálogos e destacou alguns aspectos das
narrativas nas manifestações dos alunos, sendo nossa análise instrumentada por
essas verbalizações, buscando identificar as interpretações em relação ao
enunciado do problema, a organização dos esquemas para resolução, a escolha das
operações e seus motivos, os conceitos matemáticos que estavam em jogo e o
entendimento dos alunos quanto ao contexto geral dos problemas, ou ainda, as
ações de compreensão, planejamento, execução e reflexão sobre o processo.
234
No trabalho de Mendonça et. al.(2007), a autora destacou o domínio das
estruturas aditivas, utilizando, para análise, procedimentos escritos e orais
denominados como heurísticos; em nossa pesquisa julgamos um avanço a
consideração dos procedimentos orais e também os tipos de problemas “complexos”
que propusemos em nossa experiência. Trouxemos para a análise do nosso
trabalho alguns elementos da narrativa que possibilitaram uma maior compreensão
quanto à resolução dos problemas dos alunos e um desenvolvimento conceitual
matemático quanto à abordagem dos problemas, possibilitado pelo fato de estarmos
trabalhando com a série final do ensino fundamental I.
Justo (2004), também enfatizou as operações aditivas, destacando, porém, a
complexidade do emprego do conceito “mais ou menos”; observamos também no
momento da aplicação dos problemas esses conceitos enraizados em nossos
alunos. Porém, não realizamos uma discussão unicamente restrita ao conceito
destacado
pela
autora,
procuramos,
por
meio
do
diálogo,
promover
o
direcionamento da compreensão do aluno em todos os conceitos apresentados pelo
aluno. A nossa pesquisa enfatizou a ocorrência da passagem do pensamento
narrativo ao lógico científico, ou seja, como se dá essa construção do pensamento e
quais esquemas os alunos utilizaram para resolver os problemas propostos, para
que pudéssemos fazer as devidas interferências, quando necessárias, no intuito de
observar como o professor em sala de aula poderia conduzir tais dificuldades e até
mesmo avançar no entendimento dos conceitos matemáticos, abrangendo as
estruturas aditivas e multiplicativas.
Já Silva (2010) realizou um estudo referente às estruturas multiplicativas no
programa Ler e Escrever, observando as dificuldades que os alunos apresentavam
quanto às classificações das estruturas multiplicativas permeadas no campo
conceitual. Como já comentado, a nossa intervenção, a todo momento, trabalhou
com os diálogos, dando-nos a possibilidade de destacar os conceitos que
possibilitam que o aluno desenvolva a solução de determinados problemas e até
mesmo
a
construção
dos
conceitos
multiplicativos.
Acreditamos
que
o
desenvolvimento da prática do diálogo feito em nossa pesquisa, o levantamento de
tais conceitos, e as considerações quanto aos aspectos da narrativa e dos
esquemas, possibilitou a construção e a resignificação dos conceitos e o
235
entendimento dos mesmos, algo que não teríamos conseguido em um experimento
escrito.
Apesar de Sales (2008), ter realizado sua pesquisa em função e com alunos
do ensino médio, seu trabalho auxiliou os nossos estudos a encaminhar uma
possível produção das narrativas em resolução de problemas. Inicialmente, nossa
perspectiva era de ter criado um contexto essencialmente narrativo para as
resoluções de problemas, porém nosso trabalho tomou outros rumos, e apresentou
o desenvolvimento dos diálogos, nos quais pudemos identificar e destacar alguns
elementos de uma narrativa, possibilitando nossas observações quanto aos
aspectos da passagem do pensamento narrativo e lógico científico.
No trabalho de Santana (2010), seu objetivo foi de trabalhar as estruturas
aditivas utilizando um suporte didático, o nosso trabalhou abordou as estruturas
aditivas e multiplicativas levando em consideração os aspectos narrativos e os
esquemas utilizados pelos alunos, identificados nos diálogos que ocorreram durante
as atividades. Quanto à utilização do suporte didático da autora, utilizado para
averiguar a influência do mesmo quanto ao desenvolvimento da aprendizagem,
destacamos em nosso trabalho que, quando conseguimos identificar as dificuldades
dos alunos em suas verbalizações, buscávamos objetos imediatos disponíveis
naquele momento, até mesmo criando novas situações que pudessem levar o aluno
ao entendimento dos conceitos.
