UFBA – Universidade Federal da Bahia
ENG309 – Fenômenos de Transporte III
Prof. Dr. Marcelo José Pirani
Departamento de Engenharia Mecânica
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.1. Definição
“Calor ou transferência de calor é a energia térmica em
trânsito devido a uma diferença de temperatura no
espaço”
1.2. Mecanismos da Transferência de Calor
A transferência de calor pode ocorrer de 3 modos distintos:
- Condução;
- Convecção ;
- Radiação.
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.1. Condução
Ocorre em sólidos, líquidos e gases em repouso.
qx
qx 
A  T1  T2 
L
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.1. Condução
Ocorre em sólidos, líquidos e gases em repouso.
Figura 1.2: Associação da transferência de calor por condução à difusão
de energia devido à atividade molecular
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.1. Condução
Lei de Fourier
dT
q x   kA
dx
onde:
q – Taxa de calor [W]
k – Condutividade Térmica [W/moC]
A – Área [m2]
dT/dx – Gradiente de temperatura [oC/m]
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.1. Condução
Condutividade térmica
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.1. Condução
Condutividade térmica
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Exemplo:
A parede da fornalha de uma caldeira é construída de tijolos
refratários com 0,20m de espessura e condutividade
térmica de 1,3 W/mK. A temperatura da parede interna é de
1127oC e a temperatura da parede externa é de 827oC.
Determinar a taxa de calor perdido através de uma parede
com 1,8m por 2,0 m.
Dados:
Solução
x = 0,20 m
k = 1,3 [W/moC]
Ti = 1127 oC
Te = 827 oC
A = 1,8.2,0 = 3,6 m2

Ti  Te 
q  kA
x

1127 827
q  1,3 . 3,6
0,20
q  7020 W
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.2. Convecção
Quando um fluido a determinada temperatura escoa sobre
uma superfície sólida a temperatura diferente, ocorrerá
transferência de calor entre o fluido e a superfície sólida,
como conseqüência do movimento do fluido em relação a
superfície.
Abrange dois mecanismos:
- Difusão;
- Advecção.
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.2. Convecção
A convecção pode ser natural ou forçada.
 Convecção Natural
O movimento ocorre devido a diferença de densidade
q
V
TW > T 
T
TW
ar
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.2. Convecção
A convecção pode ser natural ou forçada.
 Convecção Forçada
O movimento ocorre devido a um mecanismo externo
T
U
TW > T 
ar
TW
Parede
q
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.2. Convecção
Lei de Resfriamento de Newton
q  h ATw  T 
onde:
q – Taxa de calor [W]
h – Coeficiente de convecção [W/m2 oC]
A – Área [m2]
Tw – Temperatura da parede [oC]
T – Temperatura do fluido [oC]
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.2. Convecção
O coeficiente de convecção h depende de propriedades
físicas do fluido, da velocidade do fluido, do tipo de
escoamento, da geometria, etc.
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Exemplo:
Ar a Tar = 25oC escoa sobre uma placa lisa mantida a
Tw = 150oC. O coeficiente de convecção é de 80 W/m2 oC.
Determinar a taxa de calor considerando que a placa
possui área de A = 1,5 m2.
Solução:
q  h ATw  T 
q  80 . 1,5 150 25
q  15000 W
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Todos os corpos emitem continuamente energia devido a
sua temperatura, a energia assim emitida é a radiação
térmica.
A radiação não necessita de um meio físico para se
propagar. A energia se propaga por ondas eletromagnéticas
ou por fótons.
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Emissão da Radiação do Corpo Negro
En   Ts4
2
[W / m ]
onde:
En

Ts
- Poder emissivo do corpo negro
- Constante de Stefan-Boltzmann igual a 5,67.10-8 W/m2K
- Temperatura absoluta da superfície [K]
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Emissão da Radiação de um Corpo Real
E   Ts4
2
[W / m ]
onde:
E
- Poder emissivo de um corpo real

- Emissividade
01
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Absorção de Radiação
O fluxo de radiação que incide sobre um corpo negro é
completamente absorvido por ele e é chamado de irradiação G.
Se o fluxo de radiação incide sobre um corpo real, a energia
absorvida por ele depende do poder de absorção  e é dado por:
Gabs   G
2
[W / m ]
onde:
G abs - Radiação absorvida por um corpo real (irradiação)
 - Absortividade 0    1
G - Radiação incidente
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Troca de Radiação
Tviz
E   s  Ts4
4
E   Tviz
Ts
4
  s Ts4  s Tviz
qrad
Admitindo s = s

