INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
Departamento Matemática
Curso
Disciplina Probabilidades e Estatística
Engenharia e Gestão
Industrial
Ano
2º
Semestre
1º
Ano
Lectivo
2009/2010
Folha Nº5 – Distribuições contínuas
1. Usando a tabela da normal standard, calcule:
a) P(Z<3.0), P(Z>1.45), P(Z>-2.15), P(-2.34<Z<1.76), e P(-2<Z<8), onde Z∼N(0, 1);
b) P(X<13), P(X>9), P(6<X<14) e P(-2<X<8), onde X∼N(10, 22).
2. Seja X uma v.a. com distribuição normal de valor médio 5 e desvio padrão 4. Determine valores x
e y que verificam as seguintes probabilidades:
a) P(X>x)=0.5;
b) P(X>x)=0.95;
c) P(x<X<9)=0.2007;
d) P(-3<X<x)=0.95;
e) P(y<X<x)=0.99 e P(y<X<5)=P(5<X<x)
3. Assuma que a corrente eléctrica medida num fio de cobre tem distribuição normal de valor médio
10 mA e variância 4 mA2.
a) Calcule a probabilidade da corrente eléctrica medida exceder os 13 mA.
b) Qual é a probabilidade de a corrente eléctrica medida estar entre os 9 e os 11 mA?
c) Determine o valor para o qual a probabilidade de a corrente estar a baixo desse valor é de 0.98.
4. Suponha que a duração de vida (em horas) de dois dispositivos electrónicos, X1 e X2, têm
distribuições N(40, 62) e N(45, 32), respectivamente.
a) Calcule a probabilidade de cada um dos dispositivos falhar antes das 45 horas. Qual dos dois
dispositivos deve ser preferido?
b) Se necessitar de um dos dispositivos durante um período de 48 horas, qual escolhe?
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Disciplina
Probabilidades e
Estatística
Ano
2º
Semestre
1º
Ano
Lectivo
2009/2010
5. Em determinada empresa a utilização semanal de uma matéria prima, é uma v. a. com distribuição
normal de média 600 Kg e desvio padrão 40 Kg. No início de determinada semana a empresa tem em
stock
634 Kg dessa matéria prima, não sendo viável no decurso dessa semana mais
aprovisionamento.
a) Determine a probabilidade de rotura do stock da matéria prima.
b) Qual deveria ser o stock de modo que a probabilidade de rotura fosse, no máximo, de 0.01?
6. O tempo, em minutos, que um operário demora a executar certa tarefa é uma v. a. com
distribuição normal. Sabe-se que a probabilidade de um operário demorar mais de 13 minutos é de
0,0668 e a de demorar menos de 8 minutos é de 0,1587. Calcule:
a) o tempo médio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio padrão;
b) a probabilidade do operário demorar entre 9 e 12 minutos a executá-la.
7. O serviço de expedição e entrega de determinada unidade fabril verificou que o volume de
vendas, em m3, entregues semanalmente aos clientes, é uma variável aleatória X com distribuição
normal de média µ>0 e desvio padrão σ>0.
a) Sabendo que a probabilidade do volume de entregas semanais ser superior a 13m3 é de 0.0668, e
que a probabilidade do volume de entregas semanais exceder a média em pelo menos 2m3 é de
0.1587, mostre que σ=2 e µ=10.
b) Determine a probabilidade do volume das entregas mensais ser superior a 48m3.
8. Seja X a variável aleatória que representa os lucros obtidos numa empresa. Sabendo que X tem
distribuição Qui-Quadrado com 3 graus de liberdade calcule:
a) a probabilidade de os lucros obtidos serem no máximo 0.584 .
b) a probabilidade de os lucros obtidos serem no mínimo de 0.216
c) a probabilidade de os lucros obtidos estarem entre 0.216 e 0.584
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Probabilidades e
Estatística
Ano
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Semestre
1º
Ano
Lectivo
2009/2010
9. Seja T uma variável aleatória com distribuição t de Student com 6 graus de liberdade. Determine o
valores de t para o qual:
a) a área situada à sua direita seja de 0.025 .
b) a área situada à sua esquerda seja de 0.995 .
10. Considere a variável aleatória X que tem distribuição F de Snedcor com 3 e 5 graus de liberdade.
Determine:
a) o 10º percentil da distribuição de probabilidade de X.
b) o 90º percentil da distribuição de probabilidade de X.
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SOLUÇÕES
1. a) 0.9987; 0.0735; 0.9842; 0.9512; 0.9772
b) 0.99332; 0.6915; 0.9544; 0.1587
2. a) 5; b) -1.58; c) 6.44; d) 12.68; e) x=15.3 e y=-5.3
3. a) 0.0668; b) 0.3830; c) 14.14
4. a) Dispositivo 1: 0.7967; Dispositivo 2: 0.5; é preferível o dispositivo 2
b) Dispositivo 2
5. a) 0.1977; b) 693.2 Kg
6. a)µ=10 e σ=2; b) 0.5328
7. b) 0.0228
8. a) 0.1
b) 0.975
9. a) 2.447
b) 3.707
10. a) 0.1883
b) 3.62
c) 0.075
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