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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE JUSSARA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
MAX MILLER MENDES LIMA
GEOGEBRA: PROPOSTA DE ATIVIDADES BASEADAS NOS PCN´s DE
MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
JUSSARA-GO
2013
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MAX MILLER MENDES LIMA
GEOGEBRA: PROPOSTAS DE ATIVIDADES BASEADAS NOS PCN´s DE
MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Monografia apresentada ao Curso de Licenciatura em
Matemática, da Universidade Estadual de Goiás,
Unidade Universitária de Jussara, como requisito parcial
para a obtenção do título de Licenciado em Matemática,
sob orientação do professor Msc. Luciano Paulo Araujo
Maia.
JUSSARA-GO
2013
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3
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos os meus colegas de curso, minha família e a minha esposa
que ao longo desde ano se fez presente em todos os momentos da minha vida acadêmica,
tantos os de felicidade quanto de tristezas.
Essas pessoas, que de certa forma, contribuíram para que eu pudesse chegar até onde
estou e me deram forças para prosseguir e não desistir. Que estas continuem sendo minha
inspiração para que possa continuar a jornada obtendo sucesso, pois se sabe que na vida é
preciso passar por muitos obstáculos para chegar à vitória e que sem esses obstáculos nossa
vida não teria sentido.
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AGRADECIMENTOS
A Deus pelo dom da vida, pela fé e perseverança para vencer os obstáculos.
Ao meu amor Priscila, pela dedicação, compreensão e pela presença constante durante
toda essa fase, me ouvindo e me ajudando a buscar soluções para os problemas existentes com
relação à pesquisa.
Aos meus pais, pela orientação, dedicação e incentivo nessa fase do meu curso de
graduação e durante toda minha vida.
Aos professores e colegas que colaboraram com as diversas discussões sobre a prática
acadêmica, principalmente ao orientador de monografia Msc. Luciano Paulo Araujo Maia e
coordenador do curso de Matemática Msc. Miguel Antônio Camargo.
Enfim, sou grato a todos que contribuíram de forma direta ou indireta para realização
deste trabalho.
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“Aos que gostam daquele friozinho na barriga antes de
resolver um problema: isso nunca acaba para quem estuda
matemática.”
Bianca Santoro
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RESUMO
O presente trabalho constitui uma breve investigação destinada a mostrar a importância do
uso do GeoGebra no processo de ensino-aprendizagem na Matemática do ensino médio,
compreendendo sua importância na aplicação de conteúdos essenciais, por suas inúmeras
possibilidades de uso nas diversas áreas do conhecimento. Busca-se por meio deste refletir o
papel do software no desenvolvimento do pensamento Matemático. Embasado nas pesquisas,
propõe-se demonstrar que o GeoGebra torna-se uma ferramenta importantíssima para ampliar
as capacidades intuitivas de percepção e representação. Relata-se no presente trabalho como
este software está sendo usado por nossos professores. Para discutir a metodologia de sua
aplicação em Matemática é preciso analisar o que os PCN´s (PARÂMETROS
CURRICULARES NACIONAIS) estão nos propondo, necessita-se conhecer como se
estrutura no currículo escolar e quais seus objetivos quanto à formação dos alunos.
Finalmente, a pesquisa permite conceber algumas das inúmeras aplicações do GeoGebra para
o ensino de Matemática .
PALAVRAS-CHAVE:Aprendizagem, Ensino, GeoGebra, Tecnologia.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1: Interface do geogebra..................................................................................
FIGURA 2: Barra de ferramentas .................................................................................
FIGURA 3: Comandos simples .......................................................................................
FIGURA 4:Representação da função ( ) = ²...........................................................
FIGURA 5: Polígonos regulares .....................................................................................
FIGURA 6: Função ( ) =
+ ................................................................................
FIGURA 7: Função ( ) = ² +
+ .....................................................................
FIGURA 8: Funções trigonométricas.............................................................................
FIGURA 9: Circulo trigonométrico................................................................................
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
CAPITULO 1: TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO
1.1 Um pouco da história
1.2 Tecnologias na educação matemática
1.3 PCN´s e proposta do uso de softwares no ensino dematemática.
1.4 Quais contribuições do uso de softwares para educação?
CAPITULO 2: O USO DO GEOGEBRA
2.1 Interfaces do GeoGebra
2.2 Aplicando o GeoGebra
2.2.1 Geometria plana
2.2.2 Função do 1ª grau
2.2.3 Função de 2º grau ou função quadrática
2.2.4 Função seno, cosseno e tangente
2.2.5Construção do circulo trigonométrico.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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INTRODUÇÃO
O mundo em que vivemos vem sofrendo modificações proporcionadas pelos
avanços tecnológicos. Esta tecnologia está mais acessível à população e de modo geral
vivemos uma era tecnológica, pois celulares, televisões interativas, computadores e tabletes,
por exemplo, não são mais artigos de luxo. Este avanço também pode ser notado na educação,
pois nas escolas podemos ter projetores de multimídia, lousa interativa e laboratórios de
informática.
O mundo vive o momento da revolução de informações seja no seu processo
de criação e elaboração como na socialização e transmissão de saberes
produzidos pelo homem, logo de acordo com Pérez Gómes (2001), a está
nova realidade se faz necessário um novo modelo de escola e
conseqüentemente como ressalta Hargreaves (1998) um novo trabalho
docente no ensino, isto é, a introdução da tecnologia da informação e
comunicação no meio escolar. (COSTA, FIORENTINI, 2007 apud Caetano)
Com os computadores, torna-se fácil o uso de softwares voltados para ensino de
ciências, e como objetos de estudo deste trabalho softwares voltados para o ensino de
matemática.
O ambiente interativo, propiciado pelos computadores, torna diferente e excitante o
ensino; gera um novo envolvimento com a aprendizagem e faz com que surjam novos
desafios, novas idéias, novos caminhos e desenvolvimentos do pensamento e uma
revitalização nos debates educacionais. Pode talvez, dizer que o computador tem sido o
catalisador para os educadores questionarem acerca do potencial dos alunos na construção do
seu próprio conhecimento.
O uso de softwares como ferramenta de ensino, é uma possibilidade bastante vantajosa
para o professor, tento em vista que conseguimos formas que seriam muito difíceis utilizando
técnicas convencionais (giz e lousa). Experiências pessoais e vivenciadas revelam uma
desmotivação no uso de tais ferramentas que seriam facilitadoras para o ensino/aprendizagem.
Diante desse cenário, devemos fazer uma reflexão sobre a importância de se promover
um ensino dinâmico que leve em consideração as dificuldades do professor em se adaptar ás
novas tecnologias, ajudando-os a compreender o quão grande e vantajoso é utilizar o
conhecimento da informática em prol do ensino e os inúmeros benefícios das demandas que
com ele são obtidas.
