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Raciocínio Probabilístico e Simulação
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Lista de exercícios de revisão para o 1o teste
Exercício 1.
Um conhecido fabricante de computadores pessoais inspecciona os chips de
memória antes de eles serem usados na montagem dos computadores. Da
experiência passada sabe-se que:
Exercício 4.
Sabendo-se que na fabricação de determinadas chapas aparecem defeitos à
taxa média de 0, 5 defeitos por m2 , calcule a probabilidade de que:
(a) uma chapa de 5 m2 seja perfeita;
• a probabilidade de um chip ser defeituoso é 20%;
(b) uma chapa de 1500 dm2 apresente no mínimo três defeitos.
• a probabilidade de um chip defeituoso ser aprovado na inspecção é 10%;
(c) a área até encontrar o primeiro defeito seja no mínimo de 2 m2 .
• a probabilidade de um chip não defeituoso ser aprovado na inspecção é
98%.
Determine:
(a) a probabilidade de um chip ser defeituoso e não ser aprovado na inspecção;
(b) a probabilidade de um chip ser aprovado na inspecção;
(c) a probabilidade de um chip ser defeituoso, sabendo que foi recusado pela
inspecção.
Exercício 2.
Um sistema de segurança num processo industrial é constituído por três dispositivos A, B e C que trabalham de forma independente, de modo que basta
um deles funcionar para que o sistema funcione. Sabendo-se que as probabilidades de funcionamento de cada um dos dispositivos são respectivamente
iguais a 0, 95, 0, 98 e 0, 99 calcule:
(a) a probabilidade de funcionamento do sistema;
Exercício 5.
A qualidade dos cristais utilizados nos circuitos de certos componentes electrónicos é regularmente monitorizada por amostragem. Sempre que é detectada uma amostra sem a qualidade desejada, o processo é interrompido.
Admita que em condições normais o número de interrupções segue um processo de Poisson tal que a probabilidade do processo ser interrompido pelo
menos uma vez durante uma hora é igual a 0, 1.
(a) Indique o valor esperado e a variância do número de interrupções durante um dia (24 horas);
(b) Se considerar agora um conjunto de seis períodos independentes de 2
horas, qual a probabilidade de em apenas dois desses períodos não existirem interrupções.
Exercício 6.
O tempo de espera entre duas chamadas telefónicas consecutivas de uma empresa, é uma variável aleatória com distribuição exponencial de valor médio
igual 10 minutos.
(a) Determine a probabilidade do tempo de espera se situar entre 7 e 12
minutos;
(b) a probabilidade de que no máximo um dos dispositivos falhe.
Exercício 3.
Sabe-se que numa linha de produção 10% das peças são defeituosas e que as
peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades. Calcule:
(b) Determine a probabilidade de que num período de 5 minutos não existam chamadas;
(a) a probabilidade de uma caixa conter exactamente 3 peças defeituosas;
(c) Determine a probabilidade de em 6 períodos de 5 minutos cada, exista
pelo menos um em que não existem chamadas;
(b) a probabilidade de uma caixa conter pelo menos duas peças defeituosas;
(d) Qual é o número médio de chamadas por hora na empresa?
(c) a probabilidade de, ao escolher ao acaso 10 caixas, encontrar 2 caixas
sem peças defeituosas e 7 caixas com uma peça defeituosa.
(e) Determine a probabilidade do tempo de espera ser superior a 11 minutos.
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Exercício 7.
Uma empresa está disposta a comprar um conjunto de 100 artigos de acordo
com o seguinte esquema:
Exercício 10. Considere um sistema electrónico constituído por vários blocos. Considerando que a probabilidade de cada componente Ci , com i “
1, . . . , 7, funcionar é a dada na figura, determine a probabilidade do sistema
global estar em funcionamento.
• um inspector examina 5 artigos ao acaso sem os repor;
• a empresa firmará a compra se a inspecção revelar menos de 3 artigos
defeituosos na amostra.
C1
p1
C2
p1
Sabendo o vendedor que 20% dos artigos são defeituosos:
(a) Qual a probabilidade que a empresa tem de firmar a compra?
C3
p2
C4
p2
C6
p3
C7
p4
C5
p2
(b) Acha que esta probabilidade será significativamente alterada se forem
repostos os artigos que vão sendo inspeccionados? Comente.
(c) Nas situações de inspecção consideradas em (a) e (b), diga quantos
artigos se espera que sejam defeituosos.
