Capı́tulo 11
Lei da Indução
Com as experiências de Oersted, viu-se que correntes elétricas geram campos
magnéticos. Ficou então a seguinte dúvida: Pode o campo magnético gerar
corrente? Michael Faraday (1791-1867), um dos maiores fı́sicos experimentais, interessou-se em descobrir e estudar essa relação.
Em 1831, Faraday montou dois solenóides, com 70 metros de fio de cobre em cada. Os dois foram concatenados, mas um foi ligado à um gerador,
enquanto o outro foi conectado a um galvanômetro, como mostrado na Figura 11.1 .
Figura 11.1: Solenóides concatenados
195
196
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Notou-se quando uma corrente contı́nua passava pelo solenóide 1, o galvanômetro não acusava passagem de corrente. No entanto, sempre que a
chave era ligada ou desligada, surgia uma corrente no circuito 2. Isso levou Faraday a supor que a força eletromotriz no circuito 2 resultava de uma
variação do campo magnético no interior dos solenóides. Continuando seus
experimentos, ele construiu o circuito apresentado na Figura 11.2 .
Figura 11.2: Experimento de Faraday
Quando um ı́mã era aproximado ou afastado do solenóide, observava-se
uma deflexão do galvanômetro. Se o ı́mã permanecesse imóvel em relação ao
circuito, a deflexão era nula. Ainda nesse experimento, Faraday notou que a
área dos solenóides também influenciava na força eletromotriz induzida.
Suas descobertas podem ser sintetizadas em termos matemáticos da seguinte maneira:
�ind ∝
dB
dt
�ind ∝ A
Para melhor compreender esse fenômeno, precisamos definir o que é fluxo
magnético.
11.1
O Fluxo Magnético
Vimos que a força eletromotriz depende tanto da variação do campo magnético
� e a área
quanto da área dos solenóides. A grandeza que relaciona o vetor B
197
11.2. A LEI DE LENZ
S permeada por esse campo é denominada de fluxo magnético , e é definida
como:
� ·S
� = BS cos θ
φB = B
(11.1)
Até agora, tendo em vista as constatações de Faraday, podemos dizer que:
|�ind | =
dφB
dt
(11.2)
Substituı́ndo 11.1 em 11.2 :
dB
dA
dθ
A cos θ + B
− BA sen θ
(11.3)
dt
dt
dt
Percebe-se então que é possı́vel induzir corrente em uma espira imersa em
um campo magnético por meio dos seguintes métodos:
|�ind | =
• variando a intensidade do campo.
• variando a área como tempo
�eB
� com o tempo
• variando o ângulo entre os vetores A
Ainda podemos analisar o fenômeno da indução levando em conta a corrente induzida. Sabe-se que �ind = RIind , logo:
Iind
11.2
A Lei de Lenz
�
�
1 �� dφB ��
= �
R dt �
Vimos que a variação do fluxo magnético gera corrente elétrica em condutores. Mas o que determina o sentido da corrente induzida? Isso é explicado
pela Lei de Lenz:
A corrente induzida produz um campo magnético que tende
se opôr à variação do fluxo magnético que a gerou
198
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Considere o exemplo da Figura 11.3. Se o ı́mã aproxima-se da espira, o
fluxo magnético no interior desta aumentará, então deve surgir uma corrente
no sentido anti-horário para reduzir o fluxo. Caso o ı́ma afaste-se da espira, o
fluxo no interior desta diminuirá, logo, pela Lei de Lenz, surge uma corrente
no sentido horário.
Figura 11.3: Deflexão do galvanômetro
Se aplicarmos a Lei de Lenz na 11.2 , teremos a Lei de Faraday:
�ind = −
dφB
dt
(11.4)
O sinal negativo representa a resistência que o circuito apresenta à variação do fluxo magnético
É interessante notar que se fizermos a integral de linha do campo elétrico
na espira, teremos:
�
� · d�l = �ind
E
(11.5)
Γ
Ora, vimos na eletrostática que essa integral de linha deveria ser nula
sempre! Qual será a inconsistência?
Na verdade, não há inconsistência. Ocorre que o campo elétrico estudado
na eletrostática tem natureza diferente do campo elétrico induzido.
O campo elétrico oriundo de cargas elétricas sempre é conservativo, por
isso a integral de linha em um circuito fachado é nula. Mas, devido à equação
11.5, nota-se que o campo elétrico induzido pela variação de fluxo magnético
199
11.2. A LEI DE LENZ
não é conservativo. Por isso, é importante distinguir os dois tipos campos
elétricos.
Seguem alguns exemplos da aplicação da Lei de Lenz:
Exercı́cio 11.1. Suponha uma barra condutora, deslizando sem atrito sobre
um trilho condutor, em meio a um campo magnético perpendicular ao plano
dos trilhos, conforme mostrado na Figura 11.4 . Calcule: a força eletromotriz
induzida, a corrente induzida a força magnética e a velocidade da barra em
função do tempo.
Figura 11.4: Trilho magnético
• Força eletromotriz
Temos que o fluxo magnético na barra é dado por:
φB = BA = Blx
portanto a força eletromotriz é:
|�ind | =
dφB
dx
= Bl
= Blv
dt
dt
• Corrente induzida:
Iind =
�ind
Blv
=
R
R
• Força magnética:
Temos que a força em fios é dada por:
200
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
2 2
� = Iind Bl = B l v − î
F� = I�l × B
R
(11.6)
• Velocidade do fio:
Aplicando a segunda lei de Newton ao reultado da equação 11.6 :
m
dv
B 2 l2 v
=
dt
R
Resolvendo essa equação diferencial separável:
�
�
� v(t) dv
� t B 2 l2
v(t)
B 2 l2
=
−
dt
→
ln
=
−
t
v0
0
v
Rm
v0
Rm
B 2 l2 t/
Rm
v(t) = v0 e−
Vemos então que a força tende à frear à barra.
Exercı́cio 11.2. Considere um campo magnético uniforme que aponta pra
dentro da folha e está confinado numa região circular de raio R. Suponha que
� aumenta com o tempo. Calcule o campo elétrico induzido
a magnitude de B
em todo o espaço:
Figura 11.5: Campo magnético
Vimos que o campo elétrico induzido pode ser calculado por:
�
Γ
� ind · d�l = �ind = − dφB
E
dt
201
11.2. A LEI DE LENZ
Então precisaremos descrever curvas fechadas para calcular o campo elétrico
induzido. Pela simetria do problema, fazermos circunferências de raio r.
• Para r < R :
Figura 11.6: Curva para cálculo do campo induzido
Como a circunferência aborda apenas uma porção do campo, a variação
fluxo no seu interior será:
φB = Bπr2 →
dφB
dB 2
=
πr
dt
dt
Logo:
�
� ind · d�l = dB πr2
E
dt
Γ
Eind 2πr =
dB 2
dB r
πr → Eind =
dt
dt 2
• Para r > R :
Como a circunferência aborda todo o campo, a variação fluxo no seu
interior será:
φB = BπR2 →
Logo:
dφB
dB 2
=
πR
dt
dt
202
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.7: Curva para cálculo do campo induzido
�
� ind · d�l = dB πR2
E
dt
Γ
Eind 2πr =
dB 2
dB R2
πR → Eind =
dt
dt 2r
Sintetizando os resultados na forma de um gráfico;
Figura 11.8: Campo induzido vs distância
11.3
Geradores
As experiências de Faraday lançaram os princı́pios de funcionamento de motores elétricos e geradores de eletricidade.
� rotacionando
Considere uma espira imersa em um campo magnético B
θ
com uma velocidade angular constante ω = . Substiuı́ndo θ na equação
t
11.3 , temos que:
203
11.4. EFEITOS MECÂNICOS
|�ind | = ωBA sen ωt
Em termos de corrente induzida:
Iind =
ωBA
sen ωt
R
Calculando a potência gerada para N espiras:
P = I|εind | =
(N BAω sin(ωt))2
R
Observa-se que a bobina gerará corrente alternada. Para evitar isso,
empregam-se comutadores no circuito.
Isso que foi visto é o princı́pio de funcionamento de vários tipos de usinas
de geração de energia, como as hidrelétricas, termoelétricas, eólicas e nucleares. Todas elas envolvem a transferência de energia mecânica de um fluido
(água, vento) para a bobina, fazendo-a girar.
11.4
Efeitos Mecânicos
A indução magnética, quando aliada a outros fenômenos fı́sicos, pode resultar
em efeitos interessantes. Vejamos alguns exemplos
11.4.1
As correntes de Foucault
Considere uma chapa metálica e um pente metálico, inicialmente em movimento uniforme, entrando em cum campo magnético, conforme esquematizado na Figura 11.9 .
Experimentalmente, observa-se que o chapa metálica sobre uma redução
de velocidade mais acentuada que o pente. Por quê?
Isso ocorre pois, durante a imersão no campo magnético, a variação do
fluxo magnético no interior da chapa é maior do que no pente. Logo a corrente
204
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.9: Objetos aproximando-se de um campo magnético
induzida, a corrente de Foucault nesse caso, na chapa é superior. Mas a ação
do campo magnético sobre a corrente induzida gera uma força que tende a
frear o objeto, portanto a chapa sofre uma maior redução de velocidade.
Figura 11.10: Correntes de Foucault
Pode-se dizer também que as correntes de Foucault resultam em uma
maior dissipação por efeito Joule, aquecendo o material que imerge em um
campo magnético.
11.4.2
Atrito Magnético
Se uma espira condutora é solta em queda livre sobre um imã permanente, a
corrente induzida criará um dipolo magnético que tende a ser repelido pelo
imã, produzindo uma força de freamento da espira análoga a uma força de
atrito viscoso (ver Figura 11.11) .
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
205
Figura 11.11: Comportamento da espira em queda
11.4.3
Canhão Magnético
Considere um solenóide enrolado em um eixo isolante e, acoplado nesse
mesmo eixo, uma espira. Quando uma corrente passar pela espira, o fluxo
do campo magnético no interior da espira será alterado. A corrente induzida
fará com que a espira seja lançada no sentido oposto ao do solenóide.
Figura 11.12: Canhào Magnético
11.5
Indutância Mútua
Induntância mútua refere-se ao surgimento de uma corrente induzida em um
circuito em função da passagem de corrente elétrica em um outro circuito.
Considere duas espiras em repouso. Se aplicarmos uma corrente I1 na
dφ21
espira 1, ocorrerá uma variação do fluxo de campo magnético
na espira
dt
2, surgindo então uma força eletromotriz induzida �2 dada por:
206
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.13: Exemplo de indutância mútua
�2 = −
dφ21
dt
Mas a variação do fluxo do campo magnético depende de uma variação
de corrente na espira 1:
dφ21
dI1
∝
dt
dt
Então podemos substituir essa proporcionalidade por uma igualdade por
meio da definição da constante de indução mútua M21 1 :
dφ21
dI1
= M21
dt
dt
M21 =
dφ21
dI1
(11.7)
(11.8)
Experimentalmente, observa-se que a constante de indução mútua depende apenas da geometria das espiras e também da distância entre elas.
Neumann deduziu uma fórmula que permite determinar essa constante.
Temos que o fluxo do campo magnético pode ser calculado por:
1
[M21 ] = H(henry) =
T m2
A
207
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
φ21 =
� �
� · dS
�2 =
B
S2
� � �
S2
�
� ×A
� 1 · dS
�2
∇
Aplicando o Teorema de Stokes:
φ21 =
� � �
S2
�
�
�
�
�
� 1 · d�l2
∇ × A1 · dS2 = A
Γ2
Pela equação 10.45 :
φ21
µ0
=
I1
4π
φ21
µ0
=
dt
4π
� �
� �
d�l1 · d�l2
r
d�l1 · d�l2 dI1
r
dt
(11.9)
Comparando as equações 11.9 e 11.7 encontramos a Fórmula de Neumann:
M21
µ0
=
4π
� �
d�l1 · d�l2
r
(11.10)
Como podemos comutar os fatores da fórmula, conclui-se que:
M12 = M21 = M
Isso indica que, independentemente das formas e posições das espiras, o
fluxo através de 2 quando uma corrente I passa em 1 é idêntico ao fluxo
através de 1 quando a passamos a corrente I ao redor de 2.
No entanto, ainda é mais interessante calcular M por meio da equação
11.8 do que pela Fórmula de Neumann, como veremos nos exemplos a seguir.
Exercı́cio 11.3. Calcule a indutância mútua entre duas espirar coplanares
e concêntricas de raios R1 e R2 , com R1 >> R2 .
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em uma espira e a variação do fluxo magnético na
208
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.14: Espiras coplanares e concêntricas
outra espira.
Sabemos que a campo magnético no centro de uma espira circular é B =
µ0 I
. Como R1 >> R2 , pode-se considerar que o campo no interior da espira
2R1
2 é constante, logo o fluxo no seu interior será:
φ21 = BA =
µ0 I
πR2
2R1 2
Então temos que:
dφ21
µ0
=
πR2
dI
2R1 2
Logo a indutância mútua é:
M=
µ0
πR2
2R1 2
Exercı́cio 11.4. Calcule a indutância mútua entre dois solenóides concêntricos
de desnsidades de espiras n1 e n2 .
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em um solenóide e a variação do fluxo magnético no
outro.
Sabemos que a campo magnético no interior do solenóide 1 é B = µ0 In1 .
Como o campo no interior do solenóide 2 é constante, o fluxo no seu interior
será:
11.5. INDUTÂNCIA MÚTUA
209
Figura 11.15: Solenóides concêntricos
φ21 = BAn2 l = µ0 In1 n2 lπR22
Então temos que:
dφ21
= µ0 n1 n2 lπR22
dI
Logo a indutância mútua é:
M = µ0 n1 n2 lπR22
Exercı́cio 11.5. Calcule a indutância mútua entre dois toróides concatenados com N1 e N2 enrolamentos.
Figura 11.16: Toróides concatenados
Para calcular a indutância mútua, precisamos calcular uma relação entre
a variação de corrente em um toróide e a variação do fluxo magnético no
outro.
210
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
µ0 N1 I
Sabemos que a campo magnético no interior do toróide 1 é B =
.
2πr
Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
Figura 11.17: Elemento de área na seção do toróide
φ21 = N2
φ21 =
�
� 1 · d�s2 = N2
B
µ0 N1 N2 I 1
b
h ln( )I
2π
a
�b µ0 N1 I1
hdr
2πr
a
Então temos que:
dφ21
µ0 N1 N2
b
=
h ln( )
dI
2π
a
Logo a indutância mútua é:
M=
11.6
µ0 N1 N2
b
h ln( )
2π
a
Auto-Indutância
Considere novamente uma espira de N voltas pela qual passa uma corrente
I. Se ocorre alguma alteração na corrente, o fluxo através da espira varia
11.6. AUTO-INDUTÂNCIA
211
com o tempo, então, de acordo com a lei de Faraday, uma força eletromotriz
induzida surgirá para gerar um campo no sentido oposto à variação do fluxo
� inicial. Então podemos dizer que o próprio campo opõe-se a qualquer
de B
mudança da corrente, e assim temos o fenômeno da auto-indutância.
Figura 11.18: Efeitos da auto-indutância
Definimos matematicamente a auto-indutância L2 da seguinte maneira:
dφB
dφB dI
dI
=
=L
dt
dI dt
dt
dφB
L=
(11.11)
dI
Do mesmo modo que a indutância mútua, a auto indutância depende
apenas de fatores geométricos da espira em questão.
Exercı́cio 11.6. Calcule a auto-indutância de um solenóide.
Figura 11.19: Solenóide
Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação
2
[L] = H(henry)
212
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
de corrente no solenóide varia o fluxo magnético no interior do próprio solenóide.
Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B = µ0 In.
Como o campo no interior do solenóide é constante, o fluxo no seu interior
será:
φB = BAnl = µ0 In2 lπR2
Então temos que:
dφB
= µ0 n2 lπR2
dI
Logo a auto-indutância é:
L = µ0 n2 lπR2
Exercı́cio 11.7. Calcule a auto-indutância de um toróide de seção retangular.
Figura 11.20: Toróide
Para calcular a auto-indutância, precisamos calcular como uma variação
de corrente no toróide varia o fluxo magnético no interior do próprio toróide.
µ0 N I
Sabemos que a campo magnético no interior desse objeto é B =
.
2πr
Considerando que o campo no interior do toróide apresenta simetria cilı́ndrica,
o fluxo no seu interior deve ser calculado por meio a seguinte integral:
11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
213
Figura 11.21: Elemento de área na seção do toróide
φB = N
�
� · d�s =
B
�b
µ0 N 2 I
µ0 N 2 I
b
hdr =
h ln( )
2πr
2π
a
a
Então temos que:
dφ21
µ0 N 2
b
=
h ln( )
dI
2π
a
Logo a auto-indutância é:
L=
11.7
µ0 N 2
b
h ln( )
2π
a
Associação de Indutores
Indutores são componentes eletrônicos que apresentam elevada indutância.
Devido à Lei de Lenz, tais elementos evitam variações bruscas de corrente,
sendo essa uma das principais funções desempenhadas pelos indutores em
circuitos eletrônicos. Sabe-se que a diferença de potencial nos terminais de
um indutor tem a mesma magnitude da força eletromotriz induzida nele, ou
214
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
seja:
V =L
dI
dt
(11.12)
Quando um circuito apresenta mais de um indutor associado, é possı́vel
substituı́-los por um indutor equivalente, a fim de simplificar os futuros
cálculos relativos ao circuito. Mas para calcular a indutância equivalente, devemos levar em conta tanto os efeitos de auto-indução quanto de indutância
mútua entre os componentes da associação.
Faremos, como exemplo, a associação de dois indutores em série e dois
indutores em paralelo.
11.7.1
Dois indutores em série
Figura 11.22: Exemplo de indutância mútua
Em uma associação em série, a corrente é a mesma em todos os indutores.
L
dI
dI
dI
dI
dI
dI
= L1 + M
+ L2 + M
= (L1 + L2 + 2M )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
11.7. ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
215
Observe que o primeiro e o terceiro termo referem-se às auto-indutâncias
de 1 e 2, respectivamente, já o segundo e o quarto termo referem-se às indutâncias mútuas. Segue então que:
L = L1 + L2 + 2M
11.7.2
(11.13)
Dois indutores em paralelo
Figura 11.23: Exemplo de indutância mútua
Em uma associação em paralelo, a diferença de potencial é a mesma para
todos os indutores. Calculando a ddp para cada ramo:
dI1
dI2
+M
(11.14)
dt
dt
dI2
dI1
V 2 = L2
+M
(11.15)
dt
dt
Multiplicando as duas equações pela constante de indutância mútua:
V 1 = L1
dI1
dI2
+ M2
dt
dt
dI2
dI1
V 2 M = L2 M
+ M2
dt
dt
Multiplicando agora a equação 11.14 por L2 e a 11.15 por L1 :
V 1 M = L1 M
(11.16)
(11.17)
216
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
dI1
dI2
+ M L2
dt
dt
dI2
dI1
V 2 L1 = L2 L1
+ M L1
dt
dt
V 1 L2 = L1 L2
(11.18)
(11.19)
Mas, da associação em paralelo, temos que:
V = V1 = V2
I = I1 + I2
Logo, subtraı́ndo 11.16 de 11.19 e 11.17 de 11.18, encontramos que:
dI2
− M2
dt
dI1
V (L2 − M ) = L1 L2
− M2
dt
V (L1 − M ) = L1 L2
dI2
dt
dI1
dt
(11.20)
(11.21)
Somando as equações 11.20 e 11.21:
�
� dI
V (L1 + L2 − 2M ) = L1 L2 − M 2
dt
L=
L1 L 2 − M 2
L1 + L2 − 2M
(11.22)
Nota-se que, se desconsiderarmos os efeitos da indutância mútua, a associação de indutores é idêntica à associação de resistores.
11.8
Circuito R-L
Considere o circuito da Figura 11.24, com as condições iniciais:
217
11.8. CIRCUITO R-L
Figura 11.24: Circuito R-L
t = 0 , I(t) = 0
V
t = ∞ , I(t) =
R
A equação do circuito é:
V − RI − L
dI
=0
dt
(11.23)
V
L dI
−I =
R
R dt
t
�
�I(t)
R
dI
− dt =
L
I − VR
0
0
�
�I(t)
V
R
ln I −
= − t
R 0
L
R
V
V −Lt
I(t) −
= −
R
R
218
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
I(t) =
�
R
V �
1 − e− L t
R
(11.24)
Quanto maior for a indutância L do indutor no circuito, maior será o
tempo para a corrente se aproximar da máxima Imax = V /R.
Figura 11.25: Gráfico de corrente de um circuito R-L
11.9
Circuito L-C
Considere o circuito da Figura 11.26, com o capacitor inicialmente carregado
com uma carga Q0 , ou seja, as condições iniciais:
t = 0 , Q(t = 0) = Q0
t = 0 , I(t = 0) = 0
A equação do circuito é:
Q
dI
−L
=0
C
dt
Como o capacitor está descarregando, I = −dQ/dt, e portanto:
(11.25)
219
11.9. CIRCUITO L-C
Figura 11.26: Circuito L-C
d2 Q
1
+
Q=0
2
dt
LC
(11.26)
Que é a equação de um oscilador harmônico, cuja solução é:
Q(t) = Q0 cos(ωt)
Onde:
ω2 =
I(t) = −
Análise de energia:
1
LC
dQ
= ωQ0 sen(ωt)
dt
I 0 = Q0 ω
(11.27)
220
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.27: Gráfico de corrente e carga no capacitor em um circuito L-C
1
Q2
UE = Ucapacitor = CV 2 =
2
2C
Q2
UE =
cos2 (ωt)
2C
1
L
LQ20 ω 2
Q2
UB = Uindutor = LI 2 = I02 sin2 (ωt) =
sen2 (ωt) = 0 sen2 (ωt)
2
2
2
2C
Q2
U = UE + UC =
2C
Figura 11.28: Energia em um circuito L-C
11.10. ANALOGIA COM SISTEMA MECÂNICO
11.10
Analogia com sistema mecânico
Analogia com sistema mecânico massa-mola:
d2 x K
+ x=0
dt2
M
1 2 K 2
U = mv + x
2
2
d2 Q
1
+
Q=0
dt2
LC
1
1 2
U = LI 2 +
Q
2
2C
Figura 11.29: Analogia do circuito LC com sistema mecânico.
m
L
1/k
C
x
Q
v = ẋ
I = Q̇
mv 2 /2
LI 2 /2
kx2
Q2
2C
2
221
222
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
d2 x
m 2 = −kx + mg
dt
x(t) = h + A cos(ω0 t)
x(0) = h + A
ẋ(0) = 0
dI Q
+ =V
dt C
q(t) = q1 + (q0 − q1 ) cos(ω0 t)
q(0) = q0
q̇(0) = 0
Molas em série
Capacitores em paralelo
x = x1 + x2 = F
�
1
K1
+
Molas em paralelo
11.11
1
K2
L
�
q = ε(C1 + C2 )
Capacitores em série
Circuito R-L-C
Considere o circuito da Figura 11.30, com o capacitor inicialmente com carga
Q0 . A equação do circuito é:
Q
dI
− RI − L = 0
C
dt
223
11.11. CIRCUITO R-L-C
Figura 11.30: Circuito R-L-C
Fazendo I = − dQ
:
dt
d2 Q R dQ
Q
+
+
=0
2
dt
L dt
LC
(11.28)
Com a condição inicial: Q(0) = Q0
O análogo mecânico à este circuito é o oscilador amortecido:
d2 x
dx
+
2β
+ ω02 x = 0
dt2
dt
(11.29)
Cuja solução é dada por:
x(t) = e
−βt
�
�
�
�
2
2
2
2
A1 exp( β − ω0 t) + A2 exp(− β − ω0 t)
A análise deve ser dividida em três casos:
• ω02 > β: subcrı́tico
• ω02 = β: crı́tico
• ω02 < β: supercrı́tico
(11.30)
224
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
Figura 11.31: Comportamentos do oscilador amortecido.
11.11.1
Subcrı́tico
ω12 = ω02 − β 2 , ω12 > 0
Q(t) = e−βt [A1 exp(iω1 t) + A2 exp(−iω1 t)]
A solução pode ser reescrita como:
Q(t) = Ae−βt cos(ω1 t − δ)
Que corresponde a uma oscilação de freqüência angular ω1 , com uma
amplitude decrescente com o tempo de um fator e−βt .
11.11.2
Crı́tico
Q(t) = (A + Bt)e−βt
11.11.3
Supercrı́tico
Q(t) = e−βt [A1 exp(ω2 t) + A2 exp(−ω2 t)]
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
225
Figura 11.32: Oscilador amortecido subcrı́tico.
11.12
Energia em Campos Magnéticos
Vimos anteriormente que a energia elétrica podia ser escrita em termos do
campo elétrico, o que nos fornecia a interpretação da energia armazenada no
campo. Agora vejamos como seria a energia magnética em termos do campo.
Sabemos que:
φB = LI
Por outro lado:
φB =
�
� · d�s =
B
S
Aplicando o Teorema de Stokes:
�
S
� × A)
� · d�s
(∇
226
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
�
� × A)
� · d�s =
(∇
�
� · d�l
A
Γ
S
φB =
�
� · d�l = LI
A
Γ
A energia magnética é dada por:
1
I
U = LI 2 =
2
2
�
� · d�l
A
Γ
�
Sabendo que Id�l = Jdv:
I
U=
2
�
� · J)dv
�
(A
V
� ×B
� = µ0 J,
� então:
Mas ∇
1
U=
2µ0
�
� · (∇
� × B)dv
�
A
V
Utilizando a identidade:
� · (A
� × B)
� = B
� · (∇
� × A)
� −A
� · (∇
� × B)
�
∇
� · (∇
� × B)
� = B
� · (∇
� × A)
� −∇
� · (A
� × B)
� =B
� ·B
� −∇
� · (A
� × B)
�
A
Temos:
U=

1 
2µ0
�
V
� ·B
�−
B
�
V

� · (A
� × B)dv
�

∇
227
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
Aplicando o teorema da divergência:
1
U=
2µ0
� ·B
�− 1
B
2µ0
�
V
�
� × B)d�
� s
(A
S
Fazendo V → todo espaço, o segundo termo tende a zero, portanto:
1
UB =
2µ0
�
B 2 dv
(11.31)
R3
A densidade de energia do campo magnético é dado por:
uB =
B2
2µ0
(11.32)
Note a similaridade das energias dos campos elétrico e magnético:
1
2
UE =
UB =
1
2
�
� V�
V
ρV dv
ε
=
2
�
E 2 dv
3
�
�
1
�
�
A · J dv =
B 2 dv
2µ0
3
Exemplo 11.1. Cabo coaxial.
Calcular a energia armazenada em uma seção de comprimento l.
Resolução. Pela lei de Ampère, o campo magnético no cabo é dado por:
228
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO
�
� · d�l = µ0 I
B
B2πr = µ0 I
µ0 I
B =
2πr

 µ0 I θ̂
B = 2πr
0
,a < r < b
, r < a ou r > b
A densidade de energia é dada por:
u=
B2
µ20 I 2
µ0 I 2
=
=
2µ0
2µ0 4π 2 r2
8π 2 r2
A energia armazenada em um trecho será:


0 ≤ θ ≤ 2π

���

µ0 I 2
U =
rdθdrdz, a ≤ r ≤ b

8µ0 π 2 r2


0≤z≤l
� �
�b
µ0 I 2
1
µ0 I 2
b
U =
2πl
dr =
l ln
2
8π
r
4π
a
a
Pelo método anterior, terı́amos que, primeiro, calcular a auto-indutância:
229
11.12. ENERGIA EM CAMPOS MAGNÉTICOS
φ =
�
� · d�s =
B
��
µ0 I
drdz,
2πr
�
� �
µ0 I
b
φ =
l ln
2π
a
� �
dφ
µ0 l
b
L =
=
ln
dI
2π
a
A energia armazenada será então:
LI 2
2
� �
µ0 I 2
b
U =
l ln
4π
a
U =
a≤r≤b
o≤z≤l
230
CAPÍTULO 11. LEI DA INDUÇÃO