UMA EXPERIÊNCIA NA ELABORAÇÃO DE AULAS DE LOGARITMO
COM BASE NA TEORIA DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO
Edilaine Meurer Bruning
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Unioeste
[email protected]
Maiara Aline Junkerfuerbom
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Unioeste
[email protected]
Tiago Emanuel Klüber
Universidade Estadual do Oeste do Paraná – Unioeste
[email protected]
Resumo:
Neste texto, relatamos a nossa experiência na elaboração de um plano de aula pautado na Teoria
Dialética Ferramenta-Objeto e na Resolução de Problemas sob a perspectiva desta teoria, que
estudamos na disciplina Didática Aplicada ao Ensino da Matemática no ano de 2013. A partir do
conteúdo por nós escolhido, logaritmo, foi um desafio relacionar este conteúdo com a teoria escolhida
para elaborar o plano de aula em questão. Neste trabalho ressaltamos a importância desta teoria no
processo de ensino-aprendizagem da matemática. Neste sentido, optamospor trabalhar com uma
atividade lúdica para estimular os alunos na busca pelo conhecimento matemático. Desde essa
experiência, reconhecemos que essas atividades são relevantes para a formação de futuros professores.
Palavras-chave: Dialética ferramenta-objeto. Sequência Didática. Logaritmo.
Introdução
A partir dos textos estudados e dos debates realizados na disciplina de Didática
Aplicada ao Ensino da Matemática, no ano de 2013,estabelecemos um primeiro contato com
metodologias de ensino e aprendizagem da Matemática. No âmbito da disciplina, foi proposto
um trabalho final em que deveríamoselaborar um plano de aula pautado nas teorias estudadas.
Para tanto, foram destinadas cerca de doze horas-aula, orientações extraclasse e orientações à
distância.
Nosso primeiro passo foi à escolha do conteúdo matemático a ser trabalhado.
Propusemos a elaboração de um plano de aula sobre logaritmos, pois foi um dos conteúdos
que não tivemos a oportunidade de estudar em nosso Ensino Médio, somente na universidade.
Na sequência, fizemos um levantamento de atividades relacionadas ao conteúdo, buscando
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por aquelas que o abordassem a partir de uma ou mais teorias estudadas. Nesta fase
apareceram
algumas
dificuldades,
inerentes
à
seleção
de
atividades
e
à
necessidadederelacioná-las com a teoria. Inclusive pensamos em abandonar o tema, no
entanto, o professor orientador não aconselhou. Ele alegou que era preciso investir nesse
assunto porque o mesmo problema ocorreria ao “trocar” de conteúdo. Além disso, disse que
havia o desafio de conhecer algo não corriqueiro.
Como já mencionamos, algumas aulas da disciplina foram dedicadas à elaboração do
plano de aula com orientação do professor. Em uma das aulas apresentamos para o professor
uma atividade. Com o seu auxílio, reconhecemos que, com algumas modificações,
poderíamos explorá-la a partir da teoria daDialética Ferramenta-Objeto. Esta ressalta a
importância da interação entre o sujeito e o objeto matemático. Conforme Almouloud (2007),
nesta teoria a construção do conhecimento ocorre por meio de situações de desequilíbrio, que
promovem a adaptação e a acomodação frente às situações, ocorrendo então novo equilíbrio.
Trabalhamos, também, com a resolução de problemas na perspectiva desta teoria, a qual
afirma que os alunos utilizam os seus conhecimentos antigos como ferramenta para a
resolução, porém percebem a necessidade do novo conteúdo. Este conhecimento é
denominado de novo implícito e é apresentado pelo professor com a conotação de objeto. Por
fim, construímos uma atividade a partir de um breve estudo da história do conteúdo. Essa
construção tem relação direta com a abordagem epistemológica (construção histórica) do
conceito. (Idem, 2007).
Nesse contexto, construímos uma sequência didática partindo dos pressupostos da
teoria. Ela foi organizada valendo-se da estrutura do plano de aula. Em outras palavras, o
estudo para a elaboração do plano de aula contemplou os seguintes elementos: 1) Introdução
(contexto e justificativa); 2) objetivos da aula, objetivos do professor; 4) metodologia; 5)
duração e etapas; 6) procedimentos e 7) avaliação. Estes foram previamente definidos pelo
professor da disciplina e conduziram o processo de preparação.
Frente ao exposto, consideramos ter elaborado um plano que contém uma sequência
didática pautada na teoria. E, por essa razão, temos por objetivo descrevê-la a partir da
estrutura do plano de aula que apresentamos. Ao final, efetuaremos reflexões sobre os
elementos do plano de aula e, de modo geralsobre as atividades e sobre a nossa experiência.
