Capı́tulo 11 Lei da Indução Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fı́sicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação. Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador, enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura 11.1 . Figura 11.1: Solenóides concatenados 195 196 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Notou-se quando uma corrente contı́nua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 . Figura 11.2: Experimento de Faraday Quando um ı́mã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se uma deflexão do galvanômetro. Se o ı́mã permanecesse imóvel em relação ao circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida. Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira: �ind ∝ dB dt �ind ∝ A Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo magnético. 11.1 O Fluxo Magnético Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético � e a área quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B 197 11.2. A LEI DE LENZ S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético , e é definida como: � ·S � = BS cos θ φB = B (11.1) Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que: |�ind | = dφB dt (11.2) Substituı́ndo 11.1 em 11.2 : dB dA dθ A cos θ + B − BA sen θ (11.3) dt dt dt Percebe-se então que é possı́vel induzir corrente em uma espira imersa em um campo magnético por meio dos seguintes métodos: |�ind | = • variando a intensidade do campo. • variando a área como tempo �eB � com o tempo • variando o ângulo entre os vetores A Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que �ind = RIind , logo: Iind 11.2 A Lei de Lenz � � 1 �� dφB �� = � R dt � Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado pela Lei de Lenz: A corrente induzida produz um campo magnético que tende se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou 198 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı́mã aproxima-se da espira, o fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o ı́ma afaste-se da espira, o fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente no sentido horário. Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday: �ind = − dφB dt (11.4) O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico na espira, teremos: � � · d�l = �ind E (11.5) Γ Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula sempre! Qual será a inconsistência? Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido. O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação 11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético 199 11.2. A LEI DE LENZ não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos elétricos. Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz: Exercı́cio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a força eletromotriz induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em função do tempo. Figura 11.4: Trilho magnético • Força eletromotriz Temos que o fluxo magnético na barra é dado por: φB = BA = Blx portanto a força eletromotriz é: |�ind | = dφB dx = Bl = Blv dt dt • Corrente induzida: Iind = �ind Blv = R R • Força magnética: Temos que a força em fios é dada por: 200 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO 2 2 � = Iind Bl = B l v − î F� = I�l × B R (11.6) • Velocidade do fio: Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 : m dv B 2 l2 v = dt R Resolvendo essa equação diferencial separável: � � � v(t) dv � t B 2 l2 v(t) B 2 l2 = − dt → ln = − t v0 0 v Rm v0 Rm B 2 l2 t/ Rm v(t) = v0 e− Vemos então que a força tende à frear à barra. Exercı́cio 11.2. Considere um campo magnético uniforme que aponta pra dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que � aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido a magnitude de B em todo o espaço: Figura 11.5: Campo magnético Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por: � Γ � ind · d�l = �ind = − dφB E dt 201 11.2. A LEI DE LENZ Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r. • Para r < R : Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação fluxo no seu interior será: φB = Bπr2 → dφB dB 2 = πr dt dt Logo: � � ind · d�l = dB πr2 E dt Γ Eind 2πr = dB 2 dB r πr → Eind = dt dt 2 • Para r > R : Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu interior será: φB = BπR2 → Logo: dφB dB 2 = πR dt dt 202 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido � � ind · d�l = dB πR2 E dt Γ Eind 2πr = dB 2 dB R2 πR → Eind = dt dt 2r Sintetizando os resultados na forma de um gráfico; Figura 11.8: Campo induzido vs distância 11.3 Geradores As experiências de Faraday lançaram os princı́pios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade. � rotacionando Considere uma espira imersa em um campo magnético B θ com uma velocidade angular constante ω = . Substiuı́ndo θ na equação t 11.3 , temos que: 203 11.4. EFEITOS MECÂNICOS |�ind | = ωBA sen ωt Em termos de corrente induzida: Iind = ωBA sen ωt R Calculando a potência gerada para N espiras: P = I|εind | = (N BAω sin(ωt))2 R Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. Para evitar isso, empregam-se comutadores no circuito. Isso que foi visto é o princı́pio de funcionamento de vários tipos de usinas de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido (água, vento) para a bobina, fazendo-a girar. 