Cap. 3. Tensão
1. Existência das forças internas
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
3. Vector das tensões no ponto P
3.1 Componentes cartesianas
3.2 Componentes intrínsecas
4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
4.2 Componentes de tensão
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
5. Equações de equilíbrio
5.1 Prova em 2D
6. Cálculo das componentes do vector das tensões
7. Carácter tensorial das tensões
7.1 Prova da lei de transformação em 2D
8. Notas sobre 3D
9. Tensões principais
10. Estados de tensão
11. Outras designações
12. Outras representações
12.1 Elipse de Lamé
12.2 Quadricas de Cauchy
Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento
1. Existência das forças internas
forças internas
= sistema 3
A
Forças externas
= carregamento

F
sistema 1
sistema 2
A
sistema 1
B

F
corte
Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio
sistema 2
B
forças internas
= - sistema 3
Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio
sistema 2 e sistema 3 são equivalentes
sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2
Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio
sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes
“- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
Leonhard Euler (1707-1783)
em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas
Densidade das forças
internas no ponto P,
efeito de V
 n 
tP
P

n
V

n = normal exterior unitária

n
P
V  n 
tP
Densidade das forças
internas no ponto P,
efeito de V  V
Augustin Cauchy (1789-1857)
O vector da densidade das forças internas
no ponto P chama-se
A
P
B
corte
3. Vector das tensões no ponto P
Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte
Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área
A
P
que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas
A faceta é sempre ligada ao resto do MC
A faceta ligada a parte A
com a normal exterior
unitária
A
P n
A
F
Força interna elementar
Densidade das forças internas,
ou seja o vector das tensões
B
F
B P
n
A faceta ligada a parte B
com a normal exterior
unitária
Força interna elementar

 n 
F
tP  lim
A 0 A
Unidade N/m2=Pa
106Pa=MPa
 n 
tP
é indiferente do modo que ΔA tende para zero
é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual
O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal,
o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua
O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto
com a normal da mesma direcção é sempre oposto
y
3.1 Componentes cartesianas
P
 n 
t y ,P A
 n 
tx ,P A
 n 
tP A
 n 
tx ,P A  0
 n 
t y ,P  0
A
x
 n 
t y ,P B
 n 
tP B
tx, ty, tz: componentes cartesianas
do vector das tensões
2 componentes em 2D, 3 em 3D
Verifica-se que o sinal das componentes
cartesianas é oposto
 n 
t x ,P B P
 n 
tx ,P B  0
 n 
t y ,P  0
B
3.2 Componentes intrínsecas
P

n
 n 
tt ,P A
 n 
tn ,P A
 n 
tP A
tn, tt: componentes intrínsecas
do vector das tensões
 n 
tP B
2 componentes em 2D e em 3D
tn: componente normal
tt: componente tangencial ou de corte
tn: com sentido da normal
tn: contra sentido da normal
 n 
tt ,P B
 n  n P
tn ,P B
tracção, positiva
compressão, negativa
Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas.
Verifica-se que as intensidades de ambas componentes
não dependem do referencial
Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D.
Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas
positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual
nas duas facetas, o sinal seria também igual.
Nota:
Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas
4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente
as componentes do vector das tensões serão diferentes
Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem
as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa
É preciso determinar o número dos valores necessários para poder
unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta
Pode-se provar, que para isso
tem que se saber vector das tensões relacionado:
- em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P
- em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P
Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes
destes vectores das tensões devem finalizar
3 dados não contraditórios em 2D
e 6 dados não contraditórios em 3D
Prova em 2D
Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P
Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes
do vector das tensões pode ser considerada uniforme
Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possível
determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada
t yx 
x 
tx
t yn 
t xn 

y s
P
y 
x  s  sin 

 t xn    t xx  cos  t xy  sin 
t yy x  t yx y  t yn s  0
x
t yy 
t xy x  t xx y  t xn s  0
tx
y  s  cos

 t yn    t yx  cos  t yy  sin 


Nota: as condições de equilíbrio
escrevem-se para forças e momentos,
nunca para componentes de tensão
As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem
com o termo de ordem maior (área versus aresta)
4.2 Componentes de tensão
Representação geométrica das componentes de tensão
em 2D no rectângulo elementar
Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas
é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja
é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P,
costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez
de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas.
Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas
e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC.
Convenciona-se
Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado
Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide
com o sentido do eixo coordenado
Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado
Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto
ao sentido do eixo coordenado
Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se
componentes do tensor das tensões
y
Componente normal
y
x
 yx
x
 xy 
x
Facetas positivas
 xy
Facetas negativas
 yx 
y
Componente tangencial
ou componente de corte
o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção
Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas
do vector das tensões em cada faceta coincidem,
contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior
Representação das componentes
na forma matricial
x
  