Exercício 8.
Uma variável aleatória X tem a seguinte função densidade de probabilidade:
$ 2px`1q
, se 0 ď x ď k
& 15
f pxq “
,
%
0
, fora do intervalo
com k ą 0.
(a) Determine o valor de k para o qual f pxq é uma função densidade de
probabilidade;
(b) Calcule P r1 ď X ď 3 | X ď 2s;
(c) Calcule o desvio padrão da variável aleatória X.
Exercício 9.
O número de falhas em contraplacado de madeira encontram-se ao acaso,
com uma média de 1 falha por 50dm2 , e seguem uma distribuição de Poisson. Qual a probabilidade de que numa porção de contraplacado de dimensão
32dm2 :
Exercício 11.
Uma indústria produz determinado tipo de peça em três máquinas M1 , M2
e M3 . As máquinas M1 e M2 produzem 40% e 30% das peças, respectivamente. As percentagens de peças defeituosas produzidas por essas máquinas
são respectivamente iguais a 1%, 4% e 3%.
(a) Se uma peça é seleccionada aleatoriamente da produção total, qual é a
probabilidade de essa peça não ser defeituosa?
(b) Suponha que uma peça é escolhida ao acaso da produção total é defeituosa. Qual é a probabilidade de que essa peça tenha sido produzida pela
máquina M1 ?
(c) Qual é a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso, ter sido produzida pela máquina M2 e ser defeituosa?
Exercício 12.
Durante o tempo de funcionamento de um computador produzem-se falhas.
Supõe-se que o número de falhas segue uma distribuição de Poisson de variância 1,5 por dia. Determine a probabilidade da primeira falha ocorrer após
6 ou mais horas de funcionamento.
(a) não haja nenhuma falha?
(b) haja quanto muito uma falha?
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Exercício 13.
A emissão de uma fonte radioactiva é tal que o número de partículas emitidas em cada período de 10 segundos, X, tem distribuição de Poisson com
E rX 2 s “ 6.
(a) Determine o valor médio da variável aleatória X;
(c) Calcule a probabilidade de que num período de 30 segundos, a fonte
emita no máximo 3 partículas.
Exercício 14.
Numa gaveta temos 12 lâmpadas, das quais 5 estão queimadas. Escolheramse aleatoriamente 3 lâmpadas para iluminar uma sala de aula.
(a) Determine a probabilidade de escolher apenas uma lâmpada queimada;
(b) Determine a probabilidade de escolher pelo menos duas lâmpadas não
queimadas;
(c) Determine o valor médio e a variância do número de lâmpadas queimadas, entre as 3 escolhidas.
Exercício 15.
Sejam A,B e C três acontecimentos com probabilidades não nulas. Sabendo
que:
• C é mutuamente exclusivo quer com A quer com B;
• dois dos acontecimentos são independentes;
P rA X Bs “ 0, 18;
1
5
fuma. Escolhendo-se,
(a) só uma delas fume?
(b) pelo menos uma delas fume?
(b) Observada a emissão durante 7 períodos consecutivos de 10 segundos,
qual a probabilidade de, em pelo menos um desses períodos, serem emitidas 4 ou mais partículas?
• P rAs “ 0, 6;
Exercício 16.
Do pessoal que trabalha numa empresa sabe-se que
ao acaso, 5 pessoas, qual a probabilidade de que:
P rCs “ 0, 15.
(c) fumem todas?
(d) no máximo fume uma delas?
Exercício 17.
A variável aleatória X tem a seguinte função de densidade de probabilidade:
$ 2
’
’ cx , se 1 ď x ď 2
’
’
&
cx , se 2 ă x ă 3
,
f pxq “
’
’
’
’
%
0
, outros valores de x
com k ą 0.
(a) Determine o valor do parâmetro c;
(b) Determine a função de distribuição da variável aleatória X;
“
‰
‰
“
(c) Calcule P 21 ă X ă 23 e P X ą 1 | 12 ă X ă 2 .
Exercício 18.
Três atiradores A,B e C fazem cada um, um tiro para um alvo. A probabilidade para cada um acertar no alvo é 0, 7, 0, 4 e 0, 6, respectivamente.
Considere a variável aleatória X - “número de projécteis que atingem o alvo”.
(a) Determine a função de probabilidade de X;
Calcular:
(b) Calcule o valor médio de X;
(a) P rBs;
(c) Determine o coeficiente de variação de X.