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O ensino/aprendizagem especialmente engloba no contexto geral o processo da
utilização do computador no processo de construção de conceitos, uma ferramenta
considerada em compreender, descrever e interagir no meio em que vivemos, é considerada
uma matemática mais intuitiva, concreta e real.
A missão dos educadores é preparar as novas gerações para o mundo em que
terão que viver. Isto quer dizer proporcionar-lhes o ensino necessário para
que adquiram as destrezas e habilidades que vão necessitar para seu
desempenho com comodidade e eficiência no seio da sociedade que
enfrentarão ao concluir sua escolaridade. (Santaló, 2001, pg 11).
Portanto, se faz necessário que o professor de matemática reflita como utilizar as
tecnologias de informação e comunicação no planejamento de tarefas didáticas e no próprio
desenvolvimento das aulas.
A sociedade e a tecnologia estão integradas e a tecnologia tornou-se o
aspecto dominante da civilização. A matemática é o sustentáculo lógico do
processamento da informação, e o pensamento matemático é também a base
para as atuais aplicações da tecnologia da informação. (Miranda e Blaudares,
2007, p.73).
Para Papert, trabalhar com o conhecimento matemático formal, por exemplo, com
transformações geométricas no plano, que geram movimentos de figuras, relacionam-se com
o movimento corporal que pode realizar esses mesmos movimentos, trabalhando com
esquema sensório-motor do aprendiz. Essa dupla relação, tanto abstrata quanto sensorial, é
que dá às transformações do plano o poder de despertar inúmeras idéias matemáticas na
mente e o poder de representá-las.
Neste sentido, o trabalho monográfico vem mostrar a importância da visualização da
qual pode se extrair conclusões que contribuem para melhorar a compreensão das formas
geométricas. Priorizar o olhar geométrico é fundamental no espaço que estamos habituados
onde todas as construções envolvidas tem representação geométrica seja ela simples, pura ou
se apresenta como a soma, subtração, superposição de várias figuras. Neste sentido, o
GeoGebra facilita esta visualização, pois o professor poderá construir desenhos mostrando
todos os passos e definições.
As atividades que envolvem as transformações de uma figura no plano
devem ser privilegiadas nesses ciclos, porque permitem o desenvolvimento
de conceitos geométricos de uma forma significativa, além de obter um
caráter mais dinâmico para este estudo. Atualmente, existem softwares que
exploram problemas envolvendo transformações das figuras. (PNCs:
matemática,1998,p.124) .
11
Ao analisar a visualização, podemos afirmar que muito frequentemente o
conhecimento intuitivo é identificado como representação visual. É uma afirmativa trivial,
que tende naturalmente a pensar em termos de imagens mentais e que aquilo que visualmente
não conseguimos imaginar dificilmente percebe-se mentalmente.
A visualização é importante porque, além de ampliar uma visão intuitiva e global,
facilita a compreensão de outras áreas da matemática. Esse é um consenso entre os
pesquisadores e os educadores matemáticos.
Para que o ensino da matemática seja contemplado de modo concreto pelo aluno, o
professor deverá assimilar o que o aluno tem como referência e com isso poder transformar
em método de aprendizagem. Com as novas tecnologias o educador poderá fazer uso da
mesma para que o aluno tenha uma atenção para os estudos, o uso de algumas ferramentas
fará com que o desempenho seja melhor, mas cabe ao professor o tributo de manejar a
tecnologia na educação. As tarefas desenvolvidas com equipamentos tecnológicos poderão
facilitar a atividade do professor, contudo a introdução desta nova tecnologia deve considerar
o contexto pedagógico (sempre visando as propostas contidas nos PCN´s) em que será usada,
refletindo a promoção do ensino ou a construção do conhecimento.
O foco principal desta pesquisa é apresentar o software livre GeoGebra para que os
professores possam utilizá-lo em sala de aula como recurso útil no ensino com ênfase em
representação gráfica de funções e geometria. No contexto atual de muitas inovações da
informática e avanços em todos os lares do nosso país, o uso de um software como método de
ensino pode ser de grande utilidade e com grande possibilidade de uma aprendizagem
completa, conceito, teoria e prática (visualização), e perspectivas duradoras.
“germe para práticas educacionais tais como a modelagem matemática,
resolução de problemas e trabalhos de projetos que tem sido altamente
valorizado nas propostas de Matemática (PENTEADO, 2005,p.31)”.
No entanto devemos pensar na forma de como introduzi-lo no meio estudantil de
forma segura sem que seja apenas uma dispersão para os alunos. Para tanto os professores
devem estar bem capacitados para a prática deste rumo em que o mundo está direcionando,
não seja superficial, e sim uma maneira inovadora de se ensinar matemática.
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CAPITULO 1: TECNOLOGIA NA EDUCAÇÃO
1.1 Um pouco da História
Vive-se um tempo de grande prosperidade no que se refere às novas tecnologias,
muitas vezes também designadas por tecnologias de informação e comunicação.
Progressivamente, a escola vem incorporando estas tecnologias tanto na sua atividade geral
como nas áreas curriculares e, em particular, na disciplina de Matemática
A história da informática na educação do Brasil tem início nos anos 70, quando
começaram a ser realizadas algumas experiências em universidades, destacando-se UFRJ
(Universidade Federal do Rio de Janeiro), UFRGS (Universidade Federal do Rio Grande do
Sul), e UNICAMP(Universidade Estadual de Campinas), por meio do diálogo entre
pesquisadores e educadores que se dedicavam a estudos sobre computadores e educação,
viabilizando a articulação entre pesquisa e ensino (ALMEIDA, 2008). Nos anos 80 a marca
foi a implantação dos primeiros projetos públicos segundo a abordagem de participação ativa
do aluno.
Na década de 90 o MEC (Ministério da Educação e Cultura) influenciado por
experiências do uso do computador no ensino e na aprendizagem com softwares educativos
por países como EUA (Estados Unidos da América) e França, inicia a implantação de projetos
em universidades visando preparar os professores para o uso da informática na educação.
(ALMEIDA, 2008).
O processo de informatização das escolas no Brasil teve início com seminários em
universidades onde eram estudado a implantação do programa de informática, questões de
cunho informático foram abordados no primeiro e segundo seminário nacional de informática
na educação realizado na universidade de Brasília em 1981 e na universidade federal da Bahia
em 1982.
Do mesmo modo, como a educação no Brasil, a informática na educação brasileira
também recebeu influência da educação de outras culturas, principalmente estrangeira. Na
década de 80, liderado por Papert, chegou ao nosso país o movimento que denominou-se de
Filosofia e Linguagem. Por meio desse movimento Papert defendeu que o computador é um
13
instrumento que catalisa conceitos complexos, permitindo assim que o aluno trabalhe estes
conceitos de maneira simples e lúdica.
