Universidade Federal de Ouro Preto
Escola de Minas
Departamento de Engenharia Civil
CIV – 107
Resistência dos Materiais e Estruturas
Geraldo Donizetti de Paula
Jaime Florencio Martins
Ouro Preto, Agosto/ 2014
ALFABETO GREGO
Nome moderno
Nome clássico
Alfa
Alfa
Vita
Beta
Gama
Gama
Delta
Delta
Epsilo
Èpsilón
Zeta
Dzeta
Ita
Eta
Tita
Theta
Iota
Iota
Capa
Capa
Landa
Lambda
Mi
Mü
Ni
Nü
Xi (csi)
Xi (csi)
Ômicron
Òmicrón
Pi
Pi
Rô
Ró
Sigma
Sigma
Tau
Tau
Ípsilon
Üpsilón
Fi
Fi
Khi
Khi
Psi
Psi
Ômega
Omega
Minúsculas
Maiúsculas
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ALFABETO GREGO
Nome moderno
Nome clássico
Minúsculas
Maiúsculas
Alfa
Alfa
Vita
Beta
Gama
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Delta
Delta
Epsilo
Èpsilón
Zeta
Dzeta
Ita
Eta
Tita
Theta
Iota
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Capa
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Landa
Lambda
Mi
Mü
Ni
Nü
Xi (csi)
Xi (csi)
Ômicron
Òmicrón
Pi
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Rô
Ró
Sigma
Sigma
Tau
Tau
Ípsilon
Üpsilón
Fi
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Psi
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Ômega
Omega
α
β
γ
δ
ε
ζ
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ι
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µ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
1
Capítulo 1 – Estática Fundamental
1.1
– Objetivos da Resistência dos Materiais: É a ciência que estuda as tensões e
deformações que ocorrem nos sólidos, provenientes de forças externas a eles aplicadas.
A Resistência dos Materiais também é conhecida como Mecânica dos Materiais ou
Mecânica dos Sólidos.
Sólido: é um estado da matéria que tem volume e forma definidos.
Fluido: Substância liquida ou gasosa que não tem resistência ao cisalhamento. Os fluidos
tomam a forma do recipiente em que está colocado.
1.2- Histórico da Resistência dos Materiais
Madeira: Pela sua disponibilidade e propriedades foi um dos primeiros materiais utilizados
pelo homem para construir. As primeiras pontes surgiram de forma natural pela queda de
árvores sobre os rios ou vales.
Ferro fundido: A fabricação do ferro fundido teve início na Ásia por volta de 1.500 a. C. O
ferro fundido oxida com facilidade.
Aço: Liga de ferro e carbono sendo o teor de carbono variando de 0,008% a 2,11%. Se o
teor de carbono da liga for maior do que 2,11% e menor do que 6,67% a liga é chamada
ferro fundido.
Os gregos Aristóteles e Arquimedes estabeleceram os princípios da estática. Os
romanos foram grandes construtores de templos, estradas e pontes. Usavam,
freqüentemente, arcos nas construções. Os egípcios tinham algumas regras empíricas
(baseadas na experiência) para construir templos e pirâmides.
Muito do conhecimento dos gregos, romanos e egípcios para análise de estruturas
foi perdido durante a idade média.
Leonardo da Vinci estudou a resistência de colunas experimentalmente. Galileu Galilei
foi o primeiro cientista a estudar a flexão de vigas. É considerado o pai do método
experimental e da Resistência dos Materiais.
1.3 – Definições:
a) Material dúctil: É um material que apresenta grandes deformações antes de se
romper e a resistência à tração é considerada igual à compressão. Ex.: aço doce
(aço de construção), alumínio.
2
b) Material frágil: É um material que rompe bruscamente, sem aviso prévio, com
pequena deformação. A resistência à tração é diferente
da resistência à
compressão. Ex.: aço para ferramentas, vidro, concreto, giz.
c) Corpo rígido: corpo que não se deforma quando solicitado por forças ou momentos.
d) Deslocamento de corpo rígido: deslocamento sem deformação.
e) Barra - placa – bloco
Barra: quando as duas dimensões da seção transversal são pequenas quando
comparadas com o comprimento longitudinal (L>> h ; L>> b). Exemplo: vigas.
Placa: quando uma dimensão (a espessura) é muito menor do que as outras duas
dimensões (L ≅ b ; L>> h). Exemplos: lajes e cascas.
Bloco: quando: L ≅ h ≅ b
f) Eixo da barra: uma barra pode ser representada pelo seu eixo que é o conjunto de
pontos dos centróides das seções transversais.
g) Barra prismática: barra de eixo reto e seção transversal constante.
1.4 - Estrutura: É a parte mais resistente de uma construção e tem a função de resistir às
cargas aplicadas. Em um edifício a estrutura é constituída pelas vigas, pilares, lajes e
fundação.
Para o dimensionamento da estrutura deve-se levar em consideração a
economia e a segurança.
1.5 – Hipótese fundamental: a estrutura está em equilíbrio estático.
•
Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um ponto material no
espaço:
x
=0
y
=0
z
=0
∑F
∑F
∑F
3
•
Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido no espaço:
x
=0 ;
y
=0 ;
z
=0 ;
∑F
∑F
∑F
∑M
∑M
∑M
x
=0
y
=0
z
=0
1.6 - Apoios
Uma estrutura no espaço possui seis graus de liberdade, sendo três translações e
três rotações. A função dos apoios é retirar graus de liberdade, surgindo reações nas
direções dos movimentos impedidos.
•
Apoios do primeiro gênero
•
Apoios do segundo gênero (ou articulação ou rótula): Retiram dois graus de
liberdade, impedem o deslocamento em todas as direções e permitem a rotação.
•
Apoios do terceiro gênero (ou engaste): Retiram três graus de liberdade, impedem o
deslocamento em todas as direções e impedem a rotação.
4
1.7 – Estaticidade e estabilidade de estruturas planas carregadas no próprio plano
Para estruturas planas carregadas no próprio plano (plano xOy) as condições
necessárias e suficientes para o equilíbrio são três:
∑F
x
=0 ;
∑F
y
=0 ;
∑M = 0
Para estas estruturas três casos podem ocorrer com relação à estabilidade e
estacidade:
1o caso: O número de reações de apoio é menor que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hipostática e o equilíbrio é instável.
2o caso: O número de reações de apoio é igual ao número de equações de equilíbrio da
estática (3). A estrutura é chamada isostática e o equilíbrio é estável.
3o caso: O número de reações de apoio é maior que o número de equações de equilíbrio
da estática (3). A estrutura é chamada hiperestática e o equilíbrio é estável.
São três as equações de equilíbrio e a viga acima possui cinco reações de apoio,
então, a viga é duas vezes hiperestática.
5
As três equações de equilíbrio da estática não são suficientes para calcularem-se as
reações de apoio das estruturas hiperestáticas. Além das três equações de equilíbrio são
necessárias outras equações que são obtidas conhecendo-se como a estrutura se deforma
(para impor condições de deslocamento e/ou de rotação).
Observação: Casos particulares:
A viga acima possui três reações, mas o equilíbrio é instável; a viga abaixo possui quatro
reações e o equilíbrio também é instável.
1.8 – Sistema de Unidades
Unidades básicas do Sistema Internacional
m (metro): para comprimento
quilograma (kg): para massa
segundo (s): para tempo
Unidades de força no SI (unidade derivada)
1 N = 1 kg.m/s2
Sistema inglês
1 polegada = 1 in = 1| | = 2,54 cm
1 pé (foot) = 1 ft = 1| = 12 in = 30,48 cm
1 libra = 453,59 gramas
6
1.9 – Esforços externos: São os esforços aplicados nas estruturas e podem ser:
a) Concentrados
b) Distribuídos
Observação: a carga distribuída uniforme q (N/m) é calculada multiplicando-se o peso
específico (γ) pela área da seção transversal (A).
c) Estático: quando aplicado lentamente (sem impacto) e o seu valor não varia com o
tempo. Ex.: peso próprio de vigas.
d) Dinâmico: quando aplicado com impacto e o seu valor varia com o tempo. Ex.: efeito
do vento em edifícios altos, efeito das ondas do mar em uma plataforma, pontes.
7
1.10- Esforços internos: Os esforços externos produzem esforços internos que são em
número de quatro.
•
Força normal (N)
•
Força cortante (V)
•
Momento fletor (M)
•
Momento de torção ou torque (T)
•
Força normal (N) → é a força normal (perpendicular) a uma área. A força normal pode
ser de tração ou compressão.
Fazendo-se um corte imaginário na barra tracionada, tem-se:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: N = N|
N = esfoço externo e
•
N| = esforço interno
Força cortante (V) → é a força que está contida em uma seção transversal.
8
•
Momento fletor (M) → é o momento de uma força que produz flexão em uma barra.
Fazendo-se um corte imaginário na barra solicitada por um momento fletor positivo:
Por considerações de equilíbrio das partes recortadas: M = M|
M = esfoço externo e
M| = esforço interno
Observação: Força vertical com o sentido para cima produz momento fletor positivo
(traciona em baixo). Força vertical com o sentido para baixo produz momento fletor
negativo (traciona em cima).
•
Momento de torção ou torque (T) → é o momento de uma força que produz torção
em uma barra.
9
Não existe convenção de sinais para o momento de torção.
1.11 – Exemplos de estruturas
a) Treliças: As treliças ideais são formadas por barras, as extremidades são rotuladas
e o carregamento atua nas rótulas (chamadas nós). As barras das treliças ideais
estão solicitadas apenas por forças normais (tração ou compressão).
OBS.: O contraventamento permite que a treliça resista aos esforços horizontais como, por
exemplo, a ação do vento.
Tirante: elemento estrutural que trabalha à tração.
Escora: elemento estrutural que trabalha à compressão.
10
b) Vigas: As vigas estão solicitadas, geralmente, por momento fletor e força cortante.
Qualquer parte ou ponto de uma estrutura em equilíbrio também está em equilíbrio.
Fazendo-se um corte imaginário na viga acima, os esforços que eram internos tornamse externos e devem equilibrar a parte recortada.
c) Pórticos (ou quadros) planos carregados no próprio plano: Estas estruturas estão
solicitadas por força normal, força cortante e momento fletor (torção é igual a zero).
No pórtico (a) têm-se cinco (5) reações de apoio, portanto, este pórtico é duas vezes
hiperestático. O pórtico (b) também tem cinco reações de apoio, mas possui uma rótula a
11
mais. Impondo-se que o momento fletor nesta rótula é nulo, obtém-se mais uma equação.
Desta forma, o pórtico (b) é uma vez hiperestático. As rótulas transmitem força, mas não
transmitem momento fletor.
c) Grelhas: O carregamento nas grelhas é perpendicular ao seu plano. As grelhas