  yx
 xy 
 y 
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
y
Escolha-se vizinhança elementar
rectangular em torno do ponto P,
mergulhada no MC e escreve-se
x
o equilíbrio dos binários
y
y x
xy
xy 
x
y
x
y x 
y
As forças de volume e as
variações de tensão não
foram consideradas,
porque contribuem
com o termo de ordem
maior
x
Equilíbrio dos binários
xy yx  yx xy  0
força
força
momento
momento
 xy  yx
Representação das componentes
na forma matricial
x
  
 xy
 xy 
 y 
5. Equações de equilíbrio
Augustin Cauchy (1789-1857)
Interior
5.1 Prova em 2D
Vizinhança elementar
rectangular em torno
do ponto P,
mergulhada no MC
 y
y 
y
y
 xy
 xy 
y
y
x
Nota: o equilíbrio dos
momentos dava a
relação de simetria,
agora com a prova mais rigorosa
do que no slide anterior
xy
fy f
x
y
x
 xy
y
xy
xy 
x
x
x
x 
x
x
 xy


 x


  x y    x 
x y   xy x    xy 
y x  f x xy  0
x
y




 x  xy

 fx  0
x
y
 xy
x

 y
y
 fy  0
2 equações de equilíbrio
não são suficientes
para resolver 3 incógnitas
Fronteira
p 0, y

x
 xy
y s
 xy

y  s  cos 
x  s  sin 
n  cos, sin T
x
y
p 0, x
 x y  xy x  p0,x s  0
p0,x  x cos  xy sin 
Carga cartesiana distribuída na
superfície, valores dados
Vizinhança elementar triangular
do ponto de superfície P
p0,x  x n x  xy n y
p0,y  xy n x  y n y
p0    n
Condições de fronteira
6. Cálculo das componentes do vector das tensões
Componentes cartesianas de analogia:
P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária
t   n
2D
n  cos, sin T
3D
n  cos, cos, cos T
Componentes intrínsecas
 n 
t
Componente normal e tangencial calculam-se como escalares
n 
n 
 
tn  t
tt

P
 t n 
n n
 n  
 n  t  n  cos
A componente normal é positiva quando o sentido dela
coincide com o sentido da normal: tracção
 
tt 
T
Tensão normal na direcção {n}
 n  2
t
 t nn 
n 
n 
2
Tensão tangencial na faceta {n}
O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão
n  cos, sin T
Alternativamente, em 2D apenas!!!
t tn   
s t n 
P

t nn 
s   sin , cosT
n 
tt
 t     s
n
T
7. Carácter tensorial das tensões
Equações de equilíbrio em 2D
7.1 A prova da lei de transformação em 2D
y
x
xy
x

xy

  y sin   xy cos  x  x s  0
 x  x
s

x
xy
y
x  s  sin 
y  s  cos 
  x cos   xy sin  y
x  x cos2   y sin 2   2xy sin  cos 
x

 
y
x
sin    xy cos y
cos   xy sin  x  xy s  0
xy  x  y sin  cos   xy cos2   sin 2 
2
2




sin



cos
  2xy sin  cos 
Analogamente: y
x
y
Tensão é
tensor da 2ª ordem
8. Notas sobre 3D
Representação geométrica das componentes
no paralelepípedo elementar (facetas positivas)
z
 zx
 xz
x
z
zy
xy
x
y
y
Representação das componentes
na forma matricial
 x
  
sim
 xy
y
xz 
y z 

z 
 x  xy  xz


 fx  0
x
y
z
 xy
y z
y x
x
Equações de equilíbrio
(de Cauchy) no interior

 y
y

 yz
z
 fy  0
xz  yz z


 fz  0
x
y
z
3 equações de equilíbrio não são
suficientes para resolver 6 incógnitas
Condições de fronteira
Tensão é tensor simétrico
 6 componentes em 3D
p0    n
9. Tensões principais
Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz
2xy
tg 2p  
x  y
a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e
mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais
1   m  R  2   m  R
onde
max  m  R min  m  R
1 
,
2 
x  y
 x  y 
R 
  2xy
m 
2
 2 
2
qualquer componente normal
2
xy  0
1
1
p
1
2
1 0 
0  

