Pedagogia
Metodologia e Prática do
Ensino da Matemática e
Ciências
U412.11
Metodologia e Prática do
Ensino da Matemática e
Ciências
Autores: Prof. Guilherme Santinho Jacobik
Profa. Verônica Azevedo
Colaboradores: Profa. Silmara Maria Machado
Prof. Nonato Assis de Miranda
Professores conteudistas: Guilherme Santinho Jacobik / Verônica Azevedo
O professor Guilherme Santinho Jacobik é graduado em Pedagogia, mestre em Educação Matemática e Ciências pela
Universidade de São Paulo e doutorando em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas.
Professor do Ensino Fundamental desde 1989 e docente universitário desde 2003, é também formador de educadores
em escolas públicas e particulares desde 1994 e autor de artigos e livros educacionais.
Realizou inúmeras palestras, workshops e assessorias voltadas ao ensino da Matemática, Ciências e organização curricular.
Atualmente no doutorado, desenvolve um projeto de pesquisa relacionado à história de vida dos alunos e seus
desempenhos no início da escolaridade.
É docente da Universidade Paulista – UNIP e professor de Ensino Fundamental – ciclo I no Colégio Santa Cruz de São Paulo.
A profa. Verônica Azevedo é mestre em educação e doutora em ciência da comunicação pela Universidade de São Paulo.
Verônica é psicopedagoga e artista plástica. Dedica-se às artes plásticas desde 1960.
Como pedagoga participou de vários projetos de pesquisa em educação matemática (USP, CAPES, CNPQ, Estação
Ciência, Universidade de Laval – Canadá), foi responsável por vários cursos de aperfeiçoamento para professores das redes
estaduais e particulares de São Paulo, Minas Gerais e Bahia.
Como docente do Ensino Superior desenvolveu projetos pioneiros em didática do Ensino Superior.
Realizou pesquisas sobre o ensino de matemática junto ao Laboratório de Educação Matemática da USP, o qual ajudou
a criar. Suas publicações anteriores versam sobre sua larga experiência didática: a coleção Matemática Através de Jogos,
o livro Jogando e Construindo Matemática e Telejornalismo e Educação para a Cidadania. Além disso, mantém um site de
apoio a professores e pais com orientações de estudos: <www.veronicaweb.com.br>.
Desde 1998 participa de grupos de pesquisa sobre a interface comunicação e educação, tendo desenvolvido projetos
de educação para a cidadania, voltados para crianças e jovens. Esta pesquisa foi sistematizada em sua tese de doutorado
defendida na ECA-USP. Atualmente desenvolve projetos de educação e comunicação e é docente do ensino superior. É
professora titular da Universidade Paulista – UNIP.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
J16m
Jacobik, Guilherme Santinho
Metodologia e prática do ensino de matemática e ciências /
Guilherme Santinho Jacobik; Verônica Azevedo. – São Paulo, 2012.
192 p. il.
1. Metodologia. 2. Ensino - matemática. 3. Ensino - ciências
I. Título.
CDU 37.013
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Unip Interativa – EaD
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Material Didático – EaD
Comissão editorial:
Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
Dr. Cid Santos Gesteira (UFBA)
Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
Apoio:
Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
Projeto gráfico:
Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
Lucas Ricardi Aiosa
Sumário
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e
Ciências
Apresentação.......................................................................................................................................................7
Introdução............................................................................................................................................................7
Unidade I
1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental.............................................................11
1.1 O sistema de numeração decimal....................................................................................................11
1.2 Operações................................................................................................................................................. 16
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características
das faixas etárias................................................................................................................................................. 19
1.2.2 Utilizando o ábaco.................................................................................................................................. 23
1.2.3 Multiplicação............................................................................................................................................. 28
1.2.4 Divisão.......................................................................................................................................................... 31
1.2.5 Frações.......................................................................................................................................................... 32
1.3 Espaço e forma....................................................................................................................................... 38
1.4 Geometria e medidas........................................................................................................................... 39
1.4.1 Dimensões................................................................................................................................................... 42
1.4.2 Identificação de figuras ....................................................................................................................... 43
1.4.3 Simetria........................................................................................................................................................ 47
1.4.4 Conceito de medida................................................................................................................................ 48
1.4.5 Conceito de área .................................................................................................................................... 55
1.4.6 Conceito de perímetro........................................................................................................................... 56
1.5 Tratamento da informação............................................................................................................... 56
2 Sugestões de conteúdos do 1º ao 5º anos do Ensino Fundamental....................... 60
3 RECURSOS PARA O PLANEJAMENTO DA MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL......... 69
3.1 Resolução de problemas..................................................................................................................... 69
3.2 Portadores numéricos.......................................................................................................................... 81
3.3 Jogos........................................................................................................................................................... 85
4 ATIVIDADES E ENCAMINHAMENTOS INTERESSANTES NO ENSINO DA MATEMÁTICA.......103
4.1 Sequências didáticas no ensino da Matemática....................................................................103
4.2 Projetos didáticos como metodologia de trabalho também no ensino
da Matemática.............................................................................................................................................106
4.3 Importância das atividades permanentes em Matemática................................................108
Unidade II
5 O Ensino de CiênciaS segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais . .......120
5.1 Objetivos gerais de Ciências Naturais para o Ensino Fundamental ..............................122
5.2 Os conteúdos para o ensino de Ciências Naturais.................................................................122
5.2.1 Blocos temáticos................................................................................................................................... 123
6 Ações didáticas interessantes nas aulas de Ciências Naturais no
Ensino Fundamental..................................................................................................................................140
Unidade III
7 Experiências Práticas para você fazer com seus alunos...........................................154
7.1 Área temática “corpo humano”.....................................................................................................154
7.1.1 Olhos.......................................................................................................................................................... 154
7.1.2 Dentes........................................................................................................................................................ 155
7.1.3 Tato............................................................................................................................................................. 156
7.2 Área temática “seres vivos”: plantas e animais.......................................................................157
7.2.1 Classificações: pena, pelo, escamas............................................................................................... 157
7.2.2 Cadeia alimentar................................................................................................................................... 158
7.2.3 Sapo, rã ou perereca?...........................................................................................................................161
7.3 Área temática “conceitos físicos”..................................................................................................163
7.3.1 Boia ou afunda?.................................................................................................................................... 163
7.3.2 Relógio de sol......................................................................................................................................... 165
7.3.3 Cata-vento............................................................................................................................................... 166
7.3.4 Translúcido, opaco e transparente................................................................................................. 167
7.3.5 Gelinho...................................................................................................................................................... 168
7.3.6 Ilusão de ótica........................................................................................................................................ 169
7.4 Área temática “conceitos químicos”............................................................................................171
7.4.1 Papel reciclado........................................................................................................................................171
7.4.2 Fogo............................................................................................................................................................ 173
7.4.3 Substâncias parecidas ....................................................................................................................... 174
7.4.4 Separação de misturas........................................................................................................................ 175
7.4.5 Misturas: bolo de laranja maluco................................................................................................... 176
8 A Importância dos Estudos do meio...........................................................................................177
Apresentação
Este livro destina-se a você, educador(a), que está estudando para dar aulas de Matemática e Ciências
para crianças do Ensino Fundamental.
Aqui serão estudados os objetivos do ensino de Matemática e Ciências conforme as orientações
das discussões mais avançadas na abordagem metodológica dessas áreas do conhecimento. São aqui
apresentadas sugestões de conteúdos para o ensino do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental juntamente
com exemplos de atividades interessantes para inspirar você em seus futuros planejamentos. Também
apresentamos três possibilidades de recursos didáticos que favorecem o aprendizado de seus futuros
alunos.
Na Unidade I apontamos algumas questões que o(a) educador(a) deve considerar ao ensinar
Matemática. Elas são representativas das preocupações que têm sido debatidas no ensino dessa área do
conhecimento.
Na Unidade II apresentamos questões que devem fazer parte das reflexões do(a) educador(a) ao
se preparar para ensinar Ciências. Também serão apresentados os objetivos, os conteúdos e exemplos
práticos que lhe serão úteis para aprender mais.
As contribuições que serão apresentadas nesse livro-texto são pilares de sustentação para que o
futuro professor tenha condições de saber o que se ensina, como se ensina e por que se ensina. Dessa
forma, além de uma listagem de conteúdos, pretendemos problematizar as práticas e sugerir formas de
intervenção na relação professor-aluno.
Acreditamos que aliando teoria e prática você terá a possibilidade de uma ampliação significativa
de seus conhecimentos.
Introdução
Nas últimas décadas, os currículos do ensino da Matemática e das disciplinas científicas foram
alvo de revisões, críticas e novos direcionamentos, e sofreram mudanças nos vários níveis escolares.
Essas mudanças foram resultados de estudos analíticos sobre o papel das várias ciências na educação,
pesquisas sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem,
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias, tendo motivado a produção de diferentes
materiais didáticos.
Todo esse estudo resultou em novos campos de conhecimento. Houve o movimento da chamada
matemática moderna nos anos setenta, passando pela modelagem matemática e a etnomatemática dos
anos noventa. Na primeira década de nosso século a corrente teórica didática da matemática dominou
o cenário brasileiro. Surgiram as Metodologias do Ensino da Matemática e das Ciências.
A Metodologia do Ensino da Matemática se preocupa, atualmente, não apenas com métodos de
ensino, mas com a formação cultural matemática do aluno e da sociedade. Transita entre as técnicas,
7
os sujeitos e a interpretação do mundo por intermédio dos saberes da matemática como área do
conhecimento.
Quanto às Ciências, nos dias de hoje, cientistas e educadores do nosso país concordam sobre os
objetivos do ensino dessa disciplina: pensar lógica e criticamente. Apesar dessa concordância sobre o
papel das disciplinas científicas na educação, os resultados práticos não condizem com as aspirações
teóricas. Essa situação sugere questões a serem discutidas, entre elas o papel da experimentação e seus
significados no ensino de Ciências.
As revisões das teorias nos últimos anos devem ser conhecidas de forma mais aprofundada por
você, futuro professor, para que possa escolher, se posicionar e desenvolver novas contribuições. Por
essa razão, sugerimos que não se limite ao material apresentado, mas busque em referências teóricas e
outras fontes mais informações além das apresentadas aqui.
A nova expectativa sobre o papel do docente, que o denomina “professor protagonista” e “professor
pesquisador”, faz com que ele não seja alguém passivo, mero executor de práticas sem reflexão, mas
sujeito do fazer docente, alguém autor consciente de seu papel como formador, exigindo do estudante,
futuro educador, uma postura rigorosa de constante formação.
Da mesma forma que se revisa o papel de quem ensina – normalmente o professor –, pesquisas
sobre a aprendizagem de conceitos científicos pelas crianças, do estudo do papel da linguagem,
da motivação e do interesse nas diferentes faixas etárias conduzem a um novo pensamento sobre
aquele que aprende – o aluno –, e essa preocupação deu origem à produção de novos e diferentes
materiais didáticos.
Nos textos que se seguem, nos inspiramos em experiências bem sucedidas no ensino
da Matemática e das Ciências. Além de nossas vivências pessoais como docentes e de nossa
contribuição teórica, trazemos as práticas e teorias de documentos de referência. Eles nos serviram
de base para a escrita deste livro-texto e se aliam a outras contribuições referenciadas ao longo
deste.
Observação
Em sua época de estudante do Ensino Fundamental, provavelmente
você deve ter se sentido desconfortável com a forma como o ensino era
desenvolvido sem levar em consideração a participação dos alunos, não é
mesmo?
Esperamos poder ajudá-lo a refletir sobre a importância que atualmente
a construção do conhecimento junto ao aluno tem e como a Ciência e a
Matemática ajudam nesse processo de conhecimento e participação social
mais amplo.
8
Saiba mais
As recomendações dos PCN agregam boas recomendações e ainda
apresentam uma interessante divisão de objetivos e conteúdos do 1º
ao 5º ano. Para complementar a leitura deste conteúdo, acesse o site:
<http://lemad.fflch.usp.br/sites/lemad.fflch.usp.br/files/prefeitura_fundi_
saopaulo_geral_2007[1].pdf>.
9
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Unidade I
1 Blocos de conteúdos para o Ensino Fundamental
Na história do ensino da Matemática, durante muito tempo, a natureza interdisciplinar e significativa
dos conteúdos não foi considerada, ou seja, apostava-se em uma listagem de conceitos e atividades
com fim em si mesmo, que pouco contribuía para que o aluno encontrasse aplicação ao que estava
vendo e, teoricamente, aprendendo. O ensino pautado em atividades estanques dificultava ao aluno
compreender o sentido e aplicação do que vivenciava. No Brasil, foram os Parâmetros Curriculares
Nacionais e as mais recentes discussões acadêmicas acerca dessas questões que contribuíram para que
fosse repensada a forma de organizar os conteúdos.
Para fins didáticos, é possível agrupar os conteúdos de ensino recomendados aos alunos do
Ensino Fundamental (1º ao 5º ano) em cinco grandes blocos: sistema de numeração; operações;
espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação. Agrupados, eles possuem
objetivos similares que se complementam. Ao educador cabe organizá-los de forma que façam
sentido aos alunos, permitindo a eles resgatar o aprendido e utilizá-lo em novas situações (o que
se vem chamando de transposição didática).
1.1 O sistema de numeração decimal
A partir de um processo histórico de milhares de anos, o homem desenvolveu o sistema que hoje
denominamos numeração decimal, composto por apenas dez símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0) e que
nos permite representar qualquer número. O valor representado pelo numeral depende de sua posição
na composição deste, por isso dizemos que nosso sistema é posicional. É também denominado decimal,
pois o que diferencia uma posição de outra são os agrupamentos de dez em dez. Sendo assim, para
formar uma dezena, utilizamos dez unidades; para uma centena, dez dezenas (ou dez agrupamentos de
dez unidades); para um milhar, dez centenas, e assim por diante, infinitamente.
Estes conceitos são complexos e precisam ser trabalhados com os alunos ao longo de todo o Ensino
Fundamental. Segundo Castro e Rodrigues apud Brocardo (2007, p. 118-119):
De um modo geral, o sentido de número diz respeito à compreensão global e
flexível dos números e operações com o intuito de compreender os números
e as suas relações e desenvolver estratégias úteis e eficazes para utilizarmos
no nosso dia a dia, na nossa vida profissional, ou como cidadãos ativos. Inclui
a capacidade de compreendermos que os números podem ter diferentes
significados e podem ser usados em contextos muito distintos. É, pois, uma
construção de relações e de modelos numéricos realizada ao longo da vida
e não apenas na escola.
11
Unidade I
O que nos foi descrito pelos autores citados nos remete à importância que este bloco tem em
relação à construção das relações matemáticas que as crianças estabelecem. Fazemos questão de
dizer a você, estudante da UNIP, que os blocos de conteúdos aqui apresentados são trabalhados
em todas as séries do Ensino Fundamental e que o sistema de numeração deve ser objeto de
planejamento em todas elas, assim como os demais blocos apresentados. Muitos educadores
consideram desnecessária a manutenção de atividades relacionadas ao ensino do sistema de
numeração, mas veremos adiante que algumas situações devem se tornar atividades permanentes,
como por exemplo recorrer ao calendário como forma de controlar e antecipar eventos, algo
essencial à vida do ser humano.
Lembrete
A invenção do número é fruto de um longo processo histórico, bem como
outras conquistas matemáticas; por essa razão deve ser apresentada ao
aluno, para que ele compreenda a importância dessa área do conhecimento.
Saiba mais
Recomendamos, para os alunos de todo o Ensino Fundamental, a leitura do
livro O bibliotecário que mediu a Terra, de Kathryn Lasky. Trata-se da biografia
de Eratóstenes, importante estudioso e matemático Líbio que viveu há mais de
2000 anos.
No entanto, o bloco de conteúdos e objetivos sistema de numeração decimal, que desde cedo
faz parte da vida do aluno, possui uma característica muito especial: ele é a base dos demais
blocos, pois é composto de diversos conceitos-chave. Nele se estuda a grafia dos numerais (o
traçado correto do 0, 1, 2, 3, ... 9), o sentido quantitativo do registro com algarismos (quando
representa uma quantia a ser contada, por exemplo, sendo chamado número), os algarismos
como representação simbólica (como o numeral de uma casa ou um telefone), e as noções de
posição e grandeza numérica (quando o 1 pode ser uma unidade, uma dezena, ou uma centena,
por exemplo).
Há muitas dúvidas sobre a nomenclatura correta, por essa razão, apresentamos a seguir um resumo
que apresenta a explicação dos conceitos de número, numeral e algarismo.
Saiba mais
Recomendamos a consulta ao interessante texto-fonte do qual pesquisamos
os significados em: <http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html>.
12
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Quadro 1 – Diferenciação entre número, numeral e algarismo
Número
É a ideia de quantidade que nos
vem à mente quando contamos,
ordenamos e medimos. Assim,
estamos pensando em números
quando contamos as portas de um
automóvel, enumeramos a posição de
uma pessoa numa fila ou medimos o
peso de uma caixa.
Numeral
É toda representação
de um número, seja
ela escrita, falada ou
indigitada.
Algarismo
É todo símbolo
numérico que
usamos para formar
os numerais escritos.
Infelizmente, nas escolas de maneira geral, ainda se observam atividades “mecânicas” em
que os alunos copiam exaustivamente os numerais, ou colam bolinhas de papel ou sementinhas
sobre numerais traçados pelo educador. Aprender a grafia correta dos numerais é importante,
mas isso deve ser realizado de forma mais contextualizada, pedindo aos alunos que escrevam a
idade que possuem e a data de seu aniversário, o numeral da residência ou do telefone dos pais
em uma agenda de contatos, por exemplo. Também é importante que os numerais componham
cartazes que se encontram no ambiente do aluno, como o calendário e a tabela de 0 a 100, para
sua consulta autônoma.
Principalmente nos primeiros anos (1º, 2º e 3º) do Ensino Fundamental, devemos planejar situações
didáticas que envolvam os números naturais, principalmente porque eles fazem parte do cotidiano das
crianças, utilizados em diferentes situações e em perguntas realizadas por elas, tais como: comparação
de idades; “quanto” tem?; “quanto” tenho?; se eu já tenho X, quanto falta para Y?; qual seu telefone?;
entre outras.
A experiência de vida da criança, mesmo que comparativamente menor que a do adulto, deve
ser levada em conta, e cabe à escola ajudá-la a ampliar o que sabe e construir novas relações e
pensamentos matemáticos. Dessa forma, como metáfora, seria interessante que a escola fosse
uma continuidade da casa, da vida social mais ampla. Desvendar o que a criança já sabe – seus
conhecimentos prévios – e, partindo deles, oferecer novas situações, que a permita avançar
no que sabe para construir o que ainda não sabe, constitui o importante papel mediador do
educador.
Quando menos experientes, as crianças têm mais dificuldade em grafar corretamente os
numerais; muitas invertem a ordem (ao invés de 21, grafam 12, por exemplo) ou os espelham ( 3 ao
invés de 3). Também apresentam dificuldade quanto à compreensão do valor posicional e tendem
a grafar como escutam. Neste caso, a forma oral como o numeral é enunciado leva as crianças a
erros construtivos, escrevendo, por exemplo, 301 para 31, pois entendem ser equivalente a trinta
(30) e um (1), o que resulta em 301 (30 + 1). Isso ocorre porque no processo de construção do
conceito de número as crianças aplicam aquilo que compreendem sobre a “leitura” que fazem
do que está ao seu redor. É o que chamamos de hipóteses de escrita, que ocorrem com as letras,
palavras e também com os numerais.
13
Unidade I
Observação
Mesmo nas séries finais do Ensino Fundamental (4º e 5º anos), o
bloco de conteúdos sistema de numeração continua a ser essencial. Erros
ocasionados pela elaboração de hipóteses ocorrem constantemente,
e as crianças precisam ser respeitadas em seu processo e naturalmente
orientadas de forma a construir uma relação positiva com o erro e a
possibilidade do acerto.
Exemplo de atividade
Sistema de numeração decimal – Construindo e explorando uma tabela numérica
• Identificar números até 100.
• Ler, escrever e comparar números em diferentes contextos de uso.
• Perceber algumas regularidades do sistema de numeração decimal, tais como: o valor
posicional (quanto vale um numeral em sua posição na composição de um número) –
por exemplo o 3, em 34, que vale 30; a possibilidade de saber a grandeza do número
por sua quantidade de algarismos – por exemplo, que 45 (dois algarismos) é maior que
9 (um algarismo); e observar a ideia de “família de números”, o que significa que todos
os números daquela sequência se iniciam pelo mesmo numeral, modificado a cada dez
unidades – por exemplo, que após o 29 vem o 30 (31, 32, 33, 34, ... 39).
Conteúdos
• Ordem de grandeza e regularidade do sistema de numeração.
• Leitura e escrita numérica.
Anos
1º e 2º.
Tempo estimado
Ao longo de todo o ano escolar.
Material necessário
• Um cartaz como o do modelo a seguir, que vá até 100, deve ser afixado para servir
de “dicionário” e ser consultado. Uma sugestão é digitar os números, recortá-los,
14
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
distribuí-los aos alunos e pedir a eles que o auxiliem na colagem sob um cartaz similar
(quadriculado, com dez espaços em cada linha e dez em cada coluna), mas com lacunas,
sem os números escritos.
• Providencie uma cópia menor para cada aluno (com os números) e mantenha ao alcance
objetos que portem sequências numéricas similares como calendários e volantes de
jogos de casas lotéricas.
• As primeiras tabelas devem começar com 1 e não com 0, pois muitos alunos se apoiam
na contagem para encontrar as escritas que não conhecem.
• Organize a série de 10 em 10 para a identificação das regularidades.
O cartaz deverá ficar assim:
tabela 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Desenvolvimento
Primeiro divida os cem números da tabela entre seus alunos e oriente-os a vir colá-los
conforme as comandas que fizer. A seguir, sugerimos ideias que os levarão a compreender
algumas regularidades do sistema numérico decimal:
• Chame para colar sobre o cartaz aqueles que tiverem números iniciados pelo numeral
3. Dessa forma, crianças que tenham a “família do trinta” colarão seus números e todos
poderão perceber a ideia de “família” e que o primeiro numeral é o mandante do número.
• Chame em seguida as crianças que tiverem números terminados pelo numeral 5. Virão
aqueles que têm o 5, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85 e 95, formando a coluna do 5 (como se
observa na tabela).
• Pode-se pedir, também, outras regularidades; por exemplo, que venham aqueles que
tenham números maiores que 13 e menores que 20; o número que vem imediatamente
depois do 39; o número que vem imediatamente antes de 67; o número que está entre
72 e 74; entre outras possibilidades.
15
Unidade I
Experiências cotidianas interessantes que podem se transformar em situações
didáticas escolares
Receitas de alimentos (envolvem números nas quantidades de ingredientes e cardinalidade
na ordem do modo de fazer); desenvolver uma coleção com os alunos (tampinhas, pedras,
conchas, figurinhas etc.) e ajudar as crianças a registrar as quantidades obtidas (por exemplo,
marcar riscos em uma tabela do 1 ao 100 como mecanismo de controle); grafar em um
calendário no mural da classe os dias idos à escola.
Saiba mais
Recomendamos a leitura do livro Os números: a história de uma grande
invenção, de Georges Ifrah. Trata-se da história da Matemática, em que o
autor nos faz acompanhar a evolução do raciocínio de nossos ancestrais
desde a pré-história, passando por diversas civilizações.
1.2 Operações
Por conta das necessidades cada vez mais complexas do homem, o sistema de numeração decimal
foi sendo desenvolvido para, por exemplo, controlar quantidades pequenas de animais e quantificar o
número de pessoas, consequentemente calculando a quantia de alimentos necessários para saciar a
fome de cada um. Da mesma forma, as estratégias de cálculo também evoluíram e foram se tornando
cada vez mais complexas.
Atualmente somos capazes de realizar cálculos que nos permitem compreender e alcançar até
mesmo o que ainda não palpamos. Antes mesmo de o homem pousar na Lua, engenheiros astronautas
já calculavam essa possibilidade. Podemos dizer que a criança que entra no Ensino Fundamental refaz
essa trajetória humana e repete etapas evolutivas da construção desse conhecimento. É comum vermos
crianças realizando contas com os dedos (base decimal = dez dedos), utilizando riscos e outros grafismos
não convencionais, exatamente como observamos nas inscrições rupestres (desenhos em paredes de
cavernas, ossos e peles de animais) encontradas em sítios arqueológicos de muitas localidades do planeta.
Assim, a criança segue evoluindo, passando da necessidade absoluta do elemento concreto à total
possibilidade de abstração e pura imaginação. Da mesma forma o homem, ao longo da história, evoluiu
do uso de instrumentos rudimentares como pedras e riscos à utilização da calculadora e do computador,
pois é capaz de inventar instrumentos para superar as limitações de sua mente, e a ferramenta faz o que
o homem seria incapaz de fazer.
Relembrar que a aprendizagem de cálculos é a construção junto ao aluno de conhecimentos
milenares nos serve de alerta para respeitar o seu desenvolvimento e fornecer a ele elementos que lhe
permitam avançar em seu conhecimento. Quando simplesmente substituímos a forma de pensar do
aluno pelo ensino forçado de técnicas e fórmulas, substituímos a reflexão pela memorização, trocamos
a tentativa que leva ao erro construtivo pela exercitação mecânica de algoritmos predefinidos.
16
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Nas escolas, de maneira geral, observamos educadores bem intencionados ensinando contas no
modelo “arme e efetue”. O que se nota é que muitas crianças não compreendem por que devem realizar
uma conta do menor valor ao maior, ou seja, da unidade para a dezena e desta para a centena. Além
do mais, em adições com reservas, aquelas cujas somas das unidades (ou das dezenas ou centenas)
ultrapassam 9, muitas vezes o aluno não compreende por que deve conservar a unidade e elevar a dezena
(contas de “vai”), por exemplo. Essas contas são comumente chamadas de algoritmos convencionais. Na
verdade, todo algoritmo é um “dispositivo prático, elaborado para facilitar a execução de uma certa
tarefa” (BRASIL, 2007, p. 7). Um exemplo é ordenarmos os ingredientes de uma receita de forma a facilitar
a execução das etapas de elaboração do alimento, outro exemplo são os procedimentos para dirigir um
carro ou armar e instalar um produto em nossa casa. Há pessoas que farão uso dessas técnicas sem
refletir sobre sua ação; estas estão sujeitas a tornarem-se pouco autônomas, agindo mecanicamente,
sem saber como proceder caso algo saia do controle.
De maneira análoga, “quem não dispõe de boas estratégias de cálculo passa por dificuldades em
inúmeras situações do dia a dia, que exigem autonomia de decisões sobre ‘que cálculo fazer’ e ‘como
fazê-lo’”. (Ibidem, p. 8).
Os algoritmos das quatro operações são estratégias de cálculos que se beneficiam da
organização do sistema de numeração decimal, mas que devem ser ensinadas no momento em
que as crianças já dominarem com segurança alguns conceitos, ou pré-requisitos, envolvidos
nessas operações e necessários para que operem com consciência. A seguir apresentamos alguns
desses conhecimentos:
Exemplo de atividade
Algoritmos
• Domínio dos fatos básicos: trata-se de operações em que são empregados
numerais de um só algarismo. São os cálculos realizados em uma operação que
devem ser realizados mentalmente, sem o auxílio do algoritmo (não fazendo uso,
por exemplo, de “arme e efetue”). Aos poucos o aluno deve memorizar resultados
que podem ser aplicados em diversas situações. As tabuadas de multiplicação e de
soma são exemplos de exercícios de aprendizagem dos fatos básicos.
• Sugestão de atividade: pedir às crianças que retirem de seu estojo cinco lápis de cor e
desafiá-las a formar diferentes composições com esses. Exemplos: III + II = 5, II + III = 5,
I + IIII = 5 etc.
• Conhecimento de outras estratégias de resolução: é muito importante que, antes
de ensinar a técnica operatória convencional (“arme e efetue”) – que obriga a criança
a operar da unidade em direção à dezena e desta para a centena (e assim por diante),
ela possa conhecer outras formas de resolução, ou estratégias de resolução. Para que
se compreenda melhor essa possibilidade, demonstramos, a seguir, algumas operações
executadas por alunos do 4º ano de uma escola do município de São Paulo.
17
Unidade I
• Conteúdo: ensinando a decompor.
• Pré-requisitos: saber contagens salteadas de 10 em 10 e 100 em 100.