Dentre os inúmeros movimentos que surgiram na informática educativa, um deles se
destacava por defender o ensino do computador como instrumento, ou seja, focava-se no
ensino e aprendizado da computação. Sob essa perspectiva, uma vez o contexto social
necessitava de profissionais com conhecimentos de informática, era preciso que as
instituições de ensino formal se preocupassem em ensinar esse instrumento (focando-se no
equipamento e no uso dos softwares de mercado – processadores de texto, planilhas
eletrônicas, navegadores, etc.).
Além de o computador ser utilizado para ensinar sobre computação, é também
utilizado para ensinar práticamente qualquer assunto. No ensino de informática o computador
é usado como objeto de estudo, em que o aluno o utiliza para adquirir conceitos teóricopráticos sobre informática, como princípios de funcionamento do computador, softwares
disponíveis, noções de programação e implicações sociais do computador na sociedade.
A inserção do computador na educação gerou e ainda tem gerado uma espécie de
revolução nas teorias sobre a relação ensino-aprendizagem existentes anteriormente,
sobretudo por dois motivos principais:
1.
Computadores podem ser utilizados para ensinar, funcionando como tutores
eletrônicos. A diversidade de softwares educacionais produzidos e as várias
modalidades de utilização do computador levam a concluir que trata-se de
uma tecnologia extremamente útil no processo de ensino-aprendizagem.
2.
A análise de softwares educacionais demonstra que eles podem ser
utilizados como versões computadorizadas das metodologias de ensino
presencial.
Por meio da história do desenvolvimento de softwares educacionais percebe-se que os
primeiros programas implementados eram versões computadorizadas daquilo que acontecia
na sala de aula presencial, porém isso é um processo natural que ocorre com a inserção de
qualquer nova tecnologia na sociedade.
Atualmente, os modernos recursos didáticos e demais equipamentos relacionados ao
uso das Tecnologias da Informação – TICs se tornaram fundamentais para a vida
contemporânea, sobretudo, para a Educação, uma vez que os recursos disponíveis podem ser
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utilizados como ferramentas de ensino, o que facilitara a aprendizagem por parte do aluno
sendo possível ao professor assimilar a teoria com a prática, uma das grandes vantagens em
usar o GeoGebra.
Sob esse contexto, estudos conduzidos em diferentes países apontam a existência de
concepções distintas acerca de tecnologia e suas implicações na educação escolar. Assim, os
Parâmetros Curriculares Nacionais, ao apresentarem as novas diretrizes para o Ensino de
Matemática salientam o seu papel para a discussão e argumentação de temas de interesse de
ciência e tecnologia. Um segundo aspecto salientado é a interconexão tecnologia e
matemática:
Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino da Geometria consiste
em levar o aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da
natureza e em criações do homem.[…]. […] O uso de alguns softwares
disponíveis também é uma forma de levar o aluno a raciocinar
geometricamente (PCNs: matemática, 1997, p.128).
Um dos maiores problemas em aderir ao uso de software em 1997 era a dificuldade
em ter acesso a tais tecnologias, mas como podemos notar nos PCN´s já era proposto
metodologias para os recursos disponíveis e era sempre reforçada essa ideologia. Com o
passar dos tempos e com os investimentos na implantação da informática nas escolas a
situação vem mudando constantemente, como último Censo Escolar, de 2012, no ensino
fundamental da rede pública, 48,6% das escolas têm laboratório de informática, enquanto
45,8% contam com acesso à internet. A situação é melhor no ensino médio, onde 92,4% das
escolas públicas possuem laboratórios de informática e 93% acesso à internet. Nos dois casos,
há mais laboratórios de informática que bibliotecas.
Perceber o papel desempenhado pelo conhecimento matemático no
desenvolvimento da tecnologia e a complexa relação entre ciência e
tecnologia ao longo da história; acompanhar criticamente o desenvolvimento
tecnológico contemporâneo, tomando contato com os avanços das novas
tecnologias nas diferentes áreas do conhecimento para se posicionar frente às
questões de nossa atualidade (BRASIL, 2002, p. 117-118).
1.2 Tecnologia na educação matemática
As dificuldades em usar um software vão além da falta de infraestrutura, o avanço das
escolas públicas brasileiras na área da tecnologia, estão também relacionadas à falta de
15
compromisso educacional com as mudanças e necessidade da sociedade no que diz respeito
ao ensino-aprendizagem, em outras palavras, chamamos a atenção para a falta de capacitação
dos professores. O profissional de ensino de matemática deve estar ciente das exigências e
competências que o uso de ferramentas como GeoGebra necessitam, mesmo sendo de fácil
manuseio, o professor deve ser capaz de refletir diante das mudanças que ocorreram no meio
escolar para ser capaz de planejar para usufruir do que a informática tem para nos oferecer.
Para Krüger, o uso do software livre vai muito além da questão
técnica. "Nós buscamos estimular a liberdade de pensamento e a
disseminação do conhecimento para todos os níveis escolares. Este
GT mostra, de forma prática, como se pode construir qualquer
conhecimento de forma democrática e aberta”. Enquanto o software
proprietário tem a mesma visão da escola “antiga”, em que o aluno
recebia tudo pronto e era passivo em relação à aprendizagem, o
software livre coloca o aluno e o professor dentro do processo de
criação, incentivando a troca de conhecimento e a construção
participativa do conhecimento. (Revista Brasileira da Educação
Profissional e Tecnológica).
Para adaptar as tecnologias ao ensino de matemática é necessário novos métodos de
ensino-aprendizagem que possa si adequar aos avanços, com o computador presente nas
atividades sociais é imprescindível que a escola enquanto “... uma instituição cujo papel
consiste na socialização do saber sistematizado” (SAVIANI, 2005, p.14) forneça aos alunos o
privilégio de ter o ensino utilizando softwares com ferramentas de construção de
conhecimento.
De acordo com as propostas de ensino, a tecnologia não consiste apenas em um
recurso a mais para os professores motivarem suas aulas, mas sim em um recurso
metodológico, que deve ser utilizado de maneira planejada, isto é, o modo e o momento de
utilização do recurso da informática devem estar relacionados ao conceito estudado, onde si
pode casar teoria e prática, isto é, a possibilidade de visualização, bem como ao objetivo de
proporcionar ao aluno uma aprendizagem significativa1e duradoura, pois quando temos uma
ideia concreta esse conhecimento é consolidado. Para que assim o professor possa levar os
estudantes ao ambiente informatizado podendo acelerar o processo de apropriação de
conhecimento, auxiliando na superação dos obstáculos da aprendizagem, por meio da
1
Aquisição de novos significados; pressupõe a existência de conceitos e proposições relevantes na estrutura
cognitiva, uma predisposição para aprender e uma tarefa de aprendizagem potencial significativa. ( Moreira e
Masini,2005, pg 105)
16
visualização, experimentação, interpretação, demonstração, resultando em ações que desafiem
a capacidade cognitiva do aluno.
