UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Pensamento Genérico E Expressões Algébricas No Ensino Fundamental
PRODUTO DA DISSERTAÇÃO – SEQUÊNCIA DIDÁTICA
SANDRO AZEVEDO CARVALHO
2010
233
5 ENCAMINHAMENTOS EM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Os encaminhamentos que apresentaremos a seguir não devem ser encarados como
uma sequência didática para o ensino das operações com expressões algébricas polinomiais.
Pretendemos, com tais encaminhamentos, apenas proporcionar ao leitor deste texto as linhas
gerais do trabalho que foi feito após o período de familiarização com o pensamento genérico,
tendo nas propriedades das operações com números a base matemática sobre a qual as
operações com expressões algébricas polinomiais foram construídas.
Salientamos que tais encaminhamentos não excluem outros procedimentos como o uso
do contexto de Geometria, de jogos ou de tecnologia para o tratamento das expressões
algébricas polinomiais e suas operações. O uso conjunto de todas essas estratégias pode
contribuir, por exemplo, como motivação ou ponto de partida, para que os alunos
compreendam melhor o assunto. Contudo, o uso de outros contextos diversos do que aqui
apresentamos procuram, muitas vezes, justificar as operações com expressões algébricas
polinomiais com argumentos não-matemáticos (por exemplo, com regras de um jogo), o que,
em nossa opinião, induz o aluno a procurar justificativas não-matemáticas para os resultados
e procedimentos.
É importante também ressaltar a reação dos alunos diante de nossa proposta, depois do
período de familiarização com o pensamento genérico, por exemplo, no caso da adição
expressões algébricas polinomiais, onde não utilizamos o conceito de termos semelhantes.
Depois de feitos os encaminhamentos que descreveremos resumidamente a seguir, os próprios
alunos chegaram à conclusão de que só é possível somar duas expressões, obtendo outra
expressão que não envolva o sinal de adição, quando as variáveis envolvidas são as mesmas e
com os mesmos expoentes. A partir daí, introduzimos a nomenclatura termos semelhantes
para facilitar a comunicação e, também, porque, afinal, é essa a terminologia encontrada nos
livros didáticos. Recomendamos, no entanto, que sempre seja relembrada a justificativa
matemática para a regra "agrupar termos semelhantes, somar ou subtrair os coeficientes e
manter a parte literal".
5.1 ADIÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POLINOMIAIS
Inicialmente, definimos identidade algébrica como uma igualdade entre duas
expressões algébricas verdadeira para quaisquer valores das variáveis pertencentes ao
universo numérico que está sendo utilizado naquele momento para cada uma delas.
234
Situação 1: Motivado, por exemplo, pela resposta recorrente 8 xy à soma 5 x  3 y foi
discutida com a turma a seguinte situação:
Consideremos a igualdade entre expressões algébricas polinomiais 5 x  3 y  8 xy .
Vamos verificar se essa igualdade é verdadeira para todos os números reais1 x e y, calculando
separadamente as expressões dos dois membros da igualdade, substituindo-se x e y por
valores conhecidos:
Fazendo x  0 e y  0 , obtemos 5  0  3  0  0 e 8  0  0  0 . Portanto, a igualdade é
verdadeira para esses valores de x e de y;
Fazendo x  1 e y  1 , obtemos 5  1  3  1  8 e 8  1  1  8 . Portanto, a igualdade é
verdadeira para esses valores de x e de y;
Fazendo x 
1
5
1
5
1 5
e y  , obtemos 5   3   10 e 8    10 . Portanto, a
2
2
2
2
2 2
igualdade é verdadeira para esses valores de x e de y;
A partir desses três casos apenas, podemos afirmar que a igualdade 5 x  3 y  8 xy é
verdadeira para todos os valores reais de x e de y?
A resposta da questão acima é negativa, pois a verificação de alguns casos particulares
não garante o resultado para os infinitos valores possíveis de x e de y. Tanto é que, fazendo,
por exemplo, x  1 e y  0 , obtemos 5  1  3  0  5 e 8  1  0  0 . Portanto, para esses valores
de x e de y, a igualdade é falsa.
Como há pelo menos um valor de x e um valor de y para os quais a igualdade não é
verdadeira, ou seja, um contraexemplo para a referida igualdade, concluímos que é falso que