estão solicitadas por momento fletor, força cortante e torção (força normal é igual a
zero).
1.12 – Exemplos de vigas isostáticas
12
1.13 – Relação entre momento fletor e força cortante
− dM + Vdx = 0 →
de onde:
dM
=V
dx
↑ ⊕∑ FY = 0 → V − qdx − (V + dV) = 0
→
dV
= −q
dx
Derivando-se a relação entre M e V em relação a x, tem-se:
d 2 M dV
=
dx
dx 2
→
d 2M
= −q
dx 2
13
Capítulo 2 – Tensão e deformação
2.1 – Tensão normal (σ):
Por definição:
σ=
F
A
(2.1)
onde: σ : tensão normal dada em N/m2 (no Sistema Internacional)
F : Força normal axial
A : área da seção transversal da barra
Por convenção: σ de tração é positiva e σ de compressão é negativa.
Fazendo ensaios de tração Galileu demonstrou que a resistência à tração de uma barra
é proporcional à área da seção transversal e independe do comprimento longitudinal.
A tensão normal no Sistema Internacional é dada em Pascais. Por definição 1 Pa = 1
N/m . Então: 1 MPa = 106 N/m2. Uma vez que 1 m = 1.000 mm ⇒ (1 m)2 = (1.000 mm)2 ⇒
1 m2 = 106 mm2. Então: 1MPa = 10 6 N / m 2 = 1 N / mm 2
2
•
__
Tensão admissível ( σ adm ou σ ): É a tensão que está dentro dos limites de segurança.
σ adm =
onde: σR = Tensão de ruptura
C S = Coeficiente de segurança ( C S > 1,0)
σR
CS
14
•
Definição matemática de tensão normal: A definição de tensão normal dada pela
equação (2.1) somente pode ser usada se ocorre distribuição uniforme das tensões
normais na seção transversal. Uma vez que esta condição nem sempre é satisfeita devese usar a definição matemática de tensão normal:
σ
∆A → 0
=
∆F
∆A
→ σ=
dF
dA
(2.2)
2.2 – Deformação linear específica (ε):
Por definição:
∆L
(2.3)
L
ε é adimensional e também conhecida como deformação específica normal, deformação
ε=
específica ou deformação normal.
•
Fluência: deformação lenta de um corpo submetido a uma tensão constante.
2.3 – Coeficiente de Poisson (ν): Quando uma barra é tracionada o alongamento longitudinal
é acompanhado de contrações laterais, isto é, o comprimento da barra aumenta e a seção
transversal diminui. A relação entre a deformação lateral e a deformação longitudinal é
chamada coeficiente de Poisson (ν):
ν=
deformação lateral
deformação longitudinal
ν= −
εy
εx
O coeficiente de Poisson é adimensional e sempre positivo. O sinal negativo na
expressão acima é necessário porque se a deformação εx for positiva εy será negativa, e viceversa.
15
Material isotrópico: é um material que apresenta as mesmas propriedades físicas em
todas as direções. Em um material isotrópico:
εz '
εy
ε
ν= −
= − z =−
εx
εx
εx
2.4 – Diagrama tensão - deformação
2.4.1 – Aço doce (aço usado na construção civil com baixo teor de carbono)
Em um ensaio de tração sendo a força aplicada gradualmente (sem impacto) os diversos
pares F - ∆L são anotados e podem ser colocados em um gráfico.
O diagrama tensão – deformação permite obter dados sobre o material sem considerar as suas
dimensões (área da seção transversal (A) e comprimento longitudinal (L)).
σ P → Tensão de proporcionalidade (ou limite de proporcionalidade): É a maior tensão que
pode ser aplicada à barra sem que haja perda da proporcionalidade entre a tensão e a
deformação (ponto a).
σ Y → Tensão de escoamento (limite de escoamento): Neste ponto, a deformação aumenta
sem que haja acréscimo de tensão (ponto c).
Encruamento: endurecimento, enrijecimento (ponto d).
σ U → Tensão última: É a maior tensão que a barra suporta. Esta tensão também é conhecida
como resistência do material (ponto e).
σ R → Tensão de ruptura: (ponto f).
Fase elástica: Nesta fase a deformação desaparece com a retirada da tensão, não há
deformação permanente. Esta fase vai do início do carregamento até o ponto b.
Fase plástica: Descarregando-se a barra ela não retorna às suas dimensões iniciais, isto é,
surgem deformações permanentes (ou deformações plásticas). Esta fase vai do ponto b até à
proximidade da ruptura.
16
Resiliência: É a energia armazenada por unidade de volume quando uma barra se deforma até
atingir o limite de proporcionalidade ( σ P ) . A resiliência faz com que a barra retorne às suas
dimensões iniciais quando descarregada. O aço usado na fabricação de molas é um material
com alta resiliência.
Estricção: Durante o alongamento ocorre contração lateral (estricção), portanto, a área da
seção transversal diminui. A estricção somente ocorre nos materiais dúcteis.
Obs.: O diagrama tensão × deformação convencional não leva em consideração que a área
da seção transversal diminui durante o alongamento da barra.
2.4.2 - Alumínio
No diagrama tensão × deformação do alumínio, não existe o ponto de escoamento
definido como no diagrama do aço doce. Neste caso, a tensão de escoamento σY é obtida
tomando-se no eixo das deformações o valor ε = 0,2% e por este ponto traça-se uma reta
paralela ao trecho linear do diagrama. Onde esta reta cortar a curva σ x ε tem-se a tensão de
escoamento σY.
2.4.3 - Material frágil: Rompe-se com uma deformação relativamente pequena.
17
2.4.4 – Material elástico-plástico idealizado
2.5 - Lei de Hooke
Em 1678, Robert Hooke enunciou a lei “Ut tensio sic vis” (o estiramento é proporcional à
força ou F = Kx). Hooke aplicou esta lei na invenção da balança de mola e do relógio sem
pêndulo.
Thomas Young, em 1807, sugeriu que a aplicação da Lei de Hooke nos sólidos deve
estabelecer a dependência linear entre tensão e deformação: “A tensão é proporcional à
deformação”, ou seja:
onde:
σ= Ε.ε
σ → tensão normal
ε → deformação linear específica
Ε → constante de proporcionalidade e é chamado de módulo de elasticidade ou
módulo de Young e tem a mesma dimensão de tensão: N/m2
No SI o módulo de elasticidade é dado em GigaPascal: 1GPa = 10 9 N / m 2 = 10 3 N / mm 2
Exemplos:
Εaço = 200 GPa;
Εliga de titânio = 120 GPa; Εliga de alumínio = 70 GPa.
Nota: A Lei de Hooke é válida até a tensão de proporcionalidade.
tg α = σ → σ = tgα × ε ; então: Ε = tgα
ε
18
Capítulo 3 - Tração e Compressão
3.1 – Alongamento de barras carregadas axialmente
A variação do comprimento (∆L) de uma barra prismática solicitada por uma força axial
constante pode ser calculada usando-se a lei de Hooke:
σ=Ε×ε
Lembrando que:
σ=
F
A
ε=
e que:
∆L
, tem-se:
L
F
∆L
=E ⋅
A
L
de onde:
∆L =
FL
EA
A expressão acima somente pode ser aplicada no regime de validade da Lei de Hooke,
ou seja, para tensões menores ou iguais que σP.
Para se calcular o alongamento de barras não prismáticas e/ou solicitadas por força axial
variável tem-se que usar o conceito de integral:
∆dx =
F( x )dx
EA( x )
→
∫ ∆dx = ∫
L
0
F( x )dx
EA ( x )
→
∆L = ∫
L
0
F( x )dx
EA( x )
19
Considere-se, agora, uma barra prismática, suspensa por uma extremidade. Deseja-se
determinar a expressão do alongamento (∆L) da barra produzido pela ação de seu peso
próprio.
∆dx =
F ( x ) dx
E A( x )
→
∆L =
∫
L
0
F ( x ) dx
E A( x )
Considerando-se o equilíbrio de forças verticais da parte recortada, tem-se:
F ( x ) = γ. A . x
Então:
∆L =
∫
L
0
γ ⋅ A ⋅ x ⋅ dx
γ
=
E⋅A
E
Portanto:
∆L =
γL2
2E
∫
L
0
γ x2
x ⋅ dx = ⋅
E 2
L
0
20
3.2- Princípio da superposição dos efeitos
Se em uma estrutura estão aplicadas várias forças podem-se calcular os deslocamentos
referentes a cada força, como se atuasse separadamente, e somar os resultados
correspondentes obtendo-se, assim, o resultado da ação de todas as forças.
n
∆L =∑
i =1
Fi L i
EiAi
3.3 – Sistemas estaticamente indeterminados
Para as estruturas hiperestáticas as três equações de equilíbrio não são suficientes para
calcularem-se as reações de apoio. Além das três equações de equilíbrio são necessárias
outras equações obtidas com as condições de deslocamentos da estrutura.
3.4 – Efeitos da variação da temperatura
A variação da temperatura pode provocar tensão normal nas estruturas. A tensão normal
somente ocorrerá se o deslocamento (movimentação) devido à variação da temperatura estiver
impedido.
∆L t = α L ∆t
(fórmula empírica)
onde
∆L t : variação do comprimento da barra devida à variação da temperatura (m)
α : coeficiente de dilatação térmica (1/ 0C)
L : comprimento inicial (m)
∆t : variação da temperatura ( 0C)
Observação: nos problemas envolvendo variação da temperatura usam-se as fórmulas:
∆L t = α L ∆t
;
∆L =
FL
EA
;
σ=
F
A
21
Capítulo 4 – Cisalhamento Puro
4.1 – Força cortante (V)
A força cortante está contida no plano da área e provoca deslizamento. A força
cortante produz tensão cisalhante, representada pela letra grega τ (tau), que tem o mesmo
sentido da força.
4.2 – Cisalhamento Puro
Se em uma área atua apenas força cortante, ela fica solicitada por cisalhamento puro.
4.3 – Teorema de Cauchy
Em um ponto, as tensões de cisalhamento são iguais nos planos perpendiculares
entre si.
22
τ=
F
→ F = τ×A
A
+ ∑ M = 0 → τ × 1 × dy × dx − τ × 1 × dx × dy = 0
0
y
x
τx = τy
Portanto:
4.4 – Lei de Hooke no cisalhamento
Solicitando-se um material ao cisalhamento puro, pode-se estabelecer a relação entre
a tensão e a deformação de cisalhamento.
tgα =
τ
γ
τ = (tgα ) × γ
→
Chamando de G = tg α , tem-se a lei de Hooke no cisalhamento:
τ= G⋅γ
onde: τ → tensão de cisalhamento em N/m2
G → módulo de elasticidade transversal ou módulo de elasticidade ao cisalhamento
em N/m2
γ → distorção (deformação de cisalhamento) em radianos
Relação entre E , G e ν
Pode-se demonstrar que:
G=
E
2 (1 + ν )
23
4.5 – Ligações parafusadas
Por hipótese, a tensão de cisalhamento é uniformemente distribuída na seção
transversal do parafuso.
Na ligação acima tem-se um parafuso que transmite a força de uma chapa para a
outra. A tensão de cisalhamento média no parafuso é dada por:
τ méd =
F
A
onde A é a área da seção transversal do parafuso.
Para uma ligação com "n" parafusos deve-se dividir a força F por n e pelo número de
áreas de corte (nA). Geralmente, nA é igual a 1 (uma área de corte) ou igual a 2 (duas
áreas de corte).
É interessante observar que a força F produz tensão normal (σ) nas chapas e tensão
cisalhante (τ) no parafuso.
24
Capítulo 5 − Torção
5.1. Introdução - A torção ocorre:
• Na ação do vento em edifícios altos
• Nos eixos de transmissão
• Nos chassis de ônibus, caminhão, avião.
5.2 - Momento de inércia à torção ( J ) para barras com seção circular vazada
dr
r
dα
α
Por definição:
∫r
2
dA
A
onde: dA = r dα dr
J=
∫
re
r 3 dr
ri
di
de
J=
2π
∫ dα
0
re
r4
J=
4
.α
2π
0
ri
4 
1 4
 re − ri  . ( 2π - 0 )