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O plano de aula
Introdução (Contexto e Justificativa).
O conceito de logaritmo foi criado no século XVI, pelo matemático escocês John
Napier (1550-1617) e aperfeiçoado por Henry Briggs (1561-1630). A origem da palavra
logaritmo é grega, e significa número de razão. Segundo Eves (2011), Napier desenvolveu
seus estudos geometricamente, usando um segmento de reta e uma semirreta. Demarcou um
ponto sobre o segmento de reta e um ponto sobre a semirreta. Deslizando estes pontos com a
mesma velocidade inicial tem-se o logaritmo do ponto marcado sobre o segmento de reta
como sendo a distância entre a origem da semirreta e o ponto marcado inicialmente.
Em
1614,
Napier
publicou
seus
estudos
no
texto
MirificiLogarithmorumCanonisDescriptio (Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). E
seis anos depois Jobst Bürgi (1552-1632) construiu uma tábua de logaritmos e também
publicou seus resultados. A criação dos logaritmos facilitou muito o trabalho com asoperações
aritméticas. O tempo que antes se levava para efetuar cálculos envolvendo muitos algarismos
foi reduzido, por conta das propriedades logarítmicas que permitem que o produtoseja tomado
como uma soma, e o quocientecomo uma subtração.
Além da aplicação na Matemática, os logaritmos têm aplicação na física, na química,
na computação, na geologia. Um das aplicações mais populares é na chamada amplitude de
terremotos. A base usada nesta escala é a base 10. Assim, quando se diz que um terremoto
teve uma amplitude de 5 pontos na escala Richter, quer dizer que a sua magnitude foi de 105.
Em seu âmago o conteúdo dos logaritmos solicita a compreensão de outros conceitos
matemáticos como fatoração e potenciação, facilitando os cálculos. Cumpre, nesse sentido, o
papel de ser uma ferramenta para o aluno progredir no seu pensamento matemático e poder
aplicá-lo em algumas situações, inclusive lúdicas.
Conteúdo: Logaritmo
Objetivos:
Da aula
Levar o aluno perceber que o logaritmo é uma importante ferramenta para resolver
problemas;
Operar com a noção de logaritmos, aplicando-o, de modo apropriado,às situações e
problemas do cotidiano;
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Examinar uma função logarítmica a partir da execuçãode um experimento com cartas;
Motivar o estudo dos logaritmos.
Do professor
Que os alunos compreendam a importância dos logaritmos;
Que os alunos encontrem o algoritmo do experimento e consigam generalizá-lo;
Definir logaritmo e suas propriedades.
Metodologia
A metodologia desta aula esta pautada na Teoria Dialética Ferramenta-Objeto1.
Duração e Etapas
Este plano de aula foi elaborado para em torno de seis a sete aulas. Contemplando as
seguintes etapas:
1. Aplicação e investigação do experimento a ser desenvolvido;
2. Preenchimento da tabela;
3. Apresentação da definição de logaritmo e suas propriedades;
4. Relações com a tabela;
5. Resolução da inequação encontrada com a generalização do experimento;
Procedimentos:
Iniciar a aula dividindo a turma em dois grupos, realizar o seguinte experimento em
cada grupo:
Separar 15 cartas quaisquer do baralho, sem repetições;
Distribuí-las sobre a mesa em três colunas de 5 cartas cada, conforme a figura;
1
No momento da preparação da aula o importante era construir a sequência didática que expressasse a teoria.
Por esse motivo, aqui não aparecem descrições pormenorizadas, pois as fizemos no início deste artigo e as
retomaremos brevemente nas considerações.
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Figura 1: Cartas usadas para o experimento.
Fonte: os autores.
Pedir para que um aluno do grupo escolha uma das cartas sem dizer qual é e,em
seguida, seguir os passos:
Passo 1: Pedir ao aluno que aponte a coluna na qual se encontra a carta que ele
escolheu;
Passo 2: Juntar as cartas de cada uma das 3 colunas formando 3 montes. Colocar
sempre o monte referente à coluna escolhida entre os outros dois, juntando os três montes.
Passo 3: Distribuir novamente as cartas sobre a mesa em três colunas,
Repetir os passos 1,2 e 3 duas vezes.
A carta escolhida pelo aluno é a carta que está no centro da coluna do meio.
Em seguida os alunos irão repetir o experimento até que descubram o algoritmo do
experimento, que é o descrito no passo 2.
