Universidade Federal do ABC
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Evolução dos Conceitos Matemáticos
Daniel Miranda
Roque Caiero
2008 - terceiro trimestre
Questionário II
Método de exaustão, simbolismo algébrico e primórdios do cálculo
Exercı́cio 1 Objetivando estudar algumas caracterı́sticas do denominado método de exaustão,
considere o enunciado da Proposição XII, 2, Elementos de Euclides:
Cı́rculos estão entre um para o outro como os quadrados sobre os diâmetros.
Segue de modo aproximado a respectiva demonstração conforme os Elementos:
Cı́rculos estão para si assim como os quadrados dos diâmetros destes cı́rculos. Sejam os
cı́rculos ABCD, EF GH e seus respectivos diâmetros BD e F H. Afirmamos que, assim como o
cı́rculo ABCD está para o cı́rculo EF GH, o quadrado de BD está para o quadrado de F H.
Figura 1:
Pois, se o quadrado de BD não está para o quadrado de F H assim como o cı́rculo ABCD
está para o cı́rculo EF GH, e como o quadrado de BD está para o quadrado de F H, então o
cı́rculo ABCD está para alguma área menor do que o cı́rculo EF GH, ou uma maior. Primeiro,
suponhamos que está para uma área menor S. Inscrevamos o quadrado EF GH no cı́rculo
EF GH; vemos que o quadrado inscrito é maior do que a metade do cı́rculo EF GH, além disso,
se traçamos tangentes ao cı́rculo pelos pontos E, F , G, H, o quadrado EF GH é a metade do
quadrado que circunscreve o cı́rculo, e o cı́rculo é menor do que o quadrado circunscrito; então,
o quadrado inscrito EF GH é maior do que a metade do cı́rculo EF GH. Dividamos ao meio os
arcos de circunferências EF , F G, GH, HE nos pontos K, L, M , N , e sejam os segmentos EK,
KF , F L, LG, GM , M H, HN , N E; portanto, cada um dos triângulos EKF , F LG, GM H,
HN E é também maior do que a metade do segmento do cı́rculo no qual está inscrito; além
disso, se traçamos tangentes ao cı́rculo nos pontos K, L, M , N e completamos os paralelogramos
sobre os segmentos de retas EF , F G, GH, HE, cada um dos triângulos EKF , F LG, GM H,
1
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HN E será a metade do paralelogramo que o contém, enquanto que o segmento do cı́rculo em
questão é menor do que o parale1ogramo; então, cada um dos triângulos EKF , F LG, GM H,
HN E é maior do que a metade do segmento de cı́rculo que os circunscreve. Assim, utilizando
esse processo de bisseção dos arcos de circunferências restantes e ligando os pontos obtidos por
segmentos de retas, continuamente, deixamos alguns segmentos do cı́rculo que serão menores
do que a diferença entre o cı́rculo EF GH e a área S. Pois provou-se no primeiro teorema do
décimo livro que se temos duas grandezas distintas, e da maior subtrairmos uma outra, maior
do que sua metade, e desta que restou subtrairmos uma outra maior do que sua metade e assim
sucessivamente, obteremos alguma grandeza que será menor do que a menor grandeza em questão.
Sejam deixados setores como descrevemos, e sejam os setores do cı́rculo EF GH subtendidos por
EK, KF , F L, LG, GM , M H, HN , N E menores do que a diferença entre o cı́rculo EF GH
e a área S. Logo, o polı́gono EKF LGM HN restante é maior do que a área S. Inscrevamos
também no cı́rculo ABCD o polı́gono AOBP CQDR semelhante ao polı́gono EKF LGM HN ;
como o quadrado de BD está para o quadrado de F H, então o polı́gono AOBP CQDR está para
o polı́gono EKF LGM HN (proposição XII, 1). Mas o quadrado de BD está para o quadrado de
F H, então também o cı́rculo ABCD está para a área S; assim também, como o cı́rculo ABCD
está para a área S, o polı́gono AOBP CQDR está para o polı́gono EKF LM HN (proposição V,
11). Logo, como o cı́rculo ABCD está para o polı́gono inscrito nele, então a área S está para
o polı́gono EKF LGM HN (proposição V, 16). Contudo, o cı́rculo ABCD é maior do que o
polı́gono inscrito nele, portanto a área S é maior do que o polı́gono EKF LGM HN . A área S
verifica-se também menor. Logo, é impossı́vel. Portanto, como o quadrado de BD está para o
quadrado de F H; e, então o cı́rculo ABCD não está para nenhuma área menor do que o cı́rculo
EF GH. Analogamente, podemos provar que o cı́rculo EF GH não está para nenhuma área
menor do que o cı́rculo ABCD e tampouco o quadrado de F H está para o quadrado de BD.