(b) P rB ´ As;
(c) P rA X Cs;
(d) P rA Y B Y Cs;
“
‰
(e) P A X B X C .
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Exercício 19.
Considere a variável aleatória X com função de probabilidade:
x
f pxq
´1
p1
0
p2
Exercício 23.
A turma do 12o A tem 30 alunos: 12 rapazes e 18 raparigas. O delegado de
turma é uma rapariga. Pretende-se formar uma comissão para representar
a turma numa reunião com o vereador da Cultura da Câmara Municipal. A
comissão de cinco elementos deve ser formada por 3 raparigas e 2 rapazes.
A delegada de turma deve fazer parte da comissão.
1
p3
(a) Quantas comissões diferentes é possível formar?
Sabe-se que μ “ 0, 1 e E rX 2 s “ 0, 9.
(b) No final da reunião os cinco elementos da comissão e o vereador posaram para uma fotografia, colocando-se uns ao lado dos outros. Admitindo que eles se colocaram ao acaso determine a probabilidade:
(a) Determine p1 , p2 e p3 ;
(b) Determine a função de distribuição;
pb1 q de as raparigas ficarem juntas;
(c) Calcule o desvio padrão de X.
Exercício 20.
Uma fábrica possui três máquinas que produzem o mesmo tipo de peças. A
máquina A produz 5% de peças defeituosas. A máquina B que produz 35%
das peças, produz 10% de peças defeituosas. A máquina C produz 15% de
peças não defeituosas. A percentagem total de peças defeituosas produzidas
em tal fábrica é 26, 75%.
(a) Determine a percentagem de peças produzidas pelas máquinas A e C;
(b) Determine a probabilidade de uma peça defeituosa ter sido fabricada
pela máquina B.
Exercício 21.
Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotografia. De
quantas maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de
namorados fique junto na fotografia?
Exercício 22.
O tempo entre falhas consecutivas, em horas, de certo tipo de motores tem
distribuição exponencial de valor esperado igual a 500 horas.
(a) Determine a probabilidade do tempo entre falhas consecutivas exceder
o valor médio;
(b) Sabendo que decorreram mais de 800 horas desde o registo da última
falha, calcule a probabilidade de virmos a aguardar adicionalmente mais
de 500 horas até que ocorra a próxima falha.
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pb2 q de o vereador ficar entre os dois rapazes.
Exercício 24.
Os produtos de uma empresa são identificados por códigos que obedecem às
seguintes regras:
• têm 4 letras seguidas de 3 algarismos;
• começam por vogal;
• terminam com um algarismo par diferente de zero.
Quantos códigos, nas condições referidas, não têm letras repetidas e têm dois
algarismos ímpares? (Considere o alfabeto de 23 letras).
Soluções:
Exercício 1.
(a) Considerando os acontecimentos:
– D - “chip ser defeituoso”;
– A - “chip ser aprovado na inspecção”;
‰
“
tem-se P D X A “ 0, 18.
(b) Pelo“ teorema
‰ da probabilidade total temos que, P rAs “ P rA X Ds `
`P A X D “ 0, 804.
‰ P rDXAs
“
(c) Pelo teorema de Bayes tem-se P D|A “ P A “ 0, 918.
r s
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Exercício 2.
A probabilidade pedida é:
(a) Considerando os acontecimentos:
P rY1 “ 2, Y2 “ 7, Y3 “ 1s “
– A - “dispositivo A funcionar”;
Exercício 4.
– B - “dispositivo B funcionar”;
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de defeitos por m2 ” temos que X „ P pλ “ 0, 5q. Considerando, agora, a variável aleatória
X 1 - “número de defeitos por 5 m2 ” temos que X 1 „ P pλ “ 0, 5 ˆ 5 “ 2, 5q.
A função de probabilidade da variável é dada por:
– C - “dispositivo C funcionar”;
e atendendo a que estes acontecimentos são independentes temos
P rA Y B Y Cs “ P rAs ` P rBs ` P rCs ´ P rA X Bs ´ P rA X Cs `
´P rB X Cs ` P rA X B X Cs “ 0, 9999;
“
‰
“
‰
“
‰
(b) P A X B X C ` P A X B X C ` P A X B X C ` P rA X B X Cs “
“ 0, 9983.
Exercício 3.