11.4 Efeitos Mecânicos A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos fı́sicos, pode resultar em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos 11.4.1 As correntes de Foucault Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura 11.9 . Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê? Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente 204 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade. Figura 11.10: Correntes de Foucault Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um campo magnético. 11.4.2 Atrito Magnético Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de atrito viscoso (ver Figura 11.11) . 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 205 Figura 11.11: Comportamento da espira em queda 11.4.3 Canhão Magnético Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide. Figura 11.12: Canhào Magnético 11.5 Indutância Mútua Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito. Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na dφ21 espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético na espira dt 2, surgindo então uma força eletromotriz induzida �2 dada por: 206 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua �2 = − dφ21 dt Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação de corrente na espira 1: dφ21 dI1 ∝ dt dt Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por meio da definição da constante de indução mútua M21 1 : dφ21 dI1 = M21 dt dt M21 = dφ21 dI1 (11.7) (11.8) Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas. Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante. Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por: 1 [M21 ] = H(henry) = T m2 A 207 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA φ21 = � � � · dS �2 = B S2 � � � S2 � � ×A � 1 · dS �2 ∇ Aplicando o Teorema de Stokes: φ21 = � � � S2 � � � � � � 1 · d�l2 ∇ × A1 · dS2 = A Γ2 Pela equação 10.45 : φ21 µ0 = I1 4π φ21 µ0 = dt 4π � � � � d�l1 · d�l2 r d�l1 · d�l2 dI1 r dt (11.9) Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann: M21 µ0 = 4π � � d�l1 · d�l2 r (11.10) Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que: M12 = M21 = M Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2. No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação 11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir. Exercı́cio 11.3. Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares e concêntricas de raios R1 e R2 , com R1 >> R2 . Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na 208 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas outra espira. Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B = µ0 I . Como R1 >> R2 , pode-se considerar que o campo no interior da espira 2R1 2 é constante, logo o fluxo no seu interior será: φ21 = BA = µ0 I πR2 2R1 2 Então temos que: dφ21 µ0 = πR2 dI 2R1 2 Logo a indutância mútua é: M= µ0 πR2 2R1 2 Exercı́cio 11.4. Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos de desnsidades de espiras n1 e n2 . Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no outro. Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ0 In1 . Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior será: 11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA 209 Figura 11.15: Solenóides concêntricos φ21 = BAn2 l = µ0 In1 n2 lπR22 Então temos que: dφ21 = µ0 n1 n2 lπR22 dI Logo a indutância mútua é: M = µ0 n1 n2 lπR22 Exercı́cio 11.5. Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N1 e N2 enrolamentos. Figura 11.16: Toróides concatenados Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no outro. 210 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO µ0 N1 I Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B = . 2πr Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide φ21 = N2 φ21 = � � 1 · d�s2 = N2 B µ0 N1 N2 I 1 b h ln( )I 2π a �b µ0 N1 I1 hdr 2πr a Então temos que: dφ21 µ0 N1 N2 b = h ln( ) dI 2π a Logo a indutância mútua é: M= 11.6 µ0 N1 N2 b h ln( ) 2π a Auto-Indutância Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia 11.6. AUTO-INDUTÂNCIA 211 com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo � inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer de B mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância. Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância Definimos matematicamente a auto-indutância L2 da seguinte maneira: dφB dφB dI dI = =L dt dI dt dt dφB L= (11.11) dI Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende apenas de fatores geométricos da espira em questão. Exercı́cio 11.6. Calcule a auto-indutância de um solenóide. Figura 11.19: Solenóide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação 2 [L] = H(henry) 212 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide. Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ0 In. Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior será: φB = BAnl = µ0 In2 lπR2 Então temos que: dφB = µ0 n2 lπR2 dI Logo a auto-indutância é: L = µ0 n2 lπR2 Exercı́cio 11.7. Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular. Figura 11.20: Toróide Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide. µ0 N I Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = . 2πr Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica, o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral: 11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 213 Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide φB = N � � · d�s = B �b µ0 N 2 I µ0 N 2 I b hdr = h ln( ) 2πr 2π a a Então temos que: dφ21 µ0 N 2 b = h ln( ) dI 2π a Logo a auto-indutância é: L= 11.7 µ0 N 2 b h ln( ) 2π a Associação de Indutores Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância. Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente, sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou 214 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO seja: V =L dI dt (11.12) Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, é possı́vel substituı́-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros cálculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutância equivalente, devemos levar em conta tanto os efeitos de auto-indução quanto de indutância mútua entre os componentes da associação. Faremos, como exemplo, a associação de dois indutores em série e dois indutores em paralelo. 11.7.1 Dois indutores em série Figura 11.22: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em série, a corrente é a mesma em todos os indutores. L dI dI dI dI dI dI = L1 + M + L2 + M = (L1 + L2 + 2M ) dt dt dt dt dt dt 11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES 215 Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se às auto-indutâncias de 1 e 2, respectivamente, já o segundo e o quarto termo referem-se às indutâncias mútuas. Segue então que: L = L1 + L2 + 2M 11.7.2 (11.13) Dois indutores em paralelo Figura 11.23: Exemplo de indutância mútua Em uma associação em paralelo, a diferença de potencial é a mesma para todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo: dI1 dI2 +M (11.14) dt dt dI2 dI1 V 2 = L2 +M (11.15) dt dt Multiplicando as duas equações pela constante de indutância mútua: V 1 = L1 dI1 dI2 + M2 dt dt dI2 dI1 V 2 M = L2 M + M2 dt dt Multiplicando agora a equação 11.14 por L2 e a 11.15 por L1 : V 1 M = L1 M (11.16) (11.17) 216 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO dI1 dI2 + M L2 dt dt dI2 dI1 V 2 L1 = L2 L1 + M L1 dt dt V 1 L2 = L1 L2 (11.18) (11.19) Mas, da associação em paralelo, temos que: V = V1 = V2 I = I1 + I2 Logo, subtraı́ndo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que: dI2 − M2 dt dI1 V (L2 − M ) = L1 L2 − M2 dt V (L1 − M ) = L1 L2 dI2 dt dI1 dt (11.20) (11.21) Somando as equações 11.20 e 11.21: � � dI V (L1 + L2 − 2M ) = L1 L2 − M 2 dt L= L1 L 2 − M 2 L1 + L2 − 2M (11.22) Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutância mútua, a associação de indutores é idêntica à associação de resistores. 11.8 Circuito R-L Considere o circuito da Figura 11.24, com as condições iniciais: 217 11.8. CIRCUITO R-L Figura 11.24: Circuito R-L t = 0 , I(t) = 0 V t = ∞ , I(t) = R A equação do circuito é: V − RI − L dI =0 dt (11.23) V L dI −I = R R dt t � �I(t) R dI − dt = L I − VR 0 0 � �I(t) V R ln I − = − t R 0 L R V V −Lt I(t) − = − R R 218 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO I(t) = � R V � 1 − e− L t R (11.24) Quanto maior for a indutância L do indutor no circuito, maior será o tempo para a corrente se aproximar da máxima Imax = V /R. Figura 11.25: Gráfico de corrente de um circuito R-L 11.9 Circuito L-C Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado com uma carga Q0 , ou seja, as condições iniciais: t = 0 , Q(t = 0) = Q0 t = 0 , I(t = 0) = 0 A equação do circuito é: Q dI −L =0 C dt Como o capacitor está descarregando, I = −dQ/dt, e portanto: (11.25) 219 11.9. CIRCUITO L-C