Afirmamos que o cı́rculo ABCD não está para qualquer área maior do que o cı́rculo EF GH
e o quadrado de BD não está para o quadrado de F H. Pois, se possı́vel, suponhamos que ele
???? assim esteja relacionado a uma área maior, S. Logo, inversamente, como o quadrado de
F H está para o quadrado de DB, então a área S está para o cı́rculo ABCD; assim também,
como o quadrado de F H está para o quadrado de DB, então o cı́rculo EF GH está para alguma
área menor do que a do cı́rculo ABCD (proposição V, 11), que demonstramos não ser possı́vel.
Portanto, como o quadrado de BD está para o quadrado de F H; e, então, o cı́rculo ABCD
não está para nenhuma área maior do que o cı́rculo EF GH. Provamos que nenhum relaciona-se
com uma área menor do que o cı́rculo EF GH, concluı́mos que o quadrado de BD está para o
quadrado de F H, logo o cı́rculo ABCD está para o cı́rculo EF GH. Então, ....
Quanto ao argumento dedutivo para a Proposição XII, 2, levando em atenção sistema de
definições, postulados e axiomas dos Elementos:
a) Explicite o esquema lógico do argumento dedutivo utilizado (ou demonstração)
b) Elabore uma análise dos motivos lógico-matemáticos (e.g., quais as limitações da demonstração, impossibilidades de realizar uma prova direta) e das condições para o recurso ao
chamado método da exaustão e, também, método de redução ao absurdo.
c) Não raro, afirma-se que o método da exaustão tem a redução ao absurdo como caracterı́stica
intrı́nseca, portanto parte constituinte do próprio método da exaustão. Elabore uma análise
crı́tica da afirmação precedente. Nesta a análise leve em atenção a possibilidade genérica de
estudar e comparar magnitudes correspondentes a polı́gonos por meio da decomposição em
triângulos e a utilização do método da exaustão.
d) Identifique algumas das caracterı́sticas da chamada álgebra geométrica grega e, em especial,
destaque:
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1. a concepção de número e de relações entre números;
2. a linguagem e seu poder expressivo;
3. o status dos esquemas pictóricos (ou diagramas).
Exercı́cio 2 Habitualmente, o conteúdo da proposição IX, 14, dos Elementos de Euclides, é
reconhecida como o teorema fundamental da aritmética. Nas palavras dos Elementos tem-se:
Se um número é o menor que é medido por números primos, este número não será medido
por qualquer outro número primo exceto aqueles números primos que o medem originalmente.
A prova segue-se.
Seja o número A o menor número que é medido pelos números primos B, C e D; Diz-se que
A não é medido por qualquer número primo exceto B, C e D. Supõe-se que seja possı́vel A ser
medido por um número primo E; e E não é o mesmo que qualquer dos números primos B, C
e D. Com efeito, E mede A, então seja a medida de acordo com F ; logo, E pela multiplicação
de F resulta A. E A é medido pelos números primos B, C e D. Contudo, se dois números pela
multiplicação de um por outro resultam em algum número, e qualquer número primo mede o
produto, então este número primo mede algum daqueles números originais [proposição, VII, 30].
Então, B, C e D medem um dos dois números E ou F . E, logo, não medem E. Portanto, B, C
e D medem F , o qual é menor que A; contudo, é impossı́vel para o número A, por suposição A
é o menor número medido por B, C e D. Portanto, nenhum número primo mede A exceto B, C
e D.
Levando em atenção uma formulação do teorema fundamental da aritmética no contexto
conceitual e lógico da matemática atual e a versão contida nos Elementos, estabeleça uma análise
destacando os seguintes aspectos:
a) Explicite os termos conceituais presentes em cada formulação; e identifique aqueles termos
primitivos.
b) Quanto às axiomáticas, identifique as diferenças e, sobretudo, quanto à concepção de número.
Por exemplo, a natureza interpretativa, em termos intuitivos, entre as duas provas (e, de fato,
teoremas) seriam diferentes e, se for o caso, em qual sentido? Qual a distinção em termos
de conceitos matemáticos e fundamentos? De outro lado, se em ambos os casos é possı́vel
reconhecer o mesmo conteúdo, então qual a continuidade, qual a permanência, e.g., de caráter
matemático?
c) Em ambos os casos, os sistemas lógicos não são explicitados. Podemos admitir que os sistemas
lógicos subjacentes às duas provas tenham caracterı́sticas em comum de sorte a considerá-los
no uso da questão como bastante próximos. Descreva a estrutura das provas, por exemplo,
uso de redução ao absurdo, propriedade do terceiro excluı́do.
d) O significado de realizar aritmética restrito a um sistema conceitual de geometria1 e a uma
concepção de prova (e, logo, de rigor) correspondente ao sistema conceitual de geometria.
