ANÁLISE E PROJETO DE SISTEMAS DE
CONTROLE PELO MÉTODO DA RESPOSTA
EM FREQUÊNCIA
1 Introdução
Os métodos da resposta em frequência são métodos relativamente simples para
determinação da estabilidade de sistemas de controle.
A equação característica de malha fechada do sistema mostrado na figura 8.1 a seguir é:
1  G( s ) H ( s )  0
E a função de transferência de malha fechada é:
C ( s)
G( s)
 A( s)
V ( s)
1  G( s) H ( s)
Figura 8.1 - Diagrama de blocos de um sistema genérico
Nestes métodos, aplica-se à entrada da malha aberta do sistema de controle, um sinal de
entrada senoidal podendo ser de amplitude fixa (constante) ou não. Na saída obtém-se uma
resposta também senoidal, mas geralmente defasada e de amplitude diferente daquela da
excitação.
A vantagem do uso dos métodos da resposta em frequência, reside no fato de que a
mesma pode ser obtida experimentalmente, sem a necessidade do conhecimento prévio da
função de transferência.
A resposta em frequência nada mais é que um conjunto de dois gráficos que relacionam a
razão de amplitudes e a defasagem entre a resposta e a entrada excitadora senoidal, cuja
frequência é variada dentro de uma faixa preestabelecida como pode ser visto na figura 8.2.
Relação de amplitudes
2.5
Magnitude
2
1.5
1
0.5
0
-1
10
0
10
1
10
frequência [rd/s]
Ângulo de fase
Fase [graus]
0
-50
-100
-150
-200
-1
10
0
10
1
10
frequência [rd/s]
Figura 8.2 - Diagramas de Resposta em Frequência (RF) do sistema representado pela
1
função G( s)  2
s  0.5s  1
Geralmente a faixa de frequências usada na resposta em frequência (RF) é muito ampla
(desde frequências muito pequenas até frequências muito grandes). Por isso, em geral, traçam-se
esses gráficos de RF em escala logarítmica e para isso usa-se o papel mono-log. Nessa escala, as
divisões não são unitárias (0, 1, 2, 3, ...), mas divididas em décadas (..., 0.1, 1, 10, 100, 1000, ...).
Nessa escala, não existe o zero! (porquê?)
Ou seja, a resposta em frequência de um sistema consiste em desenhar, em papel monolog, dois gráficos: num a relação de amplitudes RA (também chamada de magnitude ou módulo)
versus frequência de excitação  e no outro a defasagem  (também chamada de ângulo de fase)
versus frequência. A frequência é sempre colocada na escala logarítmica do papel.
2 Diagramas de Bode
Os diagramas de Bode são também diagramas de resposta em frequência, porém a RA é
colocada numa escala chamada decibéis (dB) como mostrado na figura 8.3. O objetivo dessa
mudança foi facilitar o traçado e o esboço da RF, por isso, esses diagramas são muito conhecidos
e difundidos na engenharia de controle e não é difícil serem chamados apenas de RF.
A conversão da RA comum em RAdB é simples:
RAdb  20 log( RA)
A grande vantagem de se trabalhar em decibéis (dB) é que todas as operações de
multiplicação são transformadas em soma (porquê?). Desse modo, no estudo teórico de sistemas
complexos, os muitos componentes da FT podem ser desmembrados, estudados individualmente
e depois reunidos (somados) novamente para compor o todo numa típica aplicação do princípio
da superposição de efeitos.
Diagrama de Bode
20
Módulo (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
Fase (deg)
-45
-90
-135
-180
-2
10
10
-1
10
0
10
1
10
2
frequência (rad/sec)
Figura 8.3 - Diagrama de Bode do sistema representado pela função G( s) 
1
s  0.5s  1
2
Bode Diagram
50
40
30
Magnitude (dB)
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
Phase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
0
10
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Figura
G( s) 
8.4
-
1
s  2 n s  n2
2
Diagrama
de
Bode
do
sistema
representado
pela
função
com ωn=1 e ζ=1, 0,5, 0,25, 0,05, 0,005
Como é encontrada a RF teórica:
Facilita muito, mas muito mesmo, se a FT estiver na forma:
 s2
2s   s 2
2s   dt
K b ( z1s  1)...( zp s  1) 2 
 1... 2 
 1 e s ...


 nz1 nz1   nzq nzq 
FT ( s) 
 s2
2s   s 2
2s 
s N ( p1s  1)...( pv s  1) 2 
 1 ... 2 
 1

 


np
1
np
1
nzu
nzu


 
conhecida como Forma de Bode.
Dado a natureza periódica (senoidal) da excitação, para encontrar a RF de um sistema,
toma-se sua FT(s) e substitui-se s por j, encontrando FT(j).
Essa é uma função complexa (tem parte real e parte imaginária). O módulo ou magnitude
ou relação de amplitudes RA da FT(j) é calculada fazendo-se:
 Relação de amplitudes:
RA  Re( FT ( j )) 2  Im( FT ( j )) 2
RAdB (dB)  20 log( RA)
enquanto que para a defasagem ou ângulo de fase :
 Ângulo de fase:
  Tg 1
Im( FT ( j ))
Re( FT ( j ))
observados os devidos quadrantes, coisa que a máquina de calcular e o MATLAB
ignoram.
A seguir estão mostradas as principais funções e os respectivos valores de RA e .
Tabela 8.1 - Principais funções e respectivas RA e 
2.1 Condições de Estabilidade
As condições de estabilidade são obtidas analítica ou graficamente. Já vimos que o
conceito de estabilidade relativa é uma espécie de margem de segurança do sistema. Pelo valor
da margem é possível dizer o quão estável é o sistema. Existem, para os métodos da resposta em
frequência, a margem de ganho e a margem de fase. Ambas são obtidas a partir das curvas de
Resposta em Frequência (RF) da Malha Aberta (MA).
2.1.1 Margem de Ganho (MG)
Como o próprio nome diz é o quanto de ganho pode ser excedido no sistema até que esse
se comporte instavelmente. É medido na frequência onde a defasagem  = ± 180° na Resposta
em Frequência de Malha Aberta (RFMA). Essa frequência chama-se , ou frequência de
cruzamento de fase. Daí:
MG 
1
1

