Assunto: Estudo do ponto
1) Sabendo que P(2m+1;-3m-4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores de
m. resp: -4/3<m<-1/2
2) Calcule a distância entre os pontos:
a) A(-2;-5) e B(0;0) resp: 29 u b) M(0;-2) e N( 5 ;-2) resp:
c) P(0;-2) e Q(-3;3) resp:
5u
34 u d) C(-4;0) e D(0;3) resp: 5u
3) A distância do ponto A(a;1) ao ponto B(0;2) é igual a 3. Calcule o valor de a
resp: ± 2 2
4) Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é eqüidistante dos pontos A(-1;2) e B(1;4).
Quais são as coordenadas do ponto P. resp: P( 3;0)
5) (UFU-MG) São dados os pontos A(2; y), B(6;1) e C(3;-1). Qual deve ser o valor de y
para que o triângulo ABC seja retângulo em B. resp: 7
6) Considerando os vértices A(-1;-3), B(6;1) e C(2;-5), verifique se o triângulo ABC
retângulo. resp: sim
é
7) Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2;2). Sabendo que M(3;-2) é o
ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B que é a outra extremidade.
resp: B(8;-6)
8) Os pontos A(5;8), B(2;2) e C(8;2) são vértices de um triângulo ABC. Calcule o
comprimento da mediana relativa ao vértice A . resp: 6u
9) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo ABC, sabendo que as
coordenadas dos pontos médios dos lados do triângulo são M(-1;-2), N(-2;3) e P(1;-1).
resp: (0;4) , (2;-6) e (-4;2)
10) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento de extremos A(-3;2) e
B(9;5) em 3 partes iguais. resp: (1;3) e (5;4)
11) O Triângulo ABC tem vértices A(2;2), B(5;2) e C(2;5). Determine as coordenadas do
seu baricentro. Resp: G(3;3)
12) No triângulo ABC, B(2;4) é um dos vértices, G(3;3) o seu baricentro e M(3;4) o ponto
médio do lado BC. Calcule as coordenadas dos vértices A e C. Resp: A(3;1) e C(4;4)
13) O triângulo ABC tem vértices A(4;1), B(5;4) e C(3;4). Considerando o triângulo MNP
em que M, N e P são pontos médios dos lados do triângulo ABC, determine o baricentro
do triângulo MNP. Resp: G(4;3)
1
14) (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1;1) é um dos vértices, N(5;4) é o ponto médio do
lado BC e M(4;2) é o ponto médio do lado AB.Calcule:
a) as coordenadas do vértice B; Resp: B(7;3)
b) as coordenadas do vértice C; Resp: C(3;5)
11
c) as coordenadas do baricentro G. Resp: G( ;3)
3
15) Verifique se estão alinhados os pontos:
a) A(1;2), B(3;4) e C(4;6) Resp: não
b) P(2;-1), Q(-1;2) e R(0;1) Resp: sim
16) (PUC-SP) Os pontos A(3;5), B(1;-1) e C(x;-16) pertencem a uma mesma reta. Nestas
condições determine x. Resp: -4
17) (MACK-SP) Dados os pontos A(1;4), B(5;2) e C(7;4), sabemos que:
- M é o ponto médio do lado AB;
- O ponto N divide o lado AC na razão 2;
- M, N e P são pontos alinhados, sendo P um ponto do eixo Ox.
Determine as coordenadas do ponto P. Resp: P(-3;0)
18) Determine as coordenadas do ponto C que pertence ao eixo Oy e é colinear com os pontos
A(3;2) e B(5;4). Resp: C(0;-1)
19) Num sistema de coordenadas cartesianas a cidade de Taubaté tem coordenadas (-1;2), a de
1
Pariquera-Acú (2; ) e a de Porto Alegre (3;-3). Um avião que levanta vôo e segue uma
2
trajetória retilínea entre as cidades de Taubaté e Pariquera-Açú e mantendo essa trajetória
passará por Porto Alegre.Justifique a resposta
Resp: Não,pois os pontos que representam as cidades não estão alinhados
20) Calcule a área do quadrilátero de vértices nos pontos A(2;0), B(3;1), C(1;4) e D(0;2).