1
A questão reporta-se ao discurso lógico-teórico dos Elementos e geometria significa estritamente
geometria expressada e representada nos Elementos, quanto ao conteúdo conceitual, à forma de conceber
e expressar fatos matemáticos e, por fim, quanto ao modo de justificá-los segundo um padrão de rigor e
inteligibilidade aceitos. Recordamos que o padrão de rigor, a inteligibilidade e os métodos de justificação,
em certo sentido, condicionam a matemática de uma época. Não obstante, não a limitam e tampouco
a determinam seja como prática e descoberta e tampouco seja como um corpo estabelecido e como
construção social e intelectual.
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Exercı́cio 3 Nos Elementos de Euclides, destaca-se um axioma, ora designado A-I.5: O todo
é maior que as partes. A afirmação deste axioma impõe-se ao sistema conceitual da geometria
euclidiana e, por conseguinte ao método de exaustão e sua aplicação. De fato, o conteúdo do axioma A-I.5 parece sobretudo intuitivo e correto quanto aos objetos, às circunstâncias e às relações
do mundo concreto e da matemática. Esta última, seja referida a interpretações e significados
intuitivos ou seja concebida como domı́nio abstrato. Sabemos que a matemática greco-helênica
tinha preocupações conceituais e lógicas a respeito da noção de infinito e, logo, finito. Não obstante, de um ponto de vista heurı́stico utilizassem aparentemente alguma concepção operacional
e informal de infinito, por exemplo, associado a expressões indefinidamente, sem fim, subtrações
sucessivas de sorte que o segmento de linha (i.e., magnitude) restante é menor (i.e., é medido em
magnitude) que um determinado segmento de linha dado, adição sucessiva sem fim de magnitudes
menores.
Há um decurso histórico, consideremos o último quartel do século XVI e o século XVII, o
contexto e momento conceitual dos primórdios do cálculo, no sentido a saber: desenvolvimento
de um simbolismo e noções de operações e relações de caráter algébrico e métodos que utilizavam as noções de indivisı́veis, infinitesimais, infinitos. Naquele contexto e momento conceitual,
aparentemente, aceitava-se implı́cita ou explicitamente a concepção que o Todo é maior que as
partes e, associado, que não há uma distinção lógica e conceitual entre considerar o finito e o
infinito face à matemática praticada. Incorrendo eventualmente em abuso e informalidade, podemos considerar para as circunstâncias da questão que todo significa também totalidade, e.g.,
referida a uma coleção. Interroga-se:
a) Considere os denominados paradoxos de Zenão de Elea, quais o conteúdo e o caráter dos
paradoxos? Por exemplo, considerando que o movimento fı́sico concreto, cotidiano, não é
uma mera ilusão, qual o sentido dos paradoxos?
b) Grosso modo, a filosofia e a matemática greco-helênica têm dois conceitos de infinito, denominados potencial (ou em potência) e atual (ou completo). Exponha os conceitos de modo a
torná-los distintos e elabore uma correspondência com os paradoxos de Zenão.
c) Esclareça a relação entre o chamado método de exaustão e o axioma A-I.5. Esclareça, se for
o caso de existir, qual relação há entre os conceitos de infinito e o método de exaustão?
d) Levando em conta o denominado método do indivisı́veis de B. Cavalieri, se houver, explicite
a distinção entre este método e o método da exaustão. Com efeito, quanto ao método dos
indivisı́veis – e, de fato, outros similares –, identifique quais conceitos de infinitos estão em
uso. Sobretudo, elucide se os conceitos de infinitos relativamente à utilização operacional
atendem ao axioma A-I.5 e se não há distinção entre a concepção de operações em termos de
finito e infinito.
e) No final do século XIX e inı́cio do século XX, a matemática experimenta um contexto e
momento conceitual extremo quanto ao rigor e a elucidação de alguns temas. Há destacadas modificações seja em termos de conceitos e seja em termos de método. Os esforços de
fundamentar e de estabelecer o conceito de número real, e.g., relativamente ao cálculo e a
álgebra, permitem que a preocupação a respeito do infinito ofereça resultados insuspeitos.
Entre alguns desses resultados, descobrem-se teoremas da teoria de conjuntos e, em especial,
alguns que contradizem o axioma O todo é maior que a partes. Resultados que evidenciam a
sutileza em conceber e utilizar o infinito em domı́nios abstratos, em perceber que a intuição
intelectual e conceitual do finito e dos domı́nios concretos pode relevar-se equivocada em
outros domı́nios do pensamento.
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1. Levando em conta a coleção, ou totalidade, dos números naturais, de modo bastante
intuitivo espera-se que o número de números naturais seja maior que o número de
números pares. Com efeito, parece razoável e intuitivo que uma parte da totalidade é
menor que a totalidade; ou seja, em palavras informais, a parte é menor que o todo.
Contudo, não é o caso. Descreva as coleções em termos da teoria de conjuntos ingênua
e prove a proposição que existem quantos números pares quantos números naturais.