Considerando a variável aleatória X - “número de peças defeituosas em 5”
temos que X „ b pn “ 5, p “ 0, 1q. A função de probabilidade da variável é
dada por:
f pxq “ 5Cx p0, 1qx p0, 9q5´x , x “ 0, 1, 2, 3, 4, 5
(a) P rX “ 3s “ f p3q “ 0, 0081;
f pxq “
x “ 0, 1, . . . .
A probabilidade pedida é
P rX “ 0s “ f p0q “ 0, 0821;
(b) Considerando a variável aleatória X 2 - “número de defeitos por 15 m2 ”
temos que X 2 „ P pλ “ 0, 5 ˆ 15 “ 7, 5q. A função de probabilidade da
variável é dada por:
f pxq “
7, 5x e´7,5
,
x!
x “ 0, 1, . . . .
P rX 2 ě 3s “ 1 ´ P rX 1 ă 3s “ 1 ´ rf p0q ` f p1q ` f p2qs “ 0, 9797.
(c) Considerando as variáveis
(c) Considerando a variável aleatória T - “área, em m2 , até encontrar o
primeiro defeito” temos que T „ exp pλ “ 0, 5q. A função de distribuição da variável é dada por:
– Y1 - “número de caixas, em 10, sem peças defeituosas”;
– Y2 - “número de caixas, em 10, com uma peça defeituosa”;
– Y3 - “número de caixas, em 10, com mais do que uma peça defeituosa”;
F ptq “ 1 ´ e´0,5t ,
t ě 0.
A probabilidade pedida é
P rT ą 2s “ 1 ´ F p2q “ 0, 3679.
temos que
pY1 , Y2 , Y3q „ M pn “ 10; p1 “ 0, 59, p2 “ 0, 33, p3 “ 0, 08q ,
Exercício 5.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de interrupções por
hora” temos que X „ P pλq.
sendo
‚ p1 “ P rX “ 0s “ f p0q “ 0, 59;
P rX ě 0s “ 0, 1 ô 1 ´ f p0q “ 0, 1 ô
‚ p2 “ P rX “ 1s “ f p1q “ 0, 33;
‚ p3 “ P rX ą 1s “ 1 ´ 0, 59 ´ 0, 33 “ 0, 08.
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2, 5x e´2,5
,
x!
A probabilidade pedida é
(b) P rX ě 2s “ 1 ´ P rX ă 2s “ 1 ´ f p0q ´ f p1q “ 0, 081;
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10!
p0, 59q2 p0, 33q7 p0, 08q “ 0, 0043.
2!7!1!
λ0 e´λ
“ 0, 9 ô λ “ 0, 105
0!
por hora. Logo λ “ 0, 105 ˆ 24 “ 2, 52 por dia e σ 2 “ 2, 52;
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(b) Considerando a variável aleatória X 1 - “número de interrupções por 2
horas” temos que X 1 „ P pλ “ 0, 105 ˆ 2 “ 0, 21q. A função de probabilidade da variável é dada por:
f pxq “
Podemos calcular
0, 21x e´0,21
,
x!
A função de probabilidade da variável é dada por:
f pyq “ 6Cy p0, 6065qy p0, 3935q6´y ,
A probabilidade pedida é
x “ 0, 1, . . . .
P rY ě 1s “ 1 ´ f p0q “ 0, 9963;
de chamadas em 60
(d) Considerando a variável aleatória
X 1 - “número
`
˘
1
minutos” temos que X „ P λ “ 10
ˆ 60 “ 6 ;
P rX 1 “ 0s “ 0, 812.
Consideremos, agora, a variável aleatória Y - “número de períodos
de 2 horas, em 6, em que não existem interrupções” temos que Y „
b pn “ 6, p “ 0, 812q. A função de probabilidade da variável é dada por:
f pyq “ 6Cy p0, 812qy p0, 188q6´y ,
y “ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
(e)
P rT ą 11s “ F p11q “ 0, 3329.
Exercício 7.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de artigos defeituosos
em 5” temos que X „ h pN “ 100, n “ 5, K “ 20q. A função de probabilidade da variável é dada por:
A probabilidade pedida é f p2q “ 0, 0124.
Exercício 6.
f pxq “
(a) Considerando a variável aleatória T - “tempo de espera entre
duas
˘ cha`
1
, pois
madas consecutivas, em minutos” temos que T „ exp λ “ 10
1
. A função de distribuição da variável
E rT s “ 10 ô λ1 “ 10 ô λ “ 10
é dada por:
1
F ptq “ 1 ´ e´ 10 t , t ě 0.