Após descobrirem o algoritmo os alunos devem realizar o experimento com um maior
número de cartas, sendo que a quantidade de cartas deve ser sempre um número ímpar e estas
devem ser distribuídas em três colunas.Conforme a quantidade de cartas os passos 1, 2 e 3
devem ser repetidos um número diferentes de vezes, com essas informações os alunos devem
preencher o seguinte quadro:
Número de cartas
1
3
9
15
21
27
33
39
...
75
81
...
237
243
Números de repetições
0
1
2
3
3
4
4
4
...
4
5
...
5
6
N e c e s s á r i a s
Quadro 1: Número de cartas e repetições necessárias
Fonte: adaptado de Firer (2013).
Pedir para que os alunos tentem escrever uma lei geral para n cartas, em função das
repetições necessárias. Induzir os alunos a darem valor para n. (Espera-se que nesse momento
os alunos já tenham percebido que n deve ser um número ímpar e múltiplo de três).
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Disponibilizar tempo para os alunos tentarem fazer a generalização e depois socializar
as ideias dos grupos com a sala, então deduzir com os alunos a expressão que nos fornece
quantas vezes devemos fazer a pergunta “em qual coluna está a carta?” em função do número
de cartas utilizadas para a realização do experimento, para termos certeza de que sabemos
qual a carta escolhida pelo colega.
Pensando no caso do experimento com 21 cartas, a única afirmação plausível a ser
realizada antes da primeira pergunta “em qual coluna está a carta?” É de que apenas a carta
escolhida é uma das 21 expostas sobre a mesa. Porém, ao pedir a indicação da coluna em que
ela se encontra, teremos reduzido a incerteza a 1/3 do total das cartas.
Então, as possibilidades foram reduzidas a 1/3 ∙ 21 = 7 cartas. Redistribuindo as cartas
e repetindo a pergunta, teremos reduzido as opções a 1/3da quantidade anterior de cartas.
Aqui aspossibilidades foram reduzidas a 1/3 ∙ 1/3 ∙ 21 = 2,33......e, como o número de cartas é
inteiro, podemos perceber que esse número foi reduzido a 2 cartas.
Repetindo o processo, teremos: 1/3 ∙1/3 ∙ 1/3 ∙ 21 = 0,77......Ou seja, um número
menor que 1. Portanto, basta reorganizar as cartas novamente quesaberemos que a carta
escolhida será a carta na posição central da coluna do meio.
De maneira geral, dado um número n de cartas, queremos saber qual o número k de perguntas
que devem ser feitas para ter certeza de onde se encontra a carta escolhida. Assim, temos:

Primeira pergunta: 1/3∙n

Segunda pergunta 1/3∙1/3∙n

Terceira pergunta: 1/3∙1/3∙1/3∙n

.
.
.
K-ésima pergunta: (1/3)k∙ n
Queremos que as dúvidas sejammenores que 1, ou seja:
(1/3)k∙ n ≤ 1
Ou ainda:
(1/3)k≤
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Neste momento imaginamos que os alunos terão dificuldades em resolver essa
inequação. Assim considerando pertinente propor então que completem o seguinte quadro2,
encontrando os valores de y:
10=10000001/y
10=100000
1/y
1/y
y=6
y=5
y=4
3
.
.
.
0,69
0,60
0,47
0,30
??
Quadro 2: Raízes e Potências
Fonte: os autores.
A resolução destes cálculos pode ser efetuada com o auxílio da calculadora, por
exemplo, testando valores para confirmar conjecturas.
Após um tempo, pedir para que a partir dos valores encontrados representem
graficamente a situação.
Gráfico1: Representação gráfica dos dados do quadro
Fonte: os autores.
Questionar os alunos que valor eles encontraram para 10=11⁄y, a partir deste momento
então definir logaritmo:
2
Esse quadro foi criado pelo orientador a partir das inúmeras conversas com as orientadas. Ao dialogarem com a
história do conceito foram capazes de elaborar uma atividade investigativa que gera uma discussão sobre
propriedades dos logaritmos.
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Definição:
, sendo:
Onde:
= base do logaritmo
= logaritmando ou antilogaritmo
= logaritmo
Consequências da definição:
Propriedades:
Mudança de base:
Apresentadas as propriedades pedir para os alunos que repensem na tabela que
preencheram anteriormente e se encontram alguma relação com a definição e as propriedades
apresentadas.
Então seria necessáriovoltar para a inequação encontrada no experimento e resolvê-la
aplicando o logaritmo, chegando em:
Neste momento espera-se que os alunos consigam operar com os logaritmos, para
verificação da aprendizagem, entregaremos uma lista de exercícios e problemas, para que os
alunos resolvam na sala em duplas. Os alunos devem ser auxiliados sempre que solicitarem.