Exemplos:
1) 156 + 234
1a etapa
156 + 234
100 200
50 30
6
4
2a etapa
300
80
10
3a etapa
300
80 + 10 = 90
4a etapa
300 + 90=390
2) 342 + 839
1a etapa
300 + 800 = 1100 (ou 800 + 200 = 1000 + 100 = 1100)
2a etapa
40 + 30 = 70
3a etapa
2 + 9 = 11
4a etapa
300 + 800 = 1100
5a etapa
70 + 10 = 80 + 1 = 81
6a etapa
1000 + 100 + 81 = 1181
18
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
3) 321 + 547
3
2
1 + 5
8(800)
4
6(60)
7
8(8)
Observação
Este modo deve vir após a compreensão dos valores posicionais; do
contrário, ficará apenas no ato mecânico. É preciso reforçar a leitura
correta da soma ao realizar esse tipo de estratégia, exemplo de 3 + 5,
que se lê “trezentos mais quinhentos”. Deve-se tomar cuidado com as
contas de “vai”, pois essa estratégia ocasiona confusões. As crianças
devem ser estimuladas a pensar na melhor estratégia para resolver um
cálculo.
4) Crianças do 1º ano de uma escola de São Paulo resolveram a seguinte conta dessa forma:
34 + 28
1a etapa
34 = 10 + 10 + 10 + 4
28 = 10 + 10 + 8
2a etapa
10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 50
3a etapa
8 + 4 = 12 (10 + 2)
4a etapa
50 + 10 = 60
5a etapa
60 + 2 = 62
1.2.1 Ensinando o algoritmo convencional: compreendendo as características das faixas
etárias
Como vimos, é necessário construir com a criança estratégias de resolução variadas, levando
em conta sua capacidade de reflexão. Evite exercícios mecânicos e repetitivos. Mais adiante
19
Unidade I
apresentaremos alguns recursos interessantes que você, futuro educador, possa utilizar para
diversificar suas aulas.
Para ensinar o algoritmo convencional, é preciso conhecer as características das faixas etárias
compreendidas entre o 1º e o 5º ano do Ensino Fundamental. Nessa fase a criança se encontra em
transição, segundo Jean Piaget (1971), entre um estágio de desenvolvimento chamado pré-operatório (2
a 7 anos) e estágio das operações concretas (7 a 11 anos). Vamos conhecer esses estágios para podermos
planejar intervenções e atividades eficientes?
Estágio pré-operatório (2 a 7 anos)
Manipular objetos e observar os resultados dessas ações é uma das características marcantes dessa
fase. A criança não depende exclusivamente das sensações para entender e interagir com o ambiente,
o fazendo também na compreensão e uso tanto das palavras e suas representações como dos símbolos
e suas imagens.
Ela associa, por exemplo, uma palavra ao seu significado, mesmo que o objeto nomeado não esteja
em seu campo visual, ou seja, sua capacidade de abstração amplia-se em relação ao estágio anterior
(sensório-motor), em que era necessária a presença física do objeto para nomeá-lo.
Em termos matemáticos, a criança nessa fase é capaz de ordenar, classificar e fazer correspondências
entre objetos. Na maioria das vezes, não é capaz de entender a reversibilidade nem conservar a quantidade
por meio de seu pensamento. Um exemplo: há dois copos, um baixo e largo e o outro comprido e
estreito. Coloca-se uma certa quantidade de água em um e depois se verte a água no outro. A criança
não compreende que a quantidade se manteve, e diz que há mais em um do que no outro. Sobre a
reversibilidade, um exemplo: pede-se a criança que junte três figurinhas com mais duas figurinhas,
essa operação ela realiza com sucesso. Agora se pede que de cinco figurinhas ela retire duas, ou seja, o
inverso. Na maioria das vezes, ela encontra dificuldade.
A incapacidade de a criança se colocar no lugar do outro e seu egocentrismo (que é a centralização
dos pensamentos sobre si mesma), a partir de seu ponto de vista e não o do outro, também são
característicos.
Uma dica de trabalho com Matemática nessa fase é proporcionar jogos e situações-problema em
que a criança tenha que partilhar impressões ou comparar o resultado das quantificações. Por exemplo,
ao final de um jogo de palitinhos, pedir que os participantes contem o resultado obtido uns dos outros.
É objetivo do trabalho de Matemática com crianças de seis anos de idade, no fim da Educação
Infantil em algumas localidades ou no início do Ensino Fundamental em outras, desenvolver a capacidade
de pensar a Matemática como algo dotado de sentido e possibilidade de uso real. A criança precisa
reconhecer a aplicação para então conhecer de fato o conceito.
Os jogos são fundamentais para o trabalho nessa área do conhecimento, assim como os
problemas, não apenas os enunciados por escrito, mas todas as situações em que os alunos
20
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
necessitem usar o raciocínio a fim de buscar soluções. Em ambos os casos, pensa-se em favorecer
o desenvolvimento e o uso de estratégias pessoais. Para registrá-las, os alunos poderão fazer uso
da “linguagem matemática” convencional (com seus símbolos numéricos e sinais próprios, como
+ e -) ou criar formas de representá-las. É recomendável garantir atividades em que as estratégias
e as representações particulares sejam socializadas e discutidas em grupo, a fim de permitir a
circulação de informações entre as crianças e a apropriação de estratégias e representações mais
econômicas e eficientes.
Para a elaboração das situações-problema, sugere-se utilizar fatos do dia a dia das crianças para pensar
sobre as quantidades, compará-las ou operá-las. Elas devem envolver principalmente cálculos de adição
e subtração, noções aditivas da multiplicação e fracionárias da divisão. Contar, comparar, reconhecer e
grafar corretamente os números e as quantidades e usar adequadamente sinais matemáticos básicos,
como + (mais), - (menos) e = (igual), é desejável.
Em todas as situações, reais ou fictícias, deve-se ter em mente a importância do lúdico, do prazer, e
a possibilidade de explorar o interesse da criança, sua vontade em se arriscar sem medo do erro e suas
possibilidades de comunicar estratégias por meio de uma linguagem que traduza com eficiência as
bases de seu pensamento.
Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Pensando em crianças que estejam entre 6 e 7 anos (equivalente ao 1º e 2º anos do Ensino
Fundamental) e que tenham frequentado a Educação Infantil, considera-se que elas tenham muitas
informações no que se refere ao nosso sistema de numeração decimal e suas relações, que saibam
operar minimamente e que tenham algumas estratégias de resolução construídas ou aprendidas.
Procura-se garantir situações em que as crianças se sintam desafiadas a arriscar e que criem
ou aperfeiçoem estratégias pessoais para resolução dos problemas apresentados. Espera-se que
identifiquem regularidades na contagem e na representação de números de diferentes grandezas,
que conheçam e usem medidas convencionais e não convencionais, que continuem avançando na
compreensão do sistema de numeração decimal e que consigam transpor os conteúdos aprendidos
para as mais diversas situações.
Sendo assim, o trabalho nessa faixa etária continua tendo nos jogos, nos problemas e nas
situações cotidianas espaços privilegiados para se fazer relações matemáticas significativas.
Deve-se garantir uma gama de jogos que possibilitem o estabelecimento de inúmeras relações
matemáticas, que aprimorem inclusive conteúdos de procedimentos e atitudes. Baralhos, trilhas
e percursos, bingos, xadrez, damas, dominós tradicionais ou pedagogicamente modificados são
alguns dos jogos de que se pode lançar mão nos 1º e 2º anos. Uma boa dica para o ensino da
Matemática nessa fase é ter à mão um kit com objetos que facilitem o cálculo e a contagem, como
sementes, palitos, pedrinhas e miçangas, por exemplo.
21
Unidade I
Figura 1 - Materiais para jogos de Matemática
Os problemas propostos devem envolver as quatro operações e podem ser desenvolvidos
previamente pelo educador ou advir de uma situação cotidiana inesperada. Ainda se privilegiam
as estratégias pessoais de resolução, sempre as partilhando com os demais colegas da classe e
incentivando a troca, principalmente daquelas mais lógicas e econômicas. O educador deve ser
modelo também de resoluções convencionais, a fim de introduzir a linguagem matemática mais
formalizada, a exemplo de seu papel na escrita e notação numérica. Ou seja, não deve se eximir de
seu papel de mediador do conhecimento.
Estágio das operações concretas (7 a 11 anos)
A criança nesse estágio, que perpassa o 3º, 4º e 5º anos, é ainda dependente, na maioria dos casos,
da visualização dos objetos referidos para operar. Isso quer dizer que ela opera concretamente, apesar
de seu nível de abstração estar cada vez maior.
Ela consegue classificar, seriar e compreender a relação entre número e numeral, estruturas de
espaço e tempo, e a realização de operações básicas com estratégias próprias e outras formalizadas.
É também capaz de conservar a quantidade mesmo em situações desafiadoras, como apresentar as
mesmas quantidades em disposições diferentes, por exemplo, agrupar sementes em um montinho e
depois espalhar a mesma quantidade.
A manipulação de objetos, como quantificar palitinhos e realizar cálculos utilizando os dedos ou
sementes, ainda é necessária, principalmente no início do 3º ano do Ensino Fundamental. É possível,
entre o 3º e o 4º anos, operar cálculos de valores elevados utilizando técnicas operatórias mais formais,
principalmente o algoritmo convencional.
22
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Exemplo de aplicação
Dicas e sugestões de atividades para essa fase
Todo trabalho desenvolvido nessa faixa etária, que compreende o equivalente ao 3º, 4º e 5º anos, deve
dar continuidade ao que vem sendo realizado desde os 1º e 2º anos, sem rupturas abruptas. Conteúdos
como divisão e multiplicação ganham mais força, com valores de cálculo cada vez maiores e mais
desafiadores, e aprimoram-se as estratégias de resolução para a subtração e a adição.
Por meio de instrumentos como a calculadora, o ábaco e o material dourado, pode-se ensinar a
“conta de armar”, ou algoritmo convencional. A criança deve ser motivada a aprimorar seu cálculo
mental, inclusive memorizando a tabuada/fatos da adição, da subtração e da multiplicação, a chamada
memorização compreensiva. O trabalho com medidas pode ser ampliado, bem como o ensino da
Geometria, da leitura e interpretação de tabelas e gráficos, e da leitura e compreensão dos números
fracionários (1/2, 1/3, 1/4).
Montagem de um ábaco
O ábaco é um dos muitos instrumentos de
cálculo que ajudam na compreensão do sistema de
numeração deciama, além de ser um ótimo auxiliar
na compreensão do algorítimo convencional, ou
contas de “armar”, facilitando o entendimento
das noções de “vai um” ou de “empréstimo”. Pode
ser construído com diversos materiais e formatos,
um dos mais comuns é o vertical (foto), em que as
argolas representam as unidades, dezenas, centenas
e milhares, de acordo com a sua posição da direita
para a esquerda. É possível encontrá-lo pronto para
comprar no comércio, em geral em seu formato
horizontal com argolas de “correr”.
Figura 2 - Montagem de um ábaco
Sempre que possível, os desafios matemáticos devem se aproximar das situações reais de uso; assim,
além das atividades tradicionais escolares, deve-se fazer uso de jogos, incentivar a consulta de fontes
diversas como jornais e revistas, e criar situações de compra e fatos cotidianos, como a simulação de um
mercado na classe.
1.2.2 Utilizando o ábaco
Vamos apresentar algumas formas de ensinar o algoritmo convencional (modelo “arme e efetue”)
por meio de um instrumento simples, barato e muito útil.
23
Unidade I
O modelo “arme e efetue” é bastante importante e significativo, pois representa uma grande
invenção humana, a possibilidade de operar cálculos que a mente não dá conta a partir da utilização dos
princípios do sistema numérico decimal. Para que a criança possa se valer dessa estratégia de resolução,
é necessário, como já dito, que ela tenha clareza do que está fazendo.
Em geral ensinamos o chamado algoritmo convencional (arme e efetue) entre o 2º e o 3º anos
do Ensino Fundamental. O ábaco é um instrumento que permite mostrar à criança noções de “vai
um” (adição com reserva) e empréstimo (subtração com reserva). Portanto, ele é eficaz para essas duas
operações, a adição e a subtração, mas é na sua capacidade de mostrar à criança o valor posicional que
ele se apresenta como um excelente recurso didático.
Exemplo de atividade
Sequência utilizando o ábaco – compreensão do valor posicional
1) Represente no ábaco os números:
a) 102
b) 1992
c) 73
d)836
1) Represente no ábaco os números:
24
a) 102
b) 1992
c) 73
d)836
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje:
b) O ano em que nós estamos:
c) Um número par com três
algarismos:
d) Um número terminado em
0 maior que 90:
e) Um número maior que 500
e menor que 1000:
2) Desenhe o ábaco e represente os números pedidos:
a) Sua idade hoje:
6
b) O ano em que nós estamos:
2
0
1
2
1
2
2
1
0
0
6
3
1
c) Um número par com três
algarismos:
d) Um número terminado em
0 maior que 90:
e) Um número maior que 500
e menor que 1000:
25
Unidade I
3) Represente no ábaco os números decompostos e escreva-os embaixo.
a) 2 centenas e 4 unidades:
.....................
b) 6 centenas:
.....................
c) 2 dezenas e 6 unidades:
.....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades:
.....................
e) 5 dezenas:
.....................
a) 2 centenas e 4 unidades:
204
.....................
600
.....................
b) 6 centenas:
26
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
c) 2 dezenas e 6 unidades:
26
.....................
d) 1 centena, 7 dezenas e 2 unidades:
172
.....................
e) 5 dezenas:
50
.....................
4) Decomponha os números a seguir e depois faça o registro deles no ábaco desenhado.
Número
Decomposição
a) 249
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
b) 942
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
c) 603
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
d) 129
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
e) 227
____ unidades
____ dezenas
____ centenas
Registro no ábaco
27
Unidade I
Número
Decomposição
a) 249
9 unidades
4 dezenas
4 centenas
b) 942
2 unidades
4 dezenas
9 centenas
c) 603
3 unidades
0 dezenas
6 centenas
d) 129
9 unidades
2 dezenas
1 centenas
e) 227
7 unidades
2 dezenas
2 centenas
Registro no ábaco
1.2.3 Multiplicação
A multiplicação envolve uma gama de conhecimentos sobre as propriedades dos números e
das operações, exigindo da criança estabelecer relações entre conceitos aprendidos, como as somas
sucessórias (por exemplo: 3 + 3 + 3 ou 3 x 3). Também é desejável que tenha memorizado os fatos
básicos (tabuada) do 1 ao 10, que servirão de base para que a criança possa compreender e operar o
algoritmo convencional da multiplicação.
A aprendizagem da multiplicação deve ser realizada com base em dois enfoques. Um deles diretamente
interligado à adição de parcelas iguais e o outro como raciocínio combinatório.
A adição de parcelas iguais pode ser exemplificada com o seguinte raciocínio:
2X4=4+4
4X2=2+2+2+2
O raciocínio combinatório equivale à verificação de quantas possibilidades há para se formar pares
com duas coleções.
Se uma menina tem 3 saias e 2 camisetas, de quantas maneiras diferentes ela pode se vestir sabendo
que suas saias são vermelha, rosa e preta e suas camisetas amarela e branca?
28
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Quadro 2 – Possibilidades combinatórias
Saia vermelha
Saia rosa
Saia preta
Camiseta amarela
*
*
*
Camiseta branca
*
*
*
Resposta: seis combinações (2 X 3 = 6)
Exemplo de atividade
Sequências utilizando a adição de parcelas iguais
Exemplo A
1) Pinte da mesma cor os quadros correspondentes:
4x5
3+3+3+3+3
2+2
3+8
2x6
10 + 10 + 10
5+5+5+5
4 x 10
2x2
6+6
5x3
5x7
8+8+8
7+7+7+7+7
2) Escreva a adição correspondente a estas multiplicações e dê o resultado:
2x5=
5+5
=
10
.
8 x 2 = _______________________= ___________
5 x 6 = _______________________= ___________
4 x 5 = _______________________= ___________
3 x 7 = _______________________= ___________
5 x 5 = _______________________= ___________
3 x 4 = _______________________= ___________
3 x 8 = _______________________= ___________
4 x 3 = _______________________= ___________
5 x 0 = _______________________= ___________
4 x 1 = _______________________= ___________
6 x 2 = _______________________= ___________
3) Escolha 2 multiplicações do exercício 2 e monte um único problema usando estas
operações e outras que achar necessário:
29
Unidade I
Exemplo B
1) Pinte de azul a casinha do 8 e continue pintando de 8 em 8:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
2) Quais os resultados que você encontrou nas multiplicações por 8?
3) Monte as multiplicações por 8:
1x8=
2x8=
Exemplo C
1) Efetue as multiplicações por 9:
1x9=
2x9=
3x9=
4x9=
30
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
5x9=
6x9=
7x9=
8x9=
9x9=
10 x 9 =
2) Observe os resultados e registre suas descobertas:
3) Pinte de amarelo a casinha do 10 e continue pintando de 10 em 10:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
4) Monte as multiplicações por 10:
1 x 10 =
2 x 10 =
1.2.4 Divisão
A divisão também tem dois enfoques. De início, a criança será levada a explorar apenas a chamada
divisão-repartição, para chegar depois à divisão-comparação ou medida.
31
Unidade I
• Divisão-repartição: a ação de repartir encontra-se em situações nas quais é conhecido o número
de grupos que deve ser formado com um determinado total de objetos, e é preciso definir a
quantidade de objetos de cada grupo. Por exemplo: se 12 lápis precisam ser separados em 4
subconjuntos iguais, quantos lápis haverá em cada subconjunto?
• Divisão comparação ou medida: ações que envolvem este tipo de divisão são encontradas em
situações nas quais é preciso saber quantos grupos podemos formar com um determinado total
de objetos, sendo conhecida a quantidade que cada grupo deve ter. Por exemplo: se 12 lápis serão
separados em subconjuntos de 3 lápis cada um, quantos conjuntos serão feitos?
Em atividades de divisão-repartição, a criança sabe, por exemplo, que deve distribuir os 12 lápis em 4
caixas ou pelos 4 cantos da mesa. Isso permite a aplicação de uma estratégia simples: ela pode distribuir
1 lápis de cada vez, até que os lápis se esgotem. Após essa ação, ela verifica, então, quantos lápis ficaram
em cada caixa ou canto da mesa. Já na divisão-comparação, a criança tem os mesmos 12 lápis sobre
a carteira e sabe que deve formar grupinhos de 3 lápis. Ela deverá aplicar outra estratégia: separar seu
material de 3 em 3 e verificar, ao final da atividade, “quantos cabem”, ou seja, qual a quantidade de
grupos formados (BRASIL. (a), 1997).
Exemplo de atividade
Sequências usando a divisão repartição
1) Um video game custa em média R$ 1.000,00. Quanto custará cada parcela, se o valor for
dividido em 4 vezes?
2) Um álbum de figurinhas tem 576 figurinhas. Quero distribuí-las igualmente em 64
páginas. Quantas figurinhas deverão ser coladas em cada página?
Sequências usando a divisão comparação ou medida
1) Em um prédio de apartamentos, uma reforma custou R$ 6.150,00. Para cobrir as despesas,
os moradores de cada apartamento deram R$ 150,00. Quantos eram os apartamentos?
2) Preciso distribuir 1.230 refrigerantes em caixas. Cada caixa cabe 24 refrigerantes.
a) Quantas caixas ficarão completas?
b) Quantos refrigerantes caberão na caixa incompleta?
1.2.5 Frações
As frações surgem, depois de todas as operações com números naturais terem sido inventadas,
da necessidade do homem quantificar e registrar partes (frações/farturas) de um todo, que pode
ser um objeto ou uma quantidade numérica abstrata.
32
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
As operações com frações tornam-se um difícil aprendizado para os alunos se partirmos para
a explicação dos conceitos sem que eles tenham atingido a compreensão de sua utilização na
prática. É indispensável o contato com material concreto e com dados da realidade, como uma
forma de ajudar os alunos a perceberem a utilidade prática de aprender a lidar com números
fracionários.
Apresentamos a seguir uma sequência interessante que busca sistematizar a leitura, o registro e o
uso dos números representados por frações mais comuns. Visa levar o aluno a compreender e calcular
frações de quantidades utilizando pesquisa, desenho e material concreto e o ensina a comparar frações
e atingir a noção de equivalência de frações.
Saiba mais
Você encontrará observações e sugestões interessantes de atividades no
endereço <http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/fasciculo_mat.pdf>.
A fração é um conceito matemático amplamente utilizado na nossa vida prática. Quando fazemos
receitas em nossa cozinha, ou quando enchemos o tanque de combustível, estamos operando com
frações, sem necessariamente estar entendendo os conceitos envolvidos.
Nessa aula, pretendemos utilizar os conhecimentos trazidos pelos alunos e suas experiências do dia
a dia para dar significado aos conceitos sistematizados sobre as operações com frações, estabelecendo
assim um diálogo entre os conhecimentos empíricos (da experiência dos alunos) e os sistematizados
pela escola (teóricos).
Exemplo de atividdade
Sequência de frações
Estas atividades são recomendadas para o 3º e 4º anos.
Método de trabalho: análise e reflexão em grupo, experimentação e pesquisa em grupo
e individual, registro coletivo de informações, atividades escritas para serem resolvidas
coletiva e individualmente, resolução de situações-problema e aulas expositivas.
Material necessário: recipientes (garrafas, vasos, copos, xícaras e outros), diversos
alimentos (de acordo com a receita utilizada), folhas de sulfite e cartolina (para cartazes).
Avaliação: contínua e progressiva. A cada passo o professor avalia, por meio de diversos
instrumentos (observação, atividades avaliativas escritas, entre outras), e com base nessas
avaliações ele planeja suas ações.
33
Unidade I
Descrição da aula
Primeiro passo
Levar algumas receitas em que apareçam frações para a sala de aula, e pedir que os alunos,
em grupos, destaquem a forma como estão registradas as quantidades de ingredientes.
Abordar com os grupos suas conclusões e dúvidas, destacando na lousa as informações
obtidas e ressaltando de que maneira se lê e se interpreta os números representados por
frações.
O professor não precisa necessariamente utilizar os termos “numerador” e “denominador”,
porém precisará explicar aos alunos como se lê um número fracionário. Deverá deixar claro
que o número que fica acima do traço (numerador) lê-se exatamente como é (um, dois, três
etc.), e que o número abaixo do traço (denominador), possui um nome particular: “2” lê-se
meio, “3” lê-se terço, “4” lê-se quarto, e assim por diante.
É importante explicar que o número fracionário representa uma parte do todo que
se quer utilizar. Portanto, quando se diz 1/4 (um quarto) do quilo de café, significa que
ao dividirmos o quilo de café em quatro partes, queremos utilizar apenas uma delas. Esta
explicação deverá ser retomada a todo instante, seja na orientação teórica, seja na utilização
de material concreto, para fixar com os alunos o seu significado.
Dica: Utilizar um quadro pode ser uma boa maneira de deixar esta explicação exposta
para futuras consultas.
Quadro 3 – Números e frações de 1 a 9
2
3
4
5
6
7
8
9
meio
terço
quarto
quinto
sexto
sétimo
oitavo
nono
Segundo passo
Propor algumas atividades, tais como:
• fazer com os alunos algumas receitas em que sejam utilizadas frações;
• utilizar recipientes (copo, vaso, xícara, garrafa) para medir quantidades, por exemplo:
1/2 xícara de açúcar, 1/4 de litro de leite, entre outros;
• utilizar alimentos que possam ser divididos, como pizza 1/2 mussarela 1/2 calabresa, 1/4
de quilo de café, entre outros.
Observação: nesta atividade o professor deverá retomar a ideia inicial, explicando que o
número fracionário representa uma parte do todo que se vai utilizar. Por exemplo, que 1/2
é a metade de um todo, ou seja, de um todo divido em duas partes.
34
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Terceiro passo
Pedir aos alunos que pesquisem em quais situações do cotidiano se utilizam frações. O
professor também pode sugerir portadores de fração (receitas, cartazes etc.), caso os alunos
não tragam material suficiente. É possível que surjam respostas como:
• receitas: 1/2 xícara, 1/4 de copo, 1/2 litro, 1/2 quilo;
• relógio: meia hora, meio-dia, meia-noite, 1/4 de hora;
• tanque de combustível: 1, 3/4, 1/2, 1/4;
• meias: meia 3/4, meia 7/8;
• construção civil: 1/2 metro, 1 1/2 polegada, 1/4 de areia;
• estatísticas: 1/3 da população; 1/4 das urnas foram apuradas até o momento.
As informações devem ficar registradas em local de fácil consulta (caderno, mural,
cartaz).
Tendo como base as informações obtidas, portadoras de fração, o professor poderá
desenvolver diversas situações-problema, como por exemplo:
1) Para ir para o trabalho meu pai utiliza 15 litros de gasolina, ou 1/4 de tanque de
combustível. Responda:
a) Quanto ele gasta para ir e voltar?
( ) 3/5
( ) 1/4
( ) 1/2
( ) 3/4
b) Quantos litros ele gastará deixando o tanque vazio, sabendo que 1/4 corresponde a
15 litros?
2) Se 1/3 das urnas foram apuradas em 4 horas, quantas horas levará a apuração inteira?
3) Numa sala de aula há 36 alunos, e 1/3 deles possuem animais de estimação. Quantos
não possuem?
Dicas:
• Redigir receitas com os alunos pode ser uma boa maneira para que aprendam a
registrar números fracionários. Elaborar as receitas também pode ajudar a fixar os
conceitos aprendidos.
• O trabalho com estatísticas pode enriquecer a aprendizagem. Por exemplo, pode-se
montar com os alunos um gráfico representando diversas situações, como a fração
35
Unidade I
de alunos do sexo masculino e feminino, a fração de alunos que moram em casa ou
apartamento, e assim por diante.
Quarto passo
A partir do trabalho com os números fracionários na prática, e verificando a real
compreensão dos alunos, o professor poderá introduzir conceitos importantes para as
operações com números fracionários.
Numerador e denominador
Numerador: é o número que fica acima do traço. Ele numera a quantidade de partes
utilizada do todo.
Denominador: é o numero que fica abaixo do traço. Ele denomina a quantidade de
partes em que foi dividido o todo.
1/4
Frações equivalentes e simplificação de frações
Exercícios com papel podem ajudar os alunos a entenderem a noção de equivalência e facilitar a
compreensão na hora de operar a adição de frações com mesmo denominador.
Uma forma de realizar esse trabalho é entregar a cada aluno várias tiras de papel de mesmo
comprimento e altura. Elas deverão ser dobradas ou cortadas para formarem as seguintes operações:
1/2 + 1/2 = 2/2 ou 1 inteiro
1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 ou 1 inteiro
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 ou 1 inteiro
1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 5/5 ou 1 inteiro
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 ou 1 inteiro
36
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7 + 1/7+ 1/7 + 1/7 = 7/7 ou 1 inteiro
1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 +1/8 + 1/8 = 8/8 ou 1 inteiro
Com o material nas mãos, o professor poderá trabalhar com os alunos a equivalência entre frações,
mostrando que existem certas porções iguais em inteiros de um mesmo tamanho, quando divididos (é
o que acontece quando tomamos 1/2, 2/4, 3/6 ou 4/8, e assim por diante).
Ainda utilizando esse tipo de material, o professor poderá trabalhar com os alunos a simplificação
de frações. Em vez de apenas ensinar o processo de divisão do denominador pelo numerador, ele poderá
comprovar, na prática, que 12/36 equivalem a 1/3, quando se trata de inteiros de mesmo tamanho.
Exemplo de atividade
Alguns problemas envolvendo frações
1) Numa área reservada foram plantadas 396 árvores. A terça parte desse total é de
pinheiros. Quantos pinheiros existem nessa área?
2) Karim e Luiza estão lendo um livro de crônicas que contém 348 páginas. Karim já leu
3/4 do livro, e Luiza já leu 3/6.
a) Sem fazer nenhum cálculo, você consegue saber quem leu mais páginas? Explique.
b) Quantas páginas faltam para cada uma terminar de ler esse livro?
3) O pipoqueiro da escola ganha R$ 273,00 por semana. Quanto ele receberá se trabalhar
19 dias?
4) Toda 6ª feira vou para a escola com R$ 36,00 e só gasto 2/6 deste dinheiro. Com
quanto volto para casa?
