Gestão de Operações II
Teoria das Filas
Prof Marcio Cardoso Machado
Filas
O que é uma fila de espera?
É um ou mais clientes esperando pelo
atendimento
O que são clientes?
Pessoas (ex.: caixas de supermercado,
exames laboratoriais, etc.)
Objetos (ex.: máquinas precisando de
manutenção, pedidos de venda esperando por
transporte, ou itens de estoque esperando para
serem usados)
Filas
Por que se formam filas de espera:
Uma fila se forma em função de um
desequilíbrio temporário entre a demanda por
serviço e a capacidade do sistema de fornecer
o serviço,
A demanda é variada, os clientes chegam em
intervalos inconstantes,
A taxa de fornecimento do serviço também
varia.
Exemplo
Suponha que em um banco os clientes
cheguem a uma taxa média de 15 por
hora ao longo do dia e que o banco possa
processar 20 clientes por hora.
Porque uma fila de espera se formaria?
Resposta
A taxa de chegada dos clientes varia ao
longo do dia e o tempo necessário para
atender o cliente também pode variar
Por exemplo
Durante uma hora, a partir do meio dia,
podem chegar 30 clientes ao banco.
Filas de Espera
Filas de espera podem surgir até mesmo
quando o tempo para atender a um cliente
for constante.
Exemplo
Suponha que em uma linha de trem cada
trem seja programado para chegar a uma
estação a cada 15 minutos.
Filas de Espera
Portanto, quando a capacidade é suficiente,
o que determina os tamanhos das filas é a
variabilidade das taxas de demanda e
serviço
O que é Teoria das Filas
Ramo da probabilidade que estuda o
fenômeno da formação de filas de espera
na solicitação de serviços
Uma ferramenta para estimar medidas de
desempenho de um sistema a partir de
propriedades mensuráveis das filas
Consequentemente evitar desperdícios e
gargalos
Para que a Teoria das Filas
Fornecer modelos para o comportamento
de sistemas que oferecem para demandas
com taxas de demandas aleatórias
Utilizadas para modelar sistemas onde:
Clientes chegam para ser atendidos
Esperam sua vez para serem atendidos
São atendidos e vão embora
Uso da Teoria das Filas de Espera
Empresas prestadoras de serviço
Parque de diversões,
Banco
Laboratório clínico
Oficina de automóveis
Empresas manufatureiras (materiais
esperando para serem processados)
Situações de Filas Comuns
Situação
Chegadas na Fila
Processo de Serviço
Supermercado
Compradores
Checkout
Cabine de pedágio
Automóveis
Cobrança
Consultório Médico
Pacientes
Tratamento
Sistema de
Computadores
Programas a serem
rodados
Processamento
Companhia
Telefônica
Usuário
Equipamentos de comutação
Banco
Cliente
Transações no caixa
Manutenção de
Máquinas
Máquinas com
defeito
Reparo de máquinas
Porto
Navios
Carga e descarga
Resultados possíveis
Tempo de espera de um cliente
Quanto tempo um cliente espera no banco
Quanto tempo um pacote passa pelo roteador
Acúmulo de clientes na fila
Qual o tamanho médio da fila do banco
Como a fila do roteador se comporta
Tempo ocioso/ocupado dos servidores
Quanto tempo o caixa fica livre
Qual a utilização do roteador
Taxa de Saída
Quantos clientes são atendidos por hora
Quantos pacotes são encaminhados por segundo
O Problema
Estrutura dos problemas de filas de
espera
Cada situação específica terá características
diferentes, contudo quatro elementos são
comuns em todas as situações
1. Um input, ou população de clientes, que
gera clientes potenciais.
2. Uma fila de espera de clientes.
O Problema
3. O posto de serviço, consistindo em um
pessoa (ou equipe), uma máquina (ou grupo
de máquinas) ou ambos, necessários para
executar o serviço para o cliente.
4. Uma regra de prioridade, que seleciona o
próximo cliente a ser atendido pela instalação
de serviço.
População de Clientes
É a fonte de entrada do sistema de
serviço.
Fonte finita: quando o número potencial de
novos cliente é consideravelmente afetado pelo
número de clientes que já estão no sistema.
Fonte infinita: quando o número de clientes no
sistema não afeta a taxa na qual a população
gera novos clientes
População de Clientes
Clientes pacientes e impacientes.
Pacientes: aqueles que aguardam até serem
atendidos.
Impacientes: aqueles que não entram no
sistema (recusam-se a entrar) ou deixam o
sistema antes de ser atendido (desiste).