 MGdB   RAdB ( )
GH ( j ) RA( )
Se MG<1 ou MGdB<0 então o sistema é instável
2.1.2 Margem de fase (pm)
Analogamente, é o quanto de defasagem pode ser excedido no sistema até que ele se
comporte instavelmente. É medida na frequência onde a RA=1 (RAdB = 0) na RFMA. Essa
frequência chama-se 1, ou frequência de cruzamento de ganho. Daí:
 pm  180o  arg[ GH (1 )]
Se pm<0 então o sistema é instável.
Pelo diagrama de Bode de GH(j), pode-se analisar a estabilidade relativa de um sistema.
Um sistema será estável se tiver Margem de Ganho (MG) e Margem de Fase (pm)
positivos.
Em outras palavras, o ganho em dB do sistema deve ser menor que 0 quando o ângulo de
fase for –180o, e a fase do sistema deve ser maior que –180o quando o ganho em dB for 0.
Figura 8.5 - Diagrama de Bode mostrando margem de ganho e margem de fase
2.1.3 Comandos no Matlab
Seja P(s) uma função racional em s do tipo:
P( s ) 
num( s)
den( s)
onde: num(s), den(s) são polinômios em s.
Para desenhar os Diagramas de Bode, digita-se:
bode( num, den, w )
onde num e den serão vetores contendo os coeficientes, em ordem decrescente de
potência de s, de num(s) e den(s), respectivamente. A inclusão de w no comando é opcional.
Assim como no Lugar das Raízes, o MATLAB assume total comando sobre o gráfico
traçado. Embora seja simples esse comando exige CUIDADO, porque o MATLAB assume por
conta própria em que quadrante está .
Para desenhos menos acurados dos Diagramas de Bode, digita-se:
fbode ( num, den, w )
O objetivo dessa rotina é o de desenhar os Diagramas de Bode mais rapidamente, mas à
medida que os computadores se tornaram mais rápidos essa rotina perdeu um pouco o sentido.
A escolha da escala da frequência  é feita usando-se o comando logspace.
w=logspace(inicial,final) gera 50 pontos espaçados na escala log.
10inicial<  < 10final [rd/s].
w=logspace(inicial,final,N) gera N pontos espaçados na escala log.
Finalmente a estabilidade relativa é tratada com o margin.
[Gm, Pm,Wcg ,Wcp]  margin( den, num,[w])
onde:
Gm • margem de ganho;
Pm • margem de fase;
Wcg • frequência de cruzamento de ganho e
Wcp • frequência de cruzamento de fase.
A inclusão de w no comando margin é opcional também.
Digitando só margin ( den, num, w ) o MATLAB desenha os diagramas de Bode
mostrando neles a estabilidade relativa. Esse comando é mais interessante do ponto de vista de
controle.
2.2 Especificação de desempenho transitório pelo diagrama de Bode
A exemplo do que foi analisado para o domínio da frequência, também em termos de
resposta em frequência podem-se estabelecer as especificações correspondentes àquelas de
desempenho no domínio do tempo. No caso de resposta em frequência essas especificações são
dadas em termos de margem de ganho (MG) e margem de fase (MF) ou seja são estabelecidos
intervalos aceitáveis tais como:
6dB  MG  12dB,
e
30o  MF  65o
Considerando esses intervalos podem ser derivadas relações como as que seguem que
quantizam as especificações de desempenho em termos de resposta em frequência:
Considerando um diagrama de blocos genérico como o da figura a seguir e com
G( s) 
n2
s( s  2 n )
R
tem-se:
n2
C ( s)
T ( s) 

R( s) s 2  2 n s  n2
G(s)
C
Para G( j )  1 e considerando-se que c  n
fase resulta em MF  1800  G( jc )  tan 1
1  4 4  2 2 , então a margem de
2
1  4 4  2 2
 100 fornecendo uma relação
entre MF e 
A aproximação linear se aplica apenas para valores de  no intervalo 0    0,6 como
pode ser visto na figura a seguir. Para a faixa de valores aceitáveis da taxa de amortecimento 
0,3    0,7 a faixa de valores da margem de fase resulta em: 30o  MF  65o.
Relação entre MF e taxa de amortecimento
45
40
Margem de fase [graus]
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Taxa de amortecimento
Figura 8.6 – Gráfico da relação entre margem de fase e amortecimento
2
MF  1800  G( jc )  tan 1
 100
4
2
1  4  2
Observações ( Ogata )
A correlação resposta em frequência – resposta transitória existente para o sistema de
segunda ordem padrão é aplicável para sistemas de maior ordem dependendo da presença de um
par de pólos complexos conjugados de malha-fechada dominante nestes últimos sistemas.
Portanto se a resposta em frequência de um sistema de maior ordem é dominada por um par de
pólos complexos conjugados de malha fechada, a correlação resposta em frequência – resposta
transitória existente para o sistema de segunda ordem pode ser estendida para o sistema de maior
ordem.
Para sistemas de ordem maior, estão disponíveis técnicas matemáticas para a obtenção da
correlação exata, porém muito trabalhosas e de valor prático discutível.
2.3 Aproximação assintótica: Idéia Básica
Considerando uma representação genérica da função de transferência de malha aberta
como segue:
G ( j ) 
m1
m
k 1
n1
i m1 1
n
K N  ( j k  1)  [1  ( / ni ) 2  j 2i ( / i )]
( j )
N
 ( j   1) [1  ( / 
l
l  N 1
q n1 1
onde m≤n.
)  j 2 q ( / nq )]
2
nq
Como se pode observar nessa função de transferência há três tipos de termos básicos que
representam 5 sistemas dinâmicos básicos e que consideraremos a seguir:
1)
KN
,
( j ) N
2) (1  j )  p ,
3) [(1 - (/n ) 2 )  j 2 ( / n )] p
2.3.1 Assíntotas de ganho, de integrador e de diferenciador
KN
( j ) N
 KN 
  Lm( K N )  20  N  log 10( )
O módulo é Lm
N 
 ( j ) 
Num diagrama de Bode esta expressão representa uma linha reta cuja inclinação é 20NdB/década ou -20Nlog10(2)  -6N dB/oitava.
A sua intercessão com a linha de 0 dB satisfaz a equação:
Termo 1)
log10(KN)-Nlog10() = 0 or  = (KN)(1/N).
Por sua vez o ângulo é dado pela expressão:
 KN 
  K N  N  90   N  90 para KN>0.