37
Unidade I
5) Recebo de meu pai R$ 210,00 de semanada.
a) Quanto posso gastar por dia de forma que eu tenha dinheiro a semana toda?
b) Quero comprar um tênis que custa 3/7 da minha mesada. Quanto custa o tênis?
c) Quanto vai me sobrar em dinheiro?
d) Do restante do meu dinheiro, vou gastar 2/4 em roupa. Quanto vou gastar em
roupa?
6) Numa sala de aula com 40 alunos, 3/4 são meninos e o restante meninas. Quantas são
as meninas? Desenhe a fração.
7) Juliana já leu 1/7 do livro “A droga da obediência”.
a) Desenhe a fração.
b) Sabendo-se que o livro tem 105 páginas, quanto Juliana já leu?
c) Quanto em fração falta para ela terminar de ler o livro?
8) Na prova de Ciências, Cláudia acertou 5/7 das questões. Sabendo-se que ela errou 6
questões, responda:
a) Quantas questões Cláudia acertou?
b) Quantas questões havia na prova toda?
c)Desenhe a fração.
Saiba mais
Para conhecer outras maneiras de trabalhar as quatro operações e a
fração/porcentagem, acesse o site do Programa de Formação Continuada
de Professores dos Anos/Séries Iniciais do Ensino Fundamental: <portal.
mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Sugerimos especial atenção aos
fascículos 2 e 4.
1.3 Espaço e forma
Trabalhamos os objetivos e conteúdos de espaço e forma durante todo o Ensino Fundamental (1º
ao 5º anos). Espera-se que as crianças se aproximem do uso de instrumentos e sistemas de medidas
convencionais, utilizando procedimentos pessoais e unidades de medida não convencionais – por
exemplo, medindo objetos e espaços com os pés, as mãos e pedaços de barbante. Futuramente, aprendem
38
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
a usar régua, metros, trenas e outros instrumentos padronizados de medidas, além de se familiarizarem
com conceitos de metro (m), centímetro (cm), metro linear, metro quadrado e metro cúbico.
O objetivo, segundo os PCN de Matemática (BRASIL, 1997), é que os alunos possam ter a oportunidade
de lidar com esses elementos em situações do cotidiano, e que realizem algumas estimativas de resultados
de medições. Espera-se que o aluno utilize elementos de posição como referência para situar-se e
movimentar-se em espaços que lhe sejam familiares, assim como para definir a situação de um objeto
num determinado espaço.
Acerca da forma (ou geometria), deseja-se que o aluno seja capaz de estabelecer semelhanças e
diferenças entre os objetos, pela observação de suas formas.
Nas aulas sobre espaço e forma, devemos proporcionar diferentes situações que levem o aluno a
realizar observações e chegar a conclusões associadas ao que observa no cotidiano. Não se trata, de
forma absoluta, de “decorar conceitos”, saber de memória o nome dos sólidos geométricos ou das
formas planificadas. As crianças devem ser incentivadas a se expor de forma gráfica, oral, trazendo e
mostrando materiais etc.
1.4 Geometria e medidas
Geometria é o estudo das propriedades dos objetos e das transformações às quais podem ser
submetidas, como alteração de posição, alteração de tamanho ou deformações. Por causa de necessidades
humanas, o nosso mundo é constituído de objetos que agem uns sobre os outros, transformando-se
mutuamente, e de ações humanas que causam modificações a esses objetos. Podemos mesmo dizer que
o mundo em que vivemos é geométrico. Talvez seja por isso que a Geometria foi o primeiro corpo de
conhecimento a se organizar historicamente em um sistema ordenado e coerente de ideias a respeito do
mundo. O método criado para isso, o dedutivo, serviu depois de modelo para todas as demais ciências
ao longo da história.
Desde o seu nascimento, as ações da criança ao explorar o espaço e conhecê-lo revelam uma
geometria espontânea, isto é, independente dos ensinamentos escolares, mas influenciada pelo meio
social e pela riqueza das experiências da criança. É por isso que a criança é um ser inquieto, que se
movimenta, sem descanso, por todos os lados, manipulando e explorando ativamente os objetos que a
rodeiam, primeiro pelos sentidos e, mais tarde, pela razão.
A Geometria está também presente na natureza. Malba Tahan (2001) expressa bem esta questão:
É notável a variedade de formas geométricas que os organismos vivos
nos apresentam. Os alvéolos das abelhas apresentam a forma de prismas
hexagonais que se fecham por meio de três losangos iguais e ligados. Podese ver a hélice cônica rigorosamente desenhada no perfil de uma concha.
No girassol vemos um feixe de espirais logarítmicas e as curvas, com um
ponto em comum, formam um entrelaçamento de rara beleza. Um caramujo
se desenvolve segundo uma espiral logarítmica. A geometria, disse Platão,
39
Unidade I
existe por toda parte. No disco do Sol, na folha da tamareira, no arco-íris, no
diamante, na estrela do mar, na teia de aranha, na flor de maracujá. Vamos
encontrar, no perfil de certas palmeiras, uma curva que os matemáticos
estudam e analisam como todas as minúcias. É a curva logarítmica. É a
forma adotada por um princípio de economia, pois o vegetal, adotando
o perfil logarítmico, pode, com a menor quantidade de material, resistir
melhor ao empuxo do vento. O engenheiro, depois de longas e laboriosas
transformações de cálculo infinitesimal, demonstra que a curva logarítmica
é o perfil mais conveniente para uma torre de farol. A palmeira parecia
conhecer esse segredo (TAHAN, 2001 pp. 45-46).
Saiba mais
Sugerimos que o educador conheça a obra O homem que calculava,
escrita por Malba Tahan, na qual é encontrado um importante referencial
sobre a história da Matemática e diversos conteúdos matemáticos em
forma de romance, que podem ser adaptados a crianças de qualquer
idade.
A Geometria está presente em várias áreas da atividade humana, como a do engenheiro, do arquiteto,
do decorador de ambientes, do paisagista, dos operários da construção civil, do artista plástico, do
coreógrafo, da organização do tráfego de uma cidade, da costureira, do estilista de moda, do piloto de
avião, do comandante de um navio e até mesmo do menino que dobra e recorta papéis ou madeira para
fazer um brinquedo.
Sendo assim, poderíamos pensar que a aquisição racional das relações espaciais se daria
espontaneamente no indivíduo, decorrendo naturalmente de estímulos ambientais aleatórios. Mas isso
não é verdade. São precisos vários anos de desenvolvimento da criança para que se possa construir o
espaço perceptual, com a participação fundamental da maturação orgânica e psicológica. Por outro
lado, a construção do espaço conceitual, ou lógico, é devida em grande parte à aprendizagem e ao
desenvolvimento de relações perceptivas e do raciocínio lógico. É aí que entra o papel da escola com o
ensino da Geometria.
Saiba mais
Sugerimos também o acesso ao endereço eletrônico do programa Arte
na Matemática, que trata de maneira instigante a Geometria e outros
conteúdos matemáticos. Disponível em: <http://www2.tvcultura.com.br/
artematematica/home.html>.
40
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Para muitos professores, o ensino de Geometria no Ensino Fundamental é associado apenas ao
trabalho de nomear figuras simples, como quadrado, triângulo, retângulo e círculo, e calcular a área
e perímetro dessas figuras. Isso, além de não esgotar o conteúdo geométrico necessário no Ensino
Fundamental, se constitui em seus assuntos terminais.
Para ensinar Geometria para crianças, há que se buscar um ensino conceitual construtivista que
propicie um aprendizado não apenas por meio dos sentidos, mas baseado em conceituação e construção
em uma exploração ativa dos objetos reais, funcionando como retificadores de erros resultantes da mera
avaliação perceptiva ou de ideias preconcebidas.
Lembrete
A manipulação de objetos concretos não conduz necessariamente
à formação de conceitos. Os objetos concretos devem permear todo o
processo de aprendizagem, mas só se prestam à análise geométrica quando
mediados pelos conceitos e construções.
Não é suficiente afirmar que o ensino de Geometria deve se iniciar pelo estudo dos objetos reais e
desenvolver-se no sentido espaço-plano. É preciso que o ensino-aprendizagem de Geometria não tenha
um sentido único e obrigatório de percurso. Deve ser um “ir e vir” de explorações de superfícies e sólidos
do espaço tridimensional sempre que possível e necessário, favorecendo o estabelecimento de relações
entre essas dimensões.
Saiba mais
Para obter algumas sugestões de atividades envolvendo geometria,
acesse o site: <http://revistaescola.abril.com.br/matematica/praticapedagogica/tangram-geometria-figuras-planas-618928.shtml>.
O ensino de Geometria para crianças deve priorizar a exploração conceitual e lógica de fenômenos
relativos:
• à forma dos objetos, distinção, reconhecimento e representação;
• às relações posicionais dos objetos entre si e de suas partes;
• às relações métricas dos objetos;
• às propriedades das transformações aplicadas aos objetos.
Para tanto, o professor deve proporcionar aos seus alunos experiências de classificações sucessivas
utilizando critérios ou conceitos, indo dos mais gerais aos mais específicos. Dessa forma, as figuras
41
Unidade I
mais utilizadas na escola aparecerão no final do processo, pois as crianças precisarão de conceitos
intermediários para construírem autonomamente essas figuras, conhecendo com profundidade tais
figuras e as relações entre elas.
Um bom exemplo disso é o trabalho didático que se pode fazer com o tangram, um antigo jogo
chinês que, com sete peças geométricas, admite a montagem de um grande número de figuras. As
peças são sempre um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos retângulos. Essas peças têm
relações de tamanho entre elas, de tal forma que, dois dos triângulos podem formar o quadrado
por justaposição, isto é, se colocados lado a lado sem superposição. Esses mesmos dois triângulos
podem formar um outro triângulo e também um paralelogramo. E essas cinco peças menores
podem todas juntas formar os dois triângulos grandes do jogo. É fácil concluir que existem várias
relações de forma e tamanho entre as peças, o que permite ao professor trabalhar com os alunos
situações que vão desde as posições das peças até o conceito de fração mediante a comparação
dos tamanhos das peças.
Saiba mais
Você pode conhecer mais sobre o uso de dobraduras no ensino de
Geometria consultando os sites:
<http://euler.mat.ufrgs.br/~ensino2/alunos/02/index.html>;
<http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/2007/trab_finais/EF-TrabFinalEdney.pdf>.
1.4.1 Dimensões
O critério geométrico mais comum para a classificação de objetos está baseado no conceito de
dimensão.
Considerando um objeto como uma linha, podemos verificar que, ao cortá-la em duas partes, o corte
utiliza só um ponto. Assim, todo objeto que tem como seção um ponto é unidimensional. É chamado
de curva ou caminho.
Uma folha de papel sulfite, por exemplo, se for dividida em dois pedaços, o corte será feito sobre
uma curva ou caminho. Objetos cujo corte é uma curva ou caminho são objetos bidimensionais. Um
objeto bidimensional é chamado de superfície.
Se uma bola de isopor for cortada em duas partes, o corte será uma seção bidimensional. Objetos
cujo corte é bidimensional, como uma bola, são chamados tridimensionais. Todo objeto que for
tridimensional é um sólido.
42
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Para o desenvolvimento de noções geométricas, o professor deve preparar para as aulas um
universo de objetos variados com a participação dos alunos. Esse universo deve ser composto
por rolhas, borrachas de várias formas, objetos de isopor, massa de modelar, barras de sabão,
pedaços de linha de várias cores, fios de cobre recobertos e coloridos, barbante, dobraduras de
papel colorido, embalagens, copinhos de plástico, pratinhos de papelão, sólidos geométricos de
madeira, bolinhas de pingue-pongue, bolinhas de gude, poliedros de cartolina, legumes, lâminas de
alumínio, molas, fios flexíveis, moedas, anéis, figuras geométricas planas que podem ser acopladas
com elásticos para montar sólidos.
Inicialmente, o professor deve pedir aos alunos para que separem os objetos em grupos,
usando critérios de semelhança. São classificações espontâneas, que deverão ser exploradas pelo
professor com o objetivo de verificar quais os critérios que inspiraram tais classificações. Esses
critérios são geométricos?
O professor deve pedir que os alunos verbalizem e expliquem tais separações, observando
a linguagem geométrica espontânea da criança. Aos poucos, o professor vai escolhendo certos
grupos de objetos que permitem a exploração de intuições geométricas propriamente ditas. O
professor pode escolher objetos de dimensões diferentes e, com ajuda de uma faca ou tesoura,
trabalhar com os alunos o conceito de corte como recurso de classificação, introduzindo os
conceitos de curva, superfície e sólido.
A seguir o professor pode iniciar com os alunos o estímulo às representações dos diferentes objetos
estudados. Exemplo: uma argola, uma moeda e uma bola de gude. Propor que os alunos desenhem esses
objetos de modo que o aluno os reconheça nas suas diferenças, apenas observando os desenhos.
O professor deve comentar com toda a classe os vários trabalhos dos alunos, discutindo com eles
a necessidade de fixar alguns critérios para representar figuras parecidas em uma folha de papel,
levantando questões como quais foram as figuras de maior dificuldade de representar e por que. Devese ainda associar essas dificuldades à noção de dimensão e discutir as formas de representação feitas
pelos alunos e as vantagens de se adotar padrões de representação.
1.4.2 Identificação de figuras
Além de definir a dimensão do objeto, o segundo critério para classificação de objetos é o conceito
de planicidade. As superfícies dividem-se em planas e não-planas. Uma superfície é considerada plana
quando não possuir ondulações, depressões, dobras ou rugosidades em qualquer de suas partes.
Intuitivamente, toda superfície plana deve resistir ao teste da mesa. Ao colocá-la sobre uma mesa, todos
os seus pontos devem tocar na mesa. Caso contrário, será não plana.
Chamamos todas as linhas de curvas, e podem ser abertas ou fechadas. As abertas têm começo e
fim, e as fechadas podem ser percorridas indefinidamente e sempre se volta ao ponto inicial. As curvas
planas encostam todos os seus pontos em um plano, e as não planas não encostam. Uma curva é
simples quando, ao ser percorrida, não passa mais de uma vez por nenhum dos seus pontos, ou seja, não
há intersecção em nenhum ponto dela.
43
Unidade I
Exemplos:
curva plana simples fechada
curvas planas simples abertas
curva plana não simples fechada
curva plana não simples aberta
Figura 3
Exemplo de atividade
Curvas
Recorte pedaços de 20 cm de barbante, um para cada aluno. Peça que eles joguem o
barbante sobre a mesa e copiem o formato das linhas em uma folha de sulfite, escrevendo
ao lado do desenho sua classificação (se é curva plana simples fechada, curva plana simples
aberta, curva plana não simples fechada e curva plana não simples aberta). Os alunos podem
colar o barbante na última jogada, classificar a curva e colocar seu trabalho em um mural
para que todos da sala possam consultar.
O conceito de reta define que ela é ilimitada dos dois lados. Quando se delimita uma parte da reta
por dois pontos, a parte que está entre os dois pontos é um segmento de reta. Quando vários segmentos
de reta estão se tocando e têm direções diferentes, temos uma linha poligonal e, se essa linha for
fechada, teremos um polígono. Exemplos:
linha poligonal aberta
linha poligonal fechada – polígono
Figura 4
Os segmentos de reta podem ser classificados pela sua posição relativa no espaço:
• segmentos paralelos nunca se cruzam e os pontos de ambos estão em um mesmo plano;
• segmentos concorrentes possuem um único ponto em comum e não são coincidentes;
44
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• segmentos colineares ocorrem quando os seus prolongamentos são coincidentes;
• segmentos reversos não se cruzam e não pertencem ao mesmo plano.
Exemplos:
A
segmentos paralelos
segmentos concorrentes
B
C
segmentos colineares
Figura 5
Esses critérios de classificação de linhas e segmentos permitem definir os polígonos.
Um polígono é uma curva plana, fechada, simples, formada por segmentos de reta consecutivos e
não colineares. Ou melhor, é uma superfície plana delimitada por uma linha poligonal fechada. Exemplos
de polígonos:
Figura 6
No quadro a seguir é possível ver a posição dos polígonos em relação às figuras do espaço.
Quadro 4 – Polígonos
Sólidos
Sólidos
geométricos
Superfícies
Planas
Curvas
abertas
Curvas fechadas
Abertas
simples
Fechadas
simples e não
polígonos
Abertas não
simples
Não planas
Polígonos
Fechadas não simples
Simples
Planas
Não simples
Não planas
Cada segmento de reta do polígono será um de seus lados, e cada ponto de intersecção ou cruzamento
de dois lados será um vértice do polígono.
Os polígonos podem ser classificados pelo número de lados. O número mínimo de lados é três e será
o triângulo. Veja a lista:
• 3 lados – triângulo;
45
Unidade I
• 4 lados – quadrilátero;
• 5 lados – pentágono;
• 6 lados – hexágono;
• 7 lados – heptágono;
• 8 lados – octógono;
• 9 lados – eneágono;
• 10 lados – decágono.
Se os lados do polígono são todos do mesmo comprimento, então é um polígono regular. Se os lados
são diferentes é um polígono irregular.
A classificação dos quadriláteros é bem interessante. Se os 4 lados são paralelos dois a dois,
chama-se paralelogramo. Se dois lados são paralelos e dois não, então é um trapézio. Se os
quatro ângulos são retos (com 90º), é um retângulo. Se todos os lados são iguais e paralelos, é um
losango. Quando o quadrilátero for ao mesmo tempo retângulo e losango, ele será um quadrado.
Veja no esquema a seguir:
• os quadriláteros dentro da linha marrom são trapézios;
• os quadriláteros dentro da linha preta são todos paralelogramos;
• os quadriláteros dentro da linha azul são losangos;
• os quadriláteros dentro da linha vermelha são retângulos.
Observe onde estão os quadrados. Eles são ao mesmo tempo retângulos e losangos.
Figura 7
Para que os alunos cheguem a estabelecer essas relações, é interessante oferecer a eles
atividades de construção de figuras com quebra-cabeças de cartão ou madeira (como o tangram),
montagem de figuras com palitos de sorvete, percevejos de metal e um geoplano, que é uma placa
com vários pregos onde se podem criar figuras com elásticos. Atividades de recortes de papel e
colagem e dobraduras.
46
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
1.4.3 Simetria
Além de classificar as figuras, é interessante propor aos alunos a observação das posições dos
objetos no espaço, bem como as transformações dessas posições sem alteração de forma e tamanho:
transformações isométricas.
As transformações isométricas nos permitem perceber as simetrias, que podem ser por translação,
por rotação e por reflexão. As translações são resultado de movimentos das figuras sobre retas
paralelas, como os vagões de um trem sobre seus trilhos. As rotações são movimentos das figuras sobre
circunferências, como, por exemplo, os ponteiros do relógio. As reflexões são movimentos das figuras
em volta de um eixo, como o fenômeno de reflexão diante de um espelho.
O estudo desses movimentos, que mudam as posições das figuras sem alterar suas formas e dimensões,
é importante para desenvolver a percepção espacial das crianças e tem influência na alfabetização, pois
nosso alfabeto possui letras que têm a mesma forma e se diferenciam apenas pela sua posição no
espaço, como visto em:
• “b”, “p” e “q”;
• “u” e “n”,
• “6” e “9”,
• “E” e “3”.
Entre as letras “p” e “q” há uma simetria por reflexão. Veja a representação a seguir na qual a linha
vertical representa o espelho.
p
q
Entre as letras “b” e “q” há uma simetria por rotação, o mesmo que entre “n” e “u” e entre os números
6 e 9.
6
9
b
q
n
u
Figura 8
47
Unidade I
Para ajudar a criança a descobrir esses conceitos e os efeitos dessas transformações, o professor pode
recorrer a atividades de dobradura, recorte e colagem, montagem de figuras (como quebra-cabeças),
construções com blocos de montagem e observação dessas construções diante de um espelho, além de
desenhar em frente ao espelho e observar fatos do cotidiano, como o letreiro das ambulâncias. Podem
também ser realizadas atividades de artes plásticas, como desenhar rosáceas com ajuda de compasso
e régua, observar mosaicos antigos e padrões de cerâmicas encontrados em pisos e revestimentos de
paredes, assim como criar, por meio de desenho ou mediante recorte e colagem, padrões e montagem de
mosaicos. Há também as dobraduras acompanhadas de recortes que dão um efeito mágico para crianças,
como aqueles bonecos de papel que, quando são desdobrados, parecem de mãos dadas. Também são
úteis as atividades de ginástica rítmica em frente ao espelho e exercícios de mímica.
Como você pode ver aqui, a geometria pode ser integrada às aulas de alfabetização, de artes e
educação física.
Saiba mais
Você pode conhecer mais sobre Matemática e arte visitando exposições
de arte como a do artista Escher ou visitando o site da Fundação Escher:
<http://www.mcescher.com>.
Há também artistas brasileiros que pesquisam simetrias em mandalas
como Marisa Nunes. Você pode conhecer algumas obras dela no site:
<http://www.girassol355.com.br/marisa.nunes/Mandalas/Mandalas.htm>.
1.4.4 Conceito de medida
O conceito de medida apoia-se na noção de comparação de tamanhos. Pode-se iniciar as atividades
com os alunos pela comparação dos tamanhos das curvas entre si, com a finalidade de levantar, discutir
e desfazer as possíveis ilusões dos alunos associadas à noção de comprimento. Uma ilusão muito
frequente é a de que apenas a comparação das extremidades das curvas entre si é suficiente para decidir
a respeito dos seus comprimentos. Nesse sentido, as curvas 1 e 2 a seguir teriam, para muitos alunos, o
mesmo comprimento, ao passo que as curvas 3 e 4 teriam comprimentos diferentes, pelo simples fato
de a curva 4 avançar em relação à curva 3, desprezando, ou não se atendo ao fato, de que esse avanço
da curva 4 é compensado pelo mesmo avanço em sentido oposto da curva 3.
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Figura 9
48
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Outra ilusão que ocorre é a de que a mudança da forma de uma curva altera o seu comprimento.
Assim, se imprimirmos um fio esticado à forma de uma mola, ou então ligarmos as suas extremidades
formando uma curva fechada, muitos alunos acreditarão que o comprimento da curva inicial foi alterado.
Um trabalho prévio de comparação de curvas entre si é necessário para que o professor avalie o
estágio em que a maioria dos alunos se encontra em relação à noção de comprimento. É também um
pré-requisito para a determinação do comprimento por meio do método de cobrimento do objeto por
uma unidade de medida. Para isso é interessante apresentar situações de vários tipos:
• curvas que possuem a mesma forma e mesmo comprimento;
• curvas que possuem a mesma forma e comprimentos diferentes;
• curvas que possuem formas diferentes e mesmo comprimento;
• curvas que possuem formas diferentes e comprimentos diferentes.
Essas atividades podem ser feitas com a manipulação de fios maleáveis de cobre, uns cortados em
comprimentos diferentes e outros em comprimentos iguais. Mudando as formas dos pedaços de fios e
apresentando-os aos alunos, esses devem observar e decidir quais têm o mesmo comprimento. Pede-se
que os alunos organizem os fios de comprimento diferente em ordem crescente. A seguir eles devem
conferir mudando as formas para melhor compararem.
Outro tipo de atividade é fornecer curvas impressas em uma folha de papel, barbante para medir,
cola, tesoura e pedir que façam as comparações. Veja no exemplo:
Curva 1
Curva 2
Curva 3
Curva 4
Figura 10
Lembrete
Você pode usar vários materiais como fios de náilon, corda, lã, barbante
e fios de cobre flexíveis, cobertos de várias cores, cortados de vários
tamanhos iguais e diferentes, e pedir aos alunos que criem formas variadas
e depois que comparem os comprimentos. Depois eles mesmos devem
conferir, criando um método próprio de comparação.
49
Unidade I
Devem também ser abordados com os alunos outros tipos de atividades que possibilitam a
comparação de tamanhos das superfícies planas entre si, a partir do método do cobrimento, como,
por exemplo, o que os pedreiros fazem ao colocar cerâmica em um piso ou azulejos em paredes.
Outro tipo de exercício é o que se faz decompondo uma superfície por recorte e transformando-a
em outra, pela desmontagem e remontagem com outra forma. Muitas vezes os alunos pensarão
que a nova figura é maior ou menor que a figura inicial, porque mudou de forma, mesmo sem
perder nenhum pedaço.
Atividades com esse objetivo podem ser feitas com recorte e colagem de formas em papel colorido,
para recobrir uma superfície previamente desenhada com a formação de mosaicos, por exemplo. Outro
tipo de recurso pode ser feito com montagens variadas a partir de um mesmo conjunto de figuras, como
é o caso do tangram.
Dizemos que duas superfícies são do mesmo tamanho quando uma das seguintes hipóteses se
verifica:
• É possível sobrepor exatamente uma à outra pela simples mudança de posição de uma delas,
ou seja, por meio de movimentos de rotação, translação, reflexão ou de combinação desses
movimentos.
• Existe pelo menos uma maneira de cortar uma delas em um certo número de partes que, dispostas
de outra forma, sem superposição de partes, cobrem exatamente a outra superfície, como no caso
das figuras feitas com as sete peças do tangram.
Exemplos:
A
B
C
D
Figura 11
As figuras A e B podem ser sobrepostas exatamente por movimento combinado de rotação e
translação. As figuras C e D podem ser sobrepostas cortando-se o retângulo C na linha que o atravessa
no desenho e com os dois triângulos obtidos pelo corte da figura D. Outra forma é cortar o triângulo D
e com as duas partes obtidas sobrepor o retângulo C.
50
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Observação
Você pode facilmente recortar um jogo de tangram a partir de um
quadrado de cartolina, cortando-o em diagonal obtendo dois triângulos
retângulos. Um dos triângulos você corta ao meio, obtendo dois triângulos.
Reserve essas duas peças. O outro triângulo grande você corta em cinco
partes conforme o esquema abaixo. Assim você junta as sete peças do jogo:
um quadrado, um paralelogramo e cinco triângulos de três tamanhos. Veja
a figura a seguir:
Figura 12
Essas atividades de movimentos de figuras, recorte e montagem ajudam o desenvolvimento dos
alunos. Esse tipo de abordagem inicial justifica-se pelo fato de o desenvolvimento do aluno passar por
certos estágios, durante os quais o seu pensamento prende-se a certas ilusões perceptivas relacionadas
com o conceito de área de uma superfície. Com tais atividades, o professor estará favorecendo esse
desenvolvimento.
Em uma segunda etapa, para medir comprimentos e superfícies, o professor deve apresentar aos
alunos os instrumentos de medida convencionais e propor o uso desses instrumentos para medir objetos
com os quais os alunos têm contato no seu cotidiano, assim como elaborar problemas que estimulem
a imaginação.
Medir os objetos, as distâncias, o tempo, entre outras coisas, sempre foi um desafio para a humanidade.
O homem conseguiu estabelecer medições de quase tudo o que o cerca.
Desde o tempo em que a sobrevivência do ser humano dependia quase que totalmente do plantio e
da colheita, e que as condições do clima ditavam o sucesso ou não dessas, o homem começou a olhar o
céu para observar fenômenos, construir mapas celestes e fazer grandes medidas astronômicas. Quando
descobriu os micro-organismos e elementos minúsculos, como átomos, começou a fazer medições
microscópicas.
Entretanto, nas trocas, no comércio e nas relações culturais em geral, cada povo usava unidades
de medida diferentes. Na Inglaterra, a polegada, o pé, o estádio e a milha; na Rússia, o arcsin e o
verstas; e assim por diante. Com o desenvolvimento do comércio, das comunicações, das trocas
culturais e das ciências, foram fixadas, no século XIX, algumas unidades de medida internacionais,
51
Unidade I
a partir da fundação da Repartição de Pesos e Medidas, com sede em Paris. A primeira e mais
simples medida padronizada é a medida de comprimento cuja unidade é o metro linear.
Os alunos, que inicialmente tiveram a oportunidade de comparar os tamanhos das linhas em
busca de igualdade ou não, têm agora que ampliar o conceito de medida a partir da introdução de
unidades padronizadas para a medição do comprimento de objetos. Esse tema é importante porque
trará o conceito de número para o domínio das relações espaciais, possibilitando a continuidade
da exploração métrica do espaço com novos recursos. Assim, o aluno perceberá que a aritmética e
a geometria são dois ramos da Matemática que se relacionam, se fundem e se completam, abrindo
novos caminhos de conhecimento. Além disso, esse tema reforçará a compreensão do conceito de
equivalência de frações e dará a todos maior amplitude a esse conceito aplicado.