4
  s Ts4  Tviz
qrad

[ W / m2 ]
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.2.3. Radiação
Expressando a troca líquida de calor por radiação na forma
de coeficiente de transferência de calor por radiação, tem-se:
q rad  hr A Ts  Tviz 
onde:
hr  
 Ts  Tviz   Ts2  Tviz2 
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Exemplo:
Uma tubulação de vapor d’água sem isolamento térmico
atravessa uma sala cujas paredes encontram-se a 25oC.
O diâmetro externo do tubo é de 0,07m, o comprimento
de 3m, sua temperatura é de 200oC e sua emissividade
igual a 0,8. Considerando a troca por radiação entre o
tubo e a sala semelhante a aquela entre uma superfície
pequena e um envoltório muito maior, determinar a taxa
de calor perdida por radiação pela superfície do tubo.
Solução:

4
q rad  A  s  Ts4  Tviz

q rad    0,07  3  0,8  5,67  108

4734  3084

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.3. Coeficiente Global de Transferência de Calor - U
Muitos processos nas indústrias envolvem uma combinação
da transferência de calor por condução e convecção.
Para facilitar a análise, pode-se lançar mão do Coeficiente
Global de Transferência de Calor.
k
TA
T2
T1
q
q  U A T
h2
TB
h1
L
1
U
1 L 1
 
h1  h 2
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Trocador de calor de correntes paralelas
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Trocador de calor em contracorrente
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Para os trocadores de calor apresentados q pode ser
determinado por:
q  U A T
Qual T deve ser utilizado?
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Trocador de calor de correntes paralelas
Tq  dTq
Tq
dq
dA
Tf  dTf
Tf
dx
q  U A T
 qcp,qdTq
dq  m
 f cp,f dTf
dq  m
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Troca de calor no Trocador de calor
q  U A T
(1)
Troca de calor através de uma área elementar
dq  U dA T
(2)
onde  T é a diferença de temperatura local entre os
fluidos, ou seja:
T  Tq  Tf
(3)
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Diferenciando a equação (3)
T  Tq  Tf
d(T)  dTq  dTf
(4)
O calor perdido pelo fluido quente é igual ao calor
recebido pelo fluido frio
 qcp,qdTq
dq  m
dq
dTq  
 qcp,q
m
 f cp,f dTf
dq  m
dq
dTf 
 f cp , f
m
(5)
(6)
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Substituindo (5) e (6) em (4), resulta:
d(T)  dTq  dTf
dq
dq
d(T)  

 qcp,q m
 f cp,f
m
 1
1

d( T)  

m


c
m
q
p
,
q
f cp ,f

Mas
dq  U dA T
logo:

dq


(7)
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
 1
1

d( T)  

m
 f cp , f
  q cp ,q m

U dA T


 1

d( T)
1
U dA
 

m



T
c
m
c
q
p
,
q
f
p
,
f


Integrando

Tsai
Tent
 1
d(  T )
1



m
 f cp ,f
T
  q cp ,q m


U dA

 A
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica

Tsai
Tent
 1
d(  T )
1



m
 f cp ,f
T
  q cp ,q m


U dA

 A
 1

Tsai
1
U A
ln
 

m



Tent
c
m
c
q
p
,
q
f
p
,
f


Para os fluidos quente e frio, respectivamente:

 qcp,q Tq,sai  Tq,ent
q  m

 f cp,f Tf ,sai  Tf ,ent
qm


(8)
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Isolando
 qcp,q
m
e
 f cp,f
m
, respectivamente:
q
 qcp,q  
m
(Tq,sai  Tq,ent )
(9)
q
 f cp , f 
m
(Tf ,sai  Tf ,ent )
(10)
 1
Tsai
1



substituindo (9) e (10) em ln
m
 f cp ,f
Tent
  q cp , q m

U A


CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Isolando
 qcp,q
m
e
 f cp,f
m
, respectivamente:
 (Tq,sai  Tq,ent ) (Tf ,sai  Tf ,ent ) 
Tsai
U A
ln
  


Tent
q
q




Tsai
UA
ln
   Tq,sai  Tq,ent  Tf ,sai  Tf ,ent
Tent
q


Tsai
UA
ln
  (Tq,ent  Tf ,ent )  (Tq,sai  Tf ,sai )
Tent
q
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica


Tsai
UA
ln
  (Tq,ent  Tf ,ent )  (Tq,sai  Tf ,sai )
Tent
q
ou ainda
Tsai
UA
ln
 (Tent  Tsai)
Tent
q
U A( Tent  Tsai )
logo q  
Tsai
ln
Tent
ou
U A( Tsai  Tent )
q
Tsai
ln
Tent
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Finalmente
q  U A Tml
onde Tml é a diferença de temperatura média logarítmica
( Tsai  Tent )
Tml 
Tsai
ln
Tent
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.4. Diferença de Temperatura Média Logarítmica
Considerações feitas:
1- O trocador de calor encontra-se isolado termicamente da
vizinhança, a única troca de calor ocorre entre os fluidos;
2- A condução axial ao longo do tubo é desprezível;
3- Variações nas energias cinética e potencial são
desprezíveis;
4- Os calores específicos dos fluidos são constantes;
5- O coeficiente global de transferência de calor é constante.
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
1.5. Conservação de Energia – Primeira Lei da Termodinâmica
A primeira lei da Termodinâmica é uma ferramenta de
grande utilidade em problemas de transferência de calor.
É importante obter a forma adequada da primeira lei para
análise desses problemas.
Eacu  Eentra  Esai  Eg
ou




E
acu  Eentra  Esai  Eg
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.1. A Equação da Taxa de Condução
A Lei de Fourier é Fenomenológica
T
qx  A
x
T e x constante e A varia  qx é diretamente proporcional
A e x constante e T varia  qx é diretamente proporcional
A e T constante e x varia  qx é inversamente proporcional
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.1. A Equação da Taxa de Condução
Para outros materiais a proporcionalidade se mantém,
porém para os mesmos T, A e x o valor de q é diferente,
logo:
T
qx   A
x
Onde  é a condutividade térmica em [W/mK]
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.1. A Equação da Taxa de Condução
Taxa de transferência de calor
dT
qx   A
dx
[ W]
Fluxo de calor
dT
qx  
[ W / m2 ]
dx
qx
- é uma grandeza vetorial
- tem direção normal as superfícies de T = constante
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.1. A Equação da Taxa de Condução
Forma geral para a equação do fluxo de condução de calor
(Lei de Fourier)
 T T
T
  T
q    i
j
k
y
z 
 x
mas
q  i qx  jqy  k qz
logo
T
qx   
x
T
qy   
y
T
qz   
z
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
qz dz
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
qy dy
qx
z
y
x
dz
qy
dy
dx
qz
qx dx
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Conservação de Energia
Eentra  Esai  Eg  Eacu
(2.1)
Entrada
qx , qy , qz
(2.2)
Saída
qxdx , qy dy , qz dz
(2.3)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Saída
qxdx , qy dy , qz dz
Expandindo em série de Taylor
 qx
 2q x dx 2
q x  dx  q x 
dx 
 ...
2
x
2!
x
(2.4)
 2q y dy 2
q y  dy  q y 
dy 
 ...
2
y
2!
y
(2.5)
 qz
 2q z dz 2
q z  dz  q z 
dz 
 ...
z
 z 2 2!
(2.6)
 qy
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Geração de Energia
  q dx dy dz
E
g
(2.7)
Acúmulo de Energia
T

Eacu   cp
dx dy dz
t
(2.8)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
Fazendo (2.2), (2.4), (2.5), (2.6), (2.7) e (2.8) em (2.1), resulta:
Eentra  Esai  Eg  Eacu
qx  qy  qz 
 qy
 qx
 qz
 qx 
dx  q y 
dy  q z 
dz 
x
y
z
T
 q dx dy dz  cp
dx dy dz
t
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
qy
qx
qz
T

dx 
dy 
dz  qdxdydz  cp
dxdydz
x
y
z
t
(2.9)
Pela lei de Fourier
T
q x    dy dz
x
T
q y    dx dz
y
T
q z    dx dy
z
Fazendo (2.10), (2.11) e (2.12) em (2.9) resulta:
(2.10)
(2.11)
(2.12)
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO A CONDUÇÃO DE CALOR
2.2. Equação da Difusão de Calor
2.2.1. Coordenadas Cartesianas
  T
  T
  T
 
  dx dy dz
 
  dx dy dz
 
 
dx dy dz
x x 
y  y 
z  z 
 q dx dy dz   cp
T
dx dy dz
t
Dividindo por dx, dy e dz
  T   T   T
T
 
 
 
 
 
  q   cp
(2.13)
x x  y  y  z  z 
t