Este desafio pode ser resolvido por tentativas, mas é preciso alguma sorte para descobrir a
solução ao fim de poucas tentativas erradas. Se pensarmos um pouco antes de começarmos a
experimentar os números de 1 a 12 podemos chegar a alguns resultados importantes que
nos ajudarão a solucionar o problema.
Comecemos por determinar a soma de cada uma das três filas. A soma dos números inteiros
de 1 a 12 é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78. Como nenhum número vai
ser contado duas vezes, então a soma dos números de cada fila é igual a 78 ÷ 3 = 26.
Podemos pensar em 26 como sendo a soma de 13 com 13. Assim, se somarmos os números
dois a dois para obter soma 13, podemos formar seis pares, tal como mostra o esquema
seguinte:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13
Se agruparmos os seis pares do esquema anterior em grupos de dois (para formar uma fila
de quatro números) obtemos soma 26 em cada grupo. Desta forma podemos formar quinze
soluções diferentes. As figuras seguintes representam quatro dessas soluções.
Agora vejamos. Os números de cada fila são independentes dos números das outras filas.
Por isso, se os trocarmos com os restantes números dessa fila obtemos sempre a mesma
soma. Podemos fazer isto de 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas diferentes em cada fila. Para as três
filas temos 24 × 24 × 24 = 13 824 formas diferentes de permutar os quatro números pelas
três filas. Para as quinze estrelas temos 15 × 13 824 = 207 360 formas de distribuir os 12
números. Trocando a ordem das filas existem ainda duas formas diferentes de apresentar as
três cores, por isso temos 2 × 207 360 = 414 720 soluções possíveis.
Estas são todas soluções diferentes, mas se multiplicarmos este número pelas 5 possíveis
rotações de cada solução obtemos 5 × 414 720 = 2 073 600 soluções aparentemente
diferentes.
Como vês, uma estratégia pensada e bem estruturada não só ajuda a resolver o problema
como também ajuda a descobrir várias soluções. Resolvem-se grandes problemas resolvendo
as pequenas etapas que o compõem.
Quem diria que um problema, que parecia tão complicado, poderia ter tantas soluções?
Afinal esta é mesmo uma estrela mágica!
Desafios do PENTAGRIX é uma actividade do grupo 500 destinada a todos os alunos do 3º ciclo da Escola EB2,3/S de Arcos de Valdevez
Mas o problema não está fechado. Ainda existem mais soluções.
A soma 26 também pode ser obtido a partir da soma de 12 com 14, tal como mostra o
esquema:
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
12
Agora podemos obter algumas soluções diferentes das anteriores (embora haja muitas
repetidas), por exemplo:
Seguindo este processo podemos obter outras soluções diferentes das já encontradas.
Vejamos outras alternativas.
Usando três dos números até 6 na mesma fila, só com 4 + 5 + 6 + 11 conseguimos fazer 26.
Assim, os restantes números podem ser juntos da forma 1 + 3 + 10 + 12 e 2 + 7 + 8 + 9 para
obter 26, conforme mostra a estrela seguinte.
Podemos pensar em descobrir alguma solução em que uma fila tenha quatro números
consecutivos.
Basta resolver a equação n + (n + 1) + (n + 2 ) + (n + 3 ) = 26 ⇔ … ⇔ n = 5
Assim, nessa fila teríamos 5 + 6 + 7 + 8 = 26 . As outras poderiam ser 1 + 2 + 11 + 12 = 26 e
3 + 4 + 9 + 10 = 26 . Mas também podemos ter 5 + 6 + 7 + 8 = 26 , 1 + 3 + 10 + 12 = 26 e
2 + 4 + 9 + 11 = 26 .
Desafios do PENTAGRIX é uma actividade do grupo 500 destinada a todos os alunos do 3º ciclo da Escola EB2,3/S de Arcos de Valdevez