Séries
por
Milton Procópio de Borba
1. Seqüências Numéricas
1.1. Introdução
Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que tomamos conhecimento no nosso
estudo de Matemática foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.).
Nem sempre teremos seqüências de números que crescem (ou decrescem) pela soma
(P.A.) ou produto (P.G.) de uma mesma quantidade.
1.2. Definição
Uma seqüência numérica u é uma função definida no conjunto (N) dos Naturais. Para cada
natural n ∈ N, temos associado um valor numérico u(n), usualmente representado por un ,
chamado de nº termo.
Costumamos representar isto por { un } = { u1 , u2 , u3 , ... , un , ... } , ou quando não houver
dúvidas a respeito dos termos seguintes, { u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , ... }.
1.3. Exemplos
2
2
} = { 1 , 1/3 , 1/6 , 1/10 , ... ,
, ... }
n( n + 1 )
n( n + 1 )
2
O primeiro (1º) termo é u(1) = u1 =
= 2/2 = 1
1( 1 + 1 )
2
O quarto (4º) termo é u(4) = u4 =
= 2/20 = 1/10
4( 4 + 1 )
1.3.1. Seja {un} = {
1.3.2. Seqüência Geométrica: {gn} = {1/2n} = { 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16, 1/32 , ... }
1.3.3. Seja: {dn} = {n/2n} = { 1/2 , 2/4 , 3/8 , 4/16, 5/32 , ... }
1.3.4. Seja {wn} = {1/n2} = { 1 , 1/4 , 1/9 , 1/16, 1/25 , ... }
1.3.5. Seqüência Harmônica: {hn} = {1/n} = { 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , 1/5 , 1/6 , ... }
1.3.6. Seqüência “Sem 4”: {Sn} = { 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/7,...,1/12, 1/13,1/15, 1/16 , ... }
1.3.7. Seja: {An} = {-(-1)n/n} = { 1 , - 1/2 , 1/3 , - 1/4 , 1/5, - 1/6 , ... }
1.3.8. Seja {Un} = {
n
} = { 1/2 , 2/3 , 3/4 , 4/5 , 5/6 , ... }
n +1
1.3.9. Seqüência Aritmétrica: {an} = {5n -17} = { -12 , -7 , -2 , 3 , 8 , 13 , 18 , ... }
1.3.10. Seja {rn} = { 1/2 , - 2/3 , 3/4 , - 4/5 , 5/6 , -6/7 , 7/8 , -8/9 , ... }
1.3.11. Seja {Pn} = { - 1 , 2 , - 3 , 4 , -5 , 8 , -7 , 16 , - 9 , 32 , - 11 , 64 , - 13 , 128 , - 15 , 256 , ... }
1.3.12. Seq. “Look and Say”: {Ln} = {1 ,11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211,…}
1.3.13. Seqüência D: {Dn} = { 2 ,10, 12, 16, 17, 18,…}
1.3.14. Seqüência N_E =
1.4. Convergência
Dizemos que uma seqüência {un} converge (é convergente ) se existir o
lim u n .
n →∞
Caso contrário, a chamamos de divergente (ou não convergente - diverge)
As primeiras oito seqüências acima são convergentes e as demais divergem.
1
2. Séries Numéricas
2.1. Comentários
Em várias situações poderemos estar interessados em somar os (infinitos) elementos de uma
seqüência numérica {un} . Evidentemente, isto só fará sentido, se a seqüência convergir para zero (é o
caso dos 7 primeiros exemplos apresentados), caso contrário estaríamos somando uma infinidade de
termos não nulos, que certamente não faria sentido (é o caso do 8º exemplo).
O fato mais curioso é que nem toda seqüência que converge para zero pode ser “somada”.
Arquimedes (287-212 a.C.), segundo a história, foi o primeiro a
estudar este assunto, ao tentar achar a área abaixo de uma
parábola com o vértice para cima. Ele percebeu que, a partir de um
certo triângulo inscrito, a soma das áreas dos outros dois seguintes
era sempre 1/4 da área do anterior.
Assim, a área procurada seria A = S0 + S0/4 + S0/16 + S0/64 + ...,
ou seja A = S0 (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...) ,
Sua “soma” será analisada na generalização do item 2.4.2.