2
 2
Tensão de corte máxima:
 max
2 
1   2
R
2
1
acompanhada
de  m
 m
 
 max
  max 
 m 
Notas sobre a circunferência de Mohr
Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas
do vector das tensões nas facetas correspondentes
As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotação
de 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais,
como era de esperar
x
y
y
x
y
x
x
y
xy  0
xy  0
xy  0
Orientação das componentes de corte
determina a posição do ponto na circunferência
de Mohr indiferentemente do referencial
xy  0
acima
abaixo
10. Estados de tensão
Homogéneo ou uniforme:
as componentes do tensor das tensões não variam com a posição
p
2
1
1
2
Compressão pura
Tracção pura
p
p
p
Pressão hidrostática
2  xy
xy
xy
1  xy
xy
xy
Estado tangencial puro
2  xy
1  xy
m  0  max 




0
m
 max

C0
Isostáticas
xy
Tangentes às direcções principais
1
xy
1
xy
Estado tangencial puro
Tracção pura
p
analogamente
2
2
Compressão pura
xy
p
p
p
Pressão hidrostática
Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido
11. Outras designações
Tensor esférico e tensor desviador de tensão
importante para a energia de deformação
   I  ' onde σ
m
consequentemente
m
é a tensão média
I1  0
1  2  3 x  y  z I1
m 


3
3
3
Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão
T
no plano cuja normal é n  1/ 3,1/ 3,1/ 3 importante para teoria

oc  I1 / 3  m


de plasticidade
2 2
oc 
I1  3I 2
3
Tensão de von Mises
vM   3I2
Importante para
teoria de plasticidade
 vM  12  1 2   22   2m  3R 2
 vM

2D

1
1  2 2  1  3 2  2  3 2 3D

2
Richard von Mises (1883-1953)
12. Outras representações
12.1 Elipse de Lamé
em 2D
2
2
~
~
 x   y 

  
  1
  max    min 
Elipsóide de Lamé
em 3D
2
2
2
~
~
~
x  y   z 
         1
 1    2   3 
Assume-se, que
Gabriel Lamé (1795-1870)
correspondem às componentes do vector das tensões
~
~
~
x , y, z numa faceta com a normal {n} de componentes
nx, ny, nz no referencial principal
~
x  1n x , ~
y  2n y , ~
z  3n z
~
~
~z
x
y
 nx ,
 ny,
 nz
1
2
3
2
2
2
~
~
~
x  y   z 
         n 2x  n 2y  n 2z  1
 1    2   3 
min
Em 2D

n
min
 n 
t
max
max
max
min
12.2 Quádricas de Cauchy
Quádrica = superfície que se pode representar
por uma equação algébrica do segundo grau
Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação
coincidem com as componentes do tensor das tensões
em 2D
x
x , y   
 xy
 xy  x 
y



1


~
 y   y 
y  min
x x  2xy xy  y y  1
2
2
A curva não depende do
referencial, porque o
determinante de [σ] é invariante
Quando
det  0
x
1 / min
d x 
ou seja quando os valores próprios têm
o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse
2
2
~
~
x
y
max~
x 2  min~
y2 

 1
1 / max 1 / min
x 
~
x  max
x
1 /  max
1
d
 x  2
Positivo para
v.p. positivos
Negativo para
v.p. negativos
max  0  min
max  0  min
max  0  min
0  max  min
max  min  0
a
b
a
b
b
b
b
a
a
a
Real para +1
Imag. para -1
a
b
Real para +1
Imag. para -1
Real para -1
Imag. para +1
Real para +1
Imag. para -1
1
 max
1
 min
Real para -1
Imag. para +1
Hipérboles
Assimptotas com declives
max
b
m

min
a
Real para -1
Imag. para +1
No referencial principal
em 3D
xT x  xT x  1
como em 2D
x 
Vamos analisar superfícies reais
Todos v.p. positivos e +1 no lado direito
Todos v.p. negativos e -1 no lado direito
2 valores positivos
1 negativo
1
d
 x  2
Elipsóide
2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica
De uma folha, real para +1
De duas folhas, real para -1
1 valor positivo
2 negativos
2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica
De uma folha, real para -1
De duas folhas, real para +1
As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios,
no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3),
neste slide o “eixo” coincide com (1)