Ao analisarmos os diálogos dos alunos verificamos um desenvolvimento
significativo das atitudes destes ao longo do trabalho nos grupos (G1,G2 e G3) em
nas demais etapas.
Destacamos na Etapa 1, referente ao grupo que realizou individualmente os
problemas do campo aditivo e multiplicativo, as tomadas de decisões realizadas por
eles no momento das resoluções e das explicações e como as circunstâncias
culturais podem ser afetadas tanto no sentido positivo como negativo no momento
da resolução. Os alunos vão descrevendo seus pensamentos em relação às
tomadas de decisões, sugerindo soluções para os problemas; por meio da leitura
eles vão desencadeando, em suas explicações, os detalhes extraídos dos textos.
236
Na Etapa 2, os alunos trabalharam em dupla destacando, em seus diálogos
os motivos que levaram a determinadas ações produzidas ou verbalizadas no
momento das resoluções por eles realizadas, sejam eles presentes por suas
experiências extras escolares, ou pelas teorias e conceitos matemáticos préexistentes apresentados de maneira implícita ou explicita. As informações
disponíveis em uma determinada situação, como a contagem, operações e relações;
e as relações matemáticas implícitas escolhidas pelos alunos, quando estes optam
por uma ou mais operações para resolver determinadas situações e que fazem parte
dos seus esquemas, podem ser verdadeiras ou falsas, mediante o seu domínio
conceitual, mas foram importantes no processo de resolução dos problemas.
Já na Etapa 3, tivemos o trabalho individual e após a interação da dupla para
a realização das discussões dos problemas, observamos, nos diálogos, as
possibilidades que o professor tem para acompanhar os significados por eles
atribuídos e interpretações e as estratégias utilizadas para a resolução. Destacamos,
também nessa etapa, que os alunos vão retomando todas as informações contidas
nos problemas, realizando as correções necessárias, para chegarem à solução final.
Neste momento, a interação entre os alunos possibilitou, em nossa análise, verificar
o quanto isso é importante em sala de aula para que os conceitos sejam
estabelecidos não somente pelo professor, mas entre os alunos, por meio de
cooperação e troca de informações.
Com isso pudemos observar e analisar que na Etapa 4, quando
da
aplicação de dois problemas comuns para os grupos individuais, em dupla e de
interação, que os pontos destacados anteriormente novamente foram observados.
Entendemos que não há uma regra para os acontecimentos de aprendizagem e sim
que o tipo de situação proposta aos nossos alunos dará a possibilidade de que o
professor avalie para a organização ou reorganização de suas práticas.
Julgamos que é de extrema importância destacar que nossa preocupação
não foi delimitada ao “acerto ou erro” nas soluções dos problemas pelos alunos, e
sim, voltada à condução de todo esse processo para um melhor entendimento do
mesmo. Quando encontrávamos insucesso na realização do problema, recorríamos
a outros exemplos, sejam abstratos ou concretos, retomávamos o enunciado ou
tentávamos esquemas alternativos. Observamos a importância desta prática em sala
237
de aula, de maneira a dar condições ao professor de construir alternativas e
reestabelecer os elementos da situação e das representações feitas pelos alunos
por meio dos enunciados, esquemas entre outros.
Ao analisarmos os diálogos dos alunos verificamos um desenvolvimento
significativo das atitudes destes. Partindo desta constatação, neste primeiro momento,
percebemos o quanto a análise dos modos de pensamento pode auxiliar os
professores e alunos no trabalho em resolução de problemas, de maneira a desenvolver
a compreensão dos processos e estruturas do campo aditivo e multiplicativo.
Consideramos também que é de extrema relevância para a aprendizagem
da matemática o desenvolvimento do pensamento narrativo juntamente com o
lógico-científico, pois é a partir da explicitação do pensamento narrativo que
podemos explorar os significados das estratégias utilizadas, bem como buscar a
compreensão das representações simbólicas e incentivar as interações entre alunos
e alunos – professores no trabalho em sala de aula.
