Teste Intermédio de Matemática A
Versão 1
Teste Intermédio
Matemática A
Versão 1
Duração do Teste: 90 minutos | 27.01.2010
11.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste.
A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas
aos itens de escolha múltipla com zero pontos.
Teste Intermédio de Matemática A – 11.º Ano – Versão 1 – Página 1
GRUPO I
•
Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
•
Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.
•
Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra
correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.
•
Não apresente cálculos, nem justificações.
•
Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta será
classificada com zero pontos.
1.
Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço
grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo SB
Em qual das figuras esse ângulo pode ter $ radianos de amplitude?
(A)
2.
(B)
(C)
(D)
Considere a equação trigonométrica sen B œ !,"
Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?
1
1
(A) ’ # ß # “
1
(C) ’!ß ' “
3.
(B)
’ !ß 1 “
(D)
’ ' ß # “
1
1
Considere, num referencial o.n. BSC, as rectas < e =, definidas, respectivamente, por:
$
< À ÐBß CÑ œ Ð"ß $Ñ 5Ð#ß !Ñ ß 5 − ‘
=À Cœ % B "
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às
unidades)?
(A) $(°
(B) $*°
(C) %"°
(D) %$°
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4.
Considere, num referencial o.n.
SBCD ,
a recta
<
e o plano
α,
definidos,
respectivamente, por:
C
<À B œ # œ
D
$
α À $B D œ !
Qual é a intersecção da recta < com o plano α ?
5.
(A) É o ponto Ð!ß #ß $Ñ
(B) É o ponto Ð!ß !ß !Ñ
(C) É o conjunto vazio.
(D) É a recta <
Considere o seguinte problema de Programação Linear:
Um agricultor tem um terreno com 100 hectares, onde pretende semear centeio e
tomate.
Devido a problemas de regadio, não pode semear mais do que 30 hectares de tomate.
Cada hectare de centeio dá um lucro de 800 euros e cada hectare de tomate dá um
lucro de 1000 euros.
Quantos hectares de centeio e quantos hectares de tomate deve o agricultor semear, de
modo a obter o maior lucro possível?
Seja B o número de hectares de centeio e seja C o número de hectares de tomate.
Em qual das figuras seguintes está representada a região admissível deste problema e
nela assinalado o vértice W correspondente à solução?
(A)
(C)
(B)
(D)
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GRUPO II
• Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e
todas as justificações necessárias.
• Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o
valor exacto.
1.
Na figura 1, está representado o quadrado ÒEFGHÓ de lado #
Figura 1
Considere que um ponto T se desloca ao longo do lado ÒGHÓ, nunca coincidindo com o
ponto G , nem com o ponto H
Para cada posição do ponto T , seja B a amplitude, em radianos, do ângulo FET
ŒB −
Ó 1% ß 1# Ò 
Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar
eventuais cálculos numéricos.
#
1.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por % tg B
1.2. Determine o valor de B para o qual a área da região sombreada é
1
"# # È$
$
"&
1.3. Para um certo valor de B, sabe-se que cosŠB # ‹ œ "(
Determine, para esse valor de B, a área da região sombreada.
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2.
Na figura 2, está representada, num referencial o.n. BSC, a circunferência de equação
ÐB %Ñ# ÐC "Ñ# œ #&
O ponto G é o centro da circunferência.
2.1. O ponto E, de coordenadas (!ß #),
pertence à circunferência.
A recta > é tangente à circunferência no
ponto E
Determine a equação reduzida da recta >
Figura 2
2.2. T e U são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é
Determine o valor do produto escalar GT Þ GU
3.
#& 1
'
Na figura 3, está representada, num referencial o.n. SBCD , uma pirâmide quadrangular
regular ÒEFGHZ Ó cuja base está contida no plano BSC
Sabe-se que:
• o ponto E pertence ao eixo SB
• o ponto F tem coordenadas Ð&ß $ß !Ñ
• o ponto
Z
pertence ao plano de equação
Dœ'
• 'B ")C &D œ #%
é
uma
equação
do
plano EHZ
• ")B 'C &D œ (#
é uma equação do
Figura 3
plano EFZ
3.1. Determine o volume da pirâmide.
3.2. Determine as coordenadas do ponto Z , sem recorrer à calculadora.
3.3. Seja W o ponto de coordenadas Ð "ß "&ß &Ñ
Seja < a recta que contém o ponto W e é perpendicular ao plano EHZ
Averigúe se a recta < contém o ponto F
FIM
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COTAÇÕES
GRUPO I ................................ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ... (5 ‚ 10 pontos) .............................................. 50 pontos
GRUPO II ..................................................................................................................... 150 pontos
1. .................................................................................................... 60 pontos
1.1. ......................................................................... 20 pontos
1.2. ......................................................................... 20 pontos
1.3. ......................................................................... 20 pontos
2. .................................................................................................... 35 pontos
2.1. ......................................................................... 20 pontos
2.2. ......................................................................... 15 pontos
3. .................................................................................................... 55 pontos
3.1. ......................................................................... 20 pontos
3.2. ......................................................................... 20 pontos
3.3. ......................................................................... 15 pontos
TOTAL .......................................................................................................................... 200 pontos
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