A REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS SOLUÇÕES DE SISTEMAS DE
EQUAÇÕES LINEARES ATRAVÉS DO SOFTWARE GEOGEBRA: UM
ESTUDO DE CASO COM ALUNOS DO NONO ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Viviane Beatriz Hummes – Adriana Breda
[email protected] – [email protected]
UFRGS – PUCRS (Brasil)
Tema: TIC e Matemática
Modalidade: CB
Nível Educativo: Médio (11 a 17 anos)
Palavras-chave: Sistemas de Equações Lineares, representação geométrica, Geogebra,
autonomia.
Resumo
Este trabalho objetiva apresentar alguns resultados referentes a uma proposta de
investigação que aborda o estudo das soluções de Sistemas de Equações Lineares de
duas equações e duas variáveis, a partir de sua representação geométrica, através do
uso do software Geogebra. Para tanto, foi realizado um estudo de caso com alunos do
nono ano do Ensino Fundamental, em uma escola da rede pública de Porto Alegre, RS,
Brasil. Os dados foram coletados através de dois questionários, um identificando as
ideias prévias e o outro registrando as aprendizagens efetivadas no momento pósatividade, além dos registros constituídos através da prática da observação das aulas.
Os dados, analisados através da Análise Textual Discursiva, demonstram que, apesar
de alguns alunos apresentarem dificuldades na utilização do software, eles exerceram
as atividades com criticidade e autonomia. Ademais, evidenciaram compreender, a
partir da representação gráfica das equações no Geogebra, que a solução de um
Sistema de Equações Lineares de ordem 2 corresponde aos pontos de interseção
determinados pelas posições relativas entre as duas retas do sistema. Assim, os alunos
verificaram, a partir das relações estabelecidas entre a solução geométrica e a solução
algébrica, que estes sistemas não apresentam solução, possuem uma única solução ou
possuem infinitas soluções.
1. Contextualizando o problema de pesquisa
O estudo dos Sistemas de Equações Lineares e de suas soluções está inserido nos mais
diversos componentes curriculares da área da Matemática, sejam eles da Educação
Básica ou da Educação Superior. Sabe-se que, em termos de solução, todo Sistema de
Equações Lineares pode apresentar: nenhuma solução, exatamente uma solução ou uma
infinidade de soluções. Neste universo, apresentam-se muitos métodos para obtenção
das soluções de diversos tipos de Sistemas de Equações Lineares, contudo, a
compreensão da solução de um sistema a partir de sua representação geométrica, muitas
vezes, não é trabalhada nas aulas de Matemática por diversas razões. Compreendemos
que uma dessas razões está no fato de que a maneira como se apresenta a resolução de
Sistemas de Equações Lineares se dá através de procedimentos puramente mecânicos.
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Além disso, em muitos casos, essa resolução técnica e procedimental carece de uma
interpretação por parte dos alunos, que acabam por obter resultados sem atribuir
significados a estes. Nessa perspectiva, na visão do aluno, o resultado é apenas um
número.
Em muitas pesquisas relacionadas ao ensino de Sistemas de Equações Lineares, a
interpretação geométrica das soluções tem se mostrado de extrema importância e
utilidade como caminho para propostas didáticas, produzindo resultados significativos
em relação à aprendizagem dos alunos. Exemplos deste tipo de pesquisa são os
trabalhos de Jordão (2011) e Carneiro (1997), os quais apresentam discussões sobre as
resoluções algébricas e geométricas de Sistemas de Equações Lineares, através de uma
sequência didática, utilizando softwares de geometria dinâmica para representar
graficamente as soluções do sistema. Após o desenvolvimento das pesquisas, os autores
destacam a relevância da utilização dos softwares, e conclui que estes contribuíram para
a visualização e compreensão da resolução de Sistemas Lineares.
Assim, com a intenção de contribuir com as pesquisas relativas à interpretação
geométrica de Sistemas de Equações Lineares, este trabalho tem como objetivo abordar
o estudo das soluções de Sistemas de Equações Lineares de ordem 2, a partir de sua
representação geométrica, através do uso do software Geogebra. Desta forma, por meio
de um estudo de caso realizado com alunos do nono ano do Ensino Fundamental, em
uma escola da rede pública de Porto Alegre, RS, Brasil, pretendemos mostrar como a
interpretação geométrica pode subsidiar uma melhor compreensão das soluções dos
Sistemas de Equações Lineares de ordem 2.
2. De onde falamos
Justificamos nossa forma de trabalho, em sala de aula, trazendo como pano de fundo
uma das principais ideias de Freire (1987): a Educação Libertadora. A liberdade, da
qual o autor trata, não está traduzida no sentido de uma liberdade relativa e
individualizada, mas sim, como uma prática social que tem como principal enfoque a
tomada de decisão, de tal forma que, para ela acontecer, é necessário que o sujeito tenha
autonomia e criticidade nas suas ações. Estas últimas só podem ser construídas com
base no diálogo (Freire, 1987).