P r7 ď T ď 12s “ F p12q ´ F p7q “ 0, 1954;
(b) Considerando a variável aleatória
X - “número
de chamadas em 5 mi˘
`
1
ˆ 5 “ 12 . A função de probabilidade
nutos” temos que X „ P λ “ 10
da variável é dada por:
` 1 ˘x ´ 1
e 2
f pxq “ 2
, x “ 0, 1, . . . .
x!
A probabilidade pedida é
P rX “ 0s “ f p0q “ 0, 6065;
(c) Considerando a variável aleatória Y - “número de períodos de 5 minutos, em 6, em que não existem chamadas” temos que
Cx ˆ 80C5´x
,
100C
5
(b) Não, pois n “ 5 ă 10 “
x “ 0, 1, 2, 3, 4, 5.
N
;
10
(c) E rXs “ n ˆ p “ 1.
2px`1q
dx
15
(b) P r1 ď X ď 3 | X ď 2s “
“ 1 ô k “ 3;
P r1ďXď2s
P rXď2s
“ 0, 625;
(b) μ “ 95 , σ 2 “ 0, 659 e σ “ 0, 812.
Exercício 9.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de falhas em 50 dm2 ”
1
temos que X „ P pλ “ 1q. Temos λt “ 1 ô λ ˆ 50 “ 1 ô λ “ 50
1
por dm2 . Considerando, agora, a variável
aleatória
X
“número
de
`
˘
1
32
falhas em 32 dm2 ” temos que X 1 „ P λ “ 50
ˆ 32 “ 50
. A função de
probabilidade da variável é dada por:
` 32 ˘x ´ 32
e 50
, x “ 0, 1, . . . .
f pxq “ 50
x!
A probabilidade pedida é
P rX 1 “ 0s “ f p0q “ 0, 527;
Y „ b pn “ 6, p “ 0, 6065q .
C. Fernandes & P. Ramos
20
A probabilidade pedida é P rX ă 3s “ 0, 947;
Exercício 8.
ş `8
şk
(a) ´8 f pxq dx “ 1 ô 0
A probabilidade pedida é
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y “ 0, 1, . . . , 6.
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(b) A probabilidade pedida é
P rX 1 ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 865.
Exercício 10.
Considerando os acontecimentos Ci - “a componente i estar a funcionar”, com
i “ 1, . . . , 7, tem-se P rpC1 Y C2 q X pC3 Y `C4 Y C5“q X C6 X‰˘
C7 s “ P rC1 Y C2 s ˆ
ˆP rC3 Y C4 Y C5 s ˆ P rC6 s ˆ P rC7 s “ 1 ´ P C 1 X C 2 ˆ
“
`
“
‰˘
‰“
‰
ˆ 1 ´ P C 3 X C 4 X C 5 ˆP rC6 sˆP rC7 s “ 1 ´ p1 ´ p1 q2 1 ´ p1 ´ p2 q3 p3 p4 .
(b) Considerando a variável aleatória Y - “número de períodos de 10 segundos, em 7, em que são emitidas 4 ou mais partículas” temos que
Y „ b pn “ 7, p “ 0, 143q, sendo p “ P rX ě 4s “ 0, 143. A função de
probabilidade da variável é dada por:
f pyq “ 7Cy p0, 143qy p0, 857q7´y ,
y “ 0, 1, . . . , 7.
A probabilidade pedida é
P rY ě 1s “ 1 ´ P rY ă 1s “ 1 ´ f p0q “ 0, 6605;
Exercício 11.
(c) Vamos definir a nova variável aleatória X 1 - `“número de partículas
˘
2
emitidas em 30 segundos”. Temos que X 1 „ P λ “ 10
ˆ 30 “ 6 pois
2
λt “ 2 ô λ ˆ 10 “ 2 ô λ “ 10 por segundo. A função de probabilidade
da variável é dada por:
(a) Considerando os acontecimentos:
– Mi - “peça ser produzida pela máquina i”, com i “ 1, 2, 3;
– D - “peça ser defeituosa”;
tem-se P rM1 s ` P rM2 s ` P rM3 s “ 1 ô 0, 4 ` 0, 3 ` P rM3 s “ 1 ô
P rM3 s “ 0, 3 e P rD | M1 s “ 0, 01,
“ P‰ rD | M
“ 2 s “ 0, 04
‰ e P“ rD | M3‰s “
0, 03. A probabilidade pedida é P D “ P M1 X D ` P M2 X D `
“
‰
P M3 X D “ 0, 975;
(b) A probabilidade pedida é: P rM1 |Ds “
P rM1 XDs
P rDs
t ě 0.