2.2. Definição
Seja Sn a soma dos n primeiros termos de uma seqüência {un}.
n
Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un =
∑u
k
é chamada de Soma Parcial da seqüência {un}.
k =1
∞
Ao
lim S n ,
n →∞
chamamos de Série infinita e representamos por
∑u
n
.
n =1
Se este limite existir, a série e convergente (converge), caso contrário, é divergente (diverge).
2.3. Exemplos
2.3.1. Série Telescópica: {un} = {
∞
2
}. Temos que lim u n = 0 e que ∑ u n = 2 (ver 2.4.1).
n→∞
n( n + 1 )
n =1
∞
2.3.2. Série Geométrica: {gn} = {1/2n}. Também lim g n = 0 e veremos (2.4.2) que
n →∞
1
∑2
n =1
n
= 1.
2.3.3. Por volta de 1350, Richard Swineshead considerou um
movimento durante um intervalo de tempo unitário, começando com
velocidade unitária e de forma que quando faltasse a metade do
tempo restante, sua velocidade aumentava em 1 unidade.
Isto gera a seqüência de velocidades {vn} = {n} e
de tempos {tn} = {1/2n}.
A distância percorrida = d = d1 + d2 + d3 + ..., onde dn = tn .vn .
∞
Falamos de {dn} = {n/2n} e veremos (2.4.3) que
n
∑2
n =1
n
=2.
2
∞
2.3.4. Seja {wn} = {1/n2}. Note de lim wn = 0, Vamos ver que existe
n →∞
∑w
n
e é menor que 2.
n =1
A soma infinita: 1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/n2 + ... pode ser agrupada assim:
1 + (1/4 + 1/9)+(1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49)+(1/64 + ... +1/225) + ..., menor ou igual a
1 + (1/4 + 1/4)+(1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16)+(1/64 + ... +1/64) + ..., que é equivalente à série
∞
1 + 2/4 + 4/16 + 8/64 + ... = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 +
1
∑2
n =1
n
= 1 + 1 = 2.
Euler provou, para espanto dos matemáticos no início do século XVIII, que
∞
1
∑n
n =1
2
= π 2/6 ≈ 1,644934066848. (ver, ainda, o final do item 2.4.)
∞
2.3.5. Série Harmônica: Seja {hn} = {1/n}. Apesar de lim hn = 0, temos que não existe
n →∞
∑h
n
,
n =1
pois a soma infinita: 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... tende a ∞, como veremos a seguir:
∞
1
∑ n = 1+ 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + ...+1/16) +..., maior ou igual
a:
n =1
1+ 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + (1/16 + ... +1/16) + ... =
1+ 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... → ∞
Os COMANDOS abaixo no Maple , forneceram os seguintes RESULTADOS
S 10 = 2.928968254
> for vez from 1 to 3 do
> S[10^vez]= evalf(sum(1/n,n=1..10^vez))
> od;
S 100 = 5.187377518
S 1000 = 7.485470861
S 1000000 = 14.39272672
> for vez from 2 to 4 do
> S[1000^vez]= evalf(sum(1/n,n=1..1000^vez))
> od;
S 1000000000 = 21.30048150
S 1000000000000 = 28.20823678
As próximas somas com 1000 x mais parcelas são aproximadamente: 35, 42, 49, 56, 63, 70,
2.3.6. Se, da seqüência harmônica, tirarmos todas as parcelas que tenham 4, teremos:
∞
∑S
n
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/12 + 1/13 + 1/15 + 1/16 + 1/17 + ...
n =1
Vamos mostrar que esta “soma” não passa de 80.
As primeiras 8 parcelas não passam de 1, totalizando menos que 8.
As próximas 72 (=8x9) parcelas de 1/10 até 1/99 não passam de 1/10. Total menor que 8x9/10.
As próx. 8x9x9 parcelas de 1/100 até 1/999 não passam de 1/100. Total < 8x9x9/100.