Para efeito
efeitode
desimplificação,
simplificação, no
nocontexto
contexto
Para
dessadisciplina,
disciplina, consideraremos
consideraremos todos
todosos
os
dessa
clientes pacientes
pacientes
clientes
Modelo de filas de espera
População de Clientes
Fila de Espera
Instalação
de Serviço
Clientes
atendidos
Regra de
Prioridade
Elementos da Fila
Populaç
População
de carros
sujos
Posto de
Serviç
Serviço
Fila de Espera
Saí
Saída
do
sistema
Lavadora
Chegada …
Entrada
Chegada ao Sistema
Caracterí
Características da Chegada
Tamanho da Populaç
População
Comportamento
Distribuiç
Distribuição Estatí
Estatística
Sistema
Caracterí
Características da
Fila de Espera
Finita vs.
vs. Infinita
Disciplina
Saí
Saída
Saí
Saída do Sistema
Caracterí
Características do Serviç
Serviço
Projeto do Serviç
Serviço
Distribuiç
Distribuição Estatí
Estatística
do Serviç
Serviço
O Sistema de Serviço
Número de Filas: as filas espera podem
ser projetadas para ser uma fila única ou
filas múltiplas.
Fila única: Ex.: Guichê de companhia aérea.
Fila múltipla Ex.: Oficina mecânica (fila para
troca de pneu e fila para troca de escapamento)
Projetos do Sistema de Serviço
Consultó
Consultório de Dentista
Fila
Posto
de
Serviço
Chegada
Saí
Saída
depois do
serviç
serviço
Canal único, Sistema de fase simples
DriveDrive-through do McDonald’
McDonald’s com guichê duplo
Fila
Chegada
Posto de
Serviço
Fase 1
Posto de
Serviço
Fase 2
Canal único, Sistema multifases
Saí
Saída
depois do
serviç
serviço
Projetos do Sistema de Serviço
Bancos e Correios
Posto de
Serviço
Canal 1
Fila
Posto de
Serviço
Canal 2
Chegada
Saí
Saída
depois
do serviç
serviço
Posto de
Serviço
Canal 3
Multicanal, Sistema de fase simples
Projetos do Sistema de Serviço
Serviç
Serviço de Atendimento ao Aluno
Fila
Chegada
Fase 1
Posto de
Serviço
Canal 1
Fase 2
Posto de
Serviço
Canal 1
Fase 1
Posto de
Serviço
Canal 2
Fase 2
Posto de
Serviço
Canal 2
Multicanal, Sistema multifases
Saí
Saída
depois do
serviç
serviço
Regras de Prioridade
(Disciplina de Atendimento)
Determina qual o próximo cliente será
atendido.
Exemplos:
FCFS: o primeiro a chegar é o primeiro a ser
atendido (regra mais comum).
LCFS: o último a chegar é o primeiro a ser
atendido
Data de vencimento mais antiga.
Menor tempo de processamento.
Distribuição de Probabilidades
As causas de variação nos problemas de
fila advêm das chegadas aleatórias dos
clientes a das variações nos tempos de
serviço.
Cada uma dessas causas pode ser
descrita com uma distribuição de
probabilidades.
Distribuição de Probabilidades
Distribuição de chegada:
Descritas por uma distribuição de Poisson, que
especifica a probabilidade que n clientes cheguem em
período de tempo T:
Pn =
Onde
(λT )n ⋅ e −λT para
n!
n = 0,1,2,...
Pn = probabilidade de n chegadas em período de tempo T
λ = número médio de chegadas de clientes por período
e = 2,7183
Distribuição de Chegada
Exemplo:
A gerência está reprojetando o processo de
atendimento ao cliente de uma grande loja de
departamentos. É importante acomodar quatro clientes.
Os clientes chegam ao balcão à taxa de dois clientes
por hora. Qual a probabilidade de que quatro clientes
cheguem durante uma hora?
Distribuição de Chegada
Solução:
Nesse caso, λ = a dois clientes por hora, T = uma hora
e n = quatro clientes. A probabilidade de que quatro
clientes cheguem a qualquer hora é:
P4 =
(2(1))4 ⋅ e −2(1) = 16 ⋅ e −2 = 0,090
4!
24
ou 9,02%
Distribuição de Chegada
Exercícios:
1. O Corpo de Bombeiros de uma determinada cidade
recebe, em média, 3 chamadas por dia. Qual a
probabilidade de receber:
a) 4 chamadas num dia?
Resposta: 0,1680 ou 16,80%
b) Nenhuma chamada em um dia?
Resposta: 0,0498 ou 4,98%
c) 20 chamadas em uma semana?
Resposta: 0,0867 ou 8,67%
Distribuição de Chegada
Exercícios:
2. Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média
de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste
PABX não receber nenhuma chamada durante um
intervalo de 1 minuto?
Resposta: 0,0067 ou 0,67%
Distribuição de Chegada
Ponto de decisão:
O gerente do balcão de atendimento ao cliente pode
usar essa informação para determinar os requisitos de
espaço para área de balcão e área de espera. Há uma
probabilidade relativamente pequena de que quatro
clientes cheguem a qualquer hora. Consequentemente,
a capacidade de assentos para dois ou três clientes
seria mais adequada, a menos que o tempo para tender
cada cliente seja longo. Justifica-se análise adicional
dos tempos de atendimento.