4
π 4
J=
re − ri 4
2
J=
(
Ou em função dos diâmetros externo e interno:
Particularizando para seções cheias: (di = 0) :
(d
32
π
(d )
J=
J=
)
π
4
e
− di4
)
4
32
5.3 – Hipóteses:
• As deformações são pequenas;
• É válida a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ = Gγ );
•
O momento de torção provoca apenas tensão de cisalhamento ( τ );
•
As tensões de cisalhamento são perpendiculares e variam linearmente com o raio (esta
hipótese é válida somente para eixos de seção transversal circular).
Observações: 1) A tensão cisalhante tem o mesmo sentido do momento de torção
2) A tensão cisalhante máxima ocorre na superfície do eixo.
25
5.4 - Tensão e deformação nos eixos de seção circular solicitados por momento de torção
T
γ
B’
B’
θ
B R
T
B
θ
R
T
L
Onde: θ : ângulo de torção (giro relativo entre duas seções transversais)
γ : distorção (deformação por cisalhamento) na superfície do eixo
Da figura acima, têm-se as expressões:
tg γ ≅ γ =
BB′
L
Portanto:
dF = τ ⋅ dA
T = ∫τ
A
Onde τ
A
r
BB′
R
θR
γ=
L
dT = τ dA ⋅ r
e
T = ∫ τ r dA ou:
tg θ ≅ θ =
e
r2
dA
r
é uma constante (por hipótese a tensão cisalhante varia linearmente com o raio),
então:
T=
τ
∫r
r
2
dA
A
Por definição:
J = ∫ r dA , então:
2
A
T=
τ
J
r
De onde se tem a tensão de cisalhamento produzida por momento de torção em barras de seção
transversal circular:
τ=
Tr
J
26
A maior tensão de cisalhamento ocorre na superfície do eixo:
τmáx =
TR
J
Aplicando-se a Lei de Hooke no cisalhamento ( τ = Gγ ) na superfície do eixo, tem-se:
TR
θR
=G
J
L
de onde tem-se o giro relativo (θ) entre duas seções transversais:
TL
θ=
GJ
5.5 – Torção de barras com seção vazada de parede fina com espessura t constante
Linha do esqueleto: linha média da espessura da seção transversal
t: espessura
Sendo a espessura t constante (não varia ao longo da linha do esqueleto e também
invariável ao longo do comprimento longitudinal), pode-se demonstrar que a tensão de
cisalhamento média τ méd é dada por:
T
τ méd =
2At
e o ângulo de torção (θ) é dado por:
TLP
θ=
4A 2 G t
onde: A: área limitada pela linha do esqueleto
P: perímetro da linha do esqueleto
L: comprimento longitudinal
27
Capítulo 6 – Flexão Simples
6.1 – Diagramas de momento fletor e força cortante em vigas isostáticas
6.2 – Introdução à flexão
Flexão é o ato de dobrar, curvar. Quando uma estrutura fica solicitada por momento
fletor ela fica curvada. Neste caso, dizemos que a estrutura está flexionada. O objetivo deste
capítulo é obter as tensões e deformações que surgem nas estruturas quando estão solicitadas
por momento fletor. A flexão de uma estrutura pode ser pura, simples, oblíqua ou composta.
6.3 - Flexão pura
A flexão pura ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada
apenas por momento fletor. Este é o caso do trecho CD da viga abaixo. Neste trecho, a força
cortante é nula e o momento fletor é constante, como mostram os diagramas de esforços
internos. É interessante observar que para não ocorrer força cortante no trecho CD, as forças P
são simétricas e desprezamos o peso próprio da estrutura na presença das forças P.
Todas as estruturas que vamos abordar neste item e no próximo (flexão simples),
possuem, pelo menos, um plano de simetria longitudinal.
(a) Viga e carregamento
(b) Diagrama de momento fletor
(c) Diagrama de esforço cortante
Figura 6.1 - Viga sobre dois apoios e diagramas de esforços internos (M e V)
28
P
P
x
z
y
Figura 6.2 – Viga em perspectiva
Hipóteses:
1- O carregamento atua em um plano de simetria longitudinal. Uma vez que queremos obter as
tensões que surgem na flexão pura, deve atuar apenas momento fletor, e se o carregamento
atuar fora do plano de simetria, a viga ficará solicitada também por momento de torção.
2- O carregamento é perpendicular ao eixo da viga. Se as forças P forem inclinadas teremos
componentes horizontais que são forças normais.
3- Seções planas permanecem planas depois de aplicado o carregamento. Esta hipótese é
chamada fundamental e deve-se ao fato que no trecho CD: T = V = 0. Estes dois esforços
provocam a deformação distorção (γ). Uma vez que no trecho CD estes dois esforços são
nulos, as seções transversais permanecem planas depois de aplicado o carregamento.
4- A maior tensão que surge na viga é a tensão de proporcionalidade. Portanto, podemos usar a
lei de Hooke.
5- O material da viga é homogêneo e os módulos de elasticidade à tração e à compressão são
iguais.
6- O carregamento é aplicado sem impacto.
Vamos analisar o trecho L - 2a, onde atua apenas momento fletor. A ação do momento
fletor faz com que este trecho da viga se curve (Figura 6.4). O momento fletor é constante neste
trecho, sendo assim, a curvatura é também constante.
A Figura 6.4 mostra que a parte inferior da viga aumentou de comprimento, enquanto a
parte superior diminuiu. Havendo variação de comprimento ∆L, temos deformação específica ε.
Portanto, podemos afirmar que o momento fletor produz tensão normal σ. Esta tensão provoca
a variação de comprimento. Uma vez que uma parte aumentou e outra diminuiu de comprimento
existe uma superfície que separa as duas regiões e não tem o seu comprimento alterado. Esta
superfície é chamada superfície neutra e está indicada na Figura 6.4 pelo arco CD.
O arco CD é dado por:
CD = r.θ
29
P
y
P
C
E
x
D
F
y
a
L - 2a
a
Figura 6.3
O
θ
O → centro da curvatura da
superfície neutra.
r
M
r → raio de curvatura da superfície
neutra.
M
D
F
C
E
y
Figura 6.4
O arco EF, que está y abaixo do arco CD, é dado por:
EF = ( r + y) ⋅ θ
É interessante observar que esta variação linear de EF só é possível se a seção
transversal permanecer plana.
Por definição:
ε = ∆L L
Então, a deformação específica ε de EF é:
ε EF =
Ou
ε EF =
EF − CD
CD
( r + y) ⋅ θ − r ⋅ θ
r ⋅θ
Simplificando-se a expressão anterior, tem-se:
ε EF = y r
30
Utilizando-se a lei de Hooke, σ = E ⋅ ε , pode-se obter a tensão normal que provocou o
alongamento de EF:
σ EF = E ⋅
y
r
(6.1)
A Figura 6.5 mostra um corte imaginário na viga da Figura 6.2. A linha neutra divide, na
seção transversal, as regiões tracionada e comprimida.
P
Linha neutra → Intersecção da
superfície neutra com a seção
transversal
L
z N
y
Figura 6.5
Vamos impor a condição que:
∫ σ ⋅ dA = 0
A
Esta condição deve-se ao fato de não existir força normal atuando na seção transversal.
Uma vez que σ ⋅ dA = dF , a soma de todas as forças elementares dF é igual a zero.
Colocando-se a equação (6.1) na equação acima, tem-se:
E⋅y
⋅ dA = 0
A
r
∫
Por hipótese, o módulo de elasticidade E é o mesmo à tração e à compressão, portanto,
não varia na área. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
E
⋅ y ⋅ dA = 0
r ∫A
Como o módulo de elasticidade E não pode ser igual a zero e o raio r não pode ser
infinito (neste caso não haveria flexão), tem-se que:
∫
A
y ⋅ dA = 0
A integral acima é, por definição, o momento estático da área da seção transversal em
relação à linha neutra. O momento estático de uma área em relação a qualquer eixo que passa
pelo centróide é igual a zero. Portanto, a linha neutra passa pelo centróide da área da seção
