Escola Secundária Gabriel Pereira
2º TESTE DE MATEMÁTICA – Versão 2
11º ANO – TURMA F
Duração da prova: 90 minutos
4 de Dezembro de 2007
Nome: _________________ N.º: __ Ano__ Turma__
1ª Parte
Para cada uma das cinco questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as
alternativas que lhe são apresentadas. Não apresente cálculos.
Atenção se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo
se a letra transcrita for ilegível.
1) Considere as afirmações:
3
I – Se tg   então sen   3 e cos   4 .
4
3
 3 
II – Existe x   ;  : sen x  .
2 
5

Quanto ao valor lógico,
(A) I e II são falsas;
(B) I e II são verdadeiras;
(C) Só I é falsa;
(D) Só I é verdadeira.
 


2) Sejam u e v dois vectores tais que u  3 e v  1 . Qual das afirmações é necessariamente
falsa?
 
 
(A) u  v  3 ;
 
(B) u  v  3 ;
 
(C) u  v  0 ;
(D) u  v  4 .
3) A figura representa um hexágono regular de lado 2cm e centro O .
 
O valor do produto escalar OA  OF é:
(A) 1 ;
(C) 2 3 ;
(B) 2 2 ;
(D) 2 .

4) Um vector colinear com o vector v   2; 3 é o vector de coordenadas:


(A) a  2;  6 ;




(B) b  2 2;3 ;


  2 3
(C) c  
;  
2
 2

(D) d 


3; 2 .
v. s. f. f.
 
5) O conjunto de pontos P  x, y  do plano que verificam a condição BP  BA  0 , sendo B  0, 2  e
A  2, 4  , é:
(A) a circunferência de diâmetro  AB  ;
(B) a recta que contém B e é perpendicular a  AB  ;
(C) a recta tangente à circunferência de centro em B , no seu ponto A ;
(D) a mediatriz de  AB  .
2ª Parte
Nas questões desta segunda parte, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os
cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações que entender necessárias.
1) A figura ao lado representa um canteiro de forma circular
com a metros de raio. O canteiro tem uma zona rectangular,
que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada,
assinalada a sombreado na figura.
a
Os vértices A , B , C e D do rectângulo pertencem à
circunferência que limita o canteiro.
Na figura estão também assinalados:
 dois diâmetros da circunferência,  EG  e  HF  , que
contêm os pontos médios dos lados do rectângulo;
 o centro O da circunferência;

  
 o ângulo BOF , de amplitude x .  x   0;  
 2 

1.1) Mostre que a área da zona destina à plantação de flores é dada, em função de x , pela

expressão: A  x   4a 2 sen x.cos x,0  x  ;a  0 .
2
 

1.2) Determine o valor exacto de A  x  , sabendo que 5 cos    x   3  0 e a  5 .
 2

1.3) Indique um valor aproximado ao m 2 , da área da zona relvada, no caso de x 
2) Observe a figura ao lado.

e a 5.
3
s
2.1) Determine a inclinação da recta r .
2.2) Determine a equação reduzida da recta s .
2.3) Escreva uma condição que caracterize a zona
sombreada.
r
3) No referencial do espaço o. n. de origem O está
representado o cubo  ABCDEFGH  .
O , I , J , K e L são pontos médios de  DH  ,  EH  ,
CG  ,  BC  e  AE  , respectivamente.
As coordenadas dos pontos L e J são  6;0;0  e  0;6;0  .
3.1) Determine:
 
3.1.1) GH  FB .
 
3.1.2) GF  AD .
 
3.1.3) BC  AD .
 
3.2) Mostre que BH  BA  36 .
3.3) Mostre que a recta KJ é perpendicular à recta AB .
3.4) Determine o ângulo formado pelas diagonais do rectângulo  IJKL  .
3.5) Recorrendo à definição de produto escalar determine uma equação do plano mediador do
segmento de recta  LJ  .
 

4) Considere, num referencial o. n. xOy , o ponto A  4; 1 e os vectores v e w , tais que v   3;1


e v  w.
  
4.1) Calcule 2v  3AO  8w .


4.2) Determine as coordenadas de um ponto P , pertencente à bissectriz dos quadrantes pares, de
 
modo que AO  AP .
5) Na figura ao lado está representado um rectângulo
 ABCD  .
 
2
Mostre que o produto escalar DB  DC é igual a DC .
FIM
Bom Trabalho!
O Professor
F
O
R
M
U
L
Á
R
I
O