∞
∑S
Sucessivamente,
n
< 8.[ 1 + 9/10 + (9/10)² + (9/10)³ + ... ] = 8.[10] (ver final de 2.4.2).
n =1
2.3.7. Seja: Seja {An} = {-(-1)n/n}. Temos que lim An = 0, e veremos, mais tarde (item 2.6.3),
n →∞
∞
que
∑A
n
converge para um valor entre 1 e 0,5.
n =1
∞
Na verdade,
∑A
n
= ln(2) ≈ 0,693.(ver 3.6.3).
n =1
3
2.4. Soma de uma série infinita (convergente)
∞
2.4.1 Série Telescópica:
2
=
∑
n =1 n( n + 1 )
∞
2
2 
∑  n − n + 1  = (2/1 – 2/2)+(2/2 – 2/3)+ (2/3 – 2/4)+ ...
n =1
Todos os termos serão eliminados, exceto o primeiro (2/1) e o “último” que tende a zero.
Portanto a “soma” é 2/1 = 2.
Outras seqüências têm suas parcelas intermediárias eliminadas como estas: Telescópicas.
∞
2.4.2. Série Geométrica:
1
∑2
n =1
n
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2n + ...
é o “limite da soma” da P.G. que começa por a1 = 1/2 e tem razão q = 1/2.
Seu valor pode ser calculado por: S =
a1
1/ 2
1/ 2
=
=
= 1.
1− q 1 − 1/ 2 1 / 2
Outra maneira (geométrica) de verificar esta soma é considerar a área
do quadrado unitário ao lado.
∞
Este foi um caso particular do GERAL:
∑ a.q
n
, que converge se |q| <1 (Soma da P.G.).
n =1
Por exemplo, a série que aparece em 2.3.6 tem primeiro termo 1 e razão 9/10.
Sua soma vale:
a1
1
1
=
=
= 10.
1 − q 1 − 9 / 10 1 / 10
2.4.3. Agora, podemos achar a soma d da série citada no item 2.3.3:
∞
∞
n
1+ ( n − 1)
=
1/2
+
2/4
+
3/8
+
4
/16
+
...
=
=
∑
∑
n
2n
n =1 2
n =1
1 ∞ n−1
1 ∞ k
1
d = 1 + ∑ n − 2 = 1 + ∑ k = 1 + d.
2 n =2 2
2 k =1 2
2
d=
∞
1
+
∑
n
n =1 2
∞
n−1
n
n =2 2
∑
De d = 1 + d/2 tiramos que d - d/2 = 1 e portanto que d = 2.
Certamente, Richard Swineshead, em 1350, não usou estes
artifícios do somatório .
Ele usou o seguinte argumento: A soma da área daqueles
retângulos verticais cada vez mais finos e mais altos (ver 2.3.3) é
equivalente à soma das áreas dos retângulos de altura unitária,
cada vez mais finos da figura ao lado.
Assim, d = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4 /16 + ... é equivalente a
∞
d = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1+
1
∑2
n =1
n
= 1 + 1 = 2.
Obs.: A ‘soma” de uma série infinita convergente pode ser determinada em alguns casos
especiais, como uma “telescópica” ou uma geométrica. Nos casos gerais, podemos
conseguir a “soma”, de uma quantidade razoável de termos com uso do computador.
Por exemplo, para a série 2.3.4 (já citada), conseguimos na planilha Excel:
Quantidade
“Soma”
1
1
2
1,25
5
1,46
10
1,55
20
1,596
50
1,625
100
1,635
500
1,6429
1.000
1,6439
5.000
1,6447
10.000
1,64483
2.5. Critérios de convergência para séries de termos positivos
4
∞
Para verificar se uma série
∑u
dada converge, o primeiro teste é a
n
n =1
=0.
2.5.1. Condição necessária de convergência: lim un
n→∞
Depois disto, podemos usar um dos seguintes critérios:
2.5.2 Comparação das séries de termos positivos
∞
∞
Se ∑Vn converge e 0 ≤ un ≤ Vn, ∀ n ≥ N para algum N, então
n =1
∞
Se
∑t
∑u
n
converge.
n =1
∞
n
diverge e un ≥ tn ≥ 0, ∀ n ≥ N para algum N, então
n =1
∑u
diverge.
n
n =1
2.5.3. Critério de D'Alembert (Razão)
u
Se un > 0 e lim n +1 < 1, então
n →∞ u
n
u
Se un > 0 e lim n +1 > 1, então
n →∞ u
n
∞
∑u
n
converge.
n
diverge.
n =1
∞
∑u
n =1
2.5.4. Critério de Cauchy (Raiz)
∞
Se un ≥ 0 e lim
n
n →∞
Se un ≥ 0 e lim
n
n →∞
u n < 1, então
∑u
n
converge.
u n > 1, então
∑u
n
diverge.
n =1
∞
n =1
2.5.5. Critério da Integral
Sejam un ≥ 0 e f contínua, não crescentes, com F(n) = un , ∀ n ≥ N para algum N.