Não podemos esperar que as tecnologias de informação e comunicação
operem milagres na cultura profissional do professor de matemática, mas
parece evidente que está mídia traz novos elementos a já atribulada vida do
professor. Daí a importância de suportes para que o professor de matemática
não se intimide com as máquinas informáticas, mas, ao contrário, possa
utilizá-las na formação do estudante deste tempo. (COSTA, 2004, p.79).
Sabemos que não é mais possível pensar em ensino de matemática sem considerar o
uso de tecnologias, pois elas vieram para melhorar o processo de construção do conhecimento
tanto para desenvolver no aluno o senso crítico, o pensamento hipotético e dedutivo, a
capacidade de observação, isso significa uma nova possibilidade de aprendizagem.
Para que a tecnologia seja implantada como ferramenta de ensino é preciso despertar o
interesse primeiramente no professor, pois ele será o promovedor de todo o processo de uso
de ferramentas computacionais. Vemos que com todo esse acervo tecnológico disponível não
são utilizados softwares que promovam uma nova forma para melhorar a transmissão de
conhecimento, essa questão nos leva a pensar que o maior problema em não aderir a métodos
novos está na preparação do educador, seja por falta de conhecimento da ferramenta ou pelo
medo em adaptar as práticas pedagógicas convencionais as práticas educativas promovidas
pela tecnologia.
Assim, incorporar o uso das tecnologias na prática pedagógica tem importância em
dois sentidos:
•
a formação dos alunos e o próprio desenvolvimento profissional dos
professores, de modo que o professor reflita sobre sua prática pedagógica.
•
a qualidade de ensino que o mesmo pode oferecer ao aluno, onde ambos
possam se desenvolver, e evoluir continuamente, em prol da preparação e
adaptação as novas necessidades expressas pela sociedade.
...ao trabalhar com os princípios da tecnologia educacional, o professor
estará criando condições para que o aluno, em contato crítico com as
tecnologias da/na escola, consiga lidar com as tecnologias da sociedade sem
ser por elas dominado. Este tipo de trabalho só será concretizado de sua
utilização (ou seja, porque e para que utilizá-las), quanto em termos de
conhecimentos técnicos, ou seja, como utilizá-las de acordo com a realidade
(SAMPAIO & LEITE apud SOUZA, 2001, p.83).
Portanto e necessário que o educador este bem preparado, com conhecimento
suficiente para desenvolver o uso de softwares no ensino de matemática, podendo juntar a
parte teórica com a parte de visualização e formar no aluno uma aprendizagem significativa.
17
1.3 PCN´s e proposta do uso de softwares no ensino de matemática.
Ao se estabelecer um primeiro conjunto de parâmetros para a organização do
ensino de Matemática no Ensino Médio, pretende-se contemplar a
necessidade da sua adequação para o desenvolvimento e promoção de
alunos, com diferentes motivações, interesses e capacidades, criando
condições para a sua inserção num mundo em mudança e contribuindo para
desenvolver as capacidades que deles serão exigidas em sua vida social e
profissional. Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e
profissionais ganham novos contornos, todas as áreas requerem alguma
competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e
procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer
argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou
tomar decisões em sua vida pessoal e profissional (PCNs: matemática, ,
p.40).
Ao propormos o uso de tecnologia no ensino de matemática devemos analisar o que os
parâmetros educacionais estão tendo como foco na área da matemática que pretende ser
aplicadas. É preciso ainda uma rápida reflexão sobre a relação entre Matemática e Tecnologia.
Embora sejacomum, quando nos referimos às tecnologias ligadas à Matemática, tomarmos
por base ainformática e o uso de calculadoras, estes instrumentos, não obstante sua
importância de maneira alguma constitui o centro da questão, neste sentido o uso de
tecnologia na educação será voltada para a utilização de softwares gratuito, o GeoGebra por
exemplo, como ferramenta de ensino, ou seja será usado como recurso assim como a lousa e o
giz. Sendo que Geogebra fornece uma melhor forma de compreensão tanto da parte visual,
gráficos e formas geométricas, quanto da forma algébrica, funções e definições .
Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje o
computador, exigirá doensino de Matemática um redirecionamento sob uma
perspectiva curricular que favoreça odesenvolvimento de habilidades e
procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecer e se orientar
nesse mundo do conhecimento em constante movimento(PCNs: matemática,
, p.40).
Dessa forma a utilização do GeoGebra deve ser baseada nos objetivos dos PCN´s de
matemática do ensino médio que são;
•
Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que
permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral;
18
•
Aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os
na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas atividades
cotidianas;
•
Analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando
ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria que lhe permita
expressar-se criticamente sobre problemas da Matemática, das outras áreas
do conhecimento e da atualidade;
•
Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de
comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
•
Utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para
desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
•
Expressar-se oral, escrita e graficamente situações matemáticas e valorizar a
precisão da linguagem e as demonstrações em Matemática;
•
Estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas
e o conhecimento de outras áreas do currículo;
•
Reconhecer
representações
equivalentes
de
um
mesmo
conceito,
relacionando procedimentos associados às diferentes representações;
•
Promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em
relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de
autonomia e cooperação
A matemática e a tecnologia quando associadas corretamente podem fornecer ao
professor uma gama de opções de trabalho, por exemplo com a aplicação do GeoGebra o
educador construirá um circulo trigonométrico bem como as definições de seno, cosseno e
tangente e ao mesmo tempo que estará explicando a teoria o aluno terá a representação visual
destes conceitos e suas interpretações geométricas,
podendo assim obter um
ensino/aprendizagem concreto e de maior fixação por parte do aluno.
Por outro lado, ao contemplarmos a importância dos recursos tecnológicos na
educação matemática, destaca a relevância das propostas pedagógicas estarem interligadas
diretamente através do o que o software GeoGebra tem para oferecer. Assim, o software deve
disponibilizar a capacidade de trabalhar com conceitos matemáticos e principalmente ser
capaz de representar os mesmos. Essas duas visões são características do GeoGebra: uma
expressão em álgebra corresponde a um objeto concreto na geometria e vice-versa.
19
O ensino com o uso das tecnologias digitais no ambiente escolar é
uma linha de trabalho que precisa se fortalecer, na medida em que há uma
distância evidente entre os avanços tecnológicos na produção de softwares
educacionais e a aceitação, compreensão e utilização desses recursos nas
aulas pelos professores[...] No contexto atual vê-se que muitas são as
contribuições que a informática pode trazer para a Educação Matemática[...]
No entanto, devemos pensar nas formas de introduzi-la na prática de sala de
aula de Matemática, bem como na formação do professor para sua utilização
(BARROSO, SANDRI, FRANCO, 2012, p. 02).
Com o GeoGebra o professor tem uma ferramenta fácil de manusear e com grande
capacidade em atender a maiorias dos conteúdos de matemática.