Resp: 5,5 u.a
21) Sabendo que a área do triângulo de vértices nos pontos nos pontos A(5;3), B(4;2) e C(2;k)
é igual a 8 unidades de área, calcule o valor de k. Resp: k = -16 ou k =16
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Prof. Carlinhos
2
Assunto: Estudo da reta
1) A reta r passa pelo ponto P(4;1) e tem inclinação igual a 45º. Determine:
a) A sua equação reduzida; Resp: y = x-3
b) A sua equação geral; Resp: x-y-3=0
c) Os coeficientes angular e linear da reta. Resp: mr=1 e ms= -3
2) Verifique se os pontos A(1;2), B(0;4) e C(3;-1) pertencem à reta r: 3x+2y-8=0.
Resp: A∉ r , C∉ r e B∈r
3) Sabendo que o ponto M(a;a2+3) pertence à reta r: x+y-5=0, determine a. Resp: -2 e 1
Os pontos A(1;1), B(5;2), C(6;5) e D(2;4) são vértices de um paralelogramo, determine
as equações das retas suportes das diagonais. Resp: AC: 4x-5y+1=0 e BD: 2x+3y-16=0
4) Determine a equação geral, a equação reduzida e os coeficientes angular e linear da reta
que passa pelos pontos A(-1;-2) e B(5;2)
resp: 2x-3y - 4 = 0, y = 2/3x - 4/3, m = 2/3 e n = -4/3
5) Determine a posição relativa entre as retas abaixo:
r : 4 x − 2 y + 1 = 0
r : 3 x − 2 y + 3 = 0
a) 
resp: paralelas b) 
resp: concorrentes
s : 8 x − 4 y + 6 = 0
s : 6 x + 4 y − 10 = 0
6 x + 2 y − 5 = 0
5 x − 2 y + 1 = 0
c) 
resp: coincidentes d) 
resp: perpendiculares
12 x + 4 y − 10 = 0
4 x + 10 y − 3 = 0
6) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto P(3;5) e é paralela reta s de equação
6x-y+12=0. resp: 6x-y-13=0
7) Determine k de modo que as retas r e s de equações 2x+5y-3=0 e kx-3y+1=0,
respectivamente , sejam paralelas. resp: k=-6/5
8) Determine m de modo que as retas t e v de equações (m-3)x+4y-3=0 e 6x-y+2=0 sejam
concorrentes. resp: m≠-21
9) Determine o ponto de intersecção das retas r e s de equações 2x+5y-3=0 e x-y+2=0.
resp: (-1;1)
10) Quais são os vértices do triângulo cujas as retas suportes dos lados têm equações
x+y-3=0 , 2x-3y+7=0 e y+1=0. resp: (-5;-1) , (4;-1) e (2/5;13/5)
11) Determine a equação geral da reta r que passa pelo ponto P(4;2) e pela intersecção das
retas t e v de equações 2x+3y-5=0 e 3x+y-4=0, respectivamente. resp: x-3y-2=0.
12) Determine a equação da reta t que passa pelo ponto P(3;4) e é perpendicular á reta s de
equação 5x+4y-2=0. resp: 4x-5y+8=0
3
13) Determine a equação da reta mediatriz do segmento de extremos nos pontos A(-2:2) e
B(4;-4). resp: x-y+2=0
14) Os pontos A(1;1), B(5;2), C(6;5) e D(2;4) são os vértices de um paralelogramo.
Determine o ponto de intersecção das diagonais. resp: (7/2;3)
15) Determine a equação da reta r que passa pela origem e pela intersecção das
2x+y-6=0 e x-3y+11=0. resp: 4x-y = 0.
retas
16) Determine o ângulo formado pelas retas r e s de equações 2x + y -5 = 0 e
6x – 2y + 1 =0, respectivamente. Resp: 45°
17) Determinar a equação da reta r que passa pelo ponto P(2;3) e que forma um ângulo de
45º com a reta s de equação 3x - 2y + 1 = 0. resp: x - 5y + 13 = 0 ou 5x + y + 13 = 0
18) determine a distância entre o ponto A(2;1) e a reta r, de equação x + 2y - 24 = 0.
resp: 2 5 u
19) Determine a distância entre as retas paralelas r e s, de equações 2x + 3y - 6 = 0 e
4 13
2x + 3y - 10 = 0. resp:
u
13
20) Determine a altura de um trapézio cujos vértices são os pontos A(1;1), B(1;3), C(7;5) e
7 26
D(2;4). resp:
u
13
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
Assunto: Circunferência
Prof. Carlinhos
4
Assuntos: Circunferência
1) Determine a equação geral da circunferência de raio 4 e centro no ponto C(3;5).