∞
∞
Então, se
∫
f ( x ).dx existe,
∑ u n converge. Se
n =1
N
∞
∞
∫
f ( x ).dx diverge, então
Um exemplo da aplicação deste critério é a convergência de
1
∫x
1
p
1
∑n
n =1
∞
n
diverge.
n =1
N
∞
Realmente.
∑u
p
, que só ocorre se p>1.
.dx = lim [ x-p+1/(1-p)] 1K = 1/(1-p), somente se (-p+1) < 0, isto é, p > 1.
K →∞
2.6. Séries de termos positivos e negativos
∞
Uma série ∑ u n com alguns termos un negativos pode convergir, mas
n =1
∞
∑u
n
pode divergir.
n =1
(ver exemplos 2.3.5 e 2.3.7).
2.6.1. Convergência absoluta e condicional
∞
Dizemos que uma série é absolutamente convergente se ∑ u n converge (e também
n =1
∞
∑u
n
).
n =1
Neste caso, sua “soma” não depende da ordem das infinitas “parcelas”.
5
∞
Dizemos que uma série é condicionalmente convergente se
∑u
∞
n
∑u
diverge, mas
n =1
n
converge.
n =1
Neste caso, sua “soma” não só depende da ordem das infinitas “parcelas”, como pode atingir
qualquer valor previamente determinado.
∞
Realmente, na série do exemplo 2.3.7, seja S =
∑A
n
= 1 –1/2 +1/3 –1/4 + ...= ln(2), nesta ordem.
n =1
Vamos “somá”-la numa outra ordem, com um termo positivo, seguido de dois negativos:
A nova “soma” será: Ns = 1 –1/2 –1/4 + 1/3 – 1/6 – 1/8 +1/5 – 1/10 – 1/12 + 1/7 – 1/14 – 1/16 + ...
Ora, Ns = (1 –1/2 –1/4) + (1/3 – 1/6 – 1/8) + (1/5 – 1/10 – 1/12) + (1/7 – 1/14 – 1/16) + ...
Ou Ns = (1/2 –1/4) + (1/6 – 1/8) + (1/10 – 1/12) + (1/14 – 1/16) + ...
Finalmente, Ns = (1/2)( 1 –1/2 +1/3 –1/4 +1/5 –1/6 +1/7 –1/8 + ...) = (1/2)S = ln(2) /2.
2.6.2. Séries alternadas
Os exemplos mais interessantes de séries com alguns termos negativos são as alternadas, isto é,
cada termos seguinte tem sinal trocado, ou seja (un).(un+1) < 0, ∀ n ≥ 1.
2.6.3. Teorema de Leibniz
Uma série alternada com
lim un = 0 e |un| ≤ |un-1|,
n→∞
∀ n ≥ 1, converge para uma “soma” S que se situa
entre Sn-1 e Sn ,∀ n ≥ 1.
Assim, o erro cometido ao “truncar” a série depois do nº termo não passa de |un|.
3. Séries de Funções
Se os temos de uma série dependem de x então, para alguns valores de x a série pode convergir e
para outros, pode divergir.
∞
∑( x − 2 )
Por exemplo,
n
= (x-2) + (x-2)² + (x-2)³ +... é a soma de uma série geométrica de razão (x-
n =1
2), que só converge se tivermos |x - 2| < 1.
Assim para x no intervalo (1 , 3 ), a série converge para a soma (x-2) / (1-x).
3.1. Domínio de convergência
É o conjunto dos valores de x para os quais uma série é convergente.
No exemplo acima, o domínio de convergência era o intervalo (1 , 3).
∞
Em geral, podemos determinar o domínio de convergência de uma série
∑ u ( x ) , usando os
n
n =1
critérios de convergência (ver 2.5), principalmente o de D'Alembert (Razão):
lim u n+1 ( x )
n→∞
un ( x )
< 1.
3.2. Séries majoráveis.
Sabemos que “a soma de funções contínuas é uma função contínua”, que “a derivada da soma é a
soma das derivadas” e que “o mesmo vale para integrais”.
Estas três afirmações podem deixar de ser verdadeiras quando se tratar de somas infinitas (séries).
∞
Uma série
∑ u ( x ) é dita majorável , num certo domínio, se existir uma série numérica
n
n =1
∞
convergente
∑c
n =1
n
tal que |un(x)| ≤ cn , para qualquer n, e qualquer x neste domínio.
6
3.3. Continuidade da soma de uma série.
∞
∑ u ( x ) é majorável
Se, para cada n, a função un(x) for contínua e
num certo domínio, então a
n
n =1
∞
soma da série S(x) =
∑ u ( x ) é uma função contínua neste domínio.
n
n =1
∞
É importante notar o contra-exemplo:
∑(
2 n +1
x − 2 n −1 x ) = ( 3 x - x)+ ( 5 x - 3 x )+ ( 7 x - 5 x )+ ...,
n =1
onde cada “parcela” un(x) = (
2 n +1
x-
2 n −1
x ) é contínua para qualquer x.
Sua soma parcial (telescópica) é dada por Sn(x) = - x +
Sua soma total, portanto, é dada por S(x) =
2 n +1
x.
lim ( 2 n +1 x - x ) = 1 – x , se x > 0
n→∞
0
, se x = 0
-1 – x , se x < 0, DESCONTÍNUA
3.4. Integração e derivação das séries.
∞
Se, para cada n, a função un(x) for contínua e
∑ u ( x ) é majorável
n
num certo domínio, então:
n =1
t
t
∞
∞ t
u n ( x )dx = ∑ ∫ u n ( x )dx , qualquer a e qualquer t neste domínio.
∫ S( x )dx = ∫a ∑
n =1
n =1 a
a
Também:
∞
Se, para cada n, a função u’n(x) for contínua e
∑ u ( x ) é majorável
'
n
num certo domínio onde
n =1
∞
∑ u ( x ) for convergente, então sua soma S(x)
n
pode ser derivada termo a termo, isto é:
n =1
∞
S’(x) =
∑u ( x )
'
n
n =1
∞
É importante notar o contra-exemplo:
4
sen n x
é majorável, mas a série
∑
n2
n =1
∞
∑n
2
sen n 4 x , formada
n =1
pelas suas derivadas (termo a termo) não o é.
3.5. Séries de potências
3.5.1. Definição
∞
Uma série de funções do tipo
∑c x
n
n
= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ..., onde os coeficientes cn
n =1
são constantes, é chamada de Série de potências.
3.5.2. Intervalo de convergência
Da aplicação do critério de D’Alembert (Razão), tiramos que
n +1
lim cn +1 x n
n→∞
∞
Portanto,
∑c x
n
n =1
n
converge para todo x num intervalo tal que = |x| <
cn x
= |x| lim
n→∞
lim cn
n→∞
c n +1
c n +1
< 1.
cn
.
7
3.5.3. Raio de convergência
O intervalo definido acima (3.5.2) é dado por |x| < R , onde R =
lim cn
n→∞
c n +1
.
Podemos, ainda, expressar o intervalo por (-R , R ), significando que se – R < x < R, então
∞
∑c x
n
n
converge. Para x = -R e x = R, a convergência deve ser estudada caso a caso.
n =1
∞
Observação: A Séries de potências de (x – a), ou seja
∑ c (x − a )
n
n
, têm igual tratamento,
n =1
bastando fazer z = (x – a). Seu domínio de convergência é o intervalo ( a - R , a + R ).
3.5.4. Desenvolvimento em Sérias de Potências (MacLaurin)
Veremos, neste item, que “várias” funções podem ser expressas como uma série de potências.