A medida é o resultado de um confronto, ou seja, só se pode medir o comprimento de um objeto
comparando-o com o comprimento de outro objeto que se toma como unidade de medida. O processo
de medição segue três passos:
• escolher outro objeto para funcionar como unidade de medida;
• verificar quantas vezes a unidade de medida escolhida cabe no objeto a ser medido;
• tentar encontrar um número que possa expressar rigorosamente o resultado da medição.
Existem casos específicos. A unidade de medida pode ser menor que o objeto e caber nele um número
inteiro de vezes, resultando como medida um número inteiro. Às vezes, a unidade de medida escolhida
pode não caber um número exato de vezes no objeto, sobrando um pedaço. A unidade precisará então
ser dividida em pedaços menores, frações, que permitam medir o restante do objeto. Pode acontecer
também do objeto ser menor do que a unidade de medida, precisando então de frações da unidade para
que seja possível medir o objeto. Surge, assim, a necessidade dos submúltiplos da unidade. Se o objeto a
medir for muitíssimo maior que a unidade de medida, o número que resulta da medição é muito grande.
Então torna-se interessante a criação de unidades de medida maiores para facilitar a medição, surgindo
os múltiplos.
Desta forma surgem as frações do metro (decímetro, centímetro e milímetro) e os múltiplos do
metro (decâmetro, hectômetro e quilômetro). Essas novas unidades de medida do sistema métrico são
expressas pelos números decimais.
O sistema métrico, surgido na França em 1790, é hoje utilizado em 138 países. Os Estados Unidos são
o único país desenvolvido que não o adotou oficialmente, embora também o utilizem. O Brasil assumiu
o sistema métrico decimal por meio da Lei Imperial, em 26 de junho de 1862.
É necessário fazer o aluno conhecer o metro visualmente, mediante a régua, a trena, a fita métrica
etc. A partir disso, basta proceder à construção dos seus submúltiplos. Depois, é preciso que o aluno
utilize esses instrumentos para efetuar medidas de objetos reais, e só então passará a medir segmentos
de retas das representações gráficas das figuras geométricas, podendo resolver problemas geométricos
mais teóricos.
52
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Exemplo de atividade
Sequência de trabalho com o conceito de medidas que pode ser aplicado aos
alunos do 1º e 2º anos.
Exemplo A
Para esta atividade você precisará de:
• Régua.
• Estojo (com materiais).
• Lápis para escrever.
1) Meça com a régua o comprimento do maior objeto que tiver dentro do estojo.
Objeto: _________________
Medida: _________________
2) Agora meça com a régua o comprimento do menor objeto que tiver dentro do estojo.
Objeto: _________________
Medida: _________________
3) Você usaria sua régua para medir a altura de uma pessoa? Por quê?
Exemplo B
1) ________________ tem _____ centímetros de altura. Quantos centímetros faltam
para ele chegar a 150?
2) ________________ tem _____ centímetros de altura e o professor tem _____
centímetros. Se ________________ crescer _____ centímetros, ele vai alcançar a altura
do professor? Por quê?
3) ________________ tem _____ centímetros de altura. Se ele crescer 5 centímetros,
ele vai ficar com _____ centímetros.
Exemplo C
Lição de casa
53
Unidade I
1) Descubra a altura de sua mãe e escreva aqui.
2) Usando sua régua ou, se tiver, uma fita métrica ou trena, meça o tamanho da cama
em que você dorme e escreva aqui.
3) Sua mãe caberia em sua cama sem precisar dobrar o corpo?
Exemplo D
Lição de casa
1) Cada vez que você escova os dentes, usa 2 centímetros de pasta de dente. Escovando
os dentes 4 vezes ao dia você usará _____ centímetros por dia (se quiser use a régua).
Exemplo E
1) Complete as informações do quadro:
Quadro 5
Grupo/professor
Nome
Idade
Exemplo F
1) Complete este quadro com a sua altura e a de seus colegas:
54
Altura
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Quadro 6
Alice
André Mendes
Arnaldo
Artur
Carolina
Giovanna
Laura
Lucca
Lúcia
Maria
Pedro
Rafaela
Vitória
2) Quem é o aluno mais alto?
3) Quem é o aluno mais baixo?
Exemplo G
1) Escreva sua altura. Se você crescesse 3 centímetros por mês, a partir de março,
que altura você teria no final de dezembro?
2) Um parque de diversões só permite que andem na montanha russa as crianças
que tenham 110 centímetros de altura ou menos. Por esse critério, quais crianças
do seu grupo poderiam andar no brinquedo?
Lembrete
Desenvolver suas aulas por intermédio de sequências didáticas ajuda o
aluno a compreender melhor os conceitos que se quer ensinar, permitindo
que ele reveja, aprofunde e aplique o que já foi visto.
1.4.5 Conceito de área
O conceito de área é semelhante ao conceito de comprimento, só que nesse caso a medida é das
superfícies, consideradas sempre com duas dimensões lineares: comprimento e largura ou comprimento
e altura.
55
Unidade I
A medida padronizada que corresponde ao metro é o metro quadrado, representado por m2,
que é um quadrado de um metro de comprimento por um metro de altura. A medida da superfície
é dada pelo número de metros quadrados que são necessários para cobrir a figura.
Como o metro, o metro quadrado também tem submúltiplos e múltiplos, formando um sistema de
medida de superfície. O resultado dessa medida chama-se área.
Para aprender esse conceito, o mais indicado são as atividades de montagem de figuras de criação
de mosaicos por recorte e colagem, usando pequenos módulos para cobrir totalmente as figuras. A
quantidade de módulos (tomados como unidade de medida) é traduzida por um número que expressa
uma medida de área. Se, por exemplo, o módulo do mosaico tiver um centímetro quadrado (cm2) a área
será expressa em centímetros quadrados. Uma atividade interessante é medir a quadra de esportes da
escola cobrindo-a com quadrados de papel ou jornal de um metro quadrado (m2). Nesse caso a área será
expressa em metros quadrados.
1.4.6 Conceito de perímetro
Outro conceito interessante relacionado a medidas é o de perímetro, que é a medida linear do
contorno das figuras. Essa medida é expressa pelo sistema métrico linear, e resulta da cobertura total
do contorno com unidades de medida. O número de unidades necessárias para cobrir todo o contorno
é o perímetro.
O conceito de perímetro tem grande utilidade prática, por exemplo, para calcular a construção de
cercas e muros ou para medir fronteiras de regiões. Para introduzir e trabalhar com esse conceito, o
professor deve propor atividades de medição de contornos com instrumentos de medida. Descobrir, por
exemplo, quantos metros de rodapé tem a sala de aula ou quantos metros de arame são necessários
para cercar um determinado terreno com uma cerca de três fios de arame.
1.5 Tratamento da informação
Trata-se de ensinar o aluno a ler e interpretar diferentes textos em diferentes linguagens,
saber analisar e interpretar informações, fatos e ideias, ser capaz de coletar e organizar
informações, além de estabelecer relações, formular perguntas e poder buscar, selecionar e
mobilizar informações. Essas são habilidades básicas muito úteis para a vida escolar e para a
vida social mais ampla, pois possibilita instrumentos para que exerça sua cidadania. Em jornais e
revistas, por exemplo, é comum a oferta de tabelas e gráficos que complementam textos, trazem
dados relevantes e pertinentes ao assunto. Por essa razão, desde cedo recomendamos ensinar a
utilizar esse recurso.
Em geral, nos currículos do Ensino Fundamental, o foco desse bloco é o ensino da leitura,
interpretação e construção de tabelas e gráficos. Compreende-se que esses recursos são interessantes
para a comunicação matemática e compõem uma intersecção com os demais blocos de conteúdos
apresentados, pois se utiliza dos conteúdos apresentados para sua construção.
56
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Exemplo de atividade
Alguns problemas envolvendo tratamento da informação
Exemplo A
Observe o quadro:
Quadro 7 – Resultados das equipes nos jogos internos.
Equipes
Pontos
Total
Quarta-feira
Quinta-feira
Sexta-feira
Vermelha
150
950
650
Amarela
125
425
755
Azul
375
815
950
Branca
75
375
815
Agora responda as questões a seguir. Para os cálculos use a folha em anexo.
1) Calcule o total de pontos que cada equipe marcou durante os jogos internos. Anote
os resultados no quadro.
a) Qual foi a equipe campeã?
b) Quantos pontos ela marcou?
c) Qual a diferença de pontos entre as equipes azul e vermelha?
d) Quantos pontos a equipe branca tem a menos que a equipe amarela?
e) Se as equipes vermelha, amarela e branca juntassem seus pontos de quarta-feira, com
quantos pontos elas ficariam?
f) Na quinta-feira a equipe vermelha marcou 950 pontos e a equipe branca 375. Quantos
pontos a equipe vermelha tem a mais que a equipe branca?
2) Sabemos que nos jogos internos, a equipe que se classifica:
• em primeiro lugar marca: 100 pontos;
• em segundo lugar marca: 75 pontos;
• em terceiro lugar marca: 50 pontos;
• em quarto lugar marca: 25 pontos.
57
Unidade I
Se a equipe branca, na quinta-feira, tivesse vencido 4 jogos em primeiro lugar, 3 jogos
em terceiro lugar, 2 jogos em segundo lugar e 2 jogos em quarto lugar:
a) Quantos pontos ela marcaria?
b) Como ficaria então sua classificação de acordo com a tabela?
Exemplo B
O gráfico a seguir mostra o número de sorvetes vendidos pelo sorveteiro da porta da
escola durante uma semana:
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2ªf
3ªf
4ªf
5ªf
(dias da semana)
6ªf
sab
Figura 13 – Sorvetes vendidos durante uma semana
1) Escreva no quadro a seguir o dia que corresponde à quantidade de sorvetes vendidos.
Quadro 8
35
40
20
70
2) Em que dia da semana ele vendeu mais sorvetes?
3) Quantos sorvetes ele vendeu na semana?
4) Em duas semanas quantos sorvetes ele vendeu?
Exemplo C
Observe o gráfico e responda as perguntas a seguir:
58
50
30
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Consumidores mirins
bicicleta, patins, skate
esportes
shopping
fliperama
parque de diversões
coleção de figurinhas
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Número de entrevistados
Figura 14 – Programas preferidos dos entrevistados
1) Quais são as diversões favoritas?
2) Quais são as diversões que possuem mais de 50 entrevistados?
3) Quantos entrevistados escolheram como programa favorito ir ao shopping?
4) Quantos entrevistados escolheram como programa favorito jogar fliperama?
5) Desenhe uma barra no gráfico representando 50 entrevistados que escolheram ir ao
cinema.
Exemplo D
1) Para se organizar, o jornaleiro João anotou as vendas da semana da seguinte maneira:
Quadro 9 – Vendas semanais de uma banca
Gibis
Revistas
Jornais
2ª feira
5
12
35
3ª feira
15
8
15
4ª feira
7
10
18
5ª feira
3
4
52
6ª feira
20
6
25
Sábado
9
16
75
Domingo
1
10
100
59
Unidade I
Descubra:
a) João vendeu nessa semana _____ gibis, _____ revistas e _____ jornais.
b) Quantos jornais ele vendeu de sexta a domingo?
c) Foi no sábado ou no domingo que foram vendidos mais exemplares?Quantos a mais?
d) Invente duas perguntas, usando a tabela anterior.
2 Sugestões de conteúdos do 1º ao 5º anos do Ensino
Fundamental
Os objetivos e conteúdos aqui apresentados são inspirados nos Parâmetros Curriculares Nacionais e
nas Orientações Curriculares do Município de São Paulo. Junto desses dois documentos, acrescentamos
a organização curricular de diversas escolas a que tivemos acesso, públicas e particulares da cidade de
São Paulo.
Devemos lembrar que a análise da realidade do público com o qual você irá se deparar em sua
carreira balizará a escolha de objetivos e consequentemente a seleção de conteúdos. É preciso
lembrar que essa escolha não é individual, ela perpassa uma reflexão coletiva acerca das convicções
educacionais de todos os envolvidos, do modelo de aluno que se pretende formar e da conjuntura
mais ampla de realidade na qual a escola está inserida. Desse modo, o que apresentamos a seguir
são exemplos de como ordenar sequências de conteúdos de forma a atender determinados
objetivos matemáticos.
Dividimos os blocos em dois ciclos: 1º e 2º anos e 3º, 4º e 5º anos. Esta divisão não foi aleatória, ela se
inspira no ideal de que as crianças têm tempos diferentes para aprender. Apesar das escolas na prática
seriarem seus alunos, é sempre bom recordar que o conhecimento, para ser realmente adquirido, precisa
ser visto e revisto. Sendo assim, os conteúdos não somente se repetem, mas se ampliam conforme o
aluno avança na escolaridade.
A aprendizagem matemática se dá na interação entre o meio e o sujeito a partir do intercâmbio
entre as pessoas e as suas necessidades, interesses e conhecimentos. A escola exerce papel importante
quando favorece a troca, o diálogo e a possibilidade/tentativa dos erros.
Os educadores deveriam ter como objetivo comum reconhecerem as potencialidades dos alunos
fazendo uso de um planejamento que respeite esse princípio. Planejar é essencial, pois possibilita a
reflexão sobre o que vai ser ensinado e o que se conseguiu ensinar, permitindo corrigir rotas que não
deram certo e repetir boas práticas.
A troca com outros profissionais em reuniões formais, pedagógicas e informais, como a sala dos
professores, constitui elemento imprescindível para o bom trabalho do educador. Veja:
60
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
O currículo de Matemática pode ser visto, para fins de análise, a partir de
três diferentes perspectivas. Assim, podemos distinguir entre o currículo
recomendado, o currículo implementado e o currículo alcançado.
Pelo currículo recomendado entende-se aquele planejado em nível
nacional, regional ou local pelos comitês e consultores de currículo e
codificado nos guias de currículo. O currículo implementado é aquele
contido nos vários textos e materiais selecionados e aprovados para
a utilização das escolas e a forma como são comunicados aos alunos
pelos professores nas salas de aula. O currículo alcançado é aquele
aprendido e assimilado pelos alunos (ROBITAILLE e DIRKS, 1982, p.17
apud OLIVEIRA, 1994, p. 34).
Essa maneira de conceber um currículo como resultado da mescla entre documentos teóricos
oficiais proporcionados pelo Estado (recomendado), instrumentos e metodologias compartilhadas
entre os professores de uma mesma escola (implementado) e a análise do que o aluno aprende
resulta numa terceira perspectiva curricular, que chamamos simplificadamente de currículo e
que deve ser entendida como a junção das três perspectivas que, resumidamente, é definida
como o registro das recomendações oficiais, dos conteúdos de natureza conceitual, procedimental
e atitudinal e da análise e contribuição prática e teórica no âmbito escolar. Ou ainda, como
destacado:
O currículo escolar é o plano de ação que operacionaliza a proposta
pedagógica da escola. É ele que explicita a sequência dos conteúdos (quando
ensinar), as formas de estruturar e acompanhar as atividades de ensino e de
aprendizagem (como ensinar e avaliar a aprendizagem) e as competências
e habilidades a serem desenvolvidas – o quê e por que ensinar (ANDRADE,
2003, p. 11).
O currículo escolar possui duas facetas distintas e complementares: de um lado a formalizada, oriunda
das políticas oficiais de educação e, de outro, a do conjunto de interesses e necessidades previstos pelos
profissionais da educação, com base numa análise da realidade do conjunto escolar: aluno, comunidade,
cultura e coerência de conceitos.
Como currículo pensa-se em um conjunto, ou uma trama que serve de base para elaborar noções,
informações, esquemas, métodos e códigos, ou seja, o olhar de cada educador junto a seus alunos.
Observação
Utilizamos como referencial teórico um interessante texto sobre os
critérios de escolha dos objetivos e conteúdos aqui sugeridos. Vale a pena
consultá-lo em: <portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>.
Como apontado nos documentos pesquisados no site do Ministério da Educação:
61
Unidade I
A discussão sobre a seleção e a organização de conteúdos tem como diretriz
a consecução dos objetivos e seu caráter de essencialidade ao desempenho
das funções básicas do cidadão brasileiro.
Assim sendo, trata-se de uma discussão complexa que não se resolve com a
apresentação de uma listagem de conteúdos comuns a serem desenvolvidos
nacionalmente.
Os currículos de Matemática para o ensino fundamental devem contemplar
o estudo dos números e das operações (no campo da aritmética e da álgebra),
o estudo do espaço e das formas (no campo da geometria) e o estudo das
grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da
aritmética, da álgebra e da geometria).
O desafio que se apresenta é o de identificar, dentro de cada um desses
vastos campos, de um lado, quais conhecimentos, competências, hábitos e
valores são socialmente relevantes; de outro, em que medida contribuem
para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou seja, na construção
e coordenação do pensamento lógico-matemático, da criatividade, da
intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas
lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos.
Um olhar mais atento para nossa sociedade mostra a necessidade de
acrescentar a esses conteúdos aqueles que permitam ao cidadão “tratar”
as informações que recebe cotidianamente, aprendendo a lidar com dados
estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando ideias relativas à
probabilidade e à combinatória.
Embora a lógica não se constitua como bloco de conteúdo a ser abordado
de forma sistemática no ensino fundamental, alguns de seus princípios
podem ser tratados de forma integrada aos demais conteúdos, desde as
séries iniciais. Tais elementos, construídos por meio de exemplos relativos
a situações-problema, ao serem explicitados, podem ajudar a compreender
melhor as próprias situações.
Assim, por exemplo, ao estudarem números, os alunos podem perceber e
verbalizar relações de inclusão, como a de que todo número par é natural;
mas observarão que a recíproca dessa afirmação não é verdadeira, pois nem
todo número natural é par. No estudo das formas, mediante a observação de
diferentes figuras triangulares, podem perceber que o fato de um triângulo
ter ângulos com medidas idênticas às medidas dos ângulos de um outro
triângulo é uma condição necessária, embora não suficiente, para que os
dois triângulos sejam congruentes.
62
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Também algumas ideias ou procedimentos matemáticos, como
proporcionalidade, composição e estimativa, são fontes naturais e potentes
de inter-relação e, desse modo, prestam-se a uma abordagem dos conteúdos
em que diversas relações podem ser estabelecidas.
A proporcionalidade, por exemplo, está presente na resolução de problemas
multiplicativos, nos estudos de porcentagem, de semelhança de figuras,
na matemática financeira, na análise de tabelas, gráficos e funções. O
fato de que vários aspectos do cotidiano funcionam de acordo com leis
de proporcionalidade evidencia que o raciocínio proporcional é útil na
interpretação de fenômenos do mundo real. Ele está ligado à inferência e
à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e quantitativos
(essa resposta faz sentido? Ela deveria ser maior ou menor?).
Para raciocinar com proporções é preciso abordar os problemas de vários pontos de vista e também
identificar situações em que o que está em jogo é a não proporcionalidade.
A seleção de conteúdos no ensino de Matemática pode ser mais ampla, ao identificar os conceitos,
os procedimentos e atitudes a serem trabalhados em classe, o que enriquecerá o processo de ensino
e aprendizagem. A seguir faremos uma sugestão dos conteúdos a serem trabalhados nos cinco anos
iniciais do Ensino Fundamental:
• identificar os conhecimentos matemáticos para compreender, agir e transformar o mundo;
• fazer observações, utilizando a Matemática para selecionar, organizar e produzir informações,
interpretando-as e avaliando-as criticamente;
• resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados;
• comunicar-se descrevendo, representando e apresentando oralmente a partir de elementos
matemáticos;
• estabelecer conexões matemáticas entre os diferentes campos e áreas curriculares;
• sentir-se segura em sua capacidade pessoal para construir e aplicar conhecimentos matemáticos;
• interagir entre seus pares, buscando soluções coletivas aos problemas propostos.
Blocos de conteúdos
• Sistema de numeração.
• Operações.
• Espaço e forma (geometria).
• Grandezas e medidas.
• Tratamento da Informação.
63
Unidade I
1º e 2º anos
Objetivos
Sistema de numeração
• Reconhecer números em diferentes contextos.
• Ordenar por critérios de grandeza e medida.
• Utilizar estratégias pessoais e compartilhadas para quantificar.
• Compreender o sistema posicional (leitura numérica).
• Observar critérios de classificação, ordenação e posição na sequência numérica e compreender o
SND.
• Contar em escalas progressiva e regressiva.
Operações
• Analisar, interpretar e resolver situações-problema.
• Compreender significados das operações pelo campo aditivo e subtrativo: combinação,
transformação e comparação.
• Compreender e memorizar alguns fatos básicos da adição e subtração para desenvolver cálculos
mentais.
• Fazer uso da multiplicação em campos visuais.
Tratamento da informação
• Ler e interpretar informações quantitativas em imagens.
• Desenvolver a comunicação de informações numéricas.
• Coletar dados e organizá-los.
• Validar estratégias pessoais de resolução.
• Compreender os usos do número em diferentes contextos.
• Ler e interpretar tabelas simples, de dupla entrada e gráficos de barra.
Geometria
• Localizar-se no espaço com base em pontos de referência.
• Utilizar vocabulário não convencional para comunicar posição.
64
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Compreender o vocabulário básico/usual de posição.
• Perceber e diferenciar tamanhos e formas.
• Descrever posicionamentos e movimentos no espaço e em tabelas de dupla entrada.
• Observar e identificar formas geométricas em elementos naturais e de criação e perceber suas
características.
Medidas
• Comparar grandezas de mesma natureza a partir da percepção e estimativa.
• Fazer uso de vocabulário básico para comunicar grandezas.
• Conhecer e fazer uso de instrumentos convencionais e não convencionais de medida.
• Identificar e fazer uso de medidas de tempo.
• Reconhecer e saber utilizar regularidades do sistema monetário.
Conteúdos
Sistema de numeração
• Reconhecimento do número em situações do contexto diário e de suas funções (quantificar e
ordenar).
• Ordenação de coleções pela quantidade de elementos e ordenação de grandezas pelo aspecto da
medida.
• Organização de agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação entre coleções.
• Utilização de diferentes estratégias para quantificar elementos de uma coleção, como:
contagem, estimativa, emparelhamento, arredondamento, correspondência entre
agrupamentos.
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de notações numéricas para nomear, ler e escrever
números.
• Formulação de hipóteses sobre a grandeza numérica, pela identificação da quantidade de
algarismos e da posição ocupada por eles na escrita numérica.
• Leitura e interpretação de números de uso frequente.
• Observação de critérios que definem uma classificação de números (maior que/menor que,
terminados em, estar entre etc.) e de regras usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade,
triplo etc.).
• Contar de um em um, dois em dois, três em três, cinco em cinco, dez em dez, cem em cem a partir
de um determinado número ou a partir de qualquer número dado.
65
Unidade I
• Organização de agrupamentos para facilitar a contagem e a comparação entre grandes coleções.
• Início da análise do valor posicional.
• Compreensão do valor posicional e sua utilização para desenvolver procedimentos de contagem,
cálculo e aproximação.
Operações
• Análise, interpretação e resolução de situações-problema compreendendo alguns significados
das operações, no campo da adição – combinação, transformação e comparação; no campo da
multiplicação – razão e configuração retangular.
• Construção de alguns fatos fundamentais da adição e da subtração a partir de situações problema
para constituição de um repertório básico ao desenvolvimento do cálculo mental.
• Cálculos de adição e subtração por meio de estratégias pessoais e construção de sua representação
gráfica.
• Identificação de algumas regularidades das escritas numéricas (tabela, por exemplo) para valer-se
posteriormente da decomposição em cálculos.
Tratamento da informação
• Leitura de informação quantitativa contida em imagens.
• Elaboração de perguntar que possam ser respondidas por meio da informação expressa na imagem.
• Comunicação e interpretação dos procedimentos utilizados para ler e organizar informações.
• Coleta e organização de dados e informações de experiências realizadas.
• Exploração da função do número como código numérico na organização de informações (linhas
de ônibus, telefone, placas de carros etc.).
• Interpretação e elaboração de tabelas simples, tabelas de dupla entrada e gráficos de barra, para
comunicar a informação obtida.
• Comunicação de procedimentos utilizados para interpretar tabelas e gráficos – descrição verbal e
textos escritos.
Geometria
• Localização no espaço com base em um ou dois pontos de referência e algumas indicações de
posição com compreensão do vocabulário usual de posição.
• Movimentação no espaço com base em um ou dois pontos de referência e algumas indicações de
direção e sentido.
66
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Descrição de posição no espaço com relação a um ou dois pontos de referência usando terminologia
não convencional.
• Descrição de movimentação no espaço, dando informações sobre pontos de referência, direção e
sentido.
• Indicação de posição com base em tabelas de dupla entrada.
Medidas
• Comparação de grandezas de mesma natureza com base na percepção e na estimativa
(comprimentos, capacidades, massas) com compreensão do vocabulário usual.
• Comparação de grandezas de mesma natureza por meio de estratégias pessoais e uso de
instrumentos de medidas conhecidos – fita métrica, balança, recipientes de 1 litro.
• Comparação de grandezas de mesma natureza com base no estabelecimento de padrões não
convencionais de medida.
• Identificação de unidades de tempo tais como: ano, semestre e utilização de calendários.
• Leitura de horas e minutos comparando relógios digitais e de ponteiros.
• Identificação dos elementos necessários para comunicar o resultado de uma medição e produzir
“escritas métricas”.
• Reconhecimento de cédulas e moedas que circulam no Brasil.
• Reconhecimento de possíveis trocas entre cédulas e moedas em função de seus valores.
• Uso de cédulas e moedas em situação (real ou fictícia) de compra e venda.
3º, 4º e 5º anos
Objetivos
Sistema de numeração
• Ler, escrever, comparar e ordenar números naturais com vários dígitos.
• Usar regras do SND para realização de cálculos escritos.
• Ler e compreender as regras e usos de algarismos romanos.
Operações
• Utilizar regularidades das escritas numéricas e propriedades das operações para desenvolver o
cálculo mental exato e aproximado e as técnicas operatórias da adição e subtração (sem e com
recurso e transporte) multiplicação e divisão por um, dois ou mais algarismos.
67
Unidade I
• Desenvolver estratégias de verificação e controle de resultados.
• Compreender e memorizar alguns fatos básicos da adição, subtração e multiplicação para
desenvolver cálculos mentais.
• Reconhecer as possibilidades de uso de uma única operação em diferentes situações-problema e
de uso de diferentes operações para resolver um problema.
• Calcular por meio de multiplicação e divisão fazendo uso de estratégias de representação gráficas
pessoais e convencionais.
Tratamento da informação
• Identificar probabilidades em situações-problema simples e jogos.
Geometria
• Interpretar, descrever e representar posições no espaço valendo-se de guias de ruas, mapas,
planisférios, maquetes etc.
• Reconhecer semelhanças entre polígonos.
• Perceber simetrias em formas distintas.
• Ampliar e reduzir figuras planas com uso de malhas quadriculadas.
Medidas
• Estabelecer relações entre unidades de medidas e suas divisões (exemplo: metro e quilometro).
Conteúdos
Sistema de numeração
• Início da análise do valor posicional (milhar).
• Compreensão do valor posicional e sua utilização para desenvolver procedimentos de contagem,
cálculo e aproximação (milhar).
• Leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais com vários dígitos pela análise das
características do SND.
• Utilização das regras do SND na realização de cálculo escrito.
• Leitura e interpretação de números representados no sistema romano, com compreensão de
algumas regras.
68
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Operações
• Construção dos fatos fundamentais da multiplicação e da divisão a partir de situações-problema
para constituição de um repertório básico ao desenvolvimento do cálculo mental.
• Reconhecimento de que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma única
operação e de que diferentes operações podem resolver um mesmo problema.
• Compreensão do algoritmo tradicional (conta de “armar”).
Tratamento da informação
• Identificação de acontecimentos previsíveis e utilização de informações para efeito de previsões.
• Exploração da ideia de probabilidades em situações-problema.
• Leitura de diferentes tipos de gráficos.
Geometria
• Interpretação, descrição e representação de posição no espaço, de diferentes pontos de vista a
partir da análise de itinerários, guias de ruas, mapas, planisférios, maquetes etc.
• Comparação entre objetos do espaço físico e objetos geométricos: esféricos, cilíndricos, cônicos,
cúbicos, piramidais – sem uso obrigatório de terminologia convencional.
• Reconhecimento de semelhanças e diferenças entre diferentes polígonos.
• Identificação de figuras em que é possível observar simetrias e analisar características decorrentes.