2. Explicite a noção de infinito associada ao resultado imediatamente precedente.
3. Sabemos que é comum empregarmos expressões similares a tender para o infinito, tão
grande quanto se desejar, tão pequeno quanto se desejar. Há alguma diferença entre a
referência ao conceito de infinito nestas expressões e ao conceito de infinito relativo a
uma totalidade, ou coleção (e.g., o conjunto dos números naturais)?
Exercı́cio 4 Nos Elementos, a Proposição 20, Livro IX, em palavras informais, enuncia que o
número de números primos é infinito. Vejamos a proposição e sua correspondente prova:
Números primos são mais que qualquer assinalada multitude2 de números primos.
Sejam A, B e C os números primos da multitude assinalada, dizemos que existem mais
números primos que A, B e C. Consideremos o menor número primo medido por A, B e C,
designado DE. Seja DF a unidade adicionada a DE. Então, EF ou é um número primo ou não
é um número primo. Primeiramente, supõe-se que EF seja um número primo, então os números
primos A, B, C e EF descobrem-se mais que A, B e C. De outro lado, supõe-se que EF não
seja um número primo. Logo, é medido por algum número primo [proposição 31, Livro VII]. Seja
EF medido pelo número primo G; e G é distinto de quaisquer números primos A, B e C. Os
números A, B e C medem DE, então G mede também DE; e G mede EF . Portanto, G é um
número distinto dos números primos A, B e C e, por hipótese, é primo. Portanto, descobrem-se
que os números primos A, B, C e G são mais que os números primos assinalados na multitude
de A, B e C.
Indagamos:
a) Descreva a estrutura da prova referente à Proposição 20, Livro IX apresentada por Euclides.
b) Nos Elementos não há menção à noção de infinito, por conseguinte em qual sentido pode
asseverar-se que a Proposição 20, Livro IX enuncia que existem infinitos números primos?
c) Consideramos os contextos conceituais e lógicos da matemática dos Elementos e o atual, as
correspondentes versões da proposição asseveram a existência de números primos relativamente ao respectivo contexto. Estabeleça uma comparação conceitual e de método entre as
duas versões, por exemplo, destacando só termos conceituais utilizados, as axiomáticas, a
noção de número, os modelos.
d) Asseverar que existem infinitos números primos seria equivalente a afirmar que existe algum
número primo?
A seguir esclarecemos parcial e minimamente o sentido de contexto conceitual e lógico da
matemática atual. Implicitamente, adotamos uma linguagem formal apropriada (e.g., sı́mbolos
de variáveis, de igualdade, de conectivos, de constantes, de predicados) e um sistema lógico
clássico (e.g., as regras de inferência, a caracterização da negação). A caracterização da igualdade
segue-se:
2
Em termos dos Elementos, a expressão multitude pode ser entendida como uma coleção de unidades,
ou números; ou, também, uma quantidade de unidades, ou a partir da noção que um número é uma
coleção de unidades.
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ig1 ∀x(x = x)
ig2 x = y → (α[x, x] → α[x, y]), em que a fórmula α[x, y] é obtida a partir da fórmula α[x, x]
pela substituição de alguns ocorrências da variável x por y, tal que a substituição não
origina confusão de variáveis.
ig3 ∀x∀y((x = y) → (y = x))
ig4 ∀x∀y∀z((x = y) → ((y = z) → (x = z)))
A negação da igualdade x = y denota-se x 6= y.
Os axiomas próprios da teoria da aritmética dos números naturais, e.g., termos primitivos c
e s, seguem:
ar1 c 6= sx
ar2 (x = y) → (sx = sy)
ar3 (sx = sy) → (x = y)
ar4 x + c = x
ar5 x + sy = s(x + y)
ar6 x.c = c
ar7 x.(sy) = (x.y) + x
ar8 para qualquer fórmula α[x], α[c] → (∀x(α[x] → α[sx]) → ∀xα[x])
Vejamos uma apresentação informal para ilustrar a axiomática precedente:
inar1 0 é um número natural.
inar2 Se x é um número natural, existe um outro número denotado por sx, chamado o sucessor
de x, por exemplo, s0 é 1.
inar3 para qualquer x, 0 6= sx.
inar4 Se sx = sy, então x = y.
inar5 Se Q é uma propriedade que pode, ou não pode, manter-se para os números naturais e se
1. 0 tem a propriedade Q e
2. qualquer número natural x tem a propriedade Q, então sx tem a propriedade Q,
então todos os números naturais têm a propriedade Q.
Algumas definições e propriedades mı́nimas são necessárias para a caracterização da noção
de número primo e a demonstração, a saber:
i. sejam x, y naturais, diz-se que y divide x, denotado y|x, quando existe um número natural
z tal que y.z = x;
ii. para todo x, 0|x se, e só se, x = 0;
iii. para todo x, 0.x = 0;
iv. x ≥ 0 e y > 0, então exite u e r, tais que x = y.u + r, com 0 ≤ r ≤ y;
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v. y ≥ 2, todo x pode ser escrito de modo único na forma
x = rn .y n + rn−1 .y n−1 + ... + r1 .y + r0 ,
em que n ≥ 0, r 6= 0, para todo i, 0 ≤ i ≤ n tem-se que 0 ≤ ri < y;
vi. um número natural x denomina-se primo se, e só se, tem exatamente dois divisores 1 e x;
vii. todo número natural x, com x > 1 pode ser escrito como produto de números primos.