Acreditamos que com as possibilidades em juntar teoria e prática que o GeoGebra
proporciona, que são conceitos e parte visual, a aprendizagem passa a ser espontânea e a
educação começara a tomar novos rumos na busca de uma sociedade mais culta, interessada,
participativa, investigativa com os interesses sociais, com isso avançaremos mais se
soubermos adaptar os programas previstos ás necessidades dos alunos, criando conexões com
o cotidiano e o inesperado, e se transformarmos a sala de aula em uma comunidade de
investigação.
Mas para que isso se torne realidade os docentes devem perder o medo de usar os
softwares, colocando-os ao seu lado para propiciar a troca de conhecimentos para ambas as
partes. As tecnologias configuram se uma nova forma de pensar, transformando na base da
nova educação, agora cabe ao educador valorizar essas linguagens de informação e aprender a
utilizá-las e aplicá-las durante as aulas de forma que isso incremente e torne a prática docente
mais satisfatória e enriquecedora para alunos e professores.
Desse modo, centramos o foco de nosso trabalho no movimento que cada professor de
matemática precisa realizar, com vistas á sua própria formação para a tecnologia. Nas
pesquisas sobre o papel que os softwares matemáticos podem desempenhar na educação
matemática, e nos documentos de propostas curriculares oficiais de nosso país, podemos
identificar grandes categorias de argumentos que caracterizam duas concepções. A primeira
concepção, que denominamos consumir tecnologia para melhor a formação dos educandos
quando as maneiras dinâmicas e concretas que softwares como o GeoGebra podem
desenvolver recursos poderosos para ensinar e aprender matemática. A segunda concepção,
que denominamos incorporar tecnologia, sustentam que os professores de matemática devem
aderir a essas tecnologias transformando-as em ferramentas e instrumentos cognitivos,
professores e educandos mudam a forma de fazer matemática e mudam a forma de pensar
20
matematicamente. Algumas das visões mais otimistas dos defensores da tecnologia na
educação avançam ao afirmar que softwares mudam a própria matemática que se ensina, se
faz e se aprende.
Não podemos esperar que as tecnologias de informação e comunicação
operem milagres na cultura profissional do professor de matemática, mas
parece evidente que está mídia traz novos elementos a já atribulada vida do
professor. Daí a importância de suportes para que o professor de matemática
não se intimide com as máquinas informáticas, mas, ao contrário, possa
utilizá-las na formação do estudante deste tempo. (COSTA, 2004, p.79).
1.4 Quais contribuições do uso de softwares para educação?
A tecnologia vem sendo desenvolvida a cada dia, hoje chegamos a um patamar onde o
que conseguimos pensar podemos reproduzir em algum software. Partido deste princípio as
questões relacionadas à educação ganha um grande aliado para acrescentar á metodologia do
ensino.
Visando as contribuições que o uso de softwares tem dado para a educação, o
GeoGebra em destaque, proporciona uma educação mais dinâmica, o professor pode fazer
com que o aluno tenha uma visualização melhor que as obtidas na lousa e assim formular um
ideia correta de como será a representação gráfica de determinada área da matemática. Outro
ponto importante deste software e a forma algébrica que pode ser mudada de acordo com as
necessidades do professor, ele é uma ferramenta de ensino que pode ser modifica para mostrar
o comportamento da matemática, por exemplo, o professor pode mudar o coeficiente linear de
função do primeiro grau e o programa mostra o que ocorre graficamente com esta função,
formando um processo de aprendizagem/significativa no aluno. Este sendo de grande
favorecimento, pois o educando passa a ter um raciocínio lógico mais dinâmico, ele consegue
obter a noção de como se comporta a matemática, não ficando preso apenas a forma de como
o conteúdo foi apresentado.
21
“Um ambiente em que coexistem situações teóricas e práticas é
extremamente favorável à formação do futuro professor e do professor. A
riqueza desse ambiente será tanto maior quanto o for a relação entre
universidades e a comunidade escolar dos níveis fundamental e médio. São
enormes as possibilidades de formação surgidas a partir da colaboração entre
pesquisadores e professores, o que exige a continuidade de iniciativas nessa
direção. (PENTEADO, 2005,p.56)”.
Levando em consideração o que o GeoGebra tem para nos oferecer, podemos
enumerar algumas das principais possibilidades de benefícios para educação:
•
Ambiente dinâmico
•
Visualização correta dos conceitos matemáticos
•
Possibilidade de trabalhar a parte algébrica e já ter sua representação gráfica
•
Proporcionar ao aluno um modelo de aprendizagem diferente, essa diferença
consiste em uma metodologia mais apurada e diferenciada.
•
Realizar construções geométricas de forma mais rápida e com uma ótima
visualização
•
Criação de objetos apenas com conceitos
•
Obter uma maior atenção por parte dos alunos, uma vez que o uso de recursos
tecnológicos desperta o interesse.
•
Possibilita resposta imediata;
•
Estimula o desenvolvimento lógico;
•
A informática educacional favorece a expressão emocional;
•
Provoca o estímulo à criatividade, individual ou em grupo;
Alem das vantagens da tecnologia na educação o software Geogebra tem suas
principais vantagens:
•
Criado para melhorar o ensino da matemática
•
Livre
•
Geometria e álgebra
•
Software dinâmico
•
Trabalha quase todos os conteúdos do ensino
•
Permite articular álgebra e geometria na mesma tela
22
•
Investigação matemática com o GeoGebra
•
Trabalho com o aluno
•
Valorização da experiência
•
Valorizacão da inteligência coletiva
•
Desenvolvimento da sensibilidade matemática
•
Estende nosso olhar e modifica nossa percepção sobre os objetos matemáticos.
Inúmeros estudos provam que o uso de softwares vem contribuir para a formação do
aluno, e que os casos onde o professor usou recursos como o Geogebra os estudantes
obtiveram um desenvolvimento melhor que os demais. Segundo pesquisas de Caetano, onde
foram aplicado o Geogebra mostraram que a partir do uso do software os alunos tiveram uma
melhor assimilação dos conteúdos ministrados, e com isso tiveram uma aprendizagem
significativa, neste sentido fica confirmado que a tecnologia é sim de grande utilidade para
educação principalmente no que diz respeito a fixação de conteúdo.