• Ampliação e redução de figuras planas com uso de malhas quadriculadas.
Medidas
• Relação entre unidades de tempo: dias, semanas, meses, anos, décadas, séculos, milênio.
• Relação entre unidades como metro e quilômetro, quilograma e grama, grama e miligrama, litro
e mililitro.
3 RECURSOS PARA O PLANEJAMENTO DA MATEMÁTICA NO ENSINO
FUNDAMENTAL
3.1 Resolução de problemas
A utilização de problemas matemáticos em oposição aos exercícios mecânicos vem-se tornando
algo comum, principalmente no Ensino Fundamental. Buscamos demonstrar que recorrer a esse recurso
é grande oportunidade para ampliar as estratégias de resolução do aluno e reforçar a noção de que a
69
Unidade I
Matemática, como ciência, é instrumento de desenvolvimento da autonomia investigativa. Também
buscamos defender o termo “problema” como oportunidade de reflexão e desafio motivador da atividade
participante.
Em primeiro lugar, façamos a devida explicitação entre os termos situação-problema e problemamatemático. Nem toda situação-problema pertence ao campo de estudo da Matemática e nem todo
problema matemático (tradicionalmente proposto) representa uma situação-problema.
Uma situação-problema é um conjunto de relações que leva o aluno/sujeito a exercitar a sua
atividade mental, aqui descrita como a capacidade de inter-relacionar o que foi aprendido (tanto externa
e previamente à escola como na própria escola) e buscar resolução para situações novas.
Muito se tem dito acerca da validade em se fazer uso de problemas matemáticos como forma de
contextualizar situações e trazer a vivência do aluno para a escola. Por um lado, a contextualização
dos conhecimentos ajuda o aluno a estabelecer vínculos com sua vivência cotidiana, sendo assim
mais significativa. Por outro, é também importante promover situações em que a descontextualização
provoque no aluno a necessidade de observar regularidades inerentes às situações propostas, podendo
transferi-las a novas situações e contextos. A noção de significatividade dos conceitos aprendidos se
encontra aqui na capacidade de que esses possam ser aplicados em situações diferenciadas daquelas
que lhe deram origem.
Coloca-se em pauta os usos “escolarizados” dos problemas matemáticos como tradicionalmente
vêm sendo aplicados e a pretensiosidade do discurso favorável à utilização do contexto real do
aluno em todas as situações que envolvam problemas. Acreditamos que é preciso encontrar um
meio-termo.
Uma atividade que apenas exercita a capacidade de memória não é necessariamente uma situaçãoproblema. Isso se percebe retomando rapidamente o histórico do ensino de Matemática tradicional ou
analisando alguns livros didáticos em uso nas nossas escolas. Neles, em geral, há uma divisão em três
tempos:
1. Há a descrição conceitual sobre o conteúdo que será trabalhado. Exemplo: fração é a medida das
partes de um todo.
2. São apresentados modelos sobre o conteúdo abordado. Exemplo: um bolo (1/1), se repartido em
quatro, cada parte é igual a um quarto (1/4).
3. O aluno precisa resolver uma lista de exercícios e “problemas” que pedem a aplicação do conteúdo
apreendido, em geral nos moldes da pura averiguação.
A situação-problema aqui abordada refere-se àquela que extrapola o limite do imediatamente
aprendido e obriga o aluno a se mobilizar, valendo-se dos recursos da memória, da busca em fontes
diversas (anotações, cartazes, instrumentos que auxiliem o cálculo etc.). Em suma, pode-se dizer que a
situação-problema é aquela que proporciona desafios ao aluno.
70
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Sabe-se que o estabelecimento de conexões contribui para a capacidade de compreensão e resolução
do aluno, mas sabe-se também o quanto é necessário que o professor se torne agente dessa construção
de conhecimentos, organizando, mediando e atendendo às necessidades primordiais do aluno em sua
atividade. Para Leontiev (1988), isso é psicologicamente caracterizado por aquilo a que o processo, como
um todo, se dirige (seu objeto) e que é ligado especialmente às emoções e sentimentos.
O que faz de uma determinada atividade uma “situação-problema” não é somente o enunciado, a
comanda escrita de um problema. Espera-se uma postura didática que vá além da escrita modificada e
criativa de um problema; do contrário, corre-se o risco de vestirmos o “velho” com uma “nova” roupagem.
Lembrete
Utilizar problemas matemáticos como um modismo desprovido de
preparo e consciência sobre seu uso é perder a potencialidade de uso desse
instrumento.
De fato, é um risco muito grande confundir uma concepção de ensino matemático, pautada na
criatividade e no espírito do “aprender a aprender”, com modismos passageiros. A superação da sisudez
dos exercícios matemáticos tradicionais, que nada dizem respeito ao aluno, por situações lúdicas e mais
criativas, ou ainda o uso de situações reais do cotidiano como objeto de problematização, nem sempre
significa uma mudança conceitual em relação ao ensino da Matemática.
Uma boa situação didática matemática ou uma boa situação-problema deverá ir além da boa
formulação do enunciado. Ela deverá levar em conta o perfil de aluno que se tem ou que se quer.
Aquilo que vem sendo chamado de conhecimentos prévios, que são os conhecimentos adquiridos e já
trazidos pelo aluno anteriormente a uma dada intencionalidade educativa, a bagagem de conceitos,
procedimentos e atitudes aprendidas até o momento de uma “nova” aprendizagem, constituem
elementos essenciais para que o professor formule os problemas matemáticos.
Mas que conhecimento é esse? É possível mensurá-lo e classificá-lo? Constitui-se de bons e
verdadeiros conhecimentos? Estão mecanicamente guardados na memória ou são de fato pertencentes
ao aluno? São meramente reproduzidos ou significativos? Estas e outras perguntas devem ser
formuladas e respondidas pelo professor que pretende valer-se do que o aluno sabe para ensinar novos
conhecimentos.
O saber do aluno
Saber o que o aluno já aprendeu sobre um determinado conteúdo é muito valioso para se evitar duas
situações que atrapalham o aprendizado da Matemática:
• a elaboração de atividades didáticas que estão muito além das possibilidades do aluno;
• a oferta de atividades que não proporcionam nenhum desafio, pois já foram aprendidas
exaustivamente.
71
Unidade I
Compreender como se dá o processo de desenvolvimento psicossocial das crianças em seu
meio cultural pode apoiar a promoção de experiências pedagógicas no ensino formalizado. Nessa
perspectiva, a situação contrária – a ignorância aos processos de interação e mediação cultural
extraescolares – poderia retardar avanços e mesmo tolher o desenvolvimento do conhecimento
escolar organizado.
A escola não deveria desconsiderar a composição familiar e sua relação cotidiana com o conhecimento,
o que mobiliza pais e irmãos e envolve a interação entre novatos e veteranos.
Levando em conta, de modo central, a natureza conflituosa da prática social,
damos mais ênfase em conectar questões de transformação sociocultural
com a mudança das relações entre novatos e veteranos no contexto de uma
prática compartilhada mutante (LAVE e WENGER in DANIELS (org.), 2002,
p. 167).
Guias curriculares, como os Parâmetros Curriculares Nacionais, consideram que a Matemática
seja entendida pelos alunos como uma forma de compreender e agir em um mundo em constante
transformação. Almeja-se que ele compreenda a Matemática como fruto da construção humana em sua
interação com os diversos contextos naturais, sociais e culturais. Dessa forma, o aluno compreenderá
que sua participação deve ser ativa, e não passiva, perante o fazer matemático.
Tornou-se comum, nos guias curriculares, a busca por objetivos de cunho atitudinal, entre eles a
“desenvoltura” do aluno em extrapolar os limites da aula dada e dos conteúdos apresentados. Para que
ocorra de fato essa atitude é preciso proporcionar situações-problema em que o aluno possa fazer suas
deduções, testar a “sua” maneira pessoal de resolver.
Valorizar esse ato pessoal é absolutamente essencial quando se almeja alunos autônomos. A
valorização não se dará apenas verbalmente e nem deve ser esperada por parte do aluno uma busca
espontânea para a solução de problemas. O professor, ao planejar, deve levar em conta aspectos
conceituais sem esquecer que as atitudes são conteúdos perfeitamente possíveis de serem previstos,
ou pelo menos a maioria delas. Há que se dizer que é preciso uma boa dose de paciência em relação às
respostas esperadas aos estímulos dados.
Um exemplo de atividade em que as hipóteses dedutivas e as atitudes autônomas estão em jogo é
quando se solicita que um aluno vá à lousa explicar a maneira como resolveu determinado problema.
Em primeiro lugar, espera-se que o aluno consiga explicitar o seu modo de pensar por meio de esquemas
gráficos (desenhos, sinais e símbolos matemáticos convencionais ou não); em segundo, que sua fala
explicativa tenha coerência com o registrado na lousa; e em terceiro, que aceite ser questionado ou
inquirido pelos colegas e pelo professor (JACOBIK, 2005).
Por parte dos demais alunos, espera-se que fiquem atentos às explicações do colega, que comparem
a resolução com suas próprias estratégias, que reconheçam no outro uma possibilidade de aprender, que
saibam inquirir e questionar, e que possam superar o próprio erro, corrigindo-o.
72
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Obviamente que todos esses componentes atitudinais não são espontâneos, e que deverão ser
construídos nas abordagens do professor. Tal qual na escrita e leitura, a postura do professor perante
o saber do aluno deve servir de modelo ao mesmo. Sua participação não deve limitar-se a de mero
espectador. O professor precisará mediar tanto o aluno expositor, ajudando quando esse não for claro o
bastante, quanto os demais alunos, questionando, instigando e demonstrando o valor da troca. A escola
pode ser um ótimo lugar para proporcionar situações em que os alunos experimentem ser donos da
responsabilidade de ensinar e de aprender.
A busca pela autonomia do aluno, o respeito às suas ideias e a noção de que ele é também
construtor de sua aprendizagem tem se oposto ao empirismo exacerbado da escola dita “tradicional”
(LIBÂNEO, 2004). Essa dicotomia tem gerado uma confusão sobre qual é o papel do educador. Em
muitos manuais educacionais lê-se que ele é um mero interlocutor/mediador entre os sujeitos e
o objeto de conhecimento.
O professor sempre foi e sempre será um detentor importante de conhecimentos e um especialista
na difícil tarefa de educar. Não se pode negar sua experiência e formação. Esse profissional vem
buscando a mudança de uma postura extremamente diretivista e subestimadora para outra libertadora
e encorajadora. O que não significa, em absoluto, que tenha negado sua tarefa de ensinar, mas que
compreendeu, ou vem compreendendo, tanto o papel ativo do aluno na busca pela liberação de sua
criatividade, de sua capacidade crítica/contestadora, de sua análise dedutiva, como também o seu
próprio papel profissional, para então ter condições de auxiliar seus alunos (FREIRE, 1979; ARROYO,
2001).
Quando se apresenta uma determinada situação-problema ao aluno, deve-se esperar dele um
papel ativo, o que significa, em termos didáticos, ensiná-lo a ter essa atitude diante dos desafios caso
não tenha ainda recursos para tal. É necessário instrumentalizá-lo, oferecer-lhe meios para analisar e
resolver o problema. Não se deve pressupor que responda autonomamente aos desafios de um problema
matemático.
Algumas situações didáticas devem ser elaboradas para que o aluno compreenda e possa se valer de
seus conhecimentos na resolução do problema. O professor pode explorar exaustivamente a linguagem
do problema, que parece óbvia, mas é na verdade muito complexa. Um problema é composto de partes
que se complementam e que precisam ser compreendidas, há nele um enredo ou situação que dá corpo
e serve de base para as informações. Um exemplo: “quando João foi ao circo, levou sua mesada de R$
15,00 para gastar. Ele foi à roda gigante e pagou R$ 2,00, em seguida foi ao trem-fantasma e gastou R$
3,00. Quanto João gastou ao todo? Sobrou dinheiro de sua mesada?”. Nesse problema há informações
numéricas a serem calculadas, e uma ou mais perguntas que precisam ser respondidas.
Dentre as muitas estratégias que se vivencia nas escolas, uma interessante maneira de explorar os
problemas matemáticos é ensinar o aluno a marcar com cores definidas as diferentes informações do
problema, para que fique mais fácil compreendê-las e relacioná-las. Por exemplo, sublinhar de vermelho
as informações referentes às quantidades numéricas e sublinhar de azul a pergunta. Essa estratégia
ocorre em períodos curtos, pois serve apenas para que o aluno perceba diferentes informações em um
único portador, que é a comanda do problema.
73
Unidade I
O aluno precisa ser motivado a registrar no papel a maneira como realiza o cálculo mental,
exercitando dessa forma a explicitação de suas estratégias. Isso é também de grande utilidade para que
o professor perceba o processo e não apenas o produto final, podendo intervir nos erros processuais. É
preciso incentivar o aluno a registrar o desenvolvimento do cálculo de sua própria maneira, utilizando
desenhos, risquinhos, bolinhas, numerais e palavras se necessário. Na medida em que o trabalho vai
evoluindo, o professor vai ensinando a simplificar as estratégias, tornando-as mais econômicas. Por
exemplo, no cálculo aditivo 15 + 15 um aluno se valeu desta estratégia:
IIIIIIIIIIIIIII+IIIIIIIIIIIIIII
Resposta: 30
Percebendo que o aluno consegue conservar o primeiro valor (15), pois afirma que o deixou na
memória para depois somar com os risquinhos restantes (15), o professor propõe a seguinte possibilidade
de registro:
15 + I I I I I I I I I I I I I I I
Dessa maneira, não só respeita a estratégia do aluno, mas o ensina a registrá-la melhor e de maneira
mais econômica. Num outro momento poderá ensiná-lo outras possibilidades de resolução, mas essas
devem evoluir de acordo com as potencialidades apresentadas pelo aluno.
Faz-se necessário levar em conta, na resolução de problemas, a motivação do aluno em trocar suas
estratégias com seus colegas, tanto ensinando-o como incentivando-o a aceitar aprender com os outros.
O educador pode motivar seus alunos a irem à lousa expor diferentes maneiras de resolução, pedindo
aos demais que escolham as estratégias mais interessantes e que as usem nas próximas vezes.
A situação didática apresentada a seguir representa uma rica experiência vivenciada em uma turma
do primeiro ano do Ensino Fundamental. Após a exploração do enunciado, a professora incentivou seus
alunos a registrarem não somente a resolução, mas também a forma como mentalmente construíram as
respostas. No momento da correção, chamou algumas crianças com estratégias diferentes de resolução
e pediu-lhes que as compartilhassem com os demais, solicitando que explicassem de forma que os
outros também pudessem aplicá-las.
O que pode parecer estranho aos olhos pouco experientes de quem não lida com as séries iniciais
do Ensino Fundamental é na verdade algo comum no cotidiano escolar das crianças, especialmente em
relação àquelas analisadas a seguir. Elas aprendem ensinando e tem imenso prazer em fazê-lo. Não é
incomum que todas as crianças dessa turma desejem ir à lousa.
O mesmo pode se dizer da proposição feita pela professora, de que prestassem bastante atenção,
pois posteriormente pediria a eles que resolvessem outros problemas se valendo das estratégias
apresentadas pelos colegas. A cultura escolar, pautada na troca constante, na não censura ao errar e
em sempre apostar na sua própria capacidade, permite a essa escola uma grande riqueza de estratégias
na compreensão dos problemas. Durante essa atividade houve inúmeros momentos em que as crianças
74
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
quiseram esclarecer suas dúvidas, sugerir possibilidades, demonstrar que pensaram igual, elogiar ideias
interessantes e corrigir erros. Isso tudo é possível porque há nesse ambiente um contrato cultural que
estabelece que o diálogo e a troca constantes sejam mais importantes que o acerto. Dentre as várias
crianças que foram à lousa nesta aula, foram selecionadas quatro pelo critério da diferença de estratégias
aplicadas. A todos os alunos foi oferecido o seguinte problema:
Um ônibus vazio parou em três pontos. No primeiro subiram 30 pessoas, no segundo subiram 25 e
no terceiro subiram 40. Quantas pessoas subiram no ônibus?
Compare as diferenças entre as estratégias de resolução adotadas pelas quatro crianças:
Criança 1
Figura 15: Exercício resolvido pela criança 1
Análise: perceba que a criança 1 consegue conservar o valor de partida (40) e somá-lo com a segunda
informação numérica (30). Neste caso valeu-se de seu conhecimento sobre a contagem de dez em dez,
pois utilizou três dedos durante a operação, dizendo valer 10 cada um (assim explicou quando foi à
lousa). Após obter o primeiro resultado (70) decompôs o valor seguinte (25) em 20 e 5, realizando a
soma de 70 + 20 e obtendo a dezena cheia 90; em seguida juntou o 5 restante, obtendo o resultado final
95. Repare no uso competente de diversos recursos, tais como a decomposição numérica, a contagem
salteada de dez em dez, a conservação de valores e o uso de sinais matemáticos (+ e =).
Criança 2
Figura 16: Exercício resolvido pela criança 2
Análise: trata-se de uma criança que compreendeu dois elementos importantes para a resolução
de somas, a decomposição numérica em grupos de dez e a recomposição, percebida em sua explicação
75
Unidade I
na ocasião de sua ida à lousa, em que colocava o dedo sobre cada valor e, salteando, dizia em voz alta
“dez, vinte, trinta, quarenta” e continuando, “cinquenta, sessenta, setenta, mais oitenta, noventa e cinco,
cheguei no noventa e cinco”. Perceba que já faz uso do sinal de soma (+), mas ainda não utiliza o de
igual (=).
Criança 3
Figura 17: Exercício resolvido pela criança 3
Análise: a criança três, para sua maior “segurança e entendimento”, optou por registrar as somas
parciais, como uma espécie de “garantia contra o erro”. Ela igualmente decompõe cada valor em grupos
de dez, mas sinaliza a recomposição em cada etapa. No momento de somar o total, no entanto, valese do mesmo recurso estratégico da criança anterior e conta de dez em dez, mas com um detalhe: a
partir do 55, segue para 65, 75, 85, 95, ou seja, de certa maneira vale-se de um recurso um pouco mais
elaborado.
Criança 4
Figura 18: Exercício resolvido pela criança 4
Análise: sabemos que nem todas as crianças têm como modelo para suas estratégias de resolução
somente o ensino escolar, e este aluno é um bom exemplo disso. Apesar da escola só trabalhar com o
algoritmo convencional a partir da segunda série, o aluno aprendeu com sua mãe essa estratégia e,
por fazer um uso competente e consciente (não mecânico e limitado a essa situação), foi incentivado
a ir à lousa e ensinar aos demais sua maneira de resolver. A professora complementou a explicação, a
76
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
fim de garantir uma maior compreensão dessa técnica, salientando que será mais bem explorada num
momento posterior, em que toda sala poderá acompanhá-la com mais eficiência.
Dado que a resolução de problemas vem se consolidando como uma importante estratégia de
aprendizagem, a comunidade docente que atua na escolaridade básica tem tido contato com teorias e
autores de diferentes correntes. Esse movimento parece indicar uma busca constante por um fazer mais
consciente, intencional e acadêmico.
Em muitas experiências escolares analisadas, há uma busca pela confluência de enfoques que
respeitem o pensar da criança, ao mesmo tempo em que a estimule cognitivamente. Como exemplo,
podemos citar os estudos da “Educação Matemática”, em particular as pesquisas de Gerard Vérgnaud
(MAGINA et al., 2001).
A pretensão não é defender um determinado ponto de vista teórico, mas levantar ponderações que
parecem essenciais na melhor compreensão dos mecanismos que favorecem o uso da resolução de
problemas como estratégia de aprendizagem de cálculo.
Os diferentes tipos de problemas
Ao fazer uso de problemas matemáticos é importante que o professor compreenda a diferença
desses em relação aos exercícios tradicionalmente propostos, tais como os algoritmos convencionais.
Um exercício, como “continhas”, por exemplo, quase sempre já dispõe dos mecanismos ou regras que
levam à solução, o que permite pouca variação. Também a operação matemática já está predeterminada
explicitamente por meio dos sinais matemáticos utilizados. Ao apresentar situações mais abertas e que
exigem interpretação por parte do aluno, como os problemas matemáticos, ao contrário de dificultar,
como poderiam alegar alguns críticos dessa estratégia, se amplia o leque de possibilidades de resolução,
permitindo a troca e o aumento da capacidade de adaptação ou de modelagem matemática. Também
permite ao professor conhecer melhor a forma como seu aluno aprende.
Para que as atividades com resolução de problemas tornem-se ricas e estimulem a efetiva
participação do aluno, é necessário que sejam variadas, como se vê a seguir, e que se tome o cuidado
de não transformá-las em fórmulas, cujos indícios de linguagem do texto dos enunciados tornem-se
“senhas” de modelos de resolução já conhecidos, algo comumente visto em inúmeros livros didáticos. O
importante é que o aluno seja capaz de localizar autonomamente a incógnita e, para tal, é preciso que
o professor estimule o aluno a questionar sua própria resposta, elaborar suas hipóteses, desenvolver
estratégias e ampliar a sua capacidade de análise. O professor deve, para isso, apostar na atividade do
aluno, e não em sua passividade.
Quanto à variedade de problemas, acredita-se que os estudos de Vergnaud (MOREIRA, 2002)
acerca dos campos conceituais aditivos (que envolvem a adição e a subtração) e multiplicativo
(que envolve multiplicação e divisão) são boas premissas à elaboração de problemas matemáticos,
pois amplificam os significados e diminuem a dificuldade que os alunos têm em relação às suas
escolhas, dado que podem aprender a se valer de operações diferentes para solucioná-los (por
exemplo, subtrair ao invés de somar, ou somar ao invés de subtrair). Quanto mais tipologias de
77
Unidade I
problemas os alunos conhecerem, maior poderá ser o seu repertório de estratégias e possibilidades
de resolução nas novas situações e operações.
Apresentam-se aqui exemplos de situações relacionadas a esses diferentes tipos de problemas que
podem ser oferecidos às crianças do segundo ano do Ensino Fundamental. Não foram citadas todas as
situações apontadas por Vergnaud, mas representam boa mostra de possibilidades de oferecer situações
diferenciadas de problemas aos alunos.
Campo aditivo
Situações relacionadas à ideia de combinar dois estados para obter um terceiro
Juntar:
Em uma cesta de frutas, há 9 laranjas e 8 bananas. Quantas frutas há no cesto?
Separar/tirar:
Em um cesto, há algumas laranjas e 8 bananas, sendo no total 17 frutas. Quantas laranjas
há nesse cesto?
Em um cesto, há 17 frutas, 9 são laranjas. Quantas bananas há?
Situações relacionadas à ideia de transformação, alterando o estado inicial
(positiva ou negativa)
Positiva:
José tinha 15 figurinhas. Ele ganhou 12 figurinhas de seu pai. Com quantas figurinhas
José está agora?
Negativa:
Bianca tinha 19 figurinhas. Ela perdeu 6 num jogo. Quantas figurinhas Bianca possui
agora?
Situações relacionadas à ideia de comparação
Ao fim de um jogo, Luiz e Pedro conferiram suas peças. Pedro tinha 16 e Luiz tinha 10 a
mais que Pedro. Quantas eram as peças de Luiz?
Luiz e Pedro conferiram suas cartas. Luiz tem 14 e Pedro 7. Quantas cartas Pedro precisa
ganhar para ter o mesmo número que Luiz?
78
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Fabiana iniciou um jogo com 20 pontos de desvantagem e terminou o jogo com 35
pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?
Campo multiplicativo
Situações relacionadas à ideia comparativa
Multiplicação:
Um cachorro possui quatro patas, quantas patas há em 5 cachorros juntos?
Divisão:
Se quatro cachorros têm 16 patas. Quantas patas há quando dois cachorros estão juntos?
Situações relacionadas à comparação entre razões (proporcionalidade)
Se uma caixa possui 20 bombons, quantos bombons há em 3 caixas? (1 está para 20
assim como 3 está para 60).
Duas balas custam R$ 0,50. Quanto pagarei por 4 balas (se 2 balas é igual a R$ 0,50, o
dobro é R$ 1,00)?
Se João pagou R$ 12,00 por 24 ovos, quanto iria pagar por uma dúzia?
Maria gastou R$ 45,00 em três pacotes de bolacha. Quanto custou cada um deles?
Situações relacionadas à configuração retangular
Multiplicação:
Se em um teatro há 10 fileiras com 8 cadeiras cada, quantas pessoas cabem sentadas?
Uma sala tem 5 metros de largura por 7 de comprimento. Quantos metros quadrados
há nessa sala?
Divisão:
As 49 cadeiras de um cinema estão dispostas em fileiras e colunas. Sé há 7 fileiras,
quantas são as colunas?
Situações relacionadas à combinatória
Os sete anões se vestem todos com calças marrons e camisetas de cores diferentes.
79
Unidade I
Se cada um emprestar ao outro suas camisetas, quantas combinações diferentes serão
possíveis para cada um deles?
Síntese dos problemas matemáticos
Para a boa formulação de uma situação-problema de cunho matemático, faz-se
necessário, portanto:
• conhecer os alunos e seus prévios conhecimentos;
• buscar atitudes autônomas e a valorização das estratégias pessoais de resolução,
bem como sua troca com os demais colegas da classe;
• o educador deve planejar sua intervenção no ato da resolução e da troca. Essa deve
ser ativa, objetiva e instigadora;
• o educador pode e deve nortear seus alunos para que compreendam e utilizem as
boas estratégias desenvolvidas pelos seus colegas de classe;
• os problemas devem superar o óbvio. Devem ser criativos, reais ou fictícios, e até
bem humorados;
• os problemas devem variar em suas situações didáticas;
• há ainda três aspectos que dependem do aluno e que podem ser incentivados pelo
educador:
– a vontade: o aluno precisa estar motivado, disponível, para buscar solução para
o problema;
– a necessidade: o sentido, a significação do que se quer alcançar, é fundamental
para uma boa aprendizagem;
– a possibilidade: a tarefa a ser desenvolvida tem que ser possível de se resolver
com o mínimo de controle do adulto, buscando superar a heteronomia em
busca da autonomia (PIAGET, 1977).
Conclusões
Acredita-se que a utilização de problemas matemáticos se enquadra perfeitamente como recurso
de grande validade quando o professor concebe como princípio a atividade participativa e consciente
do aluno, ou quando observa sua diferenciação em relação aos exercícios de fixação mecânica, tais
como listas de cálculos (arme e efetue, por exemplo), e proporciona situações desafiadoras ao aluno.
O mesmo acontece quando o professor tem claro seu papel de mediador do diálogo que se estabelece
no momento da resolução e quando se compartilham as estratégias, que são legitimadas pelo grupo
de alunos e posteriormente generalizadas. Olhar investigativamente a prática do aluno é premissa do
professor-pesquisador que busca ampliar seu olhar de reflexão e também o de seu aluno.
80
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
3.2 Portadores numéricos
Em geral, associamos o ensino da Matemática ao cálculo ou à contagem numérica, pois essa tem
sido a tradição escolar. Sabemos que a notação numérica está em toda parte, mas em cada uma tem
função diferente. Quando vemos num ônibus, por exemplo, o letreiro 208 C LAPA, o número não indica
que aquele é o 208º carro da empresa, mas sim a linha em que ele circula. Muitos ônibus circulam por
este lugar chamado LAPA, mas o itinerário específico dessa linha 208 C difere-se de outras linhas pelas
quais circulam outros ônibus. Portanto, a notação numérica neste caso representa um determinado
percurso, e não uma quantidade. Um número telefônico é outro exemplo de notação de um código não
ligado à contagem ou cálculo. Há vários outros exemplos: o Código de Endereçamento Postal (CEP),
nosso documento de Registro Geral (RG), os códigos bancários etc.
Na escola realizamos, muitas vezes sem intenção, essas notações que os alunos percebem ser
diferentes do cálculo. O número de chamada dos alunos, o número da classe ou série, o cabeçalho com
data completa ou em barra (Exemplos: São Paulo, 23 de Junho de 2004 ou 23/06/04).
Lembrete
É muito importante que o educador proporcione intencionalmente
situações em que os numerais sejam apresentados nas suas mais diversas
funções, pois na vida fora da escola essas situações também aparecem, às
vezes, sem que o aluno “veja”.