Após a resolução promover um momento desocialização com toda a sala.
Avaliação
Consideramos a avaliação como um instrumento para auxiliar no processo de ensino e
aprendizagem. Ela não possui um caráter apenas classificatório, devendo se constituir num
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processo para identificar aquilo que é preciso ser feito para que o aluno construa seu
conhecimento com maior qualidade. E, ainda, o ato de avaliar deve fazer com que o professor
perceba as principais dificuldades dos alunos, para que possa planejar atividades diferenciadas
que ofereçam aos alunos a possibilidade de se apropriarem de tal conhecimento.
Dessa forma a avaliação desta aula consistirá na observação dos alunos durante a aula
e principalmente na resolução dos problemas e atividades propostas. A partir daí, pode-se
perceber as principais dificuldades dos alunos, para depois na socialização fazer uma
retomada e esclarecê-las, como indica a teoria que fundamenta esta aula.
Considerações sobre a experiência da elaboração do plano
A partir desta experiência reconhecemos a importância que as teorias da Didática da
Matemática possuem para o ensino e aprendizagem da matemática. Compreendemos que é
possível, a partir delas, desenvolver em sala de aula uma prática mais eficaz, fazendo com que
o aluno seja o principal agente na construção do seu conhecimento.
Ao pensarmos em cada um dos tópicos da estrutura do plano de aula, nos
preocupamos com a finalidade de cada um deles. Ao pesquisarmos a história dos logaritmos,
vislumbramos a necessidade pela qual este conteúdo foi criado e ele oportunizou a criação de
uma das atividades propostas. Elas, por sua vez, cumprem a função de criar necessidades
similares àquelas que geram a “invenção” do conceito. Esse é um aspecto que consideramos
extremamente significativo para a nossa formação.
Ao escolhermos uma atividade lúdica visamos prender a atenção dos alunos de forma
que eles possam ser motivados a explorar a matemática presente nela. Buscamos de certa
pensar numa aula em que o ambiente de interação aluno-aluno, aluno-professor é posto em
destaque.
Destacamos que essa atividade foi escolhida com base nos seguintes pressupostos:



O problema matemático é escolhido de modo que possa fazer o aluno agir, falar,
refletir e evoluir por iniciativa própria;
O problema é escolhido para que o aluno adquira novos conhecimentos, que
sejam inteiramente justificados pela lógica interna da situação e que possam ser
construídos sem apelo às razões didáticas.
O professor assume o papel de mediador, cria condições para o aluno ser o
principal ator da construção de seus conhecimentos a partir da(s) atividade(s)
proposta(s). (ALMOULOUD, 2009, p. 992-993).
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Nesta teoria vimos que o professor possui o papel de mediador na construção do
conhecimento do aluno. Em nossa atividade, especificamente, os problemas propostos
convergiampara a compreensão e superação das dificuldades da atividade do quadro dois.
Para tanto, terão de utilizar seus conhecimentos prévios. Porém em certo momento
espera-se que identifiquem a necessidade de um novo objeto matemático para a resolução do
problema. A partir de então, abre-se um espaço para a apresentação dos logaritmos que se
constitui no novo implícito de todas as atividades propostas. Desde esse momento, poderá ser
trabalhado o conteúdo propriamente dito. Por fim, os alunos podem ser estimulados a
voltarem ao experimento inicial e concluírem dando uma resposta mais efetiva utilizando o
novo objeto.
Consideramos, portanto, que este estudo contribuiu para a nossa formação de
professores de matemática, pelo fato de rompermos em algum sentido com concepções frágeis
sobre o preparo de aulas e execução de aulas de matemática.
Referências:
ALMOULOUD, S. A. Atividades para o ensino de matemática na perspectiva da Didática da
Matemática. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, 10. 2009, Guarapuava.
Anais... Guarapuava: UNICENTRO, 2009, p. 992-1002
BOYER, C. B. História da Matemática; tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard
Blücher, 1974.
SILVA, C. X.; BARRETO, F. B.Matemática aula por aula; volume único. Ensino Médio,
Editora: FTD, ano 2009.
EVES, H.Introdução à história da matemática; traduçãoHygino H. Domingues. 5a ed. –
Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2011.
Projeto Condigital MEC - MCT; Universidade Estadual de Campinas - Unicamp Matemática;
FIRER,
Marcelo,
BaralhoMágico,
2010,<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/15596>, acesso em 03 set 2013
Lia
Garpelli,
Logaritmos,2012,
<http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfGSsAD/logaritmos>,acesso em 06 set 2013