Conhece-se a caracterização da relação de igualdade. Todavia, as relações menor que ou igual
a e maior que ou igual a não se descobrem definidas.
n.1. Elabore uma caracterização para cada uma das duas relações designadas respectivamente
< e ≤, menor que e menor que ou igual a;
n.2. Selecione uma entre as duas, então, conforme a escolha, prove as propriedades de irreflexividade, assimetria e transitividade.
n.3. Seja um arbitrário x, prove que existe um único c, tal que c 6= sx e x + c = x.
n.4. Prove que ssc + ssc = ssssc.
n.5. Sejam x e y quaisquer, prove que x + y = y + x.
Exercı́cio 5 Pierre de Fermat, em certo sentido, manteve-se próximo ao modo de provar geométrico e criticava aqueles autores que se distanciam deste estilo de prova e deste padrão de
rigor e clareza. Fermat não utiliza explı́cita e diretamente quaisquer noções de indivisı́veis e
infinitésimos. Não obstante, aparentemente, não se esquiva da utilização de alguma noção de
infinito. Examinemos a quadratura de hipérboles infinitas utilizando uma coleção de retângulos
inscritos cujas áreas relacionam-se por uma progressão geométrica (i.e., proporção continuada).
Figura 2:
Dada uma progressão geométrica cujos termos decrescem indefinidamente, a diferença entre
dois termos consecutivos desta progressão está para o menor deles assim como o maior está
para a soma de todos os termos seguintes. Utilizando este resultado, discutiremos o problema
da quadratura de hipérboles: definamos hipérboles como curvas tendendo ao infinito, as quais,
como DSEF , possuem a seguinte propriedade. Sejam RA e AC assı́ntotas que podem ser
estendidas indefinidamente; tracemos as EG, HI, N O, M P , RS, etc. paralelas às assı́ntotas.
Temos uma razão igual entre uma dada potência de AH e a mesma potência de AG por um
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lado, e uma potência de EG (a mesma ou diferente da precedente) e a mesma potência de
HI por outro. Por potências, dizemos não apenas quadrados, cubos, quartas potências, etc.,
expoentes 2, 3, 4, etc., mas também raı́zes simples com expoente unitário. Afirmamos que todas
essas hipérboles infinitas, exceto a de Apolônio3 , ou a primeira, são quadráveis pelo método de
progressão geométrica, segundo um procedimento uniforme e geral. Consideremos, por exemplo,
2
EG
AO 2
HI
as hipérboles definidas pelas propriedades AH
AG2 = HI e HI 2 = N O , etc. Dizemos que a área
indefinida da região limitada pela curva ES, pela assı́ntota GOR e com base EG é igual a uma
certa área retilı́nea. Consideremos uma progressão geométrica com termos decrescentes. Seja
AG o primeiro termo, AH o segundo, AO o terceiro, etc. Suponhamos que esses termos estejam
suficientemente próximos entre si, de tal modo que possamos usar o método de Arquimedes
de acordo com Diofanto, isto é, aproximar o paralelogramo retilı́neo GE × GH ao quadrilátero
GHIE; e, também, devemos supor que os primeiros intervalos GH, HO, OM , etc., dos termos
consecutivos são suficientemente próximos de tal modo que possamos usar o método de exaustão
de Arquimedes, inscrevendo e circunscrevendo polı́gonos. É suficiente fazer esta observação
uma vez e não precisamos repeti-lá e insistir muito sobre um precedente bem conhecido dos
AG
AO
AG
GH
HO
matemáticos. Com efeito, temos AH
= AH
AO = AM , então AH = HO = OM , para os intervalos.
Entretanto, para os paralelogramos:
HI×HO
EG×GH
HI×HO = ON ×OM .
Na realidade, a razão
EG×GH
HI×HO
dos paralelogramos consiste das razões
razão
EG
HI
e
GH
HO ,
mas como indicamos
GH
HO
=
AG
AH ;
e, logo, a
EG×GH
HI×HO
AG
pode ser decomposta nas razões EG
HI e AH . Por outro lado, por construção,
AO
AG , por causa da proporcionalidade dos termos. Portanto, a razão
EG
HI
=
AH 2
AG2
ou
EG×GH
HI×HO
AG
AO
decompõe-se nas razões AO
AG e GH ; e AH decompõe-se nas mesmas razões. Consequentemente,
encontramos
EG×GH
AO
AH
HI×HO = AH = AG .