P rX 1 ď 3s “ f p0q ` f p1q ` f p2q ` f p3q “ 0, 1512.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de lampâdas queimadas
em 3” temos que X „ h pN “ 12, n “ 3, K “ 5q. A função de probabilidade da variável é dada por:
f pxq “
5
Cx ˆ 7C3´x
,
12C
3
x “ 0, 1, 2, 3.
A probabilidade pedida é P rX “ 1s “ f p1q “ 0, 4773;
A probabilidade pedida é
(b) Considerando a variável aleatória Y - “número de lampâdas não queimadas em 3” temos que Y „ h pN “ 12, n “ 3, K “ 7q. A função de
probabilidade da variável é dada por:
P rT ě 6s “ 1 ´ P rT ă 6s “ 1 ´ F p6q “ 0, 6873.
Exercício 13.
(a) Considerando a variável aleatória X - “número de partículas emitidas
em 10 segundos” temos que X „ P pλq. Temos que
“ ‰
V ar rXs “ E X 2 ´μ2 ô λ “ 6´λ2 ô λ2 ´λ´6 “ 0 ô λ “ ´3_λ “ 2.
Como temos que ter λ ą 0 temos λ “ 2.
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x “ 0, 1, . . . .
Exercício 14.
Exercício 12. Considerando a variável aleatória X - “número de falhas
por dia” temos que X „ P pλ “ 1, 5q. Considerando a variável aleatória
T - “tempo de espera, em horas, até à primeira falha” temos que T „
exp pλ “ 0, 0625q, uma vez que λt “ 1, 5 ô λ ˆ 24 “ 1, 5 ô λ “ 0, 0625
por hora. A função de distribuição da variável é dada por:
Lista de exercícios de revisão para o 1o teste
6x e´6
,
x!
A probabilidade pedida é
“ 0, 16;
(c) A probabilidade pedida é: P rM2 X Ds “ 0, 012.
F ptq “ 1 ´ e´0,0625t ,
f pxq “
f pyq “
Cy ˆ 5C3´y
,
12C
3
y “ 0, 1, 2, 3.
A probabilidade pedida é P rY ě 2s “ 1´P rY ă 2s “ 1´f p0q´f p1q “
0, 6364;
(c) μ “ n ˆ p “
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7
4
5
“ 1, 25 e σ 2 “ n ˆ p ˆ p1 ´ pq ˆ
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N ´n
N ´1
“ 0, 5966.
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Raciocínio Probabilístico e Simulação
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(c) P
Exercício 15.
(a) P rA X Bs “ 0, 18 ô P rAs P rBs “ 0, 18 ô P rBs “ 0, 3;
(b) P rB ´ As “ P rBs ´ P rA X Bs “ 0, 12;
(c) P rA X Cs “ 0;
“1
‰
` ˘
` ˘
ă X ă 32 “ F 23 ´ F 21 “ 0, 1638 e
„
j
1
P r1 ă X ă 2s
F p2q ´ F p1q
‰“
` ˘ “ 1.
P X ą 1 | ă X ă 2 “ “1
2
P 2 ăXă2
F p2q ´ F 12
2
Exercício 18.
(d) P rA Y B Y Cs “ P rAs ` P rBs ` P rcs ´ P rA X Bs “ 0, 87;
‰
“
(e) P A X B X C “ 1 ´ P rA Y B Y Cs “ 0, 13.
(a) Considerando os acontecimentos:
‚ A - “atirador A acertar no alvo”;
Exercício 16.
Considerando
a variável
aleatória X - “número de que fuma em 5” temos que
`
˘
X „ b n “ 5, p “ 51 . A função de probabilidade da variável é dada por:
ˆ ˙x ˆ ˙5´x
1
4
f pxq “ Cx
,
5
5
5
x “ 0, 1, 2, 3, 4, 5.
