Colégio Planeta
Prof.: Célio Knupp
Lista de Matemática
Aluno(a):
ENEMais
Questão 01 - Para que a parábola y = 2x2 + mx + 5 não
intercepte a reta y = 3, devemos ter
A)
B)
C)
D)
E)
Data: 08 / 05 / 2015
–4 < m < 4
m < -3 ou m > 4
m > 5 ou m < -5
m = -5 ou m = 5
m0
Turma:
Lista
07
Turno: Matutino
Questão 05 - (UFRN/2007)
A) Esboce, no mesmo sistema de eixos (inserido no espaço
destinado à resposta), os gráficos das funções reais de
variável real
f(x) = 2x + 3 e g(x) = x2  8x + 12.
B)
Determine as coordenadas (x,y) de todos os pontos em que
os gráficos das funções dadas se interceptam.
Questão 02 - (UFF RJ/1999) A parábola abaixo representa o
lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças
vendidas de um certo produto.
L(reais)
800
100
300
x( node
peças)
-1000
Determine:
A) o número de peças que torna o lucro nulo;
B) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;
C) o número de peças que devem ser vendidas para que o
lucro seja de R$ 350,00.
Questão 03 - (FGV /2007) Um vidraceiro tem um pedaço de
espelho, na forma de um triângulo retângulo cujos lados medem
60 cm, 80 cm e 1 m e quer recortar um espelho retangular cujo
tamanho seja o maior possível. Para ganhar tempo, ele quer que
dois dos lados do retângulo estejam sobre os lados do triângulo.
Determine a medida dos lados do retângulo e a sua área.
Questão 04 - (UNIFESP SP/2007) De um cartão retangular de
base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de
lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte
hachurada será retirada.
Questão 06 - Considere a equação 4x 2  8x 3  q 2  0 .
Existe um valor de q para o qual esta equação possui raízes
reais tais que uma seja a inversa da outra. A soma da maior das
raízes com q vale:
A)
 2 2 1
B)
3 2
C)
2 2 1
D)
3 2
Questão 07 - (UFU MG/2009) Determine todos os valores
positivos do parâmetro m de modo que as raízes da equação
m2x2 + 2(m - 1)x - 6 = 0, na variável x, pertençam a lados
opostos da reta de equação cartesiana y = 2x - 2.
Questão 08 - (ITA SP/2005) Considere a equação em x  R
1  mx  x  1  mx , sendo m um parâmetro real.
A)
B)
Resolva a equação em função do parâmetro m.
Determine todos os valores de m para os quais a equação
admite solução não nula.
Questão 09 - Define-se:
max(a ; b) = a, se a  b e max(a ; b) = b, se b  a
A soma dos valores de x, para os quais se tem max(x2 – 2x + 2;
1 + x2) = 50, é igual a:
O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja
mínima, é
A)
B)
C)
D)
E)
3.
2.
1,5.
1.
0,5.
A)
B)
C)
D)
E)
1.
0.
2.
–13.
15.
Questão 10 - (IME RJ/2007) Sejam x1 e x2 as raízes da
equação x2 + (m  15)x + m = 0. Sabendo que x1 e x2 são
números inteiros, determine o conjunto de valores possíveis
para m.
Consumo (litros)
Questão 11 - (UFU MG/1993) Um arame medindo 2 metros é
cortado em dois pedaços, sendo um dobrado na forma de um
quadrado e o outro na forma de um círculo. Quais devem ser os
comprimentos dos dois pedaços para que a soma das áreas do
quadrado e do círculo seja mínima?
10
Questão 12 - (UFC CE/2000) No triângulo ABC abaixo, a é a
base, h a altura relativa à esta base, e b o lado oposto ao ângulo
de 45o.
A
8
20
h
C
a
Se a + h = 4, então o valor mínimo de b2 é:
A) 16.
B) 16/5.
C) 4/5.
D)
4 5.
E)
16 5 .
100
120
Velocidade (km/h)
Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de
combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à
velocidade de 120 km/h?
b
45°
B
60
Questão 13 - (UFMG/2001) Observe esta figura:
y
A)
B)
C)
D)
E)
20
22
24
12,5
28
Questão 16 - (UERJ/1998) No interior de uma floresta, foi
encontrada uma área em forma de retângulo, de 2 km de
largura por 5 km de comprimento, completamente desmatada.
Os ecologistas começaram imediatamente o replantio, com o
intento de restaurar toda a área em 5 anos. Ao mesmo tempo,
madeireiras clandestinas continuavam o desmatamento, de
modo que, a cada ano, a área retangular desmatada era
transformada em outra área também retangular. Veja as figuras:
h
Área desmatada
x
b
Nessa figura, estão representados os gráficos das funções:
Área de replantio
2
f ( x )  x e g(x) = 3x – 5
2
A)
B)
C)
D)
1
2
3
4
1
5
4
Questão 14 - Considere a função f(x) = x 1  2x 2
A)
B)
Determine constantes reais ,  e  de modo que
(f(x))2 = [(x2 + )2 + ]
Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área
máxima, com lados paralelos aos eixos coordenados,
inscritos na elipse de equação 2x2 + y2 = 1.
Questão 15 - (PUC SP/2001) Um veículo foi submetido a um
teste para a verificação do consumo de combustível. O teste
consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em
velocidades constantes, uma distância de 100 km em estrada
plana, cada vês a uma velocidade diferente. Observou-se então
que, para velocidades entre 20 km/h e 120 km/h, o consumo de
gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o
gráfico seguinte.
h
Novo
desmatamento
`
Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das
extremidades sobre o gráfico da função f e a outra extremidade
sobre o gráfico da função g. Entre esses segmentos, seja S o que
tem o menor comprimento.
Assim sendo, o comprimento do segmento S é
Parte desmatada
a área anterior
b
A largura (h) diminuía com o replantio e o comprimento (b)
aumentava devido aos novos desmatamentos.
Admita que essas modificações foram observadas e
representadas através das funções:
h(t) = -2/5 t + 2 e b(t) = 5t + 5 (t = tempo em anos; h = largura
em km e b = comprimento em km).
A)
B)
Determine a expressão da área A do retângulo desmatado,
em função do tempo t (0 £ t £ 5), e represente A(t) no plano
cartesiano.
Calcule a área máxima desmatada e o tempo gasto para
este desmatamento, após o início do replantio.
Questão 17 - (ITA SP/2002) Dada a função quadrática
f (x)  x ² n 2  x n6  1 n 3 temos que:
3
4
2
A)
B)
a equação f (x) = 0 não possui raízes reais.
a equação f (x) = 0 possui duas raízes reais distintas e o
gráfico de f possui concavidade para cima.
C) a equação f (x) = 0 possui duas raízes reais iguais e o
gráfico de f possui concavidade para baixo.
D) o valor máximo de f é n 2 n 3 .
n 3  n 2
E) o valor máximo de f é 2 n 2 n 3 .
n3  n 2
Questão 18 - (UFC CE/1997) Considere a função f(x) = x2 - 5x +
6, cujo gráfico é uma parábola conforme a figura abaixo:
y
.
A)
B)
C)
D)
E)
(0,6)
.. .
(2,0)
Questão 19 - (INTEGRADO RJ/1994) Num laboratório é
realizada uma experiência com um material volátil, cuja
velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em
gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de
acordo com a fórmula m = -32t – 3t + 1 + 108. Assim sendo, o
tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este
material antes que ele se volatilize totalmente é:
(3,0)
inferior a 15 minutos
superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos
superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos
superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos
superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos
Questão 20 - (UFU MG/1993) Se y = ax2 + bx + c é a equação
da parábola da figura abaixo, pode-se afirmar que:
x
y
(5/2,-1/4)
Então o gráfico de f (x + 3) será:
x
A)
A)
B)
C)
D)
E)
B)
C)
Questão 21 - (ESCS DF/2015) A globalização também ocorre
no aspecto linguístico, de forma que palavras estrangeiras são
frequentemente incluídas em nosso vocabulário. Hoje, dizemos
corriqueiramente que vamos a um restaurante self-service, que
estamos online, que precisamos fazer um download e que
postamos uma selfie.
Considere que seja de P(t)% o percentual de palavras
estrangeiras no total de palavras utilizadas diariamente na
1
(64  88t  t 2 ) , t = 0
língua portuguesa, em que P( t ) 
100
representa o tempo presente, t = 1 representa uma estimativa
para daqui a 1 ano, e assim sucessivamente até os próximos 85
anos (t = 85). Nessa situação, é correto afirmar que a referida
porcentagem chegará a 20% para
A)
B)
C)
D)
D)
E)
ab < 0.
b < 0.
bc < 0.
b2 – 4ac  0.
ac > 0.
35 < t < 45.
45 < t < 55.
t > 55.
t < 35.
11) Gab: x v  8 m e w  2 m
 4
 4
GABARITO
1) Gab: A
12) Gab: B
2) Gab:
a) O lucro é nulo para 100 peças ou para 500 peças
b) O lucro é negativo para 0  x  100 e 500  x  600
(pela simetria da parábola).
c) 450
3) Gab:
As medidas dos lados do retângulo devem ser AD = 60 
3.10 = 30 cm e DE 4.10 = 40 cm e a área do retângulo, 30.40
= 1.200 cm2.
4) Gab: D
5) Gab:
a) Determinar as coordenadas de dois pontos (quaisquer) da
reta:
x  0  y  2.0  3  3
x  2  y  2.2  3  7
Traçar o gráfico da reta que passa pelos pontos (0,3) e (2,7).
Determinar as coordenadas de quatro pontos da parábola:
B 
8 16
O vértice  V  (
,
)( ,
)  (4,4)
2A 4A
2 4)
As raízes  x 
B  84

. Logo, x1 = 2 e x2 = 6
2A
2
A interseção com o eixo y  x  0  y  02 - 8.0  12  12
Esboçar o gráfico da parábola que passa pelos pontos (4,4),
(2,0), (6,0) e (0,12).
13) Gab: D
14) Gab:
a)
 = -2,  = 1 e  = 1 ;
b)
1e
4
16) Gab:
a) A(t) = -2t2 + 8t + 10
A(t)
18
10
b)
5
t
-1 2
Área máxima 18km2 . Ocorreu dois anos após o início
do replantio.
17) Gab: D
18) Gab: D
19) Gab: E
21) Gab: A
Os gráficos se interceptam nos pontos (x, y), onde f(x) = g(x).
Assim, 2x + 3 = x2  8x + 12  x2  10x + 9 = 0
 B   10  8

.
2A
2
Logo, x1 = 1 e x2 = 9.
Substituindose x1 = 1 em f(x) ou g(x), obtêmse y1 = 5. Da
mesma forma, usandose x2 = 9 obtêmse y2 = 21.
Portanto, os pontos de interseção são (1,5) e (9,21).
x
6) Gab: B
7) Gab: {m  R / 0  m  2}
8) Gab:
a)
V = {0}, para m  R tal que m 
2
ou m  1
2
V  {0; 2 1  m 2 ;  2 1  m 2 }
2
 m 1
2
A equação admite solução não nula se, e somente se, m
para m  R tal que
b)
 R tal que
2
 m 1
2
9) Gab: A
10) Gab: m 34,27,25,0,7,9
2
15) Gab: D
20) Gab: C
b)
16