Do mesmo modo provamos que
HI×HO
AO
N O×M O = AH .
Contudo, as retas AO, AH, AG, que formam as razões dos paralelogramos, definem, por
construção, uma progressão geométrica. Então, os infinitos paralelogramos EG × GH, HI ×HO,
N O × OM , etc formarão uma progressão aritmética cuja razão será AH
AG . Portanto, de acordo
com o teorema básico do nosso método, GH, a diferença entre dois termos consecutivos estará
para o menor termo AG, assim como o primeiro termo da progressão, a saber: o paralelogramo
GE × GH, estará para a soma de todos os outros paralelogramos. De acordo com Arquimedes,
esta soma é a figura infinita limitada por HI, a assı́ntota HR e a curva estendida infinitamente,
IN D. Se multiplicamos os dois termos por EG, obtemos
GH
EG×GH
AG = EG×AG ,
em que EG × GH está para a área infinita cuja base é HI assim como EG × GH está para
EG×AG. Portanto, o paralelogramo EG×AG é adequado à figura em questão; se acrescentarmos
a ambos os lados o paralelogramo EG × GH, o qual, devido ao número infinito de subdivisões,
desaparecerá, chegamos à conclusão de que será fácil confirmar por meio de uma demonstração
mais longa utilizando os argumentos de Arquimedes, a saber, que para este tipo de hipérbole o
3
A chamada hipérbole de Apolônio é a hipérbole retangular,
expressão adequado significa aproximadamente igual.
y
a
=
b
.
x
Também, notamos que a
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paralelogramo AE é equivalente á área limitada pela base EG, a assı́ntota GR e a curva ED
estendida infinitamente. Não é difı́cil estender esta ideia a todas as hipérboles definidas acima,
exceto para aquela que já mencionamos.
a) Elabore uma análise da prova oferecida por Fermat de modo a destacar sua estrutura, os
termos e procedimentos que a entrelaçam conceitual e metodologicamente com os primórdios
do cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções utilizadas, o modo de proceder, os
fundamentos conceituais.
b) Conquanto os argumento de Fermat apresentem-se de modo geométrico, a concepção do
problema e a prova precedente relevam-se estritamente geométricos? Por exemplo, há a
necessidade de uns configuração geométrica, i.e., uma curva e argumentos acerca da curva?
Justifique a resposta.
c) De acordo com a resposta imediatamente anterior, caracterize os objetos e as relações matemáticos que se descobrem intrincados no problema e na prova, e.g., seriam tão-somente
geométricos em termos dos Elementos?
d) Nos primórdios do cálculo, não existe o conceito de função, utilizam-se as noções ambı́guas de
equação, incógnita, raiz desconhecida, quantidade variável; e, com efeito, estuda a variação
de variáveis e sua dependência. Elucide a noção de equação, por exemplo, seria uma relação
geométrica, uma fórmula, uma coleção de números? Qual o sentido de variável e equação no
problema e na prova de Fermat?
e) Se for o caso de Fermat empregar alguma noção de infinito, então esclareça a noção utilizada.
f) No contexto da matemática contemporânea, elabore um esquema de prova relativo à prova de
Fermat, de sorte a indicar o uso da noção de função, limite de função, continuidade, integral.
De um ponto de vista algébrico, i.e., utilizando uma linguagem e operadores como se fosse
uma geometria algébrica, elabore um esquema detalhado da prova.
g) Uma prova per se, suposta correta em um sentido suficiente para a questão, pode legitimar
conceitos matemáticos4 (e.g., acerca de objetos, relações)? Uma prova, suposta correta, pode
ser fundamento de si própria? E, então, dos conceitos matemáticos que a elaboram? Se a
resposta for em um sentido negativo, tente identificar alguns pressupostos que deveriam ser
aceitos e justificados para legitimar a prova.
Exercı́cio 6 Indagamos, de qual modo distinguir se um objeto, ou uma relação matemática é
legı́tima? Na verdade, se houver sentido, qual a noção de legitimidade matemática? Seriam as
imagens mentais de colheres, dedos, fadas e dragões, elétrons e genes entidades matemáticas de
igual modo que funções, relações de ordem, espaços topológicos, conjuntos, um número natural?
Exercı́cio 7 Na ilustração a seguir, pode compreender-se algumas dificuldade relativas aos
primórdios do cálculo. Considere aproximadamente, fluente pode ser entendido como a variação da quantidade x (i.e., variáveis que aumentam ou diminuem com o tempo); e, também,
a noção de fluxão a variação da quantidade associada a x relativa a variação da quantidade x
(ou a variação da quantidade x relativa à variação do tempo). Notamos que podemos entender
o como um perı́odo de tempo infinitamente pequeno. Vejamos um exemplo de aplicação acerca
do método das fluxões tomado a I. Newton:
4
Necessitamos admitir uma circunstância estranha, a correção da prova (e, logo, a identificação de
teoremas) poderia acontecer relativo a uma sistema lógico, tal que esta lógica seria neutra epistêmica,
metodológica e ontologicamente quanto aos objetos, às relações e aos fatos matemáticos próprios.