É importante destacar, que os alunos participantes da pesquisa, já
haviam estudado os conteúdos abordados nas sequências, entretanto,
durante a aplicação da primeira sequência didática, observou-se que a
maioria dos alunos não apresentava domínio dos conceitos de forma
significativa, situação está constatada com os demais conteúdos que
foram abordados nas demais seqüências didáticas. A utilização da
ferramenta computacional com o geogebra também não era de
domínio dos alunos sendo necessário que a pesquisadora apresentasse
as principais janelas do software aos alunos antes do início da
atividade. (Caetano, 2011, pg.76)
Portanto, temos que tecnologias está disponível e como ela pode ser de grande ajuda
no meio escolar, com todas as vantagens mostradas anteriormente, agora fica a cargo dos
professores decidirem se vão optar por uma educação inovadora e com respostas
significativas enquanto metodologia e aprendizagem. Mesmo que a maiorias dos educadores
tenham dificuldades em manusear tais recursos, programas como o Geogebra é de fácil
trabalho e a interface é de auto-ajuda. Para facilitar ainda mais a adesão, o próximo capítulo
deste trabalho vem mostrar algumas das possíveis formas de trabalhar com o software, no
23
capítulo também será fornecido modelos de como apresentar conceitos e definições
matemáticas.
24
CAPITULO 2: O USO DO GEOGEBRA
2.1Interface do GeoGebra
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta geometria, álgebra e
cálculo.
É desenvolvido
para
aprender e
ensinar matemática
nas
escolas
por
MarkusHohenwarter e uma equipa internacional de programadores.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica.
Permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos,
retas, seções cônicas como com funções que podem se modificar
posteriormente de forma dinâmica. Por outro lado, equações e
coordenadas podem estar interligadas diretamente através do
GeoGebra. Assim, o software tem a capacidade de trabalhar com
variáveis vinculadas a números, vetores e pontos; permite achar
derivadas e integrais de funções e oferece comandos, como raízes e
extremos. Essas duas visões são características do GeoGebra: uma
expressão em álgebra corresponde a um objeto concreto na geometria
e vice-versa (HOHENWARTER, Markus, 2007, p.4)
O GeoGebra fornece três diferentes vistas dos objetos matemáticos: a Janela Gráfica,
a Janela Algébrica, ou numérica e um campo de entrada de comandos. Elas permitem mostrar
os objetos matemáticos em duas diferentes representações: graficamente (pontos, gráficos de
funções), algebricamente (coordenadas de pontos, equações). Assim, todas as representações
do mesmo objeto estão ligadas dinamicamente e adaptam-se automaticamente às mudanças
realizadas em qualquer delas, independentemente da forma como esses objetos foram
inicialmente criados.
O GeoGebra também oferece uma vasta gama de comandosque podem ser inseridos
no campo de Entrada de Comandos. Pode abrir a lista de comandos no lado direito daBarra
de Comandos, clicando no botão ‘Ajuda’. Depois de selecionar um comando nesta lista (ou
digitar o seu nome diretamente no campo de Entrada de Comandos).
25
FIGURA 1: Interface do GeoGebra
Usando as ferramentas disponíveis na Barra de Ferramentas,
Ferramentas pode realizar
construções geométricas na Janela Gráfica com o mouse. Selecione qualquer ferramenta na
Barra de Ferramentas e leia a ajuda da ferramenta(aa seguir à barra de ferramentas) para ver
como usar a ferramenta selecionada. Cada objeto criado na Janela Gráfica tem também uma
representação na Janela Algébrica.
Algébrica
BOTÃO
FUNÇÃO
PROCEDIMENTO
Novo ponto
Clique na Janela de visualização ou sobre um
objeto
Reta definida entre dois
pontos
Clique no botão ponto e selecione dois pontos
Reta definida por dois pontos
Selecione dois pontos
Reta perpendicular
Selecione primeiro o ponto e, depois, uma reta
Reta paralela
Selecione primeiro o ponto e, depois, uma reta
Reta tangente
Polígono
Selecione primeiro o ponto e, depois, um circulo,
uma cônica ou uma função
Selecione todos os vértices e, então, clique
novamente no vértice inicial
26
Mover
Arraste ou selecione um ou mais objetos
Circulo dado o centro e um
de seus pontos
Selecione o centro e, depois, um ponto do circulo
Elipse
Selecione dois focos em depois, um ponto da
elipse
Ângulo
Selecione três pontos ou duas retas
Reflexão em relação a uma
reta
Selecione primeiro o objeto e, depois, a reta de
reflexão
Clique na área de trabalho ou em ponto para criar
o texto
Clique na janela de visualização para especificar a
posição do controle deslizante
Inserir texto
Controle deslizante
Mover janela de visualização
Arraste a janela de visualização ou um eixo
FIGURA 2: Barra de Ferramentas
Ao clicarmos no botão ajuda, o programa abre uma gama de guias de comandos que
facilitará o trabalho na Entrada deComandos no qual está disponível uma serie de funções.
Estas funções pode ser trabalhadas diretamente bastando usar o comando.
COMANDO
( )
( )
FUNÇÃO
Função modular para qualquer valor de x
Raiz quadra de qualquer valor de x
( )
Função seno de x
( )
Função cosseno de x
tg( )
Função tangente de x
Função eelevado a x
FIGURA 3: Comandos simples
Usando a Entrada de Comandos pode inserir diretamente expressões algébricas no
GeoGebra. Após clicar a tecla Enter, a expressão algébrica digitada aparece na Janela
Algébrica e a respectiva representação gráfica aparece na Janela Gráfica. Por exemplo,
inserindo ( ) = Gráfica.
aparece a função na Janela Algébrica e o respectivo gráfico na Janela
27
FIGURA 4: Representação da Função ( ) = ²
2.2Aplicando o GeoGebra.
Um dos grandes desafios na implantação de software na educação é a busca de opções
que venham unir o que está disponível no software e a teoria já conhecida. Nesta sessão
iremos propor algumas aplicações do GeoGebra sempre visando os PCN`s, para aplicá-lo
foram escolhidos conteúdos do ensino médio de matemática contidos nos livros de Smole e
Diniz.
2. 2.1 Geometria plana.
Os avanços feitos por Euclides estabeleceu as propriedades das figuras
geométricas que são utilizamos frequentemente. Muitos dos padrões da natureza e suas
simetrias, problemas práticos do nossocotidiano foram traduzidos e transformados em
definições geométricas. De acordo Boyer, algumas dessas definições estão nos cincos
postulados e nos cincos axiomas de Euclides, é importante ressaltar que postulados e axiomas
são aceitos como verdade e não precisam de provas, para suas totais veracidade foram feitos
inúmeros testes sempre com os mesmos resultados:
Os Postulados são:
1. Traçar uma segmento de reta de qualquer ponto a qualquer ponto;
28
2. Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta;
3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio;
4. Que todos os ângulos retos são iguais;
5. Que se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores
que dois ângulos retos, as retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em
que os ângulos são menores que dois ângulos retos.
Os Axiomas são:
1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa, também são iguais entre si;
2. Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais;
3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais;
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra;
5. O todo é maior que a parte
Com o aprimoramento da geometria várias outras definições foram moduladas, elas
foram sendo desenvolvidas com o passar dos anos e a cada nova geração de intelectuais eram
incorporados conceitos e alguns aperfeiçoamentos até chegar a propriedades que conhecemos
hoje. Entre as definições foram criadas algumas simples e outras bastante complexas. Em
geometria plana podemos destacar:
•
Ponto, algo que na tem definição é um ponto e nada mais.