(a) f p1q “ 0, 41;
(b) P rX ě 1s “ 1 ´ P rX ă 1s “ 1 ´ f p0q “ 0, 672;
(c) f p5q “ 0, 00032;
‚ C - “atirador C acertar no alvo”;
e assumindo que os acontecimentos A, B e C são mutuamente independentes tem-se
“
‰
‚ P rX “ 0s “ P A X B X C “ 0, 072;
“
‰
“
‰
“
‰
‚ P rX “ 1s “ P A X B X C `P A X B X C `P A X B X C “
0, 324;
‰
“
‰
“
‰
“
‚ P rX “ 2s “ P A X B X C `P A X B X C `P A X B X C “
0, 436;
‚ P rX “ 3s “ P rA X B X Cs “ 0, 168;
(d) P rX ď 1s “ f p0q ` f p1q “ 0, 737.
Exercício 17.
ş `8
ş2
ş3
(a) ´8 f pxq dx “ 1 ô 1 cx2 dx ` 2 cxdx “ 1 ô k “
‚ B - “atirador B acertar no alvo”;
obtendo-se
6
;
29
x
f pxq
(b)
$ şx
0 ds “ 0
’
´8
’
’
’
’
’
şx 6 2
ş1
’
’
2
’
s ds “ 29
px3 ´ 1q
0 ds ` 1 29
’
´8
’
’
’
& ş
şx 6
ş2 6 2
1
F pxq “
s ds ` 2 29
s ds “
0 ds ` 1 29
´8
’
14
3
’
’
“ 29 ` 29 px2 ´ 4q
’
’
’
’
’
’
ş1
ş2 6 2
ş3 6
’
’
0 ds ` 1 29
s ds ` 2 29
s ds`
’
’
% ´8 şx
` 3 0 ds “ 1
0
0, 072
1
0, 324
2
0, 436
3
0, 168
,x ă 1
(b) μ “ 1, 7;
, 1ďxď2
(c) Cv “
, 2ăxď3 ;
σ
μ
ˆ 100 “ 48, 8%.
Exercício 19.
(a) Temos que
,x ą 3
‚ μ “ 0, 1 ô ´p1 ` p3 “ 0, 1;
‚ E rX 2 s “ 0, 9 ô p1 ` p3 “ 0, 9;
‚ p1 ` p2 ` p3 “ 1;
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e resolvendo um sistema com as três equações obtemos p1 “ 0, 4, p2 “
0, 1 e p3 “ 0, 5;
(b)
F pxq “ P rX ď xs “
$
0
, x ă ´1
’
’
’
’
’
’
’
’
& 0, 4 , ´1 ď x ă 0
’
’
0, 5 , 0 ď x ă 1
’
’
’
’
’
’
%
1
, xě1
(b) P rT ą 1300 | T ą 800s “
“ 0, 3679;
Exercício 23.
(a)
;
1´F p1300q
1´F p800q
12
C2 ˆ 17C2 “ 8976;
pb1 q p “
4ˆ3!ˆ3!
6!
“ 15 ;
pb2 q p “
4ˆ2!ˆ3!
6!
“
1
.
15
Exercício 24.
5 ˆ 22A3 ˆ 5A12 ˆ 4 “ 4620000.
(c) σ 2 “ 0, 89 e σ “ 0, 943.
Exercício 20.
(a) Considerando os acontecimentos:
– M1 - “peça produzida pela máquina A”;
– M2 - “peça produzida pela máquina B”;
– M3 - “peça produzida pela máquina C”;
– D - “peça defeituosa”;
tem-se P rM1 s ` P rM2 s ` P rM3 s “ 1 ô P rM1 s ` P rM3 s “ 0, 65
e pelo teorema da probabilidade total tem-se P rDs “ P rM1 X Ds `
P rM2 X Ds ` P rM3 X Ds “ 0, 2675 ô 0, 05P rM1 s ` 0, 35 ˆ 0, 1 `
0, 85P rM3 s “ 0, 2675. Resolvendo um sistema com as equações anteriores tem-se P rM1 s “ “ 0, 4 e P rM3 s “ 0, 25.
(b) Pelo teorema de Bayes tem-se P rM2 |Ds “
P rM2 XDs
P rDs
“ 0, 1308.
Exercício 21.
2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 3! “ 48.
Exercício 22.
(a) Considerando a variável aleatória` T - “tempo
entre falhas consecutivas,
˘
1
em horas” temos que T „ exp λ “ 500
, pois E rT s “ 500 ô λ1 “
1
500 ô λ “ 500
. A função de distribuição da variável é dada por:
1
F ptq “ 1 ´ e´ 500 t ,
t ě 0.
A probabilidade pedida é
P rT ą 500s “ 1 ´ F p500q “ 0, 3679;
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