Disciplina:
Resistência dos Materiais
Unidade V - Flexão
Professor: Marcelino Vieira Lopes, Me.Eng.
http://profmarcelino.webnode.com/blog/
• Hibbeler, R. C. Resistência de materiais. 5.ed. São Paulo:
Pearson, 2006.
• Provenza, F. ; Souza, H. R. Resistência dos Materiais. São Paulo:
Pro-tec, 1986.
• Provenza, F. Projetista de Máquinas. São Paulo: Pro-tec, 1986.
• Callister, Willian D. Jr. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma
Introdução. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Resistência dos Materiais
Referência Bibliográfica
2
UNIDADE 5 – FLEXÃO
3
Resistência dos Materiais
• Vigas e eixos são elementos estruturais e mecânicos
importantes na engenharia. Nos próximos slides
determinaremos os esforços provocados por flexão
nesses elementos. Inicialmente serão vistos diagrama
de força cortante e momento fletor para uma viga ou
eixo.
• Uma vez determinado o momento interno em uma
seção, podemos calcular o esforço de flexão e fazer
assim o dimensionamento da viga ou do eixo.
Resistência dos Materiais
Flexão
4
Resistência dos Materiais
Tipos de carregamentos
5
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Normalmente uma viga ( ou eixo) não está submetida
a apenas um tipo de esforço, como mostrado na figura
abaixo:
F1
A
F3
B
A’ a
a
F5
F4
• Como consequência, a seção aa, por exemplo, está
submetidas as forças de tração, forças cisalhantes e
momentos
Resistência dos Materiais
F2
6
Diagrama de força cortante e momento fletor
A’
A
B
a
a
Corte a-a:
A
A’ V
A’
B
V
Análise do lado esquerdo, V para baixo
Análise do lado esquerdo, V para cima
Resistência dos Materiais
• Força cortante: a seção aa, por exemplo, está
submetida a uma força cortante V, cujo sinal positivo é
convencionado abaixo:
7
Diagrama de força cortante e momento fletor
A’
A
B
a
a
Corte a-a:
A
A’
A’
M
Análise do lado esquerdo, M: Anti-horário
B
Resistência dos Materiais
• Momento Fletor: a seção aa, por exemplo, está
submetida a um momento fletor M, cujo sinal positivo
é convencionado abaixo:
M
Análise do lado esquerdo, M: horário
8
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 1. Faça o diagrama de forças cortantes e
momento fletor da viga mostrada abaixo.
A
5N
B a
C
a
1,0m
E
D b
b
1,0m
10N
1,0m
1,0m
5N
Resistência dos Materiais
10N
9
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 1. Seção AA
A
B a
A
b
1,0m
10N
1,0m
B a
1,0m
N
M
a
1,0m
E
D b
a
5N
5N
C
V
1,0m
5N
Entre A e C:
SFx=0
N=0
SFy=0
V-5=0
V=5N
SM=0
M-5*1=0
M=5Nm ou
M=5*x [Nm]
Resistência dos Materiais
10N
10
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 1. Seção bb
A
B a
C
a
5N
1,0m
E
D b
b
1,0m
5N
1,0m
1,0m
10N
A
D b
b
5N
1,0m
1,0m
1,0m
V
N
M
Entre C e E:
SFx=0
N=0
SFy=0
V-5+10=0
V=-5N
SM=0
M-5*3+10*1=0
M=5Nm ou
M=5*x – 10*(x-2) [Nm]
Resistência dos Materiais
10N
11
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 1. Diagramas
10N
1,0m
b
a
b
1,0m
1,0m
1,0m
5N
-5N
Resistência dos Materiais
5N
a
M
10Nm
12
V
5N
5Nm
Diagrama de força cortante e momento fletor
Resistência dos Materiais
• Exemplo 2. Faça o diagrama de forças cortantes e momento
fletor da viga mostrada abaixo.
13
Diagrama de força cortante e momento fletor
M0
M0/L
M0/L
SM=0
M-M0=0
M=M0
Considerando as reações como um binário:
M=Fxd
M=F*L
F=M/L ou
F=M0/L
Resistência dos Materiais
• Exemplo 2. Cálculo das reações
14
Diagrama de força cortante e momento fletor
Entre A e B:
SFy=0
V+M0/L=0
V=-M0/L
SM=0
M + (M0/L)*x =0
M=-(M0/L)*x
Resistência dos Materiais
• Exemplo 2. Entre A e B
15
Diagrama de força cortante e momento fletor
Entre B e C:
SFy=0
V+M0/L=0
V=-M0/L
SM=0
M + (M0/L)*x – M0=0
M=M0(1 - x/L)
Resistência dos Materiais
• Exemplo 2. Entre B e C
16
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 2. Diagrama
L/2
L/2
M0
M0/L
Resistência dos Materiais
M0/L
V
-M0/L
M
M0/2
17
-M0/2
Diagrama de força cortante e momento fletor
Resistência dos Materiais
• Exemplo 3. Faça o diagrama de forças cortantes e
momento fletor da viga mostrada abaixo.