Nesse aspecto, concordamos com Portanova et al. (2005), que defende a ideia de que as
tecnologias em sala de aula são utilizadas para a construção do conhecimento e,
conforme a intervenção do professor e a interação com os colegas, podem apresentar
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soluções para determinados problemas, de forma que se efetive, além de uma
transformação da realidade, uma modificação na aprendizagem dos sujeitos envolvidos.
Pensando nessa possibilidade de transformação, compreendemos que, ao abordarmos as
soluções de Sistemas de Equações Lineares, a partir de sua visualização geométrica,
subsidiada pelo uso do software Geogebra, na aula de Matemática, promovemos uma
interação entre alunos, professor e o próprio software, pois este último se torna parte
integrante do processo do fazer matemática, proporcionando ao aluno uma conduta
investigativa, possibilitando-o criar conjecturas, comparar resultados, refutá-los ou
validá-los (Borba, 2010).
Compreendemos, também, que ao trabalharmos com alunos de uma faixa etária
compreendida entre 12 e 15 anos, faz-se necessário o entendimento do processo
cognitivo de aprendizagem dos mesmos. Um aspecto que diferencia a criança do
adolescente é que este apresenta maior habilidade em criar teorias abstratas, seja uma
nova filosofia, formas criativas de resolver problemas, etc. (Piaget, 2012). Nesse
sentido, reforça-se que a aprendizagem é um processo construtivo, que depende de
modo fundamental das ações do sujeito e de suas reflexões sobre estas ações, onde todo
conhecimento está voltado à ação (Gravina, 1998).
3. O caminho percorrido durante a investigação
A metodologia escolhida para essa pesquisa é a qualitativa que, segundo Moraes (2007),
pretende aprofundar a compreensão dos fenômenos que investiga a partir de uma
análise rigorosa e criteriosa desse tipo de informação. Além disso, trata-se de um estudo
de caso (Ponte, 1994), que foi realizado com uma turma de cinco alunos que cursam o
nono ano do Ensino Fundamental em uma escola da rede pública localizada no
município de Porto Alegre, RS, Brasil.
A coleta dos dados deu-se através de dois questionários realizados com os alunos, um
com a intenção de identificar as ideias prévias e outro para registrar as aprendizagens
efetivadas pelos estudantes após a realização das atividades propostas. Além disso,
foram feitos registros das observações participantes realizadas no decorrer das aulas
(Gerhardt & Silveira, 2009).
Em primeira instância, apresentamos aos alunos o software Geogebra, oferecendo a eles
a operacionalização de alguns comandos que poderiam vir a ser utilizados na atividade,
por exemplo: comando de entrada; interseção de dois objetos; janela de álgebra;
propriedades do objeto (cor, estilo); etc. Em seguida, para identificação das ideias
prévias, lançamos uma situação-problema de tal forma que, para solucioná-la, esperava-
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se que os alunos resgatassem seus próprios conhecimentos sobre Sistemas de Equações
Lineares de ordem 2. Logo após, perguntamos como eles poderiam representar o
resultado do problema, geometricamente, e se eles sabiam quais eram as posições
relativas entre duas retas. Em seguida, solicitamos aos alunos que construíssem os
gráficos das equações dos Sistemas de Equações Lineares propostos no software
Geogebra, cada sistema em uma janela de eixos distintos. A partir desta projeção,
pedimos aos alunos que marcassem os pontos de interseção das retas de cada sistema e,
assim, observassem geometricamente suas soluções, discutindo, na medida do possível,
os resultados obtidos com os colegas.
Após a discussão entre os pares, convidamos os alunos a responderem as questões do
questionário final. Na primeira questão, desafiamos os alunos a resolverem os mesmos
sistemas de forma algébrica, para que respondessem a seguinte questão: quais as
relações das imagens projetadas no Geogebra com o resultado algébrico que você
encontrou? Explique detalhadamente. Além disso, perguntamos aos alunos o que eles
haviam aprendido com a realização das atividades propostas e quais foram os
obstáculos encontrados para efetuá-las.
Tanto os questionários, quanto os registros da observação foram analisados a partir da
Análise Textual Discursiva de Moraes e Galiazzi (2007), a qual trabalha com a ideia de
unitarização, categorização e construção do metatexto, este último como produto de
uma inter-relação entre os dados, concepções teóricas escolhidas para a análise e a
capacidade compreensiva do pesquisador.