É o mesmo que ocorre com o processo de alfabetização. Quando nossos alunos começam a
compreender e decodificar os elementos componentes de uma palavra, eles passam a enxergar o que
não viam, leem placas nas ruas, palavras nos jornais e revistas, o nome das lojas etc. Esse “ajudar a ver”
não significa, tanto quanto na alfabetização, apenas decodificar e nomear símbolos numéricos, saber
que o símbolo 40 representa quarenta, mas sim entender o seu significado social, saber, por exemplo,
que a data 11/05/04 representa o 11º dia do mês de maio e que 04 são os numerais finais do ano 2004,
contados a partir do nascimento de Cristo.
A seguir serão apresentados exemplos de diferentes atividades que ajudam a criar um ambiente
repleto de portadores numéricos. Um portador numérico é um instrumento ou situação que se apresenta
como mediador entre o aluno e o conhecimento; no nosso caso, entre o educando e os usos dos numerais
em suas diferentes propriedades.
Organização da lousa
A lousa é um instrumento educacional bastante antigo, mas ainda utilizado mesmo em escolas onde
há muita tecnologia disponível. Constitui-se um ótimo portador numérico, se pensado e planejado para
tal fim. A começar do cabeçalho, que proporcionará noções de tempo e espaço geográfico. Nele estão
contidas as noções de dia, mês, ano e o local onde se está estudando (São Paulo, Rio de Janeiro, Curitiba
etc.). Em muitos casos também se escreve o nome da instituição escolar.
81
Unidade I
Sobre a ideia de dia, mês e ano, também contidas no calendário, é sempre válido apresentar às
crianças as noções históricas de mudança: de que o homem nem sempre precisou marcar a passagem do
tempo com tanta precisão, que o calendário como conhecemos no Brasil é fruto de muitas mudanças,
e que até chegarmos ao calendário que atualmente utilizamos, denominado gregoriano, este sofreu
inúmeras modificações, e as regras definitivas de sua composição só se deram em 1582, com o papa
Gregório 8º. Veja algumas curiosidades que podem ser oferecidas aos alunos:
Explicação para os nomes dos meses – origem
O calendário gregoriano, que usamos atualmente, tem sua origem nos antigos romanos, por isso
a denominação dos meses segue, ainda, a antiga ancestralidade. Antes de homenagear deuses e
imperadores, o calendário romano era composto de dez meses e seus nomes derivavam da ordenação
numérica. Os meses de setembro, outubro, novembro e dezembro conservaram sua nomenclatura
original, veja:
Quadro 10 – Origem dos nomes dos meses
Janeiro
Por ser o primeiro mês recebeu o nome do guardião dos portões e entradas, Janus.
Fevereiro
Vem de Februa, festa religiosa de purificação, que era comemorada no dia 15 desse mês.
Março
Homenagem a Marte, deus romano da guerra.
Abril
Alusão ao nome da deusa grega do amor, Afrodite, pois Apro (Aprilis) era a sua abreviação.
Maio
Homenagem à deusa romana patrona da primavera, Maia. Lembre-se que no hemisfério norte,
onde se encontrava a civilização romana, maio é início da primavera.
Junho
Mês de Juno, mulher de Júpiter, deusa do casamento.
Julho
Homenagem ao imperador romano Júlio César, um dos que iniciaram as reformas do
calendário.
Homenagem que o imperador romano Augusto fez a si mesmo, foi ele quem completou as
reformas de Júlio César.
Agosto
Setembro
Vem de septem, sete na língua dos romanos antigos.
Outubro
Vem de octo (oito).
Novembro
Vem de novem (nove).
Dezembro
Vem de decem (dez).
Fonte: adaptação de artigo da revista Galileu Especial, Editora Globo. Edição Especial número 2 – junho de 2003.
A lousa é também um importante lugar onde se pode colocar a rotina ou organização do dia. Saber
a sucessão de atividades e a hora em que elas irão acontecer é outra maneira de lidar com o tempo, e
exige do aluno colocar em relação diferentes noções sobre o tempo, entre elas:
• começo – meio – fim;
• antes de... – durante – depois de...;
• pouco – mais ou menos – muito (duração de uma aula, por exemplo).
82
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Além disso, permite a aquisição de outra noção importante sobre o tempo, a antecipação dos fatos,
o que permite o planejamento por parte do aluno. Um exemplo: querer ir ao banheiro, mas esperar outro
momento, pois sabe que falta pouco para o recreio.
A organização dessa rotina/agenda pode se dar de diferentes formas, inclusive é importante que
se tenha um cartaz com o semanário, onde estejam escritos os dias e atividades da semana com suas
respectivas sequências, que possa ser consultado pelos alunos autonomamente. Exemplo:
Quadro 11 – Exemplo de semanário
Aulas
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
1ª aula
2ª aula
3ª aula
4ª aula
5ª aula
É importante que essa rotina/agenda escrita na lousa fique num canto visível e, conforme as
aulas forem se sucedendo, pode-se pedir aos alunos para marcar ou apagar o que já foi feito. Esse
procedimento, além de organizar as aulas, evitando que os alunos permaneçam em estado de ansiedade
por querer saber o tempo todo o que irá acontecer, mostra ao aluno o quanto é importante saber dividir
o tempo para aproveitá-lo em diferentes atividades.
Calendário e agenda escolar (diário)
Um calendário afixado em local visível torna-se um valiosíssimo portador de informações
matemáticas. Podem ser marcados nele acontecimentos programados pela escola, tais como
festas, aniversários, passeios e outras datas importantes que podem ser consultadas a qualquer
tempo. Assim, o educador pode compartilhar obrigações, pedir aos alunos que se lembrem de
uma preparação para algum evento, que marquem com um risco ou desenho o dia atual ou o
que já se foi, ou solicitar aos alunos que digam quantos dias, semanas ou meses faltam para um
determinado evento.
A agenda escolar é outro instrumento de trabalho e um excelente portador numérico. Em geral
possui subdivisões básicas que são as seguintes:
• calendário completo, incluindo o ano anterior e o posterior;
• espaço para escrita de bilhetes e lições de casa;
• espaço para agenda telefônica e endereços.
83
Unidade I
Explorar seu uso diário com autonomia torna-se um importante recurso aos desafios matemáticos,
pois fará com que o aluno relacione a data, escrita na lousa ou no calendário, com a página correspondente
ao dia e ao mês em que irá escrever. Poderá ser proposto ao aluno preencher os telefones fundamentais,
como os da escola, dos pais e dos colegas. Ter um espaço para registrar os aniversariantes também
é interessante se a pretensão for relacionar a agenda ao uso do calendário, pois ambos registram a
passagem do tempo.
Tanto quanto o calendário, a agenda permite que o aluno registre acontecimentos que ocorreram ou
irão ocorrer, com a vantagem de poder controlá-los com mais autonomia, por ser um instrumento que
pode estar permanentemente em posse do aluno.
A agenda pode ser confeccionada de acordo com o perfil e os objetivos da escola ou da classe,
encadernando suas folhas elaboradas na escola, transformando um caderno pequeno em agenda, ou
mesmo solicitando a compra de um dos diversos modelos escolares que existem no mercado.
As tabelas numéricas e outros registros matemáticos em exposição
Escritas à mão ou impressas em cartazes afixados na classe, as tabelas podem se tornar instrumentos
úteis de consulta e mesmo de levantamento de novos desafios.
Escrever tabelas numéricas, procedimentos de cálculo, registro de fatos básicos das quatro operações,
significados da simbologia matemática etc. permite uma relação com a aprendizagem que supera a
memorização excessiva. Atualmente entende-se que não há necessidade de o aluno saber todas as
fórmulas, signos e conceitos matemáticos “de cor e salteado”, e sim que ele faça bom uso dos diferentes
elementos que compõem um dado conceito. Desta forma, para auxiliar, por exemplo, uma multiplicação
com números grandes, o aluno pode recorrer à tabuada em um cartaz, pois pesquisar e fazer uso de
diferentes portadores faz parte de um procedimento de pesquisa autônomo e desejável.
Conforme são desenvolvidos determinados estudos de componentes didáticos, o educador pode
oferecer outros portadores afixados em paredes. Por exemplo, se estiver estudando medida, poderá ter
uma fita métrica disponível em um canto da sala, ou uma balança. Se o assunto for a passagem do
tempo, poderá ter diferentes relógios na parede ou sobre uma prateleira (digitais, analógicos, de corda,
ampulhetas etc.) para manipulação dos alunos.
Observação
Aprende-se por todos os sentidos, o que, inclusive, auxilia na memória.
Por essa razão, é preciso criar situações de manipulação ou visualização do
que se aprende.
Os cartazes e outros materiais podem ser construídos ou organizados pelos alunos em tarefas
planejadas para tal fim, em grupos ou individualmente. Veja um exemplo dessa possibilidade: se estiver
trabalhando com medidas não convencionais, o educador pode pedir aos alunos que pesquisem quais
84
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
instrumentos são utilizados na culinária, para que organizem uma exposição desses materiais. Com
certeza os alunos trarão copos, colheres, xícaras e outros, e o educador poderá ainda pedir que tragam
diferentes receitas ou mesmo elaborar uma na sala, para que experimentem o uso dos materiais
pesquisados.
Os murais
Um último portador numérico interessante que explicitaremos se constitui no “bom e velho” mural
expositivo. Quando bem empregado, se torna um grande aliado a serviço do aprendizado da Matemática.
A priori, um mural serve para expor trabalhos desenvolvidos ou divulgar eventos na escola. Um mural
interno, de sala, pode ser usado para afixar recortes de revistas e jornais ou cópias de trechos de livros e
outras fontes (internet, por exemplo) relacionadas à Matemática.
Uma sugestão para a organização é a seguinte:
Quadro 12 – Sugestão de mural
A) O que já sabemos sobre...
B) Exemplos
C) Dê aqui a sua contribuição...
Onde:
A) é o espaço destinado a registrar o que já se aprendeu e que não se pode mais esquecer;
B) é o espaço em que professores e alunos colocam os exemplos interligados ao tema de estudo. Se
estiverem estudando tabelas e gráficos, por exemplo, poderão ser afixados recortes de jornais e
revistas, ou ainda resumos de atividades que contribuam com o aprendizado ou fixação de um
conteúdo;
C) é o espaço no qual o educador convida o aluno a propor desafios semanais a serem respondidos
num momento combinado. Ele mesmo poderá colocar charadinhas, situações-problemas,
curiosidades sobre o tema. Trata-se de um espaço dinâmico, itinerante e lúdico.
Em resumo, pode ser um material pedagógico bem divertido. Para isso, o educador deve organizar seus
alunos em equipes responsáveis pela manutenção e elaboração do mural a cada período determinado
(semana, quinzena, mês), dividindo assim as responsabilidades na divulgação do saber.
Todo e qualquer instrumento que permite ao aluno melhor se aproximar do conhecimento, por meio
de consulta autônoma, pode ser chamado de portador.
3.3 Jogos
É mais do que sabido que a sociedade evoluiu muito em relação ao trato da criança. Os estudos da
psicologia infantil ganharam espaço nas mídias, nos livros dedicados ao público leigo e nas leis que
protegem as crianças e adolescentes.
85
Unidade I
Há menos de um século, as crianças brasileiras vestiam-se como adultos, muitas trabalhavam
oficialmente (muitas ainda trabalham ilegalmente) e quase não havia atividades voltadas ao lazer
infantil. Brinquedos comprados eram exclusividade daquelas que tinham situação financeira favorável,
porque eram quase todos importados. Enfim, não havia preocupação com o lúdico, considerado perda
de tempo.
Atualmente sabemos o valor essencial que o brincar/jogar representa na formação intelectual e
ético-moral da criança. É a partir do lúdico que ela explora o mundo e dele se apercebe, relacionandose a partir de si e compreendendo o outro. Por meio de uma relação simbólica, interage e representa
o mundo real que a cerca. Por isso há os jogos de fantasia em que a criança representa situações do
cotidiano social doméstico, como a “casinha”, ou mais amplo, em profissões como médico, veterinário,
professor, motorista, vendedor etc.
A escola, entidade permeável às mudanças sociais, vem aceitando cada vez mais o lúdico como
instrumento de aprendizagem, não somente de conteúdos conceituais, dos saberes historicamente
acumulados, mas também de procedimentos e atitudes.
Brincar é um ato intuitivo da criança, e a história nos vem mostrando isso, pois, apesar do pouco
incentivo ao lúdico nos séculos anteriores, as crianças sempre “deram um jeito” de brincar sozinhas
ou em grupos. Por esse motivo, a escola não poderia deixar de lado esse enorme potencial criativo e
espontâneo da criança. Na verdade, as escolas que negam o lúdico se veem numa dificuldade maior em
lidar com a indisciplina – não que o fato de brincar elimine todas as dificuldades, mas com certeza a
ausência de uma preocupação lúdica só aumenta a transgressão de regras muito severas.
É notório que, na medida em que as cidades cresceram e as moradias perderam seus quintais, os
espaços onde a criança no período sensório-motor dava seus primeiros passos se modificou. Se antes
isso era feito em contato com terra, plantas e pequenos animais de jardim, e as ruas eram espaço dos
jogos coletivos, das temporadas de pipa, pião, balão, figurinhas, rolimã e das eternas brincadeiras de
corda, cirandas, futebol, taco e mãe da rua, tudo isso deu espaço aos carros e ao medo da violência.
Assim, brincar na escola ganhou importante dimensão, principalmente nas grandes cidades.
Brincar, que era algo essencialmente coletivo e público em quase toda a infância, foi se particularizando,
cedendo lugar aos parcos quintais diminutos das casas geminadas e às rígidas regras de conduta e
silêncio dos condomínios residenciais.
A indústria e o comércio não tardaram a perceber esse movimento. Nas décadas de 1950/60/70 o Brasil
não só importou muito mais brinquedos, como as empresas nacionais voltadas à fabricação de jogos e
brinquedos se desenvolveram. Uma análise mais detalhada mostra não somente um encolhimento dos
espaços e “praças de brinquedos”, mas também a redução dos próprios brinquedos produzidos. O termo
“mini” passou a ser incorporado a jogos que tradicionalmente eram do universo macro, dos espaços
das ruas, quintais e terrenos baldios. Minifutebol, minibasquete, minibotão, minissinuca, minipebolim
(ou totó), este último inventado pelo espanhol Alejandro Campos Ramirez para que crianças vítimas
da guerra pudessem jogar uma espécie de futebol. Jogos que envolviam mais de dez crianças podiam
agora ser desfrutados por duas e às vezes solitariamente. Mais recentemente, a partir da década de
86
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
1980, a “individualização” do brincar tornou-se maior com o advento dos jogos eletrônicos que muito
se popularizaram entre as camadas de média e alta renda. Atualmente vivemos um momento em que os
jogos eletrônicos são “baixados” da internet e se encontram em celulares que as crianças e adolescentes
carregam para todos os lugares.
Observação
É importante dizer que, ao mesmo tempo em que a indústria e o
comércio perceberam um grande “filão” de mercado entre as crianças,
também ajudaram, ainda que involuntariamente, a ampliar entre os pais
a importante noção de que jogar/brincar é essencial ao desenvolvimento
infantil e de que se trata de um direito da criança.
Diante desse quadro, a escola passou a ser o lugar, ou um dos poucos, em que o brincar coletivo é
possível, desde que haja intenção daqueles que a organizam, pois do contrário torna-se apenas mais um
espaço de brincadeiras individuais.
É importante lembrar que esse movimento se dá com maior intensidade nos grandes centros urbanos.
A enormidade de nosso país não permite generalizações. De fato há privilegiados espaços sociais onde
ainda se mantêm as antigas tradições e se preservam as brincadeiras e jogos nas ruas, nas praças, nos
terrenos e nos grandes quintais.
Sobre a importância da escola ao universo lúdico infantil, é necessário falar sobre dois aspectos
essenciais do brincar/jogar escolar. O primeiro aspecto é o que se refere à garantia de que em algum
lugar social as pessoas convivam coletivamente, com regras mútuas e com possibilidade de partilhar
pontos de vista e impressões, e testar seus limites corporais e intelectuais. Nesse sentido, o jogar/brincar
na escola adquire muitas vezes o papel de resgatar o lúdico que sempre fez parte da própria essência
do homem. Se hoje, nas grandes cidades, não vemos mais bandos de crianças brincando juntas nas
ruas, praças e terrenos, é no novo “quintal”, nos pátios, ginásios e corredores da escola, que observamos
essas ações. Os pais têm se apercebido cada vez mais da importância das escolas, também neste sentido
lúdico, e muitos buscam compensar a ausência de espaços com alternativas como as “escolinhas de
esportes” e as “dormidas escolares” para que seus filhos aprendam jogos tradicionais de sua infância. É
também notório que o universo das amizades das crianças tem, cada vez mais, se restringido aos colegas
da escola, a ponto de ser comum ouvirmos protestos delas quando chegam os feriados e férias, pois
sabem que seus amigos ficarão distantes por um tempo.
O segundo aspecto do papel da escola no “resgate do universo lúdico” é o de que ela, como instituição,
não pode e nem deve ser o substituto de toda deficiência social. A escola não é a rua, a praça ou o
terreno baldio. Os professores e funcionários da escola não são os pais, irmãos, primos e vizinhos das
crianças. Os alunos não são os vizinhos que partilham da mesma “cultura do bairro”. A escola tem sim
o seu papel lúdico, afinal não é refratária às mudanças sociais, mas ele será definido sobre outras bases
que não a familiar. Sua composição é a do educacional formal, e são seus profissionais, formados para
a complexa tarefa de ensinar, que nortearão os caminhos do lúdico na escola.
87
Unidade I
Uma escola consciente sabe que a ludicidade é um aspecto importante da aprendizagem infantil e
que precisa, para atingir seus objetivos, organizar essa “vontade” da criança a serviço da compreensão
dos aspectos conceituais, dos bons procedimentos e das atitudes desejadas.
Na continuidade deste diálogo faz-se importante explicitar quais ganhos os jogos, como metodologia,
trazem aos alunos, e quais valores, critérios e definições ajudam na utilização intencional dos jogos
como aquisição de aprendizagem.
A possibilidade de aprendizagem mediante o uso de jogos
A escola tem se distanciado do emprego de jogos didáticos, criando uma barreira à medida que
aumenta a idade dos educandos e seu nível de ensino. Assim, temos um uso razoavelmente acentuado
de jogos e brincadeiras na Educação Infantil, mas um uso bem menor deles no primeiro ciclo do Ensino
Fundamental (primeiro e segundo ano). Essa diminuição tende a suceder até o nível universitário, caso
em que, na maioria das vezes, inexiste como recurso didático.
Os jogos estão a serviço de objetivos didáticos que requerem para seu bom uso uma grande reflexão
por parte do educador. Sua eficiência se dá quando seu uso se traduz como a junção de conteúdos de
ensino que sejam eficientes para a aprendizagem e se aliam ao prazer do aluno.
Motivações para o uso de jogos no ensino
Na atualidade, podemos perceber um grande avanço no uso de jogos como recurso didático,
principalmente porque:
• constituem um processo natural que permite ao educando expressar sua personalidade sem
“amarras” nem inibições;
• são instrumentos especiais e efetivos de aquisição de conhecimentos e desenvolvimento de
potencialidades, habilidades e capacidades;
• o ímpeto lúdico é algo da condição humana, portanto seu uso provoca manifestações espontâneas
de interesse, livres de padrões rígidos;
• durante a realização da atividade de jogo, o aluno aprende e valida seus conhecimentos por meio
de sua própria atividade, ou seja, aprende fazendo;
• realizam-se dentro de prazos delimitados de tempo e espaço, sendo um ótimo exercício para a
compreensão dos limites;
• estão em “jogo” as diferentes emoções, a tensão, a afetividade, a alegria da vitória e a aceitação
da derrota;
• se constituem uma importante via para o desenvolvimento da criatividade e da personalidade;
portanto, da autonomia;
• ensinam o valor de respeitar regras;
88
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• podem ser competitivos e cooperativos;
• contém conhecimentos “ocultos” que podem ser explicitados e devem ser planejados, tais como
os procedimentos para entender e fazer e as atitudes;
• são um meio de incentivar que se cumpram certas regras de conduta e convivência social, o que
possibilita cultivar o espírito de solidariedade, companheirismo, cooperação, simpatia, segurança
em si mesmo, espírito crítico e autocrítico.
A didática atual compreende o jogo como uma organização efetiva do processo educativo como
uma forma produtiva, na qual estão presentes elementos de motivação, competência, espontaneidade
(atitude), participação e um veículo privilegiado para a transmissão de conceitos.
Recomendam-se alguns critérios para a seleção e o uso de jogos, sejam eles tradicionais ou pedagógicos,
antigos ou de criação. Esses devem responder às diferenças individuais, desenvolver a necessidade de um
esforço mental nos alunos, favorecer a independência cognitiva, permitir desenvolver a personalidade
da criança, obter conhecimentos novos e estabilizar os antigos, e desenvolver habilidades que possam
ser aplicadas nas mais diferentes situações, não apenas aquelas que possam ser dirigidas na escola.
Mediante o fornecimento de situações-problema no jogo/brincadeira, os alunos buscam vias de
solução para dar respostas aos desafios. Estimula-se assim o domínio dos conhecimentos adquiridos
e sua aplicação criativa nas soluções desejadas. Isto constitui uma importante faceta do trabalho com
o lúdico: o domínio do conhecimento (escolar) por parte do aluno de uma maneira prazerosa pode
garantir seu melhor uso nas inusitadas situações do cotidiano.
Ao criar uma relação positiva com a aprendizagem, o jogo incentiva o estudo do material/conteúdo
proposto e fornece as bases para uma aprendizagem significativa e eficiente. Pode ser aplicado em
diferentes momentos das aulas: como introdução de elementos novos, comprovação (análise avaliativa)
de um estudo, finalização de uma sequência de ensino ou mesmo atividade de relaxamento e simples
diversão.
Preparação para o jogo e criação de um ambiente lúdico
É preciso planejar todos os passos do uso de jogos, assegurando os mínimos conhecimentos
necessários por parte do aluno, tanto nos aspectos formais/conceituais como no entendimento das
regras que regem aquela atividade. O educador deverá planejar se irá dirigi-la, se há a possibilidade de
ficar apenas como observador ou mediador ou ainda se será um dos membros participantes do jogo.
Deverá planejar o agrupamento dos alunos, pensando nas possíveis trocas positivas e negativas, tais
como as tensões de relacionamento etc.
Na fase inicial do jogo, momento em que os educandos se familiarizam com as condições, regras e
possíveis variações, o educador deve manter-se o mais ativo que puder, circulando por entre os grupos
e ajudando a solucionar dúvidas. O educador deve deixar muito bem definidos os objetivos internos de
cada jogo, favorecendo que seus alunos procurem por si só os resultados objetivados e que busquem
por conta própria as soluções aos problemas ofertados. É importante que, futuramente, o educador
89
Unidade I
repasse a tarefa de auxiliar nas dúvidas aos alunos mais experientes, como forma de delegar autoridade
e responsabilidades a eles.
Definição de jogo
Nos jogos, há atitudes prescritivas sujeitas às regras, geralmente penalidades para a desobediência
dessas, e a ação procede de forma evolutiva até culminar num clímax, que geralmente consiste em uma
vitória da habilidade, tempo ou força.
Os jogos em grupo encaixam-se nessa definição, exceto pelo aspecto da competição referente
à vitória. A competição é sempre importante na análise sobre os jogos, mas a possibilidade de
vencer não é essencial. Nesse trabalho, os jogos referidos são aqueles em que as crianças jogam
juntas, de acordo com uma ou mais regras preestabelecidas. Essas regras devem estabelecer
claramente o objetivo a ser alcançado e permitir que haja possibilidade de interdependência e
cooperação entre os jogadores, além de oposição de ações para que as crianças possam elaborar
suas estratégias.
Critérios para um bom jogo
Para que um jogo tenha utilidade no processo educacional, deve ser interessante e desafiador,
permitindo que a própria criança se autoavalie quanto ao seu desempenho e propiciando a participação
ativa de todos os jogadores, do começo ao fim.
Algumas vezes um jogo pode se tornar inadequado por ser muito difícil para a criança no estágio
de desenvolvimento em que ela se encontra. Nesse caso, o educador teria que intervir constantemente,
impedindo uma ação mais autônoma das crianças. Não se deve esperar que a criança domine o jogo
“corretamente”, mas que ela possa jogar de uma maneira lógica e desafiadora, para si mesma e também
para o grupo.
Quando uma criança tenta alcançar determinado objetivo é porque está naturalmente interessada
no resultado de sua ação, que deve ser claro o suficiente a ponto de permitir que ela própria avalie se
obteve sucesso ou não. Um bom jogo permite que a criança, diante de seu fracasso, possa perceber
onde errou e se exercitar na resolução do problema, construindo relações entre os vários tipos de ações
e objetos.
No que diz respeito à participação da criança em um jogo, isso vai depender também de seu nível de
desenvolvimento. A participação ativa se refere à atividade mental e envolvimento. É preciso verificar se
a criança está sendo mobilizada mentalmente e não apenas mecanicamente por meio de um jogo sem
significado para ela.
Por que usar jogos?
Os jogos não são recomendados apenas para que as crianças aprendam a jogá-los. O mais
importante é que o jogo seja um estimulador da atividade mental da criança e também de sua
90
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
capacidade de cooperação. É importante que se relacione a utilização de jogos às finalidades
educativas.
Além de exigirem um trabalho centrado na autonomia, na atenção, na curiosidade, na iniciativa e
na coordenação de diferentes fatores, os jogos permitem e exigem que a criança avalie o seu próprio
desempenho, no intuito de jogar bem. Os jogos permitem ao educador acompanhar, analisar e interferir
no raciocínio dos pequenos jogadores ao comparar jogadas e ao solicitar esclarecimentos sobre elas.
Na visão piagetiana, segundo Jacobik (2005), a meta fundamental da educação é o desenvolvimento
da autonomia moral, pois fazendo o mesmo caminho que o homem, o jogo passa pelas mesmas fases
de desenvolvimento moral: anomia, heteronomia e autonomia.
Durante a anomia as crianças ainda não conhecem as regras do jogo e, por isso, não jogam, apenas
brincam. Ao passarem para a heteronomia, começam a descobrir o outro e, consequentemente, passam a
gostar de regras e a exigi-las. À medida que essas regras vão se interiorizando e se tornando conscientes,
exigem um aprimoramento intelectual, levando a criança a entrar na fase autônoma.
Desta forma, o jogo de regras é importantíssimo para o desenvolvimento da autonomia moral, pois é
por meio dele que as crianças vão construir as relações de parceria e de respeito, além de desenvolverem
a capacidade perceptiva e crítica diante dos demais jogadores.
O valor dos jogos
Os jogos são atividades prazerosas e interessantes, além de favorecerem o desenvolvimento social,
cognitivo e afetivo. No campo social, a criança aprende a conviver com os outros, a cooperar, a ser
solidária, a pensar e agir junto com o outro. No campo cognitivo, propicia a necessidade constante de
pensar, analisar, construir novas e melhores estratégias para jogar, além de descobrir e superar erros. No
campo afetivo, a criança aprende a lidar com o ciúme, a inveja e a frustração. Em suma, pela brincadeira/
jogo se aprende a tomar decisões, raciocinar, confrontar ideias, buscar soluções, criar estratégias, ganhar,
perder, ser perseverante, se concentrar, interagir com pessoas e com o jogo, esperar a vez de jogar e
muito mais.
O jogo nos parâmetros curriculares nacionais
No documento curricular elaborado pelo MEC, o texto que se refere ao jogo como recurso didático
para o ensino da Matemática se baseia fundamentalmente nesta classificação dos jogos proposta por
Jean Piaget:
Jogos de exercício: referem-se às ações que as crianças repetem
sistematicamente com um sentido funcional. Um exemplo clássico é o do
bebê que joga um objeto para fora do berço, e quando sua mãe lhe devolve
fazendo-lhe um agrado ele torna a jogá-lo. Numa leitura piagetiana,
poderíamos dizer que a mãe deu ao bebê um estímulo prazeroso à ação de
jogar o objeto, pois o associou a um carinho, algo que agrada ao bebê, ou
91
Unidade I
seja, ele encontrou uma fonte contínua de prazer realizada a cada devolutiva
da mãe.
Jogos simbólicos: referem-se às ações nas quais as crianças aprendem a
lidar com o símbolo e a fazer analogias (faz de conta). Um exemplo é a
famosa brincadeira de casinha, em que a criança exagera estereótipos de
sua leitura das ações sociais, imitando uma profissão ou seus pais.