•
Reta, é uma reta e pronto.
Mas por outro lado temos bastantes definições que os associam e como elas podemos
chegar em outras que são como um complemento para a formação do conhecimento
geométrico. As relações podem ser ditas como:
•
Por um ponto passam infinitas retas
•
Por dois pontos distintos passa uma única reta.
•
Por uma reta existe mais de dois pontos consecutivos.
•
Três pontos distintos não são colineares
•
Três pontos determinam um único plano
•
Duas retas são concorrentes se tiverem um único ponto em comum
•
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum
29
Através do ponto e reta, foi possível desenvolver conceitos mais elaborados de figuras
planas, definições foram criadas como muita precisão. Chegaram às seguintes definições:
Triângulo é um polígono de três lados e podemos classificá-los quando aos lados e aos
ângulos,
Quanto aos lados:
1. Equilátero, todos os lados iguais
2.
Isósceles, dois lados iguais,
3. Escaleno, os lados diferentes.
Quanto aos ângulos:
1. Acutângulo, um ângulo agudo,
2. Obtusângulo, um ângulo obtuso,
3. Retângulo, um ângulo reto.
Todos os triângulos obedecem às definições
•
Se o triângulo tem dois lados iguais, os ângulos que lhes são opostos também são
iguais,
•
Num triângulo, ou em triângulos iguais, a lados iguais opõem-se ângulos iguais,
•
Num triângulo, ou em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais,
•
Num triângulo, ao maior lado opõem-se o maior ângulo. Sua área pode ser calculada
por
×
⁄2.
Quadriláteros são figuras com quatro lados. Dentre eles podemos destacar:
1. Quadrado com quatro lados iguais, quatro ângulos retos, diagonais perpendiculares e
quatro eixos de simetria,
2. Retângulo com lados opostos iguais, quatro ângulos retos, diagonais iguais que se
bissetam e eixos de simetria.
Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que
distam igualmente de um ponto fixo. Esse ponto fixo é denominamos de CENTRO da
circunferência A distância constante denominou de RAIO (indicado por r).
Ressalta-se assim, que o ensino da Geometria deve partir da percepção e intuição de
dados concretos e experimentais, explorando os conceitos, representações e aplicações,
desenvolvendo o raciocínio lógico, para utilizar um software para o estudo da geometria.
30
O GeoGebra é uma ferramenta que permite representar todos os conceitos de geometria
plana, sendo possível mostrar conceitos simples como, por um ponto passam infinitas retas
ate a construção de figuras complexas. O professor pode fazer essas construções juntamente
com os alunos, sendo interessante fazê-las a partir da definições.
Para construir uma figura geométrica regular.
1. Clique no botão ponto
e cria pontos distintos.
2. Clique no botão polígono
regular e em seguida sobre os dois pontos
3. O próprio GeoGebra abre um janela para ser digitado a quantidade de lados
do polígono, e sempre o lado terá o mesmo tamanho, pois o polígono e
regular.
FIGURA 5: Polígonos regulares
2.2.2 Função do 1ª grau.
Primeiro vamos escrever forma genérica da função ( ) = de coeficiente angular, determina a inclinação da reta, e
+ , onde
é chamado
é denominado coeficiente linear e é
a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo #$, ponto onde a função intercepta o eixo %.
Desta forma podemos variar para mostrar aos alunos o comportamento da função e o
gráfico, para cada par (a, b) fixados.
Definição: Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer
função ∶ ℝ → ℝdada por ( ) = + , onde são números reais dados e
≠ 0.
31
Gráfico: O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, $ =
uma reta oblíqua aos eixos #
+
, com
≠ 0, é
#$.
Para construção usando o GeoGebra:
1. No campo entrada de comando digite ( ) =
2. No botão controle de deslizante
3. Sobre
.
e determine a variação de .
clique no botão direito no mouse e em animar.
4. Entradade comandodigite + .
5. No botão controle de deslizante
6. Sobre
e determine a variação de .
clique no botão direito no mouse em animar.
7. Após ter a função ( ) =
FIGURA 6: Função ( ) =
+ pronta, tecle enter.
+
Com esta aplicação o professor mostrará as possíveis formas da função do 1º grau,
que são pontos onde intercepta os eixos, inclinação da reta e crescimento ou decrescimento da
resta, assim o aluno terá uma melhor noção do conteúdo não ficando apenas com uma função
determinada.
2.2.3 Função de 2º grau ou função quadrática
.
Usando a forma padrão da função do 2º grau temos f(x)= ax²+bx+c, com , ,
ℝ
⋴
≠ 0. Neste caso, podemos variar os parâmetros conseguindo um grande número de
32
funções correspondentes, outro ponto do GeoGebra e que com comando podemos encontrar o
vértice e as raízes da função do 2º grau.
Definição: Chama função do 2º grau ou quadrática umaaplicação f: R→ R definida por
f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.
O gráfico: da função do 2º grau é uma curva aberta chamada parábola. A concavidade
> 0 a concavidade para cima e se
da parábola depende do coeficiente a ,se
<0 a
concavidade para baixo.
Para construção:
1. No campo entrada de comando digite ( ) = ( )^2.
2. No botão controle de deslizante
e determine a variação de .
3. Sobre clique no botão direito no mouse e em animar.
4. Entrada comando digite +
.
5. No botão controle de deslizante
e determine a variação de .
6. Sobre b clique no botão direito no mouse e em animar.
7. Entrada de comando digite + .
8. No botão controle de deslizante
e determine a variação de .
9. Sobre clique no botão direito no mouse e em animar.
10. Após ter a função ( ) =
²+
+ pronta tecle enter.
Neste modelo de aplicação podemos trabalhar com funções de modo mais formal, é
possível mostrar como si estrutura os conhecimento nesta área da matemática, através de
linguagem precisa e dedução lógica, este tipo de metodologia leva o aluno a raciocinar alem
do que ele esta vendo por seu aparato de interpretação muito maior.
FIGURA 7: Função
( )=
²+
+
33
2.2.4 Função seno, cosseno e tangente.
Uma das maiores dificuldades em mostrar as funções trigonométricas e fazer com que
o aluno tenha a ideia da oscilação das funções, neste caso o GeoGebra facilita muito a
visualização por para dos alunos.
Função seno é a função
∶ ℝ → ℝ que associa a cada número real
o seu seno,
então ( ) = sen . O sinal da função ( ) = sen .é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é
negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes.
Associa a cada número real
o número $ = sen .
Amplitude: 1 que por sua vez é o mesmo valor do raio do círculo trigonométrico onde
ela foi definida.
Domínio: Como x pode assumir qualquer valor real: 5 = 6
Período: É sempre o comprimento da senóide. No caso da função ( ) = sin , a
senóidecaracteriza-se pelo intervalo de 0 28, portanto o período é 28.
