LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
3 de Dezembro de 2005, às 16:10
Exercı́cios Resolvidos de Teoria Eletromagnética
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı́sica Teórica
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı́sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Matéria para a SEGUNDA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
27 Capacitância
27.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
27.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
27.2.1 Capacitância . . . . . . . . . .
2
2
3
3
27.2.2 Cálculo da capacitância . . . . .
4
27.2.3 Capacitores em paralelo e em série 5
27.2.4 Armazenamento de energia
num campo elétrico . . . . . . .
8
27.2.5 Capacitor com um dielétrico . . 10
27.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss . 11
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
jgallas @ if.ufrgs.br
(lista2.tex)
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27 Capacitância
(b) A capacitância aumenta.
Para verificar esta
afirmação,
note
que
a
nova
capacitância
dada pela
.-/1032
4
relação
,
onde
é
a
distância
entre
,(
2
as placas e é a espessura
da
placa
introduzida.
O
efei2
to é pequeno quando for muito menor que . Tudo
se
passa como se a nova distância entre as placas fosse
-5062
4
.
27.1 Questões
Q 27-3.
Uma folha de alumı́nio de espessura desprezı́vel é colocada entre as placas de um capacitor, como mostra
a Fig. 27-18. Que efeito ela produzirá sobre a capacitância se (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b)
a folha estiver ligada à placa superior?
(c) A capacitância dobra.
(d) A carga sobre a placa maior se distribuirá numa área
maior. Portanto,
a densidade de carga sobre a placa
, onde 7 é a densidade de carga sobre a plamaior é 7
ca menor. O campo elétrico deixará de ser uniforme e,
(a) Como a folha é metálica, aparecerão cargas in- como as linhas de força ficam afastadas, concluı́mos que
duzidas em ambos lados dela, transformando assim o o campo elétrico torna-se menor e a diferença de poten
":
capacitor original em uma associação em série de dois cial também diminui. Como 98
, concluı́mos que
capacitores cuja distância entre as placas é a metade da a capacitância aumenta. Contudo este efeito é muito
distância original “d”:
pequeno.
c/folha
!"
$#
(e) Como a área torna-se igual , sendo a área inicial, concluı́mos que a capacitância se reduz aproximadamente a %"&;' do valor inicial (a capacitância não se
reduz exatamente a %"&;' do valor inicial devido ao efeito de borda).
(f) O valor de
dobra.
permanece inalterado. A carga também
Esta capacitância coincide com a capacitância origi- (g) A capacitância aumenta. Pense numa associação em
nal. Logo, não existe alteração da capacitância pela paralelo de capacitores, sendo que para cada capacitor
!"
.
a distância entre as placas vai diminuindo de até
introdução da folha metálica a meia distância.
Ao
diminuir
a
distância
entre
as
placas,
a
capacitância
(b) O efeito é reduzir a distância , entre as placas, pela de cada capacitor vai aumentando. Donde se conclui
metade. Ou seja, duplicar a capacitância original.
que a capacitância total é bastante maior do que a capacitância do capacitor de placas paralelas.
Q 27-6.
Considere um capacitor de placas paralelas,
com placas
quadradas de área e separação , no vácuo. Qual é
o efeito qualitativo sobre sua capacitância,
de cada uma
das seguinte operações: (a) Reduzir . (b) Introduzir
uma placa de cobre entre as placas, sem tocá-las. (c) Duplicar a área de ambas as placas. (d) Duplicar a área de
apenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralelamente uma à outra, de modo que a área de superposição
seja, digamos, % &!' do seu valor original. (f) Duplicar a
diferença de potencial entre as placas. (g) Inclinar uma
das placas de modo que a separação permaneça numa
das extremidades, mas passe a
na outra.
Q 27-14.
Um objeto dielétrico experimenta uma força lı́quida
quando é submetido a um campo elétrico não-uniforme.
Por que não há uma força lı́quida quando o campo é uniforme?
Num campo elétrico uniforme a polarização também
é uniforme, de modo que o dielétrico funciona como se
fosse um corpo carregado apenas na sua superfı́cie externa. A carga total é nula, ou seja, as cargas superficiais
são iguais e contrárias. Portanto, a força total que age