Resp: x2 + y2 – 6x – 10y + 18 = 0
2) Determine a equação geral da circunferência que passa pelo ponto P(-2;4) e tem centro no ponto
0(6;-2). Resp: x2 + y 2 –12x + 4y – 60 = 0
3) Determine a equação reduzida da circunferência que tem um diâmetro com extremidades em
A(-2; 6) e B(8;4). Resp: ( x – 3)2 + ( y – 5)2 = 26
4) Determine o centro e o raio das circunferências de equações:
a) ( x – 9)2 + ( y + 3)2 = 7 Resp: C(9;-3) e r = 7
b) x2 + y2 – x + 2y – 1 = 0 Resp: C( ½;-1) e r = 3/2
c) 4x2 + 4y2 – 8x + 16y – 16 = 0 Resp: C(1;-2) e r = 3
5) Determine para quais valores de a a equação abaixo é uma circunferência:
a) x2 + y2 – 6x + 8y – a = 0 Resp: a > -25
b) ax2 + 3y2 + 9x – 6y + 12 = 0 Resp: não existe a
6) Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 4y + 9 = 0, determine a posição relativa dos
pontos:
a) A(1;2) resp: A pertence à circunferência b) B(3;3) resp: interior c) C(6;3) resp: exterior
7) Determina o valor de a de modo que o ponto P(a;1) pertença à circunferência de equação
x2 + y2 + 3y – 4 = 0. resp: a = 0
8) Dada a circunferência de equação x2 + y2 +4x – 6y + 8 = 0, determine a posição relativa das
retas:
a) 2x – y + 9 = 0 b) x + 2y – 9 = 0 c) x + 2y – 1 = 0 d) 2x – y + 1 = 0
resp: a) secante b) tangente c) secante d) exterior
9) Determine os pontos de intersecção da circunferência de equação x2 + y2 –2x –2y – 8 = 0 com as
retas de equação:
a) 3x – y +4 = 0 resp: (0 ; 4) e (-8/5 ; -4/5) b) x – 3y + 2 = 0 resp: (4 ; 2) e (-2 ; 0 )
10) Determine as posições relativas entre as circunferências de equações:
a) x2 + y2 – 8x – 8y + 12 = 0 e x2 + y2 –4x + 8y + 16 = 0 resp: exteriores
b) x2 + y2 = 4 e x2 + y2 – 6x -12y + 20 = 0 resp: secantes
c) x2 + y2 = 8 e x2 + y2 – 8x - 8y + 24 = 0 resp: tangente exteriormente
d) x2 + y2 – 8x – 8y + 12 = 0 e x2 + y2 –4x - 6y + 12 = 0 resp: interiores
11) Determine os pontos de intersecção das circunferências de equações:
a) x2 + y2 = 4 e x2 + y2 –8x + 8y + 12 = 0 resp: (0;-2) e (2; 0)
b) x2 + y2 + 8x - 4 = 0 e x2 + y2 – 8x - 8y + 12 = 0 resp: (0;2)
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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5
Assunto: Elipse
1) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 10
x2 y 2
unidades e está sobre o eixo x, e o eixo menor 6 unidades. Resp:
+
=1
25 9
2) Determinar a equação reduzida da elipse de centro na origem, cujo o eixo maior mede 14
x2 y2
unidades e está sobre o eixo y, e o eixo menor 4 unidades. Resp:
+
=1
4 49
3) Escrever a equação da elipse de focos F1(-4 ; 0) e F2(4 ; 0) e cujo o comprimento do eixo
maior é 10 unidades.
4) Uma elipse tem por equação 9x2 + 16y2 = 144. Determine:
a) As coordenadas dos focos. Resp: F1(- 7 ; 0) e F2( 7 ; 0)
b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo maior = 8 u Eixo menor = 6 u
7
c) A sua excentricidade> Resp: e =
u
4
5) Uma elipse passa pelo ponto L(0; - 3). Sabendo-se que seus focos são os pontos
x2 y2
F1(0; - 5 ) e F2(0; 5 ). Determine a sua equação reduzida. Resp:
+
=1
4
9
( x − 4) 2 ( y + 3) 2
+
= 1 , determine :
25
16
a) As coordenadas do centro. Resp: O(4, -3)
b) As coordenadas dos focos. Resp: F1(7, -3) e F2(1, -3)
c) Os comprimentos dos eixos. Resp: eixo maior = 10 e eixo menor = 8
6) Dada a elipse de equação
7) Determine a equação da elipse de eixo maior na vertical igual 16u, eixo menor igual 2 e
centro no ponto O(2, -7).