De modo geral, pudemos perceber, e observamos detalhadamente ao final de
cada uma das etapas, que os alunos obtiveram um desenvolvimento satisfatório
quanto às resoluções apresentadas, nos diversos níveis de classificação dos
problemas por nós propostos. O diálogo construído possibilitou que o pesquisador
pudesse retornar a vários pontos que estavam dificultando a resolução de
problemas. Nos diálogos entre aluno e pesquisador e aluno-aluno, destacamos dois
pontos essenciais na nossa pesquisa:
- Ao incentivar o aluno a realizar a leitura e após fazer a releitura do problema,
percebemos que eles conseguem observar o que é central, ou seja, a questão que
irá nortear a resolução toda.
- Quando este aluno verbaliza seu entendimento quanto ao problema, logo ele
apresenta uma proposta de esquema, que, certo ou errado, um momento importante
para que o professor faça a mediação dos conceitos que estão em jogos de modo a
procurar meios para trabalhar com as dificuldades que possa a vir surgir e até
mesmo favorecer o avanço de tais conceitos.
238
Levando em consideração esses pontos identificados nas manifestações dos
alunos, nos perguntamos: se os alunos estivessem realizando uma atividade escrita
ou uma avaliação em que não houvesse o diálogo ou a prática narrativa, como o
professor poderia avaliar os conhecimentos que eles possuem e as dificuldades que,
muitas vezes, não estão explicitas em um texto escrito? Neste sentido percebemos o
quanto a análise das manifestações dos alunos pode auxiliar os professores e alunos
na compreensão dos processos e estruturas do campo aditivo e multiplicativo, no
trabalho em resolução de problemas. Esta pesquisa nos levou a uma estrutura de
trabalho com resolução de problemas em que o pesquisador atuou como mediador
das situações em sala de aula e o aluno como principal autor da construção do seu
conhecimento.
Essa dimensão do papel do professor enquanto mediador no processo de
ensino e aprendizagem, é uma mudança na dinâmica da sala de aula, ou seja, o
professor deixa de ser o transmissor de conhecimentos e ganha o espaço de
orientador, que poderá transformar todo o processo de aprendizagem levando o
aluno a construir o seu próprio conhecimento, ampliando as habilidades e
competências que poderão influir no seu sucesso.
Percebemos em nossa pesquisa que o professor, ao reger essa orientação
no tema resolução de problemas, poderá trabalhar mais diretamente com os erros e
acertos e com os significados atribuídos pelos alunos. No seu papel de mediador,
poderá ajudar o aluno na organização do pensamento lógico no que se refere à
interpretação dos dados, conceitos matemáticos, processo algorítmico e conclusão
dos resultados. Essa condução no processo do educando favorece a postura
reflexiva e investigativa colaborando na construção da autonomia do pensamento e
das ações escolhidas por eles.
Além disso, a prática do diálogo em sala de aula promove um ambiente que
poderá incentivar o aluno a comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias no
desenvolvimento da atividade de resolução de problemas e subsidiar o professor
para a orientação no desenvolvimento do individuo, no desenvolvimento dos
conceitos matemáticos, estabelecendo e reconstruindo os significados necessários
para soluções dos problemas.
239
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244
Anexo I – Problemas utilizados
Grupo 1 – Campo Aditivo
245
Grupo 1 – Campo Multiplicativo
246
Grupo 2 – Campo Aditivo
247
Grupo 2 – Campo Multiplicativo
248
Grupo 3 – Campo Aditivo
249
Grupo 3 – Campo Multiplicativo
250
Grupo 4 – Campo Aditivo
251
Grupo 4 – Campo Multiplicativo
252
Anexo II – Roteiro das Entrevistas
ENTREVISTA SEMI-ESTRUTURADA – 1º GRUPO
1. Relate a história do problema, sem realizar a leitura do texto. Conte com suas
palavras o que aconteceu.
2. O que temos que resolver no problema?
3. Qual foi a(s) operação (es) que você utilizou? Por quê?
4. Explique a sua resolução.
5. Você conhece alguma operação que possa representar o seu desenho?
ENTREVISTA SEMI-ESTRUTURADA – 2º GRUPO
1. Relatem a história do problema, sem realizar a leitura do texto. Contem com as
palavras de vocês o que aconteceu.