transversal.
A outra condição a ser imposta é que:
∫
A
σ ⋅ y ⋅ dA = M
31
Esta condição deve-se ao fato que σ ⋅ y ⋅ dA = dM e somando-se o momento de todas
as forças elementares tem-se o momento fletor aplicado. Ou, em outras palavras, a toda ação
corresponde uma reação em sentido contrário. A reação ao momento fletor aplicado é produzida
pela soma de todos os momentos das forças elementares. Colocando-se a equação (6.1) na
equação acima, tem-se:
E⋅y
⋅ y ⋅ dA = M
A
r
∫
Ou
E
⋅ ∫ y 2 ⋅ dA = M
r A
(6.2)
Por definição:
∫
A
y 2 ⋅ dA = I z
O eixo y tem origem na linha neutra da área da seção transversal, sendo assim, o
momento de inércia I z , calculado pela expressão acima, é o momento de inércia da área da
seção transversal em relação ao eixo horizontal do centróide.
Colocando-se a expressão acima em (6.2), o momento fletor assume a forma:
M=
E
⋅Iz
r
Isolando-se o raio da curvatura r, tem-se:
r=
E ⋅ Iz
M
Substituindo-se a expressão de r na expressão (6.1), tem-se:
σ=
E⋅y
E ⋅ Iz
M
Ou:
σ=
M⋅y
Iz
(6.3)
Portanto, a tensão normal referente ao momento fletor varia linearmente em uma seção
transversal.
6.4 – Flexão simples
A flexão simples ocorre quando uma estrutura ou parte de uma estrutura fica solicitada
por momento fletor e força cortante. Este é o caso dos trechos AC e DB da estrutura da
apresentada na Figura 6.1. Vamos admitir, a priori, que a tensão normal nos trechos AC e DB,
da mesma forma que no trecho CD, varie linearmente.
32
P
f
P
g
g
f
M
A
y
C
x
D
B
g
f
M + dM
f
dx
g
dx
Figura 6.6
O momento fletor varia ao longo do comprimento dx. A tensão normal nas seções
transversais f-f e g-g são, respectivamente, dadas pelas expressões:
σ=
M⋅y
Iz
e
σ=
( M + dM) ⋅ y
Iz
A força normal resultante na seção transversal é nula, conforme já visto. Entretanto, temse força resultante em uma área genérica A | . A força resultante F (Figura 6.7) é dada pela
expressão:
F = ∫ | σ ⋅ dA = ∫
A|
A
M⋅y
dA
Iz
e a força resultante F + dF dada por:
F + dF = ∫
A|
(M + dM ) ⋅ y dA
IZ
F + dF
L
A
N
|
dx
A|
.
dx
F
(a)
(b)
Figura 6.7
Nas três faces externas do elemento da Figura 6.7(b) não ocorre nenhuma ação.
Portanto, no plano de corte e no sentido da força F existem tensões cisalhantes τ que mantêm o
equilíbrio de forças (Figura 6.8).
33
F + dF
τ
F
F + dF
dx
F
dx
Figura 6.8
O equilíbrio de forças na direção da força F fornece a expressão:
F + τ ⋅ b ⋅ dx − (F + dF) = 0
onde b representa a largura da seção transversal.
Colocando-se as expressões de F e de F+ dF na equação acima, tem-se:
∫
A|
My
(M + dM ) y dA = 0
dA + τ b dx − ∫ |
A
Iz
Iz
Simplificando a expressão anterior, tem-se:
τ b dx − ∫
A|
dM y
dA = 0
Iz
O momento fletor e o momento de inércia não variam na área, isto é, dependem apenas
da coordenada x. Sendo assim, a expressão acima pode ser colocada da seguinte forma:
τ=
1 dM
⋅
⋅ y ⋅ dA
b ⋅ I z dx ∫A|
A integral acima é, por definição, o momento estático da área A | em relação ao eixo z. A
derivada do momento fletor em relação à coordenada x fornece a força cortante, então:
τ=
V⋅Q z
b ⋅ Iz
(6.4)
Uma vez que as tensões cisalhantes são iguais nos planos perpendiculares entre si
(Teorema de Cauchy), a seção transversal também está solicitada por τ (Figura 6.9). Estas
tensões τ produzem a deformação distorção (γ) fazendo com que as seções transversais
inicialmente planas não permaneçam planas depois de aplicado o carregamento.
dx
b
Figura 6.9
Entretanto, em alguns casos, a força cortante desempenha um papel secundário. Sejam,
por exemplo, as duas vigas da Figura 6.10. As duas vigas têm a mesma altura h e estão
solicitadas pela mesma força cortante (P). Na viga da Fig. 6.10(a), onde L >> h, o momento
fletor é predominante, desta forma as seções planas permanecem praticamente planas depois
de aplicado o carregamento.
34
(a)
(b)
Figura 6.10
Ensaios em laboratórios mostram que as expressões (6.3) e (6.4) podem ser usadas nas
estruturas em que:
L
≥5
h
Nas estruturas em que a relação acima é verificada são chamadas vigas.
OBS.: No cisalhamento puro (Fig. 6.10(b)), conforme já visto, a tensão de cisalhamento é dada
por: τ = F/A. Na flexão simples (M+V) a tensão cisalhante é dada pela equação (6.4).
6.5 – Distribuição das tensões de cisalhamento
A força cortante V, o momento de inércia I z e a largura b, no caso geral variam segundo
a coordenada x. Sendo assim, em uma seção transversal qualquer a tensão de cisalhamento
varia apenas em função do momento estático.
•
Seção transversal retangular
O momento estático de uma área A | é dado por:
_
Q = A| ⋅ y
_
Onde y é a distância do centróide da área A | até o centróide da figura. Uma vez que o
momento estático tem variação parabólica a tensão cisalhante também varia segundo uma
equação do segundo grau. Nos pontos com coordenadas y = h/2 e y = −h/2 a tensão cisalhante
é nula. O valor máximo da tensão cisalhante é obtido nos pontos com coordenada y = 0, isto é,
a tensão cisalhante é máxima na linha neutra e seu valor é calculado da seguinte forma:
τ máx =
3V
2A
Figura 6.11 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
35
•
Seção transversal em forma de " T" e " I"
c
τmáx
τ
σ
τmáx
c
σ
τ
Figura 6.12 – Gráfico referente à distribuição das tensões σ e τ
6.6 – Módulo elástico de resistência à flexão ( W )
Em uma viga solicitada por momento fletor a maior tensão normal é dada por:
σ máx =
M máx ⋅ d
M máx
=
I
I
d
onde I é o momento de inércia da seção transversal e d é a distância da linha neutra até um
ponto localizado na superfície da viga. Por definição:
W=
Então:
σ máx =
I
d
M máx
W
Se a seção transversal não tiver eixo de simetria horizontal é evidente que:
Dimensão do módulo elástico de resistência à flexão ( W ):
Ws ≠ Wi .
[L] 3
Para vigas com seção transversal retangular, tem-se:
bh 3
Ws = Wi = 12 →
h
2
Ws = Wi =
bh 2
6
Para vigas de seção transversal circular, tem-se:
πD 4
Ws = Wi = 64 →
D
2
Ws = Wi =
πD 3
32
Para uma viga com seção transversal em forma de “ T ”, com as dimensões mostradas na figura
abaixo, o momento de inércia em relação ao eixo z é igual a 6,15 x 10 − 3 m4. Então:
36
Ws =
6,15 x 10 − 3
→ Ws = 2,83 x 10 − 2 m 3
0,217
Wi =
6,15 x 10 − 3
→ Wi = 1,61 x 10 − 2 m 3
0,383
6.7 – Deformações na flexão
Linha elástica: Por definição, linha elástica é a curva na qual se transforma o eixo da viga
depois de aplicado o carregamento.
P
o
x
d
vd
v
d’
linha elástica
Onde:
v d : deflexão (flecha) do ponto d (componente vertical do deslocamento do ponto d).
A deflexão é uma função da coordenada x.
Métodos de cálculo
Método da integração direta
Método da energia
Métodos numéricos
Outros métodos.
Hipóteses
•
Despreza-se a contribuição da força cortante no cálculo das deflexões;
•
As deflexões são pequenas quando comparadas com as dimensões da viga (base,
altura e comprimento);
•
É válida a Lei de Hooke.
37
Método da integração direta
Para ΕΙ constante e analisando-se o sinal da segunda derivada (considerando-se o
sentido do eixo das deflexões ( v ) positivo para baixo), tem-se:
E I v| | ( x ) = − M ( x )