5 x  3 y  8 xy , para quaisquer valores reais de x e y.
Situação
2:
Consideremos
a
igualdade
entre
expressões
algébricas
polinomiais
5 xy  3 xy  8 xy . Essa igualdade é verdadeira para todos os números reais x e y?
Fazendo x  0 e y  0 , obtemos 5  0  0  3  0  0  0 e 8  0  0  0 . Portanto, para
esses valores de x e de y, a igualdade é verdadeira;
1
Ou qualquer outro universo numérico pré-estabelecido para as variáveis.
235
Fazendo x  1 e y  1 , obtemos 5  1  1  3  1  1  8 e 8  1  1  8 . Portanto, para esses
valores de x e de y, a igualdade é verdadeira;
Fazendo x 
1 5
1 5
1
5
1 5
e y  , obtemos 5    3    10 e 8    10 . Portanto,
2
2
2 2
2 2
2 2
para esses valores de x e de y, a igualdade é verdadeira;
Fazendo x  1 e y  0 , obtemos 5  1  0  3  1  0  0 e 8  1  0  0 . Portanto, para esses
valores de x e de y, a igualdade é verdadeira;
Fazendo
x 2
e
y  5,
obtemos
5  2  5  3  2  5  8 10
e
8  2  5  8 10 . Portanto, para esses valores de x e de y, a igualdade é verdadeira;
A partir desses cinco casos apenas, podemos afirmar que a igualdade 5 xy  3 xy  8 xy
é verdadeira para todos os valores reais de x e de y?
Observe que até agora não conseguimos encontrar valores reais de x e de y para os
quais a igualdade não se verifica, ou seja, não encontramos um contraexemplo para a referida
igualdade. Porém, somente a partir desses valores, não podemos afirmar que a igualdade se
verifica sempre. Como temos aqui infinitos casos para testar, precisamos fazer uso de outra
estratégia para decidirmos o valor lógico desta igualdade: vamos recorrer às propriedades das
operações com números reais. Pela propriedade distributiva da multiplicação, podemos
escrever 5xy  3xy  5  3xy  8 xy , para quaisquer números reais x e y. Note aqui que
estamos utilizando um argumento válido para todos os números reais x e y. Portanto, a
igualdade 5 xy  3 xy  8 xy é uma identidade.2
Situação 3: A igualdade 5 xy  3 yx  8 xy é verdadeira para todos os valores reais de x e de y?
Observamos que há uma inversão na ordem dos fatores x e y. Porém, pela propriedade
comutativa da multiplicação de números reais, xy  yx para quaisquer números reais x e y.
Assim, 5xy  3 yx  5 xy  3xy  5  3xy  8 xy , para quaisquer números reais x e y.
2
Chamamos a atenção do leitor sobre o mesmo encaminhamento inicial dado às Situações 1 e 2. No entanto, não
podemos parar nosso argumento antes da pergunta “apenas estes exemplos são suficientes para garantir a
veracidade da igualdade?” Reiterando o método de argumentação matemática, reforçamos a necessidade de ir-se
adiante no argumento; tanto que a primeira afirmação revelou-se falsa e a segunda, verdadeira.
236
Situação 4: A igualdade 5 x  3 y  2 x  5 y  7 x  2 y é verdadeira para todos os valores reais
de x e de y?
Utilizando a propriedade comutativa da adição, podemos reescrever a expressão do
membro esquerdo da igualdade como 5 x  2 x  3 y  5 y . Essa, por sua vez, pode ser reescrita
como 5  2x  3  5 y  7 x  2 y aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação
de números reais. Portanto, 5 x  3 y  2 x  5 y  7 x  2 y , para quaisquer números reais x e y.
5.2 MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POLINOMIAIS
Aplicando-se as propriedades da multiplicação de números reais, juntamente com as
propriedades das potências de base real e expoente natural e, lembrando que uma
multiplicação entre variáveis ou entre variáveis e constantes pode ser indicado por ∙, × ou pela
simples justaposição, podemos multiplicar expressões algébricas polinomiais.
Exemplo 1: Sendo x e y números reais quaisquer, calcule 3x 2 y   5x 3 y .
Aplicando-se
sucessivamente
as
propriedades
comutativa
e
associativa
da
multiplicação de números reais, bem como a propriedade da multiplicação de potências de
base real e expoente natural, e como as expressões 3x 2 y e  5x 3 y também envolvem
multiplicações, podemos fazer 3x 2 y   5x 3 y  3   5x 2 x 3 yy  15 x 5 y 2 , para quaisquer
números reais x e y.
Exemplo 2: Sendo x e y números reais quaisquer, calcule
3 2 x y
x y  .
2
2 3
Aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição de
números reais, temos
3 2 x y 3 2
x 3
y
x y      x y   x2 y  .
2
2
3
2
2
2
3


