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Matriz Inversa
Definições
Seja A uma matriz quadrada do tipo n x n. A matriz B do tipo n x n
diz-se matriz inversa de A, sse
AB = BA = I,
sendo I a matriz identidade do tipo n x n. A matriz A diz-se também
inversa de B. As matrizes que admitem inversa dizem-se matrizes
invertíveis. A matriz inversa de uma matriz quadrada A, representa-se
por A-1.
Exercício
Mostrar que as seguintes matrizes são inversas.
1 2
A 

0
2


1 1
B 

0
1
2


Uma matriz quadrada que não é invertível diz-se matriz singular.
Uma matriz quadrada invertível diz-se matriz regular.
Exercício
Mostrar que a seguinte matriz é singular.
1 2
A

0 0
Teorema
Se a matriz quadrada A admite matriz inversa, então esta matriz inversa
é única.
Prova
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Sejam as matrizes quadradas A, B e C tais que
AB = BA =I e AC = CA = I.
Ou seja, estamos a colocar a hipótese de uma matriz A ter duas
matrizes inversas, B e C. Vamos verificar que B e C têm que ser
iguais. Considerando as igualdades anteriores, temos:
AC  CA  BAC  BCA   BA C  B  CA 
.
 IC  BI  C  B
------------------------ fim de prova
Exercício
Justifique as equivalências na expressão anterior.
O teorema seguinte permite determinar a inversa de um produto de
matrizes, conhecendo a matriz inversa de cada um dos factores.
Teorema
Sejam A e B matrizes invertíveis o tipo n x n. Então AB é invertível e
(AB)-1 = B-1A-1.
Prova
Vamos mostrar que ( B
matrizes inversas.
1
A
1
( B  1 A  1 ) AB  B  1 ( AA
-1
-1
) A B  I , i.e., B A e AB são
1
) B  B  1 IB  B  1 B  I .
AB(B  1 A  1 )  A (BB  1 )A  1  AIA 1  I .
------------------------fim de prova
Exercício
Justifique as igualdades na expressão anterior.
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Exercício
Utilizar o teorema anterior para demonstrar o seguinte resultado:
Se as matrizes A1, A2, ... , Ak são invertíveis, então
(A1A2 Ak )1  Ak1Ak11 A11 .
Definição
Uma matriz A diz-se equivalente por linhas a uma matriz B, se for
possível obter a matriz B efectuando operações elementares sobre as
linhas da matriz A.
Teorema
Uma matriz A do tipo nxn admite inversa, sse é equivalente por
linhas à matriz identidade I do tipo nxn.
Prova (ver pg. 81 do livro [7] da bibliografia)
A definição e o teorema anteriores, justificam o algoritmo para a
inversão de uma matriz quadrada que a seguir se apresenta.
Algoritmo para a Inversão de uma Matriz Quadrada
1. Considerar uma matriz A do tipo nxn que se quer inverter.
2. Formar a matriz aumentada [A|I].
3. Efectuar sobre as linhas desta matriz as operações elementares
necessárias à transformação de A na matriz identidade, I.
4. Se não for possível reduzir a matriz A à matriz identidade I, então
a matriz A não tem inversa.
5. Se for possível obter um resultado do tipo [I|B], então a matriz A é
invertível e temos A-1 = B.
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Exemplo
Determinar, se existir, a matriz inversa de A.
1 1 0 
A  1 1 1 

.
 0 1 1 
Solução
 1 1 0 | 1 0 0
 1 1 1 | 0 1 0


0 1 1 | 0 0 1
L2  L3
L2  L2  L3
L1  L1  L2
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1
0

 0
1 1 0 | 1 0 0
0 0 1 | 1 1 0


0 1 1 | 0 0 1
L2  L2  L1
1
0 |
1
0
1
1
|
0
0
0
1
|
1 1
0
1 
0 
1 1 0 | 1 0 0
0 1 0 | 1  1 1


0 0 1 |  1 1 0
1 0 0 | 0 1  1
0 1 0 | 1  1 1 


0 0 1 |  1 1
0 
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Temos então
 0 1 1
A1   1 1 1 


1 1 0 
Exercício
Considerar o sistema
3x1  2x 2  x 3  3

 x1  4x 2  4x 3  1
6x  3x  1
3
 2
.
1. Escrever o sistema na forma Ax = b.
2. Determinar, se possível, a matriz A-1.
3. Se a matriz A-1 existir, determinar a solução do sistema
multiplicando ambos os membros de Ax = b por A-1.
Exercício
Verdadeiro ou falso?
1. Se C e A são matrizes quadradas e CA = I, então C e A são
invertíveis.
2. Uma matriz do tipo nxn é invertível sse a sua característica é
igual a n.
3. O sistema Ax = b é possível e determinado sse A é invertível.
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