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são
respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores:9: =
[−1,1]
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 28. Esse intervalo é denominado
senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e
mínima no eixo cartesiano.
Função cosseno é a função
cosseno, então
∶ ℝ → ℝ que associa a cada número real
( ) = cos . O sinal da função
( ) = cos
o seu
é positivo no 1º e 4º
quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrante. Associa a cada número real
o número $ = cos
Amplitude: 1 o mesmo valor do raio do círculo trigonométrico onde ela foi definida.
Domínio: Como
pode assumir qualquer valor real: 5 = 6.
Período: É sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função ( ) = cos , a
cosenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 28, portanto o período é28.
Conjunto Imagem: Como cosseno possui valor máximo e mínimo, que são
respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: 9: =
[−1,1].
34
Gráfico: Ele sempre se repete no intervalo de 0 28. Esse intervalo é denominado
cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima
e mínima no eixo cartesiano.
Função tangente é uma função
∶ 6 → 6 que associa a cada número real
a sua
tangente, então ( ) = tan .
Sinais da função tangente:
•
Valores positivos nos quadrantes ímpares.
•
Valores negativos nos quadrantes pares.
•
Crescente em cada valor.
Associa a cada número real o número $ = tan
Domínio: A função da tangente apresenta uma peculiaridade. Ela diverge quando o
cosseno tende para zero, portanto o domínio são todos os números reais, exceto os que zeram
o cosseno.
Período: π
Conjunto Imagem:9: = [−∞, ∞]
Para construir a função seno, cosseno e tangente.
1. Para seno, digitar no campo entrada de comando
( ) e teclar enter, para
mostra a oscilação basta criar um ponto sobre a função e animá-lo.
2.
Para cosseno, digitar no campo entrada de comando
( ) e teclar enter,
para mostra a oscilação basta criar um ponto sobre a função e animá-lo.
3. Para tangente, digitar no campo entrada de comando C( ) e teclar enter,
para mostra a oscilação basta criar um ponto sobre a função e animá-lo.
FIGURA 8: Funções trigonométricas
35
Com isso o professor pode ter a três funções em único desenho e pode mostrar aos
alunos os pontos onde ambas si encontrar.
2.2.5 Construção do circulo trigonométrico.
Para construir um circulo trigonométrico usamos o plano cartesiano, considera uma
circunferência de centro na origem (0,0) e de raio unitário, para valores positivos adere o
sentido anti-horário no qual chamamos de circulo trigonométrico o percurso sobre a
circunferência.
A trigonometria e uma das áreas da matemática na qual os alunos têm dificuldade em
assimilar o que esta sendo ensinado pelo professor, pois envolve muitas relações. O GeoGebra
pode facilitar a compreensão dos alunos, o professor cria as relações e constrói o circulo
trigonométrico a partir delas, como no software podemos animar a construção o professor
poderá mostrar a aluno todos os pontos importantes da matéria em estudo.
Para construção do circulo trigonométrico.
1. Na barra de ferramentas clique em ponto
, por conveniência criamos um
ponto A na interseção dos eixos x e y.
2. Cria um ponto B sobre o eixo x que esteja a uma unidade de distancia de A.
3. Criar um circulo dado o centro e um de seus pontos
, selecione o centro
A, depois, um ponto do circulo que é B
4. Criar um ponto C sobre o circulo, clicar no botão ponto
e depois sobre o
circulo.
5. Criar a imagem seno (reta a), clicar em reta perpendicular
, selecione
primeiro o ponto C e, depois, a reta x, o ponto onde elas si interceptam é o
seno.
6. Criar a imagem cosseno (reta b), clicar em reta perpendicular
, selecione
primeiro o ponto C e, depois, a reta y, o ponto onde elas si interceptam é o
cosseno.
7. Cria a imagem tangente, clicar em reta entre dois pontos
, selecionar o
ponto A e C, depois criar um ponto onde essa reta intercepta a reta a nele
temos a tangente.
36
8. Criar o ângulo que determina o seno, cosseno e tangente, criar um ponto D
sobre o eixo x, depois clicar em Polígono
selecione todos os vértices e,
então, clique novamente no vértice inicial, para finalizar clicar no botão
ângulo
e selecionar os pontos A, C e D em sentido horário, logo temos
um ângulo D.
9. Para obter seno digite no campo entrada de comando sin(D).
10. Para obter cosseno digite no campo entrada de comando cos(D).
11. Para obter tangente digite no campo entrada de comando C(D).
12. Para variar o ângulo D basta clicar sobre o ponto C e animá-lo.
Ao fazermos esta representação iremos alcançar todos os possíveis valores no circulo
trigonométrico e variando o ângulo D podemos mostrar aos alunos todo o conceito, obtendo
ponto alem dos quais são denominados como ponto principais, exemplo seno de 30º, 45º e
90º.
FIGURA 9: Circulo trigonométrico
f(x)=ax²+bx+c
Espera que as aplicações ajudem o professor a fazer uso do GeoGebra em seu
trabalho, pois segundo parâmetros nacionais essa prática vem contribuir em muito para a
formação de conhecimento.
37
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Entre seus aspectos mais notáveis, o GeoGebra se apresentam como ferramenta
essencial para o ensino de Matemática, desde os tempos mais remotos, o homem se utiliza o
conhecimento para compreender o espaço que o cerca e suas formas, com o intuito de
solucionar problemas das mais diversas origens, o software vem acrescentar este
conhecimento.
Ensinar através de softwares é uma tarefa que exige competência, criatividade e
dinamismo. Seu ensino deve levar o aluno a desenvolver hábitos de leitura do mundo, que o
permita perceber, descrever e representar o mundo da matemática. Não se deve, portanto,
minimizar o ensino da matemática quanto à memorização de definições e fórmulas, é
necessário promover aprendizagem conjugada e significativa que desenvolva no aluno suas
capacidades criativas.
Inúmeras são as possibilidades do professor em sala de aula, quando se tem como
auxílio à ferramenta GeoGebra, que é um passo no desenvolvimento da inteligência que é
alcançada pela exploração das capacidades visuais e espaciais dos alunos, colaborando com
seu crescimento intelectual.
Espera-se que este trabalho, possa contribuir para esclarecimentos acerca da utilização
do GeoGebra para melhorar o aprendizado dos alunos nas etapas de sua formação. Para que
assim, desperte o interesse de muitos para que novas contribuições surjam nesta área e o uso
do GeoGebra esteja presente em nossas escolas e que professores possam aderi-lo em seus
planejamentos, buscando sempre uma forma mais eficaz de transmitir o conhecimento.
38
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acessado
06/09/2013 as 15:29
http://www.pucsp.br/geogebrasp/geogebra.html acessado 29/09/2013 as 10:09