N 
 ( j ) 
Comandos no MATLAB:
ganho=tf(10,1);
integrador=tf(10,[1 0]);
diferenciador=tf(10*[1 0],1);
bode(ganho, integrador, diferenciador);
title('Diagramas de Bode de 10, 10/s e 10s');
grid
Diagramas de Bode de 10, 10/s e 10s
60
Módulo (dB)
40
20
0
Fase (deg)
-20
90
45
0
-45
-90
10
-1
10
0
10
Frequência (rad/sec)
1
10
2
2.3.2 Assíntotas de pólos e de zeros reais
Termo 2) (1  j )  p
O módulo é Lm(1  j ) p  20   p  log10(1  ( )2 )0.5
para  << 1
 0

   20 p  log 10(2)  3  p para  = 1
  20 p  log 10( )
para  >> 1

A aproximação por assíntotas consiste de duas linhas retas que se encontram em 1/
sendo a primeira horizontal, ou seja, 0 dB para frequências < 1/ e as outras com inclinação de
+p*20dB/década (+6 dB/oitava), a relativa aos zeros e -p*20dB/década (-6 dB/oitava), a relativa
aos pólos, ambas para frequências > 1/.
A frequência 1/ é chamada de frequência de corte ou de canto.
A expressão do ângulo de fase é dada pela expressão:
(1  j ) p   p  arctan( )
Comandos no MATLAB:
polo_real=tf(1,[10 1]);
zero_real=tf([10 1],1)
bode(polo_real, zero_real)
grid
title('Diagramas de Bode de 1/(10s+1) e (10s+1)');
Diagramas de Bode de 1/(10s+1) e (10s+1)
40
Módulo (dB)
20
0
-20
-40
90
Fase (deg)
45
0
-45
-90
-3
10
10
-2
10
-1
Frequência (rad/sec)
2.3.3 Assíntotas de pólos e de zeros complexos
Termo 3) [(1 - (/n )2 )  j 2 ( / n )] p
10
0
10
1
   2
 
O módulo é Lm1     j 2
  n 
n 


p
2 2
2








2


  p  20  log 10 1     (2 )   
  n  
 n  




 0


   p  20  log10(2  )


 
  p  40  log10  
 n 

0.5

 1
n

para
1
n

para
 1
n
para
A aproximação por assíntotas consiste de duas linhas retas que se encontram em n sendo
a primeira horizontal, ou seja, 0 dB para frequências < n e as outras com inclinação de
+p*40dB/década (+12 dB/oitava), a relativa aos zeros e -p*40dB/década (-12 dB/oitava), a
relativa aos pólos, ambas para frequências > n.
A frequência n é também chamada de frequência de corte ou de canto.
A expressão do ângulo de fase é dada pela expressão:
  
 
1     j 2
  n 
n 


2
p


 2  

n 
  p  arctan 
2 
   
 1     
  n 
Gráfico de módulo do Diagrama de Bode de pólos complexos para vários fatores de
amortecimento.
Gráfico de fase do Diagrama de Bode de pólos complexos para vários fatores de
amortecimento.
Exemplo:
Trace o diagrama de Bode para G(s)  (s  3) /[( s  2)(s 2  2s  25)] .
Solução: Identifique o ganho e as frequências de corte reescrevendo G(s) como:
3
 s 
 * 25 1  
2
 3 
G( s) 
2
 s   2 * 0.2 * s   s  
1  1  
  