Agora, aplicamos as propriedades comutativa e associativa da multiplicação de
números reais a cada parcela podemos fazer
3 2
x 3
y 3 1
3 1
x y   x 2 y    x 2 xy   x 2 yy .
2
2 2
3 2 2
2 3
237
Agora, aplicando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base real e
expoente natural em cada parcela, obtemos
3 1 2
3 1
3
1
 x xy   x 2 yy  x 3 y  x 2 y 2 .
2 2
2 3
4
2
Assim,
3 2 x y 3 3
1
x y      x y  x2 y2 ,
2
2
2 3 4
para quaisquer números reais x e y.
Exemplo 3: Sendo x e y números reais quaisquer, calcule 2 x  y    x  2 y  .
Aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação de números reais à esquerda,
temos
2 x  y   x  2 y   2 x  y   x  2 x  y   2 y .
Agora, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação de números reais à
direita a cada termo da subtração (que equivale à adição pelo oposto), obtemos
2 x  y   x  2 x  y   2 y  2 x  x  y  x  2 x  2 y  y  2 y  .
Aplicando a propriedade da multiplicação de potências de mesma base real e expoente
natural em cada parcela e pelo que já sabemos da adição de expressões algébricas
polinomiais, obtemos

2 x  x  y  x  2 x  2 y  y  2 y   2 x 2  yx  4 xy  2 y 2

 2 x 2  yx  4 xy  2 y 2
 2 x 2  3 xy  2 y 2 .
Portanto, 2 x  y    x  2 y   2 x 2  3xy  2 y 2 , para quaisquer números reais x e y.
5.3 FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS POLINOMIAIS 3
3
Na turma em que foi aplicada a experiência, só trabalhamos o caso fator comum e agrupamento. Mais
precisamente, não foram tratados os casos “trinômio” quadrado perfeito e diferença de dois quadrados.
238
Fatorar uma expressão algébrica polinomial é reescrevê-la na forma de uma
multiplicação.
Exemplo 1: Fatore a expressão 2 x  2 y , onde x e y são números reais quaisquer.
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação, podemos reescrever a
expressão como
2 x  2 y  2 x  y  .
Essa é uma possível fatoração da expressão 2 x  2 y . Porém, como estamos
trabalhando no campo numérico dos reais4, podemos também escrever, por exemplo,
2x  2 y 
1
 4 x  y 
2
Exemplo 2: Fatore a expressão algébrica polinomial 18m 4 n  24mn 2  12m 2 n , onde m e n
são números reais5, obtendo um fator igual a:
a) 2
Uma possível resposta é 2  9m 4 n  12mn 2  6m 2 n  . Outra possível resposta é


2  m  9m3 n  12n 2  6mn .
b) 6
Uma possível resposta é 6  3m 4 n  4 mn 2  2m 2 n  . Outra possível resposta é