Condições de contorno (ou condições de extremidades)
v=0
v = v| = 0
Exemplos de deflexões (flechas) de vigas isostáticas com ΕΙ constante
38
Contra-flecha
Durante a construção de uma viga recomenda-se provocar deslocamentos em sentido
contrário aos deslocamentos que ocorrerão quando for aplicado o carregamento.
procedimento é chamado de contra-flecha.
Este
39
Capítulo 7 – Solicitações compostas
7.1 – Introdução: Nos estudos precedentes foram obtidas as expressões das tensões (σ
e τ) provocadas pelos quatro esforços internos N, V, T e M :
Força normal ( N ): σ =
N
A
Força cortante ( V ): τ =
V
VQ
(cisalhamento puro) ou τ =
(flexão simples: M + V)
A
bI
Momento de torção ( T ):
τ=
Tr
J
onde J =
(
)
π 4
De − Di4 (Observação: fórmula válida
32
para barras que tem seção transversal circular)
Momento fletor ( M ) : σ =
My
I
•
Flexão pura: quando uma estrutura fica solicitada somente por momento fletor (M)
•
Flexão simples: quando uma estrutura fica solicitada por M + V
•
Flexão composta: quando uma estrutura fica solicitada por momento fletor + força
normal ou momento fletor + momento de torção
Flexo-tração: momento fletor + força normal de tração
Flexo-compressão: momento fletor + força normal de compressão
Flexo-torção: momento fletor + torção
•
Equação da flexão composta para vigas solicitadas por força normal axial e por
momento fletor Mz:
σx =
N
M z .y
+
A
Iz
40
Capítulo 8 − Flambagem
8.1 − Introdução
Barras esbeltas solicitadas à compressão rompem por flexão quando a força
atinge um valor crítico (Pcr) .
Barra esbelta: quando o comprimento longitudinal é muito maior que as dimensões
da seção transversal.
Para estudar-se o fenômeno da flambagem tem-se que usar a “teoria de 2a
ordem”.
a
Teoria de 1 ordem: para calcularem-se os esforços internos esta teoria permite
confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas cargas.
Teoria de 2a ordem: tem-se que levar em consideração a posição deslocada da
estrutura para calcularem-se os esforços internos.
8.2 – Carga crítica de barras bi-articuladas solicitadas por força axial (caso fundamental)
P
v (x)
L
E I v | | (x) = − M (x)
M (x) = P . v(x)
x
v
P
Então: EIv | | ( x ) = − P.v ( x )
ou: EIv | | ( x ) + P.v ( x ) = 0
Dividido-se a expressão acima por E I, tem-se:
v | | (x) +
P
v(x) = 0
EI
41
Chamando-se de k 2 =
P
,
EI
v | | (x) + k 2 v(x) = 0
Solução:
ou:
tem-se:
→ equação diferencial de segunda ordem homogênea
v(x) = C. eβ x ,
onde: β = i k
v(x) = A sen kx + B cos kx
A equação da linha elástica v(x) = A sen kx + B cos kx tem que satisfazer as
condições de contorno:
1ª)
para x = 0
→
v = 0; v = 0 = A sen k.0 + B cos k.0; 0 = A.0 + B.1
2ª)
para x = L
→
v = 0; v (L) = 0 = A sen k.L;
→ B=0
Se A = 0 → solução trivial → não existe elástica → não existe flambagem.
Então: sen k.L = 0
kL = nπ
n = {...,-4,-3,-2,-1,0, 1, 2, 3 ,4,...}
A solução é: n = 1, 2, 3 ,4...
Lembrando que: k 2 =
P
→ k=
EI
P
EI
→
P nπ
→
=
EI L
P n 2π2
= 2 →
EI
L
P=
n 2π2
EI
L2
Utilizamos o menor valor de P, isto é, n = 1:
π 2 EI
Pcr = 2
L
Pcr → é chamada de carga crítica de Euler. A flambagem é um problema de
equilíbrio.
Formas de equilíbrio: estável, instável, indiferente.
8.3 – Tensão crítica (σcr)
Pcr π 2 EI
= 2
A
LA
σ cr =
π 2 EI
L2 A
Por definição, o raio de giração i é dado por: i 2 = I A
[i = m, cm, mm]
42
π 2 Ei 2
σ cr =
L2
Então:
Chamando de: λ =
L
, onde λ é conhecido como índice de esbeltez e é adimensional,
i
tem-se:
σ cr =
π2E
λ2
Obs.: No cálculo do raio de giração usa-se o menor momento de inércia. Se ocorrer
flambagem, ela acontecerá na direção perpendicular ao eixo de menor inércia:
i min = I min A
8.4 – Fórmula de Euler para outros casos de vinculação
A fórmula de Euler torna-se geral se considerarmos o comprimento de flambagem
L fl = K L :
Pcr =
π 2 EI min
L2fl
e
σ cr =
π2E
onde λ =
λ2
L
K = 1,0
K = 2,0
K = 0,7
K = 0,5
L fl
i min
43
8.5 – Validade da fórmula de Euler
O maior valor que a tensão crítica pode assumir é a tensão de proporcionalidade:
σ cr ≤ σ p
Aço CA – 25 : Ε = 205 x 10 N/m
9
Por exemplo:
σ cr =
π2E
λ2
→ 210.10 6 =
2
σ p = 210 x 10 N/m
π 2 .205.10 9
→ λ=
λ2
6
2
π 2 .205.10 9
= 98,16
210.10 6
44
Capítulo 9 – Introdução ao estudo das tensões
9.1 – Introdução
•
•
•
Determinar as tensões que atuam nos planos inclinados (σθ e τθ);
Determinar as tensões normais extremas e as direções dos planos onde atuam
Determinar a maior tensão de cisalhamento.
9.2 – Análise de tensões em uma barra solicitada por força axial
F
F
O
x
σx
F
σx
F
σx =
F
A
y
F
F
Retirando-se um ponto da barra tracionada:
Aθ sen θ
O
σx
x
θ
σx
90-θ
σx Aθ sen θ
θ
σθ
τθ Aθ
τθ
σθ Aθ
y
Aθ
∑ Fσ
θ
=0
σ θ .A θ − σ x .A θ sen θ. cos(90° − θ) = 0
σ θ = σ x . sen 2 θ
∑ Fτ
θ
=0
τ θ .A θ + σ x .A θ sen θ. sen(90° − θ) = 0
τ θ = −σ x . sen θ cos θ
1) σ máx = σ x
2) cálculo de τ máx
Obs.:
dτ θ
dθ
− sen θ + cos θ = 0
2
2
d sen θ = cos θ
= 0 = −σ x (− sen 2 θ + cos 2 θ)
d cos θ = − sen θ
→
⇒ τ mín = −σ x sen (45°). cos(45°)
θ = 45 , 135 , 225 e 315
0
→
0
0
τ mín = −
σx
2
0
σx
45
⇒ τ máx = −σ x sen (135°). cos(135°)
τ máx =
→
σx
2
σx
σx
135º
45º
Em uma barra tracionada (ou comprimida) τ é máximo nos planos que formam um
ângulo de 45º com OX.
9.3- Tensões normais em duas direções perpendiculares
σy
x
Aθ sen θ
θ
O
σx
σx
90-θ
σx Aθ sen θ
θ
y
σy
∑ Fσ
θ
Aθ cos θ
θ
τθ Aθ
σθ Aθ
Aθ
=0
σ θ A θ − σ x A θ sen θ sen θ − σ y A θ cos θ cos θ = 0
∑ Fτ
σ θ = σ x sen 2 θ + σ y cos 2 θ
θ
=0
τ θ A θ + σ x A θ sen θ cos θ − σ y A θ cos θ sen θ = 0
(
)
τ θ = σ y − σ x sen θ cos θ
9.4 - Estado geral de tensões planas
É caracterizado por:
σ x ≠ 0; σ y ≠ 0; τ xy ≠ 0
σ z = τ xz = τ yz = 0
•
Convenção de sinais:
σ → positiva de tração e negativa de compressão;
τ θ → positiva quando tende girar o elemento no sentido horário;
τ xy → positiva quando possui o sentido indicado na figura abaixo;
46
σy
τxy
σy
τxy
O
x
σx
θ
σx
θ
σx
τxy
y
σθ Aθ
τxy
Aθ
σy
∑ Fσ
θ
τθ Aθ
=0
σ θ A θ − σ x A θ sen 2 θ − σ y A θ cos 2 θ − τ xy A θ cos θ sen θ − τ xy A θ cos θ sen θ = 0
∑ Fτ
σ θ = σ x sen 2 θ + σ y cos 2 θ + 2τ xy cos θ sen θ
θ
(9.1)
=0
τ θ A θ + σ x A θ sen θ cos θ − σ y A θ cos θ sen θ − τ xy A θ sen θ sen θ + τ xy A θ cos θ cos θ = 0
(
)
(
τ θ = σ y − σ x sen θ cos θ + τ xy sen 2 θ − cos 2 θ
)
(9.2)
Exercício: Calcule as tensões σθ e τθ nos planos que formam ângulos de 45o e 135o com o eixo
Ox. Mostre os resultados em um elemento orientado.
Para θ = 45o (ou para θ = − 135o ) têm-se as tensões:
σθ = −80 sen 2 45o + 50 cos 2 45o + 2(−25) sen 45o cos 45o → σθ = −40 MPa
τθ = (50 + 80) sen 45o cos 45o + (−25)(sen 2 45o − cos 2 45o ) → τθ = 65 MPa
Para θ = 135o (ou θ = − 45o ) têm-se: σθ = 10 MPa e τθ = − 65 MPa.
47
9.5 − Circunferência de Mohr
As equações de σθ e τθ constituem uma equação paramétrica da circunferência. Da
trigonometria, têm-se as seguintes equações:
2 sen θ cos θ = sen 2θ
1
cos 2 θ = (1 + cos 2θ)
2
1
sen 2 θ = (1 − cos 2θ)
2
Com as expressões acima, σθ e τθ podem ser reescritas da forma:
σθ = σx
1
(1 − cos 2θ) + σ y 1 (1 + cos 2θ) + τ xy sen 2θ
2
2
ou:
σθ −
σx + σy
2
 σy − σx 
=
 cos 2θ + τ xy sen 2θ
2 