5
 2  
 5 
Ganho = 0.06 = 20log10(0.06) dB = -24.4370 dB.
Frequências de corte
3 rad/seg
2 rad/seg
5 rad/seg
Assíntotas
+20dB/década
-20 dB/década
-40 dB/década
Fator de amortecimento: 0.2 (8 dB no pico de ressonância)
Faixa de frequência de interesse: 0.2<<50 rad/seg
Gráficos de módulo do Diagrama de Bode: (a) com assíntotas e (b) corrigido.
Gráficos de fase do Diagrama de Bode: (a) com assíntotas e (b) corrigido.
Comandos no MATLAB:
G=tf( [1 3], conv( [1 2], [1 2 25] ) );
zpk(G);
bode(G)
grid
title('Diagrama de Bode de G(s)=(s+3)/[(s+2)(s^2+2s+25)]');
-10
Diagrama de Bode de G(s)=(s+3)/[(s+2)(s2+2s+25)]
Módulo (dB)
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
0
Fase (deg)
-45
-90
-135
-180
-1
10
10
0
10
1
10
2
Frequência (rad/sec)
Diagrama de Bode resultante de G(s)  (s  3) /[( s  2)(s 2  2s  25)]
2.4
Projeto de compensador de atraso usando o diagrama de Bode
Para apresentar a metodologia de projeto de compensador de atraso usando o diagrama de
Bode, consideremos a função de transferência genérica representativa de um compensador de
1
s
T , e como exemplo de modelo de Planta a função
atraso expressa pela função Gc ( s )  K c
1
s
Tβ
1
de transferência em malha aberta G( s)  3
.
2
s  8s  17 s  10
Considerando também as especificações de malha fechada desejadas tais como
  0,7 ; essp  5% , então, para se atingir esta especificação de erro de regime estacionário, o
1  essp
ganho de malha aberta deverá ser maior que Kˆ p 
 19 , que leva a um erro de regime
essp
1
 0,9 (90%) .
1 K p
Assim, são apresentados a seguir, de forma resumida, passos que devem ser tomados para
o projeto do compensador.
estacionário de posição essp 
1º passo: Determinar o ganho de regime estacionário adicional necessário para
satisfazer o erro de posição pretendido
Ganho adicional K 
Kˆ p
Kp
 190
Respostas a degrau unitário de malha fechada com K=1 e K=190:
2º passo: Obter o diagrama de Bode com o ganho adicional e determinar a
frequência em que a fase satisfaz a margem de fase necessária.
Diagrama de Bode de KG(s)
Margem de fase desejada:   0,7  MF  65o
Margem de fase necessária: MFn=65º+5º=70º.
(Nota: 5º é um fator de compensação estimado para o efeito do compensador)

Nova frequência de corte ou de canto (vermelho): c=1,6 rad/seg.
3º passo: Determinar o zero do compensador.
Zero do compensador:
c
10
 z 
c
2
 z  0,2 .
4º passo: Determinar a constante 
Redução do ganho necessário na frequência de corte ou de canto (verde): 18,5dB
Constante  do compensador:  20 log10 β  -18,5  β  8,5
Pólo do compensador:  p 
z
8,5
 0,024 .

5º passo: Determinar o ganho do compensador.
Ganho do compensador: K c 
K
 22,4 .
β
Função de transferência do compensador: Gc ( s)  22,4
Diagrama de Bode de Gc(s)G(s):
Resultado: MF=65,7º65º.
Resposta do sistema compensado de malha fechada:
s  0,2
.
s  0,024
Satisfatório? Se não, repetir com  maior (o que permite reduzir Kc).
(Nota: a oscilação verificada resulta de pólos com amortecimento inferior a 0,7, no
entanto, o sistema não ultrapassa o valor final.)
Comparação dos diagramas de Bode dos sistemas Gc(s)G(s) e KG(s):
2.5 Projeto de Compensador avanço-atraso
•
Filosofia geral do procedimento de projeto:
– Parte em avanço do controlador: ajustar a curva de Bode de fase, a fim de estabelecer
a MF desejada na frequência especificada, sem reduzir o valor da relação de
amplitudes ou magnitude na frequência zero.
– Parte em atraso do controlador: atenuar a curva de magnitude a 0dB nesta frequência
especificada. O compensador em atraso deve atenuar a magnitude da combinação
série do compensador em avanço Gc_av(s) e do processo Gp(s) na frequência
escolhida.
– Assim, no procedimento aqui apresentado, o compensador em avanço deve ser
projetado primeiro.
•
Para este procedimento, o sistema a ser compensado deve ter as seguintes características:
– A fase do sistema não compensado na frequência de cruzamento de ganho escolhida
deve ser mais negativa do que o valor necessário para se satisfazer a especificação de
margem de fase (caso contrário, não seria preciso uma compensação em avanço).
– A curva do diagrama de Bode de magnitude (após o projeto do controlador em
avanço) deve estar acima de 0dB nesta frequência especificada para a frequência de
cruzamento de ganho (caso contrário, não seria necessária uma compensação em
atraso, bastaria colocar um ganho adicional).
– O compensador avanço-atraso básico possui dois estágjos, um para a compensação
em avanço e outro para compensação em atraso.
–
–
Se for desejado apenas um estágio de avanço, o valor máximo necessário para se
mover a curva de fase, de modo que a especificação de MF possa ser satisfeita na
frequência de cruzamento de ganho, deve ser menor do que 90o. Geralmente, este
valor máximo está restrito na faixa entre 55o e 65o.
Se for desejadaoapenas um estágio de atraso, é necessário que a curva de magnitude
possa ser atenuada até 0dB na frequência de cruzamento de ganho sem o uso de
componentes com valores muito elevados.
•
Sistema compensado:
– A frequência de cruzamento de ganho (frequência correspondente a um ganho de
0dB) e a largura de banda do sistema com compensador avanço-atraso podem ser
menores ou maiores do que aqueles do sistema não-compensado (apenas o processo)
ou do que aqueles do sistema após o ajuste da especificação do erro de regime
permanente.
– Isso depende do valor escolhido para a frequência de cruzamento de ganho.
– Quanto maior a frequência de cruzamento de ganho, mais rápida será a resposta do
sistema no domínio do tempo (por quê?). Uma maior velocidade de resposta pode ser
uma vantagem em muitas aplicações, mas uma das desvantagens de uma largura de
banda maior é que mais ruído e outros sinais de alta frequência (normalmente
indesejados) passarão pelo sistema. Uma menor largura de banda também resulta em
uma robustez maior do sistema quando ele possui dinâmicas de alta frequência não
modeladas, como os modos de flexão em aeronaves e veículos espaciais.
•
Estrutura do compensador:
 1 ( s  zc _ av )   1 ( s  zc _ atr ) 
Gcavatr ( s)  K c 


  ( s  pc _ av )    ( s  pc _ atr ) 
 ( s zc _ av  1)   ( s zc _ atr  1) 
 Gcavatr ( s)  K c 