2. O que temos que resolver no problema?
3. Qual foi a(s) operação (es) que vocês utilizaram? Por quê?
4. Explique a resolução.
5. Você concorda com a ideia de seu colega?
6. Explique para o seu colega como você pensou.
7. Vocês tem alguma outra ideia para resolver esse problema?
8. Você conhece alguma operação (ões) que possa representar o seu desenho?
253
ENTREVISTA SEMI-ESTRUTURADA – 3º GRUPO
1. Relatem a história do problema, sem realizar a leitura do texto. Contem com as
palavras de vocês o que aconteceu.
2. O que temos que resolver no problema?
3. Qual foi a(s) operação (es) que vocês utilizaram? Por quê?
4. Explique a resolução.
5. Você concorda com a ideia de seu colega?
6. Explique para o seu colega como você pensou?
7. Vocês tem alguma outra ideia para resolver esse problema?
8. Você conhece alguma operação (ões) que possa representar o seu desenho?
254
Anexo III – Termos
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título da Pesquisa: “OS PENSAMENTOS NARRATIVO E LÓGICO-CIENTÍFICO NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS NO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO E MULTIPLICATIVO NO ENSINO
FUNDAMENTAL I”
Nome do (a) Pesquisador (a): Caroline Adjane Fiore
Nome do (a) Orientador (a): Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão
O sra (sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem como
finalidade de observar se “ O estímulo ao uso da narrativa contribui para que os alunos expressem
seus pensamentos e organizem seus esquemas, frente à resolução de problemas do tipo aditivo e
multiplicativo.
Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora
contribua com as
investigações a trazer colaborações ao ensino da matemática no ensino fundamental. A sra (sr.) tem
liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da
pesquisa, sem qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais informações
sobre a pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto e, se necessário através do telefone
do Comitê de Ética em Pesquisa.
Sobre as entrevistas: Serão propostos alguns problemas aos alunos e após a resolução o
pesquisador fará algumas perguntas, quanto à resolução feita pelo aluno, de que modo ele pensou
para realizar as soluções e outras questões que possam esclarecer tais soluções feitas pelo aluno.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os
procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres
Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos
procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientador terão conhecimento dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum benefício direto.
Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre o tema resolução de
problemas no ensino fundamental, de forma que o conhecimento que será construído a partir desta
pesquisa possa vir ajudar os professores, bem como acrescentar experiências e conhecimentos para
área da Educação Matemática, onde a pesquisadora se compromete a divulgar os resultados obtidos.
Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa, bem
como nada será pago por sua participação.
255
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para participar
desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro que recebi cópia deste
termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados
obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida, manifesto meu
consentimento em participar da pesquisa.
________________________________
_______________________________
Nome do Participante da Pesquisa
Nome do Responsável pelo participante
__________________________________
Nome e Assinatura do Pesquisador
___________________________________
Nome e Assinatura do Orientador
Pesquisador: Caroline Adjane Fiore, RG.: 27811004-6, tel.: 96987793
Orientador: Dra. Maria Elisa Esteves Lopes Galvão, RG.: 4 597 596-0 tel.: 9261 7755
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]
256
TERMO DE DIREITO DO USO DE IMAGEM
Eu,
______________________________________________________________,
portador(a) de cédula de identidade nº ______________________, responsável pelo aluno
(a) _______________________________________ autorizo a Dra. Maria Elisa Esteves
Lopes Galvão e a mestranda Caroline Adjane Fiore, do Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática da UNIBAN, gravar em vídeo as imagens, tirar fotos e depoimentos
do menor sob minha responsabilidade durante os encontros, na Escola Pedro Villas Boas,
Dão, referentes ao desenvolvimento do Projeto de Pesquisa intitulada a dissertação “OS
PENSAMENTOS
NARRATIVO
E
LÓGICO-CIENTÍFICO
NA
RESOLUÇÃO
DE
PROBLEMAS NO CAMPO CONCEITUAL ADITIVO E MULTIPLICATIVO NO ENSINO
FUNDAMENTAL I”
e veicular em qualquer meio de comunicação para fins didáticos, de
pesquisa e divulgação de conhecimento científico sem quaisquer ônus e restrições.
Fica ainda autorizado, de livre e espontânea vontade, para os mesmos fins, a cessão de
direitos da veiculação, não recebendo o menor sob a minha responsabilidade para tanto
qualquer tipo de remuneração.
São Paulo, _____ de __________________ de 20____
__________________________________________________
Assinatura do responsável
___________________________________
RG