4. A interpretação geométrica das soluções de um Sistema de Equação Linear a
partir do uso do software Geogebra
Para desenvolvermos este capítulo, partiremos da análise do modo como os alunos
resolveram a situação-problema proposta no questionário inicial. Os alunos não tiveram
muita dificuldade em traduzir a situação apresentada no problema para um Sistema de
Equações Lineares. Contudo, inicialmente, alguns alunos tentaram resolver o problema
por regra de três. Mas, ao verificarem que desta maneira não chegariam a uma resposta
correta, traduziram o problema através de variáveis e, assim, resolveram o Sistema de
Equações Lineares.
Ainda no questionário prévio, ao perguntarmos como os alunos poderiam representar
geometricamente a solução obtida ao resolverem o problema proposto, os estudantes
responderam que seria através da construção do gráfico no software Geogebra, o que de
fato aconteceu com o aluno M, pois este utilizou diretamente o software para resolução
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do problema. Acreditamos, segundo as ideias de Borba (2010), que os alunos, ao
argumentarem que fariam o uso do software para representar geometricamente a
situação proposta, evidenciou-se uma interação entre estes e o Geogebra. Desta
maneira, este último passou a fazer parte integrante do processo de fazer matemática.
Para auxiliar na resposta sobre quais são as posições relativas entre duas retas,
disponibilizamos o uso de canudos para representar as retas e permitimos que estes
fossem manipulados a fim de que os alunos percebessem que os pontos de encontro
eram, conforme a resposta do aluno A: “[...]ou 1, ou nenhum, ou todos” (Aluno A).
Concluindo, assim, que as retas podem assumir as seguintes posições relativas: retas
paralelas; retas coincidentes; e retas concorrentes. A utilização de material concreto
como recurso para auxiliar na visualização das posições relativas entre duas retas está
estreitamente conectada com a ideia de Piaget (2012) que defende que, ao trabalharmos
com adolescentes da faixa etária dos alunos que participaram da atividade, torna-se
necessário compreender o processo cognitivo de aprendizagem dos mesmos. Nesse
sentido, acreditamos que fazendo o uso do material concreto possibilitamos aos alunos
criarem teorias abstratas e, assim, desenvolver o pensar hipotético-dedutivo, ou seja, a
passagem do pensamento concreto para o formal (Piaget, 2012).
Após responder o questionário prévio, os alunos construíram, no Geogebra, o gráfico
das equações dos três sistemas propostos, cada qual num sistema de eixos. A partir da
visualização dos gráficos no software e da marcação dos pontos de interseção das retas
de cada sistema, solicitamos aos estudantes que estes socializassem os resultados
obtidos com algum colega e, posteriormente, com o grupo. Durante esta troca, foi
possível observar que os alunos perceberam quais são os tipos de soluções que existem
para Sistemas de Equações Lineares de ordem 2, embora, nesse momento, esta
classificação não tenha sido formalizada. Este fato ficou evidente em falas dos alunos B,
H e M: “Pois é, o primeiro sistema apresenta um ponto de interseção ao longo da reta.”
(Aluno B). “No segundo caso o ponto é indefinido, pois todos se encontram.” (Aluno
H). “Este sistema, apresenta infinitos resultados, pois se encontram ao longo de toda a
reta.” (Aluno B). “Já neste sistema não é possível achar um resultado, pois são retas
paralelas, ou seja, que não se encontram.” (Aluno B). “No terceiro caso, os pontos não
se encontram, pois no Geogebra as retas nunca se encontram.” (Aluno M). As
reflexões/discussões expressas após a execução da atividade demonstram que os alunos,
a partir da diálogo estabelecido, construíram autonomia e criticidade em suas ações
(Freire, 1987).
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5. A compreensão da solução dos sistemas a partir da comparação: o confronto
entre o pensar algébrico e o pensar geométrico
Nas respostas à primeira questão do questionário final, os alunos, ao resolverem os
mesmos sistemas de forma algébrica, concluíram que o resultado algébrico obtido tinha
uma relação com as interseções das retas de cada sistema. Este entendimento ficou
evidente em algumas respostas apresentadas pelos alunos em relação ao primeiro,
segundo e terceiro sistemas, respectivamente: “No primeiro caso eu encontrei (4, -2) e
no Geogebra só se encontram em um ponto.” (Aluno M). “O resultado da conta
algébrica é o mesmo da interseção.” (Aluno A). Nesse caso, os alunos A e H, ao
resolverem algebricamente o primeiro sistema, verificaram que a resposta obtida após a
resolução se equiparava com o ponto de interseção dos sistemas gerados no Geogebra,
isto é (4, -2), a partir disso, os alunos concluíram que havia somente uma solução: o x
seria igual a 4 e o y igual a -2.