Questionário II, terceiro trimestre 2008
Evolução dos Conceitos Matemáticos
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Suponhamos que a quantidade x flua uniformemente. Encontre a fluxão de xn . No mesmo
intervalo de tempo em que a quantidade x torna-se x + o pelo fluxo, a quantidade xn torna-se
(x + o)n , quer dizer, pelo método das séries infinitas
n−2
xn + noxn−1 + nn−n
+, ...
2 oox
n−2
e os aumentos o e noxn−1 + nn−n
+ ... estão relacionados entre si como 1 e nxn−1 +
2 oox
n−2
oox
+
....
+ nn−n
2
Faça aqueles aumentos desaparecerem e a sua última razão será de 1 a nxn−1 ; portanto, a
fluxão da quantidade x está relacionada à fluxão da quantidade xn como 1 a nxn−1 .
Por meio de argumentos semelhantes e pelo método das primeiras e das últimas razões
podemos obter, qualquer que seja o caso, as fluxões de linhas, sejam elas retilı́neas ou curvadas
como também as fluxões de áreas, de ângulos e de outras quantidades. Assim, formar um
cálculo de quantidades finitas e investigar, consequentemente, as primeiras e as últimas razões
das quantidades finitas que nascem ou desaparecem está de acordo com a geometria dos antigos;
estava querendo mostrar que no método das fluxões não há necessidade de introduzir figuras
infinitamente pequenas à geometria. Esta análise pode ser executada em figuras quaisquer,
sejam elas finitas ou infinitamente pequenas, desde que possam ser imaginadas semelhantes a
figuras ı́nfimas; também em figuras que podem ser consideradas infinitamente pequenas, mas
você deve pro ce der com cuidado.
Encontrar os fluentes a partir das fluxões é o problema mais difı́cil e o primeiro passo da sua
solução é equivalente à Quadratura de curvas[...]
No contexto conceitual do texto precedente, um incremento pequeno significa nascente, ou
seja chegar a existir e as razões das fluxões seriam muito parecidas com a razão dos incrementos.
As fluxões de quantidades estão relacionadas como as primeiras razões de quantidades finitas
nascentes, e.g., ẋẏ , ou como as razões últimas de quantidades ı́nfimas (ou evanescentes).
Interroga-se:
a) Há a percepção de uma dificuldade, quando os incrementos pequenos (ou aumentos pequenos)
são iguais a zero, então os incrementos não têm uma razão; e, no interior de um intervalo de
tempo (de valores de uma quantidade) finito, embora muito pequeno, a razão dos incrementos
não pode ser igual à razão das fluxões. Destaque e esclareça o problema relativo à concepção
newtoniana das primeiras e últimas razões.
b) Em 1734, G. Berkeley enuncia diversas crı́ticas ao chamado novo método, i.e., o cálculo
em seus primórdios de infinitésimos, quantidades infinitamente pequenas distintas de zero,
incrementos nascentes, fluxões. Destacamos duas citações:
Se com o objetivo de demonstrar uma proposição qualquer supõe-se um certo ponto, devido
ao qual outros determinados pontos são atingidos; e se o ponto suposto for depois destruı́do
ou rejeitado por uma suposição contrária. Neste caso, todos os outros pontos atingidos por
meio deste e em consequência deste também devem ser destruı́dos e rejeitados, de forma a
não serem mais supostos e tampouco aplicados à demonstração.
Indagamos, com efeito, no método o é considerado primeiramente diferente de zero e, a
partir de certo estágio da prova, considera-se igual a zero ou, simplesmente, pode aplicar
alguma operação de desaparecimento de valores para variáveis e variações de variáveis. Qual
a natureza de um possı́vel justificativa para o procedimento adotado e qual a natureza da
crı́tica de Berkeley?
Na segunda citação, G. Berkeley menciona o denominado duplo erro presente no método, em
palavras breves, a suposição de um valor diferente de zero e a adoção do valor zero para uma
variável. De um lado, uma prática associada às noções vagas e ambı́guas de infinitésimos,
incrementos mı́nimos e, de outro, a concepção de rigor matemático advinda da geometria
Questionário II, terceiro trimestre 2008
Evolução dos Conceitos Matemáticos
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greco-helênica e a noção de conhecimento. Esta última concebida em termos de proposições
acreditadas e aceitas como verdadeiras, tal que há uma justificação para aceitá-las como
verdadeiras e, de fato, são verdadeiras.
Se tivéssemos cometido somente um erro, não chegarı́amos à verdadeira solução pra o problema. Entretanto, em virtude de um duplo erro, chegamos à verdade, embora não à ciência.
Pois, quando procedemos cegamente e chegamos à verdade sem saber como, ou por quais
meios, não chegamos à ciência.
