Simulado ITA
1. E m relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C:
I. Se A ∈ B e B ⊆ C então A ∈ C.
II. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ∈ C.
III. Se A ⊆ B e B ∈ C então A ⊆ C.
Estão corretas:
(A) nenhuma das alternativas
(B) somente a alternativa I
(C) somente as alternativas I e II
(D) somente as alternativas II e III
(E) todas as alternativas
2. Seja S o subconjunto de IR cujos elementos são todas as soluções de
⎧log 1 2x + 3 > log 1 4x − 1
⎪⎪ 3
3
.
5
⎨
(x + 4)
⎪
≤0
⎪⎩ (1 − 5x)3 5 3x 2 − x + 5
Podemos afirmar que S é um subconjunto de
(A) ]–∞, –5[ ∪ ]1, +∞[
(B) ]–∞, –3[ ∪ ]3, +∞[
(C) ]–∞, –5[ ∪ ]3, +∞[
(D) ]–∞, –3[ ∪ ]2, +∞[
(E) ]–∞, –2[ ∪ ]4, +∞[
3. O número complexo
1 − cos α
1 − 2 cos α + 2 sen α
+ i
,
sen α cos α
sen 2α
α ∈ ]0, π /2[ tem argumento π /4. Neste caso, α é igual a:
π
(A)
6
π
(B)
3
π
(C)
4
π
(D)
5
π
(E) .
9
z=
4. Seja A = ( 3 + i)2α , onde α é um número real, inteiro e positivo. Sendo A um número real, calcule o valor de α para
que as raízes da equação
(α + i)2x + (3 + i)2y = 0
sejam também reais.
(A) 1
(B) 10
(C) 12
(D) 4
(E) 3
5. Seja (a1, a2, ..., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q > 0. O produto de seus termos é
igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n – 1) primeiros termos é igual a 2 (1 + q) (1 + q2), então:
(A) a1 + q = 16
(B) a1 + q = 12
(C) a1 + q = 10
(D) a1 + q + n = 20
(E) a1 + q + n = 11.
6. Sejam f, g, h: R → R funções tais que a função composta
h o g o f:R → R
é a função identidade. Considere as afirmações:
I– A função h é sobrejetora.
II– Se xo ∈ R é tal que f(x0) = 0, então f(x) ≠ 0 para todo x ∈ R com x ≠ x0.
III– A equação h(x) = 0 tem solução em R.
Então:
(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
(C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
(D) Todas as afirmações são verdadeiras.
(E) Todas as afirmações são falsas.
7. Seja S o conjunto de todas as soluções da equação
sec ⎡⎢arctg
⎣
⎤
− arctg (1 − c x )⎥ =
1+ c
⎦
1
x
5
.
2
Então
(A) S = 0/
(B) S = R
(C) S ⊂ [1, 2]
(D) S ⊂ [–1, 1]
(E) S = [–1, 2[.
8. Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p(x + 2) – x2 – 2, para todo x ∈ R. Se –2 é uma raiz de p(x), então
o produto de todas as raízes de p(x) é:
(A) 36
(B) 18
(C) –36
(D) –18
(E) 1.
9. Sejam p1(x), p2(x) e p3(x) polinômios na variável real x de graus n1, n2 e n3, respectivamente, com n1 > n2 > n3.
Sabe-se que p1(x) e p2(x) são divisíveis por p3(x). Seja r(x) o resto da divisão de p1(x) por p2(x). Considere as afirmações:
(I) r(x) é divisível por p3(x).
1
(II) p1(x) - p2(x) é divisível por p3(x)
2
(III) p1(x) r(x) é divisível por [p3(x)]3.
Então:
(A) apenas (I) e (II) são verdadeiras.
(B) apenas (II) é verdadeira.
(C) apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(D) todas as afirmações são verdadeiras.
(E) todas as afirmações são falsas.
10. Considere o polinômio
P(x) = 2x + a2x2 + ... + anxn, cujos coeficientes
razão q > 0. Sabendo que –
2, a2, ..., an
formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica de
1
n 2 − q3
é uma raiz de P e que P(2) = 5 460, tem-se que o valor de
é igual a:
2
q4
5
4
3
(B)
2
7
(C)
4
11
(D)
6
15
(E) .
8
(A)
11. As raízes da equação 2x2 – x – 16 = 0 são r e s, (r > s). O valor da expressão
129
2
127
(B)
2
127
(C)
4
129
(D)
4
(A)
(E) impossível calcular.
r 2 − s4
,é
r 3 + r 2s + rs 2 + r 3
12. Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposição, 3 bolas desta urna, sendo α o número da
primeira bola, β o da segunda e λ o da terceira. Dada a equação quadrática αx2 + βx + λ = 0 , a alternativa que expressa a
probabilidade das raízes desta equação serem reais é
19
(A)
125
23
(B)
60
26
(C)
125
26
(D)
60
25
(E)
60
13. Considere as matrizes
⎛2 0 1⎞
⎜
⎟
e
B=
A = ⎜ 0 2 0⎟
⎜1 0 2⎟
⎝
⎠
Sejam λ 0, λ 1 e λ 2 as raízes da equação det(A – λ I3) = 0
λ 0 ≤ λ 1 ≤ λ 2. Considere as afirmações
(I) B = A – λ 0I3
(II) B = (A – λ 1I3)A
(III) B = A(A –– λ 2I3)
1⎞
⎛ −1 0
⎜
⎟
0
2
0⎟
−
⎜
⎜1
0 − 1⎟⎠
⎝
com
Então
(A) todas as afirmações são falsas.
(B) todas as afirmações são verdadeiras.
(C) apenas (I) é falsa.
(D) apenas (II) é falsa.
(E) apenas (III) é verdadeira.
14. Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais 2 x 1 nãonulas, tais que
AV = αV e AW = βW.
Se a, b ∈ R são tais que aV + bW é igual à matriz nula 2 x 1, então a + b vale
(A) 0
(B) 1
(C) –1
1
2
1
(E) – .
2
(D)
15. Para todo x ∈ IR, a expressão [cos(2x)]2 [sen(2x)]2sen x é igual a:
(A) 2-4[sen(2x) + sen(5x) + sen(7x)].
(B) 2-4[2sen x + sen(7x) – sen(9x)].
(C) 2-4[–sen(2x) + sen(3x) + sen(7x)].
(D) 2-4[–sen x + 2sen(5x) – sen(9x)].
(E) 2-4[sen x + 2sen(3x) + sen(5x)].
16. Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que B̂ e Ĉ são, respectivamente, os ângulos opostos aos lado b e
c, o valor de
tg B̂
é
tg Ĉ
(A)
(B)
(C)
(D)
a 2 − b 2 + c 2c
a 2 + b2 − c2b
a 2 + b2 − c2
a 2 − b2 + c2
a 2 − b2 + c2
a 2 + b2 − c2
a 2 + b 2 − c 2c
a 2 − b2 + c2b
b
(E)
c
17. Seja m ∈ R *+ tal que a reta, x – 3y – m = 0 determina, na circunferência
(x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 25,
u ma cord a d e co mpr ime n to 6. O va lor d e m é
(A) 10 + 4 10
(B) 2 +
3
(C) 5 – 2
(D) 6 +
(E) 3.
10
18. Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360π cm3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está
inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da
pirâmide é de 54 3 cm2, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm2,
(A) 18 427
(B) 27 427
(C) 36 427
(D) 108 3
(E) 45 427 .
19. Pelo ponto C : (4, –4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x – 4)2 + 2 nos pontos A e B. A distância
do ponto C à reta determinada por A e B é:
(A) 6 12
(B) 12
(C) 12
(D) 8
(E) 6.
20. Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2cm. Sejam α e β , respectivamente, os ângulos opostos
aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm2) igual a
(A) 2sen2 α cotg β + sen2 α
(B) 2sen2 α tg β –sen2 α
(C) 2cos2 α cotg β + sen2 α
(D) 2cos2 α tg β + sen2 α
(E) 2sen2 α tg β – cos2 α .
21. Em uma pesquisa realizada entre 500 pessoas foram obtidos os seguintes dados:
200 pessoas gostam de música clássica;
400 pessoas gostam de música popular;
75 pessoas gostam de música clássica e de música popular.
Verifique a consistência ou inconsistência dos dados desta pesquisa.
22. Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os
quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo.
Quando n Æ ∞, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:
23. Considere uma função
L : IR+ Æ IR
que satisfaz:
1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 < x < y tem-se L(x) < L(y);
2. L(x . y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0.
Mostre que:
a) L(1) = 0;
b) L(1/x) = - L(x) para todo x > 0;
c) L(x/y) = L(x) – L(y) para quaisquer x, y > 0;
d) L(xn) = nL(x) para todo x > 0 e natural n;
e) L
( x ) = n1 L(x) para todo x > 0 e natural n;
n
f) L(x) < 0 < L(y)
sempre que 0 < x < 1 < y.
24. Seja f : IR Æ IR bijetora e par. Mostre que a função inversa f –1 : IR Æ IR também é par.
25. O polinômio de grau 4
(a + 2b + c)x4 + (a + b + c)x3 – (a – b)x2 + (2a – b + c)x + 2(a + c),
com a, b, c ∈ IR, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a?
26. Sejam A e B eventos de um mesmo experimento aleatório de Espaço Amostral Ω . Prove que:
P ( A ∪ B) = P ( A ) + P ( B) − P ( A ∩ B)
27. A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2 π [ que tornam o sistema
⎧x + y + z = 0
⎪
⎨x sen a + y cos a + z (2 sen a + cos a ) = 0
⎪
2
2
2
⎩x sen a + y cos a + z(1 + 3 sen a + 2 sen 2a ) = 0
possível e indeterminado é:
28. A soma das raízes da equação
3 tg x -
3 sen 2x + cos 2x = 0,
que pertencem ao intervalo [0, 2 π ], é:
29.
y
y=
−x
y=x
3
x
x2 + y 2 = 1
A área da região hachurada na figura acima é igual a:
x2 + y 2 = 4
30. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em
uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão
igual a:
πr 3
πr 3
. Se o volume da menor cunha for igual a
, então n é
45
18
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
B
C
A
C
E
D
D
C
D
C
A
C
E
A
B
B
A
A
C
A
O Problema é impossível
8
Demonstração
Demonstração
25. 2 + 2 2
26. Demonstração
27. 5π
16π
28.
3
7π
29.
8
30. 6