CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
Cinemática
Isabelle Araújo – Engenharia de Produção
Myllena Barros – Engenharia de Produção
Cinemática
Na cinemática vamos estudar os movimentos sem
levar em consideração suas causas.
Isso quer dizer que vamos determinar a posição, a
velocidade e a aceleração de um corpo em cada
instante, sem nos preocuparmos com suas causas.
2/67
Conceitos de Movimento
• Referencial: Corpo de referência para ver se outro
corpo está ou não em movimento;
• Ponto Material: Todo corpo cujas as dimensões
não interferem no estudo. (depende do referencial)
• Corpo Extenso: Não pode ter massa desprezada.
(não depende do referencial)
3/67
Conceitos de Movimento
• Movimento: Distância entre o corpo e o
referencial varia com o tempo.
• Repouso: Distância entre o corpo e o referencial
não varia com o tempo.
• Trajetória:
Linha
determinada,
caminho
percorrido por um corpo ao decorrer do tempo.
4/67
Conceitos de Movimento
• Posição Escalar: Distância do corpo até a origem
das posições.
• Espaço percorrido: Todo o caminho percorrido.
• Deslocamento: Distância entre dois objetos.
5/67
Praticando...
Leia com atenção a tira da Turma da Mônica
mostrada a seguir e analise as afirmativas que se
seguem, considerando os princípios da Mecânica
Clássica.
6/67
Praticando...
I. Cascão encontra-se em movimento em relação ao skate e também
em relação ao amigo Cebolinha.
II. Cascão encontra-se em repouso em relação ao skate, mas em
movimento em relação ao amigo Cebolinha.
III. Em relação a um referencial fixo fora da Terra, Cascão jamais
pode estar em repouso.
Estão corretas:
a) apenas I
b) I e II
c) I e III
d) II e III
e) I, II e III
7/67
Deslocamento Escalar
É a diferença entre espaço final (𝑆𝑓 ) e o espaço
inicial (𝑆𝑖 ) do móvel.
Digite a equação aqui.
∆𝑠= 𝑆𝑓 − 𝑆𝑖
8/67
Distância Percorrida
É a soma de todos os deslocamentos.
𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2
9/67
Praticando...
Um móvel parte do km 50, indo até o km 60, onde,
mudando o sentido do movimento, vai até o km 32.
O deslocamento escalar e a Distância efetivamente
percorrida são, respectivamente:
a) 28 km e 28 km
b) 18 km e 38 km
c) -18 km e 38 km
d) 18 km e 18 km
e) 38 km e 18 km
10/67
Velocidade Escalar Média
É a razão entre o deslocamento ( ∆𝑠 )
correspondente intervalo de tempo ( ∆𝑡 ):
𝑉𝑚 =
e o
∆𝑠
∆𝑡
11/67
Praticando...
Maria saiu de Mosqueiro às 6 horas e 30 minutos,
de um ponto da estrada onde o marco quilométrico
indicava km 60. Ela chegou a Belém às 7 horas e 15
minutos, onde o marco quilométrico da estrada
indicava km 0. A velocidade média, em quilômetros
por hora, do carro de Maria, em sua viagem de
Mosqueiro até Belém, foi de:
a) 45
b) 55
c) 60
d) 80
e) 120
12/67
Aceleração Escalar Média
É a razão entre a variação da velocidade escalar
instantânea (∆𝑣 ) e o correspondente intervalo de
tempo (∆𝑡 ).
𝐴𝑚 =
∆𝑣
∆𝑡
13/67
Praticando...
Um carro de corrida é acelerado de forma que sua
velocidade em função do tempo é dada conforme a
tabela.
Determine o valor da aceleração média
desse carro.
R: 6,66 m/s²
14/67
15/67
Movimento Vertical
QUEDA LIVRE
No vácuo, todos os corpos soltos
simultaneamente de uma mesma
altura chegam ao solo ao mesmo
tempo e com a mesma velocidade.
16/67
Movimento Vertical
Aceleração da gravidade(g) = 9,8m/s²
Como a aceleração da gravidade de queda livre é
vertical e para baixo, podemos representá-la pelo
vetor:
17/67
Movimento Vertical
Gráfico da evolução Velocidade x Tempo
18/67
Equações:
Função horária do espaço
Função horária da velocidade
Torricelli
19/67
Praticando...