 ( s pc _ av  1)   ( s pc _ atr  1) 
 Gcavatr ( s)  K c
Gcavatr ( s)  K c
(av s  1) (atr s  1)
(av s  1) (atr s  1)
(av s  1) (atr s  1)
(av s  1) (atr s  1)
 z

1
1
c _ av
z

0
,
p

0
,


 1, av 

c _ av
 c _ av
pc _ av
zc _ av  pc _ av


 z
1
1
c _ atr
z
 1, atr 

c _ atr  0, pc _ atr  0,  

pc _ atr
zc _ atr  pc _ atr

•
Diagramas de Bode do compensador avanço-atraso ( = 1/):
•
Características do compensador:
– Atenuação da magnitude nas frequências intermediárias;
– Deslocamento de fase positiva em frequências um pouco mais altas;
– Frequência positiva máxima:  = max  média geométrica de zc_av e pc_av .
– Mínimo valor da frequência de magnitude: (aproximadamente) na frequência
correspondente à média geométrica de zc_atr e pc_atr .
– O grande deslocamento de fase negativo em frequências intermediárias é indesejado
mas inevitável.
– Um projeto satisfatório do compensador requer que os pólos e zeros sejam
apropriadamente posicionados de maneira que os benefícios do deslocamento de fase
positiva e da atenuação de magnitude sejam obtidos na frequência correta, sem que o
deslocamento de fase negativo cause problemas.
•
Procedimento de projeto:
– (costuma-se primeiro projetar o compensador em avanço e, a seguir, o compensador
em atraso.)
– Especificações: erro em regime permanente, margem de fase e frequência de
cruzamento de ganho.
– Determine Kc para satisfazer a especificação de regime permanente.
– Trace o diagrama de Bode de G(s) = Kc Gp(s).
– Projete a porção em avanço compensador avanço-atraso:
• Determine o deslocamento de fase de G(j) na frequência de cruzamento de
ganho especificada e calcule a MF do sistema não-compensado (assumindo que a
frequência de cruzamento de ganho especificada define a MF do sistema não
compensado);
• Calcule os valores de max e  necessários para elevar a curva de fase até o valor
necessário para satisfazer a especificação de MF.
• Utilize o valor de  e da frequência de cruzamento de ganho especificada para
calcular o zero zc_av e o pólo pc_av do compensador em avanço.
– Projete a porção em atraso do compensador avanço-atraso:
• Determine a magnitude de G(j) na frequência de cruzamento de ganho
especificada;
• Determine o deslocamento na curva de magnitude no valor da frequência de
cruzamento de ganho especificada causada pelo compensador em avanço;
• Determine a atenuação necessária na magnitude para que o sistema composto pelo
processo + compensador em avanço tenha um módulo de 0dB na frequência de
cruzamento de ganho especificada, e calcule o valor de ;
• Utilizando os valores de  e da frequência de cruzamento de ganho especificados,
calcule o zero zc_atr e o pólo pc_atr do compensador em atraso.
Exemplo: Considere um processo modelado por G p ( s) 
2
s2
Projete um compensador avanço-atraso para o processo, para que o sistema compensado
atenda às seguintes especificações:
- erro em regime para uma entrada parabólica: ess = 0,0125;
- MF  45o;
- c’  5 rd/s
Solução:
1) O processo não compensado possui um erro de regime dado por:
1
1
ess  lim sE( s)  , ka  lim s 2 G p ( s)  2  ess   0,5
s 0
s

0
ka
kv
Com um compensador em avanço, a constante de erro de aceleração (constante de erro
para uma entrada parabólica) passa a ser dado por:
ka  lim s 2 G( s)  lim s 2 Gc ( s)G p ( s)  K c  2
s 0
s 0
1
1
 ess 

 0,0125 (pela especificação)
ka 2  K c
1
80
 ka 
 80  K c 
 40
0,0125
2
40  2 80
 2
Assim: G( s)  K cG p ( s) 
s2
s
2) Traça-se agora o diagrama de Bode de G(j) para a combinação série do ganho do
compensador e o sistema Gp(j) ( = Kc Gp(j) = 80 / s2 ). Esta será a função de transferência a
ser utilizada para determinar a localização dos pólos e zeros.
3) Determinar (s / zc_av + 1) (s / pc_av + 1). Os valores de zc_av e pc_av devem ser escolhidos
de modo que a especificação de MF em c’ seja atendida (veja que as porções das curvas
traçadas não são alteradas, e, portanto, a especificação de erro em regime continuará sendo
atendida).
•
Objetivo do compensador em avanço: contribuir com uma fase positiva, de modo a
aumentar a fase do sistema compensado e atender a especificação de MF. Para tanto, é
necessário determinar o deslocamento de fase positiva exigida.
MF do sistema não compensado:
MFsistema nãocomp.  180  G( jc )
Como o sistema é do tipo 2, e não há outros pólos e zeros  G (jwc) = – 180o
em todas as frequências.
 MFsistema nãocomp.  180  180  0
•
3) Conhecendo-se a MF acima, pode-se determinar o deslocamento de fase positiva que
deve ser fornecida pelo compensador em avanço.
•
max
Em c = 5 rd/s, G (jc) deve ser alterada de modo a atender à especificação de
MF ( 45o). Vamos incluir uma margem de segurança de 10o. Assim:
 MFsistema nãocomp  MFespecificada  10
 max  MFespecificada  10  MFsistema nãocomp
 max  45  10  0  55
Com max, pode-se determinar :
1 
   0,099
1 
e zc _ av / pc _ av    0,099
sin(max ) 
•
Último passo: determinar zc_av e pc_av .
– Observe que, no projeto do estágio em avanço do compensador avanço-atraso, não
precisamos determinar a nova frequência de cruzamento de ganho: este valor já está
especificado.
– O estágio em atraso atenuará o deslocamento na curva de magnitude causado pela
parte em avanço do compensador.
Conhecendo-se  e c, não há decisões adicionais a serem tomadas então basta calcular
zc_av e pc_av .
max 
1

av

1
 av 

1
1
 av   av
 5 rd / s   av 
 zc _ av 
1
 av
 1,5732 ;
 Gcav ( s)  K c
 zc _ av pc _ av  c  5 rd / s
1
5 