(a)
1
1
1

τ θ = (σ y − σ x ) sen 2θ + τ xy  (1 − cos 2θ) − (1 + cos 2θ)
2
2
2

ou:
 σy − σx 
τθ = 
 sen 2θ − τ xy cos 2θ
2 

(b)
Elevando-se as expressões (a) e (b) ao quadrado e somando-as, tem-se:
σ + σy

σθ − x

2

2

 σ − σx
 + τθ 2 =  y


2


 σy − σx


2

2
2

 cos 2 2θ + σ y − σ x cos 2θ.τ xy sen 2θ + τ 2xy sen 2 2θ +


(
)

 sen 2 2θ − σ y − σ x sen 2θ.τ xy cos 2θ + τ 2xy cos 2 2θ


(
)
Donde:
σ + σy

 σ θ − x
2


 σ − σx
 + τ θ2 =  y
2


2
2

 + τ 2xy

Convenção de sinais para a circunferência de Mohr:
•
τxy e τθ são positivas quando tendem girar o elemento no sentido horário;
•
θ é positivo quando o giro é realizado no sentido anti-horário.
48
Dado um estado plano de tensão onde as tensões σx, σy e τxy são conhecidas pode-se
construir a circunferência de Mohr. Para esta demonstração, sem perder a generalidade,
supõe-se que σ x > σ y .
σ1 e σ2 são as tensões normais extremas e conhecidas como tensões principais
σ1 é a maior tensão normal e σ2 é a menor tensão normal
σ1 =
σx + σy
2
 σx − σy
+ 
2

2

 + τ 2xy


σ2 =
σx + σy
2
 σx − σy 
2
− 
 + τ xy
2


2
O ponto P é o pólo: origem de todos os planos
tgθ1 =
 τ xy 

tgθ 2 = −
σ
−
σ
2 
 x
τ xy
σ1 − σ x
θ1 direção do plano onde atua a maior tensão normal
θ2 direção do plano onde atua a menor tensão normal
θ1 e θ2 são chamadas direções principais. Da circunferência conclui-se que: θ1 + θ 2 = 90 0
τ máx
 σx − σy
= 
2

2

 + τ 2xy


ou:
τ máx =
σ1 − σ 2
2
;
 τ máx + τ xy 
tgθ 3 = − 

 (σ x − σ y )0,5 
θ3 direção do plano onde atua a maior tensão de cisalhamento.
τ máx , calculada pela fórmula acima, refere-se à maior tensão de cisalhamento do plano
das tensões (plano XOY). Pode existir tensão de cisalhamento maior em outro plano.
49
9.6 – Elipse de tensões
σy
σy
Aθ cos θ
Aθ sen θ
O
σx
x
σx
θ
σx
X
θ
Y
y
Aθ
σy
∑F
h
∑ Fv = 0
X2
σ 2x
+
→
= 0 → XA θ − σ x A θ sen θ = 0
Y2
σ2y
= sen θ + cos θ
2
2
⇒
X2
σ 2x
Y
= cos θ
σy
→
YA θ − σ y A θ cos θ = 0
→
+
Y2
σ2y
X
= senθ
σx
=1
→
Elipse de Lamé
9.7 – Análise de tensões em três dimensões
Pelo teorema de Cauchy:
τi j = τ j i
A Figura (b) apresenta um corte imaginário no elemento da Figura (a), onde X, Y e Z
são as componentes de tensão que atuam no plano inclinado BCD nas direções x, y e z,
→
respectivamente. A direção do plano BCD é determinada com o auxílio de um vetor N
→
perpendicular a esse plano. Chamando-se de θx, θy e θz os ângulos que o vetor N forma,
50
respectivamente, com as componentes de tensão X, Y e Z, tem-se os co-senos diretores
→
l, m e n que determinam a direção do vetor N .
l = cos θ x ; m = cos θ y ; n = cos θ z
A área do plano BCD é chamada Aθ e as outras três áreas do tetraedro são obtidas em
função dos co-senos diretores e de Aθ. O equilíbrio de forças na direção do eixo Ox fornece a
expressão:
XA θ − σ x A θ l − τ yx A θ m − τ zx A θ n = 0
Simplificando-se o termo comum Aθ e fazendo-se raciocínio análogo para as direções y e z:
X = σ x l + τ yx m + τ zx n
Y = τ xy l + σ y m + τ zy n
Z = τ xz l + τ yz m + σ z n
•
Tensões principais:
São calculadas determinando-se as raízes da seguinte equação do terceiro grau:
σ 3 − (σ x + σ y + σ z )σ 2 + (σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z − τ 2xz − τ 2yz − τ 2xy )σ +
(−σ x σ y σ z − 2τ xy τ yz τ xz + σ x τ 2yz + σ y τ 2xz + σ z τ 2xy ) = 0
A equação do terceiro grau acima fornece três raízes reais que são as tensões
principais σ1, σ2 e σ3 do estado geral de tensões.
A seguir, é apresentado o método de Cardano para calcularem-se as raízes de uma
equação do terceiro grau quando todas as raízes são reais. Dada uma equação da seguinte
forma:
X 3 + aX 2 + bX + c = 0
As três raízes são:
X1 = Y1 − a / 3
X 2 = Y2 − a / 3
X 3 = Y3 − a / 3
onde:
Y1 = 2 P ⋅ cos(θ / 3)
Y2 = 2 P ⋅ cos(240 0 + θ / 3)
Y3 = 2 P ⋅ cos(120 0 + θ / 3)
sendo:
51
θ = arccos(Q / P 3 )
P e Q são dados por:
P=
a 2 − 3b
9
;
9ab − 2a 3 − 27c
54
Q=
Sendo σ1, σ2 e σ3 raízes reais, tem-se as propriedades:
σ1 + σ 2 + σ 3 = σ x + σ y + σ z
σ1σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ1 = σ x σ y + σ y σ z + σ x σ z − τ 2xz − τ 2yz − τ 2xy
σ1σ 2 σ 3 = −(−σ x σ y σ z − 2τ xy τ yz τ xz + σ x τ 2yz + σ y τ 2xz + σ z τ 2xy )
•
Círculo de Mohr para tensões em três dimensões
Para o caso geral de tensões não existe representação gráfica. Entretanto, para um
elemento solicitado por três tensões principais pode ser feita a representação gráfica. A
convenção adotada é:
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
τ
σ2
2
O σ3
σ1
σ1
1
σ3
3
τ máx =
•
σ2
σ1 − σ 3
2
ESTADO HIDROSTÁTICO:
τ
P
P
σ1 ≡ σ2 ≡ σ3 = - P
P
Em todas as direções de um estado hidrostático:
σθ = − P e τθ = 0
σ
σ
52
9.8
Lei de Hooke generalizada
σy
τyx
y
τyz
τxy
τzy
σx
x
τzx
z
τxz
σz
Material isotrópico: é um material que possui as mesmas propriedades físicas em todas as
direções.
Superposição dos efeitos: Aplicando-se a tensão normal σx (de tração), têm-se as
componentes de deformação εx, εy e εz:
εx E = σx
ν=−
εy
εx
εx =
→
=−
σx
E
εz
→ ε y = ε z = −νε x
εx
→ ε y = ε z = −ν
σx
E
Fazendo-se raciocínio análogo quando aplicam-se as tensões normais de tração σy e σz e
somando as três componentes de deformação têm-se a lei de Hooke generalizada:
[
]
[
]
1
σ x −ν (σ y + σ z )
E
1
ε y = σ y −ν (σ x + σ z )
E
1
ε z = σ z −ν (σ x + σ y )
E
εx =
[
•
]
A Lei de Hooke Generalizada é demonstrada para tensões normais de tração. Se alguma
tensão for de compressão troca-se o sinal da tensão.
•
Porque não se leva em consideração as tensões de cisalhamento no cálculo da
deformação ε? Porque as tensões de cisalhamento provocam distorção γ .
τ = Gγ
γ xy=
τxy
G
; γ xz=
τxz
G
; γ yz=
τyz
G
→
Extensão da lei de Hooke
53
9.9
Dilatação cúbica específica
dx, dy e dz → comprimentos iniciais
dx + ∆dx , dy + ∆dy e dz + ∆dz → comprimentos finais
V → volume inicial
dy
V + ∆ V → volume final
V = dx⋅dy⋅dz
dz
dx
V + ∆V = (dx + ∆dx ) (dy + ∆dy ) (dz + ∆dz )
V + ∆V = (dx + ε x dx ) (dy + ε y dy ) (dz +ε z dz )
(
)
V +∆V = dx (1 + ε x ) dy 1 + ε y dz (1 + ε z )
(
V +∆V = dxdydz 1 + ε x + ε y + ε x ε y
V +∆V ≅ V (1 + ε x + ε y + ε z )
(
V + ∆V ≅ V + V ε x + ε y + ε z
)
∆V
≅ εx + ε y + εz
V
Portanto:
•
) (1 + εz )
(dilatação cúbica específica)
Caso particular de um elemento solicitado por três tensões iguais de tração
σ
σx = σy = σz = σ
σ
σ
εx =
1
E
[σ − ν (σ + σ)]
→
εx = ε y = εz =
1
E
(σ − 2νσ)
∆V 3σ
≅
(1 − 2ν )
V
E
∆V
≥ 0 → 1 − 2ν ≥ 0 → − 2ν ≥ −1 ⇒
2ν ≤ 1
V
0 ≤ ν ≤ 0,5
→ válido na fase elástica-linear.
→
εx = ε y = εz =
σ
E
(1 − 2ν )
54
Capítulo 10 – Critérios de escoamento
10.1 – Introdução
O objetivo dos critérios de escoamento é informar se um componente estrutural está
escoando quando submetido a diferentes solicitações. Por exemplo, uma barra tracionada não
estará escoando enquanto a tensão normal estiver abaixo da tensão de escoamento σ Y ,
sendo que a tensão σ Y é obtida em ensaios de laboratório usando-se corpos-de-prova de
mesmo material que a barra tracionada. Esta comparação entre a tensão solicitante e a tensão
σ Y é o critério utilizado para julgar se uma barra tracionada está escoando. No entanto, pela
comparação direta com os ensaios de laboratório, torna-se inconveniente investigar se um
componente estrutural solicitado por um estado de tensões mais geral está escoando, uma vez
que inúmeras combinações de tensões podem ocorrer. Com base em teorias e ensaios de
laboratório, existem vários critérios para analisar tais casos, são os chamados critérios de
escoamento. Um determinado critério pode ser comprovado experimentalmente para um
material e não aceito em um outro com características diferentes. Sendo assim, em função da
variedade de materiais usados na engenharia, não se pode adotar um único critério.
Um material elástico-plástico idealizado é aquele que segue a lei de Hooke até a tensão
de proporcionalidade e, então, inicia-se o escoamento sob tensão constante. Na Figura abaixo,
σ Y representa a tensão de escoamento do material.
σ
σY
Y
Material elástico-plástico idealizado.
ε
No caso de um material elástico-plástico idealizado três casos podem ocorrer quando
compara-se a tensão atuante σ e a tensão de escoamento σ Y :
Se σ < σ Y : a barra não está escoando;
Se σ = σ Y : a barra está escoando.
Se σ > σ Y : corresponde a uma situação física impossível, uma vez que a maior tensão que
pode ser aplicada à barra é σY .
Uma vez que nem sempre se trabalha com material elástico-plástico ideal estas três
situações são reduzidas em duas:
Se σ < σY : a barra não está escoando;
Se σ ≥ σY : a barra está escoando.
10.2 – Energia de deformação ( U )
O trabalho realizado por uma força externa em uma estrutura quando esta se deforma
é total ou parcialmente convertido em energia de deformação (U).
55
σp → tensão de proporcionalidade
σ
fe
f.e → fase elástica
fp
fp → fase plástica
σY
σp
Na fase elástica: We = Wi ; ou: We = U
ε
10.3 – Energia específica de deformação ( U e )
Por definição, ( U e ) é a relação entre a energia de deformação ( U ) e o volume (V ) :
Ue =
U
V
Pode-se demonstrar que para um estado geral de tensões, ( U e ) é dada por:
Ue =
1
2E
[σ
2
x
)]
(
+ σ 2y + σ 2z − 2ν σ x σ y + σ z σ x + σ y σ z +
σy
1
2G
(τ
2
xy
+ τ 2xz + τ 2yz
)
τyx
y
τyz
τxy
τzy
σx
x
τzx
z
τxz
σz
Uma vez que U e é a energia por unidade de volume, pode-se determinar esta energia
usando-se as tensões principais (σ1 , σ2 e σ3 ) :
Ue =
1
2E
[σ
2
1
]
+ σ 22 + σ 32 − 2ν(σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2 σ 3 )
(a)
U e pode ser dividida em duas partes: U e = U eV + U ed
onde: U ev é a parte da energia referente à variação de volume e U ed referente à distorção
σ2
σ'2
σ
2
σ1
σ
=
σ'1
+
1
3
σ3
σ
Tensão esférica
σ'3
Tensões desviadoras
56
σ1 = σ + σ1′
onde:
σ 2 = σ + σ′2
σ=
σ1 + σ 2 + σ 3
3
σ 3 = σ + σ′3
σ1 + σ 2 + σ 3 = 3σ + σ1′ + σ′2 + σ′3
Portanto: σ1′ + σ′2 + σ′3 = 0
∆V
Dilatação cúbica específica das tensões desviadoras:
= ε1 + ε 2 + ε 3
V
Onde: ε1 =
ε2 =
ε3 =
1
E
1
E
1
E
[σ1′ − ν(σ′2 + σ′3 )]
[σ′2 − ν(σ1′ + σ′3 )]
[σ′3 − ν(σ1′ + σ′2 )]
ε1 + ε 2 + ε 3 =
ou seja:
•
•
(1 − 2ν )
E
∆V
=0
V
(σ1′ + σ′2 + σ′3 ) = 0
⇒
∆V
V
=
(1 − 2ν )
E
(σ1′ + σ′2 + σ′3 ) = 0
Tensões desviadoras: distorcem o elemento sem variar o volume;
Tensões esféricas: variam o volume sem produzir distorções.
Determina-se U ev por meio da substituição das tensões esféricas na equação (a):
[
]
1 2
σ + σ 2 + σ 2 − 2ν (σ σ + σ σ + σ σ )
2E
1
U ev =
3(σ )2 − 2ν ⋅ 3(σ )2
2E
U ev =
[
U ev =
]
(1 − 2ν )
6E
(σ1 + σ 2 + σ 3 )2
Mas U ed = U e − U ev , assim, colocando-se as expressões de U e e U ev , tem-se:
U ed =
U ed =
U ed =
1
2E
[σ
2
1
(1 + ν )
6E
]
+ σ 22 + σ 32 − 2ν(σ1σ 2 + σ1σ 3 + σ 2 σ 3 ) −
[(σ
2
1
(1 + ν ) [(σ
6E
) (
) (
6E
(σ
1
+ σ 2 + σ3
− 2σ1σ 2 + σ 22 + σ 22 − 2σ 2 σ 3 + σ 32 + σ 32 − 2σ 3 σ1 + σ12
− σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ1 )
2
1
(1 − 2ν )
2
2
]
)]
)
2
57
10.4 – Critério da máxima energia de distorção (von Mises)
Critério utilizado para materiais dúcteis. Baseia-se na observação de que o escoamento
dos materiais dúcteis é provocado por tensões de cisalhamento.
σY
U edY =
σY
45º
(1 + ν)
6E
(
)
⋅ σ 2Y + σ 2Y .
Se U ed < U edY
(1 + ν ) 
2
(σ1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 )
2
6E 
Ou:
σ1 = σY
σ2 = σ3 = 0
→ não há escoamento
 (1 + ν )
⋅ 2σ 2Y
+ (σ 3 − σ1 )2  <

6E
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 < 2σ2Y
(11.1)
Particularizando-se o critério para estados planos de tensão e chamando-se de σ a e
σ b as tensões principais não nulas:
(σ a − σ b )2 + (σ b − 0)2 + (0 − σ a )2
< 2σ 2Y
σ a2 − 2σ a σ b + σ 2b + σ a2 + σ 2b < 2σ 2Y
→
σ a2 − σ a σ b + σ 2b < σ 2Y
σb
σY
Elipse de von Mises
-σY
σa
σY
-σY
Observação: O critério da máxima energia de distorção, equação (11.1), pode ser colocado
em função de tensões não principiais, ou seja, em função de σx, σy, σz, τxy, τxz e τyz. Usando-se
o primeiro e o segundo invariantes de tensão, pode-se demonstrar que a equação (11.1)
assume a seguinte forma:
σ 2x + σ 2y + σ 2z − σ x σ y − σ x σ z − σ y σ z + 3(τ 2xy + τ 2xz + τ 2yz ) < σ 2Y
Particularizando para estados planos de tensão: σx ≠ 0; σy ≠ 0; τxy ≠ 0; σz= τxz = τyz = 0:
σ 2x + σ 2y − σ x σ y + 3τ 2xy < σ 2Y
Particularizando para cisalhamento puro: τxy ≠ 0; σx = σy = σz = τxz = τyz = 0, tem-se:
3τ 2xy < σ 2Y
→
τ xy <
σY
3
58
10.5 – Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca)
Usado para materiais dúcteis.
σY
•
σY
τY
τ máx <
σY
2
σ1 − σ 3
⇒
<
σY
2
τ máx =
σ1 − σ 3
2
σ
τY = Y
2
σ1 − σ3 < σ Y
⇒
2
Particularizando o critério de Tresca para o estado plano de tensões (σa e σb tensões
principais não nulas).
σb
σb
σY
σY
σY
σY
σa
-σY
-σY
-σY
-σY
(a) Hexágono de Tresca
(b) Comparação entre os dois critérios
10.6 – Critério da máxima tensão normal (Rankine)
Usado para materiais frágeis.
Para que não ocorra ruptura: σ1 < σ U .
Ou:
σ3 < σ U ,
σa
onde: σ U → tensão última
10.7 – Critério de Mohr
Usado para materiais frágeis.
envoltória de Mohr
τ
zona de ruptura
zona sem ruptura
σ
zona de ruptura
59
10.8 – Critério de Mohr-Coulomb
É o mais usado na Mecânica dos solos. Baseia-se no fato de que os solos rompem por
cisalhamento. A envoltória de Mohr é substituída pela reta de Coulomb.
τ → reta de Coulomb (resistência ao cisalhamento dos solos)
φ → ângulo de atrito
c → coesão
τ
τ
τ = σ tg φ
τ = c + σ tg φ
zona sem
ruptura
c
φ
φ
c
σ
ruptura
(a) solo coesivo
•
φ
φ
zona sem
σ
(b) solo não coesivo
Interpretação do critério de Mohr-Coulomb: Impõe-se uma reta tangente ao círculo de Mohr
correspondente às tensões normais extremas (σ1 e σ3). Calcula-se um ângulo α para que
isto ocorra e compara-se com o valor do ângulo de atrito φ: se α < φ: não vai haver ruptura;
se α = φ o elemento está na iminência da ruptura; se α > φ o elemento vai romper.
τ
τ
r=
φ
r
σ
σ3
c
L = tg φ
(a)
(b)
Da figura (b) acima, tem-se a expressão:
σ1 − σ 3
Ou:
sen α =
2
c
tgφ
− σ3 −
sen α =
r
L − σ3 − r
σ1 − σ 3
2
Ou ainda:
sen α =
(σ1 − σ 3 ) tgφ
2c − (σ1 + σ 3 ) tgφ
α
σ1
c
L = tg φ
σ1 - σ3
2
σ
60
ANEXO
Ι – Propriedades de áreas planas
Ι.1 – Momento estático (Q): Seja a área A situada no plano YOZ. Sendo y e z as coordenadas de um
elemento de área dA, o momento estático da área A, por definição, é dado por:
•
Dimensão de Q: [ L ] 3
•
O momento estático de uma área, dependendo da posição do sistema de referência, pode ser
positivo, negativo ou nulo.
_
_
Ι.2 – Centróide: Por definição as coordenadas do centróide ( z ; y ) de uma área são dadas por:
•
Observação: o momento estático de uma área finita em relação a um eixo que passa pelo
centróide é nulo.
61
Ι.3 – Momento de inércia (ΙΙ): Por definição:
•
O momento de inércia de uma área é sempre positivo. Dimensão de Ι : [ L ]4
Teorema dos eixos paralelos (ou teorema de Steiner): O momento de inércia de uma área em
relação a um eixo de seu plano é igual ao momento de inércia em relação a um eixo paralelo que
passa pelo seu centróide acrescido ao produto da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos.
62
Resumo das equações de M(x) e V(x) dos carregamentos mais usados na Engenharia
Carregamento
−
M(x )
V(x )
−M
0
−P x
−P
−
q x2
2
− qx
−
q x3
6L
−
q x2 q x3
+
2
6L
− qx +
qx2
2L
qx2
2L
BIBLIOGRAFIA
BEER, F. P. & JOHNSTON JR, E. R. Resistência dos Materiais – McGraw-Hill.1982.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais 7a ed. – Prentice Hall. 2009.
PFEIL, W. & PFEIL M. Estruturas de Aço – Dimensionamento Prático – LTC Editora. 1995.
POPOV, E. P. Resistência dos Materiais – Prentice Hall. 1984.
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – v. 1. Editora Globo. 1973.
TIMOSHENKO, S. P. & GERE, J. E. Mecânica dos Sólidos – LTC Editora. 1982.