Cálculo da Distribuição do
Tempo de Atendimento
Distribuição do tempo de atendimento:
A distribuição exponencial descreve a probabilidade de que o
tempo de atendimento ao cliente em uma instalação
específica não seja maior que períodos de tempo T:
P(t ≤ T ) = 1 − e − µT
Onde
t = tempo de atendimento ao cliente
T = Meta de tempo de atendimento
µ = número médio de clientes que concluem o atendimento por
período
Cálculo da Distribuição do Tempo de
Atendimento
Exercício:
1. A administração de uma grande loja de
departamentos. Precisa determinar se é necessário
mais treinamento para o funcionário de atendimento
aos clientes. O encarregado desse serviço pode
atender uma média de três clientes por hora. Qual é a
probabilidade de que um cliente precise menos de 20
minutos?
Cálculo da Distribuição do Tempo de
Atendimento
Probabilidade do tempo de atendimento:
P(t ≤ 0,167 ) = 1 − e −3( 0,333) = 1 − 0,61 = 0,63
Ponto de Decisão: A probabilidade do atendimento ocorrer
em menos de vinte minutos não é muito elevada, o que abre a
possibilidade de os clientes poderem passar por atrasos. A
administração deve considerar treinamento adicional para o
funcionário.
Cálculo da Distribuição do Tempo de
Atendimento
Exercício:
1. Considerando os dados do exercício anterior. Qual é
a probabilidade de que um cliente precise menos de
10 minutos?
Cálculo da Distribuição do Tempo de
Atendimento
Probabilidade do tempo de atendimento:
P(t ≤ 0,167 ) = 1 − e −3( 0,167 ) = 1 − 0,61 = 0,39
Ponto de Decisão: A probabilidade do atendimento ocorrer
em menos de dez minutos é baixa.
Distribuição do Tempo de
Atendimento
Exercícios:
1. No Serviço de Atendimento ao Aluno, o funcinário
atende em média de 12 alunos por dia. Considerando
um dia de 6 horas, determinar qual a probabilidade do
atendimento :
a) ocorrer em menos de 25 minutos?
Resposta: 0,5654 ou 56,54%
b) ocorrer em menos de 20 minutos
Resposta: 0,4866 ou 48,66%
c) ocorrer em menos de 15 minutos?
Resposta: 0,3935 ou 39,35%
Utilização de Modelos de Fila de
Espera para Análise de Operações
Extensão da Fila (Quantidade de Clientes)
Número de Clientes no sistema
Tempo de Espera na Fila
Tempo Total no Sistema
Utilização das Instalações de Serviço
Modelo de Canal Único M/M/1
Fila
Chegada
Posto
de
Serviço
Saí
Saída
depois do
serviç
serviço
Modelo de Canal Único
Hipóteses:
A população de clientes é infinita e todos os clientes
são pacientes
O clientes chegam de acordo com uma distribuição
de Poisson, apresentando uma média de chegada
.
A distribuição de atendimento é exponencial com
uma taxa de serviço µ.
Os cliente são atendidos em função de sua chegada
FCFS.
O comprimento da fila de espera é ilimitado.
λ
Modelo de Canal Único M/M/1
Modelo de Canal Único M/M/1
Modelo de Canal Único M/M/1
Exemplo
A gerente de uma mercearia na afastada
comunidade de Sunnyville está
interessada em oferecer bom atendimento
a todos os idosos. Em média 30 idosos
por hora chegam ao caixa, de acordo com
uma distribuição de Poisson, e são
atendidos a uma taxa média de 35
clientes por hora, com tempos
exponenciais. Encontre as seguintes
características operacionais:
Exemplo
a. Probabilidade de zero cliente no sistema;
b. Utilização média do funcionário do caixa;
c. Número médio de clientes no sistema;
d. Número médio de clientes na fila;
e. Tempo médio gasto no sistema;
f. Tempo médio de espera na fila.
Respostas do Exemplo
a. 0,1429 ou 14,29%
b. 0,8571 ou 85,71%
c. 6 clientes
d. 5,14
e. 0,2 h ou 12 min
f. 0,1714 h ou 10,29 min
Exercício
A gerente de Sunnyville do exemplo anterior
quer responder às seguintes perguntas:
Que taxa de serviço seria necessária para que os
clientes gastem em média apenas oito minutos do
sistema?
Para essa taxa de atendimento, qual é a
probabilidade de haver mais de quatro clientes no
sistema?
Qual a taxa de atendimento necessária para que se
tenha apenas uma chance de 10 por cento de haver
mais de quatro clientes no sistema?
Respostas
a. 37,5 cliente por hora;
b. 0,328 ou 33%;
c. µ = 47,62 clientes / h.
Bibliografia
KRAJEWSKI, L.J.; RITZMAN,
L.P; MALHOTRA, M.K. Administração da
Produção e Operações. Pearson Prentice
Hall, São Paulo, 8ª Ed. 2008.