2a Lista de Exercícios
MA553/2o Semestre/2011
¯
1. a) Dado 1 < n ∈ N. Mostre
que: se 1 < n ∈ N e n é número composto então existe um número primo p
√
tal que p divide n e p ≤ n.
b) Encontre todos os números primos que são menores que 200.
2. Sejam m ∈ N e n = 2m + 1. Mostre que:
a) Se m é impar então 3|n.
b) Se n é primo então m é uma potência de 2 (ie, m = 2k para algum k ∈ N).
c) Se n − 2 = 2m − 1 é primo então m tb é primo.
(Sugestão: para a) n ≡? (mod 3). Para b) e c) use a igualdade αs − β s = (α − β)(αs−1 + αs−2 β + · · · +
αβ s−2 + β s−1 ), onde α, β ∈ R e s ∈ N)
3. Dado n ∈ N.
a) Quais os possíveis restos da divisão de 2n por 7.
b) Mostre que o resto da divisão de 2n por 17 nunca é 7.
c) Quais os possíveis algarismos da unidade de 3n ?
4. a) Qual o algarismo da unidade de 2400 ?
b) Prove que: se n = 11m , com m ∈ N então o algarismo da dezena de n é o algarismo da unidade de m.
c) Calcule o algarismo da dezena de 1113357 .
5. Dado n ∈ Z prove que as únicas possibilidades para o algarismo da unidade de:
a) n2 são 0, 1, 4, 5, 6 e 9
b) n4 são 0, 1, 5 e 6
6.a) Dados m, a ∈ N, 1 ≤ a < m então a2 ≡m (m − a)2 .
b) Prove que 19 não divide 4n2 + 4 qualquer que seja o número natural n.
7. Mostre que as seguintes equações não tem solução inteiras.
a) 43X 2 = 7Y + 6
b) X 2 − 7Y 2 = 7Z + 5
c) 23X 2 + 33Y 2 = 22Z 2 + 10
8. Dado o número n = 567.
a) Escreva n na base 7
b) Escreva n na base 2.
9.Dado n ∈ N. A partir da expansão de n na base 8, ie, escrevendo n = [as as−1 · · · a1 a0 ]8
com 0 ≤ ai < 8 e as 6= 0. Descreva o critério da divisão de tal número por 7.
10. Dado n ∈ N, mostre que 11 divide 102n+1 + 3.210n+2 .
11. Prove que 51 n5 + 13 n3 +
7
15 n
é inteiro qualquer que seja n ∈ Z.
12. Mostre que:
a) Se n ∈ N tem todos os seus m algarismos, m > 1, iguais a 1 e n é primo então m também é primo.
b) Se n ∈ N é número composto com n > 4 então (n − 1)! ≡ 0 (mod n).
13. a) Mostre que se p é primo então p | ((p − 2)! − 1).
14. Mostre que:
a) Se A = (aij ) e B = (bij ) são duas matrizes n × n com entradas inteiras e aij ≡m bij , ∀ i, j
então det(A) ≡m det(B).
b) Se



a = det 


4771
6420
9712
8154
2158
1452
8056
2574
2701
7602
8404
7312
4612
6007
5995
então a 6= 0 e 3 divide a.
1
3275
2265
4321
2147
2327
9163
3639
7196
7465
8882