6  n  3m 4  4mn  2m 2 .
c) 2m


Uma possível resposta é 2m  9m 3 n  12n 2  6mn . Outra possível resposta é


2m  n  9m 3  12n  6m .
d) 6n
Uma possível resposta é 6 n  3m 4  4mn  2m 2  . Outra possível resposta é


6n  m  3m 3  4n  2m .
4
Na turma em que foi aplicado esse encaminhamento o universo numérico era o conjunto dos números
racionais.
5
Se restringirmos o universo das variáveis para ℤ, as duas últimas fatorações não são possíveis de serem
realizadas (item f).
239
e) 6mn
Uma possível resposta é


6mn  3m 3  4n  2m . Outra possível resposta é
3

6mn  2   m 3  2n  m  .
2

f) 18mn
4
2 

Uma possível resposta é 18mn   m 3  n  m  . Outra possível resposta é
3
3 

2
1 
1
18mn  2   m 3  n  m  .
3
3 
2
5.4 APLICAÇÃO DAS OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EM
SEQUÊNCIAS DE FIGURAS E IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES
Descreveremos aqui uma interessante aplicação das operações com expressões
algébricas.
Observe a sequência de figuras abaixo:
a) Encontre um padrão para a construção desta sequência e desenhe as figuras 5 e 6, de acordo
com este padrão.
b) Explicite o padrão que você encontrou, explicando como contar o número de quadrados em
branco de uma figura.
c) Se a sequência continuar com este mesmo padrão, quantos quadrados em branco terá a
figura 10? E a figura 20?
d) Determine uma expressão algébrica para o número de quadrados em branco da figura n.
e) Se uma figura construída com este padrão por você especificado tem 208 quadrados em
branco, qual é a posição desta figura na sequência?
O objetivo do item (a) é familiarização com a construção da figura. No item (b), o
objetivo é que os alunos verbalizem o padrão que encontraram. O item (c) objetiva que os
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alunos contem o número de quadrados em branco, utilizando o padrão que verbalizaram em
(b). Pulamos da figura 6 para a figura 10 e depois para a figura 20 a fim de desencorajar os
alunos a desenharem essas figuras. Para responder o item (d) é provável que os alunos
encontrem padrões diferentes na contagem dos quadrados em branco, gerando expressões
algébricas distintas. Porém, após efetuarem as operações com as expressões encontradas,
chegarão à mesma expressão algébrica polinomial em n. Por exemplo, alguém poderia contar
assim:
1
2
3
4
…
n
3+3+2
5+5+3
7 +7 + 4
9+9+5
…
2n  1  2n  1  n  1
Outro aluno poderia contar assim:
1
2
3
4
…
n
3×3-1
3×5-2
3×7-3
3×9-4
…
3  2n  1  n
Um terceiro poderia contar assim:
1
2
2×3+1×2
3
3×3+2×2 4×3+3×2
4
…
n
5×3+4×2
…
n  1  3  n  2
Poderiam, ainda, aparecer outras formas de contar, ou seja, outros padrões. Chega-se
aqui a um importante momento para o professor explorar a igualdade de tais expressões ou:
“Será que alguém está errado?” Ao efetuarmos as operações indicadas nas expressões
algébricas polinomiais em n, verifica-se se chegamos todos à mesma expressão:

2n  1  2n  1  n  1  5n  3

3  2n  1  n  6n  3  n  5n  3

n  1  3  n  2  3n  3  2n  5n  3
O item (e) objetiva a resolução de equações a partir da expressão algébrica encontrada
em (d).
Com os mesmos objetivos anteriores, apresentamos as seguintes sequências, todas elas
gerando diferentes respostas dos alunos, revelando-se uma interessante atividade lúdica, onde
os alunos, para corrigir os colegas, terão que demonstrar que a sua fórmula pode ser obtida a
partir da do colega e vice-versa.
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1
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3
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