Jogos de regras: referem-se às ações nas quais as crianças aprendem a lidar
com situações mais complexas, dispondo de condições para compreender
que as regras são combinações coletivas, muitas vezes decididas à revelia
de suas vontades. Nesta fase as crianças têm condições de apreender jogos
mais complexos, inclusive inúmeros jogos de tabuleiro tradicionais ou
pedagógicos (BRASIL, 2007).
Assim, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao educador analisar e
avaliar a potencialidade educativa entre a atividade lúdica e o aspecto curricular que se quer desenvolver,
não esquecendo que seus conteúdos vão além dos conceituais (saber), englobando os procedimentais
(fazer) e os atitudinais (ser).
Por que e para que utilizar jogos no ensino da Matemática?
Os jogos obrigam os sujeitos/educandos a colocar diferentes conteúdos em relação. Quando as
crianças colocam todos os tipos de conteúdo em relação, seu pensamento se torna mais móvel e um dos
resultados dessa mobilidade é a estrutura lógico-matemática de número. Essa estrutura não pode ser
ensinada diretamente, uma vez que a criança tem que construí-la por si mesma. O educador deve, então,
encorajar as crianças a pensarem ativamente e a colocarem as aprendizagens em relação, estimulando o
desenvolvimento dessa estrutura mental.
A natureza do número
Para se compreender a natureza do número, é necessário estabelecer uma distinção entre três tipos
de conhecimento matemático: físico, social e lógico-matemático.
O conhecimento físico é o que se refere aos objetos do mundo exteriores ao sujeito. São os elementos da
natureza e os construídos pelo homem, cuja percepção é empírica, ou seja, que se apreende pela experiência.
O conhecimento social é o que se refere às convenções sociais que são, em sua maioria, arbitrárias e
transmitidas de indivíduo para indivíduo, ou seja, é tudo aquilo que é ensinado.
Já o conhecimento lógico-matemático é interno ao sujeito. Esse conhecimento não pode ser
“ensinado”, e se apoia nas relações que o indivíduo estabelece entre objetos, fatos e acontecimentos.
As semelhanças, igualdades e diferenças não estão nos objetos em si, mas na cabeça do sujeito, que
estabelece as relações entre eles.
92
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Esses três tipos de conhecimentos não acontecem separadamente: eles se integram e se
complementam.
O número, de acordo com Piaget (1971), é uma síntese de dois tipos de relações que a criança elabora
entre os objetos por abstração reflexiva: ordem e inclusão hierárquica. O início do desenvolvimento das
estruturas de ordem marca-se pela construção do conceito de número, o que implica classificação,
seriação e inclusão de classe.
Constance Kamii (1986) afirma que
[...] a criança não constrói o número fora do contexto geral do pensamento
no dia a dia. Portanto, o professor deve encorajar a criança a colocar todos
os tipos de coisas, ideias e eventos em relações todo o tempo, em vez de
focalizar apenas a quantificação (KAMII, 1986, p. 187).
Ele também apresenta alguns princípios de ensino matemático que podem ser observados e
planejados nas atividades com jogos:
a criação de todos os tipos de relações, isto é, encorajar a criança a estar
alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e ações em relação;
a quantificação de objetos;
a interação social com os colegas e os professores ;
encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar
conjuntos, em vez de encorajá-la apenas a contar;
encorajar a criança a fazer conjuntos móveis;
encorajar a criança a pensar sobre o número e a quantidade de objetos
quando estes sejam significativos para ela;
encorajar a criança a trocar ideias com seus colegas;
observar as ações da criança durante o jogo e intervir de modo a favorecer
a autonomia e a aprendizagem (KAMII, 1985, p. 188).
Relações entre autonomia X heteronomia
Autonomia significa ser governado por si mesmo. É o oposto da heteronomia, que significa ser
governado por outra pessoa. Na teoria de Piaget, de acordo com Jacobik (2005), a autonomia tem dois
aspectos: moral e intelectual.
93
Unidade I
Uma pessoa moralmente autônoma é governada pelo que ela acredita ser correto e não por um
sistema de punição e recompensa, que só reforça a heteronomia natural da criança.
No campo intelectual, autonomia significa ser governado por si mesmo a partir da capacidade de
levar em conta fatores relevantes. Uma pessoa heterônoma, ao contrário, acredita sem crítica em tudo
que é dito, chegando até a conclusões ilógicas.
Em ambos os aspectos, o que reforça a heteronomia natural das crianças, prejudicando o
desenvolvimento da autonomia, é o sistema de recompensas e punições. E o que favorece o
desenvolvimento da autonomia é a troca de pontos de vista.
Para utilizar os jogos na escola
Com maior ou menor intensidade, os jogos estão presentes na escola há muito tempo – no Brasil,
com maior ênfase a partir da década de 1950. No entanto, há que se ponderar a qualidade e o formato
dessa presença.
É sabido que muitas escolas ainda não veem com bons olhos a utilização de brincadeiras e jogos
como uma prática para a aprendizagem; outras tantas, por sua tradição, não sabem como introduzi-los,
e há ainda aquelas que os utilizam de maneira duvidosa, como mero passatempo e não como suporte
para o conhecimento.
A escola é um espaço de intencionalidade. Seu objeto principal é o conhecimento e a apropriação/
interlocução/troca dele pelo aluno. Muitos críticos dizem que a escola é um espaço “triste”, onde a
“criatividade” não tem vez, pois se perde em um “currículo apertado e envelhecido”. É sabido, porém,
que muitos desses “teóricos da educação” há muito não sabem o que é essa instituição chamada de
escola que, sem dúvida, muito se modificou nos últimos anos. De fato, ainda é possível encontrar escolas
calcadas no tripé “giz, lousa e fala”. Mas deve se dar o mérito às inúmeras que se modernizaram, no bom
sentido, sem perder o significado de sua razão social. A escola, antiga ou moderna, continua sendo o
espaço de transformação do homem. Para a criança, é melhor que essa transformação se dê sem perder
a alegria e a espontaneidade. Daí a grande razão do uso do lúdico, dos jogos.
Trabalhar com jogos não se difere de outras tantas formas de ensinar no que concerne à
preparação. É uma atividade que exige do educador planejamento, pesquisa, levantamento e
preparação de materiais e objetivos claros. Consiste também em ter autocrítica, em se avaliar
constantemente e, principalmente, em permitir ao aluno ser agente/sujeito e não mero espectador
passivo.
Conhecer o público a que se destina determinada atividade com jogos é prioritário, assim como saber
dos prévios conhecimentos do aluno e ter claros os pontos de partida, sempre buscando proporcionar o
desafio possível – e não atividades “sem graça”, pouco desafiadoras ou impossíveis.
Devem ser ponderados diferentes fatores, como o número de alunos em sala de aula, limites e
possibilidades da faixa etária a ser atendida. Faz-se necessário preparar previamente os jogos ou os
94
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
materiais para sua construção, evitando as possíveis falhas e buscando prever os imprevistos, assim
como preparar adequadamente o espaço onde se dará a atividade, delimitar o tempo necessário para
que todos os alunos saiam satisfeitos do jogo e para que os objetivos sejam alcançados.
Como toda atividade escolar, o jogo exige explicações da forma como proceder. O educador nem
sempre deve pressupor a autorregulação, quer dizer, imaginar que porque um jogo é conhecido pela
maioria dos alunos não há necessidade de explicação para sua introdução na aula, pois esta atitude
pode fazer com que um aluno que não conhece o jogo se frustre a ponto de atrapalhar a dinâmica do
grupo.
A maneira mais eficiente de explicar um jogo é jogando. As sugestões apresentadas neste livro
indicam alguns procedimentos, mas é o condutor da atividade lúdica quem deverá fazer a “leitura” de
seu grupo de alunos e escolher a melhor forma de introduzir um jogo novo.
Uma possibilidade é formar um grupo de alunos sentados num lugar visível a toda classe. O
educador pode, inclusive, ser um dos jogadores nessa demonstração inicial. A cada jogada ele explica a
todos o funcionamento do jogo e responde dúvidas que possam surgir. Após essa atividade, o educador
organiza a sala em pequenos grupos para jogar, enquanto circula pela sala observando se as regras
foram assimiladas e auxiliando em caso de dúvidas.
Outra maneira interessante é reservar um tempo da rotina escolar para montar um circuito de
cantos temáticos, com atividades conhecidas dos alunos e que não exijam muito monitoramento, por
exemplo: desenho, kit de montagem (peças de encaixe), leitura de livros e revistas, jogos tradicionais etc.
O educador organiza seus alunos em pequenos grupos que irão “rodiziar” passando por todo o circuito.
Em um dos cantos fica uma mesa, na qual ele poderá explicar o funcionamento de um novo jogo que
deseje introduzir; dessa maneira, ao final da atividade, todos os alunos terão vivenciado o novo jogo.
Essa atividade, em geral, demanda alguns dias. O educador pode programar a introdução do jogo novo
ao longo de uma semana, sempre retomando-o em outros momentos, até que se torne comum ao
acervo lúdico da classe, e que, como os demais, possa ser jogado com autonomia.
Como explicitado, caberá ao educador avaliar a melhor maneira de introduzir um novo jogo. A
qualquer tempo, é importante que o educador avalie com os alunos, ou com os outros profissionais
envolvidos nesse planejamento, o andamento das atividades de jogos. Ele deve permitir que as crianças
busquem resolver da melhor maneira os conflitos comuns à prática lúdica, subsidiando uma conduta
autônoma. Aliás, a busca da autonomia é um dos objetivos potenciais a serem alcançados no trabalho
escolar com jogos.
Essa autonomia deve ser buscada em todas as etapas do jogo. Desde a escolha do local a ser jogado
e de quem começa, passando pela distribuição das peças, o resgate das regras e seu cumprimento ou
possíveis modificações, até o momento de guardá-lo.
Tanto nas escolhas dos jogos tradicionais quanto na dos jogos pedagógicos confeccionados, o
educador que deseja utilizá-los intencionalmente para ensinar ou reforçar um determinado conteúdo
deve selecioná-los e motivar seus alunos a jogá-los.
95
Unidade I
Jogar envolve prazer e, como toda novidade, há uma possibilidade de resistência inicial de
alguns alunos que dirão ser “chato”, muitas vezes sem mesmo ter jogado uma única vez. Cabe
ao educador fazer uma boa “propaganda”, buscando introduzi-lo num momento mais oportuno,
de descontração, como o recreio (intervalo), quando poderá colocar o jogo num canto no pátio
e convidar algumas crianças mais animadas para jogar. Sua divulgação será na base do “boca a
boca”. Pode-se, ainda, criar uma expectativa sobre o jogo que virá, combinando uma data em que
irá apresentá-lo. Fique todos os dias contando pequenos detalhes sobre o jogo, sem completar
todas as informações. A curiosidade é algo muito poderoso nas mãos de um educador experiente.
Lembre-se, gosto é algo que se aprende, afinal, quando criança, todos nós estranhamos situações
novas que depois passamos a adorar.
Há um aspecto muito importante a respeito do jogo na escola: o fato de que o momento mais
importante da atividade está no “durante”. Quando a partida está acontecendo é que se percebe a
quantidade enorme de conteúdos que estão sendo construídos e assimilados. Desde conceitos explícitos
do jogo, como os desafios propostos, as regras escritas e as comandas, até os implícitos, como os
procedimentos e atitudes dos jogadores.
O jogo se autorregula. Os conflitos e emoções se dão o tempo todo, e o educador deve utilizá-los
como laboratório, como conteúdos que podem ser aprendidos. São exemplos as boas condutas, a ética
e a cidadania, o respeito às diferenças, a compreensão de que o outro é tão importante quanto o eu e
vice-versa, o respeito às regras etc.
O uso dos jogos tradicionais no ensino da Matemática
Jogar é uma atividade que faz parte da cultura do homem desde seus primórdios. A utilização de
objetos em situações de regras em grupos pode ser localizada em diferentes épocas e lugares na história
humana.
Em papiros egípcios do século XIII e XII a.C. já existem registros de jogos extintos e outros que
chegaram aos nossos dias, como as damas e os dardos.
Os romanos do século II d.C. jogavam dados feitos de ossinhos, par ou ímpar e cara e coroa. O gamão
e o xadrez já eram conhecidos e, retiradas leves variações, permanecem os mesmos.
Entre os séculos XI e XIV, o xadrez iria se popularizar na França entre os adultos, e a bola de gude, os
dados e os piões, entre as crianças. Na Holanda do século XVII, surgem o boliche e a malha.
Analisando as pinturas em museus e livros especializados ou observando as marcas pictóricas das
cavernas, percebemos que o brincar e o jogar são atividades que sempre acompanharam o homem. Esses
registros nos ajudam a entender, a partir da análise de suas imagens, quais formas de organização social
havia na época.
Entre os muitos artistas que retrataram situações lúdicas vale a pena destacar alguns:
96
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Bruegel, Pieter – o velho (1551–1569), Brincadeiras infantis (1560). Nesse quadro há uma enorme
praça em que crianças e adultos se entretêm com os mais variados jogos e brincadeiras infantis.
• Bosch, Hieronymus (1450–1516), O prestidigitador (ca. 1502). Quadro que representa a atuação
de um artista de rua cuja velocidade na movimentação de objetos ilude o espectador, fazendo
desaparecer coisas.
• Cézanne, Paul (1839–1906), Os jogadores de cartas (entre 1890 e 1895). Buscando criar um clima
interno de emoções em suas obras a partir do jogo de cores, o artista retrata dois homens em um
bar jogando cartas.
• Matisse, Henri (1869–1954), Os jogadores de bola de gude (1908). Artista francês importante no
uso das cores, realiza a transmutação das cores vivas para desenhos simples. Nesse quadro três
adolescentes se divertem com bolinhas de gude.
Vários outros artistas, em diferentes épocas e contextos, representaram o lúdico. Esses aqui citados
compõem apenas uma pequena amostra.
É muito curioso analisar a origem e utilização de alguns jogos que praticamos até hoje, os chamados
“jogos tradicionais”. Contar sua origem para as crianças é uma ótima maneira de motivá-los a aprender
um jogo que ainda não conhecem, ou simplesmente relatar um pouco de história.
Os jogos tradicionais – um pouco de história
Muitos jogos que praticamos atualmente têm sua origem em tempos remotos. O xadrez, surgido na
Índia, retratava por meio de suas peças a organização social do poder, com seus marajás e representações
do exército, como o carro de guerra e os elefantes (usados nos combates). Depois, sofreu mudanças
na Europa Medieval, com suas peças se transformando em cavalos, bispos, reis e torres, símbolos da
pirâmide social da época.
Outro jogo muito conhecido, o gamão, já era utilizado pelos romanos com o nome de tábula.
Os jogos tradicionais são um legado da cultura lúdica que sempre fez parte da organização social do
homem. Aliás, é interessante que se relate que muitos deles, hoje conhecidos como jogos infantis, eram
praticados pelos adultos, que apostavam bens materiais e às vezes a própria vida. O jogo da amarelinha
e o cabo de guerra são exemplos desses jogos.
A religiosidade, ainda presente em alguns, demonstra que os jogos não serviam apenas para nos
divertir, mas também para ensinar valores e atitudes desejadas. Na própria amarelinha atual, encontramos
o céu e o inferno. No xadrez há o bispo, alinhado em importância ao rei e a rainha. As cartas do baralho
ainda são os instrumentos chave das adivinhações das cartomantes.
O aspecto educativo esteve e está presente nos jogos. Toda sociedade ensina a seus filhos a prática
de alguns deles, e essas aprendizagens fazem parte do próprio desenvolvimento do homem.
97
Unidade I
Os educadores que pretendem se valer de jogos para aprimorar o saber lógico-matemático de seus
alunos podem utilizar os já existentes – que os alunos já conhecem de sua educação familiar – para
redimensioná-los, complementar sua prática pedagógica ou mesmo para que sejam os motivadores
iniciais de aprendizagem. Além disso, a escola estará a serviço da preservação de nossos valores culturais,
dos quais jogar faz parte.
Os jogos descritos a seguir carregam toda a tradição anterior e os significados contemporâneos.
Provavelmente estes, que são considerados tradicionais em nossos dias, assim permanecerão por
muitos séculos ainda, desde que haja disposição em transmiti-los. E parece que um dos espaços dessa
preservação será a escola.
A seguir será descrita um pouco da história de alguns jogos tradicionais.
• Jogo de dados
“A sorte está nos dados...”
Sua origem ainda é desconhecida, mas trata-se de um dos jogos mais utilizados ao longo da história
da humanidade, seja ele próprio um jogo, ou para dar dinâmica a outros jogos.
A arqueologia foi capaz de localizar dados nas mais diferentes regiões do mundo, em antigas
civilizações, como a dos egípcios, a dos astecas e a dos hindus.
Nem sempre ligados ao prazer lúdico, os dados foram a base de inúmeros rituais religiosos e de
adivinhação do futuro. Os primeiros dados de que se têm notícias eram feitos de pedras, ossos, chifre,
barro, porcelana e mesmo de pedras preciosas como a ágata.
O número de faces varia conforme o jogo ou material dos quais são feitos. No nordeste do Brasil,
é comum utilizar ossinhos das vértebras de cabra, que são polidos na pedra formando seis faces. Os
dados atuais são feitos de plástico, mas há alguns feitos de marfim, em jogos luxuosos e caros. A maior
parte dos dados conhecidos possui símbolos numéricos em suas faces, mas há registros de centenas de
representações, tais como animais, seres humanos, símbolos do zodíaco etc.
Nem sempre o dado se constitui de uma peça única, há inúmeras formas de obtê-lo. Em alguns
países, são utilizadas moedas que, jogadas, somam-se as faces combinadas voltadas para cima e obtémse o número sorteado; antigas civilizações utilizavam conchas, das quais se contavam as faces invertidas.
• Cartas de baralho
Esse antiquíssimo jogo data provavelmente de seis ou mais séculos antes de Cristo, e seus primeiros
registros de deram no Oriente, mais especificamente na China e na Coreia.
Entre as diferentes versões de sua origem, uma parece mais plausível: a de que surgiu como
desdobramento de rituais de magia e adivinhação, substituindo as conchas e ossos. A origem dos naipes
98
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
que hoje conhecemos, ouros, espadas, copas e paus, se deve aos jogos europeus trazidos ao Brasil pelos
portugueses.
Faz-se importante relatar que essas formas de representações, as mais tradicionais em nosso país, não
são hegemônicas. Em países como a Alemanha e a Itália, os naipes mais comuns são os que conservam
as tradições dos séculos passados. Os naipes que aqui conhecemos surgiram na França e na Inglaterra
do século XVI.
• Bingo
O jogo do bingo como hoje conhecemos data provavelmente de meados do século XVII. Era, e
ainda é, um jogo muito praticado no mundo todo, mas nem sempre com fins lucrativos – sendo
muitas vezes praticado como entretenimento familiar. Na verdade é uma variante do antigo jogo
do loto, que trocou os desenhos de flores, animais e pessoas por números. A palavra “bingo” pode
ter surgido da palavra “feijão” (bean) em inglês, material amplamente utilizado para marcar o
número sorteado.
• Feche-a-caixa
Esse jogo se tornou muito popular entre os marinheiros franceses e ingleses. Era uma diversão com
apostas a dinheiro nos bares dos portos da Europa e da África, principalmente até meados do século XX.
Atualmente tem sido resgatado pelo seu potencial lúdico, por sua simplicidade e pela possibilidade de
aprendizagem matemática que proporciona.
Consiste em um tabuleiro em cujas extremidades opostas se encontram as numerações de um a dez,
que devem ser fechadas mediante sua correspondência aos dados jogados. O jogador poderá optar por
corresponder ao valor de face do dado ou decompô-lo para fechar o maior número possível de “caixas”.
Exemplo: dados no 6 e no 4, somando 10. Podem fechar as casas 6 e 4 ou 1+2+3+4.
• Fan-Tan
Esse jogo surgido na China é muito conhecido na Ásia Oriental, em particular na Coreia. Consiste
em uma mesa, tabuleiro ou chão (nesse caso deve ser desenhado um quadrado), em que cada canto é
numerado de um a quatro (1, 2, 3 e 4). Cada jogador faz sua aposta colocando moedas ou outro objeto
qualquer, como sementes ou pedrinhas, no canto que desejar apostar. Um juiz eleito despeja sobre o
centro do tabuleiro certa quantidade de grãos (feijão, milho, ervilha etc.) e os separa em grupos de
quatro grãos. O último agrupamento determinará qual canto apostado será o vencedor. O resultado
poderá ser um agrupamento de 1, 2, 3 ou 4 sementes. O ganhador leva toda a “banca”, ou seja, todas as
apostas feitas pelos outros jogadores.
• Dominó
Provavelmente surgiu como desdobramento do jogo de dados, componente de rituais de presságio
em atividades religiosas. Representava o equivalente a dois dados lançados. Trata-se de mais um jogo
99
Unidade I
inventado na China, datando aproximadamente dos séculos III ou II antes de Cristo. No século XVIII foi
introduzido na Europa, e daí difundido pela marinha mercante a todos os lugares do mundo. A origem
da palavra “dominó” talvez venha da expressão eclesiástica “Domino” (Senhor). Também de domingo
(dia do senhor).
• Amarelinha
Sua origem é incerta. É um jogo praticado quase em todo o mundo, e existem inúmeras variações
de regras e formatos. Crê-se que tenham sido desenvolvidas e espalhadas com a expansão do Império
Romano e suas legiões. Um de seus registros mais antigos data do Império Romano, há uma amarelinha
gravada no chão do Fórum de Roma.
• Quadrados mágicos
Esse jogo consiste em alinhar números diferentes de modo que a soma de suas linhas, horizontais,
verticais ou diagonais, resultem sempre no mesmo produto. Exemplo:
4
9
2
3
5
7
8
1
6
= 15
Originou-se no Antigo Egito, e era usado pelos sacerdotes para prever o futuro. Foi muito apreciado
também na Europa Medieval. Os árabes o utilizavam para a montagem do Zodíaco. Há indícios de seu
uso na China do século XII, a partir de alguns resquícios literários.
• Damas
O jogo de damas foi criado provavelmente entre os séculos XII e XIII e é uma variação simplificada
dos jogos de xadrez e gamão. Tornou-se popular a partir do século XVI, sendo difundido por toda a
Europa e pelas Américas. Na sua versão mais tradicional o tabuleiro possui 100 casas e 20 peças para
cada jogador, mas existem variações de cor, forma e quantidade.
• Resta um
Apesar de permitir que participem dois jogadores, é comum que se pratique individualmente. Sua
origem data do Império Romano, mas só foi difundido pela Europa na Idade Média.
Tradicionalmente consiste de 32 peças e 33 casas. Ao sobrepor uma peça à outra (como nas damas)
elas vão sendo retiradas do tabuleiro. Trata-se de um jogo de paciência, em que a memória de jogos
anteriores é muito válida para obter sucesso no desafio de deixar o mínimo de peças sobre o tabuleiro,
de preferência apenas uma.
100
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Bolinhas de gude
Encontrado até mesmo nas tumbas dos faraós egípcios, esse antiquíssimo brinquedo atravessou o
tempo e em nosso país constitui-se num jogo muito difundido entre as crianças, em geral as de pouco
poder aquisitivo.
Sua composição atual de vidro temperado é a mais encontrada, sendo as que contêm adornos
e enfeites internos verdadeiras peças de colecionador. Podem ser feitas de cerâmica, barro cozido,
mármore, madeira e até de sementes.
A imensa variação de jogos permite explorar as mais diferentes situações de estratégias matemáticas.
Em uma delas, marcam-se dez furos no chão, alinhados e numerados, como no desenho apresentado:
Figura 19
Combinam-se alguns passos de distância para o lançamento de 4 a 5 bolinhas e soma-se o resultado
obtido das bolas encaixadas nos buracos.
• Pular corda
É um dos melhores jogos de contagem numérica coletiva, uma brincadeira saudável em que se
misturam regras simples, cantigas populares e destreza física. Além de tudo isso, é extremamente barato,
bastando apenas um pedaço de corda para muita diversão.
Não há nenhum registro seguro de sua origem, sabe-se que é um brinquedo/jogo milenar.
• Argolas
Consistindo basicamente em acertar pinos em pé com argolas ou aros dos mais diferentes materiais,
tem nas suas variações nacionais, principalmente nas festas juninas, uma de muito interesse ao ensino
matemático: atirando três argolas a certa distância, de dois a três metros, sobre pinos com diferentes
pontuações, somam-se os pontos obtidos e é ganho o prêmio correspondente.
Há registros da prática de jogos de argola desde os tempos da Grécia Clássica, surgido provavelmente
como variação do olímpico arremesso de discos.
101
Unidade I
Foi amplamente difundido na Europa e nas Américas, através dos colonizadores. No Brasil chegou
pelos portugueses e ainda hoje é um jogo de grande sucesso, pois coloca em relação diferentes desafios,
motores, visuais e matemáticos.
• Jogo-da-velha
Velho como seu próprio nome aponta, tem registros egípcios do século XIV antes de Cristo, e chineses
do século V antes de Cristo. Em todos eles, sejam orientais ou ocidentais, os objetivos eram os mesmos
de hoje em dia: formar uma trilha horizontal, vertical ou diagonal com os símbolos X ou O, ou com
objetos como pedras, sementes e gravetos.
Trata-se de um jogo excelente, pois aprimora a capacidade de antecipação, sem a complexidade de
jogos como o xadrez.
• Cinco-marias (ou saquinhos)
Pouco se sabe sobre a origem deste jogo que data aproximadamente de 5000 anos antes de
Cristo. Sabe-se que sua prática foi difundida no mundo todo e que no Brasil chegou com nossos
colonizadores.
Para jogá-lo, é preciso ter cinco objetos, como pauzinhos, pedras, sementes ou saquinhos com areia.
Joga-se um objeto para o alto e deve-se apanhar outro do chão antes de pegar o que foi arremessado,
e assim sucessivamente, até que todos estejam em sua mão.
Existem outras variantes, mas essa é uma das mais utilizadas.
• Cama-de-gato
Com um simples pedaço de barbante, elástico, lã ou mesmo linha é possível criar várias figuras
entrelaçando as mãos. Difundido no mundo todo, sem que se saiba exatamente como e por que se
tornou tão popular, tem sua provável origem na África, mas foi também localizado no Japão e entre os
esquimós do Ártico.
• Jogo das pulgas
Um jogo extremamente simples, consiste em acertar em um recipiente, como um copo,
botões de camisa espalhados sobre a cama ou outro lugar acolchoado, utilizando as pontas dos
dedos ou, assim como na movimentação do jogo de botões, cutucando-os com uma “palheta” de
plástico, osso ou madeira. Coloca-se o recipiente no centro da cama e mede-se alguns palmos
de distância para o arremesso. Ganha aquele que acertar mais botões no recipiente. A origem
desse jogo no Brasil é provavelmente de origem portuguesa e era muito praticado no início do
século passado.
102
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Jogo de Botão
Praticado no Brasil desde o começo do século XX, constitui uma adaptação e mistura de dois
jogos, o futebol e o jogo das pulgas. Segue praticamente as mesmas regras do futebol atual, com
exceção da tomada de bola, que só pode ser realizada quando o jogador não consegue atingir
a “bola” (em geral um botão de camisa) em um de seus “toques”, ou quando esse deixa a “bola”
encostar no adversário.
Conclusões
Inúmeros outros jogos tradicionais poderiam ser descritos, no entanto, sabemos que muitos deles
se encontram na memória adormecida de vários adultos que trabalham em nossas escolas. É comum,
ao resgatá-los com os alunos, ouvirmos o relato apaixonado e saudoso de pais, professores e demais
funcionários que podem, inclusive, ensinar como jogá-los. Essa atividade é mesmo muito desejada, dela
se desdobram diferentes objetivos que vão muito além da aprendizagem matemática. Estão implícitas
as trocas, o respeito às regras, a comunicação oral e gestual, a cooperação, enfim, os conteúdos de
natureza atitudinal e procedimental.
O repertório de jogos/brincadeiras tradicionais que auxiliam a Matemática é enorme. Aqui se
encontra apenas uma pequena amostra.
Saiba mais
Conheça o importante trabalho que a equipe do suplemento infantil
Folhinha, do Jornal Folha de São Paulo, realizou sobre as manifestações
lúdicas de todo nosso país, acessando o endereço <www.mapadobrincar.
com.br>.