18
Diagrama de força cortante e momento fletor
RA
SFy=0
RA + RB = w*L
RA=RB
RA=RB=w*L/2
RB
Resistência dos Materiais
• Exemplo 3. Cálculo das reações.
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Diagrama de força cortante e momento fletor
RA=W*L/2
RB
N
M
a
x
V
Força cortante
dV / dx = -w  dV = -w . dx
 dV = -  w . dx
Resistência dos Materiais
• Exemplo 3.
V = -w.x + C  necessário incluir RA
V = RA – w.x  V = wL/2 – wx
V = w (L/2 –x)
20
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 3.
dM / dx = V  dM = V . dx
dM =  V dx
RA=W*L/2
RB
N
M
a
x
V
M =  (RA –w.x)dx
M = RA.dx - w.x.dx
M =RA.x – w.x2/2
Resistência dos Materiais
Momento
M=wLx/2-wx2/2
M=w/2 * (xL –x2)
21
Diagrama de força cortante e momento fletor
• Exemplo 3. Diagramas
V = w (L/2 –x)
V
wL/2
-wL/2
M
10Nm
Resistência dos Materiais
M=w/2 * (xL –x2)
wL2/8
22
Resistência dos Materiais
Método Gráfico: Diagrama de força cortante e
momento fletor
23
Resistência dos Materiais
Método Gráfico: Diagrama de força cortante e
momento fletor
24
Deformação por flexão de um elemento reto
Resistência dos Materiais
• A seção transversal de uma viga reta permanece plana
quando a viga se deforma por flexão.
• Isso provoca uma tensão de tração de um lado da viga
e uma tensão de compressão do outro lado.
25
Resistência dos Materiais
Deformação por flexão de um elemento reto
26
Deformação por flexão de um elemento reto
Resistência dos Materiais
• A deformação longitudinal varia linearmente de zero no eixo
neutro a um valor máximo no ponto mais afastado deste.
• A lei de Hooke se aplica quando o material é homogêneo.
• O eixo neutro passa pelo centroide da área da seção transversal.
27
de um elemento reto
Resistência dos Materiais
Deformação por flexão de um elemento reto
28
s=E.e
Resistência dos Materiais
A fórmula da flexão
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I
σ = tensão normal
M = momento interno
I = momento de inércia
y = distância perpendicular do eixo neutro
c=distância perpendicular do eixo neutro a
um ponto mais afastado do eixo neutro
onde a tensão máxima
Resistência dos Materiais
A fórmula da flexão
30
Resistência dos Materiais
Momento de Inércia (I)
31
Exercício
Resistência dos Materiais
1) Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá
ser usado para resistir a um momento fletor interno M=2kNm.
Determine a tensão máxima no elemento (13,9MPa)
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2) A peça de mármore, que podemos considerar como um
material linear elástico frágil, tem peso específico de 150lb/ft3
(2402,8 kg/m3) e espessura de 0,75in. Calcule a tensão de flexão
máxima na peça se ela estiver apoiada (a) em seu lado e (b) em
suas bordas. Se a tensão de ruptura for σrup=200psi, explique as
consequências de apoiar a peça em cada uma das posições.
1 ft (pé) = 0,3048 m
1 in (polegada) = 0,0254 m
1,00 lb (libra) = 0,4536 kg
1 psi = 6894,757 Pa
SI: m, kg, N, Pa
Resistência dos Materiais
Exercício
33
Exercício
Resistência dos Materiais
3) A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal
mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão
máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão
na seção transversal nessa localização.
34
Exercício
Resistência dos Materiais
3) A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal
mostrada na figura abaixo. Determine a tensão de flexão
máxima absoluta na viga e represente a distribuição de tensão
na seção transversal nessa localização.
35
Quando flexão ocorre em
torno de um eixo arbitrário,
que não os eixos de inércia
principais ao longo do eixo
de simetria da seção;
Obtemos as componentes
do momento, a tensão será
dada pela superposição das
tensões das componentes;
Pela regra da mão direita;
Notando que o eixo neutro
(N) tem Inclinação α, e o M
tem inclinação θ;
Resistência dos Materiais
Flexão Assimétrica
36
• Vigas com dois materiais são comumente chamadas
de vigas compostas e são projetadas de forma a
desenvolver maneiras mais eficientes para resistir às
cargas aplicadas.