O aluno H, ao resolver o segundo sistema proposto, pelo método da substituição de
variáveis, chegou ao resultado 4 igual a 4. Essa resposta foi percebida pelo aluno de
maneira confusa e causou nele certo estranhamento, pois segundo ele, nunca havia
chegado nesse resultado ao resolver uma equação de primeiro grau. Nesse caso, foi
imprescindível o uso da tecnologia, não somente para a visualização da solução do
sistema, mas sim, para a compreensão do mesmo, pois ao comparar os resultados, os
alunos foram capazes de fazer conjecturas formulando um pensamento de validação
(Zulatto, 2002; Borba, 2010) e de não-validação (Laborde, 2000; Borba, 2010) das
respostas obtidas. Chegar à resposta 4 é igual a 4, significa, geometricamente, que todos
os pontos das retas projetadas se encontram: “x e y continuam sendo indefinidos, pois
não podemos dar um valor exato à eles.” (Aluno H).
Já, o aluno C, ao resolver algebricamente o terceiro sistema proposto, encontrou o
resultado de que 8 era igual a 6, o que matematicamente, é um absurdo. Ao observar
como o sistema havia se comportado graficamente, o aluno percebeu que as retas se
apresentavam como paralelas, sendo impossível um encontro entre as duas: “O
resultado não é possível dentro da matemática, pois as retas são paralelas, sendo
impossível dar uma solução válida para a solução do sistema.” (Aluno C).
A partir da fala dos alunos e das observações que realizamos em aula, percebemos que,
muitas das dificuldades apresentadas pelos alunos em relação ao entendimento da
resolução algébrica, foram esclarecidas quando utilizado o software Geogebra, pois os
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alunos foram capazes de investigar diferentes formas de construção para a resolução do
problema, neste caso, a resolução geométrica (Santos, 2008).
Em relação às respostas sobre o que os alunos haviam aprendido após a realização da
atividade proposta, ficou claro que os mesmos compreenderam que a solução de um
Sistema de Equação Linear de ordem 2 não se apresenta apenas como um número, mas
sim como o ponto de interseção entre duas retas de um mesmo plano, representadas por
suas respectivas equações (Baratojo, 2007). Além disso, ficou evidente que a utilização
de procedimentos algébricos para obter a solução de um sistema linear não é a única via
possível, e nem sempre é a de melhor compreensão por parte dos alunos: “Aprendi a ler
gráficos e solucionar questões sem uma necessidade de resolução algébrica.” (Aluno B).
“Que vendo no gráfico é o mesmo resultado da conta.” (Aluno H). “Que não precisamos
fazer contas para resolver as equações.” (Aluno C).
Embora os alunos tenham exclamado certo entusiasmo na utilização do software
Geogebra, alguns encontraram obstáculos durante a utilização do mesmo. Destacaram,
por exemplo, ter dificuldades em relação à utilização de alguns recursos, como é o caso
do aluno H: Apresentei dificuldade em “entender como se faz os pontos de encontro das
retas” (Aluno H).
6. Considerações finais
Este trabalho, trouxe-nos alguns resultados interessantes quanto à socialização, à
ampliação de conhecimentos tecnológicos e matemáticos e à aprendizagem durante o
exercício de comparação de resultados.
Foi possível perceber que, embora os alunos apresentassem algumas dificuldades
quanto aos comandos do Geogebra, quando eles utilizaram o software para resolver os
sistemas, além de eles visualizarem a imagem na tela, discutiram o procedimento e o
resultado de suas construções com os colegas, promovendo, assim, uma interação e um
espírito de solidariedade em sala de aula.
Outra questão importante foi à aprendizagem que os alunos adquiriram quanto à
tecnologia, pois os mesmos não conheciam o software Geogebra, nem sabiam dos
recursos que o mesmo oferecia para a construção de objetos matemáticos. Além disso,
ao utilizarem o recurso para visualizar as soluções dos sistemas propostos, perceberam
que havia somente três possíveis resultados para os mesmos: uma solução, representada
por um ponto de interseção entre as retas; infinitas soluções, representada pela
sobreposição das retas; ou nenhuma solução, representada pelo paralelismo entre as
retas.
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Uma última questão que consideramos importante foi quanto à comparação algébrica e
geométrica das soluções dos sistemas propostos. Para os alunos, alguns resultados
obtidos a partir da resolução algébrica não faziam sentido e ao observarem a solução
geométrica, conseguiam perceber o comportamento do sistema. Para outros alunos,
comparar os resultados se mostrava como uma maneira de validá-lo, pois percebiam,
por exemplo, que as coordenadas que formavam o ponto de interseção das retas que
compunham um sistema eram equivalentes aos valores do x e do y que eles haviam
encontrado na resolução algébrica.
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