4 ATIVIDADES E ENCAMINHAMENTOS INTERESSANTES NO ENSINO DA
MATEMÁTICA
4.1 Sequências didáticas no ensino da Matemática
Existem muitas maneiras de encaminhar a tarefa educativa, muitas metodologias de ensino, cabendo
ao educador escolher os caminhos que melhor representam suas convicções e concepções pedagógicas.
No entanto, sejam quais forem as escolhas, quando essas se dão em locais coletivos, como as escolas
públicas, particulares, creches ou outras entidades com fins educativos escolares, há que se chegar a um
acordo comum. Sem objetivos e concepções comuns, sem falar a “mesma linguagem”, o sucesso ficará
comprometido, perdido em ações isoladas que só prejudicam os alunos, pois agir dessa maneira não
constitui um projeto educacional viável. Isso não significa a perda de identidade do educador, nem atuar
de maneira massificada; apenas, em benefício do aluno, há que se entender que a aprendizagem não
se dá somente entre as quatro paredes de uma classe, que os alunos não “pertencem” a um educador e
103
Unidade I
que esses, ao circularem pelos diferentes espaços da escola, terão contato permanente com os demais
alunos e profissionais. Portanto, é na “cultura” da escola que se está pensando quando se discute qual
o projeto escolar que se deseja.
Uma das facetas de um “Projeto Educativo Escolar” é a sua metodologia, ou a maneira como serão
conduzidos os objetivos e conteúdos levantados junto aos profissionais da escola. Um dos possíveis
caminhos metodológicos para concretizá-los são as chamadas “sequências de ensino”, definidas por
Antoni Zabala (1998) como o conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a
realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos
professores como pelos alunos.
Numa sequência de atividades, como tal se denomina, as atividades planejadas seguem uma linha
de interligação com o objetivo não só de reforçar o aprendido, mas também de permitir que o aluno
utilize seu conhecimento em outras situações diferentes. Nem sempre as atividades precisam se repetir
exaustivamente para constituir uma sequência, uma dada unidade didática pode ser vista por completo
utilizando diferentes propostas. Tratando-se de unidades referentes ao ensino da Matemática, parece ser
ainda mais forte a justificativa para o uso dessa metodologia. São raros os conteúdos/unidades didáticas
da Matemática que podem ser ensinadas com aulas pontuais, de maneira estanque. Em geral, elas
necessitam de reforço, aplicação em diferentes contextos (significativos, é claro) para se constituírem
saberes aprendidos.
Observação
As boas sequências de atividades são elaboradas em planejamentos
coletivos, reuniões pedagógicas nas quais se pode trocar impressões e
experiências que contribuam para toda a equipe de profissionais e, por
conseguinte, para o aluno.
Se a escolha da metodologia é um passo importante para nortear os caminhos/objetivos, as escolhas
dos conteúdos igualmente o são. No entanto, a palavra conteúdo carrega um significado histórico que
necessita ser mais bem esclarecido.
A escolha dos conteúdos de ensino: para muito além das quatro operações
Tradicionalmente, a palavra conteúdo tem como significado quase que exclusivo os conhecimentos
das disciplinas e matérias escolares clássicas. Por exemplo, na área de conhecimento matemático, o
ensino do cálculo das quatro operações fundamentais; na língua portuguesa, a ortografia e a pontuação;
e na história, os fatos históricos marcantes (oficiais). Conteúdo tornou-se sinônimo de conceito, noção
ou ideia.
O reducionismo da palavra tem provocado calorosas discussões entre se ter muito, médio ou pouco
conteúdo; se eles são dados pelo educador, se partem do aluno ou de ambos; se são de boa qualidade;
se provêm desta ou daquela fonte; se ideologicamente carregam esta ou aquela ideia ou concepção; se
104
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
há conteúdos proibidos ou que devem ser “libertados”? A lista poderia se estender muito mais, e não é
a intenção esgotá-la.
Essa visão historicamente tradicional do conteúdo, ou seja, ligado às disciplinas, não tem levado em
conta seus outros importantes aspectos que, em maior ou menor grau, sempre fizeram parte do ensino
escolar, mas não eram explicitados ou planejados intencionalmente.
Entre as múltiplas facetas do conteúdo, há que se destacar três: os aspectos conceitual, procedimental
e atitudinal, que foram mais bem descritos por César Coll (1996).
O conteúdo como conceito
Conceito, como já dito, significa as noções e ideias comuns interligadas por uma estrutura lógica, que
vão das mais simples às mais complexas. Por isso, numa relação conceitual, tem-se o cuidado de garantir
pré-requisitos básicos para conquistar novas aprendizagens. Um exemplo dessa relação seria ensinar o
conceito de quantidade antes de apresentar um símbolo, o número, ou fazê-lo ao mesmo tempo.
Não se deve perder de vista que essa organização deve levar em conta as dimensões psicológicas do
conhecimento e que, portanto, nem sempre é possível apresentá-la de uma maneira tão racionalista,
pois não há necessariamente uma rígida linearidade começo–meio–fim.
Um conceito tem um núcleo geral amplo (conceito-chave) que permite se ramificar em outros
menores. Reforça-se aqui a importância de saber escolher os conceitos-chave de maneira que se priorize
a qualidade, e não a quantidade. Entende-se qualidade como a capacidade de priorizar conteúdos
centrais, essenciais, ao contrário de somar muitas unidades didáticas dispensáveis. Mais uma vez, reforçase o valor do planejamento coletivo do currículo, sem o qual o aluno não oportuniza a continuidade
– aspecto crucial para o alcance de um bom projeto escolar.
O conteúdo como procedimento
Um procedimento é um conjunto de diferentes ações coordenadas que visam alcançar um objetivo.
Trata-se de técnicas, métodos e habilidades que são ensinadas para que o aluno possa dar conta dos
desafios propostos pela escola e, como objetivo maior, utilize-os nas diferentes situações que venha a
vivenciar também fora dela.
Chamamos de conteúdos de procedimentos as ações planejadas/ordenadas em que se
ensinam os passos ou etapas para alcançar uma meta. Tanto podem ser concebidos como prérequisitos básicos para a compreensão de um conhecimento mais complexo, como também para a
aprendizagem de certas técnicas que favoreçam o alcance de um conhecimento. Um exemplo é a
utilização do ábaco (instrumento muito antigo usado como calculadora) para a compreensão do
algoritmo convencional (conta armada), pois o aluno terá que aprender a utilizar um instrumento
que ajuda a operacionalizar um tipo de conta bastante complexa, que implicará diferentes
conhecimentos interligados. Esse conhecimento todo está a serviço de um maior, a compreensão
do “sistema de numeração decimal” e a “base dez”. Trata-se, em resumo, do aprender fazendo.
105
Unidade I
O conteúdo como atitude
A palavra atitude nos remete de imediato às ideias de postura, ponto de vista, disposição interior, e à
forma como se enfrenta um desafio/problema. E essa ideia é exatamente o ponto central desse conteúdo.
Na verdade, os conteúdos atitudinais englobam valores e normas que podem ser assim descritos:
Valores: são os princípios éticos do sujeito, sua visão de mundo. Exemplos: respeito ao outro,
compreensão das diferenças etc.;
Normas: trata-se do “contrato social”, das regras, normas e combinados que o homem faz para
poder conviver socialmente, indicando o que pode e o que não pode, o que é certo e o que é errado.
Exemplos: normas de uma escola, as leis brasileiras etc.
Considerações
De maneira geral, os três tipos de conteúdos apresentados são fundamentais ao ensino da
Matemática, disciplina duramente criticada por seu enorme racionalismo. Deve-se levar em conta na
elaboração curricular aspectos ocultos do ensino que dificilmente são registrados explicitamente, que
vêm a ser o que se deve saber, o que se deve saber fazer e como se deve agir para ser.
Infelizmente nossa tradição curricular vem privilegiando apenas o conteúdo conceitual e, mesmo
assim, apenas nos aspectos da memorização e não da significação, em detrimento do saber fazer, do
aprender a aprender e do agir e ser.
Propõe-se que, na elaboração das sequências de ensino, se registrem os aspectos “ocultos” dos
conteúdos, pois eles favorecem a conquista da tão difundida e almejada autonomia ao fornecerem
condições para o aluno estabelecer uma relação com a aprendizagem menos heterônoma, ou seja,
menos dependente do educador.
4.2 Projetos didáticos como metodologia de trabalho também no ensino da
Matemática
Os projetos são uma forma de organização das atividades escolares que permitem ao aluno
participar ativamente do processo de aprendizagem.
Um projeto é uma pesquisa ou uma investigação, mas desenvolvida em profundidade sobre um tema
ou um tópico que se considera interessante conhecer, podendo ser realizada por um, poucos ou muitos
alunos. Por meio do projeto, buscam-se encontrar respostas para perguntas que estão relacionadas a um
tema previamente escolhido pelos alunos, professores ou outros que fazem parte do ambiente escolar.
Tradicionalmente os projetos se concentram nas Ciências Humanas, no Ensino Fundamental I,
normalmente em disciplinas como Ciências e História. Mas essa forma de organização do conhecimento
pode ser um valioso recurso ao ensino da Matemática. Apostamos que a troca de pontos de vista em
trabalhos coletivos é importante também na construção dos conceitos matemáticos.
106
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Quando falamos em projetos, estamos nos referindo a pesquisas que serão realizadas sobre a
mediação do educador, com papel ativo do aluno desde o início até a elaboração e apresentação do
produto final. Quanto aos projetos escolares:
• há objetivos claros e precisos compartilhados, ou seja, educadores e alunos se corresponsabilizam
pelas tarefas e pelo alcance das metas propostas;
• os objetivos podem ser traduzidos em um “problema” a ser solucionado, uma dúvida que não
tenha resposta evidente, mas que com investigação poderá ser descoberta. Portanto, tem começo,
meio e fim;
• os passos podem ser predefinidos, mas necessitam de avaliações permanentes para corrigir as
rotas, ajustar pontos falhos e estar abertos a novas contribuições, não planejadas no início. Ou
seja, em um projeto, quase sempre, se aprende mais do que se propôs inicialmente;
• em geral, há etapas de busca, seleção, organização e comunicação de fontes de descoberta de
respostas. Essas fontes podem ser materiais (livros, internet, revistas etc.) ou recursos humanos
(uma pessoa entrevistada, por exemplo);
• um projeto sempre termina com um “produto final”. Pode ser a confecção de um objeto,
jogo, livro, ou mesmo a simples comunicação em uma roda de conversas sobre o que se
descobriu.
Lembrando que a escolha do tema deve passar por uma ampla discussão entre educador e
alunos, apresentamos alguns temas que normalmente fazem bastante sucesso e proporcionam boas
aprendizagens. Podem ser desenvolvidos por alunos do Ensino Fundamental, do 1º ao 5º ano (SÃO
PAULO, 2007):
• A organização do tempo através do calendário.
• “Parabéns a você”: coleta de datas de aniversários.
• Nossos dedos e as contagens.
• A construção de uma casa.
• Criança tem direito de brincar: coletando dados sobre as brincadeiras infantis.
• Os números do Brasil: populações, riquezas e problemas.
• Matemática no supermercado: como economizar?
• Construindo a maquete da nossa escola.
• Receitas da culinária brasileira: como medir os ingredientes?
• A Matemática nas noticias de jornal: o uso de tabelas e gráficos.
• A Matemática e a compreensão dos problemas ambientais: como podemos ajudar a salvar o
planeta?
107
Unidade I
• As medidas e seu uso em nossa vida.
• A geometria e a construção de pipas e origamis.
Saiba mais
Recomendamos a leitura do livro Cultura visual, mudança educativa
e projeto de trabalho, de Fernando Hernández. Este autor espanhol
defende que só uma organização escolar pautada nos projetos garantirá a
continuidade da importância da escola na sociedade.
4.3 Importância das atividades permanentes em Matemática
Algumas atividades deveriam compor a didática do educador permanentemente. O que
vamos resumidamente apresentar em forma de dicas são encaminhamentos que dão sentido
ao conhecimento e podem enriquecer o ambiente escolar, transformando a sala de aula em um
fértil campo cultural de trocas de conhecimento. A Matemática ainda é vista com desconfiança
por nossos estudantes, talvez pela tradição de ciência complexa, de professores sisudos e pouco
dinâmicos, e pelo caráter pouco humano que se atribui às exatas, mas isso é uma informação
falsa, dado que é uma criação humana. O homem desenvolveu a Matemática para compreender
melhor as coisas à sua volta e também para alcançar o “aparentemente inatingível”. Esperamos
que as dicas possam ser objeto de reflexão do estudante e futuro educador da UNIP.
• Componha sua organização curricular e de planejamentos mesclando os blocos de conhecimentos
– dessa forma você garantirá um conjunto de conceitos que se inter-relacionam. As atividades
podem incluir intersecções entre os conhecimentos; por exemplo, ao elaborar uma tabela com
seus alunos, além do tratamento da informação, você estará fazendo uso de elementos do sistema
de numeração decimal.
• Organize recursos visuais construídos junto aos alunos e que se tornem espaços de consulta
livre pelo aluno ou mediada por você, educador (a). Tabelas, quadros com traçado correto
de números, murais com curiosidades matemáticas, calendário, semanário (organização da
rotina semanal), livros que tratem da Matemática podem compor o acervo da biblioteca de
classe.
• Crie momentos diversificados em suas aulas que desafiem os alunos a comunicar-se
oralmente, por escrito ou por intermédio da leitura. Exemplos: peça a um aluno que escreva
na lousa a resposta a um problema matemático que todos na sala fizeram. Em seguida convide
os demais alunos a tentarem explicar o raciocínio dele. Mesmo que a comunicação não
esteja completamente certa ou clara, incentive seus alunos a persistirem na compreensão,
ajude-os dando dicas. Sirva de modelo, nas primeiras vezes, tente você compreender o que
a criança que registrou pensou. Essa atividade atrai a atenção para as diferentes formas de
resolução de um mesmo problema.
108
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Diversifique as atividades: use jogos, peça desafios para resolver em dupla, trios e grupos. De
vez em quando determine um tempo máximo para resolver um exercício, por exemplo, use uma
ampulheta e desafie seus alunos a terminarem o cálculo antes de seu término.
• Crie um ambiente de respeito ao erro. Não permita o desagravo a quem erra, ao contrário, elogie
a coragem da tentativa. Um ambiente de confiança torna o aluno alguém encorajado a participar,
ambiente ideal para a troca e o respeito mútuos.
• Leia notícias, textos diversos de revistas, jornais, livros, internet em que a Matemática tenha
papel relevante. Por exemplo, um gráfico que aponte um tema de interesse das crianças, uma
curiosidade numérica (população de cachorros de uma localidade) etc.
O cálculo mental como elemento essencial da aprendizagem matemática
Seus alunos, acredite, já sabem fazer conta de cabeça. Se você descobrir as estratégias que eles usam
e mostrar outras, a turma vai se sair bem melhor nos cálculos escritos.
Você acha estranho seu aluno errar várias subtrações nos exercícios de Matemática e, na hora do
recreio, ele perceber rapidinho que a moça da cantina deu o troco errado? Não ache: ele é bom de cálculo
mental, mas não sabe aplicar esse conhecimento durante a aula. E a relação entre as duas habilidades (a
matemática das ruas e a da escola) não é automática nem mesmo comum. “Na verdade, há um abismo
entre elas”, revela Maria Sueli C. S. Monteiro, selecionadora do Prêmio Victor Civita.
Crianças que fazem pesquisa de preços guardam dinheiro para comprar uma revista e,
principalmente, aquelas que ajudam os pais no comércio “fazem” matemática muito antes de
ouvir falar em fórmulas e operações. O problema é que, na escola, se ensina a elas como calcular
desconsiderando totalmente o que já sabem. “O cálculo mental sempre esteve presente no
comércio ou na construção civil, por exemplo. Precisamos trazer essa habilidade para a sala de
aula”, defende o professor de Matemática Luiz Márcio Imenes, de São Paulo. A saída, portanto,
é avaliar cuidadosamente o que a turma já sabe e aproveitar esse conhecimento informal como
ponte para os exercícios escritos.
“Há quem acredite que o importante do cálculo mental é fazer a conta bem depressa, mas é
bobagem querer competir com a calculadora”, completa Imenes. As vantagens são outras. Ao fazer
a conta de cabeça, o estudante percebe que há caminhos diversos na resolução de um mesmo
problema. É pelo cálculo mental que ele também aprende a realizar estimativas (ler uma conta
e imaginar um resultado aproximado) e percebe as propriedades associativa (une dezena com
dezena, unidade com unidade e assim por diante) e de decomposição (nota que 10 = 5 + 5, entre
outras possibilidades). Isso tudo sem precisar conhecer esses termos, claro!
Fonte: REVISTA NOVA ESCOLA. Tudo sobre cálculo mental. São Paulo: Editora Abril, 2011. Disponível em <http://
revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/calculo-mental-quanto-mais-diversos-caminhosmelhor-427462.shtml>
109
Unidade I
Exemplo de atividade
Alguns procedimentos de cálculo mental
Na adição
• Calcular primeiro dezenas exatas e os números que formam dezenas. Exemplo:
8 + 2 + 23 + 15 =
10 + 30 + 3 + 5 =
48
Na subtração
• Arredondar e depois fazer a compensação. Exemplo:
68 - 38 =
(62 - 40) + 2 =
22 + 2 =
24
• Decompor o subtraendo (valor que será subtraído). Exemplo:
23 - 18 =
(23 - 10) - 8 =
13 - 8 =
5
• Alterar o minuendo para evitar o “empresta um”. Exemplo:
500 - 365 =
(499 - 365) + 1 =
134 + 1 =
135
• Agrupar as parcelas em unidades, dezenas e centenas. Exemplo:
20 - 15 =
(20 - 10) + (9 - 5) =
10 + 4 =
14
110
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
• Explorar a ideia da adição. Exemplo: 400 - 160. Quanto falta em 160 para chegar a
400? Para 200 faltam 40; de 200 para 400 faltam 200. A resposta é 240.
Na multiplicação
• Decompor um dos fatores. Exemplo:
7 x 15 =
(7 x 10) + (7 x 5) =
70 + 35 =
105
Na divisão
• Fazer simplificações sucessivas. Exemplo:
512 :32 =
256 : 16 =
128 : 8 =
64 : 4 =
32 : 3 =
16
:2
:2
:2
:2
O cálculo mental é componente principal da chamada matemática não escolar, porque
ela tem alta relevância social, usada em situações cotidianas como fazer troco, calcular
quantidades de alimentos, entre outras utilidades.
Sugerimos também uma sequência de atividades que pode ajudar seu aluno a melhorar
em cálculo mental.
Exemplo A
1) Tente resolver este desafio:
Coloque os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos a seguir, de modo que a soma de cada
lado seja 9.
Figura 20
111
Unidade I
2) Vamos tentar resolver o exercício anterior alterando a soma para 10 e mantendo
os mesmos números? Será possível?
Figura 21
Exemplo B
1) Resolva estes quadrados mágicos realizando as somas de forma a atingir os
resultados indicados a seguir. Lembre-se, não pode repetir números.
2
3
6
8
15
16
13
7
39
Figura 22
112
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Exemplo C
Exercitando seu raciocínio lógico matemático.
1) Quatro amigos se encontram nos finais de semana para brincar. Eles levam ônibus,
carrinho, caminhão e moto. Seguindo as dicas a seguir, descubra qual é o brinquedo de cada
criança e a cor de cada um deles.
• Lúcio é dono do brinquedo verde.
• Eduardo adora a sua moto, mas ela não é marrom.
• Bruno não tem um caminhão, nem um carro.
• O ônibus é amarelo.
• Fernando tem caminhão e seu brinquedo não é vermelho.
Quadro 13
Lúcio
Bruno
Eduardo
Fernando
Brinquedo
Cor
2) Gabriela, Luiza, Ana e Julia saíram de férias. Siga as pistas e descubra para onde cada
uma foi, e de que maneira. Depois, complete a tabela a seguir.
• Luiza adorou a viagem que fez para Curitiba.
• Ana viajou de trem.
• Gabriela não viajou para Santos.
• Quem foi para Santos viajou de ônibus.
• Gabriela não viajou de carro.
• Julia não foi para o Rio de Janeiro.
• Quem foi para o Peru viajou de avião.
Quadro 14
Lugar
Transporte
Gabriela
Luíza
Ana
Julia
113
Unidade I
Exemplo D
1) Faça os cálculos mentalmente, escrevendo apenas os resultados.
a)
10 x 32 =..............
20 x 32 =..............
30 x 32 =..............
b)
10 x 45 =..............
20 x 45 =..............
40 x 45 =..............
c)
20 x 26 =..............
50 x 26 =..............
60 x 26 =..............
d)
10 x 12 =..............
11 x 12 =..............
9 x 12 =..............
3)
10 x 17 =..............
11 x 17 =..............
9 x 17 =..............
f)
10 x 54 =..............
11 x 54 =..............
9 x 54 =..............
2) Comente o que você observou ao realizar um dos exercícios anterior.
3) Agora realize os cálculos usando a divisão.
a)
21 ÷ 7 =................
210 ÷ 7 =..............
2.100 ÷ 7 =..............
b)
16 ÷ 8 =................
160 ÷ 8 =..............
1.600 ÷ 8 =..............
c)
45 ÷ 9 =..............
450 ÷ 9 =..............
4.500 ÷ 9 =..............
4) O que você precisa saber para realizar as divisões do exercício 3?
5) Faça os cálculos mentalmente, escrevendo apenas os resultados:
a) 15 + 5 + 25 + 5 =
b) 15 + 10 + 25 + 5 + 30 =
c) 4 + 6 + 13 + 7 =
d) 12 + 11 + 8 + 9 =
e) 3 + 6 + 7 + 4 + 20 =
f) 12 + 3 + 15 + 5 + 5 =
6) Compare mentalmente as operações e imagine qual resultado é maior, menor ou
igual.
114
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
a)
96 x 7
x 8
96 x 8
x 7
96 x 7
x 8
96 x 8
x 7
302 x 5
x 4
302 x 10
x 2
302 x 5
x 4
302 x 10
x 2
Este resultado
é__________
que este.
b)
Este resultado
é__________
que este.
c)
Este resultado
é__________
que este.
d)
Este resultado
é__________
que este.
115
Unidade I
Resumo
Nesta unidade, apresentamos recursos que são válidos para o ensino
de Matemática e que nem sempre estão nas pautas de planejamento das
escolas.
Vimos a importância de definir a qual conjunto de conhecimentos
certos conteúdos se prezam, e que podemos agrupá-los num todo
coerente que chamamos de “bloco”. Entre os blocos, estudamos o sistema
de numeração decimal e sua importância como elemento central, pilar de
sustentação de tudo que a criança precisará aprender em Matemática no
Ensino Fundamental. Aprendemos que as operações aritméticas não se
restringem ao ensino da “conta armada”, e que esse algoritmo deve ser
ensinado depois que o aluno conquista outros importantes conhecimentos
como, por exemplo, os fatos básicos.
Também apresentamos os vários aspectos da geometria que serão
muito importantes para as suas aulas de Matemática. Entre eles, o estudo
das dimensões, das formas, dos movimentos e das medidas.
Você teve oportunidade de refletir sobre questões que se referem
à maneira como as crianças descobrem as relações espaciais, e como é
importante ajudá-las a se desenvolver oferecendo atividades interessantes
e motivadoras.
Também percebeu como a geometria se relaciona com outras áreas
de conhecimento, como artes e educação física, e a sua influência na
alfabetização.
Além disso, foi mostrado que a geometria se relaciona intimamente
com a aritmética e por isso deve ser estudada de forma integrada a ela, por
meio da alternância de tópicos que se completam, para capacitar o aluno a
resolver problemas de forma criativa.
Em tratamento da informação, a Matemática se apresentou em seu
caráter trandisciplinar, ou seja, como instrumento valioso de interpretação
do mundo.
Ainda nesta unidade, você viu como é possível, a partir de situaçõesproblema, jogos e organização do ambiente da escola, permitir momentos
não dirigidos de trocas e aprendizagens.
116
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Chamamos a atenção para a forma de conduzir os conteúdos através
das sequências de atividades, que tornam esses estudos muito mais
estimulantes e produtivos.
Vimos que em Matemática também é possível desenvolver projetos e
que ter atividades que se repetem de forma permanente ajuda o aluno a
compreender melhor as relações matemáticas dos diversos conteúdos.
Terminamos por mostrar a importância de estimular o cálculo mental,
importante recurso de uso social mais amplo.
Exercícios
Questão 1. Segundo o que vimos, os jogos fazem com que o aluno:
a) Enfrente desafios e aprenda a derrotar o inimigo.
b) Se lance em busca de soluções e estratégias para vencer seu oponente a qualquer custo, uma vez
que isso faz parte da vida.
c) Pratique o debate com os colegas e melhore tanto sua argumentação quanto sua organização de
pensamento.
d) Se torne acomodado, o que dificulta sua participação em atividades mais sérias.
e) Se desinteressem das aulas de Matemática, devendo, portanto, ser evitado.
Resposta correta: alternativa C.
Resolução do exercício
a) Alternativa incorreta.
Justificativa: enfrentar os desafios é um importante componente atitudinal que desejamos
incentivar em nossos alunos, no entanto, não podemos permitir que seu oponente seja tratado como
inimigo a ser derrotado. Pelo contrário, é importante ensinarmos o valor da solidariedade, da troca de
pontos de vista e de saber ganhar e perder com dignidade e respeito.
b) Alternativa incorreta.
Justificativa: como já justificado na alternativa anterior, a luta permanente para alcançar objetivos
é, de fato, um dado real da vida. Mas ela não autoriza a praticar, a qualquer custo, atos antiéticos.
117
Unidade I
c) Alternativa correta.
Justificativa: o jogo é importante instrumento de confrontação de ideias, de socialização, de melhoria
da argumentação para o convencimento e para o desenvolvimento do raciocínio lógico.
d) Alternativa incorreta.
Justificativa: a visão de que o jogo é mero passatempo para pessoas desocupadas não pode mais
imperar na escola. O jogo é recurso que, ao contrário, mobiliza o aluno a buscar objetivos, colocando-o,
portanto, em movimento corporal e mental.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa: ao contrário, pesquisas apontam que o lúdico é uma atividade fortemente vinculada à
infância, e sendo nosso público formado por crianças, nada mais natural do que se valer de um recurso
carregado de motivações..
Questão 2. Quando nos referimos ao uso de situações cotidianas na elaboração dos problemas
matemáticos, estamos dizendo que:
a) É preciso aproveitar a experiência pessoal do aluno, enriquecendo o processo ensino-aprendizagem,
ao relacionar as suas necessidades socioculturais atuais ao conhecimento historicamente acumulado e
que precisa ser ensinado.
b) É preciso elaborar problemas que se suponha fazer parte do dia a dia da criança.
c) É preciso excluir gráficos, figuras, pois não fazem parte do cotidiano da criança e não tem aplicação
prática imediata.
d) É preciso elaborar listas de problemas tradicionais.
e) Essa abordagem está ultrapassada e não surte efeito algum na motivação do aluno em aprender.
Resposta correta: alternativa A.
Resolução do exercício
a) Alternativa correta.
Justificativa: é perfeitamente possível, e desejável, que os interesses e necessidades de nossos alunos
sejam contemplados em aliança com os desejos e necessidades que, como educadores, almejamos
ensinar a nossos alunos.
b) Alternativa incorreta.
118
Metodologia e Prática do Ensino da Matemática e Ciências
Justificativa: o “fazer supor” é mera especulação. É preciso criar mecanismos, como a sondagem
investigativa, para saber, de fato, o que nossos alunos já sabem, fazem e querem aprender.
c) Alternativa incorreta.
Justificativa: em nossa sociedade contemporânea, os suportes escritos e os recursos visuais, como
tabelas e gráficos, fazem cada vez mais parte do cotidiano infantil. Basta assistir a um programa de
televisão, ou ler uma revista voltada ao público infantil, para perceber que o tratamento da informação
matemática está presente.
d) Alternativa incorreta.
Justificativa: se queremos transformar as aulas de Matemática em ambientes de cultura,
descontração e muita aprendizagem, com trocas mútuas, com significado, devemos abandonar atividades
verificacionistas, cuja repetição se faz mais presente do que a compreensão.
e) Alternativa incorreta.
Justificativa: é justamente o contrário. Lidar com o cotidiano da criança e trazê-lo para a escola
naturaliza o conhecimento matemático que, de difícil e impossível, passa a fácil e possível.
119