( x − 2) 2 ( y + 7) 2
Resp:
+
=1
1
64
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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6
Assunto: Hipérbole
1) Determinar a equação reduzida da hipérbole cujo o eixo imaginário mede 4 unidades e
y2 x2
seus focos são os pontos F1(0;-6) e F2(0;6). Resp:
−
=1
32 4
2) A equação de uma hipérbole é 9x2 – 25y2 = 225. Determinar:
a) As coordenadas dos focos. Resp: F1(- 34 ; 0) e F2( 34 ; 0)
b) O comprimento de cada eixo. Resp: Eixo real = 10 u Eixo imaginário = 6 u
34
c) A sua excentricidade. Resp: e =
u
5
3) Determine as equações das hipérboles cujos gráficos são:
a)
b)
Resp:
a)
y2 x2
−
=1
4 12
b)
x2 y2
−
=1
9 16
4) Achar a equação da hipérbole de centro (4; - 2) , cujo o eixo real é paralelo ao eixo x e
( x − 4) 2 ( y + 2) 2
mede 10 u, e a distancia focal igual a 2 29 u. Resp:
−
=1
25
4
5) Seja a hipérbole de equação 4y2 – x2 = 16. Determine a equação da circunferência cujo o
centro coincide com o centro da hipérbole e que passa pelos pontos focos da hipérbole.
Resp: x2 + y2 = 20
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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7
Assunto: Parábola
1) Determine as coordenadas do vértice, do foco e equação da reta diretriz da parábola de
equação:
a) x2=4y resp: V(0;0), F(0;1) e d: y = -1
b) y2=4x resp: V(0;0), F(1;0) e d: x = -1
c) x2=-4y resp: V(0;0), F(0;-1) e d: y = 1
d) y2=-4x resp: V(0;0), F(-1;0) e d: x = 1
e) (x-1)2 = 8(y-1) resp: V(1;1), F(1;3) e d: y = -1
f) (y-2)2 = 16(x-3) resp: V(3;2), F(7;2) e d: x = -1
g) (x-2)2 = -8(y+1) resp: V(2;-1), F(2;-3) e d: y = 1
h) y2 –10y + 2x + 27 = 0 resp: V(-1; 5), F(-3/2;5) e d: x = -1/2
i) x2 – 6x – y + 5 = 0 resp: V(3;1), F(3;5/4) e d: y = 3/4
2) Determine as equações reduzidas das parábolas dados os vértices e os focos:
a) V(2;1) e F(4;1) resp: (y-1)2 = 8(x-2)
b) V(1;-1) e F(1;3) resp: (x-1)2 = 16(y+1)
c) V(1;0) e F(1;-2) resp: (x-1)2 = -8y
d) V(-1;-4) e F(-1;0) resp: resp: (x+1)2 = 16(y+4)
3) Determine as equações reduzidas das parábolas dados as diretrizes e os focos:
a) d: x = -2 e F(0;2)
b) d: y = -2 e F(2;0)
c) d: y = 1 e F(2;-3)
d) d: x = 1 e F(-3;2)
resp: (y-2)2 = 4(x+1)
resp: (x-2)2 = 4(y+1)
resp: (x-2)2 = -8(y+1)
resp: (y-2)2 = -8(x+1)
4) Determine a equação da parábola representada abaixo:
resp: a) y2 =12x b) x2 = 8y c) x2 = -12y
8
5) Determine a equação da parábola representada abaixo:
resp: a) (x-7)2 = 8(y-5) b) (x-2)2 = -12(y-3) c) (y-4)2 = 4(x-4)
6) A secção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola, com 10m de
largura na base e altura máxima de 6m, que ocorre acima do ponto médio da base. De cada
lado, é reservado 1,5m para passagem de pedestres; e o restante é dividido em duas pistas
para veículos.
As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura
de, no máximo, 30cm a menos que a altura mínima do túnel sobre as pistas para veículos.
Calcule a altura máxima que um veículo pode ter para que sua passagem seja
permitida.
resp: 2,76m
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
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