Matemática Experimental
2o¯ Teste – 16 de Dezembro 2003
Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica — Departamento de
Matemática, Instituto Superior Técnico
1o¯ ano Lic. Matemática Aplicada e Computação
Duração: 1 hora e 30 minutos
Apresente os cálculos, e justifique sucintamente as suas respostas.
1. Seja x um número racional positivo e [a1 ; a2 , · · · , an ] a sua representação
como fracção contı́nua.
[1.5]
1 a) Prove que
1
= [0; a1 , a2 , · · · , an ]
x
1 b) Escreva uma rotina Mathematica, de nome quocientesP arciais que
produza a lista {a1 ; a2 , · · · , an } dos elementos do desenvolvimento em fracção
contı́nua de um número racional positivo, aplicando devidamente o algoritmo de Euclides. Deverá incluir comentários por forma a documentar o
seu programa. Comece por efectuar a validação dos dados.
(Sugestão: poderá utilizar os comandos N umerator, Denominator, M od e
IntegerP art).
[3.0]
1 c) Levando em consideração a alı́nea a), que resultado obteria se aplicasse a
rotina anterior ao número x = 177/233? Apresente os cálculos que efectuar.
[2.0]
2. Um determinado cubo só poderá ser construı́do no caso das suas dimensões se exprimirem como números inteiros. Designe por l a dimensão de
uma das arestas do cubo.
2 a) Sabe-se que o dobro do volume desse cubo adicionado ao número 3
iguala o quádruplo da dimensão da aresta. Justifique se um tal cubo poderá
ser construı́do e em caso afirmativo calcule o seu volume.
2 b) Diga sucintamente o que significa para si a proposição ”o número π é
transcendente”?
3. A função distancia, cujo código Mathematica é dado a seguir, tem como
dados listas representando entidades de R3 , sendo P e Q dois pontos dados
e v um vector. A saı́da é a grandeza dist representando a distância entre o
ponto Q e a recta que passa pelo ponto P tendo v como vector orientador:
[2.0]
[1.0]
distancia[P _, Q_, v_] := (
rec[t_] := P + t ∗ v;
d[t_] := (rec[t] [[1]] − Q[[1]])2 + (rec[t] [[2]] − Q[[2]])2 + (rec[t] [[3]] − Q[[3]])2 ;
0
0
l = Solve[d [t] == 0, t]; (∗ d é a derivada de d ∗)
R = rec[t] /. l[[1]];
dist = Sqrt[ d[t] /. l[[1]] ]
)
3 a) Qual o significado geométrico da função d[t] e da variável R nesse
algoritmo?
[1.5]
3 b) Traduza o algoritmo em causa utilizando linguagem corrente.
[1.0]
3 c) Reescreva o código dado de modo a (i) validar os dados; (ii) o resultado
passa a ser a distância entre o ponto Q e o ponto onde a recta considerada
intersecta o plano x3 = 0 (designe tal ponto por S). Justifique.
P
4. Seja n = ki=0 ai 10i um número inteiro positivo arbitrário.
[2.5]
4 a) Sabendo que 10 ≡ −1
dade de n por 11.
(mod 11), estabeleça um critério de divisibili-
[1.5]
4 b) Suponha que n = (a2 a1 a0 )10 é múltiplo positivo de 11, a0 − a1 = 4,
e que a2 é múltiplo de 6. Diga, justificando, quantos números n existem
nessas condições?
[1.5]
4 c) Utilize o critério referido na alı́nea a) para escrever um programa Mathematica que use como dado um número n (representado na base 10), e que
produza como resultado uma lista vazia se n não for divisı́vel por 11, ou o resultado da divisão no caso contrário.(Poderá utilizar a rotina IntegerDigits
e/ou quaisquer outros comandos que julgue apropriados).
Se utilizar para teste do seu programa o número 92114 20 , obterá uma lista
vazia? Justifique.
[2.5]
(Nota: No caso de não ter resolvido a alı́nea 4 a) utilize o número 3 no
lugar do número 11 e o critério bem conhecido de divisibilidade por 3).
2