Figura 11.26: Circuito L-C d2 Q 1 + Q=0 2 dt LC (11.26) Que é a equação de um oscilador harmônico, cuja solução é: Q(t) = Q0 cos(ωt) Onde: ω2 = I(t) = − Análise de energia: 1 LC dQ = ωQ0 sen(ωt) dt I 0 = Q0 ω (11.27) 220 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.27: Gráfico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C 1 Q2 UE = Ucapacitor = CV 2 = 2 2C Q2 UE = cos2 (ωt) 2C 1 L LQ20 ω 2 Q2 UB = Uindutor = LI 2 = I02 sin2 (ωt) = sen2 (ωt) = 0 sen2 (ωt) 2 2 2 2C Q2 U = UE + UC = 2C Figura 11.28: Energia em um circuito L-C 11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECÂNICO 11.10 Analogia com sistema mecânico Analogia com sistema mecânico massa-mola: d2 x K + x=0 dt2 M 1 2 K 2 U = mv + x 2 2 d2 Q 1 + Q=0 dt2 LC 1 1 2 U = LI 2 + Q 2 2C Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecânico. m L 1/k C x Q v = ẋ I = Q̇ mv 2 /2 LI 2 /2 kx2 Q2 2C 2 221 222 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO d2 x m 2 = −kx + mg dt x(t) = h + A cos(ω0 t) x(0) = h + A ẋ(0) = 0 dI Q + =V dt C q(t) = q1 + (q0 − q1 ) cos(ω0 t) q(0) = q0 q̇(0) = 0 Molas em série Capacitores em paralelo x = x1 + x2 = F � 1 K1 + Molas em paralelo 11.11 1 K2 L � q = ε(C1 + C2 ) Capacitores em série Circuito R-L-C Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga Q0 . A equação do circuito é: Q dI − RI − L = 0 C dt 223 11.11. CIRCUITO R-L-C Figura 11.30: Circuito R-L-C Fazendo I = − dQ : dt d2 Q R dQ Q + + =0 2 dt L dt LC (11.28) Com a condição inicial: Q(0) = Q0 O análogo mecânico à este circuito é o oscilador amortecido: d2 x dx + 2β + ω02 x = 0 dt2 dt (11.29) Cuja solução é dada por: x(t) = e −βt � � � � 2 2 2 2 A1 exp( β − ω0 t) + A2 exp(− β − ω0 t) A análise deve ser dividida em três casos: • ω02 > β: subcrı́tico • ω02 = β: crı́tico • ω02 < β: supercrı́tico (11.30) 224 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido. 11.11.1 Subcrı́tico ω12 = ω02 − β 2 , ω12 > 0 Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1 t) + A2 exp(−iω1 t)] A solução pode ser reescrita como: Q(t) = Ae−βt cos(ω1 t − δ) Que corresponde a uma oscilação de freqüência angular ω1 , com uma amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt . 11.11.2 Crı́tico Q(t) = (A + Bt)e−βt 11.11.3 Supercrı́tico Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2 t) + A2 exp(−ω2 t)] 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS 225 Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrı́tico. 11.12 Energia em Campos Magnéticos Vimos anteriormente que a energia elétrica podia ser escrita em termos do campo elétrico, o que nos fornecia a interpretação da energia armazenada no campo. Agora vejamos como seria a energia magnética em termos do campo. Sabemos que: φB = LI Por outro lado: φB = � � · d�s = B S Aplicando o Teorema de Stokes: � S � × A) � · d�s (∇ 226 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO � � × A) � · d�s = (∇ � � · d�l A Γ S φB = � � · d�l = LI A Γ A energia magnética é dada por: 1 I U = LI 2 = 2 2 � � · d�l A Γ � Sabendo que Id�l = Jdv: I U= 2 � � · J)dv � (A V � ×B � = µ0 J, � então: Mas ∇ 1 U= 2µ0 � � · (∇ � × B)dv � A V Utilizando a identidade: � · (A � × B) � = B � · (∇ � × A) � −A � · (∇ � × B) � ∇ � · (∇ � × B) � = B � · (∇ � × A) � −∇ � · (A � × B) � =B � ·B � −∇ � · (A � × B) � A Temos: U= 1 2µ0 � V � ·B �− B � V � · (A � × B)dv � ∇ 227 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS Aplicando o teorema da divergência: 1 U= 2µ0 � ·B �− 1 B 2µ0 � V � � × B)d� � s (A S Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto: 1 UB = 2µ0 � B 2 dv (11.31) R3 A densidade de energia do campo magnético é dado por: uB = B2 2µ0 (11.32) Note a similaridade das energias dos campos elétrico e magnético: 1 2 UE = UB = 1 2 � � V� V ρV dv ε = 2 � E 2 dv 3 � � 1 � � A · J dv = B 2 dv 2µ0 3 Exemplo 11.1. Cabo coaxial. Calcular a energia armazenada em uma seção de comprimento l. Resolução. Pela lei de Ampère, o campo magnético no cabo é dado por: 228 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO � � · d�l = µ0 I B B2πr = µ0 I µ0 I B = 2πr µ0 I θ̂ B = 2πr 0 ,a < r < b , r < a ou r > b A densidade de energia é dada por: u= B2 µ20 I 2 µ0 I 2 = = 2µ0 2µ0 4π 2 r2 8π 2 r2 A energia armazenada em um trecho será: 0 ≤ θ ≤ 2π ��� µ0 I 2 U = rdθdrdz, a ≤ r ≤ b 8µ0 π 2 r2 0≤z≤l � � �b µ0 I 2 1 µ0 I 2 b U = 2πl dr = l ln 2 8π r 4π a a Pelo método anterior, terı́amos que, primeiro, calcular a auto-indutância: 229 11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS φ = � � · d�s = B �� µ0 I drdz, 2πr � � � µ0 I b φ = l ln 2π a � � dφ µ0 l b L = = ln dI 2π a A energia armazenada será então: LI 2 2 � � µ0 I 2 b U = l ln 4π a U = a≤r≤b o≤z≤l 230 CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO