Ficha de Trabalho n.º 5
Geometria no Plano e no Espaço I
1. Simplifica as expressões:
1.1.
2 3+ 3+4 2 −
2
2
1.2.
3 8+
3
3+ 2
1.3.
(4 − 2 5 )
2
2. Um cone de revolução de vértice V tem por base um círculo de
centro O e raio 10 cm.
Sabe-se ainda que:
• VO = 15 cm ;
• P pertence ao segmento [VO ] ;
• VP = 12 cm .
3.
2.1.
Determina VM .
2.2.
Calcula a área da secção produzida no cone pela interseção com um plano paralelo à base
(círculo de centro O) e que contém P.
Indica uma condição em ℝ 2 que represente o conjunto de pontos a sombreado:
3.1.
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3.2.
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4.
Na figura seguinte está representado, em referencial o.m. Oxyz, um sólido
formado por um paralelepípedo retângulo e um prisma triangular reto.
Uma das faces do prisma coincide com uma das faces do paralelepípedo.
O vértice O é a origem do referencial.
Os vértices A, C e G pertencem aos semieixos positivos Ox , Oy e Oz ,
respetivamente.
H tem coordenadas ( 3, 2,7 ) e E tem coordenadas ( 3, 2, 4 ) .
4.1.
Determine as coordenadas dos restantes vértices do sólido.
4.2.
Define, através de uma condição em ℝ 3 :
4.2.1. o plano GFC .
4.2.2. a reta GF .
4.2.3. o segmento de reta [GD ] .
4.2.4. o plano mediador de [ EF ] .
4.3.
Determina uma equação simplificada do plano mediador do segmento de reta [ AF ] .
4.4.
Desenha a secção produzida no sólido pelo plano ABI .
4.5.
Determina a secção produzida no sólido pelo plano de equação z = 5 .
4.6.
Calcula o volume do sólido.
4.7.
Calcula AI .
4.8.
Indica uma equação da superfície esférica de diâmetro [ AI ] .
4.9.
Verifica a posição relativa do ponto P ( 0, −3,5 ) em relação à superfície esférica definida no
item anterior.
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4.10. Indica, usando as letras da figura:
4.10.1. AC + BD − AD
4.10.2. D + EF + GE
4.11. Determina as coordenadas dos vetores DF e IE .
4.12. Calcula DF + 2 IE .
4.13. Verifica se os vetores DF e u = (−4, 2,0) são colineares.
4.14. Indica as coordenadas de um vetor colinear com DF e com norma 2.
4.15. Indica as coordenadas de um vetor colinear com IE , com o mesmo sentido e com norma
3.
4.16. Indica uma equação vetorial da reta IE .
4.17. Verifica se o ponto K ( −6,2,13) pertence à reta IE .
4.18. Determina as coordenadas do ponto da reta IE de cota 8 .
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5.
6.
Considera, num referencial o.m. xOy , os pontos A (1, 2 ) e B (0,5) .
5.1.
Escreve uma equação vetorial da reta AB .
5.2.
Determina a equação reduzida da reta AB .
5.3.
Determina as coordenadas do ponto P, da reta AB , de ordenada nula.
5.4.
Indica a equação reduzida da reta r , paralela a AB , e que passa no ponto C ( −2, 6) .
5.5.
Verifica se as retas AB e s : 6 x − 2 y = 4 são paralelas.
Considera, num referencial o.m. Oxyz , o ponto A ( 3,1) e as retas r e s definidas por:
r : ( x, y ) = (1, 2) + k (6, −4), k ∈ ℝ
s: y =
2
x −1
3
6.1.
Justifica que as retas r e s não são paralelas.
6.2.
Mostra que o ponto A pertence à reta s mas não pertence à reta r.
6.3.
Determina uma equação vetorial da reta que passa em A e é paralela a s.
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