∞
Realmente, dada uma f(x) , queremos ter f(x) =
∑c x
n
n
= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ...
n =1
Basta-nos encontrar, agora, os coeficientes cn necessários. Para isto, façamos:
∞
f(x) =
∑c x
n
n
= c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + ...
n =1
x = 0 ⇒ f(0) = c0 + c1 0 + c2 02 + c3 03 + c4 04 + ... = c0 ⇒ c0 = f(0) ;
∞
f’(x) =
∑ nc
n
x n−1 = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + 5c5 x4 +...
n =1
x = 0 ⇒ f’(0) = c1 + 2c2 0 + 3c3 02 + 4c4 03 + ...= c1 ⇒ c1 = f’(0) ;
∞
f’’(x) =
∑ n( n − 1 )c x
n
n −2
= 2c2 + 6c3 x+ 12c4 x2 +20c4 x3 + 30c4 x4 + ...
n =1
x = 0 ⇒ f’’(0) = 2c2 + 6c3 0+ 12c4 02 +20c4 03 + 30c4 04 + ... = 2c2 ⇒ c2 = f’’(0)/2 ;
Continuando este processo, teremos que cn = f (n)(0)/n! ;
Seno: Se f(x) = sen(x), então sen(x) = x - x3 + x5 - x7 + x9 + …± x2n-1 + ...
6 5! 7! 9!
(2n-1)!
Cosseno: Se f(x) = cos(x), então cos(x) = 1 - x2 + x4 - x6 + x8 + …± x2n + ...
2 24 6! 8!
(2n)!
Exponencial: Se f(x) = ex, então ex = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + …± xn + ...
2 6 24 5!
n!
Uma importante relação devida a Euler é que eit = cos t + i. sen t , onde i² = -1
Para estabelecer isto, basta fazer x = it na série de potência de f(x) = ex.
Outra relação útil é o BINÔMIO: ( a + x) m , para qualquer m (não necessariamente natural).
Desenvolvendo em séries de potências de Mac Laurin, teremos que
( a + x) m = a m + m.a m-1 x + m(m-1).a m-2 x2 + m(m-1)(m-2).a m-3 x3 + ...
2!
3!
8
3.6. Séries de Taylor
3.6.1. Generalização da Série de Mac Laurin
Poderemos estar interessados em estudar uma função numa vizinhança de x = a, com a
necessariamente não sendo zero.
Dada uma função f, se todas as derivadas de f (até a ordem n+1) em x = a puderem ser
determinadas, temos que
f(x) = C0 + C1.(x-a) + C2.(x-a)2 + C3.(x-a)3 + … + Cn.(x-a)n + Rn+1 , ∀x,
onde Ck = f (k)(a) ,∀k e Rn = f (n)(ξ).(x-a)n, para algum ξ entre x e a.
k!
n!
3.6.2. Exemplo
Logaritmo Natural: Se f(x) = ln(x) e a = 1, então ln(x) = (x-1) - (x-1)2 + (x-1)3 - (x-1)4 +…± (x-1)n + Rn+1 ,
2
3
4
n
com Rn = -(-ξ)-n.(x - 1)n/n → 0, quando n → ∞.
Na prática, costuma-se usar a série truncada, isto é, abandonando o Rn, pequeno e difícil de ser
estimado.
3.6.3. Exemplo Numérico
Com x = 2 na série de ln(x) (acima), temos que f(2) = ln(2) = (1) - (1)2 + (1)3 - (1)4 + …± (1)n + Rn+1 ,
2
3
4
n
com |Rn| = (ξ)-n.(1)n/n = 1/ n(ξ)n≤ 1/n → 0, quando n → ∞ e ξ é um valor entre 1 e 2.
Insto nos garante que para termos ln(2) com 5 decimais exatas (Rn ≤ 10-5), basta que n ≥ 10 5.
3.7. Séries de Fourier
Dada uma f(x) impar, como determinar os coeficientes bn tais que: f(x) = Σ bn.sen nπx/L?
Isto significa como calcular os coeficientes de Fourier de f(x) no intervalo [0,L] ?
Partimos de f(x) = b1.sen πx/L + b2.sen 2πx/L + b3.sen 3πx/L + b4.sen 4πx/L + …
Multiplicando a equação acima por sen nπx/L:
f(x).(sen nπx/L) = b1.(sen πx/L).(sen nπx/L) + b2.(sen 2πx/L).(sen nπx/L) + …
Integrando em x, entre 0 e L:
∫ f(x).(sen nπx/L)dx = b1 ∫ (sen πx/L).(sen nπx/L)dx + b2 ∫ (sen 2πx/L).(sen nπx/L)dx + …
Com a Notação Ink = ∫ (sen kπx/L).(sen nπx/L)dx , teremos o seguinte sistema:
n =1 → (I11)b1 + (I12)b2 + (I13)b3 + (I14)b4 + (I15)b5 + … = ∫ f(x).(sen πx/L)dx = I1
n =2 → (I21)b1 + (I22)b2 + (I23)b3 + (I24)b4 + (I25)b5 + … = ∫ f(x).(sen 2πx/L)dx = I2
n =3 → (I31)b1 + (I32)b2 + (I33)b3 + (I34)b4 + (I35)b5 + … = ∫ f(x).(sen 3πx/L)dx = I3
…
…
…
Matricialmente: I11 I12 I13 I14 I15 …
I21 I22 I23 I24 I25 …
I31 I32 I33 I34 I35 …
…
b1
b2
b3
…
=
I1
I2
I3
…
9
Na verdade, mostraremos depois que:
Ink = ∫ (sen kπx/L).(sen nπx/L)dx = L/2, se n = k
0, se n ≠ k
Assim, o sistema é imediatamente resolvido: bn = In / (L/2) = 2.In/L , ou seja:
L
bn = (2/L). ∫ f(x).sen(nπx/L) dx
0
Realmente, de cos(a+b) = cos a . cos b – sen a . sen b, tiramos que:
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
– cos(a + b) = – cos a . cos b + sen a . sen b
cos(a – b) – cos(a + b) = 2 sen a . sen b
Ou seja: sen a . sen b = [ cos(a – b) – cos(a + b) ]/2
Então: sen (kπx/L) . sen (nπx/L) = [ cos(k – n)πx/L – cos(k + n)πx/L]/2
E então: Ink = 1/2 ∫ cos(k – n)πx/L dx – 1/2 ∫ cos(k + n)πx/L dx
L
L
 sen( n − k )πx 
 sen( n + k )πx 


1
1
L
L
– 
Se n ≠ k, então: Ink = 

 = 1/2[ 0 – 0 ] – 1/2[ 0 – 0 ]
2  ( n − k )π 
2  ( n + k )π 
L
L

0

0
Se n = k, então a segunda integral tem o mesmo tratamento, mas a primeira vale:
Inn = 1/2 ∫ cos(0) dx = 1/2 ∫ dx = L/2.
Um caso Particular: f(x) =
( L = 3)
60 x
20 x + 40
- 80 x + 240
se 0 ≤ x ≤ 1
se 1 ≤ x ≤ 2
se 2 ≤ x ≤ 3
3
Chamando p = nπ/3, simplificamos a nossa notação: In = ∫ f(x).(sen px)dx, ou
0
1
2
3
In = ∫ 60 x.(sen px) dx + ∫ (20 x + 40) .(sen px) dx + ∫ (- 80 x + 240) .(sen px) dx =
0
1
1
2
2
2
3
3
= 60 ∫ x.sen px dx + 20 ∫ x.sen px dx + 40 ∫ sen px dx – 80 ∫ x.sen px dx + 240 ∫ sen px dx.
0
1
1
2
2
Se G(x) é a primitiva de x.sen px, então:
In = 60[G(1) – G(0)] + 20[G(2) – G(1)] – (40/p) [cos px ]1 –80[G(3) – G(2)] –(240/p) [cos px ]2 =
= – 60G(0) + 40G(1) + 100G(2) – 80 G(3) + (40/p)cos p + (200/p)cos 2p – (240/p)cos 3p .
Cálculo de G(x) = ∫ x.sen px dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du, u = x → du = dx
onde: dv = sen px dx → v = (-1/p) cos px
G(x) = uv – ∫ v du = x(-1/p) cos px - ∫ (-1/p) cos px dx = (-x/p) cos px + (1/p²) sen px.
2
Assim, temos que:
3
G(0) = 0
G(1) =(-1/p) cos p + (1/p²) sen p.
G(2) =(-2/p) cos 2p + (1/p²) sen 2p.
G(3) =(-3/p) cos 3p + (1/p²) sen 3p.
10
Substituindo em In , teremos:
In = – 60(0) + 40[(-1/p) cos p + (1/p²) sen p] + 100[(-2/p) cos 2p + (1/p²) sen 2p] +
– 80[(-3/p) cos 3p + (1/p²) sen 3p] + (40/p)cos p + (200/p)cos 2p – (240/p)cos 3p .
In = (40/p²) sen p + (100/p²) sen 2p – (80/p²) sen 3p = (20/p²)( 2sen p + 5sen 2p - 4sen 3p ).
Lembrando que p = nπ/3, voltamos a ter:
In = (180/n²π²)(2sen nπ/3 + 5sen 2nπ/3 - 4sen nπ) e portanto :
bn = 2.In/3 = 120( 2sen nπ/3 + 5sen 2nπ/3 )/n²π² .
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
bn
73,70724
-7,89720
0,00000
1,97430
-2,94829
0,00000
1,50423
-0,49358
0,00000
0,31589
n
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
bn
-0,60915
0,00000
0,43614
-0,16117
0,00000
0,12339
-0,25504
0,00000
0,20418
-0,07897
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
-5,00 0
5
10
15
20
-10,00
Mais geralmente (porém considerando o intervalo padrão), dada uma f(x) definida em [-π,π],
queremos determinar os coeficientes An e Bn tais que:
f(x) = Σ (An.cos nx + Bn.sen nx), - ∞ < n < ∞.
Estes An e Bn são chamados os coeficientes de Fourier de f(x) no intervalo [-π,π].
Usando que cos (-nx) = cos nx e que sen(-nx) = - sen nx, é suficiente ter n ≥ 0.
De f(x) = a0/2 + a1.cos x + b1.sen x + a2.cos 2x + b2.sen 2x + a3.cos 3x + b3.sen 3x + …,
multiplicamos esta equação por sen nx para obter:
f(x)(sen nx)= a0.(sen nx)/2 + a1.cos x.(sen nx)+b1.sen x.(sen nx)+a2.cos 2x.(sen nx) + …
Integrando em x, entre -π e π:
∫ f(x).(sen nx)dx =( a0/2) ∫ (sen nx)dx + a1 ∫ cos x.(sen nx)dx + b1 ∫ sen x.(sen nx)dx +…
Todas as integrais do lado direito são nulas, exceto ∫ sen nx.(sen nx)dx = π.
Assim, da equação integral acima, só resta: ∫ f(x).(sen nx)dx = bn.π
Portanto: bn = (1/π) ∫ f(x).(sen nx)dx.
Analogamente, se multiplicarmos f(x) por cos nx e integrarmos no intervalo [-π,π], obtemos
an = (1/π) ∫ f(x).(cos nx)dx.
11
Podemos, ainda considerar cos nx = (einx + e-inx)/2 e sen nx = (einx - e-inx)/2 para obter:
∞
f(x)=
∑
n = −∞
^
π
^
f ( n).e inx , com f ( n) = (1/2π) ∫ f(x) e-inx.dx
−π
Propriedades:
1) a0/2 = média de f(x) para x entre -π e π
2) Se f é par então bn = 0 para todo n
3) Se f é impar então an = 0 para todo n
^
4) Se f for limitada e descontínua apenas em alguns pontos, então | f ( n) | ≤ max f
^
^
^
5) Se f e f´ são contínuas, então f '( n) = in f (n) ⇒ | f ( n) | ≤ C/n
^
6) Se f , f´ e f’´ são contínuas, então | f ( n) | ≤ C/n²
Uma conseqüência destas propriedades é que a série de Fourier de f converge para f(x) nos
pontos x em que f é contínua e converge para a média dos limites laterais, onde for
descontínua.
Mais geralmente:
Se f tem período L, então
f(x)= a0/2 + a1.cos (2πx/L) + b1.sen (2πx/L) + a2.cos (4πx/L) + b2.sen (4πx/L) + a3.cos_ + b3.sen_ + …
onde
b
bn = (2/L)
∫ f(x).sen (2nπx/L)dx.
a
com L = b - a e
b
an = (2/L)
∫ f(x).cos (2nπx/L)dx,
a
12