• Como a fórmula da flexão em vigas foi desenvolvida
para o caso de materiais homogêneos, esta fórmula
não pode ser aplicada diretamente para determinar as
tensões de flexão em vigas compostas por diferentes
materiais. Para estudar estes casos de viga, considere
uma viga composta de dois diferentes materiais.
Resistência dos Materiais
Vigas Compostas
37
Resistência dos Materiais
Vigas Compostas
38
Resistência dos Materiais
Vigas Compostas
<EI> = Integral da rigidez equivalente
39
Vigas Compostas
Resistência dos Materiais
• Exemplo: A viga composta abaixo é sujeita à um
momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo
método da rigidez equivalente as tensões nos pontos
B e C se Eaço = 200 GPa e Emad = 12 GPa.
40
Vigas Compostas
• Exemplo: A viga composta abaixo é sujeita à um
momento fletor de M = 2 kN.m. Determine pelo
método da rigidez equivalente as tensões nos pontos
B e C se Eaço = 200 GPa e Emad = 12Matemática
GPa. - Série ConcursosPúblicos
Resistência dos Materiais
Curso Prático & Objetivo
c - Determinar as tensões:
Ponto C:
C
C
E aço
M
EI
yc
200.10
3
.2000.10 3 ( 36,38)
1,87.10 12
= 7,78 N/mm2 = 7,78 Mpa
Ponto B:
B
B
E mad
M
EI
= -1,71 Mpa
yB
12.10 3
.2000.10 3 (150
20
36,38)
1,87.10 12
41
Exemplo 6.8: Se o momento máximo no ski abaixo é 77,78 N.m, determine
tensões de flexão no aço e na madeira se a seção transversal do ski é com
• Todas as vigas submetidas a flexão pura devem resistir
aos esforços de tração e compressão. O concreto,
entretanto é muito suscetível a fraturas quando está
sob tensão e, portanto, por si só não seria adequado
para resistir a um momento fletor. A fim de contornar
essa deficiência, os engenheiros colocam barras de
aço, conforme abaixo:
Resistência dos Materiais
Vigas de concreto armado
42
Vigas Curvas
• Em uma viga maciça curva, de raio menor que 5 vezes
a largura, a deformação normal não varia linearmente
com a largura.
• Como consequência o eixo neutro não passa pelo
centroide.
Resistência dos Materiais
(Tensão e deformação
normal serão hiperbólicos)
43
Vigas Curvas
Resistência dos Materiais
• A localização R do eixo neutro é dada por:
• Existem valores tabelados para algumas geometrias:
44
Vigas Curvas
• A tensão normal circunferencial é então expressada por
uma das duas fórmulas hiperbólicas abaixo:
Resistência dos Materiais
• Observando um elemento no segmento superior,
Vemos que este está sujeito à um tensão circunferencial
σ equilibrada por componente tensão radial σr (σr é
desprezível).
45
Vigas Curvas
Resistência dos Materiais
A tensão normal circunferencial é então expressada por
uma das duas fórmulas hiperbólicas abaixo:
46
Transformações bruscas na seção transversal de uma viga,
fazem com que as tensões não sejam uniformemente
distribuídas, conforme tem-se considerado até este ponto
da matéria. Como consequência, tem-se pontos da viga
com tensões muito superiores às tensões médias, a isto é
dado o nome de concentrações de tensões:
Resistência dos Materiais
Concentrações de Tensão
47
Concentrações de Tensão
A tensão máxima pode ser determinada utilizando-se
um fator k tabelado:
Resistência dos Materiais
Exemplos de descontinuidades na seção de uma viga
que causa concentrações de tensões:
48
Resistência dos Materiais
Concentrações de Tensão: Fator K
49
Concentrações de Tensão
1.
2.
3.
4.
Determinar K
Determinar c, (direto c = 10/2 = 5mm)
Calcular I = bh3/12
M=s*I / (K.c)
Resistência dos Materiais
A tensão normal de flexão admissível para a barra, mostrada
abaixo, é 175 MPa. Determinar o momento máximo M que
pode ser aplicado.
50
Concentrações de Tensão
A tensão normal de flexão admissível para a barra, mostrada abaixo, é 175 MPa. Determinar o
.
K
r/h = 1,5/10=0,15
w/h = 30/10 = 3
K =1,6
I = b.h3/12
I = 0,005*0,0103/12
I= 4,1667x10-10m4
M=s*I / (K.c)
M = 175*106*4,1667x10-10 / (1,6*0,005)
M = 9,11N.m
Resistência dos Materiais
momento máximo M que pode ser aplicado
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