1
 0,6356
5 0,099
pc _ av 
 av s  1
 40
  av s  1
z
1
 c _ av  15,891
 av

 0,6356 s  1  ( s 1,58  1) 
 0,0629 s  1   ( s 15,9  1) 

 

Estágio em atraso do compensador
•
Diagramas de Bode de magnitude e fase de Gc_av(s)Gp(s):
– Curva de fase: valor correto em  = 5 rd/s
– Curva de magnitude: deslocado de 0dB
Estágio em atraso do compensador  atenuar a magnitude de Gc_av(s)Gp(s) para 0dB
na frequência de cruzamento de ganho especificada (c).
– Determinação de :
– Para  >> zc_atr (e, portanto, do que pc_atr): | Gc_atr(s) | = – 20 log()
Como determinar ?
•
•
Vimos que um compensador em atraso, para  >> zc_at = 1/at :
 at ( j )  1
dB 
 at ( j )  1
•
( j ) 
1
1
 at
1
 
dB 
 20 log 
1

   ( j ) 
 at
Esta atenuação deve trazer o ganho do sistema+Gcavanço para 0dB na frequência de
cruzamento fornecida, ’c = 5 rd/s:
Gc ( j 'c )G p ( j 'c ) dB 
 av ( j 'c )  1
80
dB 
 av av ( j 'c )  1 ( j 'c ) 2




80
1
  10,10dB  10,03dB
  20 log
 20 log
2 
  ( 0,099) 
  'c ( 5) 
av


Ganho do compensador em avanço em max
20,13
20
•
•
 10,15
Assim:  20 log   20,13dB    10
Este valor de  irá fornecer a atenuação necessária em  = 5rd/s para que esta seja a nova
frequência de cruzamento de ganho do sistema.
•
A última etapa do projeto do compensador avanço-atraso é determinar o valor do pólo e
do zero da porção em atraso do compensador.
Como nos procedimentos anteriormente descritos para um compensador em atraso,
sugere-se posicionar o zero do compensador (cuja frequência é maior do que a do pólo)
uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho.
z
5
0,5
 0,5  patr  atr 
 0,049
10
 10,15
Portanto, a função de transferência final do compensador avanço-atraso é dada por:
Assim: zatr 
Gcav _ atr 
40 (0,634 s  1) (2 s  1) 39,6 ( s  1,58) ( s  0,5)