Interroga-se:
b.1. Para G. Berkeley o método não descobre uma justificação em termos matemáticos para
que os resultados alcançados possam ser considerados ciência (ou conhecimento)?
b.2. Qual a natureza da justificação em matemática?
b.3. Supõe-se aceita a crı́tica de Berkeley, então, qual o significado epistêmico e matemático
relativo aos resultados alcançados e procedimentos desenvolvidos?
b.4. Há legitimidade dos conceitos utilizados no método, i.e., seriam conceitos matemáticos,
poder-se-ia considerar em algum sentido que existiriam os objetos matemáticos, as
relações matemáticas reportadas na linguagem e no novo método? Justifique a resposta.
Exercı́cio 8 A seguir apresentamos minimamente uma axiomática dos números reais R no contexto conceitual e lógico da matemática atual. Implicitamente, adotamos uma linguagem formal
apropriada (e.g., sı́mbolos de variáveis, de igualdade, de conectivos, de constantes, de predicados)
e um sistema lógico clássico (e.g., as regras de inferência, a caracterização da negação).
Os reais podem ser definidos como um conjunto munido de três operações, denotadas por +
, ◦ e <satisfazendo
Axiomas de Corpo
a) ∀x, y, z : (x + y) + z = x + (y + z)
b) ∀x, y : x + y = y + x
c) ∃0 ∈ K, ∀x : x + 0 = x
d) ∀x, ∃(−x) : x + (−x) = 0
e) ∀x, y, z : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)
f) ∀x, y : x ◦ y = y ◦ x
g) ∀x, ∃1 ∈ K, 1 6= 0, ∃x : x ◦ 1 = x
h) ∀x, ∃x−1 : x ◦ x−1 = 1
i) ∀x, y, z : x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z
Axiomas de Ordem
Existe uma relação de ordem > on R satisfazendo
a) ∀a ∈ R : a 6= 0 → a > 0 ou 0 > a
b) ∀ a, b ∈ R, a, b > 0 → a + b > 0
c) ∀ a, b ∈ R : a, b > 0 → a.b > 0
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d) ∀a, b, c ∈ R : a > b → a + c > b + c
Seja A ⊆ R. Dizemos b ∈ R é uma ”cota superior” para A se :∀s ∈ A : s ≤ b Dizemos que s
é o ”supremo” de A se s é cota superior de A, e se b é outra cota superior para A então s ≤ b.
Mais formalmente: :(∀a ∈ A : a ≤ s) e (∀b ∈ R : ((∀a ∈ A : a ≤ b) =⇒ (s ≤ b))) Se existir, o
supremo de um conjunto A são indicadas sup A .
Axioma de Completude
Se S ⊆ R é não-vazio e tem uma cota superior, então S tem supremo.
Dentro desse contexto
a) Prove que 1 > 0.
b) Prove a propriedade arquimediana: Dado x, y ∈ R, então existe um número real n tal que
nx > y.
c) Prove que se x ∈ R tem a propriedade que 0 < x < b para todo número real positivo b então
x = 0. O que essa proposição implica sobre a existência de infinitésimos nessa axiomática dos
números reais?
d) Defina formalmente a afirmação que a função f (x) tende a L quando x tende a a, ou seja
limx→a f (x) = L.
e) Defina formalmente limx→∞ f (x) = L
f) Prove usando o princı́pio de Arquimedes que limn→∞
1
n
=0
g) Defina formalmente o que significa a derivada de uma função f num ponto a. Compare essa
derivada com a derivada de Newton. Quais as principais semelhanças e as diferenças entre
as duas em relação a utilização do infinito potencial e atual, em relação a ideias intuitivas
envolvidas?
h) Como o principio de Exaustão pode ser enunciado, neste contexto, como uma propriedade
dos números reais?
i) Prove o Teorema Fundamental do Cálculo.
Exercı́cio 9 Elabore uma teoria de infinitésimos, explicitando (intuitivamente ou formalmente)
quais curvas pertencem ao seu domı́nio de estudo (que deve ao menos incluir as relações polinomiais) e criando justificativas para as propriedades que atribuir aos infinitésimos. De posse desse
arcabouço conceitual:
a) Defina nessa teoria o conceito de derivada de uma curva num ponto e calcule a derivada de
xn .
b) Defina nessa teoria a área sobre uma curva e calcule a área entre xn e o eixo x entre 0 a 1.
c) Crie uma demonstração/justificativa para a validade do Teorema fundamental do cálculo
nessa teoria.
d) Apresente crı́ticas a sua teoria de infinitésimos.
e) Compare a demonstração anterior do TFC com a demonstração do TFC apresentada no
exercı́cio anterior. Podemos dizer que esses dois teoremas fundamentais do cálculo são o
mesmo teorema? Como podemos comparar o conhecimento dessas duas teorias do cálculo?