Uma bola é abandonada do repouso de uma altura de 80 m
acima do solo. Despreze a resistência do ar e considere
g=10m/s². Determine:
a) A função horária do espaço, a função da velocidade e a
equação de Torricelli para o movimento da bola, considere a
trajetória orientada para baixo com a origem no ponto em
que o corpo foi abandonado.
b) O tempo em que a bola demora para chegar ao solo.
c) a velocidade da bola ao atingir o solo.
R.: a) s = 5t² , v= 10t , v²=20(S-S0) b) t = 4s c) v = 40m/s
20/67
Lançamento Vertical
A diferença entre a queda livre a partir do repouso e o
lançamento vertical reside nas condições iniciais.
No lançamento vertical a velocidade inicial não é nula, mas
continua valendo a propriedade de que os corpos, sob ação
exclusiva da atração gravitacional, têm a mesma aceleração.
Subida: retardado uniformemente, pois a velocidade e a
aceleração tem sinais diferentes.
Descida: acelerado uniformemente.
21/67
Equações:
Altura máxima: (v = 0) em Torricelli
O tempo de subida = tempo de descida
O tempo total = tempo de subida + tempo de descida
22/67
Praticando...
Do alto de uma torre, a uma altura de 35m em relação ao
solo, um corpo é lançado verticalmente para cima, com
velocidade inicial de 30m/s.
Despreze a resistência do Ar e considere g=10m/s².
Determine:
a) O tempo até o corpo atingir o ponto de altura máxima;
b) A altura máxima atingida pelo corpo,em relação ao ponto
de lançamento e ao solo.
c) Quanto tempo, desde o lançamento, o corpo demora para
atingir o solo.
R: a) 3,0 s b) 45 m, 80m c)7,0 s
23/67
Lançamento Horizontal
Quando um corpo lançado horizontalmente entra em
queda, ele descreve uma trajetória parabólica até
atingir o solo.
24/67
Lançamento Horizontal
Direção horizontal (eixo Ox) – O movimento é
retilíneo e uniforme, ou seja, a velocidade é
constante e não-nula.
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡
𝑥 = 𝑣𝑜 𝑡
𝑠 = 𝑠𝑜 + 𝑣𝑜 𝑡
25/67
Equações:
Direção vertical(eixo Oy) – O movimento é retilíneo
acelerado uniformemente, ou seja, a velocidade
aumenta uniforme com o tempo e seu módulo é
dado por vy = gt.
𝑌 = (𝑔𝑡²) /2
26/67
Equações:
Para obter a equação da trajetória (coordenada y em
função de x), isola t em I e substitui em II. Desse
modo:
27/67
Praticando...
Um corpo é lançado horizontalmente com velocidade de
20m/s do alto de um prédio de 20 m de altura, g = 10m/s².
Determinar: o tempo de queda, o ponto onde o corpo atinge
o solo e a velocidade do corpo ao atingir o solo.
R: Tempo 2,0s ; x= 40m ; v=20. 2
28/67
Lançamento Oblíquo
Considerando um lançamento oblíquo, devemos
relacionar a velocidade inicial e o ângulo de
lançamento com o alcance e do jato e a altura
máxima atingida por ele. Para tal, decompõe-se as
forças em duas direções, vertical e horizontal:
29/67
Lançamento Oblíquo
É a composição de dois movimentos:
No movimento horizontal(Ox): v0cos
No movimento vertical(Oy): v0,y = v0sen, o movimento
é retardado (do lançamento até a altura máxima) e
depois acelerado (do ponto de altura até o solo).
30/67
Equações:
•
Direção Horizontal (Ox)
𝑥 = 𝑣𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡
• Direção Vertical (Oy)
𝑦𝑜 = 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔𝑡
𝑔𝑡²
𝑦 = 𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡 −
2
31/67
Equações:
• Tempo de Vôo
𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 𝑡𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎
𝑣𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜃
=
𝑔
𝑡𝑣ô𝑜 = 𝑡𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 + 𝑡𝑑𝑒𝑠𝑐𝑖𝑑𝑎
32/67
Equações:
• Altura Máxima
ℎ𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
(𝑣𝑜 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)²
=
2𝑔
33/67
Praticando...
Numa competição nos jogos de Winnipeg, no Canadá,
um atleta arremessa um disco com velocidade de 72
km/h, formando um ângulo de 30º com a horizontal.
Desprezando-se os efeitos do ar, a altura máxima
atingida pelo disco é: (g 10 m/s²)
a) 5,0 m
b) 10,0 m
c) 15,0 m
d) 25,0 m
e) 64,0 m
34/67
Obrigada pela atenção!
www.ufal.edu.br
www.facebook.com/PETEngenharias
35/67