(0,063 s  1) (20,3 s  1)
( s  15,9) ( s  0,049)
Observe que a especificação para o erro em regime foi satisfeita:
Kv  lim s 2 Gcav _ atr G p ( s) 
s 0
40  2
 80
1
Para verificar a especificação de MF, trace o diagrama de Bode de malha aberta do
sistema compensado:
Considerações
•
•
•
•
•
A compensação no domínio da frequência pode ser resumida por:
Adição de um ganho em baixas frequências para melhorar o desempenho em regime.
Adição de um ângulo de fase na MF desejada para melhorar a resposta transitória.
A frequência da MF (ou frequência de cruzamento de ganho) aproxima a largura de
banda de malha fechada. A adição de um ângulo de fase pode ser usada para se realizar
um projeto para uma largura de banda desejada e/ou margem de fase desejada.
Elementos fundamentais da abordagem:
Traduzir especificações fornecidas em largura de faixa de malha fechada e/ou
especificações de margem de fase.
O controle da largura de faixa se dá pela seleção da frequência relativa ao 0dB (a
frequência de cruzamento de ganho).
Considerações e   MF
•
•
O controle da margem de fase se dá pela seleção do ângulo de fase correto na freqüência
de cruzamento.
Pode-se aproximar a largura de faixa pela frequência de cruzamento de ganho, que é a
frequência relacionada à MF.
MF  tan 1
2
 2 2  1  4 2
Aproximação: Margem de fase ~ 100*razão de
amortecimento.
Damping ratio vs. Phase Margin
1
Exact Relation
Approximation:PM/100
0.9
0.8
0.7
Damping Ratio
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
Phase Margin
60
70
80
Máximo sobressinal  MF
•
Margens de fase de 40 a 60 graus correspondem a sobressinais percentuais máximos
de 30 a 10 %.
Transient-response overshoot vs. phase margin
100
90
Transient-response peak overshoot (%)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
Phase Margin (degrees)
60
Largura de faixa normalizada  
•
•
Sistemas subamortecidos: BW ~ Frequência Natural
Sistemas sobreamortecidos: BW ~ 0.5* Frequência Natural
70
80
Bandwidth/Natural Frequency vs. damping ratio
1.6
1.5
1.4
Bandwidth/Natural Frequency
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Damping ratio
0.7
0.8
0.9
1
Compensação em avanço
•
•
•
Kc é selecionado de modo que A seja a BW de malha fechada desejada.
max é selecionada próximo a A para que a fase máxima do compensador seja
fornecida próxima à frequência de cruzamento de ganho.
Como o ganho do compensador não é unitário em A, o compensador modifica a
frequência de cruzamento de ganho para C.
3 Diagramas Polares
O diagrama polar é a RF na forma polar, ou seja, num mesmo gráfico são traçadas as
relações RA(j) versus (j).
Normalmente, é um gráfico que não exige um traçado tão preciso como os Diagramas de
Bode, até porque, na maioria dos casos, fazem-se primeiro os esboços dos Diagramas de Bode
para depois fazer o esboço do Diagrama Polar.
a)
b)
Diagrama polar
90
Diagrama polar
90
2.5
120
60
2
120
60
2
1.5
1.5
150
30
1
150
30
1
0.5
0.5
180
0
210
330
240
300
270
180
0
210
330
240
300
270
Figura 8.7 - Diagramas Polares de sistemas representados pelas funções:
1
1
a) G( s)  2
e b) G( s)  2
( s  0.5s  1)(s  1)
s  0.5s  1
Entretanto, o diagrama polar não é tão utilizado quanto o Diagrama de Estabilidade de
Nyquist que será mostrado a seguir.
3.1 Critério de Nyquist
O critério de Nyquist surgiu por volta de 1932 e na época representou um grande avanço
na análise de sistemas de controle. Através da resposta em frequência da malha aberta de um
sistema de controle tornou-se possível determinar completamente sua estabilidade. A teoria do
critério é muito interessante e vale a pena conferir como o critério se desenvolve a partir de
fundamentos básicos de variáveis complexas.
Para aplicação do critério são necessários se possível, o esboço dos Diagramas de Bode, o
percurso de Nyquist, construído a partir dos pólos da MA (dele se tira o P0, número de pólos no
Semi Plano Direito (SPD)), o Diagrama de Estabilidade de Nyquist (DEN) como pode ser visto
na fig. 8.8, construído a partir do diagrama polar, que por sua vez pode ser feito usando-se os
Diagramas de Bode.
Desse DEN, se tira N, o número de envolvimentos do ponto (1, 180°) e a equação
fundamental do Critério de Nyquist: N=Z0=P0, sendo Z0 o número de zeros (raízes) da equação
característica localizados no SPD.
Diagrama de Estabilidade de Nyquist
2.5
2
1.5
Eixo Imaginário
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Eixo Real
Figura 8.8 - Diagrama de estabilidade de Nyquist do sistema representado pela função
1
G(s)  2
s  0.5s  1
3.1.1 Comandos do Matlab
No MATLAB é possível desenhar uma boa parte do DEN - justamente a parte mais
braçal. Porém, toda a interpretação fica por conta do usuário, inclusive, completar o DEN.
Seja P(s) uma função racional em s do tipo:
P( s ) 
num( s)
den( s)
onde: num(s) e den(s) são polinômios em s.
Para desenhar o Diagrama Polar no MATLAB digita-se:
nyquist( num, den, [w] )
onde num e den são vetores contendo os coeficientes, em ordem decrescente de potência
de s, de num(s) e den(s), respectivamente. A inclusão de w no comando também é opcional.
A escolha da escala da frequência w também é feita usando-se o comando logspace.
Percurso de Nyquist
É uma figura simétrica e fechada que representa o percurso feito para contornar e
envolver completamente todo o SPD do plano complexo.
Figura 8.9 - Percursos envolvendo todo o SPD.
A fig. 8.9 mostra dois possíveis contornos para o SPD. O percurso da esquerda é pouco
prático enquanto que o da direita é o utilizado pelo Nyquist.
Nessa figura traçamos todos os pólos da FTMA e contamos todos os que estiverem
DENTRO (envolvidos) da figura. O número de pólos dentro da figura é P0.
A fig. 8.6 mostra um percurso de Nyquist completo. Repare que quando há pólos da
FTMA localizados sobre o eixo imaginário, esses não são envolvidos pelo contorno, pelo
contrário, são excluídos dele. Por isso, esses pólos não contam em P0.
Posteriormente, cada ponto do contorno será levado para um outro plano, o plano
FTMA(s) através de mapeamento. O mapeamento feito pela FTMA possui certas características
e propriedades e resultará numa figura também fechada e na equação fundamental do critério de
Nyquist:
N=Z0-P0
Figura 8.6 - Percurso de Nyquist Completo.
Regras para fazer o mapeamento do percurso de Nyquist:
1. sobre o eixo complexo j substituiu-se s da FTMA por j, ou seja, o mapeamento
coincide com o diagrama polar para valores positivos de  e com a imagem especular desse para
valores negativos de . Essa regra não se aplica quando há pólos localizados sobre o eixo j
(integradores e componentes de 2a ordem não amortecidos):
2. o resto do percurso é feito fazendo-se
Diagrama de Estabilidade de Nyquist
O Diagrama de Estabilidade de Nyquist é uma figura simétrica e também fechada
desenhada sobre o plano [ImGH(s) x ReGH(s)] e obtida pelo mapeamento do plano -j para
-<<+ usando as regras descritas quanto tratamos do percurso de Nyquist. Esse diagrama irá
fornecer N, o número de envolvimentos do ponto ( -1, 0j ou 1, 180o ).
Figura 8.7 - Diagrama de estabilidade de Nyquist para a FTMA:
feito no Matlab : nyquist([1 1], [1 2 3 5])
3.2 Carta de Nichols
A Carta de Nichols é o nome que se dá a uma determinada folha de papel usada para
desenhar o gráfico da RFMA. Além de ser uma maneira de se determinar a estabilidade do
sistema a partir da RF (teórica ou experimental), a carta de Nichols permite, ao mesmo tempo,
obter facilmente a RFMF.
A figura abaixo mostra um exemplo de uma das Cartas de Nichols.
Figura 8.8 - Exemplo de uma Carta de Nichols feita no MATLAB - comando ngrid (
‘new’ )
De pose da RFMF, pode-se, ainda, determinar alguns parâmetros do desempenho do
sistema em MF. A única restrição do método é que esse só pode ser aplicado a sistemas de
controle com realimentação unitária.
Para aplicar o método , você precisa de:
ingredientes:
1. uma Carta de Nichols virgem;
2. a RFMA do sistema em questão (não se esqueça de que esse opera com realimentação
unitária) - Tanto faz se em forma de tabela (melhor) ou gráfico. O importante é que você tenha à
mão uma relação de pontos , RAMAdB e MA.;
3. uma folha de papel para você fazer uma tabela de pontos (reserve);
4. uma ou duas folhas de papel mono-log;
Modo de fazer:
1. trace os pontos da RFMA (RAdBMA x MA) sobre a Carta de Nichols - no eixo das
abcissas localiza-se a escala da defasagem  da MA e no eixo das ordenadas, a escala da RAdB
da MA. Essas molduram externamente a Carta de Nichols. ( não se esqueça de, para cada ponto
traçado, anotar ao lado desse a correspondente frequência 
;
2. una (ligue) os pontos sucessivamente com linhas - respeitando-se a o sentido de
crescimento da frequência  ( o resultado é a Curva da RFMA do sistema sobre a Carta de
Nichols;
3. determine a estabilidade relativa do sistema, medindo KgdB e PM - esses parâmetros
são lidos sobre a moldura externa da Carta de Nichols, onde estão localizadas a escala da
defasagem  da MA e a escala da RAdB da MA;
4. a leitura da RFMF se faz lendo as curvas desenhadas internamente à Carta - existem
duas famílias de curvas de nível desenhadas dentro da Carta de Nichols: uma das famílias
corresponde a dos valores constantes de defasagem f da MF, a outra família irá corresponder aos
valores constantes de RAdB da MF ( essas curvas vão fornecer, para cada ponto que você traçou
e indicou , os correspondentes valores de RAdBMF e MF;
5. anote os valores de , RAdBMF e MF em forma de tabela na folha de papel reservada
para isso;
6. transfira os pontos da tabela anterior para a folha de papel mono-log;
7. una (ligue) os pontos sucessivamente com linhas. O resultado é o Diagrama da RFMF
do sistema a partir da Carta de Nichols.
Comandos no Matlab
No MATLAB é possível desenhar inteiramente a Carta de Nichols.
Seja P(s) uma função racional em s do tipo:
onde: num(s) e den(s) são polinômios em s.
Para desenhar a Carta de Nichols no MATLAB digita-se:
nichols( num, den, [w] )
onde num e den são vetores contendo os coeficientes, em ordem decrescente de potência
de s, de num(s) e den(s), respectivamente.
Esse comando desenha a curva sobre os eixos externos, sem as curvas de nível internas.
Para desenhá-las também, digite:
ngrid( ‘new’ )
nichols( num, den, [w] )
exemplo: ngrid( ‘new’); nichols ([1 1]; [1 2 3 0]);
Figura 8.9 - Carta de Nichols da função:
Aproveite para estudar sua estabilidade relativa e avaliar seu desempenho.
Complemento da Teoria
A grande maioria das FTs encontradas em sistemas SLITs não possuem pólos ou zeros no
SPD do plano-s. Essas FT.s são chamadas de funções de transferência de fase mínima. Quando
uma FT possui ou pólos ou zeros ou ambos no SPD, ela é chamada de função de transferência de
fase não mínima.
Um critério de Nyquist mais genérico pode ser aplicado tanto para sistemas de mínima
fase quanto para os de fase não mínima.
Resumidamente, dado um diagrama polar de GH(j), o critério de estabilidade da MF de
um sistema de controle é baseado na equação:
, onde:
P • número de pólos de GH(j) que estão sobre o eixo j, incluindo a origem do planos;
P-1 • número de pólos de GH(j) que estão no SPD do plano-s;
11 • ângulo de fase deslocado no diagrama de Nyquist de GH(j) em relação ao ponto
(-1, 0j) desenhado desde  = + até  = 0+
exemplo:
Para a FT:
P = 1 (um pólo sobre o eixo j, incluindo a origem do plano-s) e P-1 = 0. A equação do
critério de Nyquist genérico fornece o valor que 11 que para o sistema ser estável deve
satisfazer
11 = - 90o
O que significa que o fasor com origem no ponto (-1, 0j) desenhado desde =+ até
=0+ no diagrama polar, deve deslocar-se um ângulo total de -90o.
Segundo KUO (p. 591), resumidamente, as propriedades de um sistema mínima fase são
as seguintes:
1. uma FT de mínima fase não possui nem pólos nem zeros no SPD ou no eixo j do
plano-s excetuando a origem;
2. para uma FT de mínima fase F(s) com m zeros e n pólos, excluindo os pólos em s = 0,
a variação de fase total de F(j) é (n - m).90o;
3. o valor de uma FT mínima fase não pode ser 0 ou  em qualquer frequência finita;
4. uma FT de fase não mínima sempre tem uma mudança de fase positiva na medida que
varia =+ até =0+.
Para K = 1:
11 = - 90o  sistema estável.
Para K = 10:
11 = 270o  sistema instável.
Bibliografia
1. Ogata K. Engenharia de controle moderno – Pearson Prentice/Hall do Brasil - 4ª
edição;
2. Distefano, J.J.; Stubberud, A.R.; Willians, I.J. Sistemas de retroação (realimentação) e
controle - Coleção Schaum - McGraw-Hill.;
3. Kuo, B.C. Sistemas de controle automático - Prentice/Hall do Brasil. Cap. 9 Análise no
Domínio da Frequência dos Sistemas de Controle, p.504-583;
4. D.Azzo, J.J.; Houpis, C.H. Análise e projeto de sistemas de controle lineares Guanabara Dois. Cap. 8 Resposta em Frequência, p.223-268;
5. Kuo, B.C; Hanselman, D. C. MATLABÒ tools for control system analysis and design 2nd Ed. Prentice Hall
6. Ogata, K. Solving control engineering problems with MATLAB® - MATLAB
curriculum series - Prentice Hall, 1994 Chap. 6 Frequency-Response Plots, p.228-325.
7. Dorf, R.C.; BISHOP, R.H. Modern control systems - Addison Wesley - 1st Ed. 1995