sobre o dielétrico é igual a zero.
(a) A capacitância aumenta. Para verificar isto, use a
+
relação )( *
.
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Q 27-17.
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Um capacitor de placas paralelas é carregado por meio
de uma bateria que, logo a seguir, é retirada. Uma
lâmina dielétrica é, então, introduzida entre as placas
do capacitor. Descreva qualitativamente o que acontece
com a carga, a capacitância, a diferença de potencial, o
campo elétrico, a energia armazenada e com a lâmina.
A carga 8 nas placas permanece inalterada quando a
bateria é removida (Lei da Conservação da Carga).
Sendo o valor da capacitância antes de se introduzir
o dielétrico,
o novo valor da capacitância será dado por
. Se <?> , então a capacitância irá aumentar.
=<
Se <A@ , então a capacitância irá diminuir.
Como 8 permanece constante (após a retirada da
bateria)
:
e devemos sempre satisfazer
a
relação
,
vemos
8B
que uma alteração para 9< da capacitância implica na : necessidade
da nova
diferença de potencial passar
: : a ser
,
onde
representa o valor do poten
<
cial antes de introduzir-se o dielétrico.
Somente assim
:
permaneça constaniremos garantir que o produto
te. Note que o potencial poderá tanto aumentar quanto
diminuir, dependendo se <C@
ou <C>
, respectivamente.
E
O campo0 elétrico resultante D entre as placas diminui:
E
E E5F
E5F
E D D
D , onde D é o campo oposto a D
produzido
F
pelas cargas superficiais 8 induzidas no dielétrico.
O dielétrico fica polarizado. O livro-texto discute bem
isto...
Dito de outro modo: As cargas de polarização na superfı́cie do dielétrico são negativas para a superfı́cie
próxima da placa positiva. Sendo assim, concluı́mos
que o campo elétrico entre as placas
diminui. Como
E a diferença de potencial é igual , a diferença de po :
tencial também diminui. Como
, e a carga
G8
permanece
constante,
concluı́mos
que
a
capacitância
8
aumenta. Conforme sabemos, a energia elétrica armazenada
entre as placas de um capacitor é dada por:
H
. Portanto, concluı́mos que a energia
I8
elétrica armazenada entre as placas do capacitor diminui. Para entender qualitativamente esta diminuição de
energia, faça o seguinte raciocı́nio: a placa é atraı́da para o interior do capacitor de modo que o agente externo
precisa realizar um trabalho negativo sobre a placa para introduzi-la no interior do capacitor com velocidade
constante.
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e a energia armazenada. É necessário a realização de
trabalho para introduzir a lâmina?
A carga 8 livre nas placas aumenta pois
a bateria
;a
está ligada; a capacitância aumenta para
,<
diferença de potencial não muda pois
é
mantida
constanE
te pela bateria. O campo elétrico
D resultante também
:
0KJ EML N
D , ou seja,
permanece
constante
pois
D
:
:
E ,
onde
e
(que
é
a
distância
constante
entre
H
- 4
as
placas)
são
constantes.
A
energia
O8
: "
:P :
aumenta pois é constante mas e 8
98
aumentam.
A força externa realiza um trabalho [para introduzir o
dielétrico com velocidade constante]:
R
Q
S
D
R
L N
ext
S
D ext
;TVUWYX *Z
& _[
\
]^ ;
`ba @
&.c
de modo que
d
d
Energiatotal
H
capacitor
]e^
_
\
f
\
Q?g
&.c
]e^ ext
_
h princı́pio da conservação da energia.
27.2 Problemas e Exercı́cios
27.2.1 Capacitância
E 27-1.
Um eletrômetro é um instrumento usado para medir carga estática: uma carga desconhecida é colocada sobre as
placas do capacitor do medidor e a diferença de potencial é medida. Que carga mı́nima pode ser medida por
um eletrômetro com uma capacitância de %"& pF e uma
sensibilidade à voltagem de & # % V?
8i
:
% &Bj
a &
jA& #
k # %1j
k #%
%
&
a C
pC #
a n
#m j
Como a magnitude da carga elementar é l &
C, vemos que a carga mı́nima acima corresponde a termos o
Q 27-18.
% j
k #p
#m j
r m
j
a &
&
a qn
&"s
Enquanto um capacitor permanece ligado a uma bate
r m milhões de cargas elementares
ria, uma lâmina dielétrica é introduzida entre as placas.
Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a sobre as placas do capacitor. Mesmo sendo um valor
capacitância, a diferença de potencial, o campo elétrico, ‘mı́nimo’, o número de cargas ainda é enorme!
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P 27-12.
Calculamos, na Seção 27-3, a capacitância
de um4capa- 
citor cilı́ndrico. Usando a aproximação

 ,
O capacitor da Fig. 27-22 tem uma capacitância de % quando 
(veja o Apêndice G), mostre que ela se
pF e está inicialmente sem carga. A bateria fornece uma aproxima da capacitância de um capacitor de placas pa diferença de potencial de & V. Após a chave t ter fica- ralelas quando o espaçamento entre os dois cilindros é
do fechada por um longo tempo, quanta carga terá pas- pequeno.
sado através da bateria?
A capacitância em questão é dada por
Da relação entre carga e ddp, Eq. 1, encontramos:
E 27-3.
85
:
%uj
&
a
s
j
&
j
wv
ayx
&
C
z
wv
mC #

#
"
.
Chamando-se de o espaçamento
entre os dois cilin
dros, temos que  ~ .
27.2.2 Cálculo da capacitância
E 27-5.

Z
#
Z
%pj
# r"r
&
j
- Z
a pz
&
a #
j
#v
j
rYr
pF #
&
&
a{x


Y
.

 
z
a 4 
 
.
z

!
~
z ~ 
c
z ~  é a área das placas e a aproximação foi
onde C
feita supondo-se que ~u
.
P 27-13.
(b)
8|
(a)
z
Um capacitor de placas paralelas possui placas circulaZ
res de raio # cm e separação # v mm. (a) Calcule a
capacitância. (b) Que carga
aparecerá sobre as placas se
a ddp aplicada for de & V?
z
:
r"r
j
a &
j
&
# k+v
j
k #v
nC #
E 27-7.
&
ay}
Suponha que as duas cascas esféricas de um capacitor
esférico tenham aproximadamente raios iguais. Sob tais
condições, tal dispositivo0 se aproxima
de um capacitor
de placas paralelas com  ~ . Mostre que a Eq. 2717 se reduz, de fato à Eq. 27-9, nesse caso.
A capacitância do capacitor esférico em questão é
A placa e o catodo de um diodo a vácuo têm a forma
~ 
de dois cilindros concêntricos com a catodo sendo o ci0
#
9r z
~
lindro central. O diâmetro do catodo é de # m mm e o

Z
diâmetro da placa
é de
mm; os dois elementos têm
Chamando-se de  os dois raios
supostos aproximada
comprimento de # r cm. Calcular a capacitância do dio~ 
 . Por outro lado,
mente
iguais,
segue
que
0
do.
~ . Portanto,

Para um capacitor cilı́ndrico (com ~ @ ) temos da

~ 
Eq. 27-14 ou da Tabela 1:
r z 
z
0
c
wr
z
-


~
4
% #%
& # %Y%
j
&
a x
F
onde C
r z 

~
é a área das placas.
pF #
P 27-14.
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Um capacitor foi construido para operar com uma capacitância constante, em meio a uma temperatura variável.
Como se demonstra na Fig. 27-23, o capacitor é do tipo
de placas paralelas com “separadores” de plástico para
manter as placas alinhadas.
(a) Mostre que a taxa de
variação da capacitância com a temperatura  é dada
por
K

0




 






 



 


0





&c
 
Al
d
onde consideramos variações e  infinitesimais.
Da igualdade mais à direita vemos que, para evitar
variações de
com  , o coeficiente de expansão
térmica dos separadores deverá ser escolhido tal que

Al
C j
a
&
s
/[ C #
27.2.3 Capacitores em paralelo e em série

Y
Para poder armazenar C a & V a capacitância
equivalente do arranjo a ser construido deverá ser:
£¢q¤

d


0


:
8
"

&
& V¡
o
F#


c
d
0


0


(b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variação  de um comprimento
 qualquer quando submetido a uma variação
d
 de temperatura é dado pela equação

¡
que é o resultado pedido.
d
Quantos capacitores de
F devem ser ligados em pa
ralelo
para
acumularem
uma
carga de C com um poacima, nos
"
tencial de & V através dos capacitores?




K
a
E 27-15.
c
0
que, substituidas da expressão para
fornecem
Al c

c
0


 

onde  Al r m j & s / [ C representa o coeficiente de
expansão térmica do alumı́nio (veja a Tabela 19-3) de
que são feitas as placas, e o fator leva em conta a bidimensionalidade das áreas.
Para que a capacitância
não varie com temperatura é
+
preciso que

& , ou seja, que
#

Calculando-se as derivadas parciais, encontramos
d
#

Portanto, a disciplina de Cálculo nos ensina que as
variações da capacitância com a temperatura  são
determinadas pela equação
d
(a) A capacitância é uma função de duas varáveis:
(i) da área das placas e (ii) da distância  entre as
placas:
d
c
onde é a área de cada placa e  a separação entre as
placas. (b) Se as placas forem de alumı́nio, qual deverá
ser o coeficiente de expansão térmica dos separadores a
fim de que a capacitância não varie com a temperatura?
(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância.)
onde   já representa agora o valor do coeficiente de
expansão térmica do separador.
d Analogamente (veja o Exercı́cio 19-37), a variação
d
de uma área em função de uma variação  de temperatura pode ser escrita como
¢q¤
Para uma
conexão em paralelo sabemos que
onde é a capacitância individual de cada capacitor a
ser usado. Portanto,
o número total de capacitores será:
o
£¢q¤
¥¡
& i¡
F
F
9 & #
c
onde  é o chamado ‘coeficiente de expansão térmica’ E 27-16.
do material em questão. Esta equação pode também ser Na Fig. 27-24, determine a capacitância equivalente da
¡
¡
re-escrita como
d
combinação.
Suponha F, % F e
&
¡

d
x 9r
F.



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Os capacitores e estão em paralelo, formando (b) A carga no capacitor equivalente é
um capacitor
equivalente que, por sua vez, está em
a
£¢q¤ :
ayx
j
&
Z
s
série com x . Portanto, a capacitância equivalente total
C#
j
&"& & #r
j
&
8|
%
é dada por
- 4
Como os capacitores estão em série, este valor é o
j
x
m & 
& %
j r
¡
módulo da carga que está sobre cada uma das placas
- 4
F#
v # %
eq Z
x
& %
r
dos dois capacitores. Ou seja, 8 C8 & # r mC. (c)
:
E 27-17.
Na Fig. 27-25, determine a capacitância equivalente da
¡
¡
combinação.
Suponha F, % F e
&
¡
x 9r
F.
Os capacitores
e
e
:
estão em série. Portanto
&
¡
8
8 Z
& #r
m
& #r
j
j
Z
j
j
r
a
&
&
a
a{x
&
s
a{x
&
s
Z
Volts c
&
&
Volts #
P 27-26.
F#
A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em série, cuja
seção central, de comprimento  , pode ser deslocada
verticalmente.
Mostre que a capacitância equivalente
O capacitor
equivalente
total é dado pela ligação em pa
dessa
combinação
em série é independente da posição
x
ralelo de
e :
da
seção
central
e
é
dada por
"
¢q¤
&
v
&
rp
¦
v
v

v
k # v"v
v
¡
F#
~
0

#
Chamando-se de a distância entre as placas da parE 27-18.
te superior da figura, obtemos as seguintes expressões
Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26 para as capacitâncias individuais de cada um dos dois
¡
tem uma capacitância
de % F. Uma diferença de po- capacitores:
*
tencial de r &Y& V é estabelecida quando a chave é fecha
0
06 #
c
da. Quantos coulombs de carga passam então através do
~

amperı́metro ?
P¢
¤ :
£¢q¤
Ligando-os em série obtemos
Basta usar a fórmula 86
, onde £¢q¤ é o ca
£¢q¤
pacitor
equivalente
da
ligação
em paralelo,
,
§v
:
¡
0
#
 a  a onde F, e ¨r &Y& Volts. Portanto, a carga
%
©{ª ©y«
~

total medida é
Desta expressão vemos que a capacitância equivalente
a
s j r
%pj
&
&Y& Cv
% mC #
8i9v j
não depende de , ou seja, não depende da posição da
seção reta central.
P 27-19.
P 27-28.
¡
m
Uma capacitância F é ligada em série com
¡
uma capacitância ,r F e uma diferença de po
tencial de &Y& V é aplicada através do par. (a) Calcule
a capacitância equivalente. (b) Qual é a carga em cada
capacitor? (c) Qual a diferença de potencial através de
cada capacitor?
(a) A capacitância equivalente é
¢
¤
m
r
r
r
m
%
¡
F#
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¡
¡
Na Fig. 27-29, os capacitores F e ¬v F
:
são ambos carregados a um potencial
&"& V mas
com polaridades opostas, como é mostrado. As chaves
t e t são, então fechadas. (a) Qual é a diferença de
potencial
entre os pontos ~ e  ? (b) Qual é a carga sobre
? (c) Qual é a carga sobre ?
(a) Após as chaves serem fechadas as diferenças de
potencial são as mesmas e os dois capacitores
estão em
:
£¢q¤
paralelo. A ddp de ~ até  é   ,
, one  é
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£¢q¤
. A diferença de poé a capacitância do capacitor equivalente é 8 eq
, onde é a carga
tencial
através
do
capacitor
é
8
8
em .
A diferença
de potencia através da combinação dos ca ¢q¤
a
9r j
s F#
&
pacitores e v tem que ser a mesma diferença de poten
cial através do capacitor , de modo que
A carga total na combinação é a carga lı́quida sobre ca
- 4
8 8
#
~
da par de placa conectadas. A carga sobre o capacitor
eq
é
a carga lı́quida na combinação e
equivalente.
A capacitância equivalente é
8
- Quando fechamos a chave pela segunda vez, par
te da carga originalmente no capacitor flui para a
combinação de e v . Sendo 8 é a carga original, a
lei da conservação da carga nos fornece
:
j
a
&
4e- s
4
V
&"&
j
a¯®
&
C
e a carga sobre o capacitor é
8 :
-
8
8 98
: c

4
:
j
v
a
&
4- s
V
&"&
4
j
Cv
ay®
&
onde é a diferença de potencial original através do
capacitor .
Da Eqs. (b) tiramos que
Cc
de modo que a carga lı́quida sobre a combinação é
: 0
0
4
ay®
a¯®
8 8
C
C. Portanto, a diferença
j
&
j
&
v
de potencial pedida é
que, quando substituida na Eq. (a), fornece
:
 
j
j
r
ay®
&
a
&
C
F
s
V#
%"&
8
:
 
- j
a
&
4s
%uj
&
a ¦
8
C#
:
 
j
v
&
a
4es
4
%"&
8
c
eq
: eq
: ©y«
©y°
© «  © ° - 4 : x
x capacitores e v são
(c) A carga no capacitor é agora
8 0
4
% &
: que, finalmente, nos fornece 8 :
(b) A carga no capacitor é agora
8
# %uj
&
ay®
C#
As cargas nos
P 27-29.
8 Quando a chave t , na Fig. 27-30, é girada para a esquerda, as placas
do capacitor C, adquirem
uma diferença de
:
potencial . Os capacitores e estão inicialmente
descarregados. A chave é, agora, girada para a direita.
Quais são as cargas finais 8 , 8 e 8 sobre os capacitores
correspondentes?
C8 x
: 0
: 0
8
#
x
x
x
- 4
: x
x
x
: x
#
Segunda solução: Considere a figura abaixo:
As cargas nos capacitores e v são as mesmas, de
modo que eles podem ser substituidos por um capacitor
equivalente dado por
eq
.- x
x
x
#
4
x
x # A carga no capacitor
Portanto eq equivalente é a mesma que em qualquer um dos capaci- As cargas iniciais estão indicadas à esquerda de cada catores da combinação. A diferença de potencial através pacitor. As cargas finais estão indicadas à direita de ca-
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L
da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte Lembrando que J Watt segundo,
simplesmen- x
´ Q
4e4
relação:
te precisamos multiplicar & W
v m &Y& s/h para
L
obter que & kW h wv # m j &"µ J. Portanto
85
: #
De acordo com a Lei da Conservação
da Carga, ao
co
0
nectarmos os capacitores e x , a carga total 8 no
condutor, ± indicado na figura da solução deste problema, deve permanecer constante. Logo,
0
0
8|
0
8
8 x
.
v #m
- j
4 &Y&"&
4
&Yµ
k
F#
¡
¡
Dois capacitores, de capacitância F e r F, são ligados em paralelo através de uma diferença de potencial
de v &Y& V. Calcular a energia total armazenada nos capacitores.
: :
E 27-37.
8 x
Donde se conclui que
8
H
A energia total é a soma das energias armazenadas em
Aplicando a Lei da Conservação da Carga no condutor
²
cada capacitor. Com eles : estão conectados em paralelo,
indicado na figura de solução deste problema, encon0
a diferença de potencial a que estão submetidos é a
tramos: & 8 8 x . Donde se conclui que 8 w8 x .
mesma. A energia total é, portanto,
Aplicando a Lei da Conservação da Carga para o con
dutor ³ , indicado na figura do problema, não conduz
- 4
:5
H
a nenhuma equação nova. Sabemos que o campo ele
trostático é conservativo. Então, as somas de diferença
 4 x
a
a
j
&
s r j
&
s
v &Y&
de potencial ao longo da malha fechada deve ser nula

(Lei das Malhas). Portanto,
J#
& #
&
8 8 x
0
8
x
k
P 27-47.
As relações (1), (2) e (3) formam um sistema de três
equações e três incógnitas 8 , 8 e 8 x . A solução deste Um capacitor cilı́ndrico tem raio interno ~ e raio externo
 (como indicado na Fig. 27-6, pág. 95). Mostre que mesistema fornece a resposta
tade
da energia potencial elétrica armazenada está den
x
: tro
de
um cilindro cujo raio é
8
8 C8 x
x
x
x
c
x

: x
~  #
=¶
#
A energia acumulada num campo elétrico que ocupa
um volume · é obtida integrando-se, sobre todo o volume · , a densidade de energia ¸y¹ do campo elétrico.
27.2.4 Armazenamento de energia num campo Portanto,
elétrico
H
-
E 27-34.

;:
4
R
¸ ¹
Rº
·

E
·Vc
Que capacitância é necessária para armazenar uma ener- onde
z  
 é o elemento de volume da gaus
L
gia de & kW h sob uma diferença de potencial de &"&Y& siana cilı́ndrica de raio  considerada (ver Fig. 27-6).
V?
Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo elétrico
entre as placas de um capacitor cilı́ndrico de compriComo sabemos
que a energia armazenada num capa : H
citor é
, a ‘dificuldade’ do problema consis- mento  contendo uma carga 8 e de raio  é dado por
te apenas em determinar quantos Joules correspondem a
L
& kW h.
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E

4
z
8


#
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-
H
4
S
Substituindo-se este valor na equação para  , acima, do capacitor. O módulo
da força infinitesimal deE
encontramos a seguinte relação para a energia acumula- vida ao campo elétrico D existente no capacitor é dada
da no campo elétrico dentro do volume compreendido por
entre o cilindro de raio ~ e o cilindro de raio  :
S
E
H

º
R
4
8

H



A Eq. 27-7 nos diz que módulo do campo elétrico
existente no capacitor é
E
H½¼
8
r z
S
 


:
#
~ 


~  #
=¶
R
R
S
85
D
#
¤
R
E
E
8
8
8|
#
P 27-50.
Para obter o valor de  pedido precisamos simplesmente
determinar
o valor de  para o qual tenhamos
H - 4
H¼ "
. Substituindo-se nesta equação os va
H - 4
H¼
lores de  e
acima, encontramos sem nenhuma
dificuldade que

8
Portanto
#
é obtida para 
8 #

~ 
z 


4
{

 
A energia potencial máxima
H½¼

r z
z


8
R»º
r z

8

Usando o resultado do Problema 27-49, mostre que a
força por unidade de área (a tensão Eeletrostática)
atuan do sobre cada placa é dada por . (Na realidade, este resultado é geral, valendo para condutores de
qualquer formato, com um campo elétrico ¾ na sua superfı́cie.
De acordo com o problema 27-49, a -Àforça
em cada
4
S
placa do capacitor é dada por
, onde 8
¿8
é a carga sobre a placa e E é a área
da
placa.
O
campo
P 27-49.
.- 4
,
de
modo
que
elétrico entre as placas é
Á8
* E
Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas
e
8i
se atraem mutuamente com uma força dada por
E S
S
8
8
#
E
#
Assim sendo, a força por unidade de área é
S
Obtenha o resultado calculando o trabalho necessário
para aumentar a separação das placas de  para u  ,
com a carga 8 permanecendo constante.
E
#
O trabalho feito num campo elétrico é definido por
Q
S
P 27-51 Â .

Uma carga 8 é colocada lentamente na superfı́cie de uma
bolha de sabão, de raio Ã . Devido à repulsão mútua
existente entre as cargas superficiais, o raio aumenta liPortanto, por comparação
destas
fórmulas, obtemos a geiramente para Ã . Por causa da expansão, a pressão do
S
E
magnitude da força é l .
ar dentro da bolha cai para · Ä · onde Ä é a pressão
Para um capacitor de placas paralelas sabemos que a atmosférica, · é o volume inicial e · é o volume final.
E
magnitude
do campo é dada por
onde Mostre que
7
. Portanto
7 w8
x£0
x 4
S
98
E
C8
8
7
!:
98
98
8
E
 #
8
8
9v
z
Ä
Ã
Ã
Ã
#
#
(Sugestão: Considere forças que atuam sobre uma pequena área da bolha carregada. Forças decorrentes de (i)
Modo alternativo, não supondo 8 constante: Consi- pressão do gás; (ii) a pressão atmosférica; (iii) a tensão
dere uma carga infinitesimal 8 sobre uma das placas eletrostática. Ver o Problema 50.)
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Conforme o Problema 27-50,
a força
eletrostática
que 27.2.5 Capacitor com um dielétrico
d
S ¢
E d atua numa pequena área é
. O
.E
4
campo elétrico na superfı́cie é
, onde
Ã
Å8
r z
8 é a carga na bolha. Portanto
E 27-53.
d
d
S ¢
8
m z
Ã
®
8
® c
z
Ã
Dado um capacitor de k # r pF, cheio de ar, pedimos
¡
convertê-lo num capacitor que armazene k # r
J com
apontando para fora. A força do gás dentro é o produto uma diferença de potencial máxima de m % V. Qual dos
da pressão dentro pela área, ou seja,
dielétricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado pa®
x
x d
ra preencher a lacuna de ar do capacitor?
z
Ã
d
d
SÇÆ
Ä x
Ä ·
Ä Ã
®
·
v
x
x z Ã
c
x
Ã
Com o dielétrico
dentro, a capacitância é dada por
d
S
apontando para fora. A força do ar fora é  Ä ,
, onde representa a capacitância antes do
É<
apontando para dentro.
dielétrico ser inserido. A energia armazenada é dada por
Como a superfı́cie da bolha esta¢ em equilı́brio,
a
soma
S
SÇÆ 0 S
 das três forças deve anular-se:
& . Esta
:1
:1
H
#
<
equação fornece-nos
8
v
z
®
Ã
x
Ã
Ä
0
x
Ã
Ä
Portanto,
&.c
H
de onde tiramos facilmente que
8
9v
z
 ® Ä
Ã
x
0
Ã
x
Ã
Cv

Ä
z
Ã
Ã
x£0
Ã
x 4
E
Ä
-ÀÈ 4
#
De acordo com o enunciado do problema, temos:
Ä Æ
·
®
Ä
®
·
x
x z Ã
Ä
x
x z Ã
x
Ã
Ä
x
Ã
:
Substituindo-se
x
Ã
x
Ã
Ä Æ
Ä
e
E

Ã
m %
4
Y4 wr # k #
Usando as Eqs. 27-14 e 27-30 encontramos que a capacitância do cabo é
#
Ë
<
Ã
®
Ä

<
ar

C<

8
m z
a 4e-
s
Um cabo coaxial usado numa linha de transmissão tem
um raio interno de & # mm e um raio externo de & # m
mm. Calcular a capacitância por metro de cabo. Suponha que o espaço entre os condutores seja preenchido
compoliestireno.
#
&
a
&
E 27-56.
na Eq. (*) acima obtemos
j
j
z

- 4 #
 ~
Portanto, por unidade de comprimento temos
8
r z
k #r
k #r
Da Tabela 27-2 vemos que poderı́amos usar pirex para
preencher a lacuna do capacitor.
O campo elétrico da distribuição de cargas esfericamente simétrica existente na superfı́cie da bolha é dado por
E
#
Em outras palavras:
As forças que atuam sobre o elemento de área da bolha
carregada são causadas pelas seguintes pressões: (a) A
Æ
pressão do gás Ä do interior da bolha (atuando de dentro para fora), (b) A pressão atmosférica Ä (atuando de
fora para dentro), (c) A tensão eletrostática mencionada
no Problema 27-12 (atuando de dentro para fora). No
equilı́brio, como a soma das forças é igual a zero, cancelando a área comum considerada, podemos escrever:
Ä Æ
<Ê
B-
Ç-
z
m
4
Z
& #k
pF/m #
# m (que corresponde ao poliestireno,
onde usamos <Ì
veja Tabela 27-2, pág. 101).
de onde se tira facilmente que o valor pedido é
8
Cv
z
Ä
Ã
Ã
x
0
Ã
x 4
#
P 27-57.
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Uma
certa substância tem uma constante dielétrica de Sabemos que
Z
Z
# e uma rigidez dielétrica de
MV/m. Se a usarmos
:
como material dielétrico num capacitor de placas paralelas, qual deverá ser a área mı́nima das placas para que
a ¡
a capacitância seja de k j &
F e para que o capa- Portanto
citor seja capaz de resistir a uma diferença de potencial
de r kV?
:
C8
:
, onde
E
8
- E
A capacitância é Å< Å< , onde é a
capacitância sem o dielétrico, < é a constante dielétrica
do meio, a área de uma placa e a separação
das pla:P+
E
cas.
O
campo
elétrico
entre
as
placas
é
, onde
:
é a diferença de potencial
entre
as
placas.
:P E
E :
Portanto, e C< , donde tiramos
:
E
Î
Ï ª 
¤
Î
Ï « 
<
<
#
4
8
¤
E

< #
< 
Note que, no caso de um capacitor no ar (sem os
dielétricos),
temos < M< e a relação acima se
<
reduz a
, conforme esperado. Quando os
Para que esta área seja mı́nima, o campo elétrico deve dois dielétricos forem iguais, isto é, para < Ð< Ð< ,
a relação anterior
também fornece o resultado esperado:
ser o maior possı́vel sem que rompa o dielétrico:
+
.
<
4e4
x
ay}
&
F r j & V
k j
Z - Z Z
4- Z
4
a #
# %pj
F/m
&
j
& s V/m
27.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss
m
& #m v
:
EÍ#
#
E 27-66
Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância
de &"& pF, placas de área igual a &Y& cm e usa mica coUm capacitor de placas paralelas, de área , é preen- mo dielétrico ( <Ê % # E r ). Pra uma diferença de potencial
chido com dois dielétricos como mostra a Fig. 27-35 na de % & V, calcule: (a) na mica; (b) o módulo da carga
pág. 111. Mostre que neste caso a capacitância é dada livre sobre as placas, e (c) o módulo da carga superficial
induzida.
por
P 27-64.
O valor pedido corresponde à capacitância
pacitor equivalente da ligação em série de
9<
e
do ca-
c
< !"
Portanto
<
!"
< 
<
<
<
< <
< #
< 
#
:
< :
E
cuja única diferença é o dielétrico:
(a) O campo elétrico na região entre as placas é
:Ñ :
, onde é a diferença de potencial
entre+as
,
placas e a separação das placas. Como Ð< onde é a área de uma
placa
e
a
constante
dielétrica,
<
temos que 9< *
e, portanto, que
E
% #r
j
<
- Z
&
#
Z
®
- % &
%pj
a 4
&"&pj
&
a 4e- &
& &Bj
"
a¯® 4
&
V/m #
(b) A carga livre nas placas é
:
- a 4-
4
a n
C#
Solução alternativa:
O campo elétrico uniforme para cada uma das cama- (c) O campo elétrico é produzido por ambas cargas, livre
das dielétricas entre as placas do capacitor é dada por
e induzida. Como campo
devido a uma camada grande e
-À 4
uniforme de carga é 8
, o campo entre as placas
é
0
0
E
E
E
8
8
8Ò
8Ò
8Ó
8Ó
#
e
#
8ÒP
<
&Y&uj
&
% &
%uj
&
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O primeiro termo deve-se c̀arga livre positiva em uma
das placas, o segundo deve-se à carga livre negativa na
outra placa, o terceiro deve-se à carga induzida positiva
em uma das superfı́cies do dielétrico o quarto deve-se à
carga induzida negativa na outra superfı́cie do dielétrico.
Observe que o campo devido a carga induzida é oposto
ao campo devido à carga livre, de modo que eles tendem
a cancelar-se. A carga induzida é, portanto,
8ÓÔ
8Ò
0
*
%uj
05- Z
r #
r #
#
j
Z
&
a n
E
E
E
Seja um campo elétrico na região vazia e o campo elétrico no interior do dielétrico. Da Eq. 27-32 sabeE
E mos que < . Portanto, observando a Fig. 27-17
que corresponde à situação deste problema, vemos que
a diferença de potencial através do capacitor é dada por
:
E

a 4e- %pj
&
&"&Bj
a n
&
C
&
®4e- j
&
®*4
C
-/10

0
4 E

c
ou seja
:
C
E

Como sabemos que
que
:
E
 4 E
 <
.- V 4
98
8
V nC #
-/50
<
<ÌÖ
#
i0)-
(veja Eq. 27-7), segue
0
<
4
× c
donde tiramos sem dificuldades que, realmente,
P 27-71

:
8
<
<
10Õ-
<
0
4

#
Uma lâmina dielétrica de espessura  é introduzida enNote que este resultado não depende da posição exata
tre as placas
de um capacitor de placas paralelas de
da
lâmina dentro do dielétrico. A lâmina tanto poderá
separação . Mostre que a capacitância é dada por
estar tocando qualquer uma das placas como estar no
meio delas, sem que se altere o valor acima.
<
10Õ0
4 #
Tanto para 1 & quanto para <Í
a relação anterior
<
<

fornece
corretamente
a
capacitância
no
vácuo, ou seja,
.
(Sugestão:
Deduza a fórmula seguindo o modelo
do Exemplo 27-10.) Esta fórmula prevê o resultado Quando Ì
, situação em que o dielétrico preenche
numérico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a totalmente o espaço entre as placas do capacitor, a exfórmula está de acordo
com os casos especiais quando pressão
acima também
fornece o resultado correto, a sa
Ø +
&
,
e
.
ber,
.

<Ê
£
C<
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