HIPERSUPERFÍCIES COM CURVATURA ESCALAR
CONSTANTE E BORDO LIVRE EM Rn+1
JOSÉ MIGUEL MALACARNE
Seja B um corpo convexo cujo bordo ∂B é uma hipersuperfície umbílica de
Rn+1 . Consideremos M uma variedade n-dimensional suave, conexa, compacta,
com bordo ∂M 6= ∅, e φ : M → Rn+1 uma imersão que aplica o interior de M no
interior de B e o bordo de M sobre o bordo de B e que é suave inclusive no bordo
∂M . Tais imersões serão doravante denotadas por φ : M → B. Orientando uma tal
configuração geométrica podemos definir uma função ângulo θ com que a imersão
φ intersecta ∂B ao longo de ∂M .
Nosso objetivo é caracterizar as imersões φ : M → B que tem curvatura escalar
S2 (ou 2-curvatura) constante e intersectam ∂B em um ângulo θ constante ao
longo do bordo ∂M como pontos críticos de um funcional adequado. Para isto,
nossa estratégia consiste em associar a cada variação admissível Φt : M → B de φ
a energia
E(Φt ) = A1 (Φt ) − Θ(Φt ) − λ∂B V∂ (Φt ),
onde A1 (Φt ) é a 1-área da imersão Φt , λ∂B é a constante de umbilicidade, Θ(Φt )
e V∂ (Φt ) denotam, respectivamente, o balanço da variação angular e o balanço do
volume do bordo induzidos pela variação Φt sobre ∂M .
As imersões φ : M → B que são E-estácionárias (isto é, aquelas para as quais
d
dt E(Φt )|t=0 = 0 para toda variação admissível Φt : M → B de φ que preserva
volume) são caracterizadas por terem curvatura escalar S2 constante, intersectarem
o bordo ∂B em um ângulo θ constante ao longo de cada componente conexa de ∂M
e, além disso, cot(θ)hT1 ν, νi = 0 sobre ∂M , onde ν é o campo conormal exterior a
∂M e T1 = S1 I − A é a primeira transformação de Newton associada à segunda
forma fundamental A de φ.
A partir da fórmula da segunda variação da energia E obtemos uma forma do
índice I associada a cada imersão E-estácionária φ : M → B. Definimos que uma
tal
quando I(f, f ) ≥ 0 para toda função suave f : M → R tal que
R imersão é estável
∂f
f dM = 0 e ∂ν = cot(θ)S1 f sobre ∂M .
M
Aplicando esta teoria ao caso em que B é um semi-espaço de Rn+1 demonstramos
que as imersões φ : M → B que são estáveis são caracterizadas por serem hemisférios contidos no semi-espaço B e que intersectam o bordo ∂B ortogonalmente.
Além disso, no caso em que B é uma bola unitária de Rn+1 demonstramos que os
n-discos geodésicos em B com bordo em ∂B são estáveis, e também que as calotas
esféricas em B com bordo ortogonal a ∂B são as únicas calotas esféricas em B com
bordo em ∂B que são estáveis.
Estes são alguns dos resultados obtidos no trabalho (ainda em andamento) conjunto com A. Gervásio Colares (UFC) e Jorge H. S. de Lira (UFC).
Departamento de Matemática, Universidade Federal do Espírito